Лабораторний практикум з фізики

(1)

Потенціальна енергія вираховується за формулою:

(2)

Кінетична енергія тіла визначається як сума кінетичної енергії поступального та обертового рухів:

(3)

де I - момент інерції тіла,

- його кутова швидкість.

З рівнянь (1)-(3) одержуємо:

(4)

Кутова швидкість обертання тіла зв'язана з швидкістю його поступального руху співвідношенням:

(5)

де R - радіус тіла.

Рух тіла рівномірноприскорений, тому

х = at ; (6)

(7)

де S - довжина похилої площини;

t - час скочування тіла.

З формул (6) і (7) одержуємо:

(8)

Підставивши вирази (5) та (8) в (4) і, розв'язавши рівняння відносно I, одержимо:

. (9)

Таким чином, визначення моменту інерції тіла кочення зводиться до вимірювання його маси, радіуса, висоти похилої площини, довжини шляху та часу скочування.

Але момент інерції тіл правильної форми можна розрахувати теоретично. Дійсно, момент інерції безмежно малого елемента з масою dm відносно осі виражається формулою:

(10)

де r_i - віддаль елемента до осі обертання.

Для знаходження моменту інерції тіла його розбивають на безмежно велике число безмежно малих елементів, вираховують момент інерції кожного елемента, потім момент інерції тіла визначають сумою моментів інерції всіх його елементів. Ця операція зводиться до інтегрування:

. (11)

Вирахуємо момент інерції однорідного циліндра відносно осі z, що проходить через центр маси тіла (рис.1). Для цього виділимо елемент о6'єму циліндра в вигляді кільця завтовшки dr, його об'єм буде:

(12)

тоді:

(13)

Значення dm з формули (13) підставляємо в формулу (11) та інтегруємо:



де m - маса тіла;

R - радіус тіла.

Цим способом можна визначити момент інерції будь-якого іншого однорідного тіла правильної форми ; результати для найбільш часто поширених тіл приводяться в таблиці 1.

Таблиця 1.

Тіло	Момент інерції
Однорідний циліндр
Однорідна куля
Тонкостінний циліндр
Диск з отвором

Порядок виконання роботи

Лабораторну роботу виконують на установці, що являє собою похилу площину, висоту якої можна змінювати. Після ввімкнення установки в мережу досліджуване тіло утримується в верхній частині похилої площини з допомогою електромагніта. Після вимкнення живлення електромагніта тіло починає скочуватись і одночасно вмикається секундомір, який вимикається автоматично тілом, що скочується в кінці похилої площини. При виконанні роботи необхідно:

Спочатку виконати кілька тренувальних пусків тіла; добитись, щоб тіло при скочуванні не торкалось бортиків похилої площини ; переконатись у справності секундоміра.

За вказівкою викладача для кожного з досліджуваних тіл (куля, циліндр та ін.) виконати 3-4 вимірювання часу скочування. Знайти середній час скочування кожного тіла.

Заміряти довжину похилої площини та її висоту.

Зважити досліджуване тіло та виконати необхідні вимірювання. Всі результати занести в таблицю 2.

Таблиця. 2

Тіло	t	m	h	s	R	r	Iексп	Iтеор
Куля
Циліндр

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

За формулою (9) вирахувати момент інерції досліджуваного тіла експериментальним способом.

За формулою з таблиці 1 для відповідного тіла вирахувати момент інерції теоретично.

Результати експериментальні і теоретичні співставити між собою та зробити висновки.

Знайти абсолютну та відносну похибки експерименту.

Контрольні запитання

Тверде тіло як система матеріальних точок, його момент інерції і кінетична енергія.

Лабораторна робота № 1-11

Маятник Максвелла

л. І. §§ 24, 32, 33

Мета роботи: експериментальне дослідження закону збереження енергії на прикладі визначення моменту інерції металічних кілець.

Прилади і матеріали: маятник Максвелла; набір кілець.

Теоретичні відомості

Закон збереження та перетворення енергії є одним з фундаментальних законів природи, що справджується як для систем макроскопічних тіл, так і для систем елементарних частинок. Він полягає в тому, що для ізольованої системи тіл енергія може переходити з одного виду в інший та передаватися від одного тіла до іншого, але її загальна кількість залишається сталою.

Якщо в ізольованій системі тіл діють тільки потенціальні (консервативні) сили, то взаємні перетворення механічної енергії в інші види (немеханічні форми) відсутні. Така система носить назву консервативної і для неї має місце закон збереження та перетворення механічної енергії: механічна енергія ізольованої консервативної системи не змінюється в процесі її руху

Закон збереження механічної енергії не можна застосовувати до ізольованих систем, в яких діють сили тертя чи існують залишкові (пластичні) деформації, бо частина механічної енергії розсіюється, перетворюється в немеханічні форми, наприклад, в теплоту. Такі системи звуть дисипативними.

Розглянемо закономірності перетворення енергії в системі, до складу якої входить масивне тіло, що обертається, падаючи з певної висоти h під дією сили тяжіння. Якщо знехтувати опором повітря, то дане тіло являє собою консервативну систему, до якої можна застосувати закон збереження механічної енергії, тобто його повна механічна енергія в процесі руху залишається величиною сталою:

(1)

Зростання кінетичної енергії тіла під час падіння відбувається за рахунок зменшення потенціальної. В нашому випадку кінетична енергія тіла складається з енергії поступального та енергії обертального рухів:

(2)

де m - маса тіла ;

х - швидкість поступального руху центра мас ;

I - момент інерції тіла;

- кутова швидкість обертання.

Частину потенціальної енергії яка перетворилась в кінетичну, можна визначити за формулою:

(3)

де h - висота падіння тіла ;

g - прискорення вільного падіння.

Згідно з законом збереження механічної енергії запишемо:

 (4)

Використовуючи цю формулу, можемо експериментально знайти момент інерції тіла:

(5)

В останній формулі виразимо та через величини, що піддаються безпосередньому вимірюванню.

