Протологика: новый взгляд на природу логического

(a суть Точка) & (b суть Точка) ? (соединить(a,b) суть Линия)

(a суть Ограниченная_линия) ? (продолжить(a) суть Линия)

(a суть Точка) & (b суть Точка) ? (описать(a,b) суть Круг)

Очевидно, что предложенный язык совместим с языком предыдущего примера и является еще одним вариантом силлогистического подхода к построению геометрии.

Если внимательно посмотреть на первые три постулата геометрии Евклида, то можно заметить, что их вовсе не обязательно трактовать именно как постулаты. Например, утверждение, что «от всякой точки до всякой точки <можно> провести линию», можно рассматривать, как определение типа функции провести_линию(_,_).

Иначе говоря, первый постулат - это то же самое, что и определение правильно построенного терма:

если t1 и t2 - термы с типом значений Точка, то провести_линию(t1,t2) - терм с типом значений Линия.

Аналогично остальные два постулата также можно считать определениями типов функций:

если t - терм с типом значение Ограниченная_линия, то продолжить(t) - терм с типом значений Линия.

если t1 и t2 - термы с типом значений Точка, то описать(t1,t2) - терм с типом значений Круг.

При таком истолковании первые три постулата Евклида относятся к определению языка. Они говорят о том, какого типа элементарные действия можно совершать с геометрическими объектами. Первое предложение «Начал» Евклида гласит:

«На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник» Начала Евклида. Книги I-VI. ОГИЗ, Москва-Ленинград, 1948. С.15.

В терминах типов функций это означает, что требуется найти функцию:

Предложение-1: Ограниченная_линия > Равносторонний_треугольник

Именно так и выглядят доказательства многих теорем. В первой части доказательства показывается, как из исходных или уже ранее построенных функций построить новую функцию. Во второй части доказательства демонстрируется, что тип значения новой функции соответствует тому, который требуется по условию задачи.

Выше мы ограничились примерами из геометрии, но могли бы обратиться и к арифметике. Возьмем в качестве исследуемой структуры натуральный ряд чисел в формулировке Пеано.

Аксиомы Пеано для натурального ряда чисел:

0 есть натуральное число

Для любого натурального числа n существует другое натуральное число S(n)

0 ? S(n) для любого натурального числа n

Если S(n) = S(m), то n = m

Если число 0 обладает свойством Q и для всякого числа n из того, что n обладает свойством Q, следует, что и S(n) обладает свойством Q, то свойством Q обладают все натуральные числа.

Исходные символы:

P, S, M, Zero, Number - общие имена;

next(_) - одноместный функциональный символ;

A, E, I, O - силлогистические константы;

¬, &, ? - логические связки «не…», «…и…», «если…, то…».

Термы:

Если P - общее имя, то P - терм;

Если S - терм, то next(S) - терм;

Ничто другое термом не является.

Формулы:

Если G и H - термы, то (A G H), (E G H), (I G H), (O G H) - формулы;

Если A и B - формулы, то ¬A, (A&B), (A?B) - формулы;

Ничто другое формулой не является.

Модель - это пара M=<W,ф>, где W - некоторое множество, а ф - функция интерпретации, обладающая следующими свойствами:

Если P - общее имя, то ф(P)W;

ф(next): W>W.

Значение терма в модели определим следующим образом.

Если P - общее имя, то [P,M]=ф(P)

[next(G),M]={ф(next)(a)| a?[G,M]}

Истинность атомарных формул в модели определим так же, как и в фундаментальной силлогистике:

M|=(A S P) -[S,M][P,M]

M|=(I S P)-[S,M]?[P,M] ?ШШ

. . . .

Определим отношение равенства между общими именами:

(Eq SP) =def (A S P) & (A P S)

Следующие шесть формул и правило индукции можно рассматривать как аксиоматическое определение натурального ряда. В каждой модели, в которой истинны все эти формулы, общему имени Number сопоставлено бесконечное множество, замкнутое относительно операции ф(next).

(I Zero Zero)

(A Zero Number)

(A G Number) ? (A next(G) Number)

(E Zero next(G))

(Eq G H) ? (Eq next(G) next(H))

(Eq next(G) next(H)) ? (Eq G H)

Следует обратить внимание на то, что натуральное число ноль в этом языке представлено общим именем Zero. Вместо аксиомы, выражающей принцип индукции, мы включили правило индукции. Связано это с тем, что в языке нет кванторов, и потому записать аксиому индукции в виде одной формулы не представляется возможным.

Стандартная модель этих аксиом имеет вид M=<N, ?>, где N - натуральный ряд {0,1,…}, а ? - функция интерпретации, обладающая следующими свойствами:



?(Zero)={0};

?(Number)=N;

Если P - общее имя, то ?(P)?W;

?(next)(n)=n+1.

В стандартной модели натуральным числам соответствуют одноэлементные подмножества основного множества N.

Таким образом, арсенал логико-математических структур, которыми на протяжении многих веков располагали ученые, был достаточно внушительным для того, чтобы с его помощью могли развиваться точные науки. Недоставало лишь удобной и единообразной логической символики для представления сложных математических конструкций. Эта задача была решена Дж.Пеано.

Параграф третий - «К вопросу о генетических способах рассуждений». Время от времени в логической литературе можно встретить упоминания о генетическом стиле мышления, генетических способах рассуждений, генетической дедукции и о генетическом методе построения теорий в его противопоставлении аксиоматическому Бирюков Б.В. О научных результатах Германа и Роберта Грассманов в свете последующих исследований логики мышления // Грассман Г., Грассман Р. Логика и философия математики. Избранное. М.: Наука, 2008. С. 347-457.; Гильберт Д. Основания геометрии. ОГИЗ, Москва-Ленинград , 1948. С. 315-321.; Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: Иностранная литература, 1957. 526 с.; Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории // Логико-философские труды В.А. Смирнова. М.: Эдиториал УРСС, 2001. С. 417-437.; Степин В.С. Теоретическое знание. М.: Прогресс-Традиция, 2003. 744 с.. При этом авторы обычно ограничиваются примерами, но не формулируют сути генетического подхода столь же строго, как это было сделано в отношении аксиоматического. Вопрос, что такое генетические способы рассуждений, и что такое генетический метод построения теорий, остается без ответа.

