Елементи квантової фізики

Екситони - це електрично нейтральні збудження, які складаються із зв'язаних між собою дірок і електронів. Такі квазічастинки можуть існувати лише у валентній зоні і поряд з дірками беруть участь в проходженні струму через кристал. Екситони бувають двох типів. Екситон, в якому електрон і дірка перебувають на значних відстанях, рівних десяткам і сотням міжвузлових відстаней, називаються екситонами Ваньє. Екситони, для яких електрон і дірка перебувають у межах одного вузла кристалічної гратки, називаються екситонами Френкеля.

При проходженні струму через кристал у загальному випадку слід враховувати всі складові носіїв струму, тому

, (2.5.4)

де U_- і U₊ - рухливості електронів провідності в зоні провідності і дірок у валентній зоні.

Екситони не можуть бути введені в енергетичну схему електропровідності, оскільки зонна модель описує лише одноелектронні стани. Екситони Френкеля виникають у кристалах з досить великою сталою кристалічної гратки і малою діелектричною проникністю. Це, перш за все, іонні кристали, та кристали з інертних газів.

Екситони утворюються в тих випадках, коли енергетичне збудження відбувається з недостатніми енергіями, порівняно з шириною забороненої зони в кристалі.

Екситони відносяться до бозонів, тобто мають цілочисельний спін.

Ефективна маса електрона в зоні провідності збігається з масою ві-льних електронів. Ефективна маса дірок у валентній зоні трохи більша ма-си вільних електронів.

Рухливості дірок і екситонів у валентній зоні менші за рухливість електронів провідності у зоні провідності.

2.5.3 Густина квантових станів у енергетичній зоні

Густина квантових станів кристалічної речовини має враховувати характер носіїв у зоні провідності і валентній зоні. Електрони провідності і дірки мають однаковий спін, рівний і різні ефективні маси m_e і m_p.

Скористаємось одержаною формулою густини станів в енергетичній зоні в області енергій від Е до Е+dЕ

, (2.5.5)

де s - спін частинки; p - імпульс частинки; dV - об'єм кристала;

- зміна імпульсу за енергіями в енергетичній зоні з енергіями від Е до Е+dЕ.

Густина квантових станів електронів провідності нижньої частинки зони провідності буде дорівнювати

. (2.5.6)

Густина квантових станів верхньої частини валентної зони

. (2.5.7)

Співвідношення (2.5.6) і (2.5.7) описують розподіли квантових станів в тих частинах зони провідності і валентної зони, для яких відомі точні значення залежності імпульсу носіїв струму від їх кінетичної енергії. Цю умову задовольняє нижня частина зони провідності і верхня частина валентної зони.

2.6 Електронний газ у металі

2.6.1 Розподіл електронів у металі за енергіями. Енергія Фермі

Електричні, теплові, оптичні та ряд інших властивостей металів визначаються станом в них вільних електронів. Тому основним завданням квантової теорії є вивчення закономірностей розподілу вільних електронів у металі за енергіями. Оскільки електрони мають напівцілий спін , то вони відносяться до ферміонів і описуються квантовою статистикою Фермі-Дірака. З густиною квантових станів в енергетичній зоні ми уже ознайомилися в попередніх лекціях. На черзі квантовий розподіл Фермі-Дірака, який визначає імовірність заповнення квантових рівнів енергетичної зони електронами в умовах термодинамічної рівноваги.

Квантовий розподіл Фермі-Дірака має вигляд

, (2.6.1)

де f(Е) - імовірність заповнення електронами квантових рівнів енергетичної зони в області енергій Е; Е_ф- енергія Фермі; к - стала Больцмана; Т - абсолютна температура.

Для вияснення фізичної суті енергії Фермі слід проаналізувати вираз (2.6.1) при різних температурах.

При наближенні температури кристала до абсолютного нуля мож-ливі два випадки.

При T0:

а) Е>Е_ф , f(E) 0;

б) Е_ф>Е , f(E) 1.

Тобто квантові рівні електронів, розміщені вище енергії Фермі є пов-ністю вільними, а квантові рівні електронів нижче енергії Фермі, повністю заповнені електронами. Графічна ітерпретація цього аналізу показана на рис. 2.30.

З рисунка видно, що енергія Фермі - це найбільша енергія електронів у металі при абсолютному нулі температур. Вище цієї енергії немає жодного заповненого квантового рівня. Імовірність виявити електрон з енергією Е>Е_ф при цій температурі дорівнює нулю.

Рис. 2.30

Проте рівні з енергіями Е<Е_ф при Т=0 заповнені з імовірністю, рівною одиниці.

Розглянемо випадки, коли температура кристалу вища за абсолютний нуль.

При Т>0

а) Е=Е_ф, f(E)=1/2;

б) Е<E_ф, f(E)>1/2; в) Е>Е_ф, f(E)<1/2.

Графічна інтерпретація цього аналізу показана на рис.2.31.

Рис. 2.31

На рис. 2.31 показано, що при довільній температурі, вищій за абсолютний нуль, в енергетичній зоні вільних електронів невелика частина їх буде мати енергії Е>Е_ф , в той час як на рівнях з енергіями Е<E_ф появляться вакансії, тобто не заповнені квантові стани.