Так як під дією постійної сили рух тіла рівномірно прискореним, можна записати:

(6)

(7)

де a - прискорення,

t - час падіння тіла.

З формул (6) та (7) одержуємо

(8)

Лінійна швидкість зв'язана з кутовою співвідношенням

(9)

Підставивши вирази (8) і (9) в формулу (5) та зробивши перетворення, одержуємо:

, (10)

де D - зовнішній діаметр вісі маятника ;

m - маса тіла, що обертається і складається з вісі маятника масою m_c, ролика масою m_p та одного з змінних кілець масою m_k, тому m=m₀+m_p+m_k.

Зовнішній діаметр вісі маятника необхідно визначати разом з намотаною на нього ниткою підвісу.

D = D₀ + 2 D_н,

де D₀ - діаметр вісі маятника,

D_H - діаметр нитки підвісу.

Таким чином, за формулою (10) можна експериментально знайти момент інерції маятника Максвелла, враховуючи зроблені зауваження відносно m та D і виконавши необхідні вимірювання.

Моментом інерції механічної системи відносно нерухомої вісі a звуть фізичну величину I_a , що рівна сумі добутків мас всіх n матеріальних точок системи на квадрати їх віддалі до вісі обертання:

Момент інерції тіла можна розрахувати за формулою:

,

де dm=dV - маса малого елемента об'єму тіла ;

- густина;

r - віддаль від елемента dV до осі a .

Якщо тіло однорідне, тобто густина його скрізь однакова, то

Момент інерції тіла є мірою інертності його в обертовому русі навколо нерухомої вісі, аналогічно масі, що є мірою інертності в поступальному русі тіла.

Момент інерції тіла відносно якої-небудь осі залежить не тільки від маси, форми та розмірів тіла, але й від положення його відносно цієї осі. Згідно з теоремою Штейнера (теорема про паралельне перенесення осей) момент інерції тіла I відносно будь-якої осі обертання дорівнює сумі моменту інерції I_C відносно осі, що паралельна даній і проходить через центр маси, та добутку маси тіла на квадрат віддалі між осями:

I=I_c+md² .

Моменти інерції деяких однорідних тіл найпростішої форми відносно певних осей наведені в слідуючій таблиці:

Тіло	Положення осі а	Момент інерції Ia
Порожнинний тонкостінний циліндр радіусом R та масою m	Вісь циліндра	mR2
Суцільний циліндр (диск) радіусом R та масою m	Вісь циліндра	1/2( mR2)
Куля радіусом R та масою m	Вісь проходить через центр кулі	2/5(mR2)
Cтержень довжиною l та масою m	Вісь проходить перпендику-лярно через середину стержня	1/12(ml2)
Цей же стержень	Вісь проходить перпендику-лярно через кінець стержня	1/3(ml2)

Теоретично момент інерції маятника Максвелла можна визначити як суму моментів інерції його складових елементів, тобто:

(11)

де I_о - момент інерції осі маятника ;

I_p -момент інерції ролика;

I_к - момент інерції змінного кільця.

Вісь маятника являє собою циліндр (диск), тому її момент інерції дорівнює:

(12)

де D_о - діаметр осі маятника.

Ролик являє собою диск з отвором, тому його момент інерції вираховується за формулою:

, (13)

де D_p - зовнішній діаметр ролика.

Змінне кільце, як і ролик, теж диск з отвором, тому:

(14)

де D_к - зовнішній діаметр кільця.

Таким чином, момент інерції маятника Максвелла, визначений експериментально та вирахований теоретично може служити основою дослідження справедливості закону збереження механічної енергії в умовах виконання лабораторної роботи.

Ця лабораторна робота виконується на приладі, загальний вигляд якого зображений на рис.1. До основи приладу прикріплена колонка 1 з верхнім нерухомим 2 та нижнім рухомим 3 кронштейнами. На верхньому кронштейні знаходиться електромагніт 4, фотоелектричний датчик 5 та корбочка 6 для закріплення і регулювання довжини біфілярного підвісу маятника.

Маятник 7 -- це ролик, закріплений на осі і підвішений біфілярним способом, на нього накладаються змінні кільця 8, що змінюють момент інерції системи.



В верхньому положенні маятник утримується електро-магнітом. Довжина його визна-чається за міліметровою шкалою на колонці приладу. Для під-вищення точності вимірювань нижній кронштейн має червоний покажчик, що розташований на висоті оптичної осі нижнього фотоелектричного датчика.

Порядок виконання роботи:

Нижній кронштейн приладу зафіксувати в крайньому ниж-ньому положенні.

На ролик маятника накласти довільно вибране кільце.

Пересвідчитись, що край кільця при опусканні маятника перетинає оптичну вісь нижнього фотоелек-тричного датчика.

Натиснути клавішу "Пуск".

Намотати нитку підвісу на вісь маятника і зафіксувати його з допомогою електромагніта.

Повернути маятник в напрямку його руху на кут близько 5⁰.

Натиснути клавішу "Сброс".

Натиснути клавішу "Пуск" і записати виміряний час падіння маятника.

Дослід повторити 5 разів.

З допомогою шкали на колонці приладу визначити довжину маятника .

Записати маси всіх елементів маятника: осі, ролика, кільця.

Виконати заміри діаметрів осі маятника, нитки, ролика і кільця.

Дані всіх вимірювань занести в таблицю:

№ п/п

m0, кг

mp, кг

mk, кг

D0,м

DН, м

t, c

h, м

DP, м

DK, м

I0, кгм2

IМ, кгм2

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

Визначити середнє значення часу падіння маятника за формулою

Використовуючи формулу (10) визначити момент інерції маятника за даними експерименту.

За формулою (11) визначити момент інерції цього ж маятника теоретичним способом.

Визначити абсолютну і відносну похибки.

Проаналізувати одержані результати роботи та зробити висновки.

Контрольні запитання

Сформулюйте закон збереження та перетворення механічної енергії.

Що таке момент інерції та від чого він залежить?

В чому полягає теорема Штейнера?

