Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Колебания и волны

Изменение потенциальной энергии маятника при его перемещении на расстояние dr можно вычислить как работу силы тяжести на пути dr. При этом работу совершает лишь составляющая силы тяжести вдоль направления движения. Составляющая силы тяжести, нормальная к направлению движения, работу не совершает. Таким образом, dU = mgsin dr.

Изменение полной энергии:

Произведя дифференцирование и разделив это уравнение сначала на dt, а затем на величину mv=mdr/dt, получим уравнение движения маятника в виде:

.(3.1)

Удобно перейти к переменной , пользуясь соотношением dr = d

.(3.2)

Это уравнение довольно сложное, несмотря на свой простой вид. Его можно упростить в случае малых колебаний, когда величина угла колебаний маятника, измеряемая в радианах, мала по сравнению с единицей, << 1. В этом случае можно заменить sin ~ , и уравнение движения принимает вид:



.(3.3)

Решением уравнения (3.3) является функция (в чем можно убедиться при прямой подстановке)

= 0cos(щt+0),(3.4)

где 0-- максимальный угол отклонения маятника, являющийся амплитудой колебаний; щ-- угловая частота колебаний, связанная с периодом колебаний соотношением щ=2/T; 0 -- начальная фаза колебания -- величина, характеризующая угол отклонения маятника (0cos0) в начальный момент его движения (t = 0).

Подставляя выражение (3.4) в уравнение (3.3), найдем, что последнее выполняется при значении угловой частоты:

,(3.5)

называемой собственной частотой колебаний маятника. Таким образом, период колебаний маятника:

.(3.6)

Обратим внимание на то, что период собственных колебаний не зависит ни от амплитуды колебаний маятника, ни от величины колеблющейся массы.



Рассмотрим другой пример малых колебаний вблизи положения равновесия -- колебания массы под действием упругой силы (рис.). Если на конце пружины закреплена масса m и пружина характеризуется жесткостью k, то при смещении массы на расстояние x возникает возвращающая упругая сила F = -kx. Уравнение колебаний массы в этом случае имеет вид:

,(3.7)

аналогичный уравнению (5.3):

.(3.8)

Собственной частотой колебаний массы на пружине является величина:

, (3.9)

а зависимость смещения массы от времени определяется выражением, аналогичным выражению (3.4):

x(t) = xmcos(щ0t+0). (3.10)



Такими же уравнениями колебательного движения описывается равномерное вращение точки по окружности постоянного радиуса. Колебания при этом испытывают координаты точки x(t) и y(t) (рис.):

x(t)=Rcos(щt+),(3.11)

y(t) = Rsin(щt + ) = Rcos(щt+-/2),

где угловая частота щ=v/R определяется постоянной скоростью вращения v. Видно, что координата y определяется той же периодической зависимостью от времени, что и координата x, но только сдвинутой относительно последней на /2.

Все рассмотренные выше примеры имеют общее свойство -- во всех случаях движение может быть описано с помощью всего лишь одной периодически изменяющейся со временем величины. В случае маятника такой величиной является угол отклонения (t), в случае массы на пружине -- величина смещения x(t), в случае движения точки по окружности -- одна из координат x(t) или y(t) (другая может быть выражена через первую с помощью уравнения окружности). В механике о таких движениях говорят как о движениях с одной степенью свободы или одномерных движениях. Таким образом, при одномерном периодическом движении координата, соответствующая определенной степени свободы системы, испытывает колебания.

Материальную точку, совершающую колебания, называют осциллятором (от английского слова oscillation -- колебание). Колебание, которое происходит по закону cos(щt) и характеризуется единственной частотой щ, называют гармоническим (поскольку гармоническое звуковое колебание соответствует одному тону).

Таким образом, рассмотренные выше колебания представляют собой частные случаи свободных колебаний гармонического осциллятора:

, (3.12)

решение которого будем записывать в виде:

x(t)= Acos(щ0t+), (3.13)

здесь A- амплитуда колебаний; щ0 - собственная частота; величина щ0t+-фаза колебания.

Удобство использования представления о гармоническом осцилляторе связано с тем, что сложные колебания системы со многими степенями свободы можно представить в виде набора колебаний отдельных гармонических осцилляторов, соответствующих различным степеням свободы.

Определим энергию гармонического осциллятора. Энергия колебания представляет собой полную энергию механического движения, выраженную через частоту и амплитуду колебания. Координата и скорость частицы, совершающей колебания, x(t)= Acos(щ0t+), v = -Aщ0sin(щ0t+), поэтому кинетическая и потенциальная энергия осциллятора примут вид:

.

Выразим постоянную k с помощью соотношения:

.

