Лабораторний практикум з фізики

Размещено на http://www.allbest.ru

ВИМІРЮВАННЯ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН

Наука починається з тих пір,

коли починають вимірювати.

Точна наука немислима без вимірювань.

Д.І.Менделєєв

Вимірювання фізичних величин, які здійснюються в лабораторному практикумі, мають, в основному, пізнавальну мету. У лекційному курсі студенти вивчають теорію. При цьому розглядаються ті сторони реального світу, які існуюча теорія вважає найважливішими. Може трапитись так, що знайомство студентів з світом природи обмежиться лише цими сторонами, і вони будуть глибоко впевнені, що це і є весь реальний світ, а не його окремі сторони. До того ж в теорії все досить гармонійно пов'язане і дуже легко втратити уявлення, якими неймовірними зусиллями людського розуму вона створена. Займаючись лабораторним практикумом, студенти насамперед дізнаються, як важко буває перевірити теорію, і навчаться переборювати труднощі, які виникають при цьому, але крім всього іншого у них з'явиться погляд на фізику в цілому, на взаємозв'язок між теорією і експериментом, що складає головний зміст фізики як навчального предмета.

Фізичною величиною називають властивість, яка якісно є спільною для багатьох фізичних об'єктів, але кількісно різною для кожного з них. Кожна з фізичних величин описує якусь одну характеристику фізичного об'єкту. Наприклад, властивості об'єктів: довжина, маса, електричний опір; стани систем: тиск, температура, магнітна індукція; процеси: швидкість, прискорення, робота, потужність і т. д.

У пізнанні навколишнього світу важливе значення мають кількісні оцінки фізичних величин, які дають можливість відкрити діючі в природі закономірності, врахувати матеріальні ресурси, визначити якість різноманітної продукції і т. п. Серед різноманітних оцінок фізичних величин особливе місце займають фізичні вимірювання.

Вимірюванням називається порівняння вимірюваної величини з деяким її значенням, прийнятим за одиницю вимірювання. Результат фізичного вимірювання записують у вигляді такого рівняння:

фізичний вимірювання прилад індукційний термоелектричний

Q = n Q (1)

де n - числове значення фізичної величини Q; [ Q ] - її одиниця вимірювання.

Сукупність одиниць вимірювання фізичних величин, що охоплює певні галузі вимірювань, називається системою одиниць.

Кожна система одиниць фізичних величин складається з основних та похідних одиниць. Основною одиницею системи одиниць називається одиниця, яка прийнята за незалежну і використовується для визначення інших одиниць системи. Похідною одиницею системи називається одиниця, яка визначається через основні одиниці. Більшість похідних одиниць визначають із найпростіших рівнянь зв'язку між фізичними величинами.

Однією з важливих характеристик фізичної величини є її розмірність.

Розмірністю фізичної величини називають вираз, який показує зв'язок одиниці вимірювання цієї величини з основними одиницями даної системи одиниць. Цей вираз є одночленом у вигляді добутку символів основних одиниць у відповідних степенях (цілих або дробових, додатних або від'ємних). Наприклад, розмірність сили в системі СІ записується в такому вигляді:

[ F ] = L M T^-2,

де L - довжина; М - маса; Т - час.

Фізична величина називається безрозмірною, якщо у виразі її розмірності всі основні одиниці входять у нульовому степені.

Відносно сигналів вимірювальної інформації фізичні величини поділяються на активні і пасивні. Активними називаються фізичні величини, які можуть бути перетворені у сигнал вимірювальної інформації без використання допоміжних джерел енергії. Такими величинами є, наприклад, сила струму, напруга, температура, тиск і т. д. До пасивних величин, наприклад, належать електричний опір, індуктивність, маса і т. д.

Вимірювання відіграють важливу роль у житті людини. Без вимірювань неможливо уявити існування сучасної науки, промисловості, сільського господарства, медицини, торгівлі. Вимірювання необхідні в побуті, спорті та багатьох інших галузях діяльності людей. Сьогодні вони виконуються всюди: в земних умовах, в атмосфері, в космосі, на інших планетах. Вимірювання дозволяють керувати технологічними процесами, підприємствами, народним господарством у цілому. Вимірювальна інформація стала постійним супутником людини.

З розширенням сфери людської діяльності вимірювання охоплюють все нові фізичні величини, істотно розширюються діапазони вимірювань. Так, наприклад, діапазон вимірювання довжини складає від 20-100 нм до мільйонів кілометрів, температури -- від 0.5К до кількох мільйонів кельвінів, тиску -- від 110^-10 Па до 0.410¹⁰ Па, електричного опору -- від 10^-6 Ом до 10¹⁷ Ом, індуктивності -- від 10^-8 Гн до 10⁴ Гн, електроємності -- від 10^-15 Ф до 10 Ф, потужності -- від 10^-15 Вт до 10⁹ Вт, сили струму від 10^-16 А до сотень ампер.

Сьогодні є необхідність вимірювати понад 2000 різних фізичних величин. Існуючі нині методи і засоби дають можливість вимірювати лише близько 800 величин. Отже, є постійна проблема розробляти і освоювати нові методи вимірювань та конструювати та виготовляти нові вимірювальні прилади.

Різко зросли і продовжують зростати вимоги до точності вимірювань, швидкості одержання вимірювальної інформації, якості вимірювань фізичних величин, особливо тих, які характеризують швидкопротікаючі процеси. Автоматизація виробництва та впровадження гнучких виробничих ліній обумовлюють необхідність повної автоматизації вимірювань, використання систем автоматичного контролю, безконтактних методів вимірювань, вимірювальних роботів.

