Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Колебания и волны

.(1.91)

Из выражения (1.90) следует, что при равенстве нулю момент внешних сил произведение Jщ остается постоянным Jщ = const и изменение момента инерции влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости вращения тела. Этим объясняется известное явление, состоящее в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны либо прижимая их к туловищу, изменяет частоту вращения.

Из полученных выше выражений ясно, что момент инерции является такой же характеристикой свойства инерции макроскопического тела в отношении вращательного движения, как инертная масса материальной точки в отношении поступательного движения. Из выражения (1.88) следует, что момент инерции вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы тела по его объему естественно перейти от суммирования к интегрированию, вводя плотность тела. Если тело однородно, то плотность определяется отношением массы к объему тела:

.(1.92)

Для тела с неравномерно распределенной массой плотность тела в некоторой точке определяется производной

.(1.93)

Момент инерции представим в виде:



,(1.94)

где V -- микроскопический объем, занимаемый точечной массой.

Поскольку твердое тело состоит из большого числа частиц, практически непрерывно заполняющих весь занимаемый телом объем, в выражении (1.94) микроскопический объем можно считать бесконечно малым, в то же время полагая, что точечная масса «размазана» по этому объему. Фактически мы производим сейчас переход от модели точечного распределения масс к модели сплошной среды, какой в действительности и является твердое тело благодаря большой его плотности. Произведенный переход позволяет в формуле (2.94) заменить суммирование по отдельным частицам интегрированием по всему объему тела:

.(1.95)

Рис. Вычисление момента инерции однородного диска

Здесь величины с и r являются функциями точки, например, ее декартовых координат.

Формула (1.95) позволяет вычислять моменты инерции тел любой формы. Вычислим в качестве примера момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.).

Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2рr·b·dr, где b-- толщина диска. Таким образом,

,(1.96)

где R -- радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска р·R2 b, получим:

.(1.97)

Нахождение момента инерции диска в рассмотренном примере облегчалось тем, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции вычислялся относительно оси симметрии тела. В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

J=J0+ma2.(1.98)

Например, момент инерции диска относительно оси О' в соответствии с теоремой Штейнера:



(1.99)

1.10.2 Кинетическая энергия твердого тела при вращении

Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси, которую назовем осью Z (рис.). Линейная скорость точки с массой mi, равна vi = щR, где R, --расстояние точки до оси Z. Для кинетической энергии i-й материальной точки тела получаем выражение:

.

Полная кинетическая энергия тела

.

Поскольку входящая сюда сумма представляет собой момент инерции относительно оси Z, получаем:



(1.100)

Вычислим работу, совершаемую внешней силой при вращении твердого тела. Элемент работы .

Последнее выражение есть момент внешней силы N , таким образом,

.(1.101)

Полная работа может быть вычислена с помощью следующих формул:

.(1.202)

Приведем в заключение формулу, описывающую кинетическую энергию тела, совершающего плоское движение -- поступательное, со скоростью Vc и вращение с частотой щ):

(1.103)

Кинетическая энергия при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью центра инерции тела и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции.

1.11 Релятивистская механика

Механика Ньютона, или, как говорят, классическая механика, основана на принципе относительности Галилея, согласно которому все законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Математически принцип относительности в классической механике выражается с помощью преобразования Галилея -- закона сложения скоростей при переходах от одной инерциальной системы отсчета к другой. Согласно этому закону скорость тела в неподвижной системе отсчета представляет собой сумму скорости тела по отношению к движущейся системе отсчета и скорости самой системы отсчета по отношению к неподвижной. Для всех наблюдаемых движений в природе, скорости которых малы по сравнению со скоростью света, этот закон выполняется с точностью, которая не давала оснований сомневаться в его справедливости вплоть до конца 19-го столетия.

Измерения скорости света, проведенные с большой точностью в конце 19-го века, показали, однако, что закон сложения скоростей Галилея не выполняется для световых лучей. Скорость света, измеренная в движущейся системе координат, оказалась в точности такой же, как и для неподвижной системы отсчета. Таким образом, был установлен экспериментальный факт независимости скорости света от скорости движения источников либо приемников света. Другими словами, было установлено, что скорость света является абсолютной постоянной величиной, равной скорости света в пустоте с. Этот факт невозможно совместить с принципом относительности Галилея.

Возникшее противоречие в классической механике привело А. Эйнштейна к необходимости допустить, что классическая механика справедлива лишь для скоростей малых по сравнению со скоростью света. При скоростях движения, сравнимых со скоростью света, справедлива созданная А. Эйнштейном механика специальной теории относительности, или, как ее называют, релятивистская механика. Если в релятивистской механике скорость света устремить к бесконечности, мы получим механику Ньютона.

Принцип относительности Эйнштейна состоит в том, что не только законы механики, но и вообще все физические законы должны не зависеть от выбранной инерциальной системы отсчета. Поскольку распространение света представляет собой физический процесс, его скорость в пустоте должна быть неизменной в эквивалентных системах координат.

Предположение об абсолютности скорости света приводит к целому ряду следствий, необычных и не наблюдаемых в условиях механики Ньютона. Одно из следствие постоянства скорости света состоит в отказе от абсолютного характера времени, который был привит в механике Ньютона. Нужно теперь допустить, что время течет по-разному в разных системах отсчета -- события, одновременные в одной системе, окажутся неодновременными в другой.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K', движущиеся относительно друг друга. Пусть в темной комнате, движущейся с системой K', вспыхивает лампа. Поскольку скорость света в системе K' равна (как и во всякой системе отсчета) c, то свет достигает обеих противоположных стен комнаты одновременно. Не то будет происходить с точки зрения наблюдателя в системе K. Скорость света в системе K также равна c, но так как стены комнаты движутся по отношению к системе K, то наблюдатель в системе K обнаружит, что свет коснется одной из стен раньше, чем другой, т.е. в системе K эти события являются неодновременными.

