Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Колебания и волны

Вспомним, что числом степеней свободы механической системы называется количество независимых параметров, с помощью которых может быть задано положение системы. Так, положение материальной точки в пространстве определяется заданием значений трех ее координат. В соответствии с этим материальная точка имеет три степени свободы.

Положение абсолютно твердого тела можно определить, задав три координаты его центра инерции и три угла, характеризующие возможные повороты тела в пространстве. Таким образом, абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы -- три поступательных и три вращательных.

N материальных точек, не связанных между собой, имеют 3N степеней свободы. Поскольку положение в пространстве системы как целого точно так же, как и положение абсолютно твердого тела определяется шестью параметрами, упомянутыми выше, то число степеней свободы такой системы равно 3·N-6. Это число соответствует возможным смещениям точек относительно друг друга около своих положений равновесия. Такой тип движения называется колебательным. Значит, количество колебательных степеней свободы и есть 3·N-6.

Энергия молекул, состоящих из некоторого числа атомов, не жестко связанных друг с другом, будет теперь складываться из энергии поступательного движения, вращательной энергии и энергии колебаний

Ei = Eпоступ + Eвращ +Eколеб.(2.26)

Нет причин полагать, что поступательное движение является в какой-то мере выделенным по сравнению с вращательным или колебательным. Поэтому следует считать, что по-прежнему на каждую степень свободы молекулы приходится энергия, равная kT/2. Однако следует учесть особенность, связанную с колебательным движением. Средняя энергия колебательного движения складывается из средней кинетической энергии и равной ей средней потенциальной энергии. Поэтому на каждую колебательную степень свободы приходится энергия, в два раза большая, чем на поступательные или вращательные степени свободы. Следовательно, средняя энергия молекулы должна равняться:

<Ei> = i·k·T,(2.27)

где i -- сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:

i = iпоступ + iвращат + 2·iколеб.(2.28)

Внутренняя энергия на один моль идеального газа

.(2.29)

2.2 Изменение внутренней энергии. Первое начала термодинамики



Внутренняя энергия системы может изменяться за счет энергии, сообщаемой системе извне. Эта энергия может сообщаться системе посредством двух процессов: либо за счет работы, производимой внешними силами над системой, либо за счет передачи ей тепла. Рассмотрим газ, сжимаемый в сосуде поршнем под действием силы F (рис.). Пусть под действием этой силы поршень переместился на расстояние dh, сжав газ. Работа силы на пути dh _ dA = Fdh.

Разделив величину силы на площадь поршня, получим давление P, а умножив на S, получим изменение объема газа dV . Таким образом, производимая над газом работа

dA= PdV.(2.30)

Такую же по величине работу совершает газ при расширении, перемещая поршень. При этом dV положительно, если газ расширяется, и отрицательно при сжатии газа. Соответственно работа dA положительна или отрицательна: в первом случае система производит работу сама, во втором -- внешние силы производят работу над системой.

Графически процесс изменения состояния газа при его расширении или сжатии изображается на кривой P, V участком 1-2 на рис. Полная работа, совершаемая газом, при расширении от V1 до V2:



.(2.31)

Эта работа численно равна заштрихованной площади, заключенной под кривой P(V).

Рассмотрим способы передачи телу тепла. При соприкосновении тел либо при взаимодействии тел через излучение, изменение внутренней энергии происходит за счет передачи энергии хаотически движущихся частиц одного тела частицам другого.

Энергия, передаваемая от одного тела другому, представляет собой теплоту. Обозначим ее через Q. Теплота измеряется в тех же единицах, что и энергия.

Связь между переданным теплом, изменением внутренней энергии системы и произведенной работой выражается уравнением

dQ = dE + dA = dE + PdV.(2.32)

Это уравнение представляет собой закон сохранения энергии применительно к механической и тепловой энергии макроскопических тел. Он получил название первого начала термодинамики.

Важно учесть, что в выражении (2.32) работа и количество тепла не есть полные дифференциалы каких-либо величин, в то время как внутренняя энергия является таковой. Можно говорить о внутренней энергии в данном состоянии, а не о количестве тепла или работы, которыми обладает тело. Нельзя делить энергию тела на тепловую и механическую, речь идет лишь об изменении внутренней энергии тела за счет количества тепла, переданного ему или отданного им, и количества совершенной работы. Это разделение неоднозначно и зависит от начального и конечного состояний тела и от характера совершаемого процесса. Поэтому, например, в процессе перехода из состояния 1 в состояние 2 изменение внутренней энергии может быть равно нулю, а тело при этом может приобрести или потерять энергию.

2.2.3 Теплоемкость идеального газа

Количество тепла, при получении которого температура тела повышается на один градус, называется теплоемкостью. Согласно этому определению

.(2.33)

Теплоемкость различается в зависимости от того, при каких условиях происходит нагревание тела -- при постоянном объеме или при постоянном давлении.

Если нагревание тела происходит при постоянном объеме, т. е. dV = 0, то работа равна нулю. В этом случае передаваемое телу тепло идет только на изменение его внутренней энергии, dQ = dE, и в этом случае теплоемкость равна изменению внутренней энергии при изменении температуры на 1 К, т. е.

.(2.34)

Поскольку для газа , то .(2.35)

Эта формула определяет теплоемкость 1 моля идеального газа, называемую молярной. При нагревании газа при постоянном давлении его объем меняется, сообщенное телу тепло идет не только на увеличение его внутренней энергии, но и на совершение работы, т.е. dQ = dE + PdV. Теплоемкость при постоянном давлении .

Для идеального газа PV = RT и поэтому PdV = RdT.

Учитывая это, найдем

.(2.36)

Отношение представляет собой величину, характерную для каждого газа и определяемую числом степеней свободы молекул газа. Измерение теплоемкости тела есть, таким образом, способ непосредственного измерения микроскопических характеристик составляющих его молекул.