Полная энергия осциллятора

.(3.14)

Таким образом, энергия колебаний пропорциональна квадрату собственной частоты и квадрату амплитуды колебаний. Обратим внимание на сходство этого выражения с энергией вращения материальной точки вокруг некоторой оси: T=Jщ2/2, где J - момент инерции точки. Роль момента инерции играет величина mA2.

Комплексные числа

Комплексным числом z называется число вида

z=x+iy,(1)

где x и y -- вещественные числа, i -- мнимая единица (i2=--1). Число x называется вещественной частью комплексного числа z. Символически это записывается в виде x=Rez. Число у называется мнимой частью z (записывается: y=lmz). Число

z*=x--iy.(2)

называется комплексно сопряженным числу x+iy. Вещественному числу x можно сопоставить точку на оси x.



Комплексному числу z можно сопоставить точку на плоскости, имеющую координаты x, y (рис.). Каждая точка плоскости определяет некоторое комплексное число z. Следовательно, комплексное число можно задать с помощью декартовых координат x и y соответствующей точки. Однако то же самое число можно задать с помощью полярных координат с и ц. Между обеими парами координат имеются соотношения

x = с?cosц, y = с?sinц, , ц=arctg(y/x).(3)

Расстояние от начала координат до точки, изображающей число z, называется модулем комплексного числа (обозначается |z|). Очевидно, что

z=.

Число ц называют аргументом комплексного числа z.

Приняв во внимание соотношения (3), можно представить комплексное число в тригонометрической форме:

z=с(cosц+i sinц).

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 считаются равными друг другу, если в отдельности равны их вещественные и мнимые части:



z1=z2, если x1=x2 и y1=y2.

Модули двух равных между собой комплексных чисел одинаковы, а аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным 2р:

с1 = с2, ц1=ц2±2kр.

Из выражений (1) и (2) видно, что в случае, когда z*=z, мнимая часть z есть нуль, т. е. число z оказывается чисто вещественным. Таким образом, условие вещественности числа z можно записать в виде

z* =z.

В математике доказывается соотношение

eiц = соsц +isinц,(4)

которое называется формулой Эйлера. Заменив в этой формуле ц на --ц и учтя, что cos (--ц)=cosц, a sin(_ц) = -- sinц, получим соотношение

e_iц = соsц _ i?sinц.(5)

Сложим выражения (4) и (5) и решим получившееся соотношение относительно cosц. В результате имеем

соsц = 1/2?(eiц +е_iц).

Вычтя (5) из (4), получим, что sinц = (1/2i) (eiц _ e_iц).

С помощью формулы (4) комплексное число можно записать в показательной форме:

z = сe_iц.

Комплексно сопряженное число в показательной форме имеет вид

z* = сe_iц.

При сложении комплексных чисел складываются отдельно их вещественные и мнимые части:

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).

Перемножение комплексных чисел удобно осуществлять, беря эти числа в показательной форме:

z = z1•z2 = с1eiц1?с2eiц2 = с1с2ei(ц1 + ц2)

Модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются:

с=с1?с2, ц=ц1+ц2.

Аналогично осуществляется деление комплексных чисел:

легко получить, что

z•z* = с2.



(квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на его комплексно сопряженное).

3.1.2 Сложение колебаний

Колебания могут складываться и при этом усиливать или гасить друг друга, или изменять траекторию движения тела. Рассмотрим сложение колебаний, совершаемых в одном направлении. Пусть осциллятор совершает два одновременных колебания в одном направлении и одинаковой частоты щ0:

x1=A1cos(щ0t+1) и x2=A2cos(щ0t+2).

При этом суммарное колебание координаты x(t) равно x = x1 + x2. Представим колебания x1 и x2 в виде векторов на плоскости (рис.), модулями которых являются амплитуды колебаний, а фазы колебаний будут служить углами наклона векторов к оси x. При изменении времени векторы x1 и x2, будут равномерно вращаться в плоскости рисунка, однако разность фаз между колебаниями остается неизменной. Из рисунка видно, что вектор x = x1 + x2, представляет собой сумму колебаний x1 и x2. В самом деле, проекции векторов x1, и x2, на ось x соответственно равны A1cos(щ0t+1) и А2cos(щ0t+2), а проекция вектора x равна сумме этих проекций. Результирующее колебание также можно записать в виде: x(t)=x1+x2= = Acos(щ0t+). Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний, т. е. результирующее колебание также гармоническое. Амплитуду результирующего колебания нетрудно найти из рис.

,(3.15)

а новую начальную фазу определить так:

.(3.16)

Из формулы (3.15) следует, что амплитуда результирующего колебания существенно зависит от значения разности фаз начальных колебаний. Если разность фаз 1-2=0, колебания находятся в фазе, и амплитуды A1 и A2 складываются A = A1 + A2. Если же разность фаз равна ±, колебания находятся в противофазе, т.е. амплитуда результирующего колебания A = |A1 - A2|.

