Исследование механизмов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра "Детали машин, подъемно-транспортные машины и механизмы"

МЕХАНИКА

Исследование механизмов

В.Л. Николаенко



Оглавление

Предисловие

Раздел 1. Основы расчета абсолютно твердого тела как модели механического объекта

Глава 1. Основные положения статики

1.1 Общие сведения

1.2 Аксиомы статики

1.3 Связи и их реакции

Глава 2. Плоская система сходящихся сил

2.1 Сложение плоской системы сходящихся сил. Геометрическое условие равновесия

2.2 Определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проекций. Аналитическое условие равновесия

Глава 3. Теория пар сил на плоскости

3.1 Пара сил. Эквивалентность пар сил

3.2 Сложение пар сил. Условие равновесия пар

3.3 Момент пары относительно точки

Глава 4. Плоская система произвольно расположенных сил (пспрс)

4.1 Приведение силы к точке

4.2 Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил

4.3 Теорема Вариньона

4.4 Уравнения равновесия и их различные формы

4.5 Балочные системы. Разновидности опор и виды нагрузок

4.6 Реальные связи. Трение скольжения и его законы

Глава 5. Пространственная система сил

5.1 Сложение пространственной системы сходящихся сил. Условие равновесия

5.2 Момент силы относительно оси

5.3 Пространственная система произвольно расположенных сил. Условие равновесия

Глава 6. Кинематика точки

6.1 Основные понятия кинематики

6.2 Способы задания движения точки

6.3 Определение скорости точки при естественном способе задания ее движения

6.4 Определение ускорения точки при естественном способе задания ее движения

6.5 Частные случаи движения точки

Глава 7. Простейшие движения твердого тела

7.1 Поступательное движение

7.2 Вращательное движение. Угловая скорость, угловое ускорение

7.3 Частные случаи вращательного движения

Глава 8. Сложное движение

Глава 9. Движение несвободной материальной точки

9.1 Основные понятия и аксиомы динамики

9.2 Свободная и несвободная точки

9.3 Силы инерции

9.4 Принцип Даламбера

Глава 10. Работа и мощность

10.1 Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении

10.2 Работа равнодействующей силы

10.3 Работа переменной силы на криволинейном пути

10.4 Мощность

10.5 Механический коэффициент полезного действия

10.6 Работа сил на наклонной плоскости

10.7 Работа и мощность при вращательном движении тел

10.8 Трение качения. Работа при качении тел

Глава 11. Общие теоремы динамики

11.1 Импульс силы. Количество движения. Кинетическая энергия

11.2 Теорема об изменении количества движения точки

11.3 Теорема об изменении кинетической энергии точки

11.4 Понятие о механической системе

11.5 Основное уравнение динамики вращающегося тела

11.6 Кинетическая энергия тела. Кинетический момент

Раздел 2. Основы построения и исследования механизмов

Глава 12. Структура механизмов

12.1 Основные понятия

12.2 Классификация кинематических пар. Кинематические цепи

12.3 Структурный синтез и анализ механизмов

12.4 Конструктивно-функциональная классификация механизмов

12.5 Передаточное отношение

Глава 13. Основы расчета и проектирования механизмов

13.1 Общие сведения о передачах. Основные виды зубчатых передач

13.2 Общие сведения о методах изготовления зубчатых колес

13.3 Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения

Глава 14. Основы кинематического анализа механизмов

14.1 Задачи и методы кинематического анализа механизмов. Масштабные коэффициенты

14.2 Построение положений рычажных механизмов методом засечек

Глава 15. Методические указания к решению задач

15.1 Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения

15.2 Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями вращения

Раздел 3. Основы расчетов элементов конструкций

Глава 16. Напряженно-деформированное состояние детали

16.1 Метод сечений

16.2 Напряжение как мера внутренних сил

Глава 17. Напряженно-деформированное состояние элементарного объема материала

17.1 Напряженное состояние в точке. Закон парности касательных напряжений. Главные площадки и главные напряжения. Классификация напряженных состояний

17.2 Однородное растяжение бруса как пример реализации одноосного напряженного состояния материала

17.3 Продольная и поперечная деформации. Закон Гука. Модуль упругости. Коэффициент Пуассона

17.4 Частный случай плоского напряженного состояния - чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге

Глава 18. Механические свойства конструкционных материалов

18.1 Экспериментальные исследования механических свойств при проведении стандартных испытаний на растяжение

18.2 Условие прочности, коэффициент запаса прочности, допускаемые напряжения

Глава 19. Расчет несущей способности типовых элементов, моделируемых в форме стержня

19.1 Расчеты на прочность стержней при растяжении-сжатии

19.2 Особенности расчета статически неопределимых стержневых систем

19.3 Напряженно-деформированное состояние при прямом поперечном изгибе

19.4 Условия прочности при прямом поперечном изгибе

19.5 Расчеты на жесткость при изгибе

19.6 Кручение вала (стержня) круглого поперечного сечения

19.7 Расчеты на прочность и жесткость при кручении

19.8 Условие прочности вала при совместном действии крутящего и изгибающего моментов

Глава 20. Устойчивость сжатых элементов конструкций

20.1 Понятие о критической силе для сжатого стержня. Формула Эйлера

20.2 Критическое напряжение. Пределы применимости формулы Эйлера

Раздел 4. Расчет и конструирование деталей машин общего назначения и деталей отрасли

Глава 21. Зубчатые передачи

21.1 Геометрический расчет эвольвентных прямозубых передач

21.2 Особенности геометрии косозубых, шевронных и конических передач

21.3 Особенности геометрии конических колес

21.4 Усилия в зацеплении зубчатых передач

21.5 Материалы и термообработка для зубчатых колес

21.6 Расчеты зубьев на сопротивление усталости по изгибным и контактным напряжениям