Д.Гильберт считает, что генетический метод лежит в основе построения арифметики. Отличительной чертой его является то, каким образом вводятся объекты исследования. По его мнению, геометрия, в отличие от арифметики, строится аксиоматически.

С.Клини, говоря о генетическом методе, также обращает внимание на способы задания исходных объектов теории. Он прямо связывает этот метод с интуиционизмом Л.Брауэра, но отказывает в этом геометрии Евклида. Говоря о Л.Брауэре, С.Клини косвенным образом признает также существование особых способов рассуждений об объектах, которые введены генетически. Именно в одновременном использовании генетического метода задания объектов теории и конструктивных (генетических) способов рассуждений он видит одну из заслуг Л.Брауэра.

В том, что Д.Гильберт считал метод построения геометрии Евклида аксиоматическим, а арифметики - генетическим, проявилась неопределенность критериев. Многие, наоборот, относят геометрию Евклида к генетическим, а не аксиоматическим теориям, обращая в первую очередь внимание не на метод задания исходных объектов теории, а на используемые способы рассуждений.

На существование особых способов рассуждений, примеры которых можно обнаружить не только в Древней Греции, но и в странах Древнего Востока, обратила свое внимание и С.А.Яновская. В основе этих способов рассуждений, по ее мнению, лежат алгоритмические построения.

Подробный анализ генетического метода осуществил В.А.Смирнов Смирнов В.А. Генетический метод построения научной теории // Логико-философские труды В.А. Смирнова. М.: Эдиториал УРСС, 2001. С. 417-437.. Именно у него мы встречаем ясное указание на два основных отличия этого метода от аксиоматического «…во-первых, в способе введения объектов теории и, во-вторых, в логической технике этих теорий» Там же. С.422.. В.А.Смирнов не только констатировал факт существования генетического стиля мышления, но и поставил задачу его формализации. Возможное решение он видел в том, что при генетическом стиле мышления элементами цепочки рассуждения не обязательно являются высказывания, а доказуемыми выражениями - законы логики. Иным должен быть и способ обоснования правильности рассуждений. В основе перехода от одних элементов к другим лежат алгоритмические процессы, а не свойство сохранение истинности высказываний. Это требует изменения устоявшихся взглядов на природу логики.

Из работ последнего времени следует выделить статью Б.В.Бирюкова, в которой он подробно анализирует вклад в логику и философию математики Германа и Роберта Грассманов. Именно они стоят у истоков современной теории рекурсии, связь которой с генетическим стилем мышления не вызывает сомнения.

Генетический подход к построению теорий привлекает внимание не только математиков и логиков, но и исследователей, занимающихся вопросами эпистемологии. В.С.Степин обращает внимание на то, что «генетический метод предполагает оперирование непосредственно с абстрактными объектами теории, зафиксированными в соответствующих знаках» Степин В.С. Теоретическое знание. М.: Прогресс-Традиция, 2003. С.128.. При выведении основных следствий физических теорий «большую роль играют мысленные эксперименты с абстрактными объектами теоретических схем» Там же.. Многочисленные конкретные примеры из физической научной практики более адекватно описываются именно в терминах генетического, а не аксиоматического стиля мышления.

Так что же такое генетический метод построения теорий и генетический стиль мышления? Прежде всего, отметим, что метод введения объектов теории не увязан жестко с используемыми способами рассуждений. Возможны разные их сочетания.



	Генетический метод задания исходных объектов	Конструктивные рассуждения
Интуиционизм Л.Брауэра	да	да
Геометрия Евклида	нет	да
Формализация арифметики Д.Гильбертом	да	нет
Аксиоматизация геометрии Д.Гильбертом	нет	нет

Общей чертой теорий, которые стоят в первых трех строчках таблицы, и которые разными авторами в разное время были отнесены к генетическим, является функциональность их языка. Это наводит на мысль, что генетический стиль мышления очень близок к функциональному стилю, а возможно и тождественен ему. Он возник, когда понятия функции еще не существовало, но функциональными связями в виде предписаний и алгоритмических построений уже начали пользоваться. В этом секрет конструктивных черт генетического метода, на которые часто обращают внимание.

Как уже было показано в первом параграфе настоящей главы, язык функций по своим выразительным возможностям не отличается от языка отношений. Функциональный стиль мышления и сегодня продолжает играть в науке важную роль. Если наша гипотеза верна, то выбор между генетическим и не-генетическим методом построения теории или стиля мышления связан лишь с выбором в интервале между чисто функциональными и чисто реляционными языками. Исторический приоритет принадлежит функциональным языкам.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА исследования - «Введение в протологику» - является центральной.

Без ответа остается вопрос о том, как было возможно на протяжении веков развитие науки при достаточно выразительных возможностях языка, но явно недостаточном уровне логики? Как, получив интересный результат, один ученый мог сообщить его другому ученому? Как он мог убедить другого в правильности полученного результата? Что могло убедить ученых в существовании математических объектов, которые противоречили всякой интуиции, и которые невозможно было обосновать логически? К каким способам аргументации они могли в этом случае прибегать?

Может быть, логика здесь ни при чем? Ведь и сегодня мало что изменилось. Логику, если и начинают изучать, то лишь в высших учебных заведениях, а до этого на протяжении долгих школьных лет огромные объемы знаний усваиваются без какого-либо обращения к ней. Тех, кто все-таки изучал логику и осознанно применяет ее в своей практике, единицы, и профессиональная деятельность подавляющего большинства этих единиц связана с самой логикой. При этом миллионы людей вовлечены в научную деятельность и еще больше занято в современном высокотехнологичном производстве, требующем развитых интеллектуальных способностей и умения ими пользоваться. Как им это удается? Может быть, "…люди логично мыслят и без предварительного изучения логики»? Сидоренко Е.А. Логика. Парадоксы. Возможные миры. (Размышления о мышлении в девяти очерках.) М.: Эдиториал УРСС, 2002. С.22. Но в этом случае данную способность они должны приобретать каким-то иным естественным путем. Разгадка может заключаться в том, что язык вовсе не нейтрален по отношению к логике, и умение логично мыслить есть побочный результат овладения им. Одним из механизмов, объясняющих это, может быть существование особого отношения детерминации между выражениями языка.