Температурний інтервал зміни енергії електронів біля енергії Фермі досить малий і не перевищує кількох відсотків. Це означає, що квантові рівні в металі, енергія яких менша за Е - кТ - заповнені повністю, а квантові рівні з енергіями більшими за Е + кТ є повністю вільними.

2.6.2 Розрахунок енергії Фермі. Середнє значення енергії елек-тронного газу в металі. Температура виродження.

Щоб розрахувати максимальну енергію електронів у металі, тобто енергію Фермі, а також середнє значення енергії вільних електронів в енергетичній зоні металу, можна використати формулу (2.1.7).

Для знаходження загального числа всіх електронів в енергетичній зоні металу в праву частину цієї формули слід підставити вирази густини квантових станів і імовірності заповнення цих станів електронами та проінтегрувати цей вираз за значеннями енергій від 0 до Е_ф

(2.6.2)

де g(E) Ї густина квантових станів в енергетичній зоні; f(E) - імовірність заповнення цих станів електронами (розподіл Фермі-Дірака); dE - енергетичний інтервал.

При абсолютному нулі температур f(E)=1, тому:

. (2.6.3)

Густина квантових станів для електронів провідності в металі дорівнює

. (2.6.4)

Підставивши (2.6.4) в (2.6.3) одержимо:

. (2.6.5)

Концентрація електронів провідності в енергетичній зоні буде дорівнювати

. (2.6.6)

Концентрацію електронів провідності легко розрахувати засобами молекулярної фізики, тобто

, (2.6.7)

де Na Ї число Авогадро; Ї густина металу; Ї молярна маса металу.

Для прикладу знайдемо концентрацію вільних електронів провідності в міді

. (2.6.8)

Підставляючи (2.6.7) в (2.6.6) легко розрахувати енергію Фермі для міді

Аналогічні розрахунки показують, що різні метали мають відповідно різні значення енергії Фермі. Так енергія Фермі калію 2,14 еВ, енергія Фермі срібла 5,5 еВ, енергія Фермі алюмінію 11,9 еВ, тощо.

Середнє значення енергії електронів провідності в металі можна розрахувати діленням сумарної енергії всіх електронів в енергетичній зоні на їх число в цій зоні, тобто

. (2.6.9)

Сумарну енергію всіх електронів у енергетичній зоні металу можна розрахувати засобами теорії імовірності, тобто

, (2.6.10)

де g(E) Ї густина квантових станів у виділеній частині енергетичної зони в області енергій Е; f(E) Ї імовірність заповнення цих станів електронами.

При абсолютному нулі температур (Т=0) f(E)=1, тому

 . (2.6.11)

Середнє значення енергії електронів знайдемо, поділивши (2.6.11) на (2.6.5), тобто

. (2.6.12)

Таким чином середня енергія електронів провідності в міді при Т=0 не перевищує 4,2еВ.

Електронний газ в металі принципово відрізняється від класичного ідеального газу.

Основна відмінність полягає у незалежності енергії електронів від температури. Цю властивість електронного газу називають виродженням. Температура, при якій електронний газ перестає бути квантовим, тобто виродженим, називається температурою Фермі.

Температуру виродження електронного газу знайдемо із співвідношення

кT_Ф = Е_Ф, (2.6.13) Звідки

(2.6.14)

Розрахунок температури Фермі для міді

. (2.6.15)

Таким чином електронний газ в міді залишається виродженим, тобто квантовим, аж до температури 81000К. Для алюмінію така температура сягає 138000К. Вище температури Кюрі електронний газ втрачає квантові властивосі, тобто стає класичним.

2.6.3 Квантова теорія електропровідності металів

З класичної теорії відомо, що провідність металів визначається питомою електропровідністю , одержаною засобами класичної фізики з рівняння закону Ома в диференціальній формі

, (2.6.16)

де n Ї концентрація електронів провідності; q Ї електронний заряд; Ї середній час вільного пробігу між сусідніми зіткненнями електронів; m Ї маса електрона.

З величин, які входять у вираз питомої електропровідності формули (2.6.16) лише залежить від температури, тобто

(2.6.17)

де Ї середня довжина вільного пробігу електронів провідності між двома сусідніми зіткненнями; Ї середня швидкість направленого руху носіїв струму, тобто електронів у металі.

Середня швидкість електронного газу в металі від температури не залежить. Певні зміни швидкості електронів можливі при нагріванні до температури Кюрі. Однак це не реально. Тому від температури залежить лише довжина вільного пробігу. При збільшенні амплітуди коливань вузлів кристалічної гратки довжина вільного пробігу зменшується обернено пропорційно до абсолютної температури:

. (2.6.18)

З цих міркувань можна зробити висновок, що питома електропровідність металів знижується з ростом температури обернено пропорційної температурі, тобто

. (2.6.19)

Цей висновок квантової механіки повністю підтверджується експериментом.