Глава 22. Червячные передачи

Глава 23. Ременные передачи

23.1 Общие сведения. Ремни. Шкивы

23.2 Скольжение ремня

Глава 24. Цепные передачи

Глава 25. Несущие детали и опорные устройства механизмов

Глава 26. Соединения деталей и узлов машин

26.1 Сварные соединения. Общие сведения и характеристика. Изображения и обозначения на чертежах швов сварных соединений

26.2 Расчет на прочность и проектирование сварных соединений при постоянных нагрузках

Литература

Приложение



Предисловие

Данное издание предназначено для студентов, изучающих курс механики по программе, утвержденной Министерством образования Республики Беларусь для высших учебных заведений.

Изложение материала в основном соответствует традиционной программе механики исходя из того, что она является комплексной общепрофессиональной дисциплиной по немашиностроительным специальностям.

Пособие включает в себя основные положения дисциплин "Теоретическая механика", "Сопротивление материалов", "Теория механизмов и машин", "Детали машин". Необходимым явилось включение в курс механики в том или ином объеме положений дисциплины "Расчет и конструирование изделий отрасли".

Цель пособия - дать студенту знания и навыки по выполнению расчетов и конструированию, необходимые при последующем изучении специальных дисциплин, а также в его профессиональной деятельности.

В силу компактности и комплексного характера курса механики на лекциях требуется лаконичность изложения материала при достаточно подробном изложении лишь принципиальных вопросов.

Автор использует данный материал при прочтении лекций по механике.

Настоящее пособие рекомендуется всем тем, кто изучает, преподает и просто интересуется элементарной механикой.

Пособие будет полезно при изучении, повторении и углублении курса механики, а также для быстрого нахождения, беглого прочтения и восстановлении в памяти необходимой информации, может быть использовано для самостоятельной работы студентов.

Автор считает своей обязанностью выразить благодарность А.Т. Скойбеде, оказавшему помощь в подготовке книги, а также с благодарностью примет все замечания об этом пособии.



Раздел 1. Основы расчета абсолютно твердого тела как модели механического объекта

Глава 1. Основные положения статики

Материальной точкой называют геометрическую точку, обладающую массой.

Абсолютно твердым телом называют такое материальное тело, в котором расстояние между любыми двумя точками всегда остается неизменным.

Способность тел сопротивляться изменению их формы и размеров называется жесткостью.

Мера механического действия одного материального тела на другое называется силой. Сила - величина векторная. Она определяется, во-первых, числовым значением (модулем), во-вторых, точкой приложения (местом контакта взаимодействующих тел), в-третьих, направлением действия.

В Международной системе единиц (СИ) сила выражается в ньютонах (сокращенное обозначение Н). 1 Н - небольшая сила, поэтому часто употребляют кратные единицы - килоньютон (1 кН = 103 Н) и меганьютон (1 МН = 106 Н).

Как всякий вектор силу можно изобразить графически в виде направленного отрезка (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Векторы сил Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сила тяжести

Несколько сил, действующих на какое-либо одно твердое тело,

называются системой сил.

Силы, действующие на твердое тело со стороны других тел, называются внешними. Силы, действующие на материальные точки твердого тела со стороны других точек того же тела, называются

внутренними.

1.2 Аксиомы статики

Аксиома 1 (принцип инерции). Всякая изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения точки называют равновесием.

Аксиома 2 (условие равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, образуют уравновешенную систему только тогда, когда они равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны (1.3).

Аксиома 3 (принцип присоединения и исключения уравновешенных сил). Действие данной системы сил на твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Следствие. Силу, приложенную к твердому телу, можно переносить вдоль линии ее действия в любую другую точку, действие силы на тело при этом не нарушится (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Перенос силы по линии ее действия

Свойство вектора силы справедливо только в теоретической механике (механике абсолютно твердого тела).

Аксиома 4 (правило параллелограмма). Две приложенные к точке тела силы имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и равную диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах ().

Две силы F1 и F2 приложены к разным точкам тела, но линии их действия лежат в одной плоскости.

Аксиома 5 (закон действия и противодействия). Силы взаимодействия двух твердых тел друг на друга равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 6 (принцип отвердевания). Если деформируемое тело находится в равновесии, то равновесие этого тела не нарушится, если, не изменяя формы, размеров, положения в пространстве, оно превратится в абсолютно твердое тело, т. е. затвердеет.

1.3 Связи и их реакции

Твердое тело называется свободным, если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении. В качестве примера свободного тела приведем летящий воздушный шар или ракету в космосе. Твердое тело называется несвободным, если его перемещение в пространстве ограничено какими-либо другими телами.

Все тела, которые так или иначе ограничивают перемещение данного тела, называются его связями.

Задача определения реакций связей - одна из основных задач статики.

Некоторые разновидности связей и правила определения их реакций

1. Свободное опирание тела о связь (тело изображено в виде

бруска, а связь заштрихована, рис. 1.7).

2. Гибкая связь (). Реакции нитей или цепей всегда направлены вдоль самих связей в сторону от тела к связи.

3. Стержневая связь (). Реакции стержневых связей направлены вдоль прямой, проходящей через оси концевых шарниров.

4. Шарнирно-подвижная опора. Такая опора представляет собой видоизменение свободного опирания.

5. Шарнирно-неподвижная опора. Такая опора дает возможность телу свободно поворачиваться около шарнира, но препятствует поступательному перемещению тела в любом направлении, перпендикулярном оси шарнира.

