Механика разрушения

Известно, что коэффициент концентрации напряжений определяется в основном длиной концентратора и радиусом кривизны его контура в точке действия максимальных напряжений. Это позволяет в ряде случаев при определении концентрации напряжений изучаемый концентратор заменить на эквивалентный, решение для которого имеется. Можно ввести понятие эквивалентного эллипса, позволяющее определить максимальный коэффициент концентрации напряжений для концентратора в виде трещины с отверстиями в ее концах в пластине при растяжении. Около концентратора описывается эллипс (полуэллипс) с большой осью (полуосью), равной длине концентратора, и минимальным радиусом в вершине, равным радиусу отверстия. В таблице представлены теоретические коэффициенты концентрации напряжений эквивалентного эллипса для различных случаев засверловки отверстия.

Четвертая схема в таблице соответствует взаимодействию круглого отверстия - инициатора трещины и разгружающего отверстия. Из формулы видно, что при больших отношениях l/R засверливание концов трещины малоэффективно, т.к. коэффициент концентрации напряжений может принимать достаточно большое значение. Его уменьшение может быть достигнуто за счет замены формы разгружающих отверстий, например, на эллиптические. Однако изготовление такого отверстия трудоемко. Поэтому более целесообразным представляется использование системы основных и дополнительных (деконцентраторов) разгружающих отверстий, эквивалентных заменяемому эллиптическому отверстию. Некоторые такие возможные схемы приведены в таблице. Значение N указывает долю коэффициента концентрации напряжений при наличии дополнительных разгружающих отверстий в сравнении с их отсутствием. Практически в среднем тридцатипятипроцентное уменьшение коэффициента концентрации засверленной по концам трещины определяется сглаживанием траектории главных напряжений растяжения в районе разгружающих отверстий.

Очевидно, что эффективное использование систем разгружающих отверстий и ребер жесткости возможно лишь для торможения равновесных трещин. Для торможения же быстроразвивающихся хрупких трещин наиболее перспективным является применение стопперов в виде пластин или полос из стали с повышенными вязкостными характеристиками, вваренными в основную конструкцию. Способность стоппера тормозить трещину зависит как от характеристик его материала, так и от размеров стоппера, его расположения относительно места зарождения трещины и направления ее распространения. Отметим лишь, что использование стопперов предполагает знание слабых мест конструкции, подверженных трещинообразованию, и предусматривается, как правило, еще на стадии проектирования конструкции или в проектах модернизации.

Теоретические коэффициенты концентрации напряжений

Конструктивная схема	Выражение для коэффициента концентрации

Варианты разгружающих отверстий у вершины трещины

Напряженное и деформированное состояние в вершине трещины в упругопластической области. Раскрытие трещины

В области, где не удовлетворяется условие маломасштабной текучести, нельзя использовать коэффициент интенсивности напряжений. Подход, связанный с использованием поправки Ирвина на пластичность здесь дает существенную погрешность и необходимы другие критерии и подходы. Из рассмотрения деформаций в вершине трещины непосредственно вытекает критерий раскрытия трещины (COD).

Модель Дагдейла

Одним из методов, который позволяет при плоском напряженном состоянии определить длину пластической области перед трещиной. На рис. 75, а показана трещина длиной 2l. Трещина находится в пластине, в которой на значительном удлинении от нее действует растягивающее напряжение . У вершин трещины образуются пластические области rp. При составлении своей модели Дагдейл поступил как показано на рис. 75, б, в. Он предположил, что существует некоторая фиктивная упругая трещина, которая состоит из действительной трещины и дополнительной вместо пластической зоны. Участок действительной трещины имеет свободные поверхности, а участок вместо пластической зоны представляет собой область, где действуют растягивающие напряжения т.

Рис. 75. Пояснение к модели Дагдейла



Таким подходом можно пользоваться и при анализе напряжений упругости, возникающих в растягиваемых телах, часть берегов трещины в которых подвержена действию напряжения т. Для определения длины пластической зоны rp Дагдейл рассмотрел следующее. В вершинах пластических зон напряжение равно т и особенность напряжений отсутствует. Поэтому в таких точках КИН обращается в нуль. Используя КИН К1 рассматриваемой трещины, обусловленный удаленными напряжениями, и КИН К2 из-за напряжений т, действующих на берегах трещины, можно записать условие К1+К2=0. Для бесконечной пластины с трещиной К1=(b)1/2 (рис. 76). Таким образом, осталось найти КИН К2. Это можно сделать следующим образом. Как показано на рис. 76, в точке с координатой х на берегах трещины действуют две сосредоточенные силы Р. В этом случае для точек А и В КИН можно представить зависимостями

.