Поскольку в дальнейшем изложении мы будем часто употреблять термины знак и знаковая система, внесем ясность в используемую терминологию. Ситуация, в которой некоторый объект выступает в роли знака, содержит три обязательных элемента: знак, означаемое и интерпретатора. Их взаимоотношение заключается в том, что знак представляет (репрезентирует, замещает) означаемое для интерпретатора. Такую ситуацию называют знаковой или семиозисом.

Знаковая система - это структурно организованная совокупность знаков, в которой можно выделить синтаксическую, семантическую и прагматическую составляющие. Синтаксис знаковой системы определяет, какие объекты считаются ее знаками, как они относятся друг к другу и каким преобразованиям подчиняются. Семантические свойства знаковой системы связаны с отношением знаков к означаемым ими объектам. Прагматическая составляющая - это отношение интерпретатора к знакам и тому, что они представляют.

Параграф первый - «Протологическое следование». Великая сила языка, как инструмента познания, заключается в том, что он дает нам возможность оперировать объектами внеязыковой реальности на уровне их знакового представления. Нет необходимости совершать физические действия и путем проб и ошибок приходить к желаемому результату. Вместо этого мы можем совершать необходимые манипуляции с выражениями языка и лишь в случае достижения успеха реализовывать то же самое, но уже на уровне реальных объектов. Требуется лишь не терять соответствия, которое существует между выражениями языка и объектами внеположной реальности. Это является одним из необходимых условий правильности нашей языковой деятельности. В этом случае архитектор, построив чертеж нового здания, может быть уверен в том, что его действительно можно будет воплотить в реальное строение.

Оперирование выражениями языка можно представить как цепочку переходов от одних выражений к другим. Одни переходы между выражениями обосновываются уже известными свойствами соотнесенных им объектов, т.е. семантически. Другие - получают обоснование благодаря структурным свойствам самого языка, т.е. синтаксически. Цепочки переходов между выражениями языка являются аналогом того, что мы называем рассуждениями, но они не обязательно связывают одни лишь предложения. Мы предпочитаем говорить о выражениях языка, или о термах, без привязки к типам их значений. Семантическое обоснование переходов между выражениями/термами языка будем называть протологическим следованием, которое в первом приближении можно определить следующим образом.

Из B протологически следует A, если и только если значение выражения B детерминирует значение выражения A.

Понятие истинности не является необходимым для определения протологического следования. Истинность и ложность - это всего лишь конкретный тип значений для частного вида выражений, мы же хотим, чтобы наше определение было применимо к выражениям любой знаковой системы.

Чтобы данное определение стало пригодным для использования, мы должны уточнить термин «детерминирует». В качестве его синонима будем употреблять выражение «существует правило». Правило же, в свою очередь, может пониматься как предписание по выполнению определенных действий для вычисления функции. Поэтому уточнением термина «детерминирует» может быть и выражение «существует функция». Заметим, что это всего лишь одно из возможных уточнений термина «детерминирует», которого мы будем придерживаться в настоящем исследовании, но допускаем и даже настаиваем на том, что могут быть и другие его уточнения.

В дальнейшем мы будем определять следование не между двумя выражениями языка, а между некоторым конечным, возможно пустым, множеством выражений У={B1,…,Bn}, где n?0, именуемых посылками, и отдельным выражением A.

Из посылок У={B1,…,Bn} протологически следует выражение A, если и только если существует правило, позволяющее на основании значений посылок У определить значение выражения A.

Это определение не нуждается в уточнении того, о каких конкретно языковых выражениях идет речь, какова природа соответствия между этими выражениями и внеязыковой реальностью, что из себя эта реальность представляет. Мы всего лишь принимаем предпосылку о существовании языка как знаковой системы.

Параграф второй - «Язык переменных». Пусть дана абстрактная знаковая система, о свойствах синтаксиса, семантики и прагматики которой нам ничего не известно. Языком, описывающим такую знаковую систему, будет язык переменных. Можно показать, что в этом случае отношение протологического следования обладает следующими свойствами:

Если У ||= X, то УU? ||= X;

Если У ||= Y и ?U{Y} ||= X, то ?UУ ||= X;

Если X?У, то У ||= X;

{X} ||= X.

Параграф третий - «Язык с константами». Рассмотрим язык, содержащий в дополнение к переменным еще и константы. Язык констант - это язык субъекта, который открыл для себя, что в окружающей его реальности существуют различные объекты, и сопоставил им знаки, но ничего другого о них не знает. Его язык пока не приспособлен для того, чтобы выражать какие-либо связи между объектами. Протологическое следование языка констант обладает дополнительным свойством:

Если a?Const, то У ||= a.

Параграф четвертый - «Язык сложных выражений». До сих пор рассмотренные нами знаковые системы лишь с большой натяжкой можно было называть языками, поскольку язык - это не просто набор некоторых атомарных знаков, а система, в которой можно выделить простые знаки низшего уровня и составленные из них сложные знаки.

В языке, состоящем из одних простых выражений, не может быть выражен никакой сложный опыт. Простые выражения могут лишь представлять отдельные объекты мысли. Чтобы выражать еще и связи, существующие между означаемыми объектами, необходим развитый синтаксис.

Развитый синтаксис приводит к появлению новых детерминаций между выражениями языка. Всякий переход по правилам синтаксиса языка от выражений X1,…,Xn к составленному из них более сложному выражению <X1,…,Xn> является абстрактным примером детерминации и может быть отнесен к протологике. Осваивая синтаксис и семантику языка, мы научаемся правилам построения сложных выражений и умению их интерпретировать независимо от того, встречались они нам ранее или нет. Это и есть детерминация одних выражений другими, которая имеет нормативный характер для всех носителей данного языка. Именно благодаря существованию такого рода детерминаций мы получаем возможность усваивать и передавать новое знание, поскольку новое знание может быть выражено в языке лишь новой ранее не встречавшейся комбинацией его выражений.

Исходные символы языка:

x, y, z, … ?Var - переменные;

a, b, c,… ?Const - константы;

<>k,i, <>m,j,… ?Op - термообразующие операторы.

Термообразующие операторы представлены различными видами скобок. Сложное выражение - это заключенная в скобки последовательность более простых выражений.