2.6.4 Теплоємність електронного газу

Звернемось до розподілу Фермі-Дірака при температурі, більшій за абсолютний нуль. Графік залежності імовірності заповнення електронами квантових станів від енергії показано на рисунку (рис. 2.32)

Рис. 2.32

З рисунка видно, що при нагріванні змінюють свою енергію лише ті електрони, які розміщені на енергетичних рівнях поблизу енергії Фермі. Кількість таких електронів досить невелика.

Частку електронів, які беруть участь у тепловому русі, можна оцінити співвідношенням 2кТ/Е_ф. Теплоємність одного моля електронного газу можна оцінити за допомогою класичного співвідношення

, (2.6.20)

де R - універсальна газова стала.

Але приймаючи до уваги, що лише досить невелика частка електро-нів бере участь у тепловому русі, молярна теплоємність електронного газу буде дорівнювати

, (2.6.21)

З урахуванням того, що для більшості металів , одержимо остаточне значення молярної теплоємності електронного газу в металі

. (2.6.22)

При звичайних температурах електронний газ в металі вносить досить незначний вклад в молярну теплоємність кристалу, яку можна визначити за законом Дюлонга і Пті (С_к=3R).

Порівняємо ці теплоємності

 (2.6.23)

Електронна теплоємність почне помітно впливати на загальну теплоємність металу при температурах, близьких до абсолютного нуля, точніше при температурах менших за /50. Тут теплоємність кристалічної ґратки пропорційна Т³ буде меншою за електронну теплоємність, пропорційну Т.

2.7 Кристалічна ґратка. Теплові властивості твердих тіл

2.7.1 Будова кристалів. Фізичні типи ґраток

Розміщення частинок у просторі, яке характеризується періодичністю повторень в трьох вимірах, називається кристалічною ґраткою. Точки, в яких розміщуються частинки (ними можуть бути атоми, молекули й іони), називаються вузлами кристалічної гратки. Відносно таких точок в кристалі здійснюються нульові й теплові коливання.

Всі тверді тіла, які мають кристалічну структуру, можуть бути або монокристалічними, або полікристалічними. Характерною особливістю монокристалів є їх анізотропність, тобто залежність багатьох фізичних властивостей від напрямку в кристалах. В певній мірі причиною анізотропних властивостей може бути різне число частинок на одиницю довжини в різних напрямках кристала (рис. 2.33).



Рис. 2.33

Тіла, фізичні властивості яких не залежать від напрямку, називаються ізотропними. Монокристали є анізотропними принаймні до деяких фізичних властивостей. Полікристали при звичайних умовах завжди ізотропні. Проте відповідними зовнішніми діями ізотропний кристал можна наділити анізотропними властивостями. Такими діями можуть бути механічна деформація, сильне електричне поле або сильне магнетне поле, тощо.

Згідно з сучасними уявленнями між структурними складовими в кристалах можуть існувати чотири типи звязку: ковалентний, металевий, іонний і вандервальсівський. З цих причин всі кристали можна поділити на атомні, іонні, металеві і молекулярні кристали. Прикладами таких кристалів можуть бути: кухонна сіль NaCl - іонний кристал; кристали алмазу, сірки - атомні кристали; метали в чистому вигляді - металеві кристали; тверді кристали CO₂, O_2, N₂ - молекулярні кристали.

За досліджуваннями видатного російського кристалографа Федорова кристалічній гратці відповідають 230 комбінацій елементів симетрії, або 230 просторових груп. Однак будь-яка складна просторова ґратка, за дослідженнями французького кристалографа Браве, може бути складена повторенням в різних напрямках одного і того ж структурного елемента, який називають елементарною ґраткою.

Дослідження Браве показали, що для пояснення різноманітності кристалічних ґраток достатньо всього сім типів елементарних ґраток. З урахуванням центрування граней і обємів граток Браве появились додатково ще сім нових типів ґраток. Всього на сьогодні існує 14 типів ґраток Браве, розподілених по семи кристалічних системах.

Елементарна кристалічна ґратка має форму паралелепіпеда, який побудований на ребрах а, b, c з кутами між ними , і , що називаються параметрами ґратки (рис.34). Елементарні кристалічні ґратки діляться на:

· Кубічна ґратка a=b=c; ===90⁰;

· Гексагональна ґратка a=bc; =; ==90⁰; =60^0;

· Ромбоедрична ґратка a=b=c; ==90⁰;

· Тетрагональна ґратка a=bc; ===90⁰;

· Ромбічна ґратка abc; ===90⁰;

· Моноклінна ґратка abc; ==90⁰;

· Триклинна ґратка abc; ;

Рис. 2.34

2.7.2 Дефекти в кристалах. Фонони

В реальних кристалах існують відхилення від ідеального розміщення атомів в ґратках. Всі відхилення від ідеальної структури називаються дефектами кристалічної ґратки. Дефекти в кристалах ділять на макроскопічні і мікроскопічні. До макроскопічних дефектів відносять різні тріщини, різноманітні включення та ін. Найпростішими мікроскопічними дефектами є точкові дефекти. До таких дефектів можна віднести вакансії атомів, “чужі” атоми. Точкові дефекти часто виникають в результаті теплових флуктуацій. При нагріванні кристала концентрації вакансій і міжвузлових атомів може зростати експонеціально.