Рис. 76. Действие на трещину сосредоточенной раскрывающей нагрузки

Когда при l x b действуют равномерно распределенные растягивающие напряжения, в предположении, что Р= - тdx, можно установить следующее

.

Интегрируя, получим

.

Следовательно

.

Полученную зависимость можно преобразовать к виду

.

Отсюда для длины пластической зоны можно получить выражение

.

При маломасштабной текучести, т.е. в случае << Т, разлагая в ряд последнее выражение и отбрасывая члены более высокого порядка, получаем

.

Представляет интерес сопоставить полученный результат с поправкой Ирвина, т.е. с

.

Приходим к выводу, что сравниваемые зависимости хорошо совпадают, если не принимать во внимание небольшое различие в коэффициентах.

Перейдем теперь к определению раскрытия трещины, основанному на модели Дагдейла. Окончательный результат имеет вид

.

При маломасштабной текучести

.

На рис. 77 приведены зависимости безразмерных длины пластической области и раскрытия трещины от относительного напряжения, полученные из модели Дагдейла. Эти зависимости сопоставлены с результатами, установленными при маломасштабной текучести. Факты свидетельствуют, что если относительное напряжение не превышает 0.4…0.5, то можно считать, что допущение о маломасштабной текучести справедливо.

Рис. 77. Раскрытие трещины в вершине и длина пластической области по модели Дагдейла: 1 - безразмерная длина пластической области;

2 - безразмерное раскрытие трещины;

3 - результаты при маломасштабной текучести

Модель Билби-Коттрелла-Суиндена

Билби, Коттрелл и Суинден, не используя модель Дагдейла, проанализировали рассматриваемую задачу, полагая, что приемлемой является теория непрерывно распределенных дислокаций. Они применили приведенную на рис. 78 модель, согласно которой сама трещина и пластические области, расположенные по ее концам, могут быть заменены некоторым фиктивным распределением дислокаций. В такой модели трещина типа III (продольный сдвиг) может быть представлена винтовыми дислокациями, а трещина типа II (поперечный сдвиг) - краевыми дислокациями.

Рис. 78. Модель Билби-Коттрелла-Суиндена (трещина типа II)

Из рассматриваемой модели вытекает следующая зависимость для раскрытия трещины

.

Моделями Дагдейла и Билби-Коттрелла-Суиндена удобно пользоваться для оценки COD в диапазоне полномасштабной текучести. Однако при равенстве напряжений пределу текучести вдали от трещины пластические области становятся бесконечно большими. При этом указанные модели теряют смысл и не могут быть использованы для полной текучести. Чтобы обойти эти трудности, следует принять во внимание, что в реальных материалах происходит деформационное упрочнение. При этом в формулах предел текучести можно заменить пределом прочности.

Критерий разрушения COD

Как и в случае ЛУМР, использование критерия разрушения COD основано на допущении, что разрушение наступает, когда раскрытие трещины в вершине достигает некоторого критического значения с, характерного для рассматриваемого материала. Необходимо иметь в виду, что на настоящем этапе обоснование такого допущения является еще несовершенным. Тем не менее, измерение с материалов, разрушающихся после общей текучести, представляет определенную ценность, так как позволяет оценивать их относительную вязкость при данной температуре.

При этом должно быть ясное представление о том, что значение с относится только к началу движения трещины, и в отличие от параметра КIc не характеризует точку полной нестабильности разрушения, полученную из энергетических соотношений. Разница между с при начале роста трещины и при наступлении полной нестабильности ее развития может быть существенной.