Термы (Term):

Если x?Var, то x - терм;

Если a?Const, то a - терм;

Если X1,…,Xn - термы, а <>n,i - оператор, то <X1,…,Xn>n,i - терм;

Ничто другое термом не является.

Моделью будем называть пару M = <W, ц>, состоящую из непустого множества W, и функции интерпретации ц, сопоставляющей константам языка их значения, а операторам - функции на W.

ц(a) ?W - a?Const;

ц(<>n,i) : W*…n*W>W - <>n,i?Op.

Множество всех функций приписывания обозначим посредством Val=WVar.

Значение терма в модели:

[x,M,v] = v(x) - x?Var

[a,M,v] = ц (a) - a?Const

[<X1,…,Xn>n,i,M,v] = ц(<>n,i)([X1,M,v],…,[Xn,M,v])

Обратим внимание на некоторые особенности определения значения терма в модели. Возьмем сложное арифметическое выражение <x,+,y>3. Его значением в модели M, согласно принятым определениям, будет ц(<>3)(v(x),ц(+),v(y)). В этой записи ц(+) - не двухаргументная функция на W, а всего лишь соотнесенный знаку “+” элемент W, статус которого в этом смысле ничем не отличается от v(x) или v(y).

Определение следования выглядит следующим образом:

У||= X-?M ?X1,…,Xn?У ?f?v?Val([X,M,v] = f([X1,M,v],…, [Xn,M,v])), n?0

Оно обладает еще одним дополнительным свойством:

6) Если У ||= X1,…, У ||= Xn, то У ||=<X1,…,Xn>n,j.

Доказана лемма, что если ограничиться языками, в которых множество термообразующих операторов Op состоит из единственного двухместного оператора <>2, это не приведет к уменьшению их выразительных возможностей.

Параграф пятый - «Лингвистический априоризм». В свое время идея априоризма была призвана помочь дать ответ на вопрос, как возможно математическое знание и в чем причина его необычайной эффективности? Попытка объяснить с помощью спекулятивного предположения о существовании априорных форм чувственности и априорных созерцаний пространства и времени оказалась неудачной. Тем не менее, сама идея существования таких форм остается привлекательной и сегодня.

Если априорные формы существуют, то какова может быть их природа, и где их можно было бы обнаружить? Мы хотели бы эти формы именно обнаружить, понимая при этом априорность в буквальном смысле.

Естественным кандидатом на область поиска является языковая среда, поскольку всегда наш опыт и наши знания мы фиксируем с помощью того или иного языка. Мы знаем, что язык может подталкивать нас к принятию конкретных категориальных структур. На это, в частности, обратил внимание французский лингвист Эмиль Бенвенист, показав, что категории, выделенные в свое время Аристотелем, на понятийном уровне всего лишь отражали состояние древнегреческого языка.

Выбрав языковую среду, мы должны рассмотреть язык, который не привязан ни к какой конкретной категориальной структуре, опустошенный язык, язык логического субъекта, еще не приступившего к процессу познания. Если нам удастся обнаружить в нем устойчивые независимые от какого-либо опыта формы и правила оперирования ими, то они, по сути, и будут играть роль априорных. Всякий опыт, зафиксированный в языке, должен будет, так или иначе, согласовываться с ними.

Как уже отмечалось ранее, язык - это не просто набор некоторых знаков, а система, в которой можно выделить простые знаки низшего уровня и составленные из них сложные знаки. И именно в этом смысле существование простых и сложных выражений языка является лингвистически априорным, и не зависит ни от какой конкретной схемы категориального членения окружающей реальности.

Допустив существование априорных форм чувственности, Кант приходит к выводу о необходимости существования науки, которая исследовала бы происхождение знаний, единственным источником которых являются эти априорные формы. Возможны ли знания, единственным источником которых являются априорные формы языка? Для ответа на поставленный вопрос необходимо исследовать способы оперирования ими, которые также могли бы быть признаны независимыми от опыта.

Переход от выражения языка, которому соответствует один объект мысли, к другому выражению, которому соответствует объект мысли, отличный от первого, возможен лишь на основании опыта, т.е. в том случае, если мы уже что-то знаем об этих объектах и связях между ними. Лингвистически априорные операции могут допускать лишь семантически тождественные преобразования. Оказывается, что такие операции существуют и к тому же хорошо нам известны. Речь идет о введении номинальных определений и обратной операции замены языковых выражений согласно ранее принятым определениям. Номинальное определение можно понимать как внутриязыковое соглашение о сокращении сложных выражений, которое логический субъект (интерпретатор) заключает с самим собой. В этом смысле данная операция не зависит от возможных интерпретаций языка и потому является лингвистически априорной.

Если историю возникновения логики вести со времен Платона и Аристотеля, то окажется, что одновременно это была и история теории определений, которая традиционно считается одним из разделов логики. Для произвольного выражения B логический субъект может ввести в язык некоторое новое выражение A, которое отныне будет считаться сокращением для B. В будущем выражение A может участвовать в построении более сложных выражений, но при этом логический субъект всегда помнит, сокращением чего оно является, и оставляет за собой право в случае необходимости заменить одно на другое. Очевидно, что с точки зрения возможных интерпретаций этих выражений, такая замена подчиняется закону тождества, но с точки зрения их структуры она не является тождественной. Это первая особенность данной операции, на которую необходимо обратить внимание. Вторая особенность заключается в том, что принятие определения всегда связано с расширением языка, так как выражение A обязательно должно содержать некоторый новый ранее не встречавшийся символ. Если бы такого символа не было, то выражение A совпадало с одним из уже имеющихся выражений языка, и принятие определения было бы равнозначно принятию постулата, ограничивающего возможные интерпретации языка. Чтобы избежать этого, как раз и вводится новый символ. За ним закрепляется конкретный объект мысли, он становится абстрактным представителем структуры выражения B.

Параграф шестой - «Дефинициальный язык». Расширим понятие языка как знаковой системы, обогатив его правилом введения номинальных определений. Для этого мы должны определить язык, в котором могут быть представлены как операции принятия номинальных определений, так и операции замены согласно ранее принятым определениям.

Исходные символы языка:

x, y, z, … ?Var - переменные;

Const - множество констант;

), ( - скобки.