Формулы для теплоемкости идеального газа приблизительно верно описывают эксперимент, причем, в основном, для одноатомных газов. Согласно формулам, полученным выше, теплоемкость не должна зависеть от температуры. На самом деле наблюдается картина, изображенная на рис., полученная опытным путем для двухатомного газа водорода. На участке 1 газ ведет себя как система частиц, обладающих лишь поступательными степенями свободы, на участке 2 возбуждается движение, связанное с вращательными степенями свободы и, наконец, на участке 3 появляются две колебательные степени свободы. Ступеньки на кривой хорошо согласуются с формулой (2.35), однако между ними теплоемкость растет с температурой, что соответствует как бы нецелому переменному числу степеней свободы. Такое поведение теплоемкости указывает на недостаточность используемого нами представления об идеальном газе для описания реальных свойств вещества.

2.2.4 Равновесные процессы в идеальном газе

Если макроскопические параметры системы имеют одинаковые значения во всем объеме, занимаемом системой, и не изменяются с течением времени, то состояние системы является равновесным. Последовательный переход системы из одного равновесного состояния в другое, совершаемый достаточно медленно, так, что в любой заданный момент времени систему можно характеризовать определенными равновесными значениями термодинамических параметров: давления, температуры или объема, называется равновесным процессом.

Равновесный процесс представляет собой приближенную модель реального термодинамического процесса. Рассмотрим, например, сжатие газа поршнем в закрытом сосуде. Если поршень вдвигать достаточно быстро, то давление поршня на газ не будет успевать распространяться по всему объему, занятому газом. Давление газа на поршень в каждый момент времени будет больше, чем давление газа на стенки сосуда. Состояние газа в этом случае нельзя характеризовать определенной величиной давления, оно будет существенно неравновесным. Со временем давление перераспределится по всему объему и состояние газа станет равновесным с новым значением давления. Время установления нового состояния равновесия газа определяется его плотностью и температурой. Процесс установления термодинамического равновесия в системе носит название релаксационного процесса, а время установления равновесия -- времени релаксации.

В случае, когда газ под действием поршня сжимается достаточно медленно, давление успевает равномерно распределиться по всему объему, и в газе в любой заданный момент времени устанавливается равновесие. Таким образом, при медленном движении поршня газ проходит последовательно через ряд равновесных состояний, и процесс термодинамически равновесный. Для того чтобы процесс был равновесным, очевидно, необходимо, чтобы время релаксации в системе было меньше времени, в течение которого система подвергается внешнему возмущению.

Рассмотрим ряд равновесных процессов в идеальном газе, имеющих важное значение в термодинамике. При равновесных процессах термодинамические параметры P, V и T в каждый момент времени связаны между собой уравнением состояния (2.8).

1) Изотермический процесс.

При изотермическом процессе температура газа остается постоянной в течение всего процесса. Уравнение состояния газа в этом случае имеет вид:

.(2.37)

При заданной температуре состояние газа изображается точкой на плоскости, где по осям отложены давление и объем. Последовательность таких точек образует кривую, представляющую изотермический процесс. В случае изотермического процесса кривая является гиперболой и называется изотермой. Разным температурам газа соответствуют различные изотермы.

Вычислим работу, производимую газом при изотермическом процессе. Поскольку температура газа остается постоянной dT = 0, при термодинамическом процессе не изменяется внутренняя энергия газа, dE=0, т.е. все подводимое в систему тепло расходуется только на совершение механической работы dQ = PdV. Таким образом,



.(2.38)

При изотермическом сжатии газа механическая работа, совершаемая над системой, переходит в тепловую энергию окружающих тел.

2) Изобарический процесс.

Этот термодинамический процесс происходит при постоянном давлении. Ему соответствуют на диаграмме P,V горизонтальные прямые -- изобары, определяемые уравнением состояния:

.(2.39)

Работа при изобарическом процессе пропорциональна разности объемов газа в начальном и конечном состояниях:

.(2.40)

3) Изохорический процесс.

Зависимость давления от температуры при постоянном объеме представляет собой в координатах P, V вертикальную прямую, называемую изохорой. Поскольку при этом процессе dV = 0, работа равна нулю.

4) Адиабатический процесс происходит в системе без теплообмена с окружающей средой, т. е. dQ = 0. Из первого начала термодинамики (2.32) следует, что при таком процессе dE = _ Pd V , т. е. изменение внутренней энергии системы происходит только за счет совершения работы. Выразим изменение внутренней энергии через теплоемкость при постоянном объеме согласно формуле (2.34): dE = v·CV·dT .Тогда

v·CV·dT = _ PdV.(2.41)

Отсюда следует, что при адиабатическом расширении газа dV > 0, dT < 0, и газ охлаждается. При сжатии газа, наоборот, происходит его нагревание и соответственно увеличение внутренней энергии.

Разделив выражение (2.41) соответственно на правую и левую части уравнения состояния v·R·T = P·V , интегрируя это соотношение, получим

Наконец, воспользовавшись связью между CP и CV (2.36) в виде R = CP _ CV и вводя определенную ранее характерную для газа величину , получим окончательное соотношение между давлением и объемом идеального газа при адиабатическом процессе

.(2.42)

Полученное уравнение называется уравнением адиабаты. На плоскости P, V она изображается кривой, которая спадает более круто, чем изотерма (г > 1).

Работа при адиабатическом процессе пропорциональна изменению температур газа в начальном и конечном состояниях:

.(2.43)

Все указанные процессы можно рассматривать как частные случаи общего более сложного процесса, при котором давление и объем связаны уравнением

.(2.44)

При n = 0 уравнение описывает изобару, при n = 1 -- изотерму, при n = г --адиабату та. при n = ? -- изохору. Реальный неидеализированный процесс соответствует промежуточным значениям показателя степени в уравнении (2.44).