Доведіть вірність теореми Штейнера для стержня, використавши дані з таблиці.

Запропонуйте метод визначення втрат механічної енергії маятника Максвелла протягом одного періоду,

Лабораторна робота № 1-12

Визначення кінематичних характеристик гіроскопа

л.1.§§ 33,34,35

Мета роботи: поглиблене вивчення понять моменту сили та моменту імпульсу; практичне визначення кутової швидкості прецесії, моменту імпульсу і моменту інерції.

Прилади і матеріали: гіроскопічна установка з мілісекундоміром та тахометром; переміщуване тіло.

Теоретичні відомості

Слово "гіроскоп" із грецької мови означає буквально прилад для виявлення обертання. Гіроскопом називається тверде тіло, що швидко обертається, вісь обертання якого може змінювати свій напрямок в просторі.

Найбільше значення в науці і техніці мають симетричні гіроскопи. Симетричним називають гіроскоп, що має симетрію обертання відносно певної осі, яка називається геометричною віссю або віссю фігури гіроскопа. Здебільшого одна з точок осі фігури гіроскопа закріплюється і називається точкою опори гіроскопа.

Щоб вісь фігури гіроскопа могла вільно повертатися в просторі, гіроскоп закріплюється в так званому кардановому підвісі (рис. 1).

Рис.1 Рис.2

Маховик гіроскопа 1 закріплюється на осі фігури АА , що може обертатись з малим тертям в підшипниках, які утримують кінці діаметра внутрішнього кільця. Внутрішнє кільце, в свою чергу, може обертатись навколо перпендикулярної осі ВВ , яка проходить через підшипники на кінцях діаметра зовнішнього кільця. Нарешті, зовнішнє кільце може здійснювати рух навколо третьої осі ДД, що проходить через нерухомі підшипники підставки. Всі три осі перетинаються в одній точці, яка називається центром карданового підвісу. Гіроскоп у кардановому підвісі має три ступені вільності і може здійснювати любі повороти навколо центра підвісу. В елементарній теорії гіроскопа кінетична енергія та моменти імпульсу кілець не враховуються, як дуже малі в порівнянні з відповідними величинами маховика гіроскопа. Якщо центр карданового підвісу або точка опори співпадає з центром мас гіроскопа, то його називають зрівноваженим чи астатичним.

Гіроскоп має цікаві властивості, наприклад, має здатність чинити опір зовнішнім діям, що намагаються змінити напрямок його осі обертання. Якщо вдарити по кільцю карданового підвісу, то можна помітити, що гіроскоп практично не піддається дії цього удару, його вісь майже не змінює попереднього напрямку. У результаті удару виникають лише незначні коливання або дрижання осі гіроскопа, які швидко затухають. Ця властивість гіроскопа використовується в приладах орієнтації, та навігації авіаційних і космічних літальних апаратів, суден, підводних човнів та інших рухомих об'єктів. Слід звернути увагу, що така стійкість властива лише гіроскопам з трьома ступенями вільності, вона зовсім зникає, якщо гіроскоп позбавити хоч би однієї ступені вільності.

Ще одна властивість гіроскопа проявляється, коли на його вісь починає діяти сила чи пара сил, які намагаються привести вісь у рух. Під дією сили Р (рис.2) кінець А осі АА гіроскопа буде відхилятися не в бік дії сили Р, а в напрямку, перпендикулярному цій силі. У результаті гіроскоп повернеться не навколо осі ВВ, а навколо осі ДД, причому не прискорено, а з постійною кутовою швидкістю. Це обертання називають прецесією. Звідси випливає висновок, що внаслідок прецесії гіроскоп розвиває певний момент, який зрівноважує повертаючий момент сили тяжіння. Виникнення гіроскопічного моменту, зв'язаного з прецесією гіроскопа носить назву гіроскопічного ефекту.

Властивості гіроскопа притаманні також елементарним частинкам, атомам та молекулам завдяки наявності в них моментів імпульсу орбітального і спінового обертання. Звичайно, ці та інші явища мікросвіту повинні розглядатись на основі законів квантової механіки, але між властивостями атомних і макроскопічних систем є багато спільного. Тому теорія гіроскопа виявляється корисною і при вивченні атомної фізики, фізики елементарних частинок і атомного ядра.

Розглянемо рух твердого тіла, що має одну закріплену точку. Основною характеристикою дії сили на таке тіло є момент сили -це векторний добуток радіус-вектора точки прикладання сили на вектор сили:

. (1)

Запишемо другий закон Ньютона для поступального руху:

. (2)

Домножимо векторно це рівняння, на радіус-вектор r :

.

або:

. (3)

Вектор

, (4)

називають моментом імпульсу точки відносно вибраного початку координат. Тому вираз (3) запишемо в вигляді:

,

Або

. (5)

Співвідношення (5) є основним законом динаміки обертового руху тіла з однією закріпленою точкою. Він формулюється так: швидкість зміни моменту імпульсу абсолютно твердого тіла за величиною та напрямком рівна сумі моментів сил, які діють на тіло.

Теорія гіроскопа базується на рівнянні (5). Якщо момент зовнішніх сил М рівний нулеві, то гіроскоп називається вільним. Для вільного гіроскопа

, (6)

а це значить, що

(7)

Це рівняння виражає закон збереження моменту імпульсу вільного гіроскопа.

Розглянемо тепер рух гіроскопа, коли в якійсь точці А осі фігури гіроскопа АА підвісити невеликий вантаж Р .

У цьому випадку на гіроскоп почне діяти момент сили М, що напрямлений вздовж осі ВВ (рис. 2 ) і рівний

M = P l . (8)

де l - плече сили Р.

Протягом часу dt момент імпульсу гіроскопа одержує приріст dL= Mdt який за напрямком співпадає з моментом сили М.