Шарнирно-неподвижная опора. Условное изображение и направление реакций

6. Глухая заделка (жесткое защемление). Такая заделка исключает любое перемещение тела.



Глава 2. Плоская система сходящихся сил

2.1 Сложение плоской системы сходящихся сил. Геометрическое условие равновесия

Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке, называется плоской системой сходящихся сил. Если силы сходящейся системы приложены к разным точкам тела, то по первому следствию из аксиом статики каждую силу можно перенести в точку пересечения линий действия и получить эквивалентную систему сил, приложенных к одной точке.

Две силы, приложенные к одной точке тела, образуют простейшую плоскую систему сходящихся сил (две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости).

Рассмотрим систему сил F1 , F2 , F3 , приложенных в точке А. Требуется найти их равнодействующую.

Применив правило силового треугольника, сложим силы

F2 . Для этого из конца вектора AB F1 отложим вектор BC F2 и, соединив точки А и С, получим геометрическую сумму (равнодействующую) сил F1 и F2 : AC F1 2 F1 F2 .

Теперь сложим силу F1 2 с силой F3 . Для этого из конца вектора ВС = F2 отложим вектор CD F3 и, соединив точки А и D, получим равнодействующую трех сил: AD F F1 2 F3 F1 F2 F3 ,где F - искомая равнодействующая.

Порядок построения сторон силового многоугольника не влияет на окончательный результат.

Чтобы уравновесить систему сил, достаточно к ней добавить еще одну силу, численно равную равнодействующей, но направленную в противоположную сторону.

Необходимое и достаточное условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме: система сходящихся сил уравновешена тогда и только тогда, когда силовой многоугольник замкнут.

2.2 Определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проекций. Аналитическое условие равновесия

Вместо построения силового многоугольника равнодействующую системы сходящихся сил более точно и значительно быстрее находят вычислением с помощью метода проекций, который обычно называется аналитическим.

Проекцией вектора F на ось называется длина направленного отрезка оси, заключенного между двумя перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора F . Проекция силы на ось равна произведению модуля этой силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси:

Проекции векторов сил на оси

Рассмотрим определение равнодействующей системы сходящихся сил методом проекций.

Допустим, что для заданной системы сходящихся сил построен

многоугольник ABCDE, в котором вектор AE F - искомая равнодействующая данной системы.

Выбрав систему координатных осей X и Y в плоскости силового многоугольника, спроецируем его на эти оси:

F x	F1 x	F2 x	F3 x	F4 x ;
F y	F1 y	F2 y	F3 y	F4 y .

В краткой форме эти равенства записываются так:

n n

F x Fkx , F y Fky ,

k 1 k 1

где - знак суммы, а индекс k последовательно принимает значения от 1 до n, по числу сходящихся сил, равнодействующая которых определяется.

Таким образом, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на каждую из осей координат равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось: Fkx 0 и Fky 0 .

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме: для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил системы на каждую из двух осей координат были равны нулю.



Глава 3. Теория пар сил на плоскости

3.1 Пара сил. Эквивалентность пар сил

Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в противоположные стороны, называется парой сил или просто парой (3.1). Понятие о паре сил ввел в механику французский ученый Луи Пуансон (1777-1859).

Пара сил - неуравновешенная система и не имеет равнодействующей. Пара сил производит на тело вращательное действие.

Вращательный эффект пары измеряется взятым со знаком "плюс" или "минус" произведением модуля одной из сил пары на ее плечо (момент пары): M F l .

Знак "плюс" ставится перед числовым значением момента в том случае, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и знак "минус" - если пара стремится повернуть тело по ходу часовой стрелки (рис. 3.2).

В Международной системе единиц (СИ) моменты пар выражаются в Н м или кН м .

Вращательное действие расположенной в данной плоскости пары зависит только от ее момента, поэтому для задания пары сил достаточно указать числовое значение ее момента, а затем по данному или выбранному плечу определить силы пары или по силам подобрать необходимое плечо. Исходя из этого, на рисунках и схемах пары сил изображают иногда просто круговой стрелкой, характеризующей лишь направление вращающего действия. Например, пары ( F1 , F1 ' ) и ( F2 , F2 ' ), приложенные к брусу, можно условно изобразить круговыми стрелками, обозначив их M1 и M2



3.2 Сложение пар сил. Условие равновесия пар

Теорема: Система пар сил, действующих на тело в одной плоскости, эквивалентна паре сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов пар системы.

Допустим, на тело действуют три пары, моменты которых M1, M2 и M3 известны.

Момент равнодействующей пары

M M 1 M 2 M3 ,

M Mk .

Если в результате сложения пар M 0 , то действующие на тело пары сил образуют уравновешенную систему. Следовательно, необходимое и достаточное условие равновесия системы пар выражается одним уравнением:

M k 0 ,

т. е. для равновесия системы пар сил, действующих на тело в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма их моментов была равна нулю.

Значит, систему пар или одну пару можно уравновесить только парой.

3.3 Момент пары относительно точки

Задолго до появления понятия о паре сил и ее моменте в механике возникло понятие о моменте силы относительно точки. Первый, кто обратил внимание на важную роль в механике момента силы относительно точки, был Леонардо да Винчи (1452-1519), современную трактовку понятия момента силы относительно точки дал П. Вариньон (1654-1722).

Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком "плюс" или "минус" произведение модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы:

M 0 (F ) F l.

Точка О, относительно которой берется момент силы, называется центром момента. OВ = l - кратчайшее расстояние от центра 26

момента до линии действия силы - называется плечом силы относительно данной точки. Знак "плюс" ставится в случае, если сила F стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, а знак "минус" - в противоположном случае (правило знаков то же, что и у моментов пар сил). Момент силы относительно точки О на рис. 3.5 положительный.