Таким образом, можно считать, что среди критериев разрушения, основанных на использовании COD, можно выделить величину i появления устойчивой трещины у затупившейся ее вершины, являющуюся параметром, который можно рассматривать в большей степени как константу материала. Если говорить о применимости i для оценки материала, то не обязательно следует иметь в виду проверку в широком диапазоне толщин и форм образцов. Важными являются случаи, при которых используют глубокие исходные разрезы. Это позволяет добиться значительной степени стеснения, с которой приходится иметь дело на практике. Полученная для таких случаев величина i по крайней мере может служить критерием безопасности для низкопрочных конструкционных материалов, обладающих высокой пластичностью, у которых перед окончательным разрушением происходит окончательный рост трещины. Следует также отметить, что использование при проектировании величины i идет в запас прочности.

Оценка раскрытия трещины

Определение раскрытия трещины на основе центра поворота

При помощи представленного на рис. 79 центра поворота можно описать COD у образца, в котором под действием изгибной нагрузки возникает полная текучесть.

Рис. 79. Центр поворота образца для испытаний на трехточечный изгиб и компактного образца

Полагают, что относительно этого центра происходит поворот половинок образца как твердых тел. Здесь b1 - остаточная длина сечения. Расстояние от вершины трещины до центра поворота можно представить как rb1=r(b-l), где r - коэффициент поворота. Раскрытие трещины на поверхности образца равно Vg и определяется датчиками раскрытия. Исходя из простых геометрических соображений, можно найти раскрытие трещины в вершине



.

Образцы для изгиба приняты за стандартные для определения предельных значений COD в лабораторных условиях. При этом по результатам измерения перемещений с помощью датчиков раскрытия оценивают COD по специальным формулам. При составлении таких формул принимали во внимание также эффект, который вносит упругая деформация как в области маломасштабной текучести, так и в области полномасштабной текучести.

Решение при помощи МКЭ

Точное определение COD при помощи МКЭ оказывается затруднительным. COD представляет собой раскрытие трещины в вершине. Для его точного определения необходимо использовать решение, учитывающее большие деформации. В обычных программах МКЭ полагают, что деформации являются малыми. При этом считают, что узлы в вершине трещины фиксированы. Поэтому в месте расположения таких узлов раскрытие трещины оказывается равным нулю. Чтобы по результатам такого решения оценить COD, приходится использовать различные приемы.

Экстраполяция. Предположим, что можно исключить из рассмотрения один-два узла, которые располагаются в окрестности вершины трещины. При этом перемещения других узлов, расположенных на трещине, укладываются почти на одну прямую линию. Если для такой линии выполнить экстраполяцию до вершины трещины, то можно получить соответствующую оценку для COD (рис. 80).



Рис. 80. Раскрытие трещины в вершине при трехточечном изгибе при полной текучести

Такой подход оказывается возможным для образцов, величина COD которых может быть выражена при помощи центра поворота. Это обычно образцы для испытаний на трехточечный изгиб, компактные образцы, а также образцы с одним краевым надрезом. При дальнейшей экстраполяции прямая линия пересечется с осью, содержащей трещину. Можно считать, что точка пересечения является центром поворота.

На рис. 80 показаны перемещения поверхности трещины у образца на трехточечный изгиб. По оси абсцисс отложен параметр (l-x)/l. Нулевое значение этого параметра соответствует поверхности образца, а единичное - вершине трещины. Из рисунка видно, что если исключить два узла, считая от вершины трещины, то раскрытия трещины будут укладываться почти на прямые линии. Если для этих прямых провести экстраполяцию, показанную штриховыми линиями, то при (l-x)/l=1 можно определить соответствующие значения COD. Продолжение этих линий до пересечения с осью абсцисс позволит найти коэффициенты поворота. Полученные таким образом коэффициенты поворота r в диапазоне маломасштабной текучести принимают малые значения, а с ростом деформации коэффициент поворота становится почти постоянным и равен 0.3.

Использование специальных элементов. В окрестности вершины трещины могут быть использованы показанные на рис. 81 секторные элементы. Функцию перемещения для этих элементов можно записать в виде

,

.

Рис. 81. Секторные элементы

Когда узлы i и 1 в вершине трещины совпадают, деформация внутри элемента имеет особенность вида 1/r. С развитием деформации складывается такая ситуация, при которой перемещение узла i отличается от перемещения узла 1. Ранее совпадавшие узлы расходятся. Тогда перемещение в вершине трещины можно представить как функцию параметра .

