Исследование механизмов

ц ц0 (щ0 щ)t , (7.6)

где (щ 0 щ) щcp - средняя угловая скорость при равнопеременном вращательном движении.

В процессе конструирования угловое перемещение выражают не

в радианах, а просто в оборотах.

Угловая скорость, выражаемая количеством оборотов в минуту, называется частотой вращения и обозначается n. Установим зависимость между щ (с-1) и n (мин-1). Так как щ ц , то при n (мин-1) t за t = 1 мин = 60 с угол поворота ц 2рn . Следовательно: щ 2рn рn. 60 30

При переходе от угловой скорости щ (с-1) к частоте вращения n (мин-1) имеем n 30рщ .

Скорости и ускорения различных точек

вращающегося тела

Определим скорость и ускорение любой точки в любой момент времени. Для этой цели установим зависимость между угловыми величинами ц , щ и е , характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами и a , характеризующими движение точек тела.

Допустим, что тело, показанное на 7.5, вращается по закону, описываемому уравнением ц f (t ) . Требуется определить скорость и ускорение a точки А этого тела, расположенной на расстоянии с от оси вращения O. Пусть тело за некоторое время t повернулось на угол ц, а точка А, двигаясь по окружности из некоторого начального положения A0 , переместилась на расстояние S A0 A .

Так как угол ц выражается в радианах, т. е. расстояние, пройденное точкой вращающегося тела, пропорционально его углу поворота. Расстояние S и угол поворота ц - функции времени, a с - величина, постоянная для данной точки. Продифференцируем по времени обе части равенства (7.7) и получим скорость точки вращающегося тела пропорциональна его угловой скорости.

К определению скорости и ускорения точки

Из формулы (7.8) видно, что для точек, расположенных на оси вращения, с 0 и скорости этих точек также равны нулю. По мере изменения с , т. е. у точек, находящихся дальше от оси вращения,

скорости тем больше, чем больше значение с . Пропорциональная

зависимость скоростей различных точек вращающегося тела от их расстояний относительно оси вращения показана на 7.6.

Распределение скоростей при вращательном движении твердого тела

Продифференцировав обе части равенства (7.8), имеем касательное ускорение точки вращающегося тела пропорционально его угловому ускорению.

Подставив в формулу an значение скорости из формулы с (7.8), получим

a сщ2 , (7.10)

n т. е. нормальное ускорение точки вращающегося тела пропорционально второй степени его угловой скорости.

Из формулы a a 2 a2 после подстановки вместо a ф и a n ф n их значений из формул (7.9) и (7.10) получаем a с е2 щ4 . (7.11)

Направление вектора ускорения, т. е. угол (a , V ) , определяется по одной из формул sin an ; tg an , причем последнюю из них теперь можно представить в таком виде: a сщ2 щ2

tg n . (7.12)

a се е ф Из формул (7.11) и (7.12) следует, что для точек тела при его вращательном движении по заданному закону можно сначала найти

ускорение а, а затем разложить его на касательное ускорение aф и нормальное ускорение an , модуль которых aф a cos и an a sin .

Способы передачи вращательного движения

В технике часто возникает необходимость передачи вращательного движения от одной машины к другой (например, от электродвигателя к станку) или внутри какойлибо машины от одной вращающейся детали к другой. Механические устройства, предназначенные для передачи и преобразования вращательного движения, называются передачами.



Глава 8. Сложное движение

Сложное движение точки

Примером сложного движения точки может служить:

а) лодка (если ее принять за материальную точку), плывущая от одного берега реки к другому;

б) шагающий по ступенькам движущегося эскалатора метро человек, который также совершает сложное движение относительно неподвижного свода туннеля.

Таким образом, при сложном движении точка, двигаясь относительно некоторой подвижной материальной среды, которую условимся называть подвижной системой отсчета, одновременно передвигается вместе с этой системой отсчета относительно второй системы отсчета, условно принимаемой за неподвижную.

Движение некоторой точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Движение подвижной системы отсчета вместе со всеми связанными с ней точками материальной среды по отношению к неподвижной системе отсчета для точки М называется переносным. Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называется сложным, или абсолютным.

Для того чтобы видеть сложное (абсолютное) движение точки, наблюдатель сам должен быть связан с неподвижной системой отсчета. Если же наблюдатель находится в подвижной системе отсчета, то он видит лишь относительную часть сложного движения.