Аналіз тенденцій розвитку науки і техніки дає можливість зробити висновок про необхідність дальшого підвищення точності вимірювань малих і середніх довжин у машинобудуванні, товщини тонких і надтонких плівок і покриттів у мікро- і оптоелектроніці, об'ємів корисних копалин при геологічній розвідці, витрати сировини у добувних і переробних галузях промисловості і т. д.

У залежності від способів одержання результатів фізичні вимірювання поділяють на прямі, посередні, сукупні та сумісні.

Прямими називають вимірювання, при яких певна фізична величина безпосередньо порівнюється з одиницею вимірювання або за допомогою вимірювального приладу, проградуйованого у відповідних одиницях. До прямих вимірювань відносяться вимірювання довжини масштабною лінійкою, штангенциркулем, плитками Йогансона і т. д. ; вимірювання маси на терезах за допомогою різноважок; вимірювання проміжків часу за допомогою годинника або секундоміра; вимірювання температури за допомогою термометра, сили струму за допомогою амперметра і т. д.

Посередніми називаються вимірювання, при яких шукане значення фізичної величини знаходять на підставі відомої залежності між цією величиною і величинами, які можна вимірювати безпосередньо. Прикладами посередніх вимірювань можуть служити вимірювання швидкості рівномірного (або рівноприскореного) руху на підставі прямих вимірювань пройденого шляху і проміжку часу; вимірювання густини тіла і т. д.

Сукупними називають вимірювання, при яких одночасно вимірюється декілька однойменних величин, а шукану величину визначають шляхом розв'язку системи рівнянь, одержаних при прямих вимірюваннях різних сполучень цих величин.

Сумісними називаються вимірювання, при яких одночасно вимірюються дві або декілька не однойменних величин для знаходження залежності між ними. Сумісними вимірюваннями, наприклад, є дослідження залежності опору провідників або напівпровідників від температури, вимірювання коефіцієнта лінійного ослаблення - променів і т. д.

При аналізі вимірювань слід чітко розрізняти істинні значення фізичних величин і їх емпіричні прояви -- результати вимірювань.

Істинним значенням фізичної величини називається значення, яке ідеально в якісному і кількісному відношенні відображає відповідну властивість об'єкта. Воно не залежить від засобів нашого пізнання і є тією абсолютно істиною, до якої ми прагнемо.

Результати вимірювань, навпаки, є продуктами нашого пізнання. Це наближені оцінки фізичних величин, знайдені шляхом спостережень. Вони залежать не тільки від самих величин, але ще й від методів вимірювання, від технічних засобів, за допомогою яких проведені вимірювання, і від властивостей органів відчуття експериментатора, який здійснює вимірювання.

Значення фізичної величини, одержане в результаті вимірювання називається дійсним значенням. Вважають, що дійсне значення настільки близьке до істинного, що може його замінити.

Таким чином, через недосконалість засобів вимірювання і органів відчуття експериментатора, а також через багато численні збурення результат вимірювання фізичної величини х, як правило, відрізняється від його істинного значення х₀, тобто має похибку.

Похибкою вимірювання називають відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної величини. Розрізняють абсолютну та відносну похибки.

Похибка:х= x - x₀ , (2)

яка виражена в одиницях вимірюваної величини, називається абсолютною похибкою, а похибка:

(3)

яка виражена в частинах або процентах від істинного значення вимірюваної величини, називається відносною похибкою.

Оскільки істинне значення х₀ вимірюваної величини невідоме, то невідомі і похибки вимірювання х і . Щоб отримати хоча б наближені результати, доводиться замість істинного значення фізичної величини підставляти його дійсне значення.

У залежності від закономірності появи похибки вимірювань поділяють на три типи: грубі, систематичні і випадкові.

Грубою похибкою або промахом називають похибку вимірювання, яка суттєво перевищує очікувану при даних умовах вимірювання.

Систематичною похибкою називають похибку вимірювання, яка залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини. Систематичні похибки часто виникають через те, що умови експерименту відрізняються від передбачуваних теорією, а поправки на цю невідповідність не зроблено.

Найбільш поширеним джерелом систематичних похибок є похибки вимірювальної апаратури.

Випадковою похибкою називається похибка, яка змінюється випадково при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж фізичної величини. Випадкові похибки можна виявити шляхом повторних вимірювань. Крім того, збільшуючи число вимірювань і знаходячи середнє арифметичне їх результатів, ми будемо отримувати дійсні значення, які будуть наближатися до істинного значення. Але при наявності систематичної похибки це нічого не дасть. Повторні вимірювання за допомогою одного і того ж приладу не дають можливості ні виявити, ні усунути систематичні похибки. Тому систематичні похибки більш небезпечні, ніж випадкові. Якщо в ході експерименту допущені великі випадкові похибки, то вони виявлять себе у великій величині похибки кінцевого результату. Таким чином, всі будуть освідомленні про неточність результату і це не завдасть нікому ніякої шкоди, хіба що тільки самолюбству експериментатора, оскільки одержаний ним результат ні на кого не справить приємного враження. Інша справа, коли при наявності прихованої систематичної похибки результат буде виглядати цілком надійним, якщо він наведений з малою похибкою, хоча насправді він неправильний. Класичним прикладом цього може служити дослід Міллікена з вимірювання елементарного електричного заряду. У цьому експерименті потрібно знати в'язкість повітря. Відоме на той час значення коефіцієнта в'язкості повітря виявилось заниженим. Тому Міллікен одержав результат:

е=1,591 0,00210^-19 Кл

Сьогодні для цієї величини приймають значення:

е= ( 1,60217733 0,00000049)10^-19 Кл

Аж до 1930 р. включно, числові значення ряду інших атомних констант, таких, як стала Планка і число Авогадро, базувались на міллікенівському значенні e , отже, містили систематичну похибку, більшу за 0,5%.