J-интеграл

Определение J-интеграла

Понятие J-интеграла было введено с целью исследования свойств концентрации деформаций, которые происходят в окрестности вершины трещины в материале, поведение которого носит нелинейный характер.

Рассмотрим однородное тело, которое может обладать линейным и нелинейным поведением, и не имеет массовых сил (рис. 82).

Рис. 82. Щелевой надрез и произвольный контур,охватывающий его вершину

Положим, что в таком теле имеется двумерное деформационное поле, все компоненты напряжений которого определяются только двумя декартовыми координатами x=x1 и y=x2. Это может быть плоская деформация, плоское напряженное состояние. Рассматриваемое тело имеет надрез, который состоит из свободных поверхностей, параллельных оси х, и дуги Гt. Прямую трещину можно отнести к предельному случаю, при котором радиус кривизны дуги обращается в нуль. Для этого тела плотность энергии деформации можно определить как

.

Тогда J-интеграл можно определить в виде

,

где Г - контур, окружающий вершину разреза. Интегрирование начинается с нижней поверхности надреза вдоль контура Г против часовой стрелки и заканчивается на верхней поверхности надреза. Здесь Т - поверхностный вектор силы, и - вектор перемещения на контуре Г, а ds - малый его элемент.

Доказано, что для произвольной замкнутой кривой Г* справедливо

.

Рассмотрим два контура Г1 и Г2 (рис. 83).



Рис. 83. Два контура интегрирования, охватывающие вершину надреза

Начнем перемещаться вдоль контура Г1 от нижней поверхности надреза против часовой стрелки к верхней поверхности. Затем перейдем ко второму контуру Г2 и от верхней поверхности надреза переместимся к нижней поверхности, двигаясь по часовой стрелке. По нижней поверхности надреза вернемся в начальную точку контура Г1, пройдя замкнутый путь. Поскольку в рассматриваемом случае образуется один замкнутый контур, интеграл по этому контуру обращается в нуль. На участках, которые расположены на поверхностях надреза и являются параллельными оси х, Т=0 и dy=0. На основании этого можно записать

.

Это означает, что сумма интегралов: интеграла по контуру Г1 (интегрирование против часовой стрелки) и интеграла по контуру Г2 (интегрирование по часовой стрелке) равна нулю. Если провести интегрирование по контурам Г1 и Г2, обходя контуры против часовой стрелки, то значения интегралов, соответствующих этим контурам, будут равны. Следовательно, можно считать, что J-интеграл не зависит от пути интегрирования.

Энергетическая трактовка J-интеграла

Два частных случая. Для двух приведенных на рис. 84 конфигураций можно весьма просто найти J-интеграл.



Рис. 84. Бесконечные полосы с полубесконечными надрезами

Такие конфигурации не особо важны в реальных задачах. Однако ими удобно пользоваться для объяснения зависимости, связывающей J-интеграл с интенсивностью изменения потенциальной энергии. На рис. 84 (а) показана полубесконечная полоса шириной h с разрезом, параллельным оси x. На верхнюю и нижнюю поверхности полосы действуют внешние силы таким образом, что вектор перемещений u является постоянным (поворот отсутствует). Остановимся на рассмотрении показанного штриховой линией контура Г. Положим, что в направлении оси х этот контур распространяется до бесконечности. Для частей контура, расположенных на верхней и нижней поверхностях, можно считать, что dy=0 и u/x=0. Поэтому вклад этих частей в J-интеграл оказывается нулевым. Помимо этого следует иметь в виду, что W=0 и u/x=0 при х= - . Поэтому вклад в J-интеграл на таком участке также отсутствует. Следовательно, можно считать, что значение J-интеграла определяется вкладом, который имеет место при х= + . Если принять во внимание, что на этом участке u/x=0, то

,

где W - постоянная плотность энергии деформации при х= + .

