Развитие теорий в физике

.

Использование р для обозначения импульса является ещё одной традиционной особенностью, а единица кг м за секунду, к сожалению, не имеет собственного названия. Закон говорит, что после столкновения суммарный импульс будет тем же самым. И это всё, о чём он говорит. Он не берётся утверждать, какую скорость будет иметь каждое тело после удара. Чтобы разрешить этот вопрос, нужна дополнительная информация.

В простейшем случае, дополнительной информацией является простое качественное утверждение о том, что тела прилипли друг к другу (неупругий удар). В этом случае мы получаем составное тело весом 5 кг. Чтобы иметь импульс 20 кгм/с, тот же самый импульс, что и до столкновения, это тело должно иметь скорость

Размещено на http://www.allbest.ru/

В другом случае, дополнительной информацией могла бы стать измеренная скорость одного из тел после столкновения. Например, мы могли бы обнаружить, что первоначально покоившееся тело приобрело скорость 8 м/с, направленную по движению ударяющего тела. Его импульс при этом будет равен

.

Что мы должны делать в этой курьёзной ситуации? Мы получили импульс, больший того, с которого начали! Декарт сам был обескуражен этим примером и заключил, что когда лёгкий предмет ударяет более тяжёлый, он должен отскочить, не шевельнув при том другой предмет ни на йоту. Однако подобное заключение не выдерживает проверки здравым смыслом. Здесь на помощь Декарту пришёл Гюйгенс. Он понял, что импульс должен учитывать не только величину скорости, но и её направление. Движения в противоположных направлениях гасят друг друга. Если мы считаем положительным импульс тела, которое движется направо, то тело, движущееся налево, должно иметь отрицательный импульс. Так что тело весом 2 кг во втором примере должно иметь импульс - 4. Чтобы найти его скорость, мы делим импульс на массу, и получаем .

Этот пример был выбран не случайно. Заметим, что после столкновения больший шар движется со скоростью 2 мс-1 налево. Таким образом, они удаляются друг от друга с относительной скоростью 10 мс-1. Это та же скорость, что и скорость сближения шаров до столкновения. Когда происходит такое столкновение, его называют упругим. Важность упругого столкновения станет очевидной позднее, когда мы введём ещё один закон сохранения, закон сохранения энергии. Закон сохранения импульса может также соответствовать ситуации, при которой тело 2 кг движется со скоростью 95 м/с в обратном направлении, а его партнёр со скоростью 70 м/с в направлении первоначального движения (вперёд). Это останется верным и для любой другой комбинации скоростей, которая даёт правильный общий импульс.

На самом деле, мы с самого начала до предела упростили проблему, предположив, что столкновение центральное (по линии центров шаров) и что тела после столкновения движутся по линии первоначального движения. Если же мы рассмотрим движение в двух измерениях, как для шаров на бильярдном столе, то откроем новые возможности, для описания которых и сам анализ, и количество информации оказываются более сложными. А если мы зададимся вопросом о том, что же происходит в момент действительного столкновения, то мы должны исследовать ещё более сложное движение. Множество подобных деталей закон сохранения импульса позволяет "замести под ковёр".

Но именно в этой кажущейся незавершённости лежит сила закона. Множество самых разных процессов подчиняются в нём одному и тому же количественному соотношению. Хотя закон ни один процесс не описывает во всей полноте, он позволяет нам, например, определить точно, что произойдёт с телом после столкновения при помощи измерений, проделанных только с его партнёром. И это само по себе является немалым достижением.

2.3 Удивительный результат: центр масс не движется

В заключение этой главы выведем удивительное следствие закона сохранения импульса. Не имея, само по себе, исключительного значения, это следствие даёт хороший пример применения закона сохранения импульса. Более того, оно окажется полезным позже, при рассмотрении теории относительности. Рассматриваемая теорема является утверждением, что если центр масс группы объектов остаётся постоянным (неизменным во времени), никакое взаимодействие между объектами не может заставить его переместиться.

Представление о центре масс было знакомо древним грекам, а также любому ребёнку, который развлекался на доске-качелях. Центр масс - не более чем научное название для бытового понятия о точке равновесия - баланса. Каждому ясно, что если ребёнок весом 90 фунтов хочет уравновесить на доске-качалке свою младшую сестру 45 фунтов, то он должен сесть вдвое ближе к центру масс (и баланса), чем сестра. Говоря более математически, качели сбалансированы (уравновешены), если произведение веса на расстояние до центра баланса будет одинаковым для обоих качающихся. Ребёнок, весящий на 10% больше, должен быть примерно на 10 % ближе к центру равновесия, чем его партнёр. Если он вдвое тяжелее, то он должен сидеть на доске вдвое ближе.

Когда мы рассматриваем более сложный пример движущихся объектов, ясно, что если центр масс должен оставаться на месте, то тяжёлый объект должен двигаться медленнее, чем лёгкий. Если объекты 90 фунтов и 45 фунтов сближаются, центр масс, или точка баланса, остаётся неподвижной, если более тяжёлый объект движется вдвое медленнее (рис. 2-4).

С точки зрения Гюйгенса, в описанной ситуации общий импульс просто равен нулю. Когда два объекта сближаются (или удаляются друг от друга), и более тяжёлый движется с пропорционально более низкой скоростью, то их импульсы остаются равными и противоположно направленными. Общий импульс будет равен нулю до тех пор, пока внешние воздействия не вступят в игру. Таким образом, если два пушечных ядра летят навстречу, и вдвое более тяжёлый объект движется вдвое медленнее, то при столкновении они намертво остановятся. В каждый момент их движения центр масс будет находиться в точке, делящей расстояние между ними в отношении 1 к 2, ближе к более тяжёлому ядру.

А в качестве другого примера, представим себе "перетягивание каната" двумя людьми на роликах. Более тяжёлый участник сместится меньше, так как движется медленнее, и они неизбежно сталкиваются в центре масс, ближе к тяжёлому участнику соревнования.