В начальном состоянии языка, когда логический субъект еще не приступил к познанию, множество констант пусто, но затем оно наполняется символами, которые становятся представителями внеязыковых объектов. Важная особенность дефинициального языка, который мы собираемся рассмотреть, заключается в том, что множество его правильно построенных выражений не является фиксированным, а определяется относительно текущего множества констант. Он динамичен по своей природе.

Термы:

Если x?Var, то x - атомарный терм;

Если c?Const, то c - атомарный терм;

Если X и Y - термы, то (XY) - терм;

Ничто другое термом не является.

Будем обозначать посредством Term(Const) множество правильно построенных термов, определенных относительно множества констант Const.

Поскольку при нашем определении терма он может содержать много скобок, будем опускать часть из них, предполагая ассоциацию влево при восстановлении. Например, терм (((XY)Z)U) после опускания скобок может быть записан просто как XYZU, а терм ((X(YZ))U) примет вид X(YZ)U.

Для обозначения графического тождества термов X и Y будем использовать запись X?Y. Тогда определение одновременной подстановки термов Z1,…,Zn в терм T вместо всех вхождений переменных x1,…,xn. выглядит следующим образом:

xi[Z1/x1,…,Zn/xn] ? Zi - 1 ? i ? n

y[Z1/x1,…,Zn/xn] ? y y - атомарный терм, отличный от xi, 1 ? i ? n

(XY)[Z1/x1,…,Zn/xn] ? (X[Z1/x1,…,Zn/xn])(Y[Z1/x1,…,Zn/xn]).

FV(T) - множество всех переменных, входящих в терм T:

FV(x)={x}, где x?Var;

FV(c)=Ш, где c?Const;

FV(XY)=FV(X)UFV(Y).

Далее мы должны рассмотреть операцию принятия номинальных определений, влекущую за собой расширение языка. Нас будут интересовать явные определения следующего вида.

A =def B

Левая часть этого выражения, обозначенная буквой A, называется определяемым (дефиниендумом), а правая часть, обозначенная буквой B, - определяющим (дефиниенсом). Символ “=def“ «указывает, что принята конвенция считать, что выражение A означает то же самое, что и выражение B» Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. Учебник. М.: Космополис, 1994. С.201.. В левой части определения обязательно присутствует новый так называемый определяемый термин, который вводится в язык, расширяя его.

С формальной точки зрения, к явным определениям предъявляются два основных требования Карпович В.Н. Термины в структуре теории. Новосибирск.: Наука, 1978. 128 с.; Gupta A. Definitions. The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edward N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/entries/definitions/>.; Suppes P. Introduction to Logic. Princeton, 1957. 312 p.. Во-первых, введение посредством определений в язык новых символов должно удовлетворять условию консервативности. Т.е. не приводить к тому, что ранее недоказуемые утверждения языка L становятся доказуемыми в расширенном языке L+. Во-вторых, мы должны иметь возможность сводить выражения языка L+ к выражениям языка L, заменяя определяемое на определяющее.

Пусть дан некоторый терм T, для которого логический субъект хочет ввести номинальное определение-сокращение. Для этого он должен расширить свой язык новой константой D, т.е. добавить ее к множеству констант Const и соответствующим образом изменить определение термов. Затем он должен выбрать один из новых термов языка, содержащий константу D, и запомнить его как сокращение для терма T. Отныне добавленной к языку новой константе D в результате принятия определения будет соотноситься конкретный объект мысли. Ее можно понимать либо как абстракцию структуры терма T, либо как код его построения.

При таком понимании определение является не термом, а именно операцией - соглашением о сокращении термов, которое логический субъект заключает с самим собой, и результат которого может быть представлен парой термов. Множество принятых определений мы будем представлять множеством пар термов, удовлетворяющих определенным ограничениям. Определения будут иметь вид пары <Dx1…xn,T>, где T - это определяющее, т.е. терм, для которого мы хотим принять определение-сокращение, а Dx1…xn - это определяемое, тоже терм, но в отличие от терма T принадлежащий языку, расширенному новой константой D.

Языковаяструктура - это пара S=<Term(Const),?>, состоящая из множества термов Term(Const) и множества пар термов ?Term(Const)*Term(Const).

Множество пар ? понимается как множество определений. Принятие нового определения приводит к расширению языковой структуры.

Если имеется множество определений ? терм T и константа D, удовлетворяющие ограничениям D?Term(Const), D?Const, и FV(T){x1,…,xn}, то мы можем добавить к множеству ? новое определение <Dx1…xn, T>.

С помощью этого правила введения определений мы можем представить расширение языка новыми константами в виде некоторой дедукции языковых структур.

Дефинициальным языком будем называть языковую структуру, полученную путем последовательного расширения структуры <Term(Const0),Ш>, где Const0 - это начальное, возможно пустое, множество констант.

Если говорить более строго, то L=<Term(Const), ?> называется языком, если и только если существует такая последовательность языковых структур <S0,…,Sn>, что n?0, S0=<Term(Const0),Ш>, Sn=<Term(Const),?> и для всякого 0?i<n языковая структура Si+1 является расширением языковой структуры Si по правилу введения определений DI.

Примем следующие соглашения:

Если L=<Term(Const),?> - язык, то будем называть ? множеством определений;

Элементы <Dx1…xn,T> множества ? будем называть определениями, и для удобства записывать в виде Dx1…xn=defT;

Для обозначения констант, вводимых определениями, и составленных из них термов, будем использовать жирные заглавные буквы латинского алфавита;

Для языка L=<Term(Const),?>, будем использовать сокращенное обозначение L(?) и вместо X?Term(Const) писать X?L(?).

Посредством X{T} будем обозначать конкретное выделенное вхождение терма T в терм X.

Следующее правило замены позволяет осуществлять замену выражений языка согласно ранее принятым определениям.

Если X{DY1…Yn} - терм языка L(?), с выделенным вхождением терма DY1…Yn, где Dx1…xn=defT??, то X{T[Y1/x1,…,Yn/xn]} есть результат замены выделенного вхождения DY1…Yn на T[Y1/x1,…,Yn/xn].