Глава 4. Плоская система произвольно расположенных сил (пспрс)

4.1 Приведение силы к точке

Теорема о параллельном переносе силы в любую заданную или

выбранную точку. Пусть дана сила F , приложенная к точке А твердого тела (а), и ее требуется перенести в точку О. Приложим к телу в точке О уравновешенную систему сил F ' F '' , параллельных F и равных ей по модулю (т. е. F ' F '' F ,). Теперь кроме силы F '' , приложенной к точке О, образовались пара сил ( F , F ') с моментом M Fl и момент данной силы F относительно точки О: M 0 (F ) F l , т. е. M M 0 (F )

Таким образом, всякую силу F , приложенную к телу в точке А, можно переносить параллельно линии действия в любую точку О, присоединив пару сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки ее приложения.

Операция такого переноса силы называется приведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара ( F , F ') с моментом M M 0 ( F ) - присоединенной парой.

Операция приведения силы к точке имеет глубокий физический смысл.

4.2 Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил

Пусть задана система четырех сил F1 , F2 , F3 и F4 (рис. 4.2). Выберем произвольную точку O - центр приведения - и приведем к нему силу F1 , т. е. перенесем силу F1 в точку O, присоединим пару сил с моментом M 1 M 0 (F1 ) (на рисунке присоединенные моменты изображены круговыми стрелками, направленными в сторону поворота силами F1 , F2 , F3 и F4 соответствующих плеч

l1 , l2 , l3 и l4 ).

Плоская система произвольно расположенных сил

Приведение системы сил к центру

Затем приведем к точке O силу F2 . Перенесем ее в эту точку и присоединим пару с моментом M 2 M 0 (F2 ) . Так же поступим с остальными силами F3 и F4 , присоединив пары с моментами M 3 M 0 (F3 ) и M 4 M 0 (F4 ) . Как видно из рис. 4.3, в результате последовательного приведения заданных сил к точке образовалась система сходящихся сил и система присоединенных пар с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки (центра) приведения.

С помощью силового многоугольника находим силу Fгл , эквивалентную системе приведенных сил. Сложив алгебраические моменты присоединенных пар, найдем момент одной эквивалентной им пары:

M гл M 1 M 2 M 3 M4 ,

или, так как моменты присоединенных пар равны моментам данных сил относительно центра приведения:

M гл M 0 (F1 ) M 0 (F2 ) M 0 (F3 ) M 0 (F4 ).

Главный вектор системы Fгл	Fk .
Главный момент системы M				M 0 ( Fk ) .

Произвольная плоская система сил эквивалентна одной силе - главному вектору - и одной паре, момент которой равен главному моменту.

Допустим, что, приведя плоскую систему сил к точке, мы получили главный вектор Fгл и пару сил с моментом M гл (). Главный вектор и главный момент сил Представим главный момент в виде пары сил ( F ', F ), численно

M гл . Распоравных главному вектору ( F F ' Fгл ), с плечом l Fгл ложим эту пару таким образом, чтобы одна из сил оказалась направленной вдоль линии действия главного вектора, но в противоположную сторону ().

Тогда силы F ' и Fгл можно исключить, как взаимно уравновешенные, а оставшаяся сада F и есть искомая равнодействующая рассматриваемой системы сил.

Равнодействующая системы сил.

Расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей:

Следовательно, равнодействующая ПСПРС равна главному вектору и расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей равно частному от деления главного момента на модуль главного вектора или равнодействующей.

4.3 Теорема Вариньона

Непосредственно из равенства l M гл вытекает важная зависимость между моментом равнодействующей и моментами составляющих сил, известная в механике как теорема Вариньона. Перепишем предыдущее равенство в таком виде:

Из рис. следует, что F l M 0 ( F ) - момент равнодействующей относительно любой точки, а по формуле M поэтому последнее равенство можно переписать в виде M 0 (F ) M 0 (F k ) , т. е. момент равнодействующей ПСПРС относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов сил системы, взятых относительно той же точки.

4.4 Уравнения равновесия и их различные формы

Первая форма уравнений равновесия. Если плоская система сил уравновешена, то алгебраические суммы проекций всех сил на оси X и Y равны нулю, а также равна нулю алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки:

Уравнений равновесия три, т. е. в произвольной плоской уравновешенной системе число неизвестных сил не должно превышать трех.

Вторая форма уравнений равновесия ().

M 0 (F k ) 0,

Fky 0,

Fkx 0.

Если произвольная плоская система сил уравновешена, то алгебраические суммы моментов сил относительно двух любых точек, а также алгебраическая сумма проекций сил на ось, не перпендикулярную прямой, проходящей через эти точки, равны нулю:

M A (F k )	0,
M B (F k )	0,
Fkx 0.

Третья форма уравнений равновесия. Если произвольная плоская система сил уравновешена, то алгебраические суммы моментов сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой, равны нулю:

Частные случаи решения уравнений равновесия

1. К телу может быть приложена уравновешенная система параллельных сил (). Тогда, рационально расположив оси координат (например, ось X - перпендикулярно силам, а ось Y - параллельно им), получим

Fk 0,

M 0 (F k ) 0.

Уравновешенная система параллельных сил

Если плоская система параллельных сил уравновешена, то алгебраическая сумма проекций сил на ось, параллельную силам, и алгебраическая сумма моментов сил относительно любой точки равны нулю.

2. Расположив центры моментов A и В на прямой, перпендикулярной направлениям сил (), получим

M A (F k )	0,
M B (F k )	0.