2.2.5 Уравнение состояния неидеального газа

Простая и удобная модель идеального газа применима в основном к разреженным газам, что соответствует малой плотности вещества. При больших давлениях и низких температурах возникают значительные отклонения от уравнения Клапейрона-Менделеева (2.8), что указывает на несоответствие модели идеального газа его реальному состоянию. Это означает, что уравнение состояния следует видоизменить, причем в его новом виде надо учесть отличие реальных молекул газа от модели невзаимодействующих материальных точек.

Прежде всего нужно учесть, что молекулы занимают вполне определенный объем в пространстве. Следовательно, область пространства, доступная для движения реальных частиц газа, не равна геометрическому объему, занимаемому газом, а меньше его на величину собственного объема молекул. Это обстоятельство легко учесть, если вместо геометрического объема теперь писать V _ b, где b -- константа, характеризующая объем, занимаемый молекулами данного газа.

Далее необходимо заметить, что между реальными молекулами, имеющими сложную внутреннюю структуру, существуют силы взаимодействия. Эти силы имеют характер притяжения на сравнительно больших расстояниях и отталкивания на малых расстояниях. Вообще говоря, эти силы проявляются лишь при достаточном сближении молекул, поэтому в разреженных газах их можно не учитывать. Однако при низких температурах, когда энергия теплового движения молекул мала, и при больших давлениях, когда плотность газа возрастает, силы взаимодействия между молекулами начинают играть значительную роль. Макроскопически они проявляются в реальном газе как внутреннее давление, дополнительное к тому, которое обусловлено столкновениями молекул. Это дополнительное давление обусловлено взаимодействием молекул. Поскольку во взаимодействии принимают участие две группы молекул, число каждой из которых пропорционально плотности газа, то поправка к давлению пропорциональна квадрату плотности, то есть обратна пропорциональна второй степени геометрического объема, занимаемого газом. Таким образом, видоизмененное уравнение состояния принимает вид:

,(2.45)

где a -- другая константа, специфическая для данного газа и учитывающая характер сил взаимодействия между его молекулами. Уравнение (2.45) носит название уравнения Ван-дер-Ваальса. Когда объем газа становится достаточно большим, т. е., газ разрежен, поправками, связанными с отклонениями от идеальности, можно пренебречь и уравнение Ван-дер-Ваальса (2.45) переходит в уравнение Клапейрона-Менделеева(2.8).



Уравнение Ван-дер-Ваальса по сравнению с уравнением состояния идеального газа содержит ряд особенностей, отвечающих качественно новому поведению реального газа в области низких температур и больших плотностей. Как можно видеть из выражения (2.45), уравнение Ван-дер-Ваальса есть уравнение третьей степени относительно объема. Это означает, что при фиксированных температуре и давлении состояние газа может характеризоваться либо одним, либо тремя значениями V. На рис. изображены изотермы, соответствующие уравнению (2.45). При высоких температурах изотермы представляют собой кривые, характерные для идеального газа. При понижении температуры до определенной величины, которая называется критической, появляется характерный перегиб, ниже которого каждому значению давления отвечают три значения объема газа. Поэтому при данном давлении вещество может находиться в одном из трех возможных состояний или фаз. Состояние с минимальным объемом отвечает большей плотности вещества та. соответствует конденсации газа в жидкое состояние -- жидкой фазе.

Состоянию с максимально возможным объемом отвечает газообразное состояние вещества. Промежуточное значение объема соответствует неустойчивому состоянию -- его называют переохлажденный пар или перегретая жидкость. В этой области небольшие изменения давления вызывают немедленный переход вещества в одно из стабильных состояний. На рис. область существования неустойчивых состояний заштрихована. Она отделяет области существования жидкой и газообразной фаз вещества. Таким образом, важным следствием уравнения состояния неидеально газа является возможность фазового перехода вещества из одного состояния в другое. Кривые на диаграммах P,V или V,T, отделяющие области существования разных фаз, -- это кривые фазового равновесия. Они показывают, при каких значениях параметров вещество может существовать в одном из состояний -- твердом, жидком либо газообразном.

На рис. в координатах P, Т изображена, например, фазовая диаграмма для двуокиси углерода, на которой показаны области существования всех трех возможных фаз. Критическая температура для CO2 равна 216,6 К, что составляет -- 56,6 С. При обычных температурах и давлениях жидкая фаза не реализуется. В твердой фазе CO2 представляет собой сухой лед. Он потому и называется сухой, что имеет низкую температуру, но не плавится, а сразу превращается в газовую фазу.

2.2.6 Обратимые и необратимые процессы

Новой качественной особенностью систем большого числа частиц по сравнению с чисто механическими системами является необратимый характер термодинамических процессов. Если рассматривать движение тела как механический процесс, в результате которого происходит изменение его координат и скоростей, то очевидно, что в механике без учета сил трения все процессы обратимы. Обратимость механического процесса означает, что если изменить направление процесса на обратное, то тело, обладающее определенными значениями координат и скорости в конечном состояний, будет проходить последовательность тех же состояний, которую оно проходило при первоначальном направлении процесса, но в обратном порядке и в конце процесса окажется опять в состоянии с начальными значениями координат и скорости. Таково, например, упругое столкновение шаров, которое может происходить как в прямом, так и в обратном направлениях. Этот факт -- прямое следствие второго закона Ньютона, сохраняющего постоянной полную механическую энергию системы. Запишем его в форме

.

Второй закон Ньютона представляет собой уравнения движения тела. Решив эти уравнения относительно координат и импульса как функций времени, можно определить с достоверностью их значения в любой последующий момент времени, если известны значения этих величин в начальный момент: r(0) и p(0). С такой же достоверностью можно, пользуясь уравнениями Ньютона, проследить за движением тела в обратном направлении. Если заменить в законе Ньютона t на - t и p на - p , то уравнения движения не изменятся. Это означает, что если известны координаты и скорости тела в конечном состоянии, можно определить их значения в любой заданный момент в прошлом. Таким образом, задание начальных или конечных условий полностью определяет поведение механической системы в будущем или в прошлом.