Закономірності випадкових похибок детально вивчені і розроблені методи їх оцінок. Поява тієї чи іншої випадкової похибки є так званою випадковою подією. Випадковими подіями називають такі події, поява яких не може бути точно передбаченою. Вони вивчаються теорією імовірностей, яка дає методи розрахунку імовірності їх появи.

Вимірювання, які виконуються при додаткових умовах, одним і тим же дослідником, одним і тим же приладом, за тією ж самою методикою вимірювань, називаються рівно точними. Нехай при повторних рівно точних вимірюваннях деякої фізичної величини x одержали n числових значень, які дещо відрізняються одне від одного:

х₁, х₂, х₃, ... х_n.

Припустимо, що в цьому ряді немає систематичних і грубих похибок. Тоді відхилення кожного з цих результатів вимірювання від істинного значення і вимірюваної величини можна вважати випадковою похибкою цього вимірювання:

x_i = x_i - x₀.

Різні за числовим значенням похибки мають різну імовірність своєї появи. У більшості фізичних вимірювань випадкові похибки описуються так званим законом нормального розподілу або формулою Гаусса. Ця формула одержана з врахуванням таких емпіричних положень:

імовірність появи похибки зменшується із збільшенням її числового значення, тобто чим більша абсолютна величина похибки, тим рідше вона зустрічається;

при великому числі вимірювань похибки однакової абсолютної величини, але різних знаків, мають однакову імовірність.

Формула Гаусса має такий вигляд:

(5)

де y(x_i) - імовірність появи похибки x_i;

e - основа натуральних логарифмів;

- середнє квадратичне відхилення результату спостереження;

x_i = x_i - x₀ ;

(6)

Графіки формули Гаусса для деяких значень показані на рис.1.

Рис. 1.

3 цього рисунка видно, що чим менше , тим менша імовірність появи великої за абсолютною величиною випадкової похибки x_i.

Середнє квадратичне відхилення результату спостереження характеризує розкид окремих значень x_i даного ряду результатів вимірювання. Чим менше , тим менший розкид окремих значень x_i, тобто вища точність вимірювань.

Користуючись кривою нормального розподілу випадкових похибок (рис. 1), легко визначити імовірність появи відхилень певного числового значення. Але ще більший інтерес становить визначення імовірності того, що відхилення x_i лежать в межах - x до x, тобто імовірність появи відхилень x_i , абсолютна величина яких не перевищує деякого заданого значення x. Цю імовірність називають довірчою імовірністю і позначають буквою p.

Інтервал значень від x₀ - x до x₀ + x, в який попадає дійсне значення вимірюваної величини із заданою імовірністю p називають довірчим інтервалом. Зрозуміло, що чим більшої довірчої імовірності ми вимагаємо, тим більшим буде відповідний довірчий інтервал, і, навпаки, чим більший довірчий інтервал ми задаємо, тим імовірніше, що результати вимірювань не вийдуть за його межі.

При виконанні лабораторних робіт рекомендується вибирати довірчу імовірність p=0,9. При обмеженій кількості вимірювань (n= 5...10) вводять коефіцієнт Стьюдента t_p,n , який залежить від числа вимірювань n_і і довірчої імовірності. Значення коефіцієнтів Стьюдента для різних значень n при довірчій імовірності p=0,9 наведені в табл.1.

Таблиця 1

n								10	30
tp,n	2,92	2,35	2,13	2,02	1,94	1,93	1,8б	1,83	1,70	1,65

Похибки прямих вимірювань

Припустимо, що грубі похибки відсутні, а систематичні похибки вилучені, тобто неточність вимірювання визначається тільки похибкою вимірювальних приладів і випадковими похибками. Можливі три випадки:

випадкові похибки менші за похибки приладу;

випадкові похибки такого ж порядку, як похибки приладу;

випадкові похибки більші за похибки приладу.

У першому випадку похибка вимірювання оцінюється тільки за похибкою приладу, а в другому випадку похибка вимірювання розраховується за формулами, які дає теорія випадкових похибок.

Для з'ясування, який випадок має місце, необхідно виконати декілька однакових вимірювань. Якщо результати всіх вимірювань однакові в межах похибки приладу, то похибка вимірювання визначається похибкою приладу (систематична похибка вимірювання):

(7)

де t_p, - коефіцієнт Стьюдента при n ,

x_np - абсолютна похибка приладу.

Абсолютна похибка приладу, як правило дорівнює половині ціни його поділки або визначається класом його точності (найчастіше для електровимірювальних приладів).

У другому випадку проводять n рівноточних вимірювань. Теорія випадкових похибок доводить, що найбільш близьким до істинного значення вимірюваної величини є середнє арифметичне ряду рівно точних вимірювань, тобто

 (8)

де x_i - числове значення, одержане при і-му вимірюванні.

Оскільки відхилення результату вимірювання x від істинного значення вимірюваної величини (4) нам невідоме (внаслідок невизначеності x₀), то відповідно нам невідома і величина , яка визначається формулою (6). Тому вводять величину

(9)

яку називають оцінкою середнього квадратичного відхилення результатів вимірювання від їх середнього арифметичного.

Якщо вимірювань дуже багато, то виконується співвідношення:

Випадкова абсолютна похибка визначається за формулою:

x₂ = t_p,n S_x, (10)

де t_p,n - коефіцієнт Стьюдента.