Третья форма уравнений равновесия. Если произвольная плоская система сил уравновешена, то алгебраические суммы моментов сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой, равны нулю:

Если плоская система параллельных сил уравновешена, то равны нулю алгебраические суммы моментов сил относительно двух любых точек, лежащих на прямой, не параллельной линиям действия сил.

Для плоской системы параллельных сил можно составить два уравнения равновесия, т. е. для того, чтобы задача могла быть решенной, число неизвестных сил должно быть не больше двух. Вообще говоря, все задачи на равновесие системы сил, в которых число неизвестных не превосходит числа уравнений статики для этой системы, называются статически определимыми. Если же число неизвестных сил превышает число уравнений статики, которые возможно составить для данной системы, то задача называется статически неопределимой.

4.5 Балочные системы. Разновидности опор и виды нагрузок

Объектом решения многих задач статики служат так называемые балки или балочные системы. Балкой называется конструктивная деталь какого-либо сооружения, в большинстве случаев выполняемая в виде прямого бруса с опорами в двух (или более) точках.

По способу приложения силы условно делятся на сосредоточенные и распределенные. в г Жесткая заделка (МА - момент, препятствующий повороту балки) Балочные системы

1. Сосредоточенные силы (4.11). Предполагается, что нагрузка сосредоточена в точке.

Сосредоточенные силы

2. Равномерно распределенная нагрузка (4.12).

Равномерно распределенная нагрузка

Равномерно распределенная нагрузка задается двумя параметрами - интенсивностью q, т. е. числом единиц силы (Н или кН), приходящихся на единицу длины (м), и длиной l. В задачах статики, где рассматриваются абсолютно недеформируемые (твердые) балки, равномерно распределенную нагрузку можно заменять равнодействующей сосредоточенной силой Fq .

4.6 Реальные связи. Трение скольжения и его законы

Если связь идеальная (связь без трения), то ее реакция направлена по нормали к поверхности или к кривой, ограничивающей свободу движения тела (4.13).

Идеальная связь

Если же тело опирается на поверхность реальной связи (связь с трением), то ее реакция отклоняется от нормали на некоторый угол ц (4.14).

Реальная связь

Таким образом, реакцию реальной связи можно рассматривать как геометрическую сумму составляющих - нормальной Rn и касательной R f , которая и есть известная из физики сила трения.

R f будет максимальной при ц = ц0 . Угол ц0 - максимальный

угол, на который от нормали к поверхности реальной связи отклоняется ее реакция, называется углом трения: max Rf tgц0 , Rn где R f - статическая сила трения или сила трения покоя.

Постоянное для двух соприкасающихся тел значение tgц0 f0

называется статическим коэффициентом трения (значения коэффициентов трения приводятся в различных физических или технических справочниках) или коэффициентом трения покоя.

Основные законы трения

1. Сила трения действует в касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел и при движении направлена против относительного скольжения тела.

2. Статическая сила трения пропорциональна нормальной реакции:

max R f f 0 R0 .

3. Статическая сила трения не зависит от размеров трущихся поверхностей.

4. Статический коэффициент трения ( f0 ) зависит от материала

соприкасающихся тел, физического состояния (влажности, температуры, степени загрязнения и т. д.) и качества обработки. (Законы трения относятся к числу не очень точных. Обычно наблюдаются значительные отклонения от них. Например, при увеличении продолжительности неподвижного контакта соприкасающихся тел статический коэффициент трения возрастает, так как в месте контакта постепенно происходит пластическое изменение поверхностей обоих тел и площади их соприкосновения увеличиваются. Следовательно, размеры трущихся поверхностей влияют на статический коэффициент трения, а значит и на силу трения).

После начала скольжения тела коэффициент трения несколько уменьшается и принимает значение динамического коэффициента трения f.

Следовательно, f f0 , R f f Rn , где R f - сила трения скольжения.



Глава 5. Пространственная система сил

5.1 Сложение пространственной системы сходящихся сил. Условие равновесия

Система сил, линии действия которых произвольно расположены в пространстве, называется пространственной.

Если к приложенным к точке А силам F 1 и F 2 добавить силу

F 3 , не лежащую в плоскости П действия двух первых сил, то получим простейшую (в количественном отношении) пространственную систему сходящихся сил (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Пространственная система сходящихся сил

Определим равнодействующую этих сил. Сначала построим параллелограмм АВЕС на силах F1 AB и F2 AC . Его диагональ AE F1 F2 .

Сложим АЕ с силой F3 AD и построим параллелограмм AEKD. Его диагональ AK F F1 F2 F3 .

Это векторное равенство выражает правило параллелепипеда при сложении приложенных к точке трех сил, не лежащих в одной плоскости.

Параллелограмм АВЕС образует одну из граней параллелепипеда, в котором параллелограмм AEKD является диагональным сечением, а заданные силы F1 AB , F2 AC и F3 AD - ребрами

одного из его трехгранных углов. Таким образом, равнодействующая пространственной системы трех сил, сходящихся в одной точке (), приложена в той же точке и по модулю и направлению равна диагонали параллелепипеда, ребра которого равны и параллельны заданным силам:

F F12 F22 F32 ,

т. е. модуль равнодействующей трех сходящихся сил, расположенных в пространстве перпендикулярно друг другу, равен корню квадратному из суммы квадратов модулей этих сил.

Параллелепипед сил

Равнодействующая любого числа сходящихся сил, расположенных в пространстве, равна замыкающей стороне многоугольника, стороны которого равны и параллельны заданным силам (правило силового многоугольника) ().