Таким образом, в механике Эйнштейна относительны не только свойства пространства, но и свойства времени.

1.11.1 Преобразование Лоренца

Пусть имеются инерциальные системы отсчета K и K', показанные на рис. На рисунке предполагается, что движется система K', в то время как система K неподвижна. С таким же правом можно считать, что неподвижна система K', а система K движется относительно нее со скоростью --V.



Предположим, что происходит какое-то событие. В системе K. оно характеризуется значениями координат и времени x, у, z, t; в системе K'-- значениями координат и времени x', y', z', t'. Найдем формулы связывающие нештрихованные значения со штрихованными. Из однородности пространства и времени следует, что эти формулы должны быть линейными.

При показанном на рис. направлении координатных осей плоскость y' = 0 совпадает с плоскостью y = 0, а плоскость z' = 0 совпадает с плоскостью z = 0. Отсюда вытекает, что, например, координаты y и y' должны обращаться в нуль одновременно, независимо от значений других координат и времени. Это возможно лишь при условии, что

y = б·y',

где вследствие линейности уравнения б _ постоянная величина. Ввиду равноправности систем K и K' обратное преобразование должно иметь вид

y'=б·y

с тем же значением а, что и при прямом преобразовании. Перемножив оба соотношения, найдем, что б2 = 1, откуда б = ±1. Для одинаково направленных осей нужно взять б = +1. В результате находим, что

y =y' или y' = y.(1.104)

Аналогичным образом получается формула

z = z' или z' = z.(1.105)

Из этих формул вытекает, что значения y и z не зависят от x' и t', откуда следует, что значения x' и t' не могут зависеть от y и t; соответственно значения x и t не могут зависеть от y' и z'. Это означает, что x и t являются линейными функциями только x' и t'.

Из рис. следует, что точка O имеет координату x = O в системе K и x' = --Vt' в системе K'. Следовательно, выражение x' + Vt' должно обращаться в нуль одновременно с координатой x (когда x' + Vt' равно нулю, x' = --Vt'). Для этого линейное преобразование должно иметь вид

x = г(x' + Vt'),(1.106)

где г -- константа. Точка O имеет координату x' = 0 в системе K' и x = V·t в системе K. Следовательно, выражение x -- V·t должно обращаться в нуль одновременно с координатой x' (когда x -- V·t = 0, то x =V·t). Для этого нужно, чтобы выполнялось соотношение

x' = г(x _ Vt).(1.107)

В силу равноправности систем K и K' коэффициент г в обоих случаях должен быть один и тот же.

Теперь воспользуемся принципом постоянства скорости света. Начнем отсчет времени в обеих системах с того момента, когда начала координат O и O' совпадают. Предположим, что в момент t = t' = 0 в направлении осей x и x' посылается световой сигнал, который производит вспышку света на экране. Это событие (вспышка) характеризуется в системе K координатой x и временем t, а в системе K'-- координатой x' и временем t', причем

x = ct, x' =ct'.

(скорость c в обоих случаях одна и та же). Подставив эти значения x и x' в формулы, получим соотношения

ct = г(ct' + Vt') = г(c + V)t',

ct' = г(ct _ Vt) = г (c _ V)t.

Перемножив эти соотношения и сократив обе части получившегося равенства на tt', придем к уравнению

c2 = г2(c2 _ V2).

Отсюда

,(1.108)

где в = V/c.(1.109)

Подстановка найденного значения у в (1.106) и (1.107) приводит к формулам

, .(1.110)

Чтобы найти формулы преобразования времени, исключим из формул (1.110) координату x и разрешим получившееся уравнение относительно t. Затем исключим из формул (1.110) координату x' и разрешим получившееся уравнение относительно t'. В результате придем к формулам



, (1.111)

Напишем вместе формулы (1.104), (1.105), (1.110) и (1.111), подразделив их на две группы:

, y =y , z = z', ,(1.112)

, y' = y, z' = z, .(1.113)

Эти формулы называются преобразованиями Лоренца. По формулам (1.112) осуществляется переход от системы K' к системе K', по формулам (1.113)--переход от системы K к системе K'- Вследствие равноправности систем преобразования (1.112) и (1.113) отличаются лишь знаком перед V Это отличие обусловлено тем, что система K' движется относительно системы K со скоростью V, в то время как система K движется относительно системы K' со скоростью -- V.

В преобразованиях Лоренца «перемешаны» координаты и время. Например, время t в системе K определяется не только временем t' в системе K', но также и координатой x'. В этом проявляется взаимосвязь пространства и времени.

В пределе при c _» ? преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Таким образом, различие в течение времени в разных инерциальных системах отсчета обусловлено существованием предельной скорости распространения взаимодействий. При скоростях много меньших скорости света (т. е. при в << 1) преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея. Следовательно, преобразования Галилея сохраняют значение для скоростей, малых по сравнению со скоростью света.

При V > c выражения для x, t, x' и t' в формулах (1.112) и (1.113) становятся мнимыми. В этом проявляется то обстоятельство, что движение со скоростями, большими с, невозможно. Невозможна даже система отсчета, движущаяся со скоростью с, потому что при V = c знаменатели формул для x и t обращаются в нуль.

Преобразованиям Лоренца можно придать симметричный вид, если написать их для x и ct, т. е. для величин одинаковой размерности. В этом случае формулы преобразований выглядят следующим образом:

, y =y , z = z', ,(1.114)

, y' = y, z' = z, .(1.115)

Формулы для x и ct, а также для x' и ct' отличаются друг от друга только перестановкой соответствующих переменных.

