Механика разрушения

В качестве приближенного графического отображения такого синтеза Я.Б.Фридманом было предложено построение диаграммы механического состояния (рис. 35), оценивающей поведение материала при однократных кратковременных статических нагружениях.

Диаграмма механического состояния Фридмана. Диаграмма учитывает (рис. 35)

1. Напряженное состояние, приближенно характеризуемым отношением =tmax/Snmax;

а) если tmax >> Snmax, т.е. касательные напряжения создаются при очень малых удлинениях, то способ нагружения является мягким (например, испытание на твердость при вдавливании, осевое сжатие под гидростатическим давлением и т.п.);

б) если tmax << Snmax, т.е. создаются значительные упругие удлинения при малых касательных напряжениях, то способ нагружения является жестким (например, трехосное растяжение, возникающее во внутренних слоях растягиваемого надрезанного образца, в меньшей мере изгиб и растяжение);

в) наконец, если tmax Snmax, то способ нагружения является средним по своей жесткости (например, кручение цилиндрического стержня, при котором при =0.25 tmax/Snmax = 0.8).



Рис. 35. Диаграмма механического состояния Я.Б.Фридмана

Величина не может исчерпывающе характеризовать вид нагружения. Назначение этой величины в том, чтобы дать сравнительную оценку опасностей двух видов нарушения прочности: от касательных напряжений (текучесть или срез) и от растягивающих (отрыв). При этом предполагается, что эти нарушения прочности определяются величинами tmax и Smax.

2. Отношение сопротивления отрыву Sот к сопротивлению срезу tк:

а) если Sот << tк, то материал при многих способах нагружения будет склонен к разрушению путем отрыва, как правило, хрупкому (стекла, горные породы, чугуны, твердые сплавы, пластмассы); такие материалы обычно значительно менее прочны при растяжении, чем при сжатии;

б) если Sот >> tк, то материал при многих способах нагружения будет склонен к разрушению путем среза, как прпавило, пластичному (алюминий, медь, свинец, многие железные сплавы);

в) если Sот tк,, то материал при близких нормальных и касательных напряжениях будет примерно в равной степени склонен к обоим видам разрушения.

3. Разное для разных способов нагружения положение сопротивления отрыву по отношению к обобщенной кривой.

Диаграмма механического состояния составляется из двух расположенных рядом частей. По оси ординат обеих частей диаграммы отложены максимальные касательные напряжения tmax. По оси абсцисс отложены в левой части максимальные приведенные растягивающие напряжения Snmax, в правой - максимальные пластические сдвиги gmax. Левая часть диаграммы характеризует условно жесткость или мягкость способа нагружения, в то время как правая часть диаграммы представляет собой просто обобщенную кривую течения.

Какой-либо способ нагружения (в данной точке тела) изображен в левой части диаграммы лучом, имеющим определенный угол наклона. Кроме того, в левой части нанесены прямыми линиями: предел текучести tт, сопротивление срезу tк, выраженные в касательных напряжениях, и сопротивление отрыву Snот, - в приведенных напряжениях.

Если условия нагружения таковы, что равенство tmax = tк будет осуществлено раньше, чем Snmax = Snот, то произойдет разрушение путем среза. В этом случае по мере повышения касательного напряжения от tmax = tт (переход в пластическую область) до tmax = tк (срез) будет полностью “использована” обобщенная кривая течения данного материала. Если же еще до того, как будет достигнуто условие tmax = tк, осуществится условие Snmax >= Snот, то материал разрушится путем отрыва и кривая tmax=f(gmax) “преждевременно” оборвется; пластичность gmax и вязкость (пропорциональная площади кривой) окажутся пониженными, причем степень этой “преждевременности” будет тем большей, чем больше Snmax/ tmax.

Конечно, если материал столь хрупок, что tт = tк, то никаким изменением способа нагружения (при данной скорости и температуре деформации) его нельзя перевести в пластичное состояние и кривая tmax=f(gmax) у него отсутствует.

Таким образом, на диаграмме механического состояния прямые tт, tк и Sот ограничивают две замкнутые области (рис. 36):

а) упругую область, ограниченную линиями tт (переход в пластическую область), и Sот (переход к хрупкому отрыву без пересечения пластической области, т.е. при t < tт).Нижняя часть вертикальной линии Sот ограничивает хрупкое состояние, т.е. отрыв без предшествующей пластической деформации;

б) пластическую область, ограниченную линиями tк (разрушение путем среза) и Sот (не вполне хрупкое разрушение путем отрыва). В последнем случае отрыв происходит уже после более или менее значительной пластической деформации, которая оказывает сильное влияние на величину сопротивления отрыву.

Рис. 36. Схема, показывающая области упругой и пластической деформации на диаграмме механического состояния

Широко известны температурные зависимости механических свойств и характера разрушения (рис. 37).

Рис. 37. Зависимость механических свойств от температуры

С понижением температур большинство малоуглеродистых и низколегированных сталей изменяет свои механические свойства. Точка пересечения кривых предела текучести и сопротивления отрыву определяет критическую температуру хрупкости согласно схеме Иоффе. С понижением температуры предел текучести и временное сопротивление повышается, а пластичность падает.

По температурным зависимостям характеристик разрушения образца с трещиной можно выделить две критические температуры: первую, при 50% вязкого составляющего в изломе, и вторую, характеризующуюся точкой пересечения разрушающего напряжения и предела текучести. Принято считать, что при температурах выше первой критической возникают вязкие разрушения, при температурах ниже второй критической - хрупкие, в промежутке между критическими температурами - квазихрупкие разрушения.

Сингулярные задачи теории упругости для тел с трещинами

Основным модельным представлением в механике разрушения является пластина с нарушением сплошности, представляющим собой разрез (трещину) и являющимся концентратором напряжений. Рассмотрение трещин в хрупких телах можно рассматривать как предельный случай концентрации напряжений. Исторически первым является решение задачи о концентрации напряжений возле кругового отверстия (Г.Кирш, 1898 г.). В современной интерпретации с использованием функций напряжений Эри задача выглядит следующим образом. Рассматривается бесконечная пластина с круглым отверстием радиусом а, находящаяся под воздействием одноосного напряжения . Для плоского напряженного состояния в полярных координатах зависимости компонентов напряжений при =/2 или =3/2 имеют вид (рис. 38)

Рис. 38. Распределение напряжений у круглого отверстия в бесконечной пластине

Дальнейшим развитием является анализ напряжений вокруг овального отверстия в пластине в случае растяжения, чистого изгиба, чистого сдвига (Г.В.Колосов, 1910 г., К.Инглис, 1913 г.), в соответствии с которым в вершине отверстия возникает напряжение (рис. 39)

,

где - радиус кривизны в вершине отверстия.