Выше было рассмотрено сложение двух колебаний с одинаковой частотой, при этом результирующее колебание осталось гармоническим с той же частотой. Если складываются колебания разной частоты, то векторы x1 и x2 в плоскости будут вращаться с разной скоростью (рис.). Тогда результирующий вектор в процессе вращения будет изменяться по величине и описывать сложное негармоническое колебание.

Рассмотрим сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях. Наиболее простым примером такого колебания являются одновременные колебания частицы в направлениях x и y, происходящие с одинаковыми частотами и амплитудами (см. формулы (3.11)). Как было установлено, результирующее движение представляет собой равномерное вращение в плоскости по окружности с радиусом, равным амплитудам колебаний величин x и y. В случае неравных амплитуд и частот элементарных колебаний результирующее движение может происходить по весьма сложным траекториям и не будет гармоническим.

Таким образом, сложение гармонических колебаний с различными частотами и амплитудами позволяет осуществить колебание произвольной формы. Это обстоятельство используется для создания негармонических колебаний необходимой формы. Отсюда следует и обратное утверждение: всякое сложное негармоническое колебание может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний. Другими словами, движение сложной колебательной системы со многими степенями свободы можно описать, рассматривая соответствующий набор гармонических осцилляторов.

Свободные механические колебания могут существовать в системах, где сохраняется полная механическая энергия. В реальных системах всегда присутствует трение, благодаря которому свободные колебания, возбужденные первоначально в системе, со временем будут затухать. Кроме того, колебания в различных системах часто происходят под действием внешней силы -- так называемой вынуждающей силы. Колебания при наличии сил трения являются затухающими, а под действием внешней силы -- вынужденными.

Затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления F* пропорциональна величине скорости:

.(3.18)

Здесь r -- постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила F* и скорость v имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось x имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид

.(3.19)

Применив обозначения

(3.20)

щ0 _ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при r = 0). Эту частоту называют собственной частотой системы.

перепишем уравнение (3.19) следующим образом:

.(3.21)

Подстановка в (3.21) функции x=eлt приводит к характеристическому уравнению

(3.22)

Корни этого уравнения равны

, .(3.23)

При не слишком большом затухании (при в<щ0) подкоренное выражение будет отрицательным. Представим его в виде (iщ)2, где щ -- вещественная величина, равная

.(3.24)

Тогда корни характеристического уравнения запишутся следующим образом:

, .(3.25)

Общим решением уравнения (58.1) будет функция

.

Таким образом, при не слишком сильном затухании общее решение уравнения (3.21) имеет вид

.(3.26)

Здесь a0 и б -- произвольные постоянные, щ -- величина, определяемая формулой (3.24). На рис. дан график функции (3.26). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки x.

В соответствии с видом функции (3.26) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты щ с амплитудой, изменяющейся по закону a(t) = a0e_в?t. Верхняя из пунктирных кривых на рис. дает график функции a(t), причем величина a0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x0 зависит, кроме a0, также от начальной фазы б: x0 =a0?cosб.

Скорость затухания колебаний определяется величиной в = r/2m, которую называют коэффициентом затухания. Найдем время ф, за которое амплитуда уменьшается в e раз. По определению e_в?ф = e_1, откуда в?ф = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Согласно формуле (3.24) период затухающих колебаний равен

.(3.27)

При незначительном сопротивлении среды () период колебаний практически равен T0 = 2р/щ0. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, a', a'', a''' и т.д. на рис. образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если a' =a0e_в?t, то a'' = a0e_в(t+T) = a'e_вT, a''' =a0e_в(t+2T) =a''e_вT и т. д. Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

.

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм -- логарифмическим декрементом затухания:

(3.28)

(не путать с л в формулах (3.23 ) и (3.25)!).

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания л. Выразив в соответствии с (3.28) в через л, и T, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде

.

За время ф, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить Ne = ф/T колебаний. Из условия получается, что . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

,(3.29)

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за то время ф, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Подстановка функции (58.7) и ее производной в выражение для полной энергии колеблющейся системы E=kx2/2 + mv2/2 приводит после преобразований к формуле

,(3.30)

где = arctg (в/щ). График этой функции изображен на рис. Убывание энергии обусловлено работой силы сопротивления среды . Мощность, развиваемая этой силой, равна . Таким образом,

.

Отсюда вытекает, что в тех точках кривой E(t), где , касательная к кривой параллельна оси t. В остальных точках dE/dt < 0.