Выводом в дефинициальном языке L(?) терма X из конечного множества термов У, называется такая непустая конечная последовательность термов <X0,…, Xn>, что n?0, Xn=X и для всякого 0?i?n терм Xi либо является элементом У, либо получен по правилу DE из предшествующих термов последовательности. В дальнейшем мы будем использовать запись ?;У>X в качестве утверждения о существовании вывода в дефинициальном языке L(?) терма X из конечного множества посылок У.

Дефинициальный язык обладает рядом свойств, которые делают его не похожим на уже привычные для нас языки. В него неявным образом введен языковой субъект (интерпретатор). Сделано это посредством операции принятия определений, т.е. правила расширения языковых структур DI. Изначально языковому субъекту дан язык L(Ш) с пустым множеством констант. Затем он расширяет его до языка L(?), где ??Ш, и лишь после этого получает возможность проводить нетривиальные рассуждения с использованием правила замены DE. Различить языковых субъектов можно лишь с точностью до множества принятых ими определений ?. Никакого единого множества определений нет. Языковые субъекты свободны в принятии любых определений.

Параграф седьмой - «Система протологики». Для построения рассуждений в языке протологики могут быть использованы следующие три правила перехода от одних выражений к другим.

Правило введения констант. Первое правило - безпосылочное. Оно позволяет включать в цепочку рассуждений любые уже имеющиеся константы языка. Семантическое обоснование этого правила было дано в третьем параграфе.

Правило построения термов. В основе второго правила лежит композициональный подход к пониманию выражений языка. Значение сложного выражения определяется значениями составляющих его частей. Обоснование этого правила было приведено в четвертом параграфе.

Правило замены. Третье правило - это правило замены выражений языка согласно ранее принятым определениям.

Если L(?) - язык, Dx1…xn=defT?? - определение, а X{DY1…Yn} - терм, с выделенным конкретным вхождением терма DY1…Yn, то X{T[Y1/x1,…,Yn/xn]} есть результат замены DY1…Yn согласно определению на T[Y1/x1,…,Yn/xn].



Протологическим выводом в языке L(?) терма X из конечного множества термов (посылок) У, называется такая непустая конечная последовательность <X0,…, Xn> термов, что n?0, Xn=X и и для всякого 0?i?n терм Xi либо является элементом У, либо получен из предшествующих термов последовательности по одному из правил вывода.

Запись ?;У>>X будет означать, что в языке L(?) существует протологический вывод (>>-вывод) терма X из конечного множества термов У. В тех случаях, когда множество определений ? фиксировано, и это не может вызвать недоразумений, мы будем использовать сокращенную запись У>>X.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА - «Логика дефинициальной дедукции». В ней исследуем свойства дефиницальной вводимости, определенной в шестом параграфе третьей главы.

Параграф первый - «Основные свойства». Доказан ряд общих лемм о свойствах дефиницальной выводимости.

Лемма 1. Вывод ?;У>X имеет место, е. и т. е. для некоторого терма Y?У имеет место вывод ?;{Y}>X.

Благодаря этой лемме при доказательстве свойств дефинициальной логики достаточно рассматривать выводы лишь из одноэлементного множества термов У. В дальнейшем вместо ?;{Y}>X мы будем использовать запись ?;Y>X.

В следующей теореме утверждается, что правило введения определений приводит лишь к консервативным расширениям дефинициальной логики.

Теорема 1. (о консервативности определений) Если для множества определений ? и термов X, Y?L(?) не верно, что имеет место вывод ?;X>Y, то для любого нового определения Dx1…xn=defT вывод ?U{Dx1…xn=def T};X>Y также не будет иметь места.

Параграф второй - «Функциональность». Дефинициальная логика обладает очень важным свойством, которое позволяет использовать ее для представления разннобразных функций. В специальной литературе оно получило название свойства ромба.

Теорема 2. Дефинициальная логика обладает свойством ромба. Если имеют место выводы ?;X>Y и ?;X>Z, то существует такой терм U, что имеют место выводы ?;Y>U и ?;Z>U.

В метаязыке, говоря о термах дефинициальной логики, мы будем различать два вида равенства. Первый из них - это графическое тождество термов. Второй - равенство с точностью до принятых определений.

Дефинициальное равенство термов. Два терма U, V?L(?) дефинициально равны (U=?V), если и только если существует такая последовательность термов <X0,…,Xn>, что n>0, X0?U, Xn?V, и для всякого i<n либо Xi?Xi+1, либо терм Xi+1получен по правилу DE из термаXi, либо терм Xiполучен по правилу DE из термаXi+1.

Теорема 3. U=?V, если и только если существует такой терм W, что ?;U>W и ?;V>W.

Редексы и свертки. Если Dx1…xn=defT - определение, то терм вида DY1…Yn будем называть редексом, а терм вида T[Y1/x1,…,Yn/xn] - сверткой данного редекса.

Нормальные формы.

Терм X находится в ?-нормальной форме, если и только если в него не имеет вхождения ни один редекс для определений ?.

Терм Y является ?-нормальной формой терма X, если Y находится в ?-нормальной форме, и ?; X>Y.

Лемма 2.

Если ?; X>Y, ?; X>Z, и термы Y и Z находятся в ?-нормальной форме, то Y?Z.

Если терм X имеет ?-нормальную форму, то она единственна.

Параграф третий - «Комбинаторная логика». Дефинициальная логика теснейшим образом связана с комбинаторной логикой Шейнфинкеля-Карри Барендрегт Х. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика. М.: Мир, 1985. 606с., Шейнфинкель М.И. О кирпичах математической логики // Логические исследования. Вып.15. М.: Наука. С., Curry H.B., Feys R. Combinatory Logic. V.1. Amsterdam, 1958. 417 p. и л-исчислением Чёрча Church A. The Calculi of Lambda-Conversion // Annals of Mathematical Studies. 1941, №6. 82 p..

Исходные символы языка:

x, y, z, … - переменные;

K, S - константы;

), ( - скобки.

Термы:

Всякая переменная есть терм;

K и S - термы;

Если X и Y - термы, то (XY) - терм;

Ничто другое термом не является.

Термы-переменные и термы-константы будем называть атомарными термами. Терм, составленный лишь из констант K и S, будем называть комбинатором и выделять в тексте жирным шрифтом. При опускании в термах скобок предполагается их ассоциация влево. В комбинаторной логике изучают не термы сами по себе, а отношение редукции между ними, которое мы будем представлять посредством «?».