Рис. 39. Графическая иллюстрация результатов Колосова и Инглиса

В дальнейшем был поставлен и решен целый класс сингулярных краевых задач теории упругости, т.е. граничных задач с особыми точками. Такими точками являются, например, бесконечно удаленная точка, точка разрыва граничных условий точка приложения сосредоточенной силы и т.д. При этом в линейных задачах решение (или его производные, начиная с некоторого порядка) стремится к бесконечности при приближении к особой точке. Поскольку граничная задача в особой точке не определена, встает вопрос о формулировке физически осмысленного дополнительного условия в такой точке, т.е. о постановке корректной сингулярной краевой задачи.

Наиболее успешно для решения сингулярных задач используются мощные методы, развитые Г.В.Колосовым и Н.И.Мусхелишвили для общего случая плоской задачи теории упругости.

Допустим, что поле упругих смещений и деформаций не зависит от одной из прямоугольных декартовых координат x, y, z, например, от z. В этом весьма общем и важном случае все смещения и напряжения можно представить через функции Ф(z), (z) и f(z), являющиеся аналитическими функциями комплексного переменного z=x+iy в области, занятой телом. Первые две из них часто называют потенциалом Колосова-Мусхелишвили. Выражения для комплексного представления смещений и напряжений имеют следующий вид

где - модуль сдвига; - коэффициент Пуассона.

Для механики разрушения большой интерес представляет изучение асимптотического распределения напряжений, деформаций и смещений вблизи фронта трещины. Рассмотрим малую окрестность произвольно фиксированной точки на гладком контуре трещины (рис. 40).

Рис. 40. Система координат и компоненты напряжений у кончика трещины

Общее корректное решение зависит от трех действительных параметров, которые участвуют в решении на основе потенциалов Колосова-Мусхелишвили в качестве множителей при различных членах асимптотики и которые определяются из решения задачи. Каждый из указанных трех членов асимптотического разложения соответствует одному из трех основных типов трещин (рис. 41).

Рис. 41. Основные виды смещений поверхности трещины

Окончательное решение дает распределение напряжений и смещений вблизи края произвольной хрупкой трещины для указанных основных типов разрывов:

- нормальный разрыв

,

- поперечный сдвиг

- продольный сдвиг

Эти формулы были получены для случая плоской деформации; в случае плоского напряженного состояния нужно взять в них z=0 и заменить на /(1+). Формулы справедливы в малой окрестности края трещины, т.е. r должно быть малым по сравнению с характерным линейным размером тела, например, длиной трещины или расстоянием ее конца от свободной границы.

Трем типам разрывов в теории дислокаций соответствуют клиновые, краевые и винтовые дислокации. Для трещин произвольного типа все величины KI, KII, KIII отличны от нуля. Эти величины называются коэффициентами интенсивности напряжений и имеют размерность силы, деленной на длину в степени три вторых.

Работа Гриффитса “Явление разрушения и течения твердого тела”

Существует широкий круг явлений хрупкого разрушения, для которых представление о критериях разрушения (теориях прочности) неприменимо. Открытый А.Ф.Иоффе эффект увеличения прочности кристалла каменной соли при растворении его поверхностных слоев, многочисленные случаи разрушения металлических конструкций при напряжениях, меньших условного предела текучести, а также многие другие явления разрушения, принципиально необъяснимые с точки зрения теорий прочности, заставили ряд исследователей отказаться от галилеева представления о прочности, как о некоторой константе материала. Это направление в механике разрушения основано на изучении самого процесса разрушения. Оно берет начало от работы Гриффитса, опубликованной в 1920 г. Гриффитс доказал, что концентрация напряжений в дефекте, установленная Колосовым-Инглисом, позволяет превращать энергию деформирования в энергию разрушения и что разрушение возможно только при постоянном подводе энергии. В этой работе была рассмотрена следующая задача.

Пусть тонкая хрупкая пластина равномерно растягивается в одном направлении напряжениями в своей плоскости. В пластине имеется сквозная трещина длины 2а, ориентированная перпендикулярно направлению растяжения. Длина трещины считается малой по сравнению с размерами пластины. Опыт показывает, что, начиная с некоторого , происходит развитие трещины, сопровождающееся увеличением свободной поверхности. Поэтому Гриффитс ввел поверхностную энергию хрупкого тела и сформулировал принцип, согласно которому существующая трещина станет лавинообразно распространяться, если только скорость освобождения энергии упругой деформации превзойдет прирост поверхностной энергии трещины, т.е. если

G=

Здесь ДU - изменение упругого потенциала пластины вследствие наличия трещины, - поверхностная энергия единицы свободной поверхности.

Упругая энергия U пластины с трещиной равна U0 - ДU, где U0 - упругий потенциал пластины без трещины. Величина ДU равна произведению средней площади области концентрации напряжений (пропорциональной а2), на среднее значение плотности упругого потенциала (пропорциональной 2/Е)



Здесь множитель 0 может зависеть только от коэффициента Пуассона.

Так как величина U0 не зависит от а, то в критическом состоянии 2Е = 02а. Отсюда получается следующая зависимость нагрузки от длины трещины

.

Здесь 1 - множитель порядка единицы (для плоского напряженного состояния ).

Последняя формула, которая представляет собой выражение для разрушающей нагрузки в зависимости от длины начальной трещины, является основным достижением теории Гриффитса.