1.11.2 Следствия из преобразований Лоренца

Из преобразований Лоренца можно получить следствия, казалось бы, противоречащие нашему повседневному опыту. Это противоречие обусловлено тем, что наш опыт относится к процессам, протекающим со скоростями, весьма малыми по сравнению со скоростью света, и поэтому явления, которые мы сейчас рассмотрим, нами не ощущаются. Однако они с несомненностью присущи миру элементарных частиц, в котором движение со скоростями, близкими к c, представляет собой заурядное явление.

Относительность понятия одновременности.

Рассмотрим инерциальные системы отсчета KА и KВ.



а -- Система KВ движется относительно системы KА вправо; следовательно, KА играет роль системы K, а KВ -- роль системы K', б -- Система Kв движется относительно системы KА влево; это равнозначно тому, что KА движется относительно KВ вправо; следовательно, KА играет роль системы K', а KВ -- роль системы K.

Предположим, что в системе KА в точках с координатами x1А и x2А (x2А > x1А) происходят в момент времени tA два одновременных события. Найдем разность моментов времени t2B и t1B, в которые будут зарегистрированы эти события в системе KB.

Если система KB движется относительно KА вправо (рис.a), то, применяя преобразования Лоренца, KA нужно считать системой K, а KB--системой K' и пользоваться для вычисления моментов времени t1B и t2B формулами (111). В этом случае

,

Соответственно

.

Если же система KB движется относительно КA влево (рис.б), то KА нужно считать системой K', а KB--системой K и пользоваться другой формулой. В этом случае

;.

.

Таким образом, в любой системе, кроме KA, события оказываются неодновременными, причем в одних системах второе событие будет происходить позже первого (t2B > t1B), а в других системах второе событие будет происходить раньше первого (t2B < t1B).

Нужно иметь в виду, что полученный нами результат относится лишь к событиям, причинно не связанным друг с другом (очевидно, что события, происходящие одновременно в разных точках пространства, не могут оказывать воздействия друг на друга). Иначе обстоит дело, если между событиями имеется причинная связь. В этом случае событие-причина во всех системах отсчета предшествует событию_следствию. Рождение элементарной частицы во всех системах отсчета происходит раньше ее распада. Ни в одной из систем «сын не рождается раньше отца».

Длина тел в разных системах отсчета. Сравним длину стержня в инерциальных системах отсчета K и K' (рис.). Предположим, что стержень, расположенный вдоль совпадающих осей x и x' покоится всистеме K'. Тогда определение его длины в этой системе не доставляет хлопот. Нужно приложить к стержню масштабную линейку и определить координату x'1 одного конца стержня, а затем координату x'2 другого конца. Разность координат даст длину стержня 0 в системе K': 0 = x'2 _ x'1.



Стержень покоится в системе K'. Относительно системы K он движется со скоростью v, равной относительной скорости систем V.

В системе K дело обстоит сложнее. Относительно этой системы стержень движется со скоростью v, равной скорости V, с которой система K' движется относительно системы K. (Обозначение V мы будем употреблять только применительно к относительной скорости систем отсчета.) Поскольку стержень движется, нужно произвести одновременный отсчет координат его концов x1 и x2 в некоторый момент времени t. Разность координат даст длину стержня в системе K:

= x2 _ x1.

Для сопоставления длин и 0 нужно взять ту из формул преобразований Лоренца, которая связывает координаты x, x' и время t системы K, т. е. первую из формул (113). Подстановка в нее значений координат и времени приводит к выражениям

.

Отсюда

.

(мы подставили вместо в его значение). Заменив разности координат длинами стержня, а относительную скорость V систем K и K' равной ей скоростью стержня v, с которой он движется в системе K, придем к формуле



.

Таким образом, длина движущегося стержня оказывается меньше той, которой обладает стержень в состоянии покоя. Аналогичный эффект наблюдается для тел любой формы: в направлении движения линейные размеры тела сокращаются тем больше, чем больше скорость движения. Это явление называется лоренцевым (или фицджеральдовым) сокращением. Поперечные размеры тела не изменяются. В результате, например, шар принимает форму эллипсоида, сплющенного в направлении движения. Можно показать, что зрительно этот эллипсоид будет восприниматься в виде шара. Это объясняется искажением зрительного восприятия движущихся предметов, вызванным неодинаковостью времен, которые затрачивает свет на прохождение пути от различно удаленных точек предмета до глаза. Искажение зрительного восприятия приводит к тому, что движущийся шар воспринимается глазом как эллипсоид, вытянутый в направлении движения. Оказывается, что изменение формы, обусловленное лоренцевым сокращением, в точности компенсируется искажением зрительного восприятия.

Промежуток времени между событиями. Пусть в системе K' в одной и той же точке с координатой x' происходят в моменты времени t'1 и t'2 два каких-то события. Это могут быть, например, рождение элементарной частицы и ее последующий распад. В системе K' эти события разделены промежутком времени

t' = t'2 _ t'1.

Найдем промежуток времени t между событиями в системе K, относительно которой система K' движется со скоростью V. Для этого определим в системе K моменты времени t1 и t2, соответствующие моментам t'1 и t'2 и образуем их разность:

t = t2 -- t1.

Подстановка в нее значений координаты и моментов времени приводит к выражениям

.

Отсюда .

Если события происходят с одной и той же частицей, покоящейся в системе K', то t' = t'2 --t'1 представляет собой промежуток времени, измеренный по часам, неподвижным относительно частицы и движущимся вместе с ней относительно системы K со скоростью v, равной V (напомним, что буквой V мы обозначаем только относительную скорость систем; скорости частиц и часов мы будем обозначать буквой v). Время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела и обычно обозначается буквой ф. Следовательно, t' = ф. Величина t == t2 -- t1 представляет собой промежуток времени между теми же событиями, измеренный по часам системы K, относительно которой частица (вместе со своими часами) движется со скоростью v. С учетом сказанного .