На рис. 84, б представлен случай, при котором рассматривается такая же конфигурация, но с другими внешними нагрузками. При х= - действуют моменты М, отнесенные к единице толщины. Таким образом, можно считать, что при х= - возникает чистый изгиб. При этом все компоненты напряжений за исключением х, можно положить равными нулю. Рассмотрим показанный штриховой линией контур Г. Ввиду того, что при х= + параметры W и Т обращаются в нуль, вклад в J-интеграл отсутствует. Как и в предыдущем примере, на верхней и нижней поверхностях надреза dy и Т равны нулю и вклада в J-интеграл нет. Следовательно, в рассматриваемом случае величина J может быть получена при х= - в результате интегрирования в направлении высоты балочного участка. На этом участке dy= - ds, Ty = 0 и Tx = -x. Если учесть этот вклад для верхней и нижней балок, то можно установить следующее

.

Величина характеризует плотность дополнительной энергии. Таким образом, при чистом изгибе, когда на единицу толщины действует момент М, величину J можно записать в виде

,

где b(М) - дополнительная энергия, отнесенная к единицам длины и толщины балок.

J-интеграл при маломасштабной текучести. Положим, что в теле имеется узкий надрез или трещина, которая представляет собой предельный случай надреза. Под действием внешних сил в окрестности вершины надреза возникает маломасштабная текучесть (рис. 85).



Рис. 85. (а) маломасштабная текучесть у вершины трещины или надреза в упругопластическом теле; (б) асимптотическая аппроксимация при замене конечного тела на бесконечное с полубесконечным надрезом

Под действием симметричной нагрузки, приложенной к участку, где расположена трещина или надрез, в материале возникают деформации, которые носят плоский характер. Остановимся сначала на решении задачи линейной упругости в предположении, что надрез представляет собой острую трещину (или разрез). Воспользуемся полярными координатами r и , начало которых находится в вершине трещины. Напряжение, действующее в вершине трещины, можно представить так

+ (слагаемые, не имеющие отношения к трещине).

Положим, что в рассматриваемом материале могут возникать упругопластические деформации. При действии достаточно малых внешних сил у вершины трещины возникает пластическая область, которая достаточно мала по сравнению с длиной разреза и другими размерами образца. Таким образом, остановимся на случае маломасштабной текучести (рис. 85, а). Можно предположить, что особенность напряжений вида r-1/2 является определяющей с внешней стороны пластической области и располагается на некотором удалении от вершины надреза, причем на таком участке, который достаточно близок к вершине сравнительно с длиной разреза. Рисунок 85, а соответствует конфигурации, с которой приходится иметь дело в действительности. Такую конфигурацию можно заменить более простой (рис. 85, б), представляющей собой бесконечное тело, имеющее разрез полубесконечной длины. В таком случае вместо граничных условий, характеризующих рис. 85, а, используют асимптотическое граничное условие

.

Полученное решение оказывается справедливым с математической точки зрения только при очень низких внешних силах. Если провести сопоставление с полным решением, при котором учитывается пластичность, то можно, однако, установить, что решение, основанное на использовании изложенного выше подхода, оказывается приемлемым до нагрузок, составляющих значительную часть(примерно половину в обычных условиях) нагрузки, при которой возникает полная текучесть. Воспользуемся таким подходом и проведем оценку J-интеграла. С этой целью для случая рис. 85, б примем, что контур Г представляет собой большую окружность радиуса r. Тогда можно записать следующее:

.

Согласно инвариантности, можно считать, что при любом радиусе r величина J не изменяется. Это позволяет считать, что возможен предельный переход при r . Зависимость W от деформации является зависимостью второго порядка. В таком случае члены в

+ (слагаемые, не имеющие отношения к трещине),



имеющие особенность r-1/2, в основном и определяют величину J. Вклад, который вносят другие члены, можно при переходе к пределу не принимать во внимание. Если выполнить операцию интегрирования предпоследнего уравнения, полагая, что существует поле плоской деформации, то для маломасштабной текучести можно установить следующее соотношение:

.

Для бесконечной пластины, имеющей разрез длиной 2l, в которой на значительном удалении от разреза действуют равномерно распределенные растягивающие напряжения , можно установить, что KI = (l)-1/2. Следовательно, в случае маломасштабной текучести

.

Для плоского напряженного состояния вместо (1-2) следует подставить единицу. Аналогично можно поступить и при нагрузке общего вида. Можно воспользоваться коэффициентами KI, KII, KIII, которые представляют соответственно отрыв, поперечный и продольный сдвиг. Если существует поле, в котором сосуществуют эти три параметра, то при маломасштабной текучести получим

.