Редукции:

Если X и Y - термы, то X ?Y - редукция;

Ничто другое редукцией не является.

Аксиомы:

CA.1X ? X

CA.2KXY ? X

CA.3SXYZ ? XZ(YZ)

Правила вывода:

CR.1 X?Y> XZ?YZ

CR.2 X?Y>ZX?ZY

CR.3 X?Y,Y?Z>X?Z

Иногда комбинаторную логику формулируют в терминах отношения конверсии, используя для его обозначения символ равенства «=». Для этого достаточно везде заменить символ «?» на «=» и добавить еще одно правило вывода:

CR.4 X=Y>Y=X

Последовательность редукций <R1,…,Rn> называется доказательством, если для любого i?n редукция Ri либо является аксиомой, либо получена из предшествующих редукций последовательности по одному из правил вывода. В этом случае редукция Rn называется доказуемой. В качестве утверждения о существовании доказательства редукции R будем использовать запись CL|-R.

Функциональная абстракция. Пусть x - переменная, а T - терм. Обозначим посредством [x].T терм, полученный в результате применения следующего алгоритма:

[x].x ? SKK

[x].T ? KT если T не содержит вхождений переменной x

[x].Tx ? T если T не содержит вхождений переменной x

[x].XY ? S([x].X)([x].Y) если ни один из предшествующих пунктов не применим

Определим терм [x1,.., xn].T с помощью рекурсии [x1,..,xn].T=[x1].([x2,.., xn].T). Будем говорить, что терм [x1,…,xn].T получен из терма T посредством функциональной абстракции относительно переменных x1,...,xn.

Лемма 3.

Если FV(T){x1,…,xn}, то терм [x1,.., xn].T не содержит переменных, т.е. является комбинатором.

CL|- X?Y>CL|- X[Z1/x1,…,Zn/xn]?Y[Z1/x1,…,Zn/xn]

CL|- ([x1,…,xn].T)x1…xn?T

CL|- ([x1,…,xn].T)Y1…Yn?T[Y1/x1,…,Yn/xn].

Параграф четвертый - «О погружении комбинаторной логики в дефинициальную». Свойства отношения выводимости и дефинициального равенства изменяются в зависимости от того, какие определения и какой язык мы выбираем. Поэтому все теоремы о свойствах дефиницальной логики релятивизированы относительно множества принятых определений ?.

Функция перевода ц термов дефинициальной логики в термы комбинаторной определяется следующим образом:

ц(x) ? x x - переменная

ц(XY) ? ц(X)ц(Y)

ц(D) ? [x1,..,xn].ц(T) D - константа, введенная посредством

определения Dx1…xn =def T??

Лемма 4. Если в дефинициальной логике из терма X выводим терм Y, то в комбинаторной логике доказуема редукция ц(X)?ц(Y).

Лемма 5. Если {Kxy=defx, Sxyz=def((xz)(yz))}?, то ц(K) ? K и ц(S) ? S.

Теорема 4. Комбинаторная логика рекурсивно вложима в дефинициальную при условии {Kxy=defx, Sxyz=def((xz)(yz))}?.

Теорема 5. Комбинаторная логика рекурсивно эквивалентна дефинициальной логике в языке L(?), где ?={Kxy=defx, Sxyz=def((xz)(yz))}.

Параграф пятый - «Неподвижные точки». Одной их стандартных задач арифметики является решение уравнений вида f(x)=0. Оно имеет в точности те же корни, что и уравнение f(x)+x=x. Обозначим f(x)+x посредством g(x). Задача решения исходного уравнения f(x)=0 равносильна решению уравнения g(x)=x, т.е. нахождению таких x, при которых значение функции g(x) совпадает со значением ее аргумента. Отсюда и появился термин неподвижная точка. Задачи, связанные с нахождением неподвижных точек, возникают не только в арифметике, но и во многих других разделах математики.

Логика дефинициальной дедукции вслед за л-исчислением Чёрча и комбинаторной логикой обладает свойством, имеющим непосредственное отношение к существованию неподвижных точек, т.е. решению определенного вида уравнений.

Теорема 6. (о неподвижных точках). Пусть Axy=defy(xxy)??. Тогда для всякого терма F?L(?) существует такой терм X?L(?), что имеет место вывод ?; X>FX.

Поскольку из выводимости ?; X>Y следует дефинициальное равенство термов X и Y, то теорема 6 гласит, что если среди определений языка содержится Axy=defy(xxy), то для всякого терма F существует такой терм X, что термы X и (FX) дефинициально равны, т.е. неразличимы с точностью до принятых определений. Так как, согласно теореме 1, никаких ограничений на добавление новых определений нет, при необходимости мы всегда можем расширить язык определением Axy=defy(xxy).

Следствие. Пусть Axy=defy(xxy)??. Тогда для всякого терма С?L(?) существует такой терм F?L(?U{Gyx1…xn=defC}), что для любых термов T1,…,Tn?L(?U{Gyx1…xn=defC}) имеет место вывод ?U{Gyx1…xn=defC};FT1…Tn>C[F/y,T1/x1,…,Tn/xn].

Если в теореме 6 терм F, для которого строилась неподвижная точка X, играл роль некоторого “черного ящика”, то смысл следствия заключается в том, что свойства неподвижных точек могут зависеть, в том числе, и от внутренней структуры термов. Благодаря этому мы можем расширить дефинициальную логику новым видом определений, позволяющим вводить в язык новые константы путем сопоставления им контекста, в котором они же и встречаются. Это прямо нарушает обычные требования к правильным определениям в логике. Если определяемый термин встречается не только в дефиниендуме, но и в дефиниенсе, то это считается ошибкой порочного круга. Допускается лишь весьма ограниченный класс определений, в которых нарушается данный запрет. Они носят название рекурсивных определений. В нашем случае никаких ограничений нет, и определения через порочный круг являются столь же законными, как и обычные. Мы будем их называть определениями через неподвижные точки.

Определения через неподвижные точки. Если T - терм, FV(T)?{y,x1,…,xn}, n?0 и D - константа, то Dx1…xn=dfpT[D/y] - определение через неподвижную точку.