Загальна абсолютна похибка вимірювання у цьому випадку дорівнює:

(11)

У третьому випадку, очевидно, абсолютна похибка вимірювання визначається за формулою (10).

Остаточні записи результату прямого вимірювання мають форму:

(12)

де E - відносна похибка вимірювання.

Запис результату вимірювання

означає, що істинне значення x₀ вимірюваної величини з імовірністю p лежить в середині інтервалу [,].

Таким чином, можна рекомендувати слідуючий порядок математичної обробки результатів прямих вимірювань:

знайти абсолютну систематичну похибку вимірювання, користуючись формулою (7);

знайти середнє арифметичне значення вимірюваної величини за формулою (8);

знайти оцінку середнього квадратичного відхилення за формулою (9);

знайти абсолютну випадкову похибку, користуючись табл. 1 і формулою (10);

знайти загальну абсолютну похибку вимірювання за формулою (11);

записати остаточний результат (12).

Похибки посередніх вимірювань

Нехай вимірюється деяка фізична величина y, яка є функцією незалежних величин х₁, х₂ ,..., х_n , числові значення яких знаходять за допомогою прямих вимірювань:

y = f(х₁, х₂ ,..., х_n), (13)

Необхідно знайти похибки вимірювання величини y за відомими похибками незалежних змінних x_i, i = 1, … ,n.

Абсолютну похибку вимірювання величини y можна знайти за формулою:

(14)

де x_i - загальні абсолютні похибки прямих вимірювань величин x₁, x₂,x₃, ..., x_n, знайдених за правилами, розглянутими у попередньому розділі.

Середнє значення y отримується підстановкою в (13) середніх арифметичних x₁, x₂, ... , х_n. Значення частинних похідних у формулі (14) знаходяться для середніх арифметичних значень величин x₁, x₂, ... , x_n.

Для математичної обробки результатів посередніх вимірювань можна рекомендувати слідуючий порядок:

виміряти кілька разів величини x₁, x₂, ... , x_n (але не менше 3 вимірювань кожної з них);

виконати п.п. 1-6 попереднього розділу;

визначити середнє значення досліджуваної величини y за формулою:

y = f ( x₁, x₂, ... , x_n);

знайти абсолютну похибку вимірювання величини y за формулою (14);

записати одержані результати в такому вигляді:

зробити аналіз одержаних результатів та висновки.

При математичній обробці результатів вимірювання доводиться використовувати табличні дані математичних та фізичних величин. Ці дані наводяться з правильними цифрами і однією (останньою) сумнівною. За абсолютну похибку табличних величин приймають половину одиниці сумнівної цифри. Наприклад, sin 58= 0,8480.

Абсолютна похибка дорівнює 0,00005.

У фізичному лабораторному практикумі є лабораторні роботи, в яких та чи інша фізична величина отримується шляхом сумісних вимірювань. Наприклад, вимірювання термічного коефіцієнту опору, сталої термо-е.р.с. Теорія випадкових похибок рекомендує в цьому випадку використовувати так званий метод найменших квадратів.

Слід звернути увагу, що в останні роки набули поширення нестатистичні методи математичної обробки результатів вимірювань. Одним з них є метод, який базується на понятті нечітких (розмитих) множин. Теорія нечітких множин за свої 25 років існування перетворилась у розвинуту теорію, яка має важливе практичне застосування в тих випадках, коли задачі не допускають точного формулювання, включаючи неточності і невизначеності.

РОЗДІЛ ПЕРШИЙ

Механіка

Перед початком виконання лабораторної роботи студенту необхідно одержати допуск до роботи. Для цього йому слід відповісти на декілька запитань з теорії методу і знання лабораторної установки. Одержавши відмітку про допуск на бланку звіту, студент може приступити до виконання роботи.

Проробивши всі необхідні вимірювання і записавши їх в звіт студент виконує контрольні розрахунки, тобто знаходить одну або декілька вимірюваних величин і при необхідності узгоджує їх у викладача. Бланк звіту з результатами контрольного розрахунку підписується у викладача.

В першому розділі перед початком подання теорії методу до кожної лабораторної роботи є посилання на підручники, які в достатній кількості є в науковій бібліотеці університету.

1. Савельєв И.В. "Курс общей физики". Т.І.М:Наука:1977.

2. Яворский Б.М. і.інш. "Курс физики". Т.І.М:Наука:1977.

Студент може користуватись також будь-яким іншим підручником де є відповідний теоретичний матеріал.

Лабораторна робота № 1-1

Дослідження прямолінійного руху тіл в полі тяжіння за допомогою машини Атвуда

Л. 1. 3, 4, 7, 8.

Мета роботи: дослідити закони руху тіл в полі земного тяжіння.

Прилади і матеріали: машина Атвуда, набір важків, додаткові тягарці, електронний секундомір.

Теоретичні відомості.

Машина Атвуда призначена для вивчення законів прямолінійного рівномірного та рівномірно прискореного рухів і, зокрема, для визначення прискорення вільного падіння тіл.

Будова машини Атвуда зображена на рис.1. Принцип її дії грунтується на використанні законів вільного падіння тіл в повітрі. Через нерухомий блок, при обертанні якого силою тертя в осі можна знехтувати, перекинута нитка з двома однаковими вантажами масою М кожний. В цьому випадку система знаходиться в рівновазі. Якщо на один з вантажів покласти невеликий додатковий тягарець масою m, то система, що складається з двох вантажів і тягарця, одержить деяке прискорення a під дією сили F= mg і на шляху S₁ , буде рухатись з цим прискоренням.

Кільцем Р дія додаткового тягарця m припиняється і вантажі, рухаючись рівномірно, пройдуть шлях S₂.