Таким образом, J-интеграл эквивалентен интенсивности освобождения упругой энергии G в области маломасштабной текучести.

Связь J-интеграла с интенсивностью освобождения упругой энергии. Рассмотрим двумерное упругое тело с надрезом (рис. 86).

Рис. 86. Контур интегрирования, охватывающий вершину надреза

Это тело занимает область D, имеющую границу С. Приходящаяся на единицу толщины потенциальная энергия

,

где СТ - часть границы С, на которой задана поверхностная сила Т. Положим, что происходит переход от одного состояния к другому, который сопровождается увеличением надреза на величину l. При этом конфигурация контура Гt у вершины надреза остается прежней. В результате изменения длины надреза на l происходит изменение потенциальной энергии. После проведения всех выкладок оказывается, что J = - П/l.

Таким образом, J-интеграл может быть представлен через интенсивность освобождения упругой потенциальной энергии при изменении длины надреза. Можно считать, что J-интеграл, с одной стороны, имеет смысл интенсивности освобождения упругой энергии, а с другой - представляет собой параметр, который характеризует местное поле деформаций, возникающее в окрестности вершины разреза.

Применение J-интеграла

Определение концентрации деформации у вершины трещины. Понятие J-интеграла впервые было введено Райсом и Черепановым с целью исследования свойств концентрации деформаций, которые происходят в окрестности вершины трещины в материале, поведение которого носит нелинейный характер. Примерно одновременно были опубликованы работы Хатчинсона, а также Райса и Розенгрена, в которых были рассмотрены особенности деформаций у вершин трещин, возникающих в материалах, следующих деформационной теории пластичности. Полученное решение назвали ХРР-решением, используя начальные буквы фамилий указанных авторов. Основные результаты здесь заключаются в следующем.

Связь между напряжениями и деформациями может быть представлена степенным законом упрочнения в следующем виде

,

где П - пластическая составляющая деформации; Т - предел текучести при растяжении; Т = Т /E; и n - постоянные материала. В случае ХРР-решения считают, что для указанного выше уравнения связи в окрестности вершины трещины имеет место асимптотическое решение и что напряжение, деформация и энергия деформации имеют особенности вида r-1/(n+1), r--n/(n+1), r-1 соответственно. При этом имеет место зависимость J=IKK, где I - безразмерный коэффициент; K - пластический коэффициент интенсивности напряжений; K - коэффициент интенсивности деформаций. При n = 1

,

имеет место линейно-упругое состояние.

Критерий разрушения Jc. Для использования J-интеграла как параметра, описывающего условия разрушения пластического тела, теоретических обоснований недостаточно. Тем не менее, эксперименты и численные расчеты показывают, что J-интеграл может быть использован в такой роли при проектировании с учетом того, что разрушение не должно произойти.

Положим, что существуют две трещины: одна в компактном образце, предназначенном для проведения испытаний в лабораторных условиях, а вторая - в крупном элементе реальной конструкции. И образец, и элемент изготовлены из одного и того же материала, обладающего высокой пластичностью. Полученные расчетным путем значения J-интеграла в случае их равенства некоторому постоянному значению JIc свидетельствуют о том, что начинается рост трещины. Следует иметь в виду, что при высокой пластичности материала, прежде чем будет достигнуто значение JIc, в компактном образце возникнет значительная пластическая деформация и уменьшится стеснение деформаций. При этом может случиться, что даже после достижения значения JIc будет происходить устойчивое распространение трещины. В крупном элементе конструкции при достижении значения JIc еще будет маломасштабная текучесть, а за пределами этого значения произойдет неустойчивое разрушение.

Результаты экспериментальных исследований, полученные для различных материалов, показывают, что существует предельное значение J, соответствующее возникновению разрушения и не зависящее от конфигурации образца. Средние значения для наиболее распространенных легированных сталей составляют 170…190 кДж/м2.

Итак, измерения COD и JIc являются попыткой охарактеризовать вязкое разрушение однозначным параметром, который может быть связан с критической величиной высвобождения энергии при разрушении массивного образца перед наступлением общей текучести. Критерий раскрытия трещины сосредоточивает внимание на области вершины трещины, и его можно прямо связать с микромеханизмами разрушения на площади около 0.01 мм2; J-интеграл связан с макроскопической работой или условиями у вершины трещины в зависимости от выбранного Г-контура. Основным недостатком, как и в случае с КIc, является то, что критическая величина параметра JIc не имеет физического обоснования.