Тепер момент імпульсу гіроскопа буде дорівнювати результуючому вектору, L=L+dL , що лежить у площині, перпендикулярній площині рисунка (рис. 2 ). Напрямок цього вектора співпадає з новим напрямком осі гіроскопа, тобто, вісь гіроскопа протягом часу dt повернеться на кут d. З рис. 2 видно, що

(9)

Звідси можна знайти кутову швидкість повертання осі гіроскопа:

(10)

Одержана формула виражає зв'язок кутової швидкості прецесії гіроскопа з моментом зовнішніх сил, які діють на нього, та з моментом імпульсу гіроскопа. Звернемо увагу, що вектори М , l i взаємно перпендикулярні.

Позначимо кутову швидкість обертання гіроскопа відносно осі АА через , а його момент інерції через I, тоді останню формулу можна переписати так:

(11)

звідки видно, що кутова швидкість прецесії гіроскопа обернено пропорційна кутовій швидкості обертання маховика гіроскопа.

Характерною особливістю прецесії гіроскопа є те, що вона безінерційна, тобто прецесійний рух припиняється в момент припинення дії моменту сил. Тому поведінка прецесії подібна не швидкості, а прискоренню, так як прискорення теж припиняється одночасно з припиненням дії сили.

Слід підкреслити, що формули (10) та (11) справджуються при виконанні умови . У техніці застосовують гіроскопи з частотою обертання =20000 50000 обертів за хвилину, а величина у мільйони разів менша.

Необхідно звернути увагу, що тут ми розглянули наближену теорію гіроскопа. Згідно із строгою теорією поряд з прецесією гіроскопа відбуваються коливання осі гіроскопа в вертикальній площині, які носять назву нутації. Із збільшенням частоти обертання гіроскопа амплітуда нутацій зменшується. Крім цього нутація гаситься тертям в опорах, тому в даній роботі вона не враховувалась.

Теорія гіроскопа сьогодні являє собою важливий розділ теоретичної механіки, який інтенсивно розвивається і є теоретичною основою найважливішої галузі сучасного приладобудування. Основи прикладної теорії гіроскопа розвинені в працях великої кількості видатних вітчизняних та закордонних вчених - М.Є.Жуковського, О.М.Крилова, Б.В.Булгакова, Г.Клейна, А.Зоммерфельда, М.Мулера та інших. Сучасний розвиток прикладна теорія гіроскопа одержала в роботах А.Ю.Ішлінського, Я.Н.Ройтенберга, В.І.Кошлякова, В.І.Назарова, М.А.Павловського та інших.

Опис лабораторної установки

Гіроскоп, що використовується в даній роботі, являє собою масивний диск, закріплений на роторі електродвигуна, На підставці з чотирма гвинтовими ніжками закріплена колонка з кронштейном, на якому розміщені фотоелектричний датчик та зовнішня втулка поворотного з'єднувача.

Поворотний з'єднувач дає можливість гіроскопу повертатись навколо вертикальної осі та забезпечує живлення струмом фотоелектричного датчика і електричного двигуна.

Електричний двигун змонтований на кронштейні таким чином, щоб була можливість повороту на обмежений кут в вертикальній площині.

На валу двигуна закріплений диск з екраном захисту. З корпусом двигуна з'єднаний важіль, з метричною шкалою, вздовж якої може переміщуватись вантаж для зрівноваження гіроскопа.

Кут повороту гіроскопа навколо вертикальної осі можна виміряти з допомогою лічильника, розташованого на передній панелі приладу. Диск має на ободі отвори для визначення частоти обертання вала електродвигуна фотоелектричним датчиком.

Порядок виконання роботи

Ввімкнути прилад в електричну мережу.

Натиснути клавішу "Сеть" і переконатись, чи всі індикатори висвічують цифру нуль та чи світяться лампочки фотоелектричних датчиків.

Повертаючи ручку потенціометра "Рег.скорости" переконатись, що двигун працює і стрілка вимірювача частоти обертання його вала відхиляється.

З допомогою переміщування вантажу встановити важіль гіроскопа горизонтально.

Ввімкнути двигун і встановити частоту обертання його вала біля 6000 об/хв.

Змістити вантаж на 2 см вліво чи вправо.

Натиснути клавішу "Сброс" і після повороту гіроскопа не менше, як на 30⁰, натиснути клавішу "Стоп".

Записати покази лічильників кута і часу t, а також масу переміщуваного вантажу.

Обробка результатів вимірювань

Завдання 1. Визначення кутової швидкості прецесії гіроскопа.

За формулою = / t вирахувати кутову швидкість прецесії гіроскопа.

Результат співставити зі швидкістю обертання вала двигуна.

Знайти абсолютну та відносну похибки вимірювання кутової швидкості прецесії.

Завдання 2. Визначення моменту імпульсу гіроскопа.

За формулою (8) знайти результуючий момент сил, що діє на гіроскоп.

Виходячи з формули (10) знайти момент імпульсу L гіроскопа.

Визначити абсолютну та відносну похибки вимірювання моменту імпульсу гіроскопа.

Завдання 3. Визначення моменту інерції гіроскопа.

Знаючи момент імпульсу гіроскопа L і частоту його обертання , вирахувати момент інерції гіроскопа.

Вирахувати момент інерції гіроскопа за формулою (11). Результати співставити.

Визначити абсолютну та відносну похибки знаходження моменту інерції гіроскопа.

Контрольні запитання

1. Момент сили і момент імпульсу тіла відносно точки та відносно осі.

2. Основні властивості гіроскопа і їх використання в техніці.

3. В чому полягає суть гіроскопічного ефекту?

4. Рівняння обертового руху твердого тіла. Основний закон динаміки обертового руху.

Лабораторна робота № 1-13

Визначення коефіцієнта тертя кочення

л.1.§§ 11, 12, 13, 14

Мета роботи: експериментальне вивчення основних закономірностей тертя кочення.

Прилади і матеріали: спеціальна установка; набір досліджуваних тіл.