Знайдемо закон руху вантажу М , розташованого праворуч. Для цього скористаємося системою координат, початок якої знаходиться на осі блока, а вісь ox напрямлена вертикально вниз. На вантаж М діють дві сили : сила тяжіння (М+m)g та сила натягу правої частини нитки Т₁. Запишемо другий закон Ньютона:

( М + m ) g - T₁ = ( M + m ) a , (1)

де а - прискорення вантажу М.

Тепер застосуємо другий закон Ньютона до вантажу М, що розташований ліворуч. Так як нитка нерозтяжна, прискорення лівого вантажу за абсолютним значенням рівне прискоренню правого, але направлене в протилежний бік, тобто воно рівне - а. Натяг лівого кінця нитки позначимо через Т₂ , тоді :

М g - T₂ = - M а, (2)

У випадку невагомого блока і відсутності сили тертя в його осі :

Т₁ = Т₂ . (3)

З рівнянь ( 1 ) , ( 2 ) та ( 3 ) знайдемо прискорення системи :

(4)

Таким чином, вважаючи g відомим та проводячи досліди з різними вантажами М і додатковими тягарцями m, за формулою (4) можна вирахувати прискорення а і здійснити експериментальну перевірку другого закону Ньютона.

Машина Атвуда дає можливість також визначити прискорення вільного падіння g, що й складає основне завдання даної роботи. Для цього з формули (4) знайдемо g :

(5)

Прискорення а безпосередньо виміряти неможливо, але його легко вирахувати, вимірявши шлях S₁ , пройдений вантажем М при рівномірно прискореному русі, а також шлях S₂ рівномірного руху та час t його проходження.

Для рівномірно прискореного руху, при умові, що початкова швидкість ₀ рівна нулеві, пройдений шлях можна знайти, маючи кінцеву швидкість та прискорення :

(6)

Кінцева швидкість V набувається вантажем М в момент проходження кільця Р, яке припиняє дію додаткового тягарця. Далі з цією швидкістю вантаж рухається рівномірно і за час t проходить шлях S₂ . Тому :

(7)

З формул (6) і (7) знаходимо прискорення а , підставляючи його значення в вираз (5) ,остаточно одержуємо :

(8)

де М - маса великого вантажу;

M - маса додаткового тягарця;

S₁ - шлях, що проходить вантаж (М+m) при рівномірно прискореному русі;

S₂ - шлях, пройдений вантажем М при рівномірному русі;

T - час проходження шляху S₂.

Порядок виконання роботи

Підготувати прилад до вимірювань, для чого необхідно :

з допомогою регулюючих ніжок встановити колонку приладу строго вертикально ;

змістити правий вантаж у верхнє положення, покласти на нього додатковий тягарець та впевнитись, що система знаходиться в стані спокою;

натиснути клавішу “ПУСК” і переконатись, чи прийшла система в рух, чи був затриманий на середньому кронштейні додатковий тягарець, чи виміряв мілісекундомір час проходження правим вантажем шляху S₂ та чи була система загальмована в кінці цього шляху;

звільнити клавішу “СБРОС” та перевірити чи відбулось обнуління показів вимірювача і звільнення електромагнітного блокування ролика;

змістити правий вантаж у верхнє положення і звільнити клавішу “ПУСК”, а також перевірити виникнення повторного блокування ролика;

На правий вантаж встановити один з додаткових тягарців.

Сумістити нижню грань правого вантажу з рискою, що нанесена на верхньому кронштейні.

Виміряти з допомогою шкали колонки шляхи рівномірноприскореного руху S₁ та рівномірного руху S₂.

Натиснути клавішу “ПУСК”.

Записати значення часу t.

Вимірювання повторити не менше 5 разів.

Дані всіх вимірювань занести в таблицю:

№ досліду	М, кг	m, кг	S1, м	S2, м	t, с	g, м/c2	g, м/с2	, %

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

Визначити середнє значення часу руху вантажу на шляху S₂ за формулою:

де n - кількість виконаних вимірювань;

t_i - час і-того вимірювання.

За допомогою формули (8) вирахувати значення прискорення вільного падіння тіл.

Визначити абсолютну та відносну похибки вимірювань.

Контрольні запитання

Механічний рух як найпростіша форма руху матерії. Відносність руху. Види руху.

Кінематика матеріальної точки: траєкторія, шлях, переміщення, швидкість, прискорення. Поступальний рух твердого тіла.

3. Проаналізуйте можливі джерела та причини похибок при визначенні g.

Лабораторна робота № 1-2

Визначення прискорення вільного падіння з допомогою універсального маятника

Л.1. 4. 2. 64. 65.

Мета роботи: експериментальне визначення прискорення вільного падіння тіл з допомогою коливань математичного і фізичного маятників.

Прилади і матеріали: установка, обладнана математичним і фізичним маятниками; електронним мілісекундоміром і фото-електричним датчиком.

Теоретичні відомості

I. Падіння тіл на Землі -- одне з проявлень закону всесвітнього тяжіння, згідно з яким сила взаємодії F двох матеріальних точок з масами m₁ i m₂ на віддалі r визначається за формулою:

(1)

де = 6.6710^-11 м³/кгс² -- гравітаційна стала.

Під дією сили притягання до Землі всі тіла падають з однаковим відносно поверхні Землі прискоренням, яке прийнято позначати буквою g. Це значить, що в системі відліку, зв'язаною з Землею, на всяке тіло масою m діє сила:

Р = m g. (2)

У цьому випадку дану систему відліку можна вважати інерціальною. На основі закону тяжіння прискорення вільного падіння повинне бути:

(3)

де М - маса Землі ,

R - радіус Землі в даному місці.