Оценка J-интеграла

Энергетические способы

Из приведенных выше рассуждений об энергетической трактовке J-интеграласледует, что J-интеграл представляет собой разность потенциальных энергий двух напряженных тел, у которых длины трещин отличаются на небольшую величину, а в остальном конфигурации идентичны. Следовательно, для линейно упругих тел, обладающих маломасштабной текучестью, J-интеграл эквивалентен силе G, движущей трещину. При анализе нелинейно-упругих тел J-интеграл можно трактовать как энергию, необходимую для роста трещины.

На рис. 87, а показана диаграмма нагрузка - перемещение точки приложения нагрузки (здесь имеется в виду нагрузка, отнесенная к толщине, т.е. Р/t).

Рис. 87. Связь потенциальной энергии системы с диаграммами нагрузка - перемещение точки приложения нагрузки

В этом случае потенциальной энергии системы П, приходящейся на единицу толщины образца, соответствует на рисунке отрицательная величина, показанная затемненной областью. Эта величина равна дополнительной энергии с отрицательным знаком. При фиксированном перемещении можно считать, что потенциальная энергия равна энергии деформации, т.е. площади, расположенной под диаграммой нагрузка - перемещение точки приложения нагрузки.

Остановимся на случае, когда в нелинейно-упругом теле распространяется трещина длиной l. Такому случаю соответствует диаграмма на рис. 87, б. Под действием постоянной нагрузки Р0 произойдет распространение трещины - длина трещины возрастет от l до l+dl. При этом произведенная работа представлена площадью ОАВСО. Исходя из обратимости нелинейно-упругого тела, можно считать, что кривая, соответствующая разгрузке из точки В, совпадает с кривой ОВ, при которой тело имеет трещину l+dl. При нагружении такого тела до Р0 энергия деформации представлена площадью ОВСО. При этом затемненная площадь ОАВО равна работе, затраченной на распространение трещины на dl, т.е. энергии, необходимой для того, чтобы трещина выросла на dl. Эта площадь представляет собой приходящуюся на единицу толщины разность потенциальных энергий тел с трещинами длиной l и l+dl, находящихся под действием внешней силы Р0. Применяя свойства обратимости упругого тела, можно считать, что J-интеграл, J = - П/l, является энергией, затрачиваемой на то, чтобы трещина распространилась на единицу длины.

Если развитие трещины происходит при постоянном перемещении (рис. 87, б), то, ввиду того, что потенциальная энергия системы равна энергии деформации, связанная с распространением трещины интенсивность освобождения энергии оказывается равной - П/l. Исключая из рассмотрения величины более высоких порядков, вызванные малыми приращениями d, считаем, что затемненные площади на рис. 87, б, в равны и могут быть представлены как - dП.

Этими рассуждениями, а именно, соотношением J = - П/l, пользуются, когда необходимо теоретически или экспериментально определить J-интеграл.

Экспериментальная методика Бигли-Лэндеса. На рис. 88 даны установленные экспериментально диаграммы нагрузка-перемещение для образцов одинаковой формы, изготовленных из одного материала.

Рис. 88. Экспериментальная оценка параметра J:

1 - экспериментальные диаграммы

Образцы имели трещины длиной l и l+dl. Следует обратить внимание на область, ограниченную кривыми ОА и ОВ. Площадь этой области равна Jdl. Таким образом, можно экспериментально найти величину J. В рассматриваемой методике для оценки величины J необходимо иметь несколько образцов. Вследствие этого затраты на проведение экспериментальных исследований возрастают. Поскольку результаты эксперимента обрабатываются графически, трудоемкость оказывается значительной, а точность результатов невысока.

Теоретическая методика Буччи. Буччи воспользовался упругим решением, а также анализом предельного состояния, в котором после полной текучести не учитываются упругие деформации и деформационное упрочнение.

По этим данным построены диаграммы нагрузка - перемещение (рис. 89).