Из полученной формулы следует, что собственное время меньше времени, отсчитанного по часам, движущимся относительно тела (очевидно, что часы, неподвижные в системе K, движутся относительно частицы со скоростью --v). В какой бы системе отсчета не рассматривалось движение частицы, промежуток собственного времени измеряется по часам системы, в которой частица покоится. Отсюда следует, что промежуток собственного времени является инвариантом, т. е. величиной, имеющей одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. С точки зрения наблюдателя, «живущего» в системе K, t есть промежуток времени между событиями, измеренный по неподвижным часам, а ф-- промежуток времени, измеренный по часам, движущимся со скоростью v. Поскольку ф < t, можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы. Подтверждением этого служит следующее явление. В составе космического излучения имеются рождающиеся на высоте 20--30 км нестабильные частицы, называемые мюонами. Они распадаются на электрон (или позитрон) и два нейтрино. Собственное время жизни мюонов (т. е. время жизни, измеренное в системе, в которой они неподвижны) составляет в среднем примерно 2 мкс. Казалось бы, что даже двигаясь со скоростью, очень мало отличающейся от c, они могут пройти лишь путь, равный 3·108·2·10_6 м. Однако, как показывают измерения, они успевают в значительном количестве достигнуть земной поверхности. Это объясняется тем, что мюоны движутся со скоростью, близкой к c. Поэтому их время жизни, отсчитанное по часам, неподвижным относительно Земли, оказывается значительно большим, чем собственное время жизни этих частиц. Следовательно, не удивительно, что экспериментатор наблюдает пробег мюонов, значительно превышающий 600 м. Для наблюдателя, движущегося вместе с мюонами, расстояние до поверхности Земли сокращается до 600 м, поэтому мюоны успевают пролететь это расстояние за 2 мкс.

1.11.3 Интервал

В обычном пространстве расстояние между двумя точками с координатами xi, у1, z1 и x2, у2, z2. определяется выражением

,

где x = x2 _ x1 и т. д. Это расстояние не зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантом. При переходе к другой координатной системе изменяются, вообще говоря, величины x, y и z, однако эти изменения таковы, что расстояние остается одним и тем же.

Казалось бы, что расстояние (или, как принято говорить, интервал) между двумя мировыми точками в четырехмерном пространстве-времени должно определяться аналогичным выражением

,

где t = t2 _ t1 и т. д. Однако это выражение непригодно в качестве интервала, поскольку оно не является инвариантом -- при переходе к другой инерциальной системе отсчета числовое значение этого выражения изменяется. Инвариантным, как мы покажем, является выражение

,

которое называют интервалом между событиями. Величина s является аналогом расстояния между точками в обычном пространстве.

Причина того, что интервал определяется не выражением

,



а выражением

,

заключается в том, что, как говорят, метрика пространства-времени отличается от метрики обычного трехмерного пространства. В обычном пространстве справедлива евклидова геометрия, вследствие чего его называют евклидовым. Качественное различие между временем и пространством приводит к тому, что в выражение для интервала квадрат временной координаты и квадраты пространственных координат входят с разными знаками. Пространство, в котором расстояние между точками определяется выражением вида , называется псевдоевклидовым. Его можно написать в виде

,

где -- расстояние между точками обычного пространства, в которых произошли данные события.

Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда отношение /t дает скорость частицы v. Поэтому, вынеся из-под корня ct, получим, что

.

Мы получили выражение . Оно равно ф -- промежутку собственного времени частицы между событиями. Таким образом, мы приходим к соотношению

s = c·ф.

Поскольку c -- константа, а ф--инвариант, интервал s также оказывается инвариантом. Убедиться в инвариантности интервала можно еще одним способом……..

1.11.4 Преобразование и сложение скоростей

Компоненты скорости частицы v в системе K определяются выражениями

В системе K' компоненты скорости v той же частицы равны

Найдем формулы, связывающие нештрихованные компоненты скорости со штрихованными.

=

Окончательно получим

Аналогично

1.11.5 Релятивистский импульс

Выражение, обеспечивающее инвариантность закона сохранения импульса, может быть получено, если вместо времени t подставить собственное время ф.

Тогда .

1.11.6 Релятивистское выражение для энергии

В релятивистской механике справедливым остается выражение

.

Это означает, что . Откуда видно, что сила не является инвариантной величиной. Кроме того, сила F и ускорение a не коллениарны.

Легко получить выражение для кинетической энергии. Поскольку

dEk = dA и dEk = v·p·dt, dA = F·ds

.

Отсюда следует, что E0 = mc2 является энергией покоя. Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение:

Взаимосвязь массы и энергии. Границы применимости механики Ньютона.



Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика

В отличие от механики, которая изучает движение отдельных частиц или тел под действием различных сил, молекулярная физика имеет дело со свойствами вещества. Как показывает опыт, всякое вещество состоит из большого числа отдельных микроскопических частиц -- атомов и молекул, которые взаимодействуют между собой и находятся в непрестанном движении. Такая система частиц называется макроскопической.

Можно выделить три наиболее характерных состояния, в которых может находиться вещество, -- твердое, жидкое и газообразное. Свойство тела находиться в одном из этих состояний есть его макроскопическое свойство, не зависящее от свойств отдельных частиц, образующих тело. Например, железо может существовать в кристаллическом состоянии (в виде твердого тела) или пребывать в расплавленном состоянии (в виде жидкости), или испаряться в виде газа, хотя при переходе из одного состояния в другое с самими атомами железа не происходит никаких изменений. Макроскопическими являются также свойства вещества по отношению к внешним воздействиям, например, сжимаемость. Другими словами, макроскопические свойства -- это свойства тела, рассматриваемые без учета его внутренней структуры. Задача молекулярной физики -- объяснение и изучение макроскопических свойств вещества исходя из известных микроскопических взаимодействий между отдельными составляющими его частицами. Простейшее взаимодействие между частицами -- обычное механическое столкновение, но взаимодействия могут быть и более сложными.