Опис установки



Установка для вимірювань являє собою похилий маятник, зображений на рис.1. До підставки 2, що має чотири гвинтових ніжки, прикріплені мілісекундомір 1 та труба 3 з змонтованим на ній корпусом 4, з'єднаним через черв'ячну передачу з кронштейном 5, який має дві шкали 6 та 7. До кронштейна прикріплена колонка 8, на якій підвішується з допомогою нитки куля з водилкою 9, та є пристрій 10 для закріплення досліджуваних зразків. Фотоелектричний датчик 12 служить для підрахунку коливань маятника.

Теоретичні відомості

Тертя кочення обумовлюється: а) втратами на пружний гістерезис, що зв'язаний з стисненням матеріалу під дією навантаження попереду тіла, яке котиться; б) затратами роботи на деформацію матеріалу при формуванні валика попереду тіла, що котиться ; в) подолання "місточків зчеплення".

Причину виникнення тертя кочення можна проаналізувати на прикладі кочення кулі або циліндра на площині (рис. 2 ). При такому коченні в точці дотику виникають пружні або пластичні деформації. Тому точка А прикладання сили реакції R_n поверхні дещо зміщується вперед, а лінія дії сили відхиляється від вертикалі назад.

Нормальна складова реакції:

,

а дотична тертя кочення:

.

У першому наближенні для сили тертя кочення виконується закон Кулона:

, (1)

де r - радіус поверхні тіла, що котиться;

_к - коефіцієнт тертя кочення.



Тертя кочення значно менше, ніж тертя ковзання. При ньому набагато менше зношуються поверхні, які труться, та в багато разів знижується дисипація механічної енергії. Тому скрізь, де це можливо, тертя ковзання замінюють тертям кочення.

У всіх реальних механічних процесах та системах мають місце сили тертя, дія яких призводить в своєму результаті до перетворення енергії в тепло.

При переміщенні одного тіла відносно іншого по його поверхні виникає опір, що характеризується цілим рядом явищ, в тому числі силою тертя. Розрізняють силу зовнішнього тертя, як силу опору, тангенціальну відносно переміщення двох твердих тіл при їх дотикові і силу внутрішнього тертя як силу опору, тангенціальну відносно переміщення шарів середовища один відносно іншого.

Характерною особливістю зовнішнього тертя є наявність сил тертя спокою, що визначається як гранична тангенціальна сила, під дією якої починається відносне переміщення тіл, які дотикаються.

Основним законом для сили зовнішнього тертя є закон Амонтона-Кулона, який доповнений В.В.Дерягіним:

, (2)

де - коефіцієнт тертя ковзання ;

N - нормальне навантаження ;

p₀ - питома адгезія - сила прилипання, віднесена до одиниці площі;

S₀ - площа дійсного контакту.

Сила тертя визначається коефіцієнтом тертя . Спостереження показують, що його величина не є сталою, а залежить від матеріалу поверхні, від їх мікрогеометричного профілю, наявності мастила, газового середовища та багатьох інших факторів.

У даній роботі коефіцієнт тертя кочення кулі по площині визначається методом похилого маятника. Куля радіусом r (рис. 3), підвішена на нитці, спирається на похилу площину, кут нахилу якої можна змінювати. Якщо кулю вивести з положення рівноваги, вона почне перекочуватись по площині, здійснюючи затухаючі коливання під дією зовнішнього тертя.

Вимірювання сили тертя з допомогою похилого маятника грунтується на вимірюванні зменшення амплітуди його коливань протягом певної кількості циклів. Формулу для розрахунку коефіцієнту тертя можна одержати, прирівнюючи роботу сил тертя втратам потенціальної енергії маятника.

За n циклів коливань при переході з положення В в положення В (рис. 3) маятник втрачає енергію:

(3)

де m - маса маятника ;

g - прискорення вільного падіння;

h - втрата висоти.

Втрата енергії рівна роботі сил опору вздовж пройденого шляху S :

(4)

де A=F_tp S - робота сили тертя ; (5)

A₁ - робота сил опору середовища та тертя в підвісі маятникa, якою в даному випадку можна знехтувати.

Таким чином:

(6)

Але

(7)

де П₁ - потенціальна енергія маятника в положенні В,

П₂ - потенціальна енергія маятника в положенні В.

З рисунка 3 видно, що

, (8)

де R - довжина маятника ;

. (9)

Вирази (8) і (9) підставимо в (7):

, (10)

де ₀ - відхилення маятника в початковий момент часу;

_n - відхилення маятника після n коливань.

Враховуючи, що ₀ та _n кути малі, співвідношення (10) можна переписати:

(11)

З іншого боку де - сила тертя кочення ;

- сила нормального тиску ; (12)

S - шлях, пройдений маятником за n коливань:

(13)

де тому: (14)

(15)

Підставляючи (15) та (12) в формулу (5), знайдемо роботу:

враховуючи її та (11) з формули (6) одержимо:

, (16)

де ₀ та _n - кути відхилення першого та n-го коливань маятника в радіанах;

r - радіус кульки ;

- кут нахилу площини коливань маятника до горизонту в градусах;

n - число повних коливань.

Отже, при умові певних наближень коефіцієнт тертя кочення між кулькою та площиною досить просто може бути виражений через експериментальне вимірювальні величини , , r, n.

Порядок виконання роботи

Вибрати кульку певного матеріалу, заміряти її радіус та закріпити на підвісі.

Встановити відповідну плоску пластинку.

Похилий маятник встановити під кутом ₁=60⁰ до горизонту.

Відхилити кульку на кут ₀ =45⁰ від вертикалі і відпустити, даючи можливість їй здійснити n =10 (або 15 чи 20) коливань.

Заміряти кут _n відхилення маятника після n коливань.

Всі дані занести в таблицю, виразивши кути ₀ та _n в радіанах.

Повторити всі заміри для даної пари матеріалів кулька-пластинка 35 разів.

Встановити кут нахилу площини коливань маятника за п.3 ₂ = 45⁰ і проробити вимірювання за п.п. 47, потім повторити те саме при ₃ =30⁰.

Обробка результатів експерименту

За формулою (16) вирахувати коефіцієнт тертя кочення для кожного вимірювання фіксованих значень кута .