Аналитическое условие равновесия пространственной системы сходящихся сил выражается тремя уравнениями:

FRx 0,

FRy 0,

FRz 0.

т. е. для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех осей координат были равны нулю.

5.2 Момент силы относительно оси

Обозначив моменты силы F	относительно осей M x (F	) ,
M y ( F	) и M z (F ) , можем записать:
				M x ( F	)	Fyz	l,
								)	Fxz	l ,
				M y ( F
						)	Fxy	l,
				M z ( F

Перпенкулярные той оси, относительно которой определяется момент;

l - плечи, равные длинам перпендикуляров от точки пересечения оси с плоскостью до проекции или ее продолжения.

Знак "плюс" или "минус" ставится в зависимости от того, в какую сторону поворачивается плечо l вектором проекции, если смотреть на плоскость проекции со стороны положительного направления оси; при стремлении вектора проекции повернуть плечо против хода часовой стрелки момент условимся считать положительным, и наоборот.

Следовательно, моментом силы относительно оси называется алгебраическая (скалярная) величина, равная моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью ().

Момент силы относительно оси иллюстрирует последовательность определения момента силы F относительно оси Z. Если задана сила и выбрана (или задана) ось: а) то перпендикулярно оси выбирают плоскость (плоскость ХОY); б) силу F проецируют на эту плоскость и определяют модуль Fxy этой проекции; в) из точки O пересечения оси с плоскостью опускают перпендикуляр ОС к проекции Fxy и определяют плечо l = ОС;

г) глядя на плоскость ХОY со стороны положительного направления оси Z (т. е. в данном случае сверху), видим, что ОС поворачивается вектором F xy против хода стрелки часов, значит,

M z ( F ) Fxy l.

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости:

а) сила F пересекает ось (в этом случае l = 0) (5.5, а); б) сила F параллельна оси ( Fxy 0 ), (5.5, б);

в) сила F действует вдоль оси (l = 0 и Fxy 0 ), (5.5, в).

Случаи равенства нулю момента силы



5.3 Пространственная система произвольно расположенных сил. Условие равновесия

Ранее подробно был изложен процесс приведения сил к точке и доказано, что любая плоская система сил приводится к силе - главному вектору - и паре, момент которой называется главным моментом, причем эквивалентные данной системе сил сила и пара действуют в той же плоскости, что и заданная система. Значит, если главный момент изобразить в виде вектора, то главный вектор и главный момент плоской системы сил всегда перпендикулярны друг другу.

Рассуждая аналогично, можно последовательно привести к точке силы пространственной системы. Но теперь главный вектор есть замыкающий вектор пространственного (а не плоского) силового многоугольника; главный момент уже нельзя получить алгебраическим сложением моментов данных сил относительно точки приведения. При приведении к точке пространственной системы сил присоединенные пары действуют в различных плоскостях и их моменты целесообразно представлять в виде векторов и складывать геометрически. Поэтому полученные в результате приведения пространственной системы сил главный вектор (геометрическая сумма сил системы) и главный момент (геометрическая сумма моментов сил относительно точки приведения), вообще говоря, не перпендикулярны друг другу.

Векторные равенства Fгл 0 и Mгл 0 выражают необходимое

и достаточное условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил.

Если главный вектор равен нулю, то его проекции на три взаимно перпендикулярные оси также равны нулю. Если главный момент равен нулю, то равны нулю и три его составляющие на те же оси.

Значит, произвольная пространственная система сил статически определима лишь в том случае, когда число неизвестных не превышает шести.

Среди задач статики часто встречаются такие, в которых на тело действует пространственная система параллельных друг другу сил

Пространственная система параллельных сил

Уравнения равновесия для пространственной системы параллельных сил:

Fkz 0,

M x ( Fk ) 0,

M y ( Fk ) 0.

В пространственной системе параллельных сил неизвестных должно быть не больше трех, иначе задача становится статически неопределимой.



Глава 6. Кинематика точки

6.1 Основные понятия кинематики

Раздел механики, занимающийся изучением движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, называется кинематикой.

Движение - основная форма существования всего материального мира, покой и равновесие - частные случаи.

Всякое движение, и механическое в том числе, происходит в пространстве и во времени.

Все тела состоят из материальных точек. Чтобы получить правильное представление о движении тел, начинать изучение нужно с движения точки. Перемещение точки в пространстве выражается в метрах, а также в дольных (см, мм) или кратных (км) единицах длины, время - в секундах. В практике или жизненных ситуациях время часто выражают в минутах или часах. Отсчет времени при рассмотрении того или иного движения точки ведут от определенного, заранее обусловленного начального момента (t = 0).

Геометрическое место положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траекторией. По виду траектории движение точки делится на прямолинейное и криволинейное. Траектория точки может быть определена и задана заранее. Так, например, траектории искусственных спутников Земли и межпланетных станций вычисляют заранее, или если принять движущиеся по городу автобусы за материальные точки, то их траектории (маршруты) также известны. В подобных случаях положение точки в каждый момент времени определяется расстоянием (дуговой координатой) S, т. е. длиной участка траектории, отсчитанной от некоторой ее неподвижной точки, принятой за начало отсчета. Отсчет расстояний от начала траектории можно вести в обе стороны, поэтому отсчет в одну какую-либо сторону условно принимают за положительный, а в противоположную - за отрицательный, т. е. расстояние S - величина алгебраическая. Она может быть положительной (S > 0) или отрицательной (S < 0).