Визначення величини прискорення вільного падіння дало можливість вирахувати масу Землі та середню густину її складу (М=5,9610²⁴ кг, =5,510³ кг/м³ ). Збільшення прискорення вільного падіння при переміщенні від екватора до полюсів показало, що Земля має форму сплюснутого вздовж осі обертання геоїда.

Земна кора в різних місцях має неоднаковий склад, тому в місцях, де кора має більшу густину, прискорення вільного падіння збільшується . Це явище служить основою одного з методів розвідки корисних копалин.

Згідно закону тяжіння по мірі віддалення від Землі прискорення зменшується обернено пропорційно квадратові віддалі до центру Землі. Це зменшення являється суттєвим і приймається до уваги при розрахунках руху штучних космічних тіл.

При вивченні руху тіл відносно земної поверхні необхідно мати на увазі, що система відліку, зв'язана з Землею не є інерціальною. Прискорен-ня, що відповідає рухові по орбіті, значно менше, ніж прискорення, яке зв'язане з добовим обертанням Землі. Тому з достаньою точністю можна вважати, що система відліку, що зв'язана з Землею, обертається відносно інерціальних систем з постійною кутовою швидкістю . Таким чином, розглядаючи рух тіл відносно Землі, необхідно вводити відцентрову силу інерції :

F_i = m ² r, (4)

де m - маса тіла;

r - віддаль тіла до земної осі (рис.2).

Обмежуючись випадками, коли висота тіл над поверхнею Землі невелика , можна прийняти r рівним:

r = R cos , (5)

де R - радіус Землі ;

- широта місцевості ( рис.1 ).

Вираз для сили інерції в такому випадку набуде вигляду:

Fi = m 2 R cos (6)

Рис.1 Рис.2

Отже, прискорення вільного падіння тіл відносно Землі обумовлюється дією двох сил: сили тяжіння та сили інерції .

Результуюча цих двох сил:

(7)

є вагою тіла ( див. формулу ( 2 )).

Різниця між вагою тіла і силою притягання до Землі невелика, так як відцентрова сила інерції значно менша за . Кут між напрямками та можна оцінити, скориставшись теоремою синусів ( рис.2 ):

звідки sin = 0,0035 sin cos = 0,0018 sin 2.

Так як кут малий, то можна записати

= 0,0018 sin 2. (8)

Напрямок дії ваги тіла , що визначається з допомогою виска, у різних місцях на поверхні Землі, крім полюсів і екватора, не збігається з напрямом до центра Землі, вздовж якого діє сила тяжіння . Але кут між ними дуже малий і на проміжних широтах визначається виразом (8).

Різниця між силою тяжіння та вагою тіла на полюсах рівна нулеві, а на екваторі досягає максимуму, рівного 0,3% сили тяжіння .

Завдяки дії відцентрової сили інерції та за рахунок сплюснутості земної кулі біля полюсів прискорення вільного падіння g змінюється з широтою в межах від 9,780 м/с² на екваторі до 9,832 м/с² на полюсах. Значення g=9,80665 м/с² приймається як нормальне (стандартне) прискорення вільного падіння тіл на Землі.

Експериментально визначити прискорення вільного падіння можна при вивченні коливань фізичного та математичного маятників.

II. Фізичним маятником називають тверде тіло, що може здійснювати коливання навколо нерухомої точки, яка не співпадає з центром інерції. У положенні рівноваги центр інерції маятника C знаходиться під точкою підвіса маятника O на одній з нею вертикалі (рис.3).

При відхиленні маятника від положення рівноваги сила P=mg ви-кликає появу так званої квазіпружної сили, яка намагається повернути маятник в положення рівноваги. Ця сила аналогічно пружній описується закономірністю

F=-kx. (9)

Рис. 3

Знак “ - ”говорить про те, що зміщення x і сила F мають протилежні напрямки. Таким чином, при відхиленні маятника від положення рівноваги на кут виникає момент сили, що прагне повернути маятник в положення рівноваги. Цей момент сили дорівнює:

M= -mgl sin , (10)

де m - маса маятника,

l - віддаль між точкою підвісу і центром інерції маятника.

Позначивши момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через точку підвісу, буквою I, можна записати рівняння динаміки обертального руху:

I = -mgl sin , (11)

де е - кутове прискорення.

Розглядаючи випадки малих коливань, коли кут малий і справджу-ється співвідношення sin = та ввівши позначення

(12)

із співвідношення ( 11 ) одержимо рівняння:

(13)

Це лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку. Його загальний розв'язок має вигляд:

= a cos ( t + ц₀ ) . (14)

Отже, при малих коливаннях кутове відхилення маятника змінюється з часом за гармонічним законом.

Так як циклічна частота ₀ зв'язана з періодом коливань співвід-ношенням:

(15)

то, враховуючи співвідношення (12), одержимо формулу періоду коливань фізичного маятника:

(16)

Нехай фізичний маятник є матеріальною точкою масою m, підвішеною на невагомій нерозтяжній нитці довжиною l . Такий маятник називають математичним. Момент інерції його відносно точки підвісу визначається за формулою:

I = m l ². (17)

Використовуючи вирази (16) та (17), можна одержати формулу періоду коливань математичного маятника:

(18)

Достатньо задовільним наближенням до математичного маятника може служити невеличка кулька , підвішена на довгій тонкій нитці.

Із співставлення формул (16) та (18) одержуємо що математичний маятник довжиною

(19)

буде мати такий же період коливань, як і даний фізичний маятник. Величину l_зв називають зведеною довжиною фізичного маятника. Таким чином, зведена довжина фізичного маятника -- це довжина такого математичного маятника, період коливань якого співпадає з періодом коливань даного фізичного маятника.