Дослідження показують, що енергія точкових дефектів на багато більша енергії теплових коливань ґраток. Так для міді енергія вакансій E_B 1eB, енергія міжвузлового атома E_B 3eB, в той же час енергія теплових коливань кТ навіть біля температури плавлення (1084,5⁰ С) не перевищує 0,12 еВ.

З цієї причини дефекти в кристалах сильно впливають на їх фізичні властивості ( механічні, електричні, магнетні й інші ).

Теплова дія на кристал приводить до зміни характеру коливальних рухів вузлів кристалічних ґраток. Амплітуди коливань вузлів для більшості кристалів не перевищують 0,1 Е, що складає від 5 до 7% рівноважної відстані між сусідніми частинками. Характер коливань вузлів кристалічних ґраток досить складний. Будь-яка теплова дія на один із вузлів ґратки буде передана з допомогою відповідних молекулярних сил всім вузлам кристала. Коливання частинок, які виникли в одному місці кристала передаються до інших вузлів у вигляді пружних хвиль. В твердих тілах виникають як поздовжні так і поперечні хвилі. Механізм пружних теплових хвиль в кристалах аналогічний до звукових хвиль. Діапазон частот таких хвиль досить великий, від 100 до 10¹³ Гц. Швидкість поширення теплових пружних хвиль в кристалах дорівнює швидкості звуку в цих кристалах.

Подібно до електромагнетних хвиль, квантами яких є фотони, пружні теплові хвилі в кристалах теж квантуються. Квантами таких хвиль є фонони. Фонони не пов'язані з рухом вузлів кристалічної ґратки. Фонони можуть існувати лише в кристалах. Вони не існують у вакуумі. Фонони - це кванти теплових пружних хвиль в кристалах.

В газах частинки одночасно є структурними елементами середовища, а також носіями взаємодії між ними.

В твердих тілах структурними одиницями середовища є вузли кристалічних ґраток. Носіями взаємодії тут є фонони. Фонони поширюються в кристалі, розсіюються при зустрічі один з одним і з дефектами кристалічних ґраток.

Згідно з висновками квантової механіки частинки не можуть бути в спокої навіть при абсолютному нулі температур, тому що це суперечить принципу невизначеності, тобто

x·p_x h, (2.7.1)

де p_x ? невизначеність у визначеності імпульсу частинки; x ? невизначеність у визначеності координати частинки; h ? стала Планка.

Якщо частинка перебуває у стані спокою, то її координата фіксована, тобто х=0. В цьому випадку р_х , а це суперечить здоровому глузду. При абсолютному нулі температур вузли кристалічної гратки будуть продовжувати коливатись біля положення рівноваги. Однак цей рух не приводить до виникнення фононів. Такий рух в кристалах називають нульовим рухом. Рух є, а фонони відсутні.

Енергетичний спектр фононів можна встановити, вивчаючи непружні розсіювання теплових нейтронів на фононах гратки.

Теорію теплових пружних хвиль в твердих тілах вперше розробив голандський фізик Дебай (1912 р). Згідно з Дебєм

(2.7.2)

де ? характеристична температура Дебая; к ? стала Больцмана; _max ? максимальна частота пружних хвиль в кристалі; h - стала Планка.

З цього рівняння одержимо

. (2.7.3)

Вище температури Дебая квантові властивості фононів не проявляються. Для більшості речовин дебаївська температура перебуває в межах 300 - 800⁰С. Але є винятки. Так характеристична температура Дебая в алмазі сягає 2000⁰С

2.7.3 Теплоємність кристалів та її залежність від температури. Теорія Дебая

Кристалічні тіла характерні тим, що у вузлах кристалічних ґраток перебувають атоми. Атоми здійснюють теплові коливання біля положення рівноваги. Для малих амплітуд ці коливання будуть гармонічними. Енергія кожного атома в кристалі в рівній мірі складається із кінетичної і потенційної енергії, рівних . Оскільки кінетична і потенціальна енергія атома однакові і в середньому дорівнюють , то середнє значення повної енергії, яка приходиться на одну коливальну ступінь вільності буде дорівнювати

(2.7.4)

_.

Тепер легко розрахувати теплоємність кристалічної гратки. Для простоти можна вважати, що всі атоми однакові. Кожен атом в кристалі має три ступені вільності. Повна енергія одного вузла відповідно дорівнює . Оскільки в одному молі перебуває N_А атомів, то внутрішня енергія моля кристалічної речовини буде дорівнювати

(2.7.5)

Теплоємність одного моля кристалічної речовини буде дорівнювати

(2.7.6)

Цей закон був отриманий французькими фізиками Дюлонгом і Пті ще в 1819 році. При низьких температурах закон Дюлонга і Пті не працює. При температурах, вищих за температуру Дебая, закон Дюлонга і Пті дає добрі результати.

Для багатоатомних кристалів молярна теплоємність визначається формулою

(2.7.7)

де n - число атомів у молекулі; R - універсальна газова стала.