Иная ситуация возникает в системах, состоящих из большого числа частиц. Каждая частица в отдельности, конечно, по-прежнему подчиняется уравнениям движения в форме второго закона Ньютона. Отличие состоит в том, что в системе большого числа частиц каждая отдельная частица испытывает большое число последовательных столкновений с другими частицами. Поскольку столкновения имеют случайный характер и изменяют координаты и скорости данной частицы непредсказуемым образом, то информацию о состоянии данной частицы по прошествии некоторого времени в системе большого числа частиц можно теперь определить не с достоверностью, как в механике, а только с некоторой вероятностью. Поскольку всякий термодинамический процесс включает в себя множество независимых случайных событий, то для того, чтобы он мог происходить в обратном направлении, необходимо, чтобы реализовалась вся эта случайная последовательность событий в обратном порядке. Поскольку вероятность нескольких независимых событий есть произведение вероятностей каждого из событий, то суммарная вероятность обратного процесса оказывается ничтожно малой, практически равной нулю. В качестве примера такого процесса укажем на процесс передачи тепла от более нагретого тела менее нагретому -- обратный процесс, как известно, сам но себе никогда не реализуется на практике. Таким образом, физическая причина необратимости термодинамических процессов заключается в случайном характере столкновений частиц, который создает неопределенность в начальных условиях к уравнениям движения частиц.

Реальный термодинамический процесс всегда необратим. Тем не менее в термодинамике говорят об обратимом процессе как о некоторой идеализированной схеме процесса. Рассмотрим некоторый равновесный процесс, совершаемый системой под влиянием внешнего воздействия так, что система последовательно проходит через ряд равновесных состояний из начального в конечное. Если ту же последовательность состояний можно реализовать в обратном порядке и при этом не изменить состояния окружающих тел, то процесс будет обратимым. При этом каждая из частиц системы вовсе не вернется в свое исходное состояние, важно только, что средние, равновесные характеристики системы примут свои начальные значения, а это происходит при обратимом процессе благодаря неразличимости или тождественности частиц системы.

2.2.7 Неравновесные процессы

Вследствие необратимости термодинамических процессов все процессы в изолированной системе протекают лишь в одном направлении -- в направлении приближения системы к состоянию теплового равновесия. Будучи выведена из состояния равновесия, система переходит в новое состояние равновесия спустя некоторое время -- время релаксации. Оно зависит от температуры, давления, плотности системы, а также от характера взаимодействия между частицами. Переход системы к равновесному состоянию представляет собой необратимый процесс, поскольку вероятность самопроизвольного перехода равновесной системы в неравновесное состояние ничтожно мала.

Рассмотрим некоторые механизмы неравновесной релаксации системы к состоянию равновесия. Прежде всего, введем понятие длины свободного пробега молекул. Индивидуальные особенности движения отдельных молекул не играют роли в системе большого числа частиц, поэтому под длиной свободного пробега понимают среднюю длину пути молекулы в газе между столкновениями. Поскольку столкновения носят случайный характер, длина свободного пробега имеет вероятностный смысл: величина тем меньше, чем больше вероятность столкновения молекул. В свою очередь, вероятность столкновения молекул определяется их плотностью и размерами молекул. Наряду с длиной свободного пробега другой важной характеристикой является среднее время свободного пробега

t = /v,(2.46)



где v -- средняя скорость теплового движения молекул. Обе введенные здесь величины в существенной степени определяют скорость релаксационного процесса.

Механизм процесса релаксации состоит в том, что при выведении системы из состояния равновесия в газе возникает поток соответствующей величины: тепла, массы, концентрации частиц в зависимости от того, каким способом система была выведена из состояния равновесия. При приближении системы к равновесию этот поток исчезает, перераспределяясь по всей системе.

Определим поток произвольной физической величины как изменение этой величины в единицу времени в какой-либо точке пространства

,(2.47)

где ДG -- разность значения величины G в соседние моменты времени. Знак минус означает, что направление потока противоположно направлению возрастания величины. Само по себе изменение величины G не зависит от времени явно, а связано с ее неоднородным распределением в пространстве, например, вдоль оси X (см. рис.). Поэтому перепишем выражение для потока в виде:



.

При получении формулы для полного потока это выражение нужно умножить на число частиц -- носителей величины G, которые в состоянии пересечь в единицу времени единичную площадку, перпендикулярную оси X. Число таких частиц равно числу частиц, движущихся параллельно оси X и отстоящих от указанной площадки на расстояние, не большее длины свободного пробега , т. е. заключенных в объеме, основание которого единица, а длина равна 2. Число частиц в единице объема» движущихся в направлении оси X, равно n/6 и (ввиду равновероятности движения в любом из возможных шести направлений). Полный поток величины G равен

.(2.48)

Величина представляет собой градиент G в направлении оси X. Таким образом, если в системе имеется неоднородное распределение какой-либо физической величины, то возникает поток этой величины, обусловленный столкновением частиц и пропорциональный ее rwl градиенту. Величина nv/3 коэффициент переноса.

Рассмотрим конкретные процессы переноса.

Теплопроводность. Пусть системе сообщено некоторое количество тепла. При этом некоторая часть системы оказывается более нагретой, откуда тепло посредством столкновений распространяется по всему объему, т. е. возникает поток тепла. Переносимая физическая величина в этом случае -- тепло, значит G = Q. Поскольку количество тепла характеризуется температурой Q = CVT , где СV -- теплоемкость вещества, то, подставляя вместо G в общую формулу (2.48) это выражение, получим:Следовательно, поток тепла пропорционален градиенту температуры. Величина _ коэффициент теплопроводности.

Диффузия. Если в систему добавляется некоторое количество частиц того или другого сорта, то в объеме возникает неоднородное распределение концентрации этих частиц и в силу указанных причин возникает поток концентрации этих частиц. Роль величины G играет относительная концентрация добавленных частиц G = n'/n. Процесс выравнивания концентраций, обусловленный механизмом столкновений, называется диффузией. Выражение для диффузионного потока, согласно (2.48), принимает вид:

,(2.50)

где коэффициент между потоком и градиентом концентрации представляет собой коэффициент диффузии D = v/3.