При малом затухании (в<<щ0) слагаемым, содержащим синус, в формуле (3.30) можно пренебречь и считать, что энергия изменяется по закону

E = E0e_2вt,(3.31)



где E0 = k(a0)2/2 -- значение энергии в начальный момент. К тому же результату можно прийти, если заменить определяемое формулой (3.30) мгновенное значение E(t) его средним значением за времяот t--T/2 до t + T/2 (T -- период колебаний), вычисленным в предположении, что множитель ехр (--2вt) в течение промежутка T остается постоянным.

Из формулы (3.27) следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При в=щ0 период колебаний обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим.

При в>щ0 корни характеристического уравнения становятся вещественными (см. (3.25)) и решение дифференциального уравнения (3.21) оказывается равным сумме двух экспонент:

.

Здесь C1 и C2 -- вещественные постоянные, значения которых зависят от начальных условий (от x0 и v0).Следовательно, движение носит апериодический (непериодический) характер-- выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

На рис. показано оба возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий. Движение, изображаемое кривой 2, получается в том случае, когда система начинает двигаться из положения, характеризуемого смещением x0, к положению равновесия с начальной скоростью v0 определяемой условием

.(3.32)

Это условие будет выполнено в том случае, если выведенной из положения равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положению равновесия. Если, отведя систему из положения равновесия, отпустить ее без толчка (т. е. с v0=0) или сообщить ей толчок недостаточной силы (такой, что v0 окажется меньше определяемой условием (3.32)), движение будет происходить в соответствии с кривой 1 на рис.

3.3 Волновое движение

3.3.1 Связанные гармонические осцилляторы. Упругие волны

Рассмотрим систему связанных осцилляторов (рис.). Такой системой могут служить N маятников, последовательно соединенных пружинами, или система связанных электрических контуров, или, как это показано на рис., набор материальных точек, соединенных пружинами. Если колебания происходят вдоль оси x, то положение системы N материальных точек можно характеризовать заданием N величин смещений от своих положений равновесия. Таким образом, система осцилляторов обладает N степенями свободы, В отсутствие связи между осцилляторами каждый из них может совершать независимые колебания вблизи своего положения равновесия. В этом случае колебания локализованы в определенной области пространства. Но если мы возбудим колебания в системе связанных осцилляторов, то картина будет другой.

Колебания первоначально возбужденного осциллятора, благодаря упругим свойствам пружины, возбудят колебания соседнего осциллятора, который в свою очередь передаст энергию колебаний следующему соседу и т. д. При этом колебание первоначально возбужденного осциллятора прекратится, а передаваемая энергия колебаний будет распространяться вдоль цепочки, приводя к последовательному перемещению с постоянной скоростью сгущений и разрежении упруго связанных масс. Перенос энергии колебаний в пространстве представляет собой распространение волны.

Обратим внимание на два важных обстоятельства. Во-первых, передача колебаний от одного осциллятора другому стала возможной только благодаря упругому их взаимодействию. Таким образом, физическая причина распространения волны -- взаимодействие частиц. Во-вторых, сами колеблющиеся массы остаются на своих местах вблизи положений равновесия, т.е. в процессе распространения волны масса не переносится. Происходит только передача энергии колебаний посредством изменения фазы колебания соседней частицы.

Опишем распространение волны математически. При колебаниях отдельного осциллятора величина, которая характеризует его смещение от положения равновесия, зависит только от времени. Так изменяется смещение массы на пружине или угол наклона маятника, т.е. фаза свободного осциллятора зависит только от одной переменной -- времени.

При прохождении волны в цепочке связанных осцилляторов смещение каждой из масс зависит от двух величин -- времени и расстояния до источника колебаний. Таким образом, смещение каждой из масс

un=un(x,t)

Запишем уравнение движения произвольно выбранного n-го осциллятора цепочки. При смещении из положения равновесия на массу действует возвращающая упругая сила, равная -kun ( k -- жесткость пружины). Одновременно на массу действуют упругие силы, обусловленные смещениями соседних масс: un-1 и un+1. Взаимодействиями с более удаленными соседями пренебрежем. Слева на рассматриваемую массу будет действовать сила, пропорциональная удлинению левой пружины k(un- un-1), а справа -- аналогичная сила, пропорциональная уменьшению длины правой пружины -- k(un - un+1). В результате уравнение движения примет вид:

.(3.46)

Как уже говорилось, уравнение (3.46) применимо ко многим физическим ситуациям. В частности, оно описывает колебания одномерной цепочки атомов в кристаллической решетке. В этом случае среднее расстояние между атомами является характерной для данного кристалла постоянной величиной, называемой периодом кристаллической решетки. Период решетки очень мал и по величине сравним с размерами атома. При таком расположении атомов в решетке кристалл можно рассматривать как сплошную среду, в которой распределение масс является не дискретным, как на рис., а непрерывным. Будем считать постоянную решетки бесконечно малой величиной. Тогда смещения соседних атомов на расстоянии x un1 мало отличаются от смещения un и их можно разложить в ряды, ограничиваясь первыми членами:

,

где знак /x означает производную по x в фиксированный момент времени.