Класичні уявлення про внутрішню енергію кристалічної речовини і відповідно теплоємності, не дають пояснення їх залежності від температури. З квантової точки зору при низьких температурах внутрішня енергія атомів в кристалах може набувати лише окремих значень. В цьому випадку кінетична енергія вузлів кристалічної гратки має різні значення для різних ступенів вільності. Енергія одних ступенів вільності стає не суттєвою, енергія інших ступенів вільності стає домінуючою.

Експериментальна залежність молярної теплоємності від температури показана на рис. 2 35.

Рис. 2.35

Графік залежності виявився однаковим для різних твердих тіл. Досліджуючи теоретично з позиції квантової теорії внутрішню енергію кристалів, Дебай прийшов до висновку, що внутрішня енергія твердого тіла при температурах, близьких до абсолютного нуля, пропорційна четвертій степені температури

, (2.7.8)

де - величина, яка залежить від природи кристалів.

Похідна від (2.7.8) визначає молярну теплоємність кристала при низьких температурах

. (2.7.9)

Теплоємність, яка визначається за формулою (2.7.8) носить назву закону кубів Дебая.

Для випадку атомної теплоємності коефіцієнт а дорівнює

. (2.7.10)

Атомна теплоємність в цьому випадку буде дорівнювати

, (2.7.11)

де R₀ - універсальна газова стала; - температура Дебая; T - температура кристалічної речовини.

Закон кубів Дебая добре працює при температурах, нижчих за . Вище цієї температури і до температури простої залежності молярної теплоємності від температури поки що не знайдено.

Згідно з теорією Дебая молярна теплоємність для широкого інтервалу температур від нуля до температупи Дебая визначається за формулою

. (2.7.12)

Аналіз формули (2.7.12) показує, що при температурах, близьких до абсолютного нуля, тобто при молярна теплоємність буде дорівнювати

(2.7.13)

Цей вираз є законом кубів Дебая. При одержуємо закон Дюлонга і Пті.

(2.7.14)

В цьому випадку i

2.7.4 Теплопровідність кристалів

В твердих тілах на відміну від газів і рідин неможлива конвекція, тобто рух атомів один відносно іншого. Кожен атом кристала зв`язаний з сусідніми атомами за допомогою молекулярних сил. Всі атоми перебувають в рівноважному стані.

Теплопровідність в кристалічній речовині здійснюється фононами. Енергетичні потоки фононів в кристалах залежать від градієнта температур. Кількісний тепловий потік фононів в кристалах добре описується законом теплопровідності Фур`є

ж (2.7.15)

де ж - коефіцієнт теплопровідності; ? градієнт температури в напрямі осі х; і переріз стержня і час переносу енергії в кристалічній речовині.

При низьких температурах слід врахувати квантовий характер теплових хвиль в кристалі. Але у випадку, коли в кристалі можливі будь-які коливання. В цьому випадку в кристалі можливі довільні квантові переходи. Через це квантовий характер теплопровідності є непомітним.

При температурах, для яких в кристалі збуджуються коливання з достатньо малими частотами. В цьому випадку теплопровідність носить чисто квантовий характер з малими енергетичними переходами.

2.8 Електронні властивості напівпровідників

2.8.1 Власна провідність напівпровідників

Речовини, питома електропровідність яких займає проміжний стан між металами й ізоляторами, називаються напівпровідниками. Всі речовини, які мають напівпровідникові властивості, можна поділити на дві великі групи, серед яких атомні напівпровідники і сполуки, які складаються із двох і більше різних атомів.

В групу атомних напівпровідників входять близько 12 хімічних елементів, серед яких: бор (В), вуглець (С), кремній (Si), фосфор (Р), сірка (S), германій (Ge), миш'як (As), селен (Se), олово (Sn), сурма (Sb), телур (Te), йод (I). Крім того напівпровідникові властивості мають величезну кількість неорганічних і органічних сполук, серед яких: GaAs, InAs, GaP, GaSb, InSb та інші.

Як уже відмічалося, в напівпровідниковому кристалі при 0 К електрони заповнюють всі енергетичні рівні валентної зони. Енергетичні рівні зони провідності при цих умовах залишаються вільними. Зона заборонених енергій у напівпровідниках не перевищує 2-3 еВ. При відсутності зовнішніх впливів (освітлення, рентгенівські і г-промені) напівпровідники при 0 К є добрими ізоляторами.

В зоні провідності з'являються носії струму практично при будь-якій температурі, відмінній від абсолютного нуля. Це пов'язано з тим, що електрони провідності в кристалічній гратці можуть одержати від гратки завдяки тепловим коливанням вузлів і більші енергії, ніж середні значення енергії коливань кристалічної гратки kT.

В міру зростання температури за рахунок теплового руху частина електронів переходить з верхніх рівнів валентної зони на нижні рівні зони провідності, створюючи тим самим дірки у валентній зоні. Носіями струму при цьому будуть електрони провідності й дірки у валентній зоні. Це і є власна провідність.

Імовірність того, що при температурі Т електрон валентної зони одержить енергію ДЕ, пропорційна . При кімнатній температурі така імовірність досить мала, але з ростом температури вона швидко зростає (рис. 2.36).