С этой точки зрения рассмотрим существование твердого, жидкого и газообразного состояний. Из механики известно, что положение частицы в пространстве характеризуется ее потенциальной энергией U(r), минимум которой отвечает положению устойчивого равновесия. Величина ее кинетической энергии T служит мерой движения частицы. Таким образом, в зависимости от соотношения между величинами потенциальной и кинетической энергий частица будет или «привязана» к определенной области пространства, или совершать свободное движение.

На рис. изображена характерная кривая потенциальной энергии частицы во внешнем поле центра притяжения, имеющая глубокий минимум в точке r0. Эта кривая отвечает взаимодействию частицы с полем, которое приводит к притяжению частицы на больших расстояниях (r > r0) и к отталкиванию на малых (r < r0). Двумя прямыми изображены возможные значения полной энергии частицы E = T + U . В первом случае |U| >> T, и частица не может покинуть «потенциальную яму» -- эта ситуация отвечает случаю твердого тела. Во втором случае, когда T >> |U|, частица свободно покидает яму -- имеет место случай газа частиц. Промежуточный случай отвечает жидкости.

В макроскопической системе все частицы одинаковы, ни одна из них не является выделенной, и все сказанное может относиться к любой из них. С другой стороны, и потенциальная, и кинетическая энергии частиц в большой системе имеют не произвольные значения, а зависят, благодаря взаимодействию между частицами, от энергии всей системы в целом, которая, в свою очередь, определяется внешними условиями. В результате наибольшая часть частиц в макроскопической системе имеет близкие значения как потенциальной, так и кинетической энергии, поэтому вся система частиц и оказывается в одном из макроскопических состояний.

Таким образом, система большого числа частиц, образующая макроскопическое тело; благодаря взаимодействию между частицами, обнаруживает качественно новые свойства по сравнению с механической системой конечного числа частиц. Поскольку в формировании этих свойств участвуют одновременно все частицы большой системы, для их описания уже недостаточно знания характеристик какой_либо отдельной частицы. Макроскопические свойства тела определяются суммарными и усредненными по большому числу частиц величинами. Такой способ описания является статистическим, а вычисляемые макроскопические характеристики системы называются термодинамическими переменными. Задание термодинамических переменных полностью определяет состояние системы. Пользуясь термодинамическими переменными, можно изучать процессы передачи и преобразования энергии в физических объектах, не обращаясь к микроскопической картине. Статистический и термодинамический методы -- основа для изучения явлений и процессов, происходящих в системах, состоящих из большого числа частиц.

Из всего сказанного следует: несмотря на то что каждая отдельная частица подчиняется законам механики, поведение системы большого числа частиц уже не может быть описано законами механики, а подчиняется законам статистической физики и термодинамики. Возникает вопрос: насколько большим должно быть число частиц в системе, чтобы ее описание с помощью законов механики становилось уже недостаточным и система частиц проявляла бы макроскопические свойства. Для ответа на этот вопрос следует вспомнить, что говорить о существовании каких-либо физических свойств вещества можно лишь тогда, когда существует какой-либо способ их измерения. Иными словами, необходимо указать прибор, с помощью которого можно было бы произвести измерения соответствующих свойств. Процесс измерения представляет собой взаимодействие прибора с макроскопическим телом, и поэтому в процессе измерения все параметры системы изменяются на величину порядка энергии этого взаимодействия. Очевидно, что о макроскопических свойствах системы частиц можно говорить лишь в том случае, если взаимодействие мало изменяет состояние всей системы, так что средние значения всех физических величин в системе при измерении остаются практически неизменными. Если это требование выполняется, систему частиц можно считать большой. При этом точное значение числа частиц в системе не имеет никакого значения точно так же, как и характеристики отдельной частицы. Важно только, что это число частиц велико в указанном выше смысле. В реальных макроскопических телах числа частиц огромны -- они составляют величину порядка 1020 частиц на 1 см3.

2.1 Основные представления кинетической теории

2.1.1 Теплота как форма энергии. Температура

Беспорядочное движение микроскопических частиц связано с содержанием в веществе теплоты -- особой формы энергии. Эта связь достаточно очевидна на примере зависимости броуновского движения от количества сообщенного телу тепла.

Макроскопическая характеристика теплового движения -- температура. Температура есть мера содержащегося в теле тепла. Она же определяет направление перехода тепла -- от более нагретого тела к менее нагретому. Если температуры тел одинаковы, то передачи тепла от одного тела к другому не происходит.

Рассматривая теплоту как форму энергии, необходимо связать ее с кинетической энергией частиц. Чем больше нагрето тело, тем больше и кинетическая энергия его частиц. Таким образом, кинетическую энергию движения частиц так же, как и температуру, можно рассматривать как меру теплового движения. Естественно предположить, что обе эти величины связаны между собой. На существование такой связи указывает, например, аналогия между переходом теплоты от одного тела к другому и передачей кинетической энергии при столкновении упругих тел.

Следует помнить, что температура -- это макроскопическая характеристика тела, т. е. термодинамическая переменная, в то время как кинетическая энергия характеризует отдельную частицу. Поэтому температура должна быть связана со средней кинетической энергией, приходящейся на одну частицу в системе большого числа частиц. Среднюю кинетическую энергию частиц в системе, состоящей из N частиц, обозначим через <Ek> и определим ее следующим образом:

.(2.1)

Если все частицы одинаковы, массу частицы можно вынести из-под знака суммы:

.(2.2)

Будем считать что температура T ~ 2<Ek>/3 = m<v2>/3.