После подстановки этих выражений в уравнение (3. 46), получим:

(по той же причине, что и выше, мы стали писать производную в виде /t).

То, что мы сейчас произвели, означает по существу переход от рассмотрения дискретной цепочки атомов, связанных упругими силами, к рассмотрению сплошной нити, в которой распределение масс атомов считается непрерывным. Переход к сплошной среде подразумевает, что мы теперь считаем массы атомов не сосредоточенными в узлах решетки, а «размазанными» на бесконечно малых расстояниях x, т.е. величина m/x = является линейной плотностью среды. Наконец, выясним физический смысл множителя kx . Заметим, что жесткость пружины согласно закону Гука F = -kx представляет собой линейную плотность упругой силы. Следовательно, величину kx = Т можно рассматривать как силу натяжения нити, образованной сплошным линейным распределением атомов. Окончательно, с учетом введенных обозначений, запишем уравнение в виде:

,(3.47)

где смещение теперь зависит от непрерывной переменной x: u = u(x, t).

Полученное уравнение является уравнением распространения упругих волн в одномерной сплошной нити с натяжением Т -- струне. Нетрудно сообразить, как должно выглядеть решение уравнения (3.47). Оно должно описывать гармоническое колебание смещения частицы u(t) = u0cos(щt + ), которое возникает в какой-либо точке струны и затем распространяется с постоянной скоростью vu. Пусть колебание возникло первоначально в точке x=0. Частица, находящаяся на расстоянии x от начала координат, приобретает такое же смещение с опозданием на время , необходимое для того, чтобы колебание пришло в точку x. Таким образом, колебание частицы в точке x отстает по фазе от колебания частицы в точке x = 0, т.е. колебание в произвольной точке струны должно иметь следующий вид:

.(3.48)

Выражение (3.48) является решением уравнения (3.47), описывающим бегущую волну. Подставим его в уравнение (3.47), продифференцировав по отдельности дважды по времени и координате. В результате получим скорость упругой волны:

. ( - линейная плотность среды) (3.49)

Формула (3.49) определяет скорость продольных упругих волн струны.

Колебания смещений атомов в продольной волне происходят в направлении ее распространения -- вдоль струны. Как известно, упругая волна может быть и поперечной (рис.)-- при этом смещения атомов происходят в направлении, перпендикулярном оси х. Величина, определяющая упругие свойства струны в поперечном направлении, называется сдвиговой жесткостью. Она отличается от продольной жесткости k, которая определяет скорость продольных волн. Нетрудно представить, что уравнение для поперечных упругих волн сохранит вид (3.47), но в выражении для скорости распространения поперечных волн войдет компонента силы натяжения нити в направлении сдвига частиц T '.

Поперечные волны могут возникать только в твердых телах. В жидкостях и газах сопротивление атомов сдвигу отсутствует и поэтому в них распространяются только продольные упругие волны.

Упругие колебания, воспринимаемые человеческим ухом, обычно называются звуком. Эти колебания лежат в области частот от 16 до 20 000 колебаний в секунду. В широком смысле слова звуком можно называть все упругие колебания в сплошной среде. Оценим скорость звуковых волн в газе частиц. В отличие от одномерной цепочки атомов, рассмотренной выше, трехмерный газ частиц характеризуется давлением P и объемной плотностью г. Поэтому вместо формулы (3.49) мы получим . Воспользуемся уравнением состояния газа PV = NkБT (где N -- число частиц; Т -- температура газа; kБ -- постоянная Больцмана). Вводя плотность газа г=mN/V, где m-- масса частицы, находим, что скорость звука в газе частиц оказывается порядка средней скорости теплового движения частиц

.

Это приближенный расчет, но он дает правильную оценку порядка величины скорости звука. Характерные скорости звуковых волн в газах порядка 300 м/с, а в твердых телах ~1000 м/с.

4.3.2 Свойства бегущих волн

Запишем уравнение (3.47) в виде:

.(3.50)

где v-- скорость перемещения величины и вдоль оси х. Это уравнение было получено для упругих волн в сплошной струне, но оно не содержит какой-либо специфики упругих волн, а выражает лишь волновой характер изменения физической величины u(x,t) во времени и пространстве. Поэтому, если под величиной v понимать скорость этого изменения, то данное уравнение можно рассматривать как общий вид волнового уравнения для произвольной физической величины u(х, t).