Рис. 89. Определение J с помощью упругопластического решения методом Буччи. Зависимость J от : 1 - упругое решение; 2 - жесткопластическое решение; 3 - смещение диаграммы (суммарное решение)

При помощи зависимости J = - П/l и этой диаграммы проведен расчет величины J. Следует отметить, что при такой оценке J-интеграла считают, что можно не учитывать упругопластические деформации перед полной текучестью и не состыковывать плавно-упругое решение J=f(2) c жесткопластическим решением J=f(), а положить, что график J лишь смещается в области полной текучести. Это смещение показано на рисунке. Для учета упругопластической области Буччи предложил использовать обычные поправки на пластичность, в основе которых лежит коэффициент интенсивности напряжений:

, (плоское напряженное состояние),

, (плоская деформация).

При таком подходе установлено, что полученная расчетным путем диаграмма J - , для которой с помощью последних формул введены поправки при плоском напряженном состоянии, совпала с результатами экспериментальных исследований. Однако Буччи указал, что толщина образца может вносить свои эффекты и поправка при плоском напряженном состоянии не всегда приемлема.

Предложенная методика позволяет теоретически сравнительно просто оценить J-интеграл. Поэтому, когда необходимо проанализировать основные свойства J-интеграла, пользуются такой методикой.

Упрощенные зависимости Райса. Райс предложил способ оценки J-интеграла, при котором диаграмма нагрузка - перемещение зависит только от остаточной длины сечения, обозначенной на рис. 90 через b1.

Рис. 90. Изгиб образца

В рассматриваемом случае получены соответствующие выражения J для образцов на растяжение с двумя боковыми трещинами, одной центральной или кольцевой, а также для образцов на изгиб с односторонней трещиной. Без вывода эти выражения приведены в таблице.

Образец	Расчетная зависимость
	p - перемещение точки перемещения нагрузки, обусловленное пластичностью
	с - вклад в , вносимый трещиной



Эти зависимости позволяют довольно просто определить J-интеграл. Такая методика при экспериментальной оценке обладает следующими преимуществами:

1) Можно непосредственно использовать диаграмму P - , полученную экспериментально.

2) В отличие от методики Бигли и Лэндеса можно воспользоваться лишь одной кривой P - .

Определение J-интеграла методом конечных элементов

Чтобы с помощью МКЭ вычислить J-интеграл, необходимо сначала разбить рассматриваемое тело на элементы и определить соответствующие константы материала. Затем, постепенно увеличивая нагрузку и удовлетворяя заданным граничным условиям, можно провести упругопластическое решение. Для каждого шага нагрузки определяют различные параметры (перемещение, деформацию, напряжение, энергию деформации и т.п.(. далее с помощью этих параметров вычисляется J-интеграл различными способами.

Используя определение J-интеграла, и интегрируя по контуру, можно непосредственно найти J-интеграл.

То, что Бигли и Лэндес выполняли экспериментально, можно выполнить МКЭ. С этой целью удобно воспользоваться способом, приведенным на рис. 88. При этом следует найти площадь, заключенную между кривыми P - , построенными для двух образцов, у которых длины трещин отличаются лишь на l. Используя эту площадь, можно вычислить J-интеграл.

J-интеграл можно найти по упрощенным зависимостям, например, по зависимостям Райса. При этом можно обойтись одной кривой P - .

18. Связь силового, деформационного и энергетического критериев механик разрушения



Итак, мы рассмотрели три классических параметра, характеризующих условия наступления разрушения в различных условиях. Выше было показано, что в упругой области коэффициент интенсивности напряжений и J-интеграл однозначно связаны с интенсивностью высвобождения упругой энергии. При этом выявлена непосредственная связь между КИН и J-интегралом вида

.

Между J-интегралом и раскрытием трещины также существуют простые зависимости.

В случае маломасштабной текучести можно использовать зависимость J=mT.. Здесь m - параметр, зависящий от пластического стеснения. При плоском напряженном состоянии m = 1, а при плоской деформации 1 < m < 3.

В диапазоне полномасштабной текучести зависимость между J и COD вытекает из модели Дагдейла и имеет вид J = T.

Таким образом, как видно, в упругой области имеется однозначная связь между тремя основными параметрами механики разрушения. Зная один из них, всегда можно вычислить два других.

Размещено на Allbest.ru

...