Вирахувати середнє значення в межах серії вимірювань, тобто при кожному фіксованому значенні кута нахилу ₁, ₂, ₃.

Вирахувати загальне середнє значення коефіцієнта тертя кочення, абсолютну та відносну похибки експерименту.

Проаналізувати результати та зробити висновки про позитивні і негативні сторони даного методу вимірювання коефіцієнта тертя кочення і точність одержаних результатів.

Контрольні запитання

Опишіть фізичні причини, що призводять до виникнення сил тертя.

Запишіть та поясніть закони, які описують тертя ковзання, кочення.

Наведіть приклади корисного та шкідливого проявлення тертя з галузі Вашої майбутньої спеціальності.

Лабораторна робота №1-14

Визначення коефіцієнта в'язкості рідини методом Стокса

л.1.§§ 42, 43

Мета роботи: визначити коефіцієнт в'язкості досліджуваної рідини при кімнатній температурі.

Прилади і матеріали: прилад Стокса; стальні кульки; мікрометр; лінійка; секундомір; термометр.

Теоретичні відомості

Під час руху рідини між її шарами виникають сили внутрішнього тертя, які діють таким чином, щоб зрівняти швидкості всіх шарів.

Виникнення цих сил пояснюється тим, що шари, які рухаються з різними швидкостями, обмінюються молекулами. Молекули з більш швидкого шару передають більш повільному шарові певну кількість руху, внаслідок чого останній починає рухатись швидше. Молекули з більш повільного шару одержують у швидшому шарі відповідну кількість руху, що приводить до його гальмування.



Розглянемо ріди-ну, що рухається в напрямку осі X (рис.1). Нехай шари рідини мають різну шви-дкість. Виберемо на осі Z дві точки, які розташовані одна від одної на віддалі dZ. Потік рідини цих точок за величиною швидкості відрізня-ється на dх.

Співвідношення характеризує зміну швидкості потоку в напрямку осі Z і носить назву градієнта швидкості.

Сила внутрішнього тертя (в'язкості), що діє між двома шарами за законом Ньютона, пропорційна величині площі їх дотикання та градієнта швидкості:

(1)

Величина називається коефіцієнтом внутрішнього тертя або коефіцієнтом динамічної в'язкості. Якщо в формулі (1) взяти і , тоді =f, тобто коефіцієнт динамічної в'язкості чисельно дорівнює силі внутрішнього тертя, яка діє на одиницю площі двох шарів рідини, що дотикаються і рухаються один відносно другого з градієнтом швидкості, рівним одиниці. В системі СІ вимірюється в одиницях кгм^-1с^-1.

В системі СГС коефіцієнт динамічної в'язкості має розмірність гсм^-1с^-1 і називається пуаз. Часто використовують одиницю в сто разів меншу --сантипуаз.

Коефіцієнт динамічної в'язкості залежить від природи рідини і з підвищенням температури зменшується. В'язкість грає суттєву роль в рухові рідини. Шар рідини, який безпосередньо прилягає до твердої поверхні, в результаті прилипання залишається відносно неї нерухомим. Швидкість решти шарів зростає з віддаленням від твердої поверхні. Наявність шарів рідини між поверхнями твердих тіл сприяє значному зменшенню коефіцієнта тертя.

Поряд з коефіцієнтом динамічної в'язкості часто користуються поняттям коефіцієнту кінематичної в'язкості:

(2)

де - густина рідини.

В системі СІ одиницею коефіцієнта кінематичної в'язкості є м²с^-1, в системі СГС -- см²с^-1, яка має назву 1 стокс.

У даній лабораторній роботі для визначення коефіцієнта в'язкості рідини (розчин гліцерину, трансформаторне масло) застосовується метод Стокса, суть якого полягає в тому, що на кульку, яка рухається в рідині, діє сила внутрішнього тертя і гальмує її рух. Ця сила визначається за законом Стокса:

, (3)

де r - радіус кульки,

х - її швидкість.

Якщо кулька вільно падає у в'язкій рідині (рис. 2), то на неї, крім сили тертя , будуть також діяти сила тяжіння та виштовхувальна сила Архімеда , що напрямлена вертикально вгору і рівна вазі витісненої кулькою рідини.

На основі другого закону Ньютона складемо рівняння руху кульки:

(4)

Розв'язком цього рівняння є вираз:

, (5)

в чому можна переконатись безпосередньою підстановкою.

Оскільки вираз з часом дуже швидко спадає, швидкість руху кульки через малий проміжок часу встановлюється сталою і рівною



(6)

де - об'єм кульки, - густина речовини кульки, ₁ - густина рідини.

Швидкість рівномірного руху кульки можна визначити, знаючи віддаль між мітками на приладі Стокса та час, протягом якого кулька проходить цю

,

Враховуючи вирази для х0 та V, із співвідношення (6) знаходимо остаточну формулу для визначення коефіцієнту в'язкості:



Порядок виконання роботи

Мікрометром виміряти діаметр d кульки.

Лінійкою виміряти віддаль l між гумовими мітками a і b на приладі Стокса.

Опустити кульку в рідину приладу і секундоміром заміряти час t її руху між мітками.

Ареометром визначити густину досліджуваної рідини ₁ , а термометром її температуру t.

Повторити вимірювання відповідно п.п. 1-3 ще для двох кульок.

Густину матеріалу кульок (здебільшого сталь) взяти з довідникової таблиці і дані всіх вимірювань занести в таблицю.

№ п/п	, м	l, м	t, c			t, C

Обробка результатів експерименту

За формулою (7) знайти значення коефіцієнта в'язкості досліджуваної рідини відповідно результатів вимірювання для кожної кульки окремо.

Вирахувати абсолютну і відносну похибки проведеного екеперименту та оцінити його результати.

Контрольні запитання

Поясніть причини виникнення внутрішнього тертя.

Закони Ньютона та Стокса для внутрішнього тертя.

Поясніть фізичний зміст коефіцієнта динамічної в'язкості.