Решением волнового уравнения согласно (3.48) является периодическая по времени и координате функция

u(x,t) = ucos[щ(t-x/v)+],(3.51)

которая представляет собой бегущую волну, осуществляющую перенос фазы колебания величины и с постоянной скоростью u вдоль направления распространения волны. Расстояние, на которое перемещается фаза за один период колебания Т, = vT называется длиной волны. Удобно для описания волны пользоваться угловыми переменными - угловой частотой щ = 2/T и волновым числом k = 2/. Скорость перемещения фазы может быть выражена через эти величины



v = vф =/T = щ/k(3.52)

и называется фазовой скоростью волны. Заменив в уравнении (3.51) скорость на фазовую, запишем уравнение бегущей волны в виде:

u(x,t) = ucos(щt - kx + ).(3.53)

Это уравнение представляет собой наиболее часто употребляемый вид бегущей волны, распространяющейся вдоль оси x.

При распространении волны в сплошной среде колебания испытывает одновременно большое число частиц. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, образует волновую поверхность. Например, в случае волны (3.53), распространяющейся вдоль оси x, волновыми поверхностями являются любые плоскости x = const. Такая волна называется плоской. Поверхность, отделяющая колеблющиеся частицы от остальной области пространства, которой колебания еще не достигли, -- фронт волны.

Выше была рассмотрена волна, которая распространялась вдоль оси x . Это случай одномерного распространения, так как положение колеблющейся частицы определяется заданием только одной величины -- ее координаты х. Волна может распространяться на плоскости -- это случай двухмерного распространения. Наконец, волна может распространяться в трехмерном пространстве. Довольно частой является ситуация, когда источник колебаний локализован в малой области пространства или сосредоточен, а волна распространяется во все стороны от него. Если свойства среды, в которой распространяется волна, одинаковы по всем направлениям, то скорость волны во всех направлениях будет одна и та же, и все волновые поверхности, включая и фронт волны, будут представлять собой сферы с центром в точке нахождения источника колебаний. Такую волну называют сферической. На больших расстояниях от источника, когда радиус сферы, определяющей фронт волны, становится очень большим, участки волнового фронта с размерами, много меньшими расстояния до источника, можно рассматривать как плоские, т. е. считать сферическую волну плоской. Это приближение используется при решении многих задач.

Нетрудно написать уравнение сферической волны. Положение колеблющейся частицы определяется в этом случае только ее расстоянием от источника колебаний r, т.е. фаза колебаний должна иметь вид щt - kr + . Амплитуда колебаний в сферической волне, однако, не будет оставаться постоянной -- она убывает с расстоянием, как 1/r. Последнее утверждение вытекает из требования, чтобы поток энергии, переносимый волной через поверхность сферы любого, сколь угодно большого, радиуса оставался постоянным. Таким образом, сферическая волна должна иметь следующий вид:

u(r,t) = cos(щt - kr + ),(3.54)

где a-- постоянная величина, численно равная амплитуде волны на расстоянии от источника, равном единице длины.

Найдем уравнение плоской волны, бегущей в трехмерном пространстве вдоль произвольного направления n. Выберем систему координат и возьмем волновую поверхность волны, находящуюся на расстоянии от начала координат (рис.). Это будет плоскость, перпендикулярная вектору n. Если волна в начале координат задана уравнением:

u(0,t) = u0cos(щt + ),

то колебания частиц на выбранной волновой поверхности будут иметь вид:

u(0,t) = u0cos(щt -k + ).

Из рис. видно, что = rcos = , поэтому написанному выше уравнению можно придать вид:

u(,t) = u0cos(щt - k + ).

Введем вектор

,(3.55)

равный по величине волновому числу и направленный вдоль вектора n направления распространения волны. Величина называется волновым вектором. С его помощью уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении n, приобретает вид:

u(,t)= u0cos(щt - + ).(3.56)

Получим с помощью выражения (3.56) общий вид волнового уравнения, частным видом которого является (3.50). Колебания частиц в волне являются функцией четырех переменных -- трех пространственных координат x, y, z и времени t. Продифференцируем выражение (3.56) по каждой из этих переменных дважды, пользуясь тем, что = kx+ ky+ kz:

Складывая производные по координатам и выражая правую часть полученного выражения через производную по времени, находим:

.

Наконец, заменяя щ/k на фазовую скорость волны (3.52), окончательно получаем:

.(3.57)

Это и есть общий вид волнового уравнения, который был выведен исходя из того, что выражение (3.51) представляет собой плоскую волну. На самом деле класс решений уравнения (3.57) необычайно широк. Всякая функция, которая удовлетворяет уравнению(5.57), описывает какую-либо волну. Например, решением этого уравнения является и сферическая волна (3.54). Волны могут быть и более сложной формы.

Частным случаем уравнения (3.57) является одномерная волна (3.50) - в этом случае колебания в волне не зависят от остальных координат.