Примерно до 50-х годов считалось, что теория Гриффитса применима только к хрупким материалам типа стекол; большинство же конструкционных материалов проявляет пластические свойства при разрушении. Следующий значительный шаг в становлении механики разрушения связан с экспериментальными исследованиями Дж.Ирвина (1948 г.) и Е.Орована (1950 г.), предложившими использовать теорию Гриффитса для разрушения пластичных металлов с учетом понятия энергии, затрачиваемой на развитие пластических деформаций вблизи трещины.

Связь интенсивности высвобождения энергии с коэффициентом интенсивности напряжений

Поставим задачу определить количество высвобожденной энергии при росте трещины от длины а до (а+а). При постоянной нагрузке высвобожденная потенциальная энергия равна высвобожденной энергии деформации в условиях заданной деформации при а 0. Вместо общего энергетического подхода Гриффитса сконцентрируем внимание на области вершины трещины, малой по сравнению с размерами тела в целом, но достаточно большой по отношению к межатомным расстояниям, что дает возможность применить линейно-упругую теорию.

Рис. 42. К определению работы, затрачиваемой на рост трещины

Работа, необходимая на продвижение трещины на а, должна быть равна изменению энергии деформации. Эта работа равна половине произведения необходимых для закрытия трещины поверхностных сил, действующих на берегах трещины, на соответствующие перемещения. Множитель Ѕ введен потому, что перемещение пропорционально поверхностным силам. Под перемещениями точек поверхности трещины следует понимать перемещения в области а.

Согласно первоначальному предложению Ирвина, интенсивность высвобождения энергии может быть представлена следующим образом

.

Входящие в эту зависимость компоненты напряжений могут быть определены по асимптотическим формулам для напряжений, действующих в вершине трещины. После подстановки и взятия интеграла для плоской деформации получается следующая зависимость

.

Итак, получили непосредственную связь между интенсивностью высвобождения энергии и коэффициентами интенсивности напряжений.

Пластическая зона у вершины трещины

Выше использовали допущение, что вокруг трещины существует поле напряжений упругости. В таком случае в вершине трещины напряжения должны стремиться к бесконечности. Однако в реальных материалах, прежде чем напряжения станут чрезмерно большими, появятся пластические деформации. Таким образом, обычно под действием внешних сил у вершины трещины появится пластическая зона. В линейной механике разрушения размеры этой зоны достаточно важны. Точное определение конфигурации и размеров пластической зоны является сложной задачей. Ирвином предложена приближенная поправка на пластичность, которой можно пользоваться в том случае, когда размеры пластической зоны малы по сравнению с длиной трещины.

В целях упрощения на начальном этапе ограничимся задачей о плоском напряженном состоянии. На рис. 43 показано распределение напряжений y перед вершиной трещины при = 0. На участке длиной rp* перед вершиной трещины напряжение y выше предела текучести материала. В первом приближении можно заменить напряжение y, действующее на этом участке, пределом текучести. Размер пластической зоны может быть задан величиной rp*. Воспользовавшись асимптотическими формулами, запишем

.

Если положить = 0, r = rp* и y = т и провести соответствующие преобразования, можно установить

.

Следует обратить внимание на то, что при использовании такой аппроксимации не учитывают нагрузку, которой на рис. 43 соответствует заштрихованная часть графика. В результате этого величина rp* оказывается заниженной по сравнению с реальным размером пластической зоны. Поэтому целесообразно воспользоваться второй аппроксимацией, в основе которой лежит изложенное ниже равновесие нагрузок. При этом Ирвин рассуждал следующим образом. Пластические деформации, существующие у конца трещины, вызывают некоторое изменение в распределении напряжений. Можно положить, что такое распределение существует для более длинной трещины по сравнению с действительно существующей.

На рис. 43 показано, что действительная трещина имеет длину а. Перед этой трещиной образуется пластическая зона размером rp. Распределение напряжений вокруг пластической зоны приближенно можно представить таким же распределением напряжений, которое получается при замене длины трещины а на а*=а+а (а << а). Если считать, что имеет место равновесие нагрузок, то следует положить, что заштрихованная на этом рисунке область А равна заштрихованной области В. Тогда с использованием асимптотических выражений можно установить, что

Из условия А = В

Из этих формул с учетом a << a можно установить следующее

Таким образом, можно видеть, что при второй аппроксимации, когда принимали во внимание равновесие нагрузок, размер пластической зоны получался в два раза больше по сравнению с размером, соответствующим первой аппроксимации. Эффективную длину трещины а* можно представить в виде суммы а+rp*. Коэффициент интенсивности напряжений для такой трещины может быть представлен в следующем виде

Параметр rp* носит название поправки Ирвина на пластичность.

Для плоской деформации нельзя просто воспользоваться приведенными выше зависимостями. Прежде чем приступить к рассмотрению такого состояния, следует проанализировать различие, существующее в конфигурациях пластических зон при плоском напряженном состоянии и плоской деформации. Для этого следует использовать условие текучести Мизеса, представленное через главные напряжения

а также асимптотические выражения для компонентов напряжений. Для главных напряжений можно записать следующие зависимости

.

Если подставить последние формулы в условие Мизеса, воспользовавшись обозначениями пластической зоны, можно определить форму границы, отделяющей упругую область от пластической. В таком случае можно записать

- для плоского напряженного состояния

,

- для плоской деформации

.

Если в этих зависимостях положить r = rp(), то можно получить расстояние от вершины трещины до границы, отделяющей упругую область от пластической. Таким образом,

- для плоского напряженного состояния



,

- для плоской деформации

.

Рассмотрим различия, существующие между плоским напряженным состоянием и плоской деформацией. При различных построим соответствующие графики. Такие графики представлены на рис. 44. Здесь в качестве единицы длины использована величина (K/Т)2. Форма и размеры пластической зоны, соответствующей плоскому напряженному состоянию, существенно отличается от формы и размеров пластической зоны, характерной для плоской деформации. В целом можно считать, что при одинаковых внешних силовых воздействиях пластическая зона при плоской деформации меньше пластической зоны при плоском напряженном состоянии. Следует иметь в виду, что в случае толстых пластин со сквозной трещиной на поверхностях определяющим является плоское напряженное состояние, а внутри пластины - плоская деформация. Поэтому вдоль фронта трещины пластическая зона будет изменяться с минимальными размерами в центральной части листа. Характер такого изменения представлен на рис. 44.