РОЗДІЛ ДРУГИЙ

Електрика

При виконанні лабораторних робіт з електрики і магнетизму слід неухильно дотримуватись таких правил:

Точно виконувати вимоги внутрішнього розпорядку, встановленого в лабораторії, і суворо дотримуватись правил техніки безпеки під час роботи з електричними установками.

Вмикати електричну напругу і розпочинати виконання роботи лише з дозволу викладача або лаборанта після перевірки ними електричної схеми.

Категорично забороняється лишати без нагляду включені схеми або окремі прилади.

В лабораторних роботах з електрики і магнетизму даються посилання на слідуючі підручники:

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. М : Наука : 1978.

2. Яворский Б.М. и др. Курс физики. Т.2. М : Наука : 1978.

Принцип дії і основні характеристики електровимірювальних приладів

Електровимірювальний прилад -- це сукупність засобів, за допомогою яких здійснюється вимірювання певної електричної величини.

В приладах безпосередньої оцінки вимірювана величина визначається стрілочним або цифровим способом відліку, або з допомогою світлового “зайчика” на градуйованій шкалі. Це -- амперметри, вольтметри, ватметри, омметри, гальванометри.

Для вимірювання електричних величин в приладах безпосередньої оцінки використовують фізичні явища, на яких створюються обертальний момент і наступне переміщення рухливої системи приладу. Обертальний момент утворюється внаслідок взаємодії постійного магніту і магнітного поля струму в котушці, магнітного поля котушки із струмом і феромагнетиком, взаємодії магнітних полів котушок з струмами, взаємодії заряджених тіл. Залежно від використовуваного в приладі принципу взаємодії розрізняють такі системи електровимірювальних приладів: магнітоелектричну, електромагнітну, електродинамічну, індукційну і ін.

Якість електровимірювальних приладів визначається чутливістю, похибками вимірювання, реагуванням на зовнішні електричні і магнітні поля та зміну температури, межами вимірювань, тривалістю щодо перевантажень тощо.

Чутливістю електровимірювальних приладів називають відношення лінійного або кутового зміщення покажчика приладу до зміни вимірюваної величини x, яка зумовила це зміщення:

Величина С=1/S, обернена чутливості, дістала назву ціни поділки приладу.

Для характеристики точності електровимірювальних приладів використовують так звані зведені похибки;

де x - абсолютна похибка вимірюваної величини;

x_n - верхня межа вимірювань (шкали) приладу (його номінальне значення).

Електровимірювальні прилади відповідно до величини їх зведеної похибки згідно існуючим стандартам поділяються на вісім класів точності, нанесеним на шкалу вимірювального приладу: 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5. За покажчиком класу точності визначають абсолютну похибку вимірювання:

де k - клас точності приладу в процентах;

x_n - максимальне значення вимірюваної величини.

Прилади класів точності 0,02; 0,05; 0,1; 0,2 використовуються, головним чином, для точних лабораторних вимірювань і називаються прецезійними; прилади класів 0,5; 1,0; 1,5; 2,5 мають назву технічних.

Прилади магнетоелектричної системи

Прилади цієї системи складаються з двох основних частин: постійного магнету і котушки, що має вигляд рамки. Принцип дії вимірювального механізму цих приладів заснований на взаємодії сильного магнетного поля постійного магнету з слабким магнетним полем рамки, по якій проходить вимірювальний струм. Схему приладу магнетоелектричної системи наведено на рис. 1.

Магнетна система вимірювального механізму складається з сильного постійного магнету 4, полюсних наконечників 5, нерухомого осердя 2.

Між полюсними наконечниками і осердям розміщується рамка (котушка) 3, що являє собою досить легкий алюмінієвий каркас, на який намотаний тонкий мідний дріт діаметром від 0,03 до 0,2 мм. Така система забезпечує вільне обертання рамки навколо осердя, а отже, і відхилення скріпленої з нею стрілки 1 відносно шкали. При проходженні струму I через рамку на неї діє обертальний момент

Рис. 1

M = n B S I ,

де n - кількість витків рамки;

B - магнетна індукція;

S - площа рамки.

Цей момент зрівноважується протидіючим моментом деформації спіральних пружин, які на рисунку не показані.

Прилади магнетоелектричної системи мають високу чутливість, мале споживання електричної енергії, рівномірну шкалу.

Високоточні прилади класів 0,02; 0,05; 0,1; 0,2 можуть бути лише магнетоелектричної системи.

Прилади магнетоелектричної системи мають ряд недоліків, до яких слід віднести: порівняно складна будова, чутливість до перевантажень, можливість вимірювати лише постійний струм.

Прилади електромагнетної системи

Прилади цієї системи складаються з плоскої або круглої нерухомої котушки, на яку намотаний мідний дріт, і рухомого осердя, виготовленого з м'яких магнетних матеріалів (електротехнічна сталь, пермалой). Принцип дії приладів цієї системи заснований на взаємодії магнетного поля котушки, по якій проходить струм, з рухливим феромагнетним осердям рис. 2.

Вимірюваний струм I, що проходить по котушці 3, створює магнетне поле. В це поле втягується осердя у вигляді стальної пластинки 4, закріпленої на осі 6. Намагнеченість осердя і саме магнетне поле котушки пропорційні струмові, отже, обертальний момент пропорційний квадрату струму:

де k₁ - коефіцієнт пропорційності, який залежить від конструкції приладу.

Рис. 2

Протидіючий момент M₂ створюється пружинками 1. Він пропорційний кутові повороту рухливої частини приладу:

де k₂ - коефіцієнт пропорційності, який залежить від пружних властивостей пружин.

Для швидкого заспокоєння рухливої частини приладу і стрілки застосовують повітряні демпфери 5. Демпфер - це камера, в якій рухається алюмінієвий поршень. При повороті осердя поршень зазнає опору повітря.