Для того чтобы выразить температуру в градусах, нужно ввести коэффициент пропорциональности, показывающий, сколько джоулей соответствует одному градусу. Он называется постоянной Больцмана и, как показывают измерения, равен 1,38·10_23 Дж/К, где К означает градус Кельвина -- единицу измерения температуры, используемую в физической шкале. Тогда соотношение между температурой в градусах и энергией в джоулях запишется в виде:

или . (2.3)



Принятая в физике шкала температур называется абсолютной шкалой, или шкалой Кельвина. В этой шкале температура замерзания воды, то есть 0°С, соответствует 273,15 градусов Кельвина, что обозначается 273,15 К. Согласно выражению (2.3) при T = 0 всякое тепловое движение частиц в веществе прекращается. Эта температура имеет название абсолютного нуля.

Подчеркнем статистический характер определения температуры, поскольку она связана со средней энергией частиц. Поэтому можно говорить лишь о температуре системы достаточно большого числа частиц -- макроскопической системы, и нельзя говорить о температуре одной или, допустим, десяти частиц. В процессе измерения температуры происходит обмен теплом между системой частиц -- объектом измерения и измерительным прибором -- термометром. Понятие температуры тела приобретает смысл в том случае, если обмен теплом между телом и прибором в процессе измерения температуры мало изменяет состояние тела.

Для характеристики средней скорости движения частиц в системе обычно используется величина, называемая среднеквадратичной, или тепловой скоростью частиц. Средние тепловые скорости частиц существенно зависят от массы частицы

.(2.4)

Для молекулы водорода H2 mH2 = 2·mH, а для молекулы кислорода mO2 = 32·mH, и отношение тепловых скоростей есть

Следовательно, молекулы кислорода движутся в 4 раза медленней. Порядок величины тепловой скорости атомов при T = 300 К, что соответствует комнатной температуре, составляет 103 м/с. Тепловые скорости броуновских частиц составляют по сравнению с ней ничтожные величины.

2.1.2 Давление идеального газа

Самой простой моделью макроскопического вещества является газ частиц. Газ представляет собой достаточно разреженную систему частиц. Частицы в газе находятся на значительном удалении друг от друга, совершая свободное движение и время от времени сталкиваясь друг с другом. Поэтому в первом приближении при рассмотрении газа можно не учитывать размеры и форму молекул, т. е. считать частицы материальными точками. По этой же причине можно пренебречь взаимодействием частиц на расстоянии, и к столкновениям частиц между собой и со стенками сосуда применять законы соударений упругих шаров. Такой газ называется идеальным. Модель идеального газа позволяет описать существенные черты поведения реального вещества.

Пусть в прямоугольном сосуде находится N молекул идеального газ». Стенки сосуда будем считать «идеально, отражающими». Примем, что при отражении от стенки скорость молекулы не меняется по величине, но меняется лишь по направлению. Если молекула, компонента скорости которой в направлении оси x равна vx, ударяется о стенку, то после отражения компонента ее скорости в этом направлении будет _vx.

Для изменения импульса в этом же направлении имеем px = 2·m·vx.

Долетев до противоположной стенки, молекула отразится от нее и снова ударится о первую стенку. Время между ударами составит Дt = 2·/vx, а число ударов за 1 с будет . За 1 с молекула сообщит стенке импульс с компонентой вдоль оси x

.

Но импульс, передаваемый за единицу времени стенке, равен силе, с которой данная молекула действует на стенку. Таким образом, i-я молекула действует на стенку с силой, компонента которой в направлении оси x Fix = mv2ix/.

Компонента силы, действующей вдоль оси x со стороны всех частиц, находящихся в сосуде, составит

.

Перепишем это соотношение в виде

.

Величина есть средний квадрат компоненты скорости молекулы в направлении оси x. Поэтому . Если эту силу разделить на площадь стенки S, то получим величину давления на стенку:

.(2.5)

Но ·S есть объем сосуда V. Значит:

.

Таким образом, давление газа на стенку оказалось связанным со средним квадратом скорости смещения частиц в направлении нормали к стенке.

Воспользуемся теперь соотношением v2i = v2ix + v2iy + v2iz.

Усредняя его по всем частицам, получим <v2> = <v2x> + <v2y> + <v2z>.

Но все направления в пространстве равноправны, поэтому <v2x> = <v2y> = <v2z> и, следовательно, <v2x> = <v2>/3. Выражение для давления принимает вид

.

Учтем, что величина m<v2>/2 равна средней кинетической энергии поступательного движения молекул <Ek>. Окончательно получим:

.(2.6)



Это соотношение одно из основных в кинетической теории газов.

2.1.3 Уравнение состояния идеального газа

В процессе вывода соотношения (2.6) возникли еще две макроскопические характеристики системы многих частиц -- давление P и объем V . Задание температуры, давления и объема определяет состояние системы частиц (тела). Эти величины называются параметрами состояния.

Давление P, объем V и температура, T не являются независимыми величинами. Соотношение, связывающее эти три параметра, вида f(P, V, T) = 0 называется уравнением состояния. Найдем уравнение состояния идеального газа. Подставляя в соотношение (2.6) выражение (2.3), получим

PV = N·kБ·T.(2.7)

Отметим универсальный характер полученного уравнения: в него не входят никакие величины, характерные для определенного газа, а только числа частиц. Отсюда следует, в частности, что при одинаковых давлении и температуре разные газы, занимающие равные объемы, содержат в них равные числа молекул. Этот закон был установлен ранее опытным путем Авогадро.

Перепишем уравнение состояния в терминах объема, приходящегося на единицу вещества -- моль. Один моль -- это количество вещества в граммах, численно равное его молекулярному весу. Например, 1 моль кислорода содержит 32 г вещества. Удобство этой единицы измерения состоит в том, что по определению в 1 моле любого вещества содержится одинаковое число молекул, называемое числом Авогадро NA . Оно равно 6·1023 молекул. Число молекул в объеме газа можно записать в виде:

N = н·NA,



где v -- число молей данного вещества в указанном объеме. В этих обозначениях уравнение состояния принимает вид:

PV=v·R·T.(2.8)

Величина R = kБNA называется газовой постоянной.Пусть при нагревании газа на 1 К объем, занимаемый 1 молем газа, изменился при неизменном давлении на ДV . Представляя давление газа в виде P = F/S, а объем сосуда в виде ДV = , видим, что величина PДV = FДh есть работа, произведенная газом при его расширении. Таким образом, физический смысл газовой постоянной состоит в том, что она численно равна работе, совершенной 1 молем газа при его нагревании на 1 К при постоянном давлении.