Рассмотрим теперь величину поправки Ирвина для плоской деформации. Для этого в последнее выражение, соответствующее плоской деформации, подставим = 0. В результате получим

В данном случае по сравнению с плоским напряженным состоянием появляется коэффициент (1-2)2, который приводит к уменьшению рассматриваемого параметра. Это видно из рис. 44.

Таким образом, пластическая зона при плоской деформации по сравнению с пластической зоной при плоском напряженном состоянии по своей величине является очень небольшой. Это, по-видимому, является результатом того, что при плоской деформации эффективный предел текучести оказывается значительно выше предела текучести при одноосном растяжении. Для учета этого часто используют коэффициент стеснения пластической деформации. Он представляет собой отношение максимального напряжения max к пределу текучести: = max/Т. В этом случае эффективный предел текучести выражается произведением Т. Обычно сложное напряженное состояние может быть представлено главными напряжениями. Можно ввести два новых параметра и представить главные напряжения через максимальное 2 = n1, 3 = m1. При этом условие текучести Мизеса запишется в виде

Тогда для коэффициента стеснения пластической деформации можно установить

Подставив значения и положив = 0, получим для плоского напряженного состояния при n = 1 и m = 0 = 1, для плоской деформации при n = 1 и m = 2 = 1/(1-2).

Положим, например, что коэффициент Пуассона = 1/3. При плоском напряженном состоянии max = 1 = Т, а при плоской деформации max = 1 = Т 3Т. Таким образом, в действительности при плоской деформации напряжение оказывается в три раза выше. Перед вершиной трещины в ее плоскости при = 0 распределение напряжений будет иметь вид, приведенный на рис. 45. Следовательно, при плоском напряженном состоянии напряжения в пластической зоне равны Т, а при плоской деформации напряжения равны Т непосредственно в вершине трещины, после чего происходит резкое повышение напряжения до эффективного напряжения текучести 3Т.

Рис. 45. Распределение напряжений у вершины трещины при плоском напряженном состоянии и плоской деформации

Таким образом, можно видеть, что по величине и форме пластической области, а также по распределению напряжений в ней плоская деформация существенно отличается от плоского напряженного состояния. Это обстоятельство тесно связано с особенностями разрушений, с которыми приходится иметь дело в случае плоских пластин. Из рис. 46 можно установить следующее. Ввиду того, что в окрестностях центральной плоскости пластины определяющей является плоская деформация, разрушение должно происходить в плоскости xz, где действуют максимальные нормальные напряжения. В окрестностях же свободных поверхностей пластины доминирующим является плоское напряженное состояние, и стеснение пластических деформаций оказывается не столь значительным. Это позволяет считать, что разрушение в основном происходит в результате сдвига по плоскостям, расположенным под углом 450 к поверхности пластины (плоскости xy) под действием максимальных касательных напряжений. Получающийся при этом вид излома, который можно наблюдать у поверхностей пластины, носит название губ среза.

Рис. 46. Плоскости максимальных касательных напряжений у вершины трещины при плоском напряженном состоянии и плоской деформации

Использование коэффициента интенсивности напряжений в рамках линейной упругой механики разрушения

Критерий разрушения Кс

КИН используется в рамках ЛУМР как силовой критерий разрушения, не требующий объяснений, связанных с энергетическим балансом при распространении трещины, как в основополагающей работе Гриффитса. В основе силового критерия лежит предпосылка, согласно которой разрушение возникает тогда, когда у трещины в пределах достаточно большой области напряжение превышает предельное значение. Эту предпосылку можно непосредственно связать с КИН, характеризующим поля напряжений в соответствии с асимптотическими формулами для компонент напряжений и деформаций. КИН зависит от нагрузки и конфигурации образца. Даже в том случае, когда схема приложения нагрузки и конфигурации образцов оказываются различными, при одинаковых КИН поля напряжений оказываются одинаковыми. Предельное значение К, при котором возникает разрушение, можно обозначить символом Кс, который отражает одну из характеристик материала, носящую название вязкости разрушения.

Расчет на прочность, предлагаемый механикой хрупкого разрушения, включает в себя следующие основные моменты:

а) выбор формы, размера и местоположения наиболее опасного трещиноподобного дефекта;

б) определение КИН на фронте трещины с учетом внутренних напряжений металлургического, технологического или эксплуатационного происхождения;

в) выбор критерия локального разрушения на фронте трещины, изучение докритического развития трещины и отыскание критического (предельного) состояния, которое соответствует выходу конструкции на нерасчетный режим (например, разрушению).

Первый из этих вопросов решается на основе натурных и лабораторных наблюдений и во многом пока зависит от интуиции инженера.

Второй вопрос решается на основе методов классической теории упругости.

На последнем этапе расчета на прочность вычисленное значение наибольшего КI (как определенной функции нагрузок, размеров тела и длины начальной трещины) приравнивается некоторому критическому значению этого коэффициента, характеризующему сопротивление материала отрыву на фронте трещины нормального разрыва.

Практически наиболее важную роль играют следующие критические КИН:

а) вязкость разрушения КIc (при монотонном нагружении до начала локально нестабильного разрушения в условиях стесненной плоской деформации);

б) величина Кс (при монотонном нагружении пластин со сквозными трещинами);

в) величина КY (при циклическом нагружении);

г) величина КIscc (в условиях длительного нагружения постоянной нагрузкой в коррозионно-активной среде).

Величина Кс изменяется в пределах (1…3) КIc. Величина КY представляет собой практический предел усталости, она равна примерно (0.1…0.05) КIc. Пороговый коэффициент интенсивности напряжений КIscc существенно зависит от внешней среды, он может меняться в пределах (0.1…1) КIc.

Если КI меньше КY (или соответственно КIscc), то трещина не растет. На самом деле это заключение справедливо только для некоторой фиксированной базы испытания, играющей роль гарантийного срока (менее 108 - 109 циклов для КY и менее года для КIscc).

Указанный метод расчета хрупкой прочности по критическим КИН нельзя считать вполне удовлетворительным, так как он не учитывает медленного докритического развития усталостных и коррозионных трещин. Однако ясно, что этот фактор идет в запас прочности, поэтому в ряде случаев бывает достаточно получаемых оценок.