При движении точка за определенный промежуток времени проходит некоторый путь L, который измеряется вдоль траектории в направлении движения (6.1):

Если точка стала двигаться не из начала отсчета O, а из положения, находящегося на начальном расстоянии S0, то

Векторная величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью. Единицы скорости:

1 км = 103 м 0,278 м .ч 3600 с

Скорость точки в любой момент ее движения направлена по касательной к траектории (6.2): AA1 . ср t

Вектор скорости точки

Отметим, что это векторное равенство характеризует лишь положение ср , а модуль средней скорости за время t AA1 L , ср t t

где AA1 L - путь, пройденный точкой за время t .

Модуль средней скорости равен частному от деления пройденного пути на время, в течение которого этот путь пройден.

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения направления и числового значения скорости, называется ускорением (6.3):

При равномерном движении по криволинейной траектории точка тоже имеет ускорение, так как и в этом случае изменяется направление скорости (рис. 6.4):

К определению ускорения точки

За единицу ускорения принимают обычно 1 см2 .



6.2 Способы задания движения точки

Существует три способа задания движения: естественный, координатный, векторный.

Естественный способ задания движения точки. Если кроме траектории, на которой отмечено начало отсчета O, задана зависимость S f (t) между расстоянием S и временем t, это уравнение называется законом движения точки по заданной траектории

Траектория движения точки Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением S 0,5t S м, t с . Тогда в момент времени t0 0 S0 0 , т. е. точка находится в начале отсчета O; в момент времени t1 1 c точка находится на расстоянии S 0,5t 2 0,5 12 0,5 м ; в момент времени t 2 2 c точка нахо1 1 дится на расстоянии S 2 0,5t 2 0,5 22 2 м от начала отсчета O.

Координатный способ задания движения точки. Когда траектория точки заранее не известна, положение точки в пространстве определяется тремя координатами: абсциссой X, ординатой Y и аппликатой Z (6.6): X f1 (t ); Y f 2 (t ); Z f 3 (t ) или, исключив время, Ф( X , Y , Z ) 0 .

Координатный способ задания движения точки Эти уравнения выражают закон движения точки в прямоугольной системе координат (OXYZ).

В частном случае, если точка движется в плоскости, закон движения точки выражается двумя уравнениями: X f1 (t ); Y f 2 (t) или Ф( X , Y ) 0 .

Пример 6.1. Движение точки в плоской системе координат задано уравнениями X 2t и Y 3t (X и Y - см, t - с) (6.7). Тогда в момент времени t0 0 X0 0 и Y0 0 , т. е. точка находится в начале координат; в момент времени t1 1 c координаты точки X 1 2t1 1 2 см , Y1 3t1 3 1 3 см ; в момент времени t2 2 с координаты точки X 2 2t2 2 2 4 см , Y2 3t2 3 2 6 см и т. д. К примеру 6.1 Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки.

Например, исключив время t из заданных выше уравнений X 2t и Y 3t , получим уравнение траектории 3x 2 y 0 . Как видим, в этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат.

6.3 Определение скорости точки при естественном способе задания ее движения

Пусть движение точки А по заданной траектории происходит согласно уравнению S f (t) , требуется определить скорость точки в момент времени t (6.8). положение точки А1;

За время точка t проходит путь L S S1 S.

За промежуток времени t точка прошла путь L S S1 S , значение средней скорости на этом пути но оно отличается от значения скорости в момент времени t. Скорость в заданный момент t

т. е. значение скорости точки, движение которой задано естественным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени.

Направление скорости, как отмечалось выше, известно заранее.

6.4 Определение ускорения точки при естественном способе задания ее движения

Вектор a - ускорение точки в данный момент (6.9, а) - есть геометрическая сумма касательного a и нормального an ускорений:

Нормальное (а) и касательное (б) ускорения точки

Вектор a в любой момент времени направлен по касательной (6.9, б), поэтому вектор a называется касательным, или тангенциальным ускорением. Модуль касательного ускорения a d f (t) , dt равный производной от скорости в данный момент по времени или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризует быстроту изменения значения скорости.

Доказано, что вектор an в любой момент времени перпендикулярен касательной, поэтому он называется нормальным ускорением: an с .

Значит, модуль нормального ускорения пропорционален второй степени модуля скорости в данный момент, обратно пропорционален радиусу кривизны траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения направления скорости.

Модуль ускорения

a a 2 an2 ,

а направление a (угол ( a , V ) ) находим с помощью тригонометрических функций по одной из следующих формул:

движения находится	в начале отсчета расстояний, уравнение рав
номерного движения упрощается: S	t .
Если a0 и an	0 , то движение точки называется равномер
ным прямолинейным. Если a0 и an	0 , то точка движется рав
номерно по криволинейной траектории.
Равномерное движение точки по окружности
							2
При таком движении (6.10)	a	0 и	an			const , так
								с
как при равномерном движении		const ,	а при движении по
окружности с r	const . Из формулы	S	S 0	t скорость рав
номерного движения по окружности
		S	S0	.
		t

Если принять t = Т - периоду, т. е. времени одного обхода точкой окружности, то S S 0 2рr

Б. Если равноускоренное движение точки начинается из начала отсчета траектории (S0 = 0) и без начальной скорости ( 0 0 ), то предыдущие формулы приобретают более простой вид:

Примерами такого движения могут служить движение автомобиля при трогании с места или движение самолета на взлетной полосе, а также известное из физики свободное падение тел.

В. При свободном падении a a g 9,81 м с2 . В этом случае, если в формулах из пункта (Б) S заменить высотой падения Н, то формулы примут вид gt; H gt22 ; 2 H 2g ; H 2t . Предпоследняя из этих формул, представленная в виде 2gH , называется формулой Галилея.