Рівновага рухливої частини приладу визначається рівністю протилежно напрямлених моментів: M₁ = M₂. Звідки

де . Отже, шкала електромагнетного приладу нерівномірна, квадратична. Із зміною напряму струму змінюються як напрям магнетного поля, так і намагнеченість осердя. Отже, прилади цієї системи застосовуються для вимірювань постійного і змінного струмів. В останньому випадку вони реагують на діюче значення змінного струму, їх використовують також для вимірювання напруги в електричному колі.

Недоліки приладів електромагнетної системи: нерівномірність шкали, менша точність порівняно з магнетоелектричними приладами, залежність показів від зовнішніх магнетних полів. Такого типу прилади покривають металевими кожухами, або виготовляють астатичними, тобто з двома котушками, включеними послідовно.

Прилади електродинамічної системи

Прилади цієї системи відзначаються тим, що їх дія грунтується на взаємодії магнетних полів двох котушок (рухомої і нерухомої) із вимірюваним струмом. Одна із взаємодіючих котушок нерухома і складається з двох послідовно з'єднаних котушок 4, між якими є зазор. В ньому розміщується вісь обертання рухомої безкаркасної котушки 3. З віссю скріплена стрілка 1 - покажчик з алюмінієвою пластинкою повітряного демпфера 2. Рис. 3.

Рис. 3

На вісі також ізольовано закріплені кінці двох спіральних пружин 5, які призначені для підведення вимірювального струму і створення протидіючого моменту. Власне магнітне поле котушок мале, тому для захисту їх від впливу зовнішніх полів застосовують екранування або прилади виготовляють астатичними.

Котушки в приладах електродинамічної системи залежно від призначення їх з'єднуються послідовно або паралельно. Якщо котушки приладу з'єднати паралельно, то його можна використовувати як амперметр. Якщо обидві котушки з'єднати послідовно і приєднати до них додатковий опір, то прилад може використовуватись як вольтметр. У ватметрах нерухома котушка вмикається в коло струму послідовно, а рухома котушка з додатковим опором - паралельно споживачам енергії.

Прилади індукційної системи

Прилади індукційної системи характеризуються тим, що принцип їхньої дії грунтується на взаємодії вихрових індукційних струмів в рухомій частині приладу (алюмінієвий диск, насаджений на вертикальну вісь) із змінними магнетними потоками нерухомих електромагнетів. Один із електромагнітів має обмотку з тонкого ізольованого дроту, яка є обмоткою напруги і включається в коло паралельно навантаженню.

Серед приладів індукційної системи широке застосування мають лічильники електричної енергії змінного струму.

Прилади електронної системи

До приладів електронної системи відносяться електронні вольтметри, які складаються з електронних ламп або напівпровідникових приладів і вимірювального механізму магнетоелектричної або електростатичної системи. Прилади електронної системи використовуються для радіотехнічних вимірювань напруг і частот в значних діапазонах. Такі прилади мають досить великі вхідні опори, тому їх використовують для вимірювання напруги високоомних малопотужних джерел.

Цифрові прилади

Прилади цієї системи визначають невідому величину, що вимірюється в дискретно цифровій формі за допомогою цифрових індикаторів.

Цифрові прилади мають ряд переваг над звичайними, основні з яких: висока точність і швидкість вимірювання, об'єктивність і повна автоматизація процесу вимірювання, можливість передачі результатів на відстані і подальшої їх обробки на ЕОМ.

Поряд з перевагами цифрові прилади мають ряд недоліків; складність схеми, значні габарити, менша надійність.

Умовні позначення на шкалах електровимірювальних приладів

- магнетоелектрична система з рухомою рамкою;

2. - магнетоелектрична система з рухомим магнітом;

3. - електромагнетна система;

4. - електродинамічна система;

- індукційна система;

5. - електронна система;

6. - для постійного струму чи напруги;

7. - для змінного струму чи напруги;

8. - для постійного або змінного струму чи напруги;

9. - клас точності приладу;

10. - магнетний екран;

11. - горизонтальне розміщення;

12. - вертикальне розміщення;

13. - випробувальна напруга ізоляції 2 кВ.

Для правильної і ефективної організації електричних вимірювань слід перед усім докладно ознайомитися з основними характеристиками електровимірювальних приладів на їхніх шкалах.

Довільний електровимірювальний прилад у процесі вимірювань не повинен змінювати своїх параметрів і режиму дій об'єкта вимірювання. Отже, опір амперметра мусить бути по можливості малим, а опір вольтметра - великим. Розширення меж вимірювання амперметрів досягається включенням паралельно амперметру шунта. Розрахунки шунта виконують за формулою:

де , тобто I - найбільше значення струму, який повинен вимірювати амперметр; I_a - сила струму повного відхилення стрілки (граничний струм приладу);

R_a - внутрішній опір приладу;

R_ш - опір шунта;

Розширення меж вимірювання вольтметрів досягається включенням послідовно до вольтметра додаткового резистора R_д. Розрахунок опору додаткового резистора виконують згідно формули:

,

де тобто U - найбільше значення напруги, яку слід вимірювати;

U_в - напруга, на яку розрахований вольтметр;

R_в - опір вольтметра;

R_д - додатковий опір.

Лабораторна робота №2-1

Дослідження електричного поля методом моделювання

л.1. §§ 5, 6, 13.2. §§ 2.1, 2.2, 2.3

Мета роботи: дослідити конфігурацію електростатичного поля; побудувати еквіпотенціальні поверхні і лінії напруженості для заданої форми електродів; набути навики використання теореми Гаусса.

Прилади і обладнання: мікроамперметр; вольтметр; джерело струмів.

Теоретичні відомості

Електричне поле в діелектрику подібне до поля постійного струму в провідному середовищі при однаковій конфігурації електродів. Якщо потенціали електродів в обох випадках одні і ті ж, розподіл потенціалу в діелектрику такий же, як і в провідному середовищі з струмом. Подібність полів видно із слідуючого співставлення їх властивостей.

Електростатичне поле в діелектрику потенціальне, циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж замкнутого контуру

.

Поле в провідному однорідному середовищі /без джерел сторонніх сил/ також потенціальне. Постійний струм не створює завихрень між електродами. Тому

...