Размерности КИН: напряжение (длина)1/2 или сила/(длина)3/2.

К примеру, 0.825 кН/мм3/2 = 825 Н/мм3/2 = 825 H/(мммм1/2) = 825 H/мм2мм/мм1/2 = 825 МПа(0.001 м)1/2 = 26 МПам1/2.

Температурные зависимости вязкости разрушения (МПам1/2)

Сталь	Температура, К
	213	233	253	273	293
Статическое нагружение
10ХСНД	70	71	71	70	68
09Г2С	65	61	59	58	57
Вст3сп	54	55	56	56	56
Ст20	51	52	53	55	58
15Х2НМФА	102	115	124	141	154
Динамическое нагружение
10ХСНД	23	28	38	50	60
09Г2С	39	43	48	60	68
Вст3сп	24	25	31	40	50
Ст20	20	22	27	33	43
15Х2НМФА	58	66	75	81	87

Ограничения линейной упругой механики разрушения

Уравнения ЛУМР, являясь приближенными, имеют верхний и нижний пределы применимости. Это связано с тем, что решения с использованием КИН приводят к сингулярности напряжения у вершины трещины при r = 0, и хотя они могут давать достаточно хорошую оценку величины пластической зоны, они не применимы для описания поля деформации внутри пластической зоны и, следовательно, не пригодны для описания процесса вязкого разрушения внутри пластической зоны. Пределы применимости модели интенсивности упругих напряжений становятся очевидными при высоком уровне напряжений. Тогда К-решения фактически уже не описывают действительного поля напряжений, и, следовательно, истинных размеров пластической зоны. Это может привести к неоправданно консервативным результатам расчетов, так как перераспределение напряжений в результате пластического течения и притупления вершины трещины, связанного с ним, делают допустимыми более высокие эксплуатационные нагрузки, особенно для высокопластичных материалов.

Принято, что ЛУМР может быть использована при соблюдении условий rp a/50, W/50, B/50, где W, B - ширина и толщина пластины. При этом напряжения не должны превосходить т/5. В конечном итоге испытания на основе методов ЛУМР и применение концепции КIc для материалов с высокой вязкостью и пластичностью (хрупкому разрушению предшествует развитие большой пластической зоны у вершины трещины) требуют весьма крупных образцов, в которых трещины и их пластические зоны не зависят от границ образца и достигается плоское деформированное состояние, т.е. выполняется условие B 2.5(K/т)2.

Также недоступна для описания аппаратом ЛУМР трещина, возникшая у дна надреза, т.е. находящаяся в пластической зоне. Здесь справедливо условие rp > a, и, очевидно, ЛУМР не может быть применена в такой ситуации.

За пределами указанных ограничений применение ЛУМР дает ошибку, возрастающую с ростом отношения размера пластической области к размеру упругой области. До какого момента можно допускать существование указанной ошибки? Ответ на этот вопрос зависит от тех требований, которые приняты при проектировании.

В случае разрушения хрупких материалов в ЛУМР вводят соответствующую поправку на пластичность, что позволяет уменьшить эту ошибку.

В заключение отметим, что нижний предел размеров любой трещины, которая поддается описанию на основе законов механики сплошной среды, можно найти, введя понятие размера минимальной пластической зоны, например, субъячейки, т.е. 10 мкм, что дает минимальную длину трещины 0.5 мм. При меньших размерах ЛУМР становится неприменимой, и трещины длиной менее 0.5 мм рассматриваются как короткие.

Оценка коэффициента интенсивности напряжений

Аналитические методы

В настоящее время аналитическими методами теории упругости решено большое количество задач для различных конфигураций твердого тела, трещины и условий нагружения.

Плоские статические задачи. В задачах о плоской деформации и плоском напряженном состоянии КИН определяются по асимптотике комплексного потенциала Ф(z) в конце разреза.

Разрезы вдоль одной и той же прямой или вдоль одной и той же окружности в бесконечной упругой плоскости. Если совокупность математических разрезов расположена вдоль одной и той же прямой или вдоль одной и той же окружности и других границ упругое тело не имеет, то могут быть решены следующие краевые задачи:

а) на разрезах произвольно задана нормальная и касательная нагрузка;

б) на разрезах заданы произвольные смещения;

в) на одном берегу разрезов задаются смещения, а на другом берегу - нагрузки;

г) участки с произвольно заданными смещениями или нагрузками чередуются любым образом вдоль нижнего и верхнего берегов разрезов;

д) берега разрезов взаимодействуют, причем касательное напряжение взаимодействия произвольным образом зависит от нормального давления;

е) касательное напряжение на разрезах обращается в нуль, участки с произвольно заданным нормальным смещением или с нормальной нагрузкой расположены произвольно на берегах разрезов.

Для указанных типов задач можно найти КИН; некоторые случаи рассмотрены ниже.

Если в упругой плоскости имеется один прямолинейный разрез и сосредоточенные сила и момент приложены симметрично к верхнему и нижнему берегам щели (рис. 47), то

.

Для распределенных на некотором участке верхнего берега щели нагрузок (рис. 48) имеем

Рис. 47 Рис. 48 Рис. 49



.

В случае, изображенном на рис. 49, имеем

.

Рис. 50 Рис. 51 Рис. 52

Для примера на рис. 50 на правом и левом конце соответственно

.

Для щели, располагающейся вдоль длины окружности (рис. 51), КИН в наиболее опасной точке О имеют вид

.

В случае перешейка между двумя полубесконечными щелями имеют место следующие формулы

- у левого конца перешейка

- у правого конца перешейка

Разрез в полуплоскости. Задача о растяжении упругой полуплоскости с краевой щелью (рис. 53) рассматривалась многими авторами. Ее решение получено многими способами - как точными аналитическими методами, так и приближенными:

.

Коэффициент 1.12 вычислен с погрешностью 1%. Как видно, влияние свободной границы тела приводит к увеличению КИН на 12%.

Для задачи на рис. 54



.

Коэффициент 0.68 вычислен с ошибкой 3%.

В случае полубесконечного разреза, приближающегося к свободному краю полуплоскости (рис. 55) КИН равен

.