Поряд з переходом електронів з валентної зони в зону провідності відбувається і зворотний перехід електронів із зони провідності на вакантні рівні валентної зони. При цьому зникають і вільні електрони і вільні дірки. Процеси генерації (утворення) і рекомбінації (зникнення) вільних носіїв заряду ідуть одночасно. Тому кількість вільних електронів у зоні провідності завжди відповідає для напівпровідника з власною провідністю, числу вільних дірок у валентній зоні.

	Зона провідності
	Валентна зона

Рис.2.36

Питома електропровідність напівпровідника складається із електронної і діркової провідності, тобто

, (2.8.1)

де q - елементарний заряд; n - концентрація дірок у валентній зоні, або електронів у зоні провідності; U_n і U_p - рухливості електронів провідності і дірок.

Вільні носії електричного заряду, які утворюються при переході електронів із валентної зони у зону провідності називаються власними носіями, а провідність цих носіїв називається власною провідністю.

Проведемо розрахунок концентрації електронів у зоні провідності і дірок у валентній зоні.

Імовірність заповнення електронами енергетичних рівнів зони провідності визначається функцією Фермі - Дірака

. (2.8.2)

Імовірність заповнення дірками валентної зони буде дорівнювати

. (2.8.3)

Для знаходження концентрації вільних електронів у зоні провідності слід врахувати, що

, (2.8.4)

де g(E) - густина квантових станів в енергетичній зоні; f(E) - імовірність заповнення квантових станів електронами в цій частині енергетичної зони; dE - енергетичний інтервал.

Густина квантових станів в енергетичній зоні для електронного газу дорівнює

. (2.8.5)

Імовірність заповнення квантових станів електронами в зоні провідності напівпровідника легко знайти з розподілу Фермі - Дірака

. (2.8.6)

Якщо температура напівпровідника не дорівнює нулю, тобто Т>0, то одиницею в знаменнику розподілу Фермі - Дірака можна знехтувати, тому

; (2.8.7)

З урахуванням цих зауважень, одержуємо:

.

Введемо позначення:

; ; .

Тоді

, (2.8.8) або

. (2.8.9)

У виразі (2.8.1.8) враховано, що

 . (2.8.10)

Для розрахунку концентрації вільних дірок у валентній зоні слід мати на увазі, що імовірність вакансій у цій зоні можна розрахувати так

.

З урахуванням імовірності заповнення дірками валентної зони і густини квантових станів для концентрації дірок одержимо

.

Остаточно

. (2.8.11)

Особливістю власної провідності напівпровідників є те, що концентрація дірок у валентній зоні дорівнює концентрації електронів у зоні провідності. Прирівняємо праві частини рівностей (2.8.9) і (2.8.11)

.

Після відповідних скорочень та спрощень, одержуємо:

. (2.8.12)

При абсолютному нулі температур перша складова виразу (2.8.12) перетворюється в нуль. Тому рівень Фермі для цього випадку буде розміщуватись точно посередині забороненої зони

. (2.8.13)

Навіть при температурі Т=300 К перша складова виразу (2.8.12) не перевищує 0,007 еВ, чим порівняно з шириною забороненої зони можна знехтувати. Тому при Т>0 положення рівня Фермі власного напівпровідника практично не змінюється

. (2.8.14)

2.8.2 Домішкова провідність напівпровідників

Деякі домішки і деякі види дефектів кристалічної гратки суттєво впливають на електричні властивості напівпровідників. Один домішковий атом бору, або індію на 100 тисяч атомів основного напівпровідника (кремнію або германію), збільшує провідність напівпровідника не менше ніж у тисячу разів.

І кремній і германій кристалізуються у структуру типу алмазу. В такій структурі кожен чотиривалентний атом напівпровідника вступає у взаємодію з кожним із чотирьох сусідніх атомів (Рис. 2.37), утворюючи спільні ковалентні пари. Такий напівпровідник буде мати власну провідність.

Якщо тепер добавити в кристалічну структуру домішковий п'ятивалентний або тривалентний атом, то він займе в гратці місце одного із основних атомів. Важливою особливістю таких напівпровідників є те, що в них при наявності домішок, крім власної провідності, виникає додаткова - домішкова провідність. Змінюючи концентрацію домішки, можна змінювати кількість носіїв заряду того чи іншого знака. Завдяки цьому створюються напівпровідники з переважною концентрацією - або негативно, або позитивно заряджених носіїв.

Ця особливість напівпровідників і відкриває широкі можливості для їх практичного застосування.

Домішковий п'ятивалентний атом порівняно легко втрачає один із п'яти валентних електронів, який не використаний для утворення стійкого ковалентного зв'язку. Енергія іонізації цього п'ятого електрона не перевищує 0,05 еВ, що значно менше ширини забороненої зони основного напівпровідника (?Е=0,75 еВ для германію і ?Е=1,12 еВ для кремнію).

Рис. 2.37

Домішкові атоми з валентністю, вищою на одиницю від основного напівпровідника стають джерелом електронів для зони провідності, а тому називаються донорними атомами. Донорні атоми в зонній структурі напівпровідника утворюють домішковий донорний рівень, який розміщується біля стелі забороненої зони, поряд з зоною провідності (рис. 2.38).