В качестве последнего примера рассмотрим рис. 2-5, на котором человек весом 150 фунтов стоит на конце доски весом 75 фунтов, которая может свободно, без трения перемещаться по льду.

Когда человек начинает идти по доске к её другому концу, он "толкает" доску в обратную сторону. Так как доска вдвое легче человека, то по закону сохранения импульса она должна двигаться вдвое быстрее. Если доска имеет 12 футов длины, то человек продвинется на 4 фута, в то время как доска проскользит в обратную сторону на 8 футов. Когда он остановится на другом конце доски, она остановится тоже. Т.к. человек продвинулся в 2 раза меньше, чем доска, которая вдвое легче его, то центр масс не сдвинется! Более того, он оставался на месте во всё время движения!



Размещено на http://www.allbest.ru/

Глава 3. Прояснение смысла: законы Ньютона

В1663 году, спустя 33 года после публикации "Двух новых наук" Галилея, молодой выпускник колледжа Святой Троицы в Кэмбридже сидел в своём доме, в деревне графства Линкольншир, и заканчивал построение "обширной и великолепной науки" Галилея (механики). Изгнанный эпидемией Великой Чумы из университетского Кэмбриджа, Исаак Ньютон плодотворно использовал период своей вынужденной изоляции от того интеллектуального окружения, к которому привык в Кэмбридже. Он вернулся в своё малое владение, где был рождён 23 года назад.

Сравнение Галилея и Ньютона позволяет подметить интересные контрасты. Трудно представить что-либо более несхожее, чем светскость и заносчивость Галилея и вежливая, почти мистическая сдержанность Ньютона. Галилей полагался только на себя и любил публичную полемику. Ньютон же был унылым интровертом и оставлял друзьям право вести борьбу за него. Если Галилей мог спрятать свой скептицизм за формальной капитуляцией перед Инквизицией, чтобы не "грузить" понапрасну своё сознание, то Ньютон на протяжении всей жизни оставался убеждённым, если не фанатичным, христианином.

Семья Галилея надеялась, что его занятия помогут вернуть ей высокий статус, в то время как родители Ньютона готовы были видеть в нём такого же, как они, простого фермера.

Однако юный Исаак фермерским обязанностям предпочитал чтение, и поэтому семья решила послать его в Кэмбридж, где уже получили образование несколько его родственников. Прибыв туда, он обнаружил, что годы гражданской войны оставили университет еле живым, физически и интеллектуально. Немногие из профессоров могли предложить что-то интеллектуально привлекательное. Кроме того, в отличие от знаменитых итальянских университетов, в Кэмбридже мало занимались натуральной философией, которая представляла главный интерес для Ньютона. Кафедру натуральной философии возглавлял Исаак Барроу, математик-любитель, у которого первой любовью была теология. Барроу не имел иллюзий в отношении собственной квалификации. Он опекал Ньютона, как только мог, и позже по собственному желанию покинул свой пост, как только Ньютон достиг 26 лет, позволявших ему занять кафедру.

Даже для такого естественного затворника, как Ньютон, изоляция Кэмбриджа от основного научного мира была почти непереносимой. Он лучше чувствовал себя в Лондоне, среди своих товарищей, страстно преданных науке, таких как астроном Эдмунд Галлей, архитектор Кристофер Рен, философ Джон Локк, а также соперник Ньютона физик Роберт Гук.

Члены этого круга считали, что в мире нет места сверхъестественному и нет пределов мощи Разума при разгадывании мистерии Вселенной. Они считали, что Бог мог создать законы природы при её сотворении, но он не вмешивается в ежедневные дела своего мира. Они не верили философии Декарта, которая казалась им попыткой создать новую схоластику в одеянии науки для того, чтобы утвердить интеллектуальный авторитет Римской церкви. Все они видели в Ньютоне потенциального лидера, который мог разгромить картезианцев на их собственном поле.

Ньютон не испытывал интереса к такой борьбе. Он был болезненно чувствителен к малейшей критике в свой адрес. Потребовалась вся сила убеждения Галлея, чтобы упросить его завершить величайший труд "Математических начал натуральной философии" (обычно именуемый как "Принципы"), и опубликовать его в 1686 году.

Законы Ньютона

Полная теория механического движения Ньютона оказалась настолько совершенной, что сохранилась практически в первоначальной форме до наших дней. Она базируется на двух ключевых прозрениях.

1. Центральной проблемой механики является изменение состояния движения, т.е. отклонение от поведения, описанного в принципе инерции.

2. Такое отклонение происходит только при взаимодействии двух объектов, в результате которого изменяется движение обоих объектов.

Чтобы рассмотреть проблему количественно, Ньютону понадобились три понятия - ускорение, сила и масса. Ускорение, первоначально определённое Галилеем, он рассматривал как количественную меру быстроты изменения состояния движения. Сила, как мера способности окружения вызывать это изменение, была понятием, уже широко известным во времена Ньютона. Масса, как показатель способности тела сопротивляться изменению его состояния, была в большой степени собственным изобретением Ньютона. В действительности, он рассматривал массу как истинную меру "количества материи" в теле. В этом смысле масса подобна значению слова вес. Различие между весом и массой будет обсуждаться в этой главе позже.

Ньютон использовал импульс в понимании Гюйгенса, как истинную меру движения, заменив вес массой при его определении. Он также добавил схему взаимодействия тел, при которой передача импульса от одного тела другому происходит непрерывно, а не в процессе только двух состояний, "до" и "после", как это было в предыдущей главе. Эта схема была выражена Ньютоном в трёх законах, которые мы представим собственными словами Ньютона.

Закон 1: Каждое тело продолжает сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока не будет вынуждено изменить это состояние под действием приложенной к нему силы.

Закон 2: Изменение движения (скорость изменения импульса) пропорционально приложенной движущей силе и происходит в направлении приложенной силы.

Закон 3: Каждому действию всегда соответствует равная реакция, или: взаимные действия двух тел всегда равны и направлены в противоположные стороны.