Рис. 53 Рис. 54 Рис. 55

Разрезы, исходящие из круглого отверстия. Решена задача о всестороннем и одностороннем растяжении плоскости с одной и двумя щелями, исходящими из кругового отверстия (рис. 56).

Рис. 56 Рис. 57 Рис. 58

Имеем

.

Решена задача о всестороннем растяжении плоскости со звездообразной щелью (рис. 57). Окончательный результат имеет вид

,

где (т) - коэффициент, зависящий от числа разрезов n.

Для круглого диска с внутренней щелью, раздавливаемого двумя сосредоточенными силами (рис. 58),

.

Рис. 59.

Тела сложной формы. Изучены многие случаи различных криволинейных отверстий со щелями. В случае всестороннего растяжения упругой плоскости с гипоциклоидальным отверстием, контур которого описывается уравнениями

,

где n - целое положительное число, КИН равен

.

Гипоциклоида имеет n+1 точку возврата, каждая из которых с точки зрения концентрации напряжений эквивалентна концу трещины (на рис. 59 изображена астроида с n=3).

Пространственные задачи. В силу сложности решения пространственных задач готовых решений накоплено значительно меньше, чем для плоского случая. Приведем окончательные результаты вычисления КИН в пространственных задачах.

Дискообразная щель. В общем осесимметричном случае дискообразного разреза вдоль z=0, x2+y2<a2 в безграничном пространстве (рис. 60) имеем



Рис. 60.

Здесь предполагается, что нагрузки симметрично приложены к верхнему и нижнему берегам щели, а на бесконечности напряжения исчезают.

При чистом изгибе стержня с дискообразной щелью (рис. 61) КИН будет следующим

.

Здесь Jy - соответствующий момент инерции поперечного сечения стержня, b - расстояние центра щели от нейтральной линии.



Рис. 61 Рис. 62

При скручивании круглого цилиндрического стержня с дискообразной щелью (рис. 62) имеем (здесь предполагается, что центр щели лежит на оси стержня, а плоскость щели перпендикулярна этой оси)

.

Итак, имеется большое количество решенных аналитическим способом задач по определению КИН для тел с трещинами различной конфигурации, но все же число этих задач ограничено.

Метод конечных элементов

В настоящее время известны различные методы расчета КИН, использованные на использовании МКЭ. Они имеют свои преимущества и недостатки. Рассмотрим некоторые из них.

Прямой метод

В этом случае для определения КИН в асимптотические формулы для компонент напряжений и перемещений в вершине трещины непосредственно подставляют возникающие в окрестности вершины трещины напряжения или перемещения, полученные с помощью МКЭ. При использовании напряжений этот способ называется прямым методом напряжений, а при использовании перемещений - прямым методом перемещений. Значения напряжений или перемещений, которые необходимо подставить в формулы, следует выбирать такими, чтобы они были определяющими для рассматриваемого типа деформирования. Например, в случае трещины типа I необходимо подставить компоненту напряжения y, которая действует на оси х в направлении оси у. По сравнению с методом напряжений метод перемещений дает более надежные результаты с точки зрения точности.

Расчет КИН прямым методом требует, чтобы решение для напряжений и перемещений имело достаточно высокую точность в окрестности вершины трещины. При использовании обычных элементов нельзя отразить особенность при приближении непосредственно к вершине трещины. Поэтому нельзя ожидать, что точность расчета напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины будет высокой. Следовательно, установленные по этим параметрам КИН также будут иметь не слишком хорошую точность. Поэтому при определении КИН с помощью обычных элементов необходимо предусмотреть меры, позволяющие улучшить точность решения. К таким мерам можно отнести следующие.

(1) У вершины трещины, насколько это возможно, желательно использовать разбиение на малые элементы (мелкую дискретизацию).

(2) Часто могут возникать ситуации, например при решении трехмерных задач, когда разбиение на мелкие элементы оказывается нерациональным с точки зрения вычислительных ресурсов. В таких случаях сначала находят решения для грубого разбиения, а затем выделяют окрестность вершины трещины, выполняют мелкое разбиение и решают задачу. При этом в качестве граничных условий используют перемещения узлов и узловые силы, полученные в предыдущем решении. Такой способ решения называют поэтапным.

(3) Используя асимптотические формулы для компонент напряжений и перемещений в вершине трещины, в точках, расположенных на различных расстояниях r от вершины трещины, расчетным путем определяют значения К и строят график зависимости К от r. Искомое значение К, соответствующее рассматриваемой трещине, принимают равным тому значению, которое получается в результате экстраполяции при r 0 (рис. 63). Следует иметь в виду, что значения К, соответствующие точкам, наиболее близко расположенным к трещине, обладают не очень хорошей точностью. Поэтому при проведении экстраполяции эти значения исключают.

Рис. 63. Оценка КИН путем экстраполяции

(4) Используют всевозможные разбиения от грубых до мелких и определяют значения К, проводя так же, как в п. 3, экстраполяцию при r 0.

В пп. (1) и (3) дискретизация выполняется один раз, а в пп. (2) и (4) - несколько раз, что затрудняет решение задачи. Пункты (1) и (3), а также их сочетание можно отнести к таким методам оценки К, когда необходимо, используя обычные элементы и не выделяя особенностей, довольно быстро определить КИН. В других случаях необходимо использовать специальную дискретизацию.

Энергетический метод

Известно несколько энергетических методов, наиболее распространенным из которых является метод полной энергии. Интенсивность G освобождения энергии, которое имеет место при распространении трещины в упругом теле, связана с КИН зависимостью

.

При распространении трещины на величину А изменение энергии деформации составляет U. Интенсивность освобождения энергии можно также представить как G=U/А. Таким образом, если в результате использования МКЭ установить интенсивность освобождения энергии G, можно определить КИН. Однако видно, что найденный таким образом КИН должен относиться к трещине одного из типов, т.е. для этих типов трещин расчет К возможен только порознь.

При определении интенсивности освобождения энергии можно воспользоваться изложенными ниже двумя способами.