2.1.4 Идеальный газ в поле силы тяжести

Каково поведение идеального газа в поле внешней силы? Для определенности в качестве внешней силы возьмем хорошо известную силу тяжести mg. Под действием внешней силы механическая система частиц приобретает импульс и перемещается как целое поступательно в направлении силы. В идеальном газе, находящемся во внешнем поле сил, каждая отдельная частица приобретает импульс в направлении силы, а также соответствующую потенциальную энергию. Однако в газе наряду с упорядоченным движением в направлении действия силы существует хаотическое тепловое движение. В результате конкуренции между этими двумя типами движений возникает неравномерное распределение макроскопических параметров: плотности частиц, давления, температуры по объему, занимаемому газом.



Рассмотрим столб газа сечением S, находящийся при постоянной температуре в поле силы тяжести. Выделим слой газа толщиной dz на высоте z и вычислим давление газа на его основания. Давление слоя газа на верхнее и нижнее основания слоя разное -- оно различается в результате действия силы тяжести. Очевидно, разность давлений равна весу газа, заключенного в слое, отнесенному к единице площади основания столба.

Пусть разность давлений есть dP. Давление газа с ростом высоты уменьшается, поэтому dP равно весу слоя со знаком минус. Вес газа в объеме слоя dV = dz·S равен с·g·dV, где с -- плотность газа, g -- ускорение силы тяжести. Таким образом,

dP = _с·g·dV/S = _с·g·dz.

По определению . Выразим отношение N/V с помощью уравнения состояния (2.7), после чего находим:

.

Интегрируя это соотношение, получим , где P0 -- константа, определяемая пределами интегрирования. Окончательно имеем:



.(2.9)

Здесь P0 -- давление при z = 0. т. е. у основания столба. Аналогично с высотой изменяется и плотность частиц

.(2.10)

Давление и плотность газа распределены по объему газа неоднородно, они принимают максимальные значения у основания столба и убывают с высотой.

Величина, входящая в показатель экспоненты в формулах (2.9) и (2.10), есть потенциальная энергия частицы в поле тяжести U = mgz-Таким образом, распределение молекул в произвольном потенциальном внешнем поле, в котором частицы обладают потенциальной энергией U(r), может быть описано формулой:

.(2.11).

Эта формула называется распределением Больцмана. Здесь n0 -- плотность частиц в точках пространства, для которых потенциальная энергия принята равной нулю.

Согласно распределению Больцмана число частиц, обладающих определенными значениями потенциальной энергии определяется отношением величины потенциальной энергии U к тепловой энергии частицы kБT. Чем больше энергия теплового движения, тем более разупорядочена система частиц, значит, тем более однородно распределены частицы в пространстве. В самом деле, если kБT >> U, , и из формулы (2.11) следует, что n = n0 при любом значении U. В случае kБT << U распределение частиц максимально упорядочено: плотность частиц максимальная состоянии с минимальной потенциальной энергией Umin, в то время как плотность частиц в других состояниях равна нулю.

2.1.5 Распределение Больцмана и вероятность

Распределение Больцмана представляет собой отношение числа частиц, обладающих определенной потенциальной энергией, или, что то же самое, находящихся в некоторой точке силового поля, к полному числу частиц в газе. Тот факт, что та или иная частица оказывается в определенной точке пространства, есть событие случайное, потому что оно является следствием хаотического теплового движения. Поэтому можно утверждать, что распределение Больцмана представляет собой вероятность того, что некоторое число частиц будет иметь заданное значение потенциальной энергии. Рассмотрим основные свойства вероятности. Теория вероятности изучает явления, которые имеют случайный характер. Случайным называется событие, которое нельзя предсказать с определенностью. Этим оно отличается от достоверного события. Пример случайного события -- приход определенной молекулы в заданную точку в результате беспорядочного теплового движения в газе частиц. Пример достоверного события -- приход той же молекулы в заданную точку в результате движения по траектории с заданной скоростью без столкновений. В первом случае появления меченой молекулы в заданной точке можно ожидать с некоторой вероятностью.

Вероятностью P(A) некоторого события A называется частота появления данного события A в общем числе событий A. Ясно, что вероятность есть положительная величина. Из ее определения следует, что 0 <= P <= 1. Если событие достоверно, то P = 1. Если событие не может произойти вообще, то P = 0.

Вероятность сложного события, состоящего из двух независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из независимых событий.

Случайное событие, в частности, может состоять в том, что какая-либо физическая величина имеет определенное, но произвольное значение. Такие величины называются случайными. Случайные величины могут принимать как дискретные, так и непрерывные значения.

Если случайная физическая величина принимает непрерывный ряд значений x, то вероятность dP того, что величина x находится в бесконечно малом промежутке между x и x + dx, равна . Функция W(x) называется плотностью вероятности.

Очевидно, .

Предположим, что случайная величина принимает ряд значений x1, x2,..., xN, с вероятностями P1, P2,..., РN. Тогда ее среднее значение определяется соотношением

.(2.12)

Если x меняется непрерывно и плотность вероятности есть W(x), то среднее значение

.(2.13)

Аналогично можно определить средние значения и других величин: среднего квадратичного значения случайной величины

;(2.14)

среднего значения произвольной функции случайной величины



(2.15)

и т. д.

Зная, что плотность вещества по определению , формулу

можно записать в виде:

.(2.16).