Коли як домішку використати індій, атоми якого тривалентні, то характер провідності напівпровідника зміниться. Тепер для встановлення нормальних ковалентних зв'язків із сусідніми атомами атому індію не вистачає одного електрона. Внаслідок цього в кристалічній структура утворюється неповноцінна (без одного електрона) ковалентна пара, яку називають діркою. Кількість дірок у кристалі дорівнюватиме кількості домішкових атомів.

Рис. 2.38

Такі домішки називають акцепторами (приймачами електронів). Коли в кристалі створюється електричне поле, дірки переміщуються по полю і створюють діркову провідність. Напівпровідники з переважанням діркової провідності над електронною називають напівпровідниками р-типу.

Домішкові атоми з валентністю, меншою на одиницю валентності основного напівпровідника, утворюють рівень вакантних дірок, який на енергетичній схемі розміщується біля дна забороненої зони, поряд з валентною зоною. Цей рівень називається акцепторним рівнем (рис. 2.39).

Рис. 2.39

Провідність домішкових напівпровідників при малих енергіях збудження в першу чергу забезпечується домішковими атомами, енергії іонізації яких досить малі порівняно з шириною забороненої зони. На рис.2.40 показана залежність ln провідності домішкових напівпровідників від температури.

На цій залежності ділянка “ab” визначає провідність напівпровідника за рахунок лише домішкових акцепторних або донорних атомів. Ділянка “cd” - визначає лише власну провідність напівпровідника.

Домішкові атоми при деяких температурах стають повністю задіяними в провідності. Однак при цих температурах енергії для збудження електронів основних носіїв у валентній зоні ще не достатньо. Тому зростання температури в цьому випадку супроводжується певним “зменшенням” провідності напівпровідника.



Рис. 2.40

Ця особливість провідності домішкового напівпровідника показана на ділянці “bc”. В точці “b” всі домішкові атоми беруть участь у здійсненні провідності. Тому ділянка “bc” показує, що провідність домішкових атомів повністю себе вичерпала і залишається при подальшому підвищенні температури, незмінною.

При досягненні більш високої температури, в провідності напівпровідника починають брати участь атоми основного напівпровідника валентної зони. При цій температурі енергія зовнішнього збудження стає співрозмірною з шириною забороненої зони. Ділянка “cd” рис. 2.40 показує, що власна провідність напівпровідника стає, порівняно з домішковою провідністю, домінуючою.

2.8.3 Контакти двох напівпровідників з різним типом провіднос-ті. Напівпровідникові діоди. Тунельні діоди

Напівпровідники з донорними домішками називаються напівпровідниками n-типу. Напівпровідники з акцепторними домішками називаються напівпровідниками p-типу.

Якщо привести такі два напівпровідники до ідеального електричного контакту, то на межі їх поділу одержимо p-n-перехід. Фізично p-n-перехід є подвійним електричним шаром, який утворюється на межі поділу напівпровідників з різним типом провідності. Причому слід відмітити, що подвійний електричний шар створюється лише не основними носіями.

Виникнення подвійного електричного шару відбувається в результаті складних процесів дифузії основних носіїв біля межі поділу напівпровідників. Дифузійні потоки електронів і дірок через межу поділу напівпровідників розпочинаються одночасно зразу ж після створення стійкого електричного контакту між напівпровідниками під впливом відповідних градієнтів концентрацій і у взаємо протилежних напрямках. У результаті дифузії основних носіїв через межу поділу напівпровідників створюються умови для рекомбінації з наявними там основними носіями протилежного знаку. Процес дифузії основних носіїв через межу поділу двох напівпровідників призупиняється дією електричного поля подвійного електричного шару неосновних носіїв, яке виникає внаслідок цієї дифузії (рис. 2.41).

Утворений p-n-перехід має своє внутрішнє електричне поле, яке направлене з сторони n-напівпровідника в сторону p-напівпровідника.

Рис. 2.41

По суті це поле перешкоджає переходу основних зарядів через межу поділу напівпровідників. В умовах рівноваги через межу поділу двох напівпровідників зможуть переходити лише ті вільні носії, енергія яких вища за висоту потенціального бар'єра p-n-переходу.

Зупинимось на здатності p-n-переходів випрямляти змінний електричний струм .

В загальному випадку через p-n-перехід діода можуть переходити як основні носії у вигляді двох дифузних струмів І_д і І_е, так і не основні носії у вигляді двох дрейфових струмів І_дґ і І_еґ.

Дрейфові струми створюються лише не основними зарядами і вони на кілька порядків менші дифузних струмів основних носіїв. У рівноважному стані сумарний струм основних і не основних носіїв дорівнює нулю.

Зовнішня різниця потенціалів, прикладена до p-n-переходу може по-рушити цю рівновагу. Результуючий струм через p-n-перехід перестає бу-ти рівним нулю.

Нехай до p-n-переходу діода прикладена зовнішня різниця потенціа-лів так, що в якийсь момент на n-напівпровідник подається додатний потенціал, а на p-напівпровідник подається від'ємний потенціал (рис.2.42). Напруженості внутрішнього і зовнішнього полів збігаються за напрямком.