А. Методом конечных элементов проводят численное решение для трещины площадью А. При этом определяют энергию упругой деформации U(A). Затем рассматривают рост трещины на один элемент. При тех же граничных условиях вновь МКЭ решают задачу и определяют U(A+А). Тогда G=( U(A+А) - U(A))/ А. Энергию упругой деформации можно установить путем интегрирования энергий деформации в отдельных точках по всей рассматриваемой области. Полученное значение должно быть равно работе внешних сил. Однако расчет работы внешних сил довольно прост и позволяет исключить сложности, связанные с интегрированием.

Б. Можно не рассматривать рост трещины на один элемент, а за счет соответствующего смещения координаты вершины трещины задавать ее распространение (рис. 64). В результате такой операции будет происходить изменение жесткости. При этом можно считать, что жесткость меняется лишь у тех элементов, которые окружают вершину трещины. Если принять это во внимание и путем исключения решать систему линейных уравнений, можно за одно решение определить U= U(A+А) - U(A). При этом необходимо в процессе исключения вначале соответствующим образом вводить указанную операцию распространения трещины.



Рис. 64. Виртуальный рост трещины

В случае использования метода А необходимо по отдельности дважды проводить решение. В рассматриваемом же методе в этом нет необходимости. Его можно эффективно использовать при большом числе уравнений, в частности при решении трехмерных задач. Метод Б носит название метода виртуального роста трещины, а метод А - метода податливости.

Использование специальных элементов

Методы, использующие аналитические решения. На рис. 65 изображен треугольный элемент с трещиной, предложенный Бисковым. В качестве решения вводится решение, полученное из функции напряжений Мусхелишвили. При этом аналитическое решение имеет особенность напряжений, характерную для вершины трещины. В случае такого элемента восьми степеням свободы узлов соответствует восемь независимых переменных: три переменные, характеризующие перемещения твердого тела, три средних напряжения и КИН КI и КII.

Рис. 65. Специальные элементы Бискова и Уилсона

Руководствуясь аналогичными соображениями, Уилсон предложил круглый элемент с трещиной (рис. 65) и нашел решение, используя до высоких порядков разложение функции перемещения в окрестностях трещины.

Необходимо отметить, что при использовании этих элементов в реальных условиях обычно их окружение составлено из треугольных элементов. При этом обеспечиваются такие условия, при которых перемещения смежных элементов в узлах совпадают, однако в общем случае не выполняется условие неразрывности перемещений на границах элементов, за исключением узлов. Поэтому не существует теоретического обоснования сходимости. Тем не менее, численные эксперименты показали, что при этом не возникает существенных проблем.

Рис. 66. Специальный элемент Уилсона

Методы, использующие простые функции для описания особенностей. На рис. 66 показан предложенный Уилсоном элемент, представляющий собой равнобедренный треугольник, вершина которого находится в вершине трещины. Для этого элемента перемещение можно представить таким образом

.

Аналогично можно определить перемещение v. Такой элемент для напряжений и деформаций имеет особенность в вершине трещины.

Деформированные изопараметрические элементы. У обычного восьмиузлового изопараметрического элемента узлы находятся на серединах сторон. Если сместить узлы в точки, соответствующие ј длины стороны, то можно получить особенность в вершине трещины (рис. 67). Однако в этом случае будет отсутствовать сходимость решения и энергия деформации будет иметь особенность в вершине трещины. В связи с этим предложено считать длину одной из сторон четырехугольника равной нулю. В результате объединения смежных узлов удалось получить элемент, который одновременно обладал всеми необходимыми свойствами (рис. 67).

Рис. 67. Деформированные элементы

Такой элемент может быть использован как для упругого тела, так и для идеально пластического без деформационного упрочнения.

Управление поведением трещин на основе линейной механики разрушения

Одно из наиболее важных для инженерной практики применение методов механики разрушения - управление поведением трещин. Здесь речь идет о том, что при обнаружении трещины есть возможность тормозить и (или) останавливать ее развитие, а также принимать меры, чтобы в данном месте конструкции трещина больше не возникала. Достижение этих целей требует, как правило, некоторых конструктивных изменений в поврежденный узел или элемент конструкции. И тогда необходимо вести речь о проектировании модернизации. Другими словами, имея дело уже с возникшей при эксплуатации трещиной, или предполагая, исходя из анализа напряженно-деформированного состояния, возможность ее возникновения, необходимо принятие соответствующих проектно-конструкторских решений. В большинстве случаев они сводятся к конструкционному торможению трещин с помощью ребер жесткости, ремонтных заплат, разгружающих отверстий и стопперов.

Конструкционное торможение трещины ребрами жесткости. Одной из важнейших характеристик сопротивления материала трещинообразованию является величина предельной нагрузки, связанная с началом развития трещины. Однако это справедливо только в случае лавинообразного неустойчивого распространения. Во многих случаях взаимодействия трещин с препятствиями и границами, как показывают эксперименты и расчеты, на значительном участке изменения нагрузки развитие трещины протекает устойчиво. Очевидно, что наличие устойчивых трещин в конструкциях, работающих зачастую в определенных режимах изменения внешних нагрузок, гораздо менее опасно, а искусственное усиление таких конструкций (за счет постановки заклепок, пластин и стрингеров, высверливания отверстий на пути распространения трещин и т.д.) может значительно продлить их жизнь.

Для предотвращениия катастрофического развития трещины и разрушения конструкции трещины подкрепляют ребрами жесткости, препятствующими их распространению (рис. 68). Возможна следующая простейшая схематизация этой задачи. Бесконечная пластина единичной толщины с трещиной растягивается на бесконечности однородным напряжением (рис. 69); действие подкрепляющих ребер заменяется четырьмя симметрично расположенными сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения ближайших к трещине заклепок; величина этих сил считается заданной. Как показывают оценки, действием более удаленных заклепок можно пренебречь.



Рис. 68. Панель с приклепанными ребрами жесткости

Рис. 69. Схематизация задачи о трещине в листе с ребрами жесткости

На рис. 70 представлены зависимости критического напряжения от длины трещины и местоположения заклепок.