Представим, что точка М за некоторое время переместилась относительно подвижной системы координат O1X1Y1 из начального положения M0 в положение М1 по траектории M0М1 (траектории относительного движения точки) (8.1). За это же время t подвижная система координат O1X1Y1 вместе со всеми неизменно связанными с ней точками, а значит, и вместе с траекторией относительного движения точки М переместилась в неподвижной системе координат OXY в новое положение:

S абс S пер Sотн . К анализу сложного движения точки Разделим обе части этого равенства на время движения t: S абс Sпер Sотн t t t и получим геометрическую сумму средних скоростей: абс.ср пер.ср отн.ср , которые направлены вдоль соответствующих векторов перемещений. Если теперь перейти к пределам при t0 , то получим уравнение выражающее теорему сложения скоростей: при сложном движении точки абсолютная скорость в каждый момент времени равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. Если задан угол ( пер , отн ) , то модуль абсолютной скорости.

Углы, образуемые векторами абсолютной скорости с векабсторами пер и отн , определяются по теореме синусов.

В частном случае при пер отн при сложении этих скоростей образуется ромб (8.2, а) или равнобедренный треугольник (8.2, б) и, следовательно, абс 2 пер cos 2 отн cos .

Плоскопараллельное движение тела

Движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости,

называется плоскопараллельным (8.3).

Плоскопараллельное движение твердого тела

Изучая плоскопараллельное движение тела М, достаточно рассматривать движение его плоского сечения q плоскости ХОY

К анализу плоскопараллельного движения твердого тела

Выберем в сечении q произвольную точку A, которую назовем полюсом. С полюсом А свяжем некоторую прямую KL, а в самом сечении вдоль прямой KL проведем отрезок AB, перемещая плоское сечение из положения q в положение q1. Можно сначала передвинуть его вместе с полюсом А поступательно, а затем повернуть на угол ц.

Плоскопараллельное движение тела - движение сложное и состоит из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса.

Закон плоскопараллельного движения можно задать тремя уравнениями:

x f1 t ; y f 2 t ; ц f 3 t .

Дифференцируя заданные уравнения плоскопараллельного движения, можно в каждый момент времени определить скорость и A ускорение aA полюса, а также угловую скорость щ и угловое ускорение е тела.

Пример 8.1. Пусть движение катящегося колеса диаметром d (8.5) задано уравнениями

x0 5t ,

d y0 2 ,

ц 20t .

где x0 и y0 - м, ц - рад, t - с.

Продифференцировав эти уравнения, находим, что скорость полюса O dx0 5 м , угловая скорость колеса щ dц 20 рад .

0 dt с dt с

Ускорение полюса и угловое ускорение колеса в данном случае равны нулю. Зная скорость полюса и угловую скорость тела, можно затем определить скорость любой его точки.

К примеру 8.1

Определение скорости любой точки тела при плоскопараллельном движении Пусть дано плоское сечение q, угловая скорость и скорость полюса которого в некоторый момент времени соответственно щ и 0 . Требуется определить скорость какой-либо точки А (8.6).

Расчленим плоскопараллельное движение на составные части - поступательную и вращательную. При поступательном движении вместе с полюсом (переносное движение) все точки сечения, и точка А в том числе, имеют переносную скорость 0 , равную скорости полюса. Одновременно с поступательным сечение q совершает вращательное движение с угловой скоростью щ (относительное движение): AO щ AO , где AO - относительная скорость точки A ( AO AO ).

К определению скорости тела при плоскопараллельном движении

Следовательно, в каждый данный момент времени A O AO , т. е. абсолютная скорость точки тела при плоскопараллельном движении равна геометрической сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки вокруг полюса.

Модуль абсолютной скорости может быть определен по формуле 2 2 2 перотн cos, абс а направление - с помощью теоремы синусов. Если же направление абсолютной скорости известно, то ее модуль проще определить на основании следующей теоремы: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

Допустим, что известны скорости и точек A и В какого A B либо тела (. Приняв за полюс точку A, получим Векторы скоростей точек плоской фигуры

Относительная скорость перпендикулярна АВ. Следовательно, AA1 BB1 или A cos б B cosв . Теорема доказана.