Вязкость. Предположим, что нам удалось механическим или иным способом сообщить механический импульс какой-либо части нашей системы. Тем самым в системе создается направленный поток частиц и распределение импульса частиц в плоскости, перпендикулярной потоку, становится неоднородным. Благодаря столкновениям частиц, происходит передача импульса направленного движения окружающим частицам, в результате чего возникает перераспределение переданного импульса. Этот процесс, который можно рассматривать как диффузию в пространстве импульсов, называется вязкостью, или внутренним трением. Переносимой величиной является импульс частицы, который мы обозначим здесь через mu; u обозначает здесь направленную скорость частиц в отличие от тепловой скорости. Поток импульса

,(2.51)

а коэффициент вязкости среды v = nvn/3 = pv/3.

2.2.8 Тепловые машины

Термодинамика как наука развилась в начале XIX века из необходимости объяснить работу тепловых машин. Термодинамические расчеты необходимы при конструировании любых машин, способных производить работу. Тепловой машиной называется устройство, использующее тепловую энергию для совершения механической работы. В этом смысле и паровой двигатель, и атомный реактор эквивалентны.

Тепловая машина состоит из нагревателя, рабочего тела и охладителя рабочего тела. Охладителем, в конечном счете, служит окружающая среда. Тепловая машина работает по принципу замкнутого цикла, совершая круговой процесс. В ходе прямого цикла рабочее тело, например, пар, получив от нагревателя количество тепла Q1, расширяется от объема V1 до объема V3. Согласно первому закону термодинамики, это тепло расходуется на нагревание рабочего тела и на совершение механической работы

Q1 = E2 _ E1 + A13,(2.52)

где E2 _ E1 -- изменение внутренней энергии рабочего тела при переходе из состояния 1 в состояние 3. При обратном цикле над газом производится работа: газ сжимается и передает охладителю количество тепла

_ Q2 = E1 _ E2 + A31.(2.53)

Складывая оба уравнения, получим Q1 _ Q2 = A13 + A31 =A, где А -- полная работа, совершенная машиной за один цикл.

Отношение полезной работы, совершенной машиной, к количеству полученного тепла составляет КПД тепловой машины

.(2.54)

Понятно, что КПД машины всегда меньше единицы, поскольку не все количество полученного тепла переходит в полезную работу.

В реальных тепловых машинах КПД, очевидно, еще меньше, так как часть тепла теряется безвозвратно в процессе работы машины. Для получения максимального КПД следует рассмотреть рабочий цикл, образованный обратимыми процессами. Этому требованию отвечает цикл (см. рис.), впервые рассмотренный французским ученым Карно. В качестве рабочего тела в цикле Карно рассматривается идеальный газ. Цикл Карно состоит из последовательных расширения и сжатия газа, причем каждый из процессов совершается сначала изотермически, а затем адиабатически. При прямом цикле тело по-прежнему сначала получает тепло, а затем отдает его. Достоинство цикла Карно состоит в том, что все процессы обратимы, и, следовательно, КПД такой машины будет максимальным.

Пусть газ расширяется изотермически, переходя из состояния 1 в состояние 2. При изотермическом процессе внутренняя энергия газа не изменяется, и количество полученного тепла Q1 равно работе А12. По формуле (2.38):

.(2.55)

На участке 2-3 газ расширяется адиабатически. На участке 3_4 он сжимается опять изотермически, для чего охладителю должно быть отдано тепло Q2. Работа на участке 3_4 равна _ Q2, причем

.(2.56)

Наконец, на участке 4_1 газ адиабатически сжимается, возвращаясь к исходному состоянию. Воспользуемся уравнением адиабаты (2.42), заменив в нем, согласно уравнению состояния PV , на н·RT. Уравнение адиабаты принимает вид:

TV г_1 = const.(2.57)

Для процессов 2_3 и 4_1 цикла Карно отсюда следует:

.

Разделив первое уравнение на второе, получим V2/V1 = V3/V4. После подстановки этого выражения в (2.56) найдем:

.(2.58)



Подставляя (2.58) в формулу (2.54), получим выражение для КПД цикла Карно:

.(2.59)

Из формулы (2.59) следует, что КПД тепловой машины определяется только разностью температур нагревателя и холодильника. КПД не зависит ни от свойств рабочего тела, используемого в машине, ни от свойств самой машины. Полученный результат показывает, что при T1 = T2 КПД машины равен нулю, т. е. машина не совершает работы. Работа максимальна (з = 1) при T2 = 0. Таким образом, машина тем выгоднее, чем ниже температура охладителя.

2.2.9 Энтропия

Мы убедились, что КПД необратимого кругового процесса всегда меньше, чем КПД при обратимом цикле. Этот результат можно сформулировать в следующем виде:

.

Знак равенства соответствует случаю обратимых процессов. Отсюда нетрудно получить соотношение, которое играет важную роль в термодинамике:

.(2.61)



Величина называется энтропией. Она, как видно из полученного соотношения, остается неизменной при обратимом процессе и возрастает, если термодинамический процесс необратим. Энтропия -- важная термодинамическая характеристика системы, такая же, как, например, внутренняя энергия. Утверждение, что при необратимых процессах энтропия замкнутой системы возрастает, составляет содержание второго начала термодинамики.

Возрастание энтропии системы при необратимом процессе выражает тот факт, что тепло само по себе не может переходить от менее нагретых к более нагретым телам. Последнее утверждение можно рассматривать также как формулировку второго начала термодинамики.

Из изложенного следует важный вывод. Поскольку КПД реальной тепловой машины всегда меньше, чем КПД идеальной машины (работающей по циклу Карно), а обязательным условием работы последней является необходимость отдавать тепло более холодному телу, становится очевидной невозможность создания так называемого вечного двигателя второго рода -- устройства, осуществляющего круговорот тепла в природе и одновременно превращающего все полученное тепло в механическую работу.