Рис. 70. Зависимость критического напряжения от длины трещины для различных положений точек приложения сосредоточенных сил, имитирующих действие заклепок. Линия 1 соответствует отсутствию заклепок. Величина равна: для линий



2 - 0.15; 3 - 0.25; 4 - 0.4; 5 - 0.5; 6 - 0.75

Здесь же построена кривая 1, соответствующая отсутствию подкрепляющих ребер. Очевидно, что трещина устойчива, если напряжение, необходимое для ее поддержания в критическом состоянии, возрастает с увеличением длины трещины. Как видно, существует критическое значение 0 безразмерного параметра = y0/L такое, что при > 0 кривая не имеет участков возрастания, так что трещина всегда неустойчива, а при < 0 имеется участок возрастания, на котором трещина устойчива.

В этом решении сила Р, характеризующая действие заклепок, считалась постоянной. На самом деле величина этих сил вполне определяется упругими и геометрическими характеристиками рассматриваемой задачи, а также величиной приложенной нагрузки. При этом результаты количественно несколько отличаются от представленных.

Введение в рассмотрение нескольких рядов заклепок действие подкрепляющих ребер сказывается в появлении нового качественного эффекта - стабилизации трещин.

Конструкционное торможение трещин ремонтными заплатами. Постановка ребер жесткости может производиться как при создании конструкции, так и после непосредственного обнаружения трещин, появившихся в процессе ее эксплуатации. В последнем случае в качестве ребра, наряду с обычными стрингерами могут применяться и ребра в виде полос или заплат-дублеров, приваренных, приклеенных или приклепанных к конструкции (рис. 71). В отдельных случаях такие ребра, помимо торможения трещин, могут обеспечивать также герметичность, местную прочность конструкции, защиту от коррозии и т.п., т.е. могут выполнять несколько функций.



Основными факторами, влияющими на КИН в связи установкой ремонтных заплат, являются форма заплаты и ее жесткость. На рис. 72 показано изменение коэффициента интенсивности напряжений в функции отношения длины трещины к ширине заплаты для трех размеров заплаты. Видно, что КИН сначала (по мере увеличения длины трещины) уменьшается, пока вершины трещины не достигнут края заплаты. Когда вершины трещины находятся под заплатой, КИН также уменьшается с уменьшением размера заплаты. Когда же трещина выходит за пределы заплаты, КИН быстро увеличивается.

КИН рассчитаны также для двух значений жесткости S=tE/tзEз. Видно (рис. 73), что более жесткая заплата с меньшей S уменьшает КИН.

Результаты расчетов указывают, что жесткость заплаты является основным фактором (по сравнению с размерами заплаты и числом точек ее скрепления с пластиной), определяющим ее влияние на КИН.

Конструкционное торможение трещин разгружающими отверстиями. Следует заметить, однако, что использование приведенных выше результатов и выводов существенно ограничивается принятым при решении предположением о возможности сноса сил взаимодействия пластин и ребер жесткости в срединную плоскость пластин. Такой подход, строго говоря, правомерен лишь для случая симметричного относительно срединной плоскости пластин, расположения ребер. В противном случае изгибные напряжения, действующие в пластине, могут не только уменьшить подкрепляющий эффект ребер жесткости, но и привести к увеличению КИН в конце трещины. С этой точки зрения наиболее достоверные результаты получены для методов конструкционного торможения трещин, основанных на использовании разгружающих отверстий. Такие отверстия не вносят нежелательный эксцентриситет, более просты в исполнении и не требуют дополнительных затрат металла. На рис. 74 приведена зависимость КИН для трещины, распространяющейся между двумя отверстиями, от геометрии трещины и отверстий.

Рис. 74. Схема остановки трещины

Достигаемое в рассмотренном случае значительное снижение КИН способствует переходу неравновесной трещины (или трещины усталости) в равновесную. Однако увеличение КИН при приближении трещины к отверстию приводит к разгону развивающейся трещины, что не позволяет надежно использовать такую схему торможения.

При распространении реальных трещин возможно также отклонение ее траектории от прямолинейной вплоть до захвата трещины отверстием. При этом на первом этапе происходит постепенное исчезновение сверхострого концентратора в вершине трещины при достижении отверстия. Второй этап - вторичное появление зоны сверхконцентрации напряжений и появление трещины на противоположной стороне отверстия. И хотя вторая стадия значительно продолжительнее первой, полной остановки трещины не наблюдается.

Влияние отверстий на развитие усталостных трещин состоит в следующем. Если на пути развивающейся усталостной трещины встречается круглое отверстие, то тормозящий эффект этого отверстия, проявляющийся после входа в него трещины (независимо от размера и местоположения отверстия), практически компенсируется ускорением роста трещины при ее приближении к отверстию (за счет увеличения КИН) и увеличением размера повреждения (за счет присоединения к повреждению самого отверстия).

Иначе обстоит дело, если разгружающее отверстие просверлено в кончике трещины после ее обнаружения. Эффективность такого приема определяется различного рода факторами: устранением сверхконцентрации напряжений и наиболее поврежденного материала в кончике трещины, появлением остаточных сжимающих напряжений в процессе холодной обработки и уменьшением чувствительности материала к концентрации напряжений и т.п. Количественная оценка столь многофакторного явления очень сложна. Можно использовать следующий инженерный подход к оценке эффективности торможения трещин с помощью засверливания ее концов, основанный на принципе равнопрочности. Учитывая что элементы конструкции содержат как правило, концентраторы напряжений, представляется возможным выбрать из них те, которые работают в условиях, аналогичных элементам, содержащим трещину. Тогда можно считать, что достаточный эффект торможения засверленной по краям трещины достигнут, если теоретический коэффициент концентрации для образовавшегося при засверловке концентратора не больше, чем для концентраторов в элементах-аналогах (выполненных из одинакового материала), т.е., когда достигнута равнопрочность элементов. Такой подход дает ошибку в безопасную сторону для большинства практически реализуемых случаев, когда эффективный коэффициент концентрации напряжений не больше теоретического. И хотя оценка получается относительной, и на вопрос о времени появления вторичной трещины следует ответ: “Практически не раньше, чем у концентратора-аналога”, данный подход представляется наиболее целесообразным на сегодняшний день. Таким образом, в первом приближении задача может быть сведена к определению концентрации напряжений при статическом нагружении.

...