Правило введения определений через неподвижные точки. Если имеется множество определений ? терм T и константа D, удовлетворяющие ограничениям D?Term(Const), D?Const, и FV(T){y,x1,…,xn}, то мы можем добавить к множеству ? новое определение Dx1…xn =dfp T[D/y].

Очевидно, что если переменная y не имеет вхождений в терм T, определение через неподвижную точку совпадает с обычным определением.

Пара L=<Term(Const),?> называется языком (с определениями через неподвижную точку), если и только если существует такая последовательность языковых структур <S0,…,Sn>, что n?0, S0=<Term(Const0),Ш>, Sn=<Term(Const),?> и для всякого 0?i<n языковая структура Si+1 является расширением языковой структуры Si по правилу DI или DFI.

Правило замены (для определений через неподвижную точку). Если X{DY1…Yn} - терм языка L(?), с выделенным вхождением терма DY1…Yn, где Dx1…xn=dfpT[D/y]??, то X{T[D/y,Y1/x1,…,Yn/xn]} есть результат замены выделенного вхождения DY1…Yn на T[D/y,Y1/x1,…,Yn/xn].

Теорема 7. (о консервативности определений через неподвижную точку). Если для множества определений ? и термов X, Y?L(?) не верно, что имеет место вывод ?;X>Y, то для любого нового определения Dx1…xn=dfpT[D/y] вывод ?U{Dx1…xn=dfpT[D/y]};X>Y также не будет иметь места.

Определения через неподвижную точку не расширяют дедуктивных возможностей дефинициальной логики, так как всегда могут быть заменены обычными определениями.

Интерес представляют логико-философские следствия, которые можно отсюда извлечь. Очень часто, объясняя необходимость существования неопределяемых исходных терминов, ссылаются на то, что в силу конечности множества используемых понятий все термины определить нельзя и во избежание порочного круга рано или поздно этот процесс приходится остановить. Так якобы и появляются неопределяемые термины, и ничего с этим нельзя поделать. Оказывается, ссылка на порочный круг некорректна. Введение новых терминов как решений языковых уравнений, если перевести это на обычный язык, означает определение новых терминов посредством множества контекстов их употребления. Из теоремы 6 и ее следствия вытекает, что эти решения всегда существуют, и корректным логическим инструментом введения новых терминов являются определения через неподвижные точки.

В развитие темы неподвижных точек заметим, что помимо решения отдельных уравнений, стандартной задачей арифметики является также нахождение решений системы уравнений:

f1(x1,...,xn) = 0

. . . . . . . . . . .

fn(x1,...,xn) = 0

Эту задачу можно свести к задаче о нахождения множественных неподвижных точек для системы уравнений:

f1(x1,...,xn)+x1 = x1

. . . . . . . . . . .

fn(x1,...,xn)+ xn = xn

Теорема 8. ( о множественных неподвижных точках) Для всякого множества определений ? и термов F1,…,Fn?L(?) существует такое множество определений И и термы X1,…, Xn?L(И), что ?И и имеют место выводы ?;X1>(F1X1…Xn),…, ?;Xn>(FnX1…Xn).

Следствие. Для всяких термов С1,…,Cm?L(?) и И=?U{G1y1…ymx1…xn=defC1,…, Gmy1…ymx1…xn=defCm, Ryx1…xm=dfpy(Rx1x1…xm)…(Rxmx1…xm)} существуют такие термы F1,…,Fm?L(И), что для любых термов T1,…,Tn?L(И) имеет место вывод И;FiT1…Tn>Ci[F1/y1,…,Fm/ym,T1/x1,…,Tn/xn].

Отсюда вытекает возможность принятия множественных определений через неподвижные точки. В арифметике аналогом этого является одновременное определение нескольких функций посредством взаимной рекурсии.

Множественные определения через неподвижные точки. Если T1,…,Tm - термы, FV(Ti){y1,…,ym,x1,…,xn}, m?1, n?0, и D1,…,Dm - константы, то

D1x1…xn=dmpT1[D1/y1,…, Dm/ym]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dmx1…xn=dmpTm[D1/y1,…, Dm/ym]

является множественным определением через неподвижные точки.

Правило введения определений через множественные неподвижные точки. Если имеется множество определений ? термы T1,…,Tm и константы D1,…,Dm, удовлетворяющие ограничениям T1,…,Tm ?Term(Const), D1,…,Dm?Const, и FV(Ti){y1,…,ym,x1,…,xn}, то мы можем добавить к множеству ? новые определения:

D1x1…xn=dmpT1[D1/y1,…, Dm/ym]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dmx1…xn=dmpTm[D1/y1,…, Dm/ym]

Общий смысл заключается в том, что для определения системы терминов, их не нужно определять в обычном смысле, а достаточно задать контексты их совместного употребления.

Параграф шестой - «Определимость функций». Полезным свойством дефинициальной логики является то, что с ее помощью мы можем представлять различные функции и вычисления с ними.

Пусть дана некоторая функция f:An>B, и мы хотим каким-то образом представить ее в языке дефинициальной логики. Для этого мы должны каждому элементу a?A сопоставить некоторый терм дефинициальной логики [a], и каждому элементу b?B сопоставить терм [b]. При этом необходимо соблюсти условие, что если a1?a2, то термы [a1] и[a2] не должны быть дефинициально равны, т.е. [a1]??[a2].

Дефинициальная определимость. Функция f:An>B определима в языке L(?) дефинициальной логики посредством терма F, если

?a1,…,an?A(?;F[a1]…[an]> [f(a1,…,an)]),

где [f(a1,…,an)] представляет элемент f(a1,…,an)?B. В этом случае будем говорить, что терм F определяет функцию f.

В качестве первого примера покажем, что в языке дефинициальной логики определимы все функции классической логики высказываний. Сначала необходимо выбрать термы, которые будут представлять Истину и Ложь. Для этого примем два определения:

(T x y)=defx

(F x y)=defy

Поскольку термы-константы T (Истина) и F (Ложь) находятся в нормальной форме и отличны друг от друга, все необходимые условия соблюдены, т.е T??F. Для представления базовых функций логики высказываний определим дополнительные константы:

(N x)=def(x F T)

...