Глава 7. Простейшие движения твердого тела

7.1 Поступательное движение

Движение твердого тела, при котором любой выбранный в теле отрезок прямой перемещается, оставаясь параллельным своему первоначальному положению, называется поступательным.

Рассмотрим две точки А и В, соединенные отрезком АВ (7.1). Очевидно, что при перемещении отрезка АВ параллельно

первоначальному положению ( AB || A1 B1 || A2 B2 ) точки A и В движутся по одинаковым траекториям, т. е. если траекторию BB1 B2 совместить с траекторией AA1 A2 , то они совпадут. Если вместе с

точкой A рассмотреть движение точки C, то при движении тела отрезок АС также остается параллельным своему первоначальному

положению	( AC || A1C1 || A2 C2 ) и	траектория	точки	C (кривая
CC1C2 ) одинакова с траекториями AA1 A2 и BB1 B2 :
A	B	C , или A1	B1	C1 , илиA 2	B 2	C 2 ;
a A	aB	aC , или a A1	aB1	aC1 , или a A 2	aB 2	aC 2 .

Рис. 7.1. К анализу поступательного движения твердого тела

Как видим, поступательное движение твердого тела полностью характеризуется движением любой его точки. Обычно поступательное движение тела задается движением его центра тяжести, иначе говоря, при поступательном движении тело можно считать материальной точкой.

Примерами поступательного движения тел могут служить какой-либо ползун 1, движущийся в прямолинейных направляющих 2 (7.2, а), или прямолинейно движущийся автомобиль (вернее, не

весь автомобиль, а его шасси с кузовом). Иногда криволинейное движение на поворотах дорог автомобилей или поездов условно принимают за поступательное. В подобных случаях говорят, что автомобиль или поезд движутся с такой-то скоростью или с таким-то ускорением.

Примерами криволинейного поступательного движения служат движение вагончика (люльки) подвесной канатной дороги (7.2, б) или движение спарника (7.2, в), соединяющего два параллельных кривошипа. В последнем случае каждая точка спарника движется по окружности.

7.2 Вращательное движение. Угловая скорость, угловое ускорение

Движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются по окружности, центры которой расположены на перпендикулярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вращательным. Неподвижная прямая, на которой лежат центры круговых траекторий точек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вращения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел можно привести движение дверей или створок окон при их открывании или закрывании.

Представим себе тело в виде цилиндра, ось AB которого лежит в подшипниках (рис. 7.3).

Рис. 7.3. К анализу вращательного движения твердого тела

Движением одной какой-либо точки однозначно определить вращательное движение тела нельзя.

Для установления закона вращательного движения тела, по которому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную полуплоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, которая вращается около оси вместе с телом, теперь угол ц, образуемый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве (см. 7.3). Угол ц называется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент времени, необходимо знать зависимость между углом поворота ц и временем t, т. е. знать закон вращательного движения тела: ц f (t ). 61

Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью.

Представим, что в некоторый момент времени t положение вращающегося тела определяется углом поворота ц, а в момент t + t - углом поворота ц + ц. Следовательно, за время t тело повернулось на угол ц, и величина ц щср t называется средней угловой скоростью

Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение

Единица углового ускорения 1 рад/с2.

Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода часовой стрелки, считать положительным, а отсчитываемый по ходу часовой стрелки - отрицательным.

Векторы щ и е - это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения, чтобы, глядя из конца вектора щ (или е ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.

Если векторы щ и е направлены в одну сторону (7.4, а), то вращательное движение тела ускоренное - угловая скорость возрастает. Если векторы щ и е направлены в противоположные стороны, то вращение тела замедленное - угловая скорость уменьшается

7.3 Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное вращательное движение. Если угловое ускорение е 0 и, следовательно, угловая скорость

щ = dц = const , (7.1)

dt то вращательное движение называется равномерным. Из выражения (7.1) после разделения переменных получим

dц = щ dt.

Если при изменении времени от 0 до t угол поворота изменялся от ц0 (начальный угол поворота) до ц, то, интегрируя уравнение в этих пределах:

ц t dц щ dt, ц 0 0

получаем уравнение равномерного вращательного движения

ц ц0 щt ,

которое в окончательном виде записывается так:

ц = ц0 щt . 63 Если ц0 0 , то ц = щt .

Таким образом, при равномерном вращательном движении угловая скорость

щ = ц ц0

или при ц 0 щ ц . t 0 t

2. Равнопеременное вращательное движение. Если угловое ускорение

е = dщ = const, (7.2)

dt то вращательное движение называется равнопеременным. Производя разделение переменных в выражении (7.2):

dщ = е dt,

и приняв, что при изменении времени от 0 до t угловая скорость изменилась от щ0 (начальная угловая скорость) до щ , проинтегрируем уравнение в этих пределах: щ t

dщ = е dt или щ щ0 еt ,

щ0 0 т. е. получим уравнение щ щ0 еt, (7.3)

выражающее значение угловой скорости в любой момент времени. Закон равнопеременного вращательного движения

dц = щdt

или, с учетом уравнения (7.3): dц щ0dt еt dt.

Полагая, что в течение времени от 0 до t угол поворота изменялся от ц0 до ц , проинтегрируем уравнение в этих пределах:

ц t t еt 2

dц = щ 0 dt +е tdt, или ц ц 0 щ t . 0 2 ц0 0 0

Уравнение равнопеременного вращательного движения в окончательном виде

еt 2 ц ц 0 щ t . (7.4)

Первую вспомогательную формулу получим, исключив из формул (7.3) и (7.4) время: (щ 2 щ 2 )

ц ц 0 . (7.5)

0 2е

Исключив из тех же формул угловое ускорение е , получим вторую вспомогательную формулу:

...