Скорость волны в тонком стержне.

Под тонким имеется в виду стержень, толщина которого мала по сравнению с длиной волны л. При малых продольных деформациях стержня справедлив закон Гука:

= E?е,(3.58)

где = F/S -- напряжение (Н/м2), E = kx/S -- модуль Юнга (Па), е = u/x. Заметим, что , как и е, величина алгебраическая, и знаки и е всегда одинаковы: при растяжении -- положительные, при сжатии -- отрицательные.

Рассмотрим малый элемент стержня Дx << л в момент, когда при прохождении волны он оказался, например, в растянутом состоянии (рис.). Применим к этому элементу 2-й закон Ньютона:

где с -- плотность материала стержня, S -- площадь его поперечного сечения. В данный момент, как видно из рисунка, Fx(x + Дx) > 0, a Fx(x) < 0. Соответствующие же значения в сечениях x и x + Дx положительные (растяжение!). Поэтому правую часть уравнения можно переписать так:



,

где учтено, что слева Fx и имеют разные знаки (это будет и при сжатии). Тогда уравнение движения после сокращения на Дx?S примет вид

.

Остается учесть (1.24), после чего получим окончательно:

Мы пришли, таким образом, к волновому уравнению. Это позволяет утверждать, что в стержне будет распространяться продольная волна, скорость v которой легко определить:

Заметим, что для не тонкого стержня выражение для v имеет более сложный вид и значение v оказывается больше, чем в случае тонкого стержня.

4.3.3 Энергия, переносимая волной. Стоячие волны

При изучении механических колебаний было установлено, что полная энергия колебаний гармонического осциллятора W = mщ2A2/2 , где А -- амплитуда колебания, (см. формулу (3.14)). Именно эта энергия переносится волной посредством возбуждения колебаний близлежащих частиц. Более полной характеристикой процесса переноса энергии волной является вектор плотности потока энергии волны j , который определяет количество энергии, переносимое волной через единицу площади в одну секунду в направлении ее распространения. Если v - скорость волны, то за время t через площадку S, перпендикулярную направлению распространения, переносится количество энергии:

,

где w -- плотность энергии, заключенной в объеме V.

Разделив это выражение на St, получим величину плотности потока энергии:

j = wv.(3.58)

Наконец, если ввести вектор , равный по величине фазовой скорости волны и направленный вдоль волнового вектора (3.55), получим выражение для вектора плотности потока энергии:

.(3.59)

Следовательно, направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением распространения волны.

Вектор (3.59) называется вектором Умова-Пойнтинга. Он является важной характеристикой переноса энергии волной я сохраняет свое значение и в тех случаях, когда речь идет не только о колебаниях частиц, но и о волновом процессе изменения любых физических величин, например температуры, электрического или магнитного полей.

Необычное перераспределение энергии колебаний происходит при наложении двух волн, бегущих навстречу друг другу, в том случае, когда разность фаз между волнами в процессе распространения волн остается постоянной. Такая ситуация реализуется при отражении бегущей волны от препятствия, например, при возбуждении упругой волны в струне, один из концов которой закреплен. При этом возникает отраженная волна, бегущая навстречу первой. Пусть для простоты начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда результирующая волна будет суммой двух волн, бегущих в противоположных направлениях:

u1 = u0 cos(щt - kx), u0 = u0 cos(щt + kx).(3.60)

Сложив эти уравнения и преобразовав результат сложения по формуле для суммы косинусов, получим:

u = u1 + u0 = 2u0cos kxcos щt.(3.61)

Заметим, что в результате наложения волн характер колебаний существенно изменился. Колебания во всех точках происходят одновременно с одинаковой частотой щ. Иными словами, вся система колеблется как целое, причем передачи энергии в процессе колебаний от одной точки к другой не происходит. Каждая частица колеблется так, как это происходит при обычных колебаниях -- в момент времени, когда ее смещение максимально, максимальна ее потенциальная энергия и минимальна кинетическая, и наоборот. В каждый момент времени система частиц образует в пространстве периодическую структуру, форма которой определяется амплитудным множителем в выражении (3.61):

A(x) = 2u0 coskx. В точках x = ±2n/4 (n = 0, 1, 2,..)(3.62)



амплитуда колебаний наибольшая, а в точках

x=±(2n+1)/4(3.63)

она равна нулю. Эти точки называют соответственно пучностями и узлами волны. Узлы и пучности волны расположены друг от друга на расстоянии /4.

Описанную картину колебаний во встречных бегущих волнах называют стоячей волной. Ясно, что в замкнутом объеме, где бегущая волна испытывает отражение от обеих границ, устанавливается стоячая волна.

Колебания струны (стержня).