Глава 9. Движение несвободной материальной точки

9.1 Основные понятия и аксиомы динамики

Динамика изучает движение материальных тел под действием сил. В основе динамики лежат следующие аксиомы.

Аксиома 1 (принцип инерции). Всякая изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Аксиома 2 (основной закон динамики). Ускорение материальной точки пропорционально действующей силе F и направлено по той прямой, по которой действует эта сила (9.1).

К основному закону динамики. Математически вторая аксиома записывается векторным равенством. где m - коэффициент пропорциональности, выражающий меру инертности материальной точки и называемый ее массой.

В Международной системе единиц (СИ) масса выражается в килограммах.

Зависимость между числовыми значениями (модулями) сил и ускорения выражается равенством F ma .

На все материальные тела вблизи Земли действует сила тяжести G. При свободном падении на Землю телб любой массы приобретают одно и то же ускорение g, которое называется ускорением свободного падения. Для свободно падающего тела из предыдущего уравнения следует зависимость: G ma .

Таким образом, значение силы тяжести тела в ньютонах равно произведению его массы на ускорение свободного падения.

Аксиома 3 (закон независимости действия сил). Если к материальной точке приложена система сил, то каждая из сил системы сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Таким образом, при одновременном действии на материальную точку массой m, например, четырех сил, ускорение а, полученное точкой, можно определить геометрически сложив ускорения

a1 , a2 , a3 и a4 , возникающие под действием каждой силы в отдельности (). В то же время ускорение a пропорционально равнодействующей F тех же сил: F ma, где F Fk и a ak .

К закону независимости действия сил

Аксиома 4. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными в противоположные стороны.

9.2 Свободная и несвободная точки

Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-либо связями, называется свободной. Примером свободной материальной точки может служить искусственный спутник Земли в околоземном пространстве или летящий самолет. Их перемещение в пространстве ничем не ограничено, поэтому летчик на спортивном самолете способен проделывать различные сложные фигуры высшего пилотажа.

Задачи динамики сводятся к двум основным:

1) задается закон движения точки, требуется определить действующую на нее силу или систему сил (первая задача динамики);

2) задается система сил, действующая на точку, требуется определить закон движения (вторая задача динамики).

Обе задачи динамики решаются с помощью основного закона

динамики, записанного в форме F ma или F ma .

Материальная точка, свобода перемещения которой ограничена наложенными связями, называется несвободной. Примером несвободной материальной точки может служить движущийся по рельсам трамвай, если пренебречь его формой и размерами. Для несвободной материальной точки все внешние силы необходимо делить на две категории: активные (движущие) силы и реакции связи (пассивные силы). В связи с этим первая задача динамики несвободной точки сводится к определению реакций связей, если заданы законы движения точки и действующие на нее активные силы. Вторая задача динамики сводится к тому, чтобы, зная действующие на точку активные силы, определить, во-первых, закон движения точки и, во-вторых, реакции связей.

Если несвободную материальную точку освободить от связей и заменить связи их реакциями, то движение точки можно рассматривать как свободное, а основному закону динамики придать такой вид:

Fk Rk ma , где Fk - активные силы; Rk - реакции связей; m - масса точки; a - ускорение точки, полученное в результате действия внешних сил (активных и пассивных).

9.3 Силы инерции

Сила, численно равная произведению массы материальной точки на приобретенное ею ускорение и направленная в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции (9.3):

Сила инерции

Сила инерции в действительности не приложена к получившей ускорение материальной точке, а действует на точку или тело, которое сообщает ускорение этой точке.

Поясним это несколькими примерами.

Тяжелый груз, масса которого m, висит на непрочной, но способной выдержать натяжение R = G нити (9.4, а). Если теперь резко потянуть нить вертикально вверх, то она может оборваться (9.4, б). На нить начинает действовать дополнительная сила

инерции Fин , численно равная ma , противодействующая выходу

груза из состояния инерции (9.4, в). Нить может оборваться и в том случае, если толкнуть в горизонтальном направлении подвешенный груз, заставив его раскачиваться на нити (9.4, г).

При криволинейном движении материальной точки (9.5) у нее возникает ускорение a , которое обычно заменяют двумя составляющими ускорениями: an (нормальное ускорение) и aф (касательное ускорение). Поэтому при криволинейном движении материальной точки возникают две составляющие силы инерции F ин :

нормальная (иначе центробежная) сила инерции Fин.n man и касательная (иначе тангенциальная) сила инерции F ин.ф maф ; an ; с m 2 mщ 2 с. F или с щ; F

К анализу дейсвия сил инерции

Векторы ускорений и сил инерции

9.4 Принцип Даламбера

Силы инерции широко используются при расчетах и решении технических задач, причем использование сил инерции позволяет решения многих задач, в которых рассматривается движение несвободной материальной точки, свести к знакомым нам уравнениям статики: maф F ин ;

Fk Rk ma 0; Fk Rk Fин 0.

Условно прикладывая силу инерции Fин к движущейся материальной точке, можем считать, что активные силы Fk , реакции связей Rk и сила инерции Fин образуют уравновешенную систему

(принцип Даламбера).

Решение задач динамики с помощью принципа Даламбера иногда называют методом кинетостатики.



Глава 10. Работа и мощность

10.1 Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении

Если при действии постоянной силы F на точку М (10.1) ее

перемещение M 0 M 1 S , то скалярная мера действия силы называется работой:

W FS cos б , (10.1)

где б - угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

В системе СИ работа выражается в джоулях: 1 Дж = 1 H•м, килоджоулях: 1 кДж = 103 Дж, или в мегаджоулях: 1 МДж = 106 Дж. Из формулы (10.1) видно, что работа - величина алгебраическая.

1. При изменении угла б в пределах 0 б 90 значение cos б 0 . Поэтому если угол б - острый, то работа силы F положительная. В частном случае, когда направление действия силы совпадает с направлением перемещений ( б = 0), cos б cos 0 1 и W F S , W 0 .

2. При изменении угла б в пределах 90°< б <180° значение

cos б 0 . Следовательно, если угол б - тупой, то работа силы F отрицательная. В частном случае при б = 180°

cos б cos 180 1 и W F S , W 0 .

3. Заметим, что при б = 90° значение cos б cos 90 0 и

W 0 , т. е. работа силы, направленной перпендикулярно перемещению точки, равна нулю.

Рассмотренные выше три частных случая значений работы силы при б = 0°, б = 180°, б = 90° аналогичны значениям работы силы тяжести. Работа силы тяжести не зависит от траектории движения точки и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. Если точка М (10.2) перемещается из положения M1 в положение М2, то при любой траектории точки работа силы тяжести: W G h G h1 h2 , где h1 - начальная высота точки над заданным уровнем на Земле; h2 - конечная высота над тем же уровнем.

Работа силы тяжести:

а: h1 h2 б: h1 h2 в: h1 h2

h h1 h2 0 h h1 h2 0 h h h 0

1 2

W 0 W 0 W 0

G движущая сила G сила сопротивления

10.2 Работа равнодействующей силы

Если на точку действует одновременно несколько сил, то алгебраическая сумма их работ равна работе равнодействующей силы.

Допустим, что перемещение точки M 0 M 1 S произошло при действии на нее трех сил: F1 , F2 и F3 (10.3). Тогда, обозначив работу каждой из сил соответственно W1, W2 и W3, можем записать:

W1 F1 cos б1 S , W2 F2 cos б2 S , W3 F3 cos б3S.

Сложив правые и левые части этих равенств, получим

W1 W2 W3 F1 cos б1 F2 cos б2 F3 cos б3 S.

Известно, что сумма проекций сил на некоторую ось равна проекции равнодействующей этих сил на ту же ось:

F1 cos б1 F2 cos б2 F3 cos б3 F cos б.

Таким образом, W1 W2 W3 F cos б. Работа равнодействующей силы Так как F cos б S W и есть работа равнодействующей силы F F1 F2 F3 , то W1 W2 W3 W или в общем случае для любого числа сил: Wk W .

При равномерном прямолинейном движении точки приложенная к ней система сил уравновешена (первая аксиома динамики), т. е. F 0 , и тогда

Wk 0 (алгебраическая сумма работ уравновешенной системы сил, приложенных к точке, равна нулю).

10.3 Работа переменной силы на криволинейном пути

Чтобы определить работу непостоянной силы F при перемещении точки М по криволинейной траектории M 0 M1 , надо дугу M 0 M1 траектории разделить на множество частей dS , настолько малых, что каждую из них можно считать отрезком прямой (10.4, а). Тогда работа силы F на перемещении dS , так называемая элементарная работа: dW F cos