Рис. 2.42

Як внутрішнє так і зовнішнє поля перешкоджають дифузії основних носіїв. Діод відкритий лише для неосновних носіїв, яких в обох напівпровідниках дуже мало. Сумарний струм, який буде проходити через діод складається з двох дрейфових струмів неосновних носіїв, що мають різні напрямки

І = І_дґ + І_еґ.

Потенціальний бар'єр між двома напівпровідниками зріс на величину q_eU (рис. 2.43).

Рис. 2.43

Струм, який протікає через p-n-перехід, називається зворотним струмом і від величини зовнішньої різниці потенціалів практично не залежить.

Нехай зовнішня різниця потенціалів, прикладена до p-n-переходу в певний момент часу так, як показано на рис. 2.44.



Рис. 2.44

Напрямок напруженості внутрішнього поля Е_В не збігається з напрямком напруженості зовнішнього поля Е_З. Потенціальний бар'єр, який створюється цими полями дорівнює ц - q_eU. З рис. 2.44 видно, що струм через p-n-перехід має створюватись дифузією основних зарядів, тобто струмами, які течуть в різних напрямках

І = І_д + І_е.

Рівень Фермі Е_Ф в цьому випадку для напівпровідників n-типу і p-типу збігається, в той час як при зворотній різниці потенціалів рівні дещо зміщені на величину q_eU (рис. 2.45).

Рис. 2.45

Струм для випадку прикладеної зовнішньої різниці потенціалів, показаної на рис. 2.44 і 2.45 називається прямим струмом. Прямий струм перевищує величину зворотного струму не менше як у 1000 разів. З ростом величини зовнішньої напруги прямий струм зростає за експоненціальним законом. Рівняння залежності струму через p-n-перехід від прикладеної до нього різниці потенціалів називається вольтамперною характеристикою

,

де U - зовнішня різниця потенціалів, прикладена до p-n-переходу з урахуванням експоненціального закону; І₀ - величина струму, до якого прямує величина зворотнього струму при збільшенні за абсолютною величиною зворотної напруги.

При кімнатній температурі величина kT ? 0,025 еВ. При прямій напрузі U = +0,1 еВ величина . В цьому випадку одиницею нехтують. Прямий струм зростає за експоненціальним законом.

Вольтамперна характеристика p-n-переходу нелінійна, тому p-n-перехід має властивість односторонньої провідності. Опір у зворотному напрямі має досить значну величину, порівняно з опором у прямому напрямі.

При підвищенні температури прямий струм через p-n-перехід зростає, але не значно, тому що його величина залежить від концентрації основних носіїв заряду. При кімнатній температурі концентрація основних носіїв близька до стану насичення.

Зворотний струм з підвищенням температури зростає досить швидко, оскільки концентрація неосновних носіїв зростає досить швидко за експоненціальним законом.

Вольтамперна характеристика діода показана на рис. 2.46

Рис. 2.46

Масштаби прямого і зворотного струмів, прямої і зворотної напруги вольтамперної характеристики відрізняються відповідно на три і більше ніж на два порядки.

Напівпровідникові діоди, для побудови яких використані високолеговані напівпровідники, називаються тунельними діодами. В основі роботи таких діодів лежить тунельний ефект проникнення електронів через потенціальний бар'єр в області p-n-переходу.

В тунельному діоді p-n-перехід утворюється на межі електронної і діркової областей кристала з великою концентрацією донорів і акцепторів. Від цього ширина p-n-переходу в тунельному діоді досить незначна. Донорні і акцепторні рівні в таких напівпровідниках розчіплюються в зони. Донорні рівні практично перекриваються з зоною провідності, а акцепторні рівні перекриваються з валентною зоною. Тому ширина забороненої зони в такому випадку зменшується.

Рівні Фермі в таких високолегованих напівпровідниках розміщуються відповідно в зоні провідності і у валентній зоні. В такому діоді дно зони провідності p-напівпровідника розміщується нижче стелі валентної зони p-області. Частина електронів в зоні провідності n-напівпровідника розміщуються на рівнях з енергіями, які дорівнюють енергіям електронів в валентній зоні p-напівпровідника. Аналогічно густина електронів в валентній зоні p-напівпровідника розміщується на рівнях з енергіями, які дорівнюють енергіям електронів в зоні провідності n-напівпровідника.

Невелика ширина p-n-переходу робить можливим проникнення електронів через цей перехід за рахунок тунельного ефекту. В цьому випадку утворюються відповідні умови для таких переходів, тобто утворюються з протилежної сторони p-n-переходу необхідні вакансії, або вакантні рівні.

Тунельні діоди працюють на досить низьких напругах і споживають незначну енергію. Використовують тунельні діоди там, де бракує енергетичних потужностей, а саме - в космічній техніці, сучасній телевізійній і радіоапаратурі.

Література

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. Пособие. В 3-х т. Т3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика атомного ядра и элементарных частиц.- М.: Наука, 1987.- 320 с.

2. Бушманов Б.Н., Хромов Ю.А. Физика твердого тела: Учеб. Пособие. -М. Высшая школа, 1971.- 222 с.

3. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: В 2-х т. -М.: Мир, 1979.- 422 с.

Размещено на Allbest.ru

...