В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении какого-либо произвольного поперечного возмущения возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное же движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: в них смещение u все время должно равняться нулю. Значит, если в струне возбуждается стоячая волна, то концы струны должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине струны должно укладываться целое число п полуволн: = n?л/2. Из этого условия находим возможные длины волн:

n = 2/n, n = 1,2,...Соответствующие частоты ,

где v -- фазовая скорость волны, определяемая, согласно (1.30), силой F натяжения струны и линейной плотностью с т. е. массой единицы ее длины.

Частоты нn называют собственными частотами струны. Частоту н1 (n=1) называют основной частотой, остальные н2, н3, ... -- обертонами. Гармонические колебания с частотами (1.57) называют собственными колебаниями, или гармониками. В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию различных гармоник (спектр).

Колебания струны примечательны тем, что в рамках классической физики возникает дискретный спектр одной из величин (частоты). Такая дискретность для классической физики является исключением, в отличие от квантовой физики.

Приведенные выше соображения относятся не только к струне, но и к стержням, закрепленным различным образом -- в середине, на одном конце и т. д. Отличие заключается лишь в том, что свободный конец стержня является пучностью. Это касается как поперечных, так и продольных колебаний.

Пример. Найдем собственные частоты стержня, закрепленного на одном конце, если длина стержня , модуль Юнга материала стержня E и его плотность с.

Поскольку свободный конец стержня должен быть пучностью, на длине стержня установится целое число полуволн и еще четверть волны, т. е. = nл/2 + л/4 = (2n + 1)л/4. Отсюда найдем возможные значения лn, а затем, учитывая (1.26), и собственные частоты:

, n=0,1,2,...

Эффект Доплера для звуковых волн

Пусть источник, находящийся в газе или жидкости, испускает короткие импульсы с частотой н. Если источник и приемник покоятся относительно среды, в которой распространяется волна, то частота воспринимаемых приемником импульсов будет равна частоте н источника. Если же источник, или приемник, или оба движутся относительно среды, то частота н', воспринимаемая приемником, вообще говоря, оказывается отличной от частоты источника: н' н. Это явление называют эффектом Доплера.

Сначала рассмотрим случай, когда источник S и приемник P движутся вдоль проходящей через них прямой с постоянными скоростями u и u' соответственно (относительно среды).

Если бы двигался только источник навстречу приемнику, испуская импульсы с периодом T = 1/н, то за это время очередной импульс пройдет относительно среды расстояние л = v•T, где v -- скорость волн в среде, и пока будет испущен следующий импульс, источник «нагонит» предыдущий импульс на расстояние uT. Таким образом, расстояние между импульсами в среде станет равным л' = vT - uT (рис.), и воспринимаемая неподвижным приемником частота (число импульсов за единицу времени)

.

Если же движется и приемник (пусть тоже навстречу источнику, то импульсы относительно приемника будут иметь скорость v + u', и число воспринимаемых за единицу времени импульсов

.

Нетрудно сообразить, что при движении как источника, так и приемника в противоположных направлениях, знаки перед u' и u надо поменять на обратные. Еще раз подчеркнем, что скорости u' и u -- это скорости приемника и источника относительно среды.

Как видно из приведенных рассуждений, эффект Доплера является следствием «уплотнения» (или разряжения) импульсов, обусловленным движением источника и приемника.

Формулу целесообразнее записать в иной форме, более общей и более простой для запоминания и использования:

u'x и ux - проекции скоростей приемника и источника на ось X, проходящую через них и положительное направление которой совпадает с направлением распространения импульсов, т. е. от источника S к приемнику P.

Прежде чем продолжить обсуждение возможностей выражения (1.60), приведем два простых примера.

Пример 1. Источник S и приемник P удаляются друг от друга по одной прямой в противоположные стороны относительно среды со скоростями u и u'. Частота источника н, скорость сигналов в среде v. Найдем частоту v', воспринимаемую приемником.

В данном случае проекция скорости приемника на ось X есть u'х = u', а проекция скорости источника ux = -u. Подставив эти величины в формулу (1.60), получим

н' = н (v - u')/(v + u).



Пример 2. Источник S, испускающий сигналы с частотой н, движется с постоянной скоростью us относительно приемника P, установленного на башне (рис.). При этом воздушная масса перемещается относительно земной поверхности вправо с постоянной скоростью u0 (ветер). Скорость звука в воздухе v. Найдем частоту v', воспринимаемую приемником.

Имея в виду, что в формулу входят скорости относительно среды, запишем: проекция скорости приемника u'х = - u0, а проекция скорости источника uх = us - u0. Обе проекции взяты, как должно быть, на ось X, направленную вправо. Остается подставить эти проекции в формулу (1.60), и мы получим:

Размещено на Allbest.ru

...