Здесь dNV -- число частиц, заключенных в элементе объема dV и имеющих заданное значение потенциальной энергии U(r). Полное число частиц в газе можно найти, суммируя по всему объему, занятому газом:

.(2.17)

Таким образом, в газе, находящемся во внешнем поле, характеризуемом потенциальной энергией U(r), устанавливается неравномерное распределение частиц в пространстве. Число частиц максимально в состоянии с минимальной потенциальной энергией и убывает вдали от этой точки. Эта неравномерность обусловлена случайным блужданием частиц в координатном пространстве, которое является следствием теплового движения в газе при конечной температуре.

2.1.6 Распределение молекул по скоростям

Аналогичная неравномерность имеет место и в распределении частиц в газе по скоростям. Случайный обмен импульсами и энергиями частиц при столкновениях приводит к некоторому разбросу кинетических энергий и скоростей молекул вокруг их средних значений, соответствующих установившейся в газе температуре. Случайные изменения скоростей молекул в результате столкновений можно рассматривать как случайное блуждание частиц, но не в реальном координатном пространстве, а в пространстве скоростей, осями в котором являются скорости частиц vx, vу, vz (рис.).

Поэтому все сказанное о хаотическом тепловом движении в реальном пространстве применимо и к распределению частиц по скоростям. В частности, можно записать формулу для числа частиц, имеющих значение компоненты скорости vz в интервале между значениями vz и vz + dz в виде, аналогичном (2.16):

,

где теперь вместо потенциальной энергии частицы находится та часть ее кинетической анергии, которое связана с движением вдоль оси Z, а величина A -- некоторая размерная константа.

Поскольку движения в направлениях x, y и z равноправны, распределения частиц со скоростями в этих направлениях описываются такими же выражениями. Тот факт, что частица обладает каким-либо значением скорости v, представляет собой случайное событие, состоящее из трех независимых случайных событий -- определенных значений компонент скоростей vх, vу, vz. Поэтому число частиц, обладающих заданным значением полной скорости v, определяется произведением вероятностей указанных случайных событий

.(2.18)

Окончательно распределение частиц в газе по скоростям имеет вид:

.(2.19)

Это выражение называется распределением Максвелла. Можно получить выражение для числа частиц в газе, обладающих заданной величиной скорости. Для этого формулу (2.19) нужно просуммировать по всем частицам, различающимся компонентами скорости vх, vу, vz, но обладающими одинаковой абсолютной величиной v. Это суммирование можно произвести так.

Рассмотрим произведение dvхdvуdvz, входящее в формулу (2.19). Оно представляет собой бесконечно малый элемент объема в пространстве скоростей (рис.)

Состояния с различными проекциями скоростей vх, vу, vz, но с одинаковой величиной v будут заполнять шаровой слой, объем которого равен 4рv2dv. Заменив, таким образом, в формуле (2.19) элемент объема на элемент шарового слоя, найдем распределение Максвелла по абсолютным величинам скоростей:

.(2.20)

Функция , определяемая выражением (2.20), представляет собой плотность вероятности того, что частицы имеют заданное значение абсолютной величины скорости. Приравнивая нулю производную от нее по v, можно найти положение максимума этой функции. Графически функция представлена на рис.

Видно, что наиболее вероятная величина скорости в газе -- скорость vm.

.

Она немного отличается от введенной ранее средней тепловой скорости (2.4). Видно также, что вероятность частиц иметь скорость, равную нулю, или, наоборот, иметь бесконечную скорость равна нулю. Следовательно, наибольшее число частиц имеет близкие значения скоростей вблизи скорости vm. Функция распределения Максвелла позволяет вычислить все представляющие физический интерес средние характеристики газа, например, величину средней скорости

,(2.21)

и величину среднеквадратичной скорости:

.

которая была введена ранее. Все эти средние скорости близки друг другу.

2.1.7 Распределение Максвелла-Больцмана

Выражение (2.18) описывает распределение частиц в координатном пространстве в потенциальном поле, выражение (2.19) -- распределение частиц газа по скоростям. Эти распределения являются независимыми. Применяя теорему об умножении вероятностей независимых событий, можно получить вероятность того, что частица имеет одновременно заданные значения координат и скоростей :

.(2.23)

Здесь mv2/2 +U = E -- полная механическая энергия частицы. Распределение (2.23) называется распределением Больцмана-Максвелла.

2.2 Теория теплоты. Термодинамика идеального газа

2.2.1 Внутренняя энергия идеального газа

Внутренней энергией тела называют часть его полной энергии за вычетом кинетической энергии движения тела как целого и потенциальной энергии тела во внешнем поле. Таким образом, во внутреннюю энергию входят кинетическая энергия поступательного и вращательного движений молекул, потенциальная энергия их взаимодействия, энергия колебательного движения атомов в молекулах, а также энергия различных видов движения частиц в атомах.

В идеальном газе потенциальная энергия взаимодействия молекул пренебрежимо мала и внутренняя энергия равна сумме энергий отдельных молекул

,(2.24)

где Ei -- энергия отдельной молекулы. До сих пор мы пользовались представлением о молекулах как о материальных точках. Кинетическая энергия молекул считалась совпадающей с энергией их поступательного движения, а средняя кинетическая энергия молекулы полагалась равной . Эта энергия распределяется между тремя поступательными степенями свободы.

Ввиду полной беспорядочности движения молекул в газе все направления перемещения молекулы равновероятны. Поэтому на каждую степень свободы поступательного движения приходится в среднем энергия

.

Представление о молекулах как о материальных точках оправдывается только для одноатомных газов. В случае многоатомных газов нужно рассматривать молекулы как сложные системы, способные вращаться как целое, причем атомы в них могут совершать колебания вблизи своих положений равновесия. Общее число степеней свободы молекулы при этом увеличивается.

...