Смысл законов затуманен стилем изложения, выбранным Ньютоном для современников, для которых геометрия Эвклида представлялась самым прекрасным интеллектуальным памятником. В первом законе мы узнаём принцип инерции Галилея. Второй обычно выражается уравнением

(3-1),

т.к. в большинстве случаев масса объекта не изменяется, и изменение импульса должно включать только изменение скорости. Скорость этого изменения является ускорением. А скорость изменения произведения массы на скорость равна произведению массы на ускорение.

Единица измерения силы определяется уравнением 3-1. Это сила, которая сообщает телу массой один килограмм ускорение в один метр на секунду в квадрате. Она называется Ньютоном (Н) и отражает практику, посредством которой физики сохраняют память и уважение к своим ушедшим коллегам в названии соответствующей единицы измерения. Третий закон легко понять, если мы заменим слово "действие" на "изменение импульса". То, что одно тело приобретает, другое тело должно потерять. Это просто закон сохранения импульса.

3.1 Решающий довод

На первый взгляд, Ньютон очень мало добавил к работе Гюйгенса. Но это малое является решающим соображением, на котором держится полная теория движения.

Ньютон трактует передачу импульса от одного тела к другому как постепенный процесс и называет силой скорость, с которой эта передача происходит. Эффективность его подхода лежит в возможности обнаружить законы, которые предскажут, как будут действовать силы при взаимодействии двух тел.

Например, силу сопротивления воздуха, действующую на шар, можно получить по формуле, которая включает размер шара и скорость его движения; сила деформированной пружины зависит от того, как она сжата или растянута. Со времён Ньютона и до наших дней изучение движения сводится к поиску формул такого рода. Как только они найдены, каждую деталь движения можно предсказать, используя второй закон.

В "Принципах", однако, закон для одной силы был более важен, чем все другие. Это был закон тяготения Ньютона, который использовался им для объяснения движения Луны и планет в понятиях той же самой силы, которая управляет свободным падением тел на землю.

Это был его вызов картезианцам, который остался без ответа. Однако, до того как мы начнём изучать этот закон, необходимо представить себе, как в теории Ньютона рассматривается круговое движение.

3.2 Круговое движение

Задача этого раздела - убедить вас, что круговое движение с постоянной скоростью на самом деле является ускоренным движением под действием силы, направленной к центру круга. Этот результат был ещё одним мало отмеченным вкладом Гюйгенса, однако Ньютон, видимо, получил его независимо некоторое время спустя.

Начнём аргументацию с обращения к вашей интуиции о том, что для изменения направления движения объекта необходима некая сила, направление которой не совпадает с направлением движения. Следующим шагом следует показать, что именно такая сила появляется, когда объект движется по кругу. Затем мы докажем сходство между круговым движением и более привычными формами ускоренного движения. Наконец, мы получим формулу для такого ускорения.

Представьте себе большой тяжёлый шар, который медленно катится по ровному полу. Если, находясь сзади него, мы толкаем его по направлению движения, то он ускорится. Аналогично, если мы находимся перед шаром и толкаем его в направлении, противоположном движению, шар замедлится.

Чтобы изменить направление движения шара, нужен толчок сбоку. Если этот толчок, в итоге, направлен по движению, шар ускорится и, вместе с тем, изменит направление движения. Если же толчок, в целом, произведён из положения перед шаром, он замедлится. Только толчок под прямым углом к направлению движения может изменить направление движения без изменения скорости.

Теперь привяжем к шару (всё ещё на полу) верёвку, другой конец которой закреплён на полу гвоздём. Шар будет двигаться по кругу. Конечно, в этом случае на шар действует вынуждающая сила: верёвка натянута, а гвоздь прочно вбит в пол. Шар может двигаться только в направлении, перпендикулярном верёвке, находясь на постоянном расстоянии от гвоздя. Верёвка может тянуть шар только в направлении к гвоздю. Если мы не будем учитывать трение и вызванное им замедление шара, то натяжение верёвки, будет оставаться постоянным. Итак, сила, действующая на шар, постоянна по величине, но непрерывно изменяет своё направление, всегда указывая на центр круга.

Предположим теперь, что мы поместили на полу на большом расстоянии от круга яркий источник света, и наблюдаем тень от шара на противоположной стене, как это показано на рис. 3-1. Тень движется "туда-сюда", как маятник, постоянно замедляясь, меняя направление движения на обратное, и снова ускоряясь.

Здесь мы применили принцип суперпозиции, чтобы рассмотреть движение шара только в одном направлении, игнорируя его движение в направлении к источнику света и движение от него. Мы получили очевидный пример ускоренного движения. Полное движение шара при этом можно представить суперпозицией двух движений под прямым углом друг к другу.

Каждый раз, когда шар проходит половину окружности, он изменяет движение на противоположное, совсем так, как если бы он остановился, а потом начал ускоряться в противоположном направлении. Если мы обозначим скорость шара х, то она должна стать - х, когда шар появится на противоположной стороне круга. Изменение скорости будет 2х, совершенно также, как в случае шара, брошенного вертикально вверх, и возвращающегося на землю со скоростью противоположного направления. Чем быстрее движется шар, тем больше изменение скорости и, следовательно, больше ускорение. Чем быстрее движение, тем сильнее натянута верёвка.

Теперь, когда мы знаем изменение скорости шара, можно найти его среднее ускорение на пути в половину окружности. Чтобы сделать это, мы должны ещё знать, как долго продолжается весь процесс. А это зависит от того, насколько далеко шар уходит от центра своего движения и насколько быстро он движется. Длина окружности радиуса r равна 2рr, и шар проходит половину этого пути. Время необходимое для этого, равно расстоянию, делённому на скорость,

.