Понятие энтропии имеет глубокий физический смысл, едва ли не больший, чем понятие энергии. Поскольку, как это следует из соотношения (2.61), энтропия остается постоянной при обратимом характере процесса и возрастает при необратимых процессах, энтропию рассматривают как меру необратимости термодинамического процесса. В состоянии термодинамического равновесия энтропия системы максимальна.

Рассмотрим, что представляет собой состояние термодинамического равновесия. В состоянии равновесия система однородна: все средние характеристики системы, такие, как концентрация, давление, температура, одинаковы во всех ее макроскопических частях. Равновесная система изотропна: в системе не существует направленного движения частиц или потока какой-либо другой физической величины. Иными словами, все направления движения равновероятны, и частицы совершают полностью хаотическое тепловое движение. Таким образом, состояние равновесия, с точки зрения статистической физики, представляет собой состояние полного беспорядка, в то время как состояние, отличное от равновесного, характеризуется существованием в системе направленного, т. е. упорядоченного движения. Указанное отличие равновесного состояния от неравновесного дает возможность рассматривать энтропию как количественную меру беспорядка, существующего в системе.

Беспорядочное либо упорядоченное расположение молекул в заданном объеме можно характеризовать количеством способов, которым можно расположить молекулы в этом объеме, не изменяя состояния системы. Ясно, что беспорядочно можно расположить молекулы значительно большим количеством способов

Состояния макроскопического тела (т.е. тела, образованного огромным количеством молекул) может быть задано с помощью объема, давления, температуры, внутренней энергии и других макроскопических (т. е. характеризующих все тело в целом) величин. Охарактеризованное таким способом состояние называется макросостоянием.

Состояние макроскопического тела, охарактеризованное настолько подробно, что оказываются заданными состояния всех образующих тело молекул, называется микросостоянием. Всякое макросостояние может быть осуществлено различными способами, каждому из которых соответствует некоторое микросостояние тела. Число различных микросостояний, соответствующих данному макросостоянию, называется статистическим весом или термодинамической вероятностью макросостояния. Таким образом, статистический вес представляет собой число микроскопических способов, которыми может быть осуществлено данное макросостояние.

Чтобы пояснить понятие статистического веса, рассмотрим способы, которыми молекулы газа могут распределяться между двумя половинами сосуда, в котором заключен газ. Пусть общее число молекул равно N. В качестве характеристики состояния газа примем число молекул, находящихся в левой половине сосуда, которое мы обозначим буквой n (соответственно число молекул в правой половине сосуда будет равно N -- n). Состояние отдельной молекулы будем характеризовать указанием на то, в какой из половин сосуда она находится. Такое описание состояния газа и состояний отдельных молекул является, конечно, далеко не полным. Однако оно достаточно для того, чтобы выяснить на этом примере характерные особенности статистического поведения любых макросистем.

Начнем со случая, когда полное число молекул равно четырем (рис.). Каждая молекула с равной вероятностью может находиться как в левой, так и в правой половине сосуда. Поэтому вероятность того, что, скажем, молекула 1 окажется в левой половине сосуда, равна 1/2. Пребывание в левой половине сосуда молекулы 1 и пребывание в той же половине сосуда молекулы 2 являются статистически независимыми событиями. Поэтому вероятность одновременного нахождения в левой части сосуда молекул 1 и 2 равна произведению вероятностей, т. е. (1/2)2. Продолжая эти рассуждения, получим, что вероятность одновременного нахождения в левой половине сосуда всех четырех молекул равна (1/2)4.

Аналогичные рассуждения дают, что вероятность любого размещения молекул в сосуде (скажем такого, при котором 1-я и 4-я молекулы будут находиться в левой половине сосуда, а 2-я и 3-я -- в правой), также равна (1/2)4. Каждое из размещений представляет собой некоторое микросостояние газа. Из сказанного выше следует, что вероятность всех микросостояний одинакова и равна (1/2)4.

Таблица 1

Состояние	Способы реализации состояния	Число способов
число молекул слева	число молекул справа	№ молекул, находящихся слева	№ молекул, находящихся справа	реализации данного состояния (щ)
0	4	--	1, 2, 3, 4	1
1	3	1	2, 3, 4
		2	1, 3, 4
		3	1, 2, 4	4
		4	1, 2, 3
2	2	1, 2	3, 4
		1, 3	2, 4
		1, 4	2, 3	6
		2, 3	1, 4
		2, 4	1, 3
		3, 4	1, 2
3	1	1, 2, 3	4
		1, 2, 4	3	4
		1, 3, 4	2
		2, 3, 4	1
4	0	1, 2, 3, 4	--	1
		Всего способов	24 = 16

В табл. 1 приведены все мыслимые способы распределения молекул между половинами сосуда (все микросостояния газа). Состояние, характеризуемое тем, что, скажем, в левой части сосуда находится одна молекула (безразлично какая), а в правой части -- три молекулы, представляет собой макросостояние. Из таблицы видно, что такому макросостоянию соответствует 4 микросостояния. Следовательно, статистический вес данного макросостояния равен 4, а вероятность (обычная, а не термодинамическая) равна 4/16. Макросостояние, при котором в обеих частях сосуда находится одинаковое число молекул, реализуется с помощью шести микросостояний. Соответственно его статистический вес равен 6, а вероятность (обычная) равна 6/16.

Из рассмотренного примера вытекает, что все микросостояния данной системы равновероятны, вследствие чего статистический вес оказывается пропорциональным вероятности (обычной) макросостояния. Утверждение о равновероятности всех микросостояний лежит в основе статистической физики и носит название эргодической гипотезы.

Согласно табл. в случае четырех молекул имеется большая вероятность (равная 1/8) того, что все молекулы соберутся в одной из половин сосуда (левой или правой). Однако с увеличением числа молекул положение существенно меняется.