Точка на прямій, що з'єднує точку підвісу з центром інерції та лежить на відстані зведеної довжини від осі обертання, називається центром коливань фізичного маятника (точка О на рис. 3). Центр коливань і точка підвісу -- спряжені точки: якщо їх поміняти місцями, то період коливань фізичного маятника не зміниться.

Дійсно, згідно з теоремою Штейнера, момент інерції маятника відносно осі О може бути записаний у вигляді:

I = I₀ + ml². (20)

де I₀ - момент інерції відносно осі, що паралельна до осі обертання і проходить через центр інерції маятника. Підставляючи (20) в формулу (19), одержуємо:

(21)

З цього виразу випливає, що зведена довжина маятника завжди більша l, тому точка підвісу О і центр коливання О лежать по різні боки відносно центру інерції.

Тепер підвісимо маятник в точці, що співпадає з центром коливань О. згідно формули (21) зведена довжина маятника в цьому випадку буде рівною:

(22)

де - відстань між попереднім центром коливань та центром інерції маятника.

Як бачимо, l _зв = l _зв = O C + C O = l + l , звідки випливає висновок, що при підвішуванні маятника в центрі коливань його зведена довжина, а значить і період коливань, не змінюються, тобто центр коливань і точка підвісу є взаємно спряженими точками.

IV. Доведена властивість спряженості покладена в основу визначення прискорення вільного падіння з допомогою так званого оборотного маятника. Оборотним називають такий маятник, у якого поблизу кінців є дві паралельні одна одній опорні призми, за які він може по черзі підвішуватись. Вздовж маятника можуть переміщуватись та закріплюватись на ньому важкі вантажі здебільшого у вигляді циліндрів або дисків. Переміщенням добиваються того, щоб при підвішуванні маятника за любу із призм період коливань був однаковим. Тоді відстань між опорними ребрами призм буде рівною l _зв. Вимірюючи період коливань маятника і знаючи зведену довжину його l _зв за формулою

(23)

знаходять прискорення вільного падіння g .

Експериментальна установка являє собою прилад, що дає можливість з високим ступенем точності визначити період коливань математичного та фізичного (оборотного) маятників з допомогою фотоелектричного датчика й універсального мілісекундоміра. З допомогою даного приладу визначається час t певної кількості n повних коливань маятника, а потім за формулою [24] вираховується період коливань

. (24)

Порядок виконання роботи

а). Математичний маятник.

Нижній кронштейн з фотоелектричним датчиком встановити в нижній частині колонки, щоб верхня грань кронштейна показувала на шкалі довжину не менше 50 см.

Повертаючи верхній кронштейн, помістити над фотоелектричним датчиком математичний маятник.

Обертаючи корбочку на верхньому кронштейні встановити довжину математичного маятника так, щоб кулька перекривала оптичну вісь фотоелектричного датчика.

Ввімкнути прилад перемикачем "Сеть".

Відхилити кульку на 4-5° від положення рівноваги.

Натиснути кнопку "Сброс".

Після підрахунку вимірювачем близько 10 коливань натиснути клавішу "Стоп".

Значення кількості коливань n та часу t занести в таблицю.

Вимірювання повторити 3-5 разів.

По шкалі колонки визначити довжину маятника l.

в). Фізичний (оборотний) маятник.

Повернути верхній кронштейн на 180°.

Встановити маятник опорною призмою на вкладишеві верхнього кронштейна.

Нижній кронштейн разом з фотоелектричним датчиком перемістити таким чином, щоб стержень маятника перекривав оптичну вісь.

Відхилити маятник на 4-5° від положення рівноваги.

Виконати вимірювання періоду коливань.

Встановити маятник на другій опорній призмі. При цьому необхідно виконати корекцію положення фотоелектричного датчика.

Визначити період коливань у даному положенні.

Переміщенням вантажу, який знаходиться між опорними призмами, добитися співпадання періодів коливань при підвішуванні за яку-небудь із призм з точністю 0,5 % .

Визначити зведену довжину оборотного маятника l_зв, підраховуючи число рисок на стержні між опорними гранями призм, що нанесені через кожні 10 мм.

Обробка результатів експерименту

1. За формулою (24) підрахувати період коливань математичного маятни-ка.

2. Використовуючи формулу (18), визначити значення прискорення віль-ного падіння.

3. Знайти абсолютну та відносну похибки експерименту.

4. За формулою (23) визначити прискорення вільного падіння.

5. Знайти абсолютну та відносну похибки експерименту.

Контрольні запитання

Чому коливання математичного та фізичного маятників описуються гармонічним законом тільки при малих кутах відхилення від положення рівноваги?

Якими величинами визначаються періоди коливань математичного та фізичного маятників?

Що таке зведена довжина фізичного маятника?

У чому полягає основна властивість центра коливань фізичного маятника?

Чи будуть рівними між собою періоди коливань однакових маятників, розташованих на екваторі і на полюсах земної кулі?

Оцінити похибку вимірювання g з допомогою оборотного маятника.

Лабораторна робота № 1 -3

Вивчення центрального удару куль

л.1. §§ 16, 17, 24, 25

Мета роботи: експериментальне вивчення застосування законів збереження енергії та імпульсу до центрального удару куль.

Прилади і матеріали: установка для дослідження зіткнення тіл; штанген-циркуль; лінійка; терези з комплектом важків.