По определению ускорения мы получаем

Однако мы должны помнить, что это среднее ускорение и общий результат действия силы, которая за время прохождения пол-оборота тянула шар в разных направлениях. В самом деле, в конце пути сила имеет направление прямо противоположное тому, которое было в начале. Поэтому мгновенное ускорение должно быть, конечно же, больше. Однако строгий расчёт мгновенного ускорения требует некоторых математических понятий, которые мы избегаем в этой книге. Поэтому просто представим результат как

. (3-2)

С точки зрения здравого смысла, значение этой формулы понять не трудно. Наличие r в знаменателе просто означает, что требуется большая сила, чтобы удержать объект на малом круге, чем на большом, потому что он вращается на малом быстрее

Тридцать миль в час - комфортная скорость при смене полосы на шоссе. Но если вы огибаете угол здания в городе на этой скорости, вы услышите громкий визг покрышек. Они визжат потому, что не любят иметь дело с силой, перпендикулярной их движению. В числителе находится х, и в квадрате, потому что пропорциональность ускорения и скорости нелинейно ухудшает ситуацию:

1) приходится изменять так же бульшую скорость,

2) это изменение должно происходить более быстро. Радиус безопасного поворота на скорости 60 миль/час не в 2, но в 4 раза больше, чем на скорости 30 миль/час.

В качестве последнего примера применения этой формулы, рассмотрим путь гоночной машины, проходящей поворот, как показано на рис. 3-2.

Хороший гонщик входит в поворот по внешней полосе, движется к внутренней полосе в середине поворота и заканчивает поворот на его внешней границе. Такой путь имеет максимально возможный радиус кривизны, и это позволяет машине поддерживать максимальную скорость.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Если вам не нравится думать о круговом движении с постоянной скоростью как об ускоренном, то это может быть связано с тем неудобством, которое создаёт использование слов то из физики, то из обычной речи, где слово ускорение однозначно предполагает, что что-то начинает двигаться быстрее. В физике же это слово означает любое отклонение от инерциального движения. Мы уже видели, как простое изменение знака решает проблему замедления. В этой части книги мы просто двинулись ещё на один шаг дальше от использования слова ускорение в обычном разговорном языке.

3.3 Падение тел в ньютоновской схеме

Может показаться удивительным, но простое описание падения тел, которое было дано Галилеем, плохо вписывалось в грандиозную схему механики Ньютона. Ньютон, превращая необходимость включения результата Галилея в свою систему в достижение, использовал решение этой проблемы в качестве исходного пункта своего закона гравитации.

Исходя из того, что падающее тело совершает ускоренное движение, Ньютон заключил, что должна существовать сила, действующая на это тело, и сила удивительная, которая постоянна по величине, т.к. ускорение постоянно. Где бы не находилось тело, с какой бы скоростью оно не двигалось, эта сила явно не менялась.

Более того, ускорение оказалось одинаковым для всех падающих тел. Это самая удивительная особенность! Есть только один способ объяснить её: сила должна быть пропорциональна массе объекта. Тогда при сравнении двух объектов, один из которых вдвое массивнее другого, сила, действующая на более массивный объект, будет также вдвое больше. Два эффекта компенсируют друг друга, и ускорение остаётся тем же самым.

В этом заключается причина необходимости различать массу объекта и его вес. Вес является той самой таинственной силой, которая заставляет тела падать. По некоторому фантастическому совпадению, она оказывается пропорциональной массе, но даже находясь под действием других сил, или же двигаясь под действием других сил, и даже двигаясь горизонтально, тело продолжает проявлять свою массу. В действительности, при тщательных измерениях можно обнаружить, что вес тела немного различается в разных частях земного шара, но его масса не меняется никогда!

Ньютон правильно подчеркнул различие между универсальным свойством массы и специфическим явлением силы веса, которая связана с массой.

Численно вес объекта равен его массе, умноженной на ускорение свободного падения:

.

Таким образом, объект, который имеет массу 1 кг, весит около 9,8 Ньютон. Это вызывает некоторую путаницу между языком физики и разговорным языком, в котором единицы массы (грамм, килограмм) называются весом. Конечно, то, что в разговорной речи называют весом, ближе всего соответствует физическому понятию массы. Но только из того, что 1 кг золота на экваторе весит несколько меньше, чем на полюсе, не следует, что на экваторе в слитке несколько меньше золота.

То обстоятельство, что сила точно пропорциональна массе, беспокоило несколько поколений физиков после Ньютона. В XX-ом веке оно настолько возмутило Эйнштейна, что заставило его полностью отказаться от физики Ньютона. Но эту историю оставим для 12 главы.

3.4 Культ Ньютона

Публикация "принципов" положила конец изоляции Ньютона, принеся ему мгновенную славу. Он всё чаще оказывался в Лондоне, иногда как официальный представитель своего университета. Он обнаружил, что ему нравится стимулирующая жизнь большого города, и через несколько лет Ньютон оставил Кэмбридж навсегда. Ему дали прибыльную должность управляющего Королевским монетным двором. Хотя эта работа считалась синекурой, Ньютон относился к ней серьёзно. Он ввёл в практику зазубривание боковой поверхности монет для защиты от соскабливания и воровства дорогих металлов из монет и лично присутствовал на казнях (через повешение) фальшивомонетчиков.

Однако более всего Ньютон демонстрировался как интеллектуальное украшение Британии, возрождённой после десятилетий гражданской и религиозной борьбы.

Его дом в Лондоне стал центром общественной жизни для английских и иностранных учёных. В этой блестящей общественной жизни он стал по-модному тучным и проявил живой интерес к генеалогии, в напрасных поисках благородных корней в своём скромном фамильном древе. Но от кэмбриджского затворничества Ньютона остался только один след: он никогда не был женат, и, как смогли установить несколько поколений историков, всю жизнь оставался холостяком.

Поселившись в Лондоне, Ньютон оставил серьёзную научную работу. Однако неофициально, он предавался теологическим и мистическим спекуляциям, что оскорбило бы молодое поколение, для которого он был святым помазанником Разума.

После смерти Ньютона в 1727 году легенда о нём продолжала расти. Его культ создавался мыслителями Просвещения, скептиками во многих других отношениях. Приход промышленной революции принёс новые, более практические представления, не укладывающиеся в ньютоновские схемы. Но к тому времени его интеллектуальный авторитет был настолько подавляющим, что все инновации были быстро адаптированы таким образом, чтобы они соответствовали законам Ньютона. Такая специфическая склонность сохраняется в большинстве физических текстов по сей день.

Глава 4. Луна падает

Существовали очевидные причины для того переполоха, который произвёл ньютоновский закон гравитации. Первая и самая важная причина: это была идея, чьё время пришло. Свободно мыслящие философы ньютоновской эры мечтали о простом и естественном объяснении движения небесных тел.

Другая причина состояла в том, что во времена Ньютона астрономия считалась приоритетной и практической наукой. Для Британии, как морской нации, чьи купцы бороздили все моря земного шара, повышенная надёжность мореплавания считалась чрезвычайно важным делом. Королевская обсерватория в Гринвиче была построена специально для улучшения навигации по звёздам. Впервые в истории, астрономы были освобождены от необходимости составления гороскопов, чтобы зарабатывать на жизнь, и были рады возможности прокормиться более в духе своего просвещённого времени. Рациональная физическая теория движения Луны и планет помогла поднять на новый уровень статус их науки.

4.1 Законы всемирного тяготения

Лучший способ понять значение закона Всемирного тяготения - это сначала сформулировать его, а затем проанализировать во всех деталях. Говоря словами Ньютона, "все тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними". На математическом языке это записывается так:

, (4-1)

где M и m - массы упомянутых объектов,

R - расстояние между ними С помощью сложных геометрических соображений Ньютон показал, что, по крайней мере, для сферических объектов, массы действуют так, как если бы они концентрировались в центрах.,

г -универсальная постоянная, которая определяет величину силы взаимодействия.

Начало цепочки рассуждений, ведущей к этому закону, было очерчено в конце 3 главы: чтобы объяснить падение тел, Ньютон был вынужден с самого начала постулировать, что сила пропорциональна массе падающего тела. Каким образом могла создаваться такая сила? После того как Галилей убедительно доказал, что разные падающие тела движутся одинаково в разреженных средах (и тем более в вакууме), а также в воздухе, Ньютон едва ли мог вернуться к прежним идеям и приписать эту особенность падения действию среды. Таким образом, мысль Ньютона неизбежно направлялась в сторону концепции действия на расстоянии ("дальнодействия"), которое происходит между телами, не касающимися друг друга. Для большей части его научной аудитории, да и для самого Ньютона, это была наиболее "подозрительная" черта закона гравитации. Но, выстраивая свою систему на основе достижений Галилея, он вряд ли имел выбор.

Следующей проблемой для него было раскрытие понятия "другое тело" в третьем законе механики. И снова тут наиболее логичным кандидатом была сама Земля: как только мы представляем себе нашу Землю шаром, вращающимся вокруг своей оси, у которого направление к центру всегда чудесным образом означает "вниз", этот выбор становится очевидным.

Здесь в рассуждения решительно вмешивается третий закон. Он не делает различия между землёй и падающим яблоком. На каждого из них действует одна и та же сила. Только огромной разницей масс можно объяснить тот факт, что яблоко падает, а движение Земли неощутимо. Так зачем же различать тела в законе гравитации? Ведь если сила должна быть пропорциональной массе яблока, то почему она не пропорциональна также и массе Земли?

Это был не столько вопрос логической необходимости, сколько вопрос стиля. Универсальные законы движения, которые применимы ко всем объектам и всем силам, не различают участников взаимодействия, которое приводит к возникновению силы. Нет, однако, и никакой логической причины предполагать, почему какая-нибудь отдельная сила не может различить участников. Например, когда пружина толкает шар, характеристики пружины, а не шара, определяют силу между ними, и хотя на каждого партнёра действует одна и та же сила, их индивидуальные реакции на эту силу определяются исключительно массами. Почему же подобное различие не может проявиться в законе гравитации? Ньютон, однако, избрал другой путь: сохранить универсальность, красоту и совершенную симметрию своей системы путём введения в свою теорию массы Земли, не измеренную ещё в то время.

Кроме того, теория, игнорирующая массу Земли, была бы неэстетичной. Если сила гравитации зависит только от массы конкретного падающего тела, то сама Земля будет играть пассивную роль, вряд ли ей подходящую. Это едва ли удачное решение, когда требуется выбирать активного и пассивного партнёров взаимодействия.

Здесь снова, как много раз прежде и после, поиск гармонии и красоты являлся ведущей силой при выборе гипотезы. Но одного эстетического рассмотрения не достаточно, теория должна также объяснять факты. Числитель уравнения 4-1, произведение M m, теперь полностью определён, потому что единственная возможность для силы в одно и тоже время быть пропорциональной массе Земли и массе падающего тела - это быть пропорциональной их произведению.

Конечно, ни один из приведенных аргументов не доказывает утверждение Ньютона о том, что эта сила не ограничена Землёй, а присуща всем телам, включая Солнце и планеты, и что она уменьшается как квадрат расстояния между объектами. Чтобы доказать это, Ньютон использовал подробные законы планетарного движения, открытые поколением раньше Иоганом Кеплером. История открытия этих законов является одной из самых необычных в науке.

4.2 Грязный пес и человек с золотым носом

Иоган Кеплер родился на 8 лет позже Галилея в малоизвестном городке Южной Германии Вейльдерштадте и был сыном солдата удачи и дочери хозяина гостиницы. Получить образование рождённому в такой семье оказалось возможным лишь благодаря доброте герцога Вюртенбергского, который обеспечил обучение малоимущих студентов, что было необычной практикой в те времена.

Профессорб университета Тюбингена разглядели в Кеплере натуру страстную и прямолинейную, плохо подходящую на роль священнослужителя в эпоху религиозной борьбы, и всячески поощряли его интерес к астрономии и математике. Незадолго до получения им сана священника, освободилось место учителя математики при лютеранской школе Граца в католической Австрии, и Кеплера убедили занять это место. Оплата была нищенской, но и обязанности небольшие, т.к. число учеников, интересовавшихся математикой, было незначительным. Таким образом, он мог заниматься своими астрономическими исследованиями, и его публикации на эту тему принесли ему известность в центральной Европе.

Вознаграждённый известностью, Кеплер, однако, никогда не знал процветания и душевного спокойствия. Измученный действительными и воображаемыми болезнями, бедностью и религиозными гонениями, он жил, всегда изворотливо хитря, стараясь быть настороже, чтобы "не пустить волка в двери, а демонов в голову". И выбрал для себя метафорический образ "паршивого пса".

Переломное событие в жизни Кеплера произошло в 1600 году, когда окончательный запрет на проживание протестантов в Австрии вынудил его сбежать из Граца в Прагу, где ему предложили убежище в виде должности помощника Тихо Браге, выдающегося астронома своего времени. Тихо покинул родную Данию по совсем другой причине.

Происхождение Тихо было настолько же роскошным, насколько оно было убогим у Кеплера. Принадлежа к одной из самых знатных семей датской знати, он был, по семейной традиции, предназначен к королевской службе. Но случай сбил его, 14-летнего копенгагенского студента, с этого пути. Это было полное затмение солнца, - зрелище всегда ужасающее, внушающее благоговейный трепет и страх любому человеку. Но более всего Тихо поразил тот факт, что затмение было предсказано астрономами с точностью, казавшейся удивительной. Тихо решил, что профессии, способной на такой подвиг, стоит посвятить свою жизнь. Формально готовясь к юридической карьере и скрыто изучая астрономию, Тихо вскоре обнаружил, что точность, которая так привлекла его к астрономии, оказалась очень далека от желаемой. В частности, таблицам планетарного движения можно было доверять только в течение нескольких десятилетий или около того. После этого срока они давали ошибки на дни и даже недели. Он правильно понял, насколько остро необходимы новые измерительные инструменты, и стал прочёсывать северную Европу в поисках мастеров, которые могли бы их изготовить.

Большой прорыв в его исследованиях произошёл в 1572 году, когда ему было 25 лет, а в северном небе взорвалась звезда, которую сегодня назвали бы сверхновой. Со своими достаточно совершенными инструментами, он оказался единственным астрономом, способным показать, что этот яркий объект находился вне пределов земной атмосферы и даже за пределами нашей планетной системы, в области предположительно неподвижных звёзд. Это было сокрушительным ударом по схоластической космологии. Это открытие сразу сделало Тихо Браге одним из самых знаменитых астрономов Европы.

Никогда прежде Дания не рождала ученого с такой известностью, и король Дании Фредерик II не захотел уступать Браге более культурным странам на юге Европы. Он сделал Тихо подарок, беспрецедентный в истории науки: подарил ему остров Хвин как место для его обсерватории, и обеспечил ему гранты государственного казначейства для того, чтобы поддержать обсерваторию и заполнить её самыми лучшими инструментами, которые только могли изготовить искусные руки ремесленников того времени.

Это была "Большая наука" даже по современным стандартам. Тихо возглавлял научный центр, большой штат мастеров и студентов с комплектом оборудования, позволявшим одновременно производить четыре независимых наблюдения с тем, чтобы полностью исключить человеческую ошибку. Тихо и его студенты повысили точность астрономических наблюдений, застывшую на 10 угловых минутах в течение 15 столетий, в 10 раз. Всё это было сделано буквально невооружённым глазом, т.к. астрономический телескоп появился только через два поколения.

Но Тихо был далеко не героем для многих своих соотечественников. Яркий представитель своего класса, наделённый сполна высокомерием, он критиковал окружающих за их поглощённость охотой, обжорством, похотью и дуэльными поединками, хотя сам Браге потерял в юности бьльшую часть носа в дуэли и позже заменил его искусно изготовленным протезом из сплава золота и серебра. Он ещё более шокировал своих современников, женившись на дочери крестьянина в одном из своих имений. По датским законам того времени такой мезальянс делал его детей незаконнорождёнными. Приемник Фредерика, Кристиан IV не стал терпеть строптивого астронома. Он нуждался в средствах из-за военных неудач, и под предлогом взыскания с Тихо за чрезмерную эксплуатацию крестьян с острова Хвин, лишил обсерваторию большей части её дохода. Разгневанный Тихо покинул Данию, чтобы поступить на службу к Рудольфу II, императору Священной Римской империи, который сам был астрономом-любителем.

Тихо перенёс в Прагу свои инструменты и драгоценные таблицы наблюдений. Он надеялся увеличить свою славу новой, более точной версией геоцентрической космологии Птолемея, которая существовала уже 14 столетий. Кеплер был нанят, чтобы выполнить трудные вычисления, необходимые для завершения задачи. Тихо был настолько уверен в своей способности убеждения, что не придал значения тому, что его новый помощник был убеждённым сторонником учения Коперника.

4.3 Две великие космологии

Движения планет были загадкой с самого рождения астрономии, которая во многих цивилизациях возникла ещё до изобретения письменности. Кажется, что звёзды согласованно вращаются вокруг Земли, как будто прикованные к необъятной вращающейся сфере. Солнце и Луна совершают круговое движение через звёздную сферу, повторяя его через год (Солнце) и через месяц (Луна).

Однако планеты не похожи друг на друга, их движения индивидуальны. Меркурий и Венера пересекают солнечный диск, следуя за ним в своём путешествии по небу. Марс, Юпитер и Сатурн движутся по предсказуемым траекториям, но их перемещение прерывисто. Время от времени они, кажется, начинают двигаться в обратном направлении в течение нескольких месяцев. Три остающиеся планеты Солнечной системы не были обнаружены до эры телескопов.

Мысль о том, что Земля сама является планетой и подобно другим вращается вокруг Солнца, так же стара, как и сама астрономия. Эта точка зрения сразу предлагает готовое объяснение упомянутым наблюдениям. Орбиты Меркурия и Венеры лежат внутри нашей орбиты, поэтому мы никогда не видим их далеко от Солнца. Марс, Юпитер и Сатурн находятся вне нашей орбиты и движутся медленнее, чем Земля. Когда Земля обгоняет одного их этих медленных путешественников, с Земли будет казаться, что он движется в обратном направлении. Эта теория была впервые задокументирована Аристархом Самосским в IV веке до новой эры.

Птолемей признавал достоинства системы Аристарха, но представление о том, что Земля движется без нашего понимания этого движения, казалась вызовом и здравому смыслу и физике того времени. Он развил весьма точную схему, в которой планеты двигались по эпициклам, окружностям, центры которые, в свою очередь, двигались по другим окружностям. Эта система была усовершенствована великими арабскими астрономами. Окончательное улучшение было связано с именем Тихо Браге, который использовал некоторые достоинства гелиоцентрической системы, поместив центры всех планетарных эпициклов на Солнце.

Важно понять, что спор между гелиоцентрической и геоцентрической системами никогда не мог быть решён астрономическими наблюдениями, которые показывают только то, где планеты видятся наблюдателю с Земли. В действительности, схема Птолемея давала столь же точную картину планетарного движения, как и схема Коперника, и разве что была немного более сложной. Коперник, в свою очередь, был вынужден прибегнуть к малым эпициклам, т.к. орбиты планет вокруг Солнца не являются правильными окружностями. Если мы будем использовать рисунок 4-1 как чертёж Солнечной системы, то он одинаково подошёл бы и для коперниканской схемы. Единственным различием двух систем был бы выбор тела, которое надо остановить, Солнце или Землю. Таким образом, выбор сводился к вопросу: разумно ли считать Землю движущейся? А это вопрос физики, а не астрономии. Птолемей, Тихо и Кеплер понимали это очень хорошо, и каждый в своём решении опирался на собственную физическую интуицию.

4.4 Диаграмма движения планет Кеплера

Тихо прожил всего один год после приезда Кеплера в Прагу. Кеплер унаследовал и работу, и записи Тихо Браге, хотя права на последние оспаривались родственниками Тихо. Анализ астрономических данных из записей Тихо Браге Кеплером был подвигом силы и умения (tour de force), который выглядит впечатляюще даже с высот компьютерной эры. Он обнаруживает такое понимание значимости и пределов точных измерений, которое на века опередило своё время.

Труды Кеплера отражены в двух его великих произведениях Astronomia Nova (Новая астрономия) и Harmonice Mundi (Гармония Вселенной). Уникальность этих трудов в анналах науки заключается в том, что они представляют не только выводы автора, но и полное описание извилистого пути к ним, наполненного фальстартами, тупиками и ошибочными гипотезами, которые преодолевались ценой трудоёмких ручных расчётов в течение месяцев. Записи перемежаются поэмами и фрагментами стихов, в которых автор безжалостно бичует себя за временные неудачи и упоённо ликует при достижении триумфальных результатов.

Но, главное, Кеплер обнаруживает мистическое прозрение, которое направляло его к этому рационалистическому триумфу. Он поместил Солнце в центр Вселенной, из-за того, что оно, как источник света и жизни, ближе к Богу, чем низменная Земля, и потому больше заслуживает этой чести. Он продолжал непрестанно следить за орбитами планет, будучи уверен в том, что однажды, полностью определённые, они дадут божественный урок стереометрии и откроют законы музыкальной гармонии. В этой своей главной страсти жизни Кеплер потерпел поражение. Но на пути к своей личной трагедии, он оставил нам три закона, которые вынесли проверку временем и живут до сегодняшнего дня.

Планеты движутся по эллипсам, в одном фокусе которых находится Солнце.

1. Площадь, "заметаемая" радиус-вектором, проведённым от Солнца к планете, будет одинакова для одинаковых временных интервалов. Каждая планета движется быстрее, когда она находится вблизи Солнца, и медленнее при большем расстоянии от него. Например, если самая отдалённая точка орбиты вдвое дальше от Солнца, чем ближайшая, то скорость планеты в первой точке вдвое меньше, чем скорость во второй.

2. Квадрат периода обращения каждой планеты пропорционален кубу главной оси её орбиты (квадрат планетного года пропорционален кубу главной оси эллипса). Рисунок 4-2 показывает главную ось, как наибольший размер эллипса. Закон утверждает, что далёкие от Солнца планеты движутся по своим орбитам медленнее, чем внутренние планеты, и, таким образом, длина года возрастает быстрее, чем размер их орбиты.

Хотя Кеплер описывает эллиптические орбиты планет, они очень близки к круговым. Законы Кеплера основаны на наблюдении почти незаметных отклонений от простого поведения планет на идеальных круговых орбитах. Однако эти отклонения очень важны, потому что именно они позволили Ньютону продемонстрировать обратную пропорциональность силы гравитации от квадрата расстояния.

4.5 Ньютон использует законы

Большая часть "Принципов" Ньютона посвящена детальным и сложным геометрическим доводам, призванным объяснить значение трёх законов Кеплера. Во-первых, Ньютон показал, что второй закон Кеплера доказывает, что движение планет определяет сила, направленная к Солнцу, - любая сила такого типа может дать наблюдаемое изменение скорости. Для Ньютона это было очень важно, потому что если поведение планет можно объяснить с помощью механики, т.е. с помощью силы, то эта сила должна быть обязательно направлена к Солнцу. Затем Ньютон продемонстрировал, что первый и третий законы Кеплера возможны только, если сила меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Чтобы подчеркнуть эту особенность он искал похожие законы для других типов сил. Например, сила, пропорциональная расстоянию может создать эллиптическую орбиту, но Солнце тогда должно находиться в центре, а не в фокусе эллипса. И так как такая сила возрастает с расстоянием, то внешние планеты должны были бы двигаться быстрее, чем внутренние, для того чтобы иметь большее ускорение. При этом все планеты должны были бы вращаться так, чтобы иметь одну и ту же длину года (время одного оборота вокруг Солнца).

Интересно, что Ньютон после изобретения им же математических методов исчисления, которые чрезвычайно упрощают интерпретацию законов Кеплера, не использовал их по такому назначению. Он вернулся к запутанным геометрическим доводам, и большая часть "Принципов" читается как старомодный, но "продвинутый" школьный учебник геометрии. Это была дань времени, в котором геометрия Эвклида оставалась высшим достижением математики. Использование новых математических методов могло бы смутить читателей, и они могли посчитать доводы, основанные на новых методах, менее убедительными.

4.6 Луна - это связь

Однако законы Кеплера говорят только об относительных скоростях движения разных планет, или о скоростях одной планеты в разных точках её орбиты. Не зная ни величины силы, действующей на планету, ни массы Солнца, ни коэффициента г в формуле 4-1, не было возможности завершить анализ: Ньютон продемонстрировал, что его закон может объяснить, почему год на Марсе вдвое длиннее года на Земле, но длину самого года вычислить не мог. Так что простое объяснение законов Кеплера не могло разрушить дихотомию (раздвоение) между явлениями земными и небесными.

К счастью для Ньютона, наша Земля имеет спутник, Луну. Так как одна и та же Земля создаёт ускорение свободного падения камня и ускорение Луны на её орбите, то единственное отличие этих двух явлений состоит в том, что Луна находится много дальше от центра Земли, и поэтому изменение силы гравитации можно подсчитать. По измеренному ускорению камня на поверхности Земли можно рассчитать, какое ускорение должна иметь на своей орбите Луна, если она подвержена действию только силы гравитации Земли. Будет ли соответствовать этот расчёт наблюдаемому движению Луны? Здесь для Ньютона открывалась возможность прямого количественного доказательства того, что одна и та же сила вызывает движения и камня, и Луны.

Уже во времена Ньютона расстояние до Луны было известно, т.к. его довольно легко измерить. Оно составляет 380000 км, что в 60 раз больше радиуса Земли. Таким образом, ускорение под действием силы гравитации Земли на лунной орбите должно быть в (60)2 раз меньше, чем ускорение свободного падения на Земле, то есть:

Если мы примем, что движение Луны является движением материального объекта под действием одной только силы земного тяготения, то "а" должно быть ускорением на её орбите.

Остаётся подсчитать наблюдаемое ускорение Луны, используя формулу, полученную в предыдущей главе. Скорость Луны на её орбите равна 1016 мс-1. Она получена делением длины орбиты 2р·380000 км на длину лунного месяца 27,32 дня. Таким образом, искомое ускорение получается

Учитывая тот факт, что орбита Луны не совсем круговая, а слабо эллиптическая, соответствие двух величин ускорения "а" является просто великолепным.

Чтобы убедиться, что мы не потеряли нить рассуждений, занимаясь арифметикой, резюмируем сказанное. Итак, мы начали с предположения, что Луна, являясь материальным объектом, подчиняется тем же законам, которые действуют на Земле. Мы обнаружили, что ускорение Луны меньше ускорения свободного падения тела на Земле ровно во столько раз, во сколько отличаются квадраты их расстояний от центра Земли.

Этот результат был шокирующим. Конечно, один такой результат может оказаться простым совпадением, и окончательное доказательство ещё впереди и потребует более детальных расчётов других явлений. И всё же приведённый расчёт был прочной связью и количественной корреляцией между явлением на Земле и явлением на небесах.

Но самый главный аспект теории оставался не доказанным: её претензия на открытие универсальной силы, которая действует между любыми телами на любом расстоянии и пропорциональна произведению их масс. По законам Кеплера можно было убедиться, что сила притяжения Солнца, обратно пропорциональная квадрату расстояния, объясняет движение всех планет Солнечной системы (включая Землю). Подобная сила, создаваемая Землёй, объясняет движение всех падающих тел и движение Луны вокруг Земли. Однако, не зная масс Солнца и Земли, Ньютон имел слабые основания для утверждения, что сила пропорциональна массе большего "центрального" объекта в каждом из упомянутых случаев. И он не имел никаких оснований утверждать, что эта сила может действовать и, например, между двумя камнями на Земле, разве что мог утверждать, что земные камни взаимодействуют слишком слабо, чтобы это можно было измерить. Тем не менее, достижения теории тяготения были столь убедительны, и они так хорошо соответствовали духу ньютоновской физики, что немногие физики серьёзно сомневались в универсальности теории с момента её публикации. Универсальность теории тяготения не имела прямого подтверждения, пока полтора столетия спустя Генри Кавендиш не изобрёл прибор для измерения слабого взаимодействия двух тел в лаборатории. Вера в закон гравитации Ньютона была столь велика, что Кавендиш назвал свой эксперимент не "подтверждением закона Всемирного тяготения", а "взвешиванием Земли"; это название также опиралось на недоказанное утверждение, что сила земного тяготения, действующая на камень, пропорциональна массе Земли, также как и массе камня. Так как он измерил силу между двумя объектами известных масс, Кавендиш впервые получил в свои руки всю информацию, необходимую для вычисления гравитационной постоянной г в формуле Ньютона. Как только эта константа стала известной, вес известной массы (конкретного тела) на Земле можно было использовать для расчета массы Земли, так как все остальные члены в формуле для силы известны.

По крайней мере в течение столетия после публикации "Принципов", самым важным приложением и подтверждением ньютоновских законов механики и гравитации оставались расчеты движений планет. И только в XIX веке, когда создание машин перестало, наконец, быть процессом проб и ошибок, ньютоновские законы движения получили своё практическое применение.

4.7 "Гипотез не изобретаю"

Если теория гравитации была величайшим достижением Ньютона, то одна её особенность должна была представлять для него самые серьёзные затруднения. Это было понятие о действии на расстоянии, согласно которому два тела на большом расстоянии друг от друга могли взаимодействовать без всякого посредника, кроме пустого пространства между ними. Неофициально, Ньютон отвергал подобную идею, как абсурдную, и был уверен, что должна существовать материальная субстанция, способная передавать силу. Хотя при этом он не имел никакого конкретного представления о том, что бы это могло быть. Но его публичные заявления были совершенно иными. Из-за почти параноидального отвращения к научным дебатам он отказался участвовать в диспуте, надменно заявив: "Нypothesis non fingo!", что в переводе означает "Гипотез не изобретаю!".

...