Найдем число способов (число микросостояний), посредством которых может быть осуществлено макросостояние, характеризуемое тем, что в левой половине сосуда окажется n молекул из общего числа их N, а в правой половине -- (N -- n) молекул. Для этого пронумеруем молекулы, приписав им номера от 1 до N. Затем станем отбирать по одной молекуле и помещать их в левую половину сосуда. Первую молекулу можно выбрать N способами, вторую -- (N--1) способом, третью -- (N--2) способами, наконец, n-ю молекулу можно выбрать (N-- n+1) способом. Оставшиеся (N -- n) молекул поместим в правую половину сосуда.

В результате для статистического веса получается выражение

В табл. 2 приведены значения щ, вычисленные по формуле для случая N=24. Полное число способов распределения 24 молекул между двумя половинами сосуда равно 224=16 777 216, и только в двух случаях все молекулы оказываются сосредоточенными в одной из половин сосуда. Вероятность такого события равна примерно 10_7. В четырех кубических сантиметрах воздуха содержится около 1020 молекул. Вероятность того, что все эти молекулы соберутся в одной из половин сосуда, равна двум, деленным на два в степени 1020, что составляет приблизительно . Эта вероятность настолько мала, что практически ее можно считать равной нулю.

Таблица 2

Число моле-			Число моле-
кул	щ	Вероят-	кул	щ	Вероят-
слева	справа		ность	слева	справа		ность
0	24	1	6•10_7	9	15	1 307 504	7,8•10_2
1	23	24	1,4•10_6	10	14	1 961 256	0,117
2	22	276	1,6•10_5	11	13	2 496 144	0,149
3	21	2024	1,2•10_4	12	12	2704156	0,161
4	20	10626	6, 3•10_4	13	11	2 496 144	0,149
5	19	42504	2,5•10_3	......	.......	..........	........
6	18	134596	8•10_3	23	1	24	1,4•10_6
7	17	346 104	2•10_2	24	0	1	6•10_7
8	16	735 471	4,4•10_2
Всего 224 = 16 777 216 способов

На рис. изображен график, показывающий, как меняется число молекул n в одной из половин сосуда с течением времени. Это число колеблется около среднего значения, равного N/2.

Мы установили, что вероятность макросостояния (в дальнейшем мы будем говорить просто -- состояния) пропорциональна его статистическому весу Q, т. е. числу микроскопических способов, которым может быть осуществлено данное макросостояние. Поэтому в качестве характеристики вероятности состояния можно было бы взять само это число, т. е. Q. Однако такая характеристика не обладала бы свойством аддитивности. Чтобы убедиться в этом, разобьем данную систему на две практически не взаимодействующие подсистемы. Пусть эти подсистемы находятся в состояниях со статистическими весами Q1 и Q2. Число способов, которым может осуществляться соответствующее состояние системы, равно произведению чисел способов, которыми могут быть осуществлены состояния каждой из подсистем в отдельности: Q = Q1•Q2. Отсюда следует, что Q действительно не является аддитивной величиной.

Взяв логарифм от соотношения, получим lnQ = lnQ1 + lnQ2.

Откуда видно, что lnQ -- аддитивная величина. Иметь дело с аддитивными величинами много проще и удобнее. Поэтому в качестве характеристики вероятности состояния принимается величина S, пропорциональная логарифму статистического веса. По причине, которая выяснится ниже, коэффициент пропорциональности выбирают равным постоянной Больцмана k. Определенную таким способом величину

S = k•lnQ (2.62)

называют энтропией системы.

Из сказанного в предыдущем параграфе вытекают следующие свойства энтропии:

1. Энтропия изолированной системы при протекании необратимого процесса возрастает. Действительно, изолированная (т. е. предоставленная самой себе) система переходит из менее вероятных в более вероятные состояния, что сопровождается ростом величины S.

2. Энтропия системы, находящейся в равновесном состоянии, максимальна.

Подчеркнем еще раз не абсолютно строгий характер высказанных утверждений. Например, энтропия системы, находящейся в равновесном состоянии, претерпевает незначительные кратковременные отрицательные флуктуации. Однако эти флуктуации столь малы, что практически энтропию можно считать постоянной и равной максимальному значению.

Утверждение о том, что энтропия изолированной системы может только возрастать (либо по достижении максимального значения оставаться неизменной), носит название закона возрастания энтропии или второго начала термодинамики. Иначе можно сказать, что энтропия изолированной системы не может убывать.

Итак, при протекании в изолированной системе необратимого процесса энтропия возрастает, т. е. выполняется соотношение dS > 0.

В общем случае dS0.

2.2.10 Энтропия идеального газа

Рассмотрим изменение энтропии идеального газа при изотермическом расширении его от объема V1 до V2.

Согласно формуле (2.38) совершаемая при этом механическая работа

.(2.63)

При изотермическом процессе работа равна теплу, переданному или отданному системой A = ДQ. По определению и, стало быть, энтропия

.(2.64)

Это же выражение можно получить и непосредственно из определения (2.62). Пусть молекула газа находятся в объеме V. Вероятность нахождения одной молекулы в объеме V пропорциональна объему V. Вероятность нахождения N молекул в этом же объеме пропорциональна VN, поскольку эта вероятность представляет собой вероятность N независимых событий. Таким образом, изменение энтропии при расширении газа есть

,

что аналогично формуле (2.64).

2.2.11 Энтропия и информация

При рассмотрении процесса передачи тепла от более нагретого к менее нагретому телу было введено понятие энтропии. Этот процесс необратим, и энтропия служит мерой его необратимости. Физическая причина необратимости -- переход от состояния, характеризуемого упорядоченным распределением какой-либо физической величины, к состоянию беспорядка, и, следовательно, энтропия -- это количественная мера возникающего беспорядка. Последнее обстоятельство позволяет использовать понятие энтропии более широко: для характеристики и анализа любых необратимых процессов в окружающем нас мире, в том числе связанных с деятельностью человека, который является частью природы и часто вносит в нее необратимые изменения.

С технической и научной точки зрения XX век поставил перед человечеством три наиболее значительных проблемы: проблему энергетики, проблему обработки и передачи информации и, наконец, проблему экологии -- борьбы с загрязнением окружающей среды. Эти проблемы тесно связаны друг с другом и иногда, успешно решая одну из них, мы ухудшаем состояние двух других. Поэтому необходимо уметь оценивать все стороны того или иного технического решения, количественно рассчитывать не только выигрыш, получаемый от реализации этого решения, но и плату за него. Одной из величин, которые позволяют производить такие расчеты, является энтропия.

В 1948 г. американский инженер К. Шеннон заметил, что проблемы передачи и обработки информации имеют много общего с проблемами статистической физики и могут быть описаны на том же языке с помощью понятия энтропии. Под информацией обычно понимается сообщение, содержащее элемент новизны. Оно может быть передано по каналам связи посредством сигналов, имеющих различную физическую природу. Для передачи сигналов могут использоваться электромагнитные волны радиодиапазона или видимого света (оптическая связь) или звуковые волны (акустическая связь). Помехи, которые имеются в линиях связи, приводят к искажению сигналов. Кроме того, сигналы могут искажаться при их преобразовании в устройствах, используемых в линиях связи. Все это приводит к тому, что передаваемый сигнал приходит по назначению не с достоверностью, а с некоторой конечной вероятностью. Вероятность получения сигнала зависит от способов и условий передачи информации и может быть рассчитана. Механизм передачи информации можно сравнить с движением молекулы в газе, испытывающей множество случайных столкновений, в результате которых можно указать только вероятность ее прихода в заданную точку пространства.

По аналогии со статистической физикой случайный беспорядок, возникающий в системе передаваемых сигналов, характеризуется с помощью энтропии системы, которая пропорциональна логарифму вероятности прихода сигнала. С помощью таким образом введенной энтропии можно определить и количество информации, содержащееся в переданном сообщении. Развитие этих представлений привело к созданию новой самостоятельной науки -- теории информации, которая, в свою» очередь, легла в основу науки об управлении сложными системами -- кибернетики.

Другая проблема, в которой широко используется понятие энтропии, -- это проблема экологии. Необратимые изменения в окружающей среде, возникающие в процессе человеческой деятельности, также подчиняются законам термодинамики. Их отличие, правда, состоит в том, что мир, в котором мы существуем, представляет собой не замкнутую, а открытую систему, постоянно взаимодействующую со всей Вселенной путем энерго- и массообмена. Термодинамика такой открытой системы очень сложна, и поэтому выводы, следующие из рассмотренной термодинамики замкнутой системы, к ней неприменимы. Однако методы рассмотрения, основанные на статистическом подходе, остаются прежними и позволяют сделать важные заключения о процессах, происходящих в живой природе.

Характерным примером здесь является процесс теплообмена Земли с окружающим пространством. Если рассматривать часть Вселенной, которой принадлежит наша планета, как совокупность физических объектов, образующих замкнутую систему, то согласно обычной термодинамике она неизбежно должна прийти в состояние теплового равновесия, в котором все тела имеют одинаковую температуру; процессов переноса тепла от более нагретых тел к менее нагретым не существует -- возникает состояние «тепловой смерти». В открытой системе заключение о неизбежной тепловой смерти системы неправомерно -- в такой системе происходит бесконечный теплообмен с окружающей средой. Кроме того, в системах, бесконечных в пространстве и времени, к которым относится наша Вселенная, нельзя исключить возникновения процессов, которые имеют малую вероятность и не могут происходить в замкнутых системах.

Значительные изменения в окружающую среду вносит деятельность человека. Технический прогресс и рост промышленного производства привел к тому, что результаты человеческой деятельности стали отрицательно влиять на состояние природы планеты. Повышается средняя температура атмосферы -- происходит так называемое «тепловое загрязнение» атмосферы, изменяется ее химический состав, меняется состав недр Земли, ухудшается состояние водных ресурсов и поверхности Земли, возникает радиоактивное заражение поверхности, начинают изменяться в нежелательном направлении условия биологического существования. Все это требует принятия срочных мер по более рациональному развитию производительных сил.

С точки зрения термодинамики, деятельность человека, во-первых, имеет направленный, организующий характер, ведь в конечном счете цель человеческой деятельности -- превращение окружающего мира в упорядочение работающую систему. Этот процесс организации среды приводит к уменьшению беспорядка и, следовательно, к уменьшению энтропии. Таким образом, деятельность человека, строго говоря, «работает» против второго начала термодинамики. Во-вторых, продукты этой деятельности -- отходы в виде неиспользованного тепла, химические отходы и другие неполезные продукты деятельности -- приводят к загрязнению окружающей среды, тем самым увеличивая энтропию всей системы. Проблема экологии и заключается в том, чтобы в процессе человеческой деятельности минимально увеличивать энтропию окружающей среды.



Глава 3. Колебания и волны

3.1 Механические колебания

3.1.1 Гармонические колебания. Осциллятор

В природе часто встречается периодическая зависимость от времени различных физических величин. Периодически изменяются со временем температура и освещенность при вращении Земли, периодическое движение совершают маятник часов и колеблющийся грузик на пружине. Периодическим называют процесс, при котором физическая величина принимает одинаковые значения через равные промежутки времени. Такие характерные промежутки времени называют периодом процесса.

При движении точки с постоянной скоростью по окружности период равен времени полного оборота. При колебаниях периодом является время, в течение которого совершается полное колебание. Вычислим период колебаний математического маятника -- материальной точки, характеризуемой массой m и подвешенной на невесомой нити длиной (рис.).

При свободном движении маятника в поле силы тяжести остается постоянной полная энергия маятника -- сумма кинетической и потенциальной энергий

E = T + U . Следовательно, при бесконечно малом перемещении маятника вдоль траектории изменение полной энергии должно быть равно нулю.

...