Теоретичні відомості

Центральним називається такий удар куль, при якому вектори швидкості руху куль у момент їх зіткнення лежать на прямій, що сполучає центри куль. Проміжок часу, протягом якого відбувається удар, здебільшого дуже малий і складає від 10^-4 с до 10^-6 с. При ударі на площинах контакту тіл виникають сили, що одержали назву ударних або миттєвих. Змінюються вони під час удару в широких межах і досягають значень, при яких середня величина тиску (напруги) на площинах контакту досягаю значення 10⁹ і навіть 10¹⁰ Н/м².

Дія ударних сил викликає значні зміни швидкостей всіх точок тіла протягом удару. Наслідком удару можуть бути також залишкові деформації, звукові коливання, нагрівання тіл та ін., а при швидкостях зіткнення, які переважають критичні значення, - руйнування тіл в місці удару. Критичні швидкості, наприклад, для міді складають біля 15 м/с, а для високоякісної сталі - 150 м/с і більше.

Процес удару тіл поділяється на дві фази. Перша - починається з моменту дотикання тіл і продовжується до кінця їх зближення. При цьому частина кінетичної енергії тіл перетворюється в потенціальну енергію деформації.

Під час другої фази відбувається зворотній перехід потенціальної енергії пружної деформації в кінетичну енергію тіл. При цьому тіла починають розходитись одне від одного і під кінець другої фази вони рухаються в різних напрямках відносно загального центра мас.

Якщо після удару тіла повністю відновлюють свою форму і розміри, а механічна енергія набуває попереднього початкового значення, то удар називають абсолютно пружним.

Якщо ж удар закінчується на першій фазі і тіла після удару рухаються як одне ціле, то удар називається абсолютно непружним. Механічна енергія при цьому не зберігається, частина її перетворюється у внутрішню енергію тіл.

При ударі реальних тіл присутні обидві фази, але повного повернення форми тіл, що стикаються, не відбувається, що приводить до зменшення механічної енергії через втрати на залишкову деформацію ; нагрівання тіл та інше.

Повний опис процесів для двох або більшої кількості тіл, що стикаються, можливий лише в межах динамічних законів, які детально змальовують всі зміни системи з часом. Але може виявитись, що для даної системи тіл рівняння, які випливають з законів динаміки, дуже складні або відсутні відомості про деякі величини, що входять у ці рівняння.

У цьому випадку певні висновки про поведінку системи можна зробити, використовуючи закони збереження.

Найважливішими законами збереження, що дійсні для будь-яких ізольованих систем, тобто, таких систем, на тіла яких не діють зовнішні сили, є закони збереження енергії, імпульсу, моменту імпульсу та електричного заряду.

Зокрема, закон збереження імпульсу формулюється так: імпульс ізольованої системи тіл залишається сталим

 (1)

Згадаємо, що імпульс системи визначається як геометрична сума імпульсів окремих тіл, що складають дану систему, а імпульс тіла - це вектор, рівний добутку маси тіла на його швидкість:

(2)

Імпульс системи тіл може бути визначений також добутком сумарної маси тіл системи m_i на швидкість центра мас цієї системи .

Центр мас (центр інерції) - це геометрична точка, що характеризує розподіл маси в тілі чи в механічній системі. Радіус-вектор центра мас визначається співвідношенням:

(3)

де m_i - маса;

R_i - радіус-вектор і-того тіла.

Під час руху механічної системи її центр мас рухається так, як рухалась би матеріальна точка, що має масу, рівну масі системи і яка знаходиться під дією всіх зовнішніх сил, прикладених до системи. З останнього визначення та з закону збереження імпульсу випливає, що центр мас ізольованої системи або знаходиться в стані спокою, або рухається з сталою швидкістю.

До числа найважливіших відноситься закон збереження енергії, але в ньому мова йде про повну енергію системи, яка складається з енергії всіх видів руху матеріальних тіл. Для механічної енергії, що рівна сумі кінетичної та потенціальної енергії, також може бути сформульований закон збереження, але він не являється загальним,а відноситься до числа законів, які справджуються тільки для обмеженого класу систем і явищ. Механічна енергія зберігається при умові дії між тілами системи тільки консервативних сил. Консервативними називають такі сили, робота яких не залежить від форми шляху. До числа консервативних відносяться гравітаційні, пружні, електростатичні та деякі інші сили. Закон збереження механічної енергії має таке формулювання: повна механічна енергія ізольованої системи тіл, між якими діють тільки консервативні сили, залишається сталою.

Кажучи про закони збереження, слід відмітити, що особливо важливу роль ці закони відіграють в теорії елементарних частинок, де крім уже відомих відкрито багато специфічних законів збереження: баріонного заряду, лептонного заряду та інші. Значення законів збереження в теорії елементарних частинок визначається тим, що вони дозволяють легко знаходити правила відбору для реакцій між елементарними частинками, тобто встановлювати, які реакції в природі можливі, а які заборонені.

Згідно з сучасним уявленням закони збереження тісно пов'язані з властивостями симетрії фізичних систем. Теорема Нетер стверджує, що наявність у системі симетрії призводить до того, що для цієї системи існує фізична величина, яка зберігається. Ця теорема є особливо важливою, бо вона дозволяє на основі експериментально виявлених законів збереження робити висновки про фундаментальні властивості світу, в якому ми живемо.Так, наприклад, збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу зв'язані відповідно з однорідністю часу, однорідністю простору та ізотропністю простору.

Тому перевірка законів збереження являється одночасно перевіркою відповідних властивостей симетрії простору і часу.

Застосуємо закони збереження для вивчення центрального удару двох куль.

Для прямого центрального удару двох куль їх швидкості до удару (якщо система ізольована, то також і після удару) направлені вздовж прямої, що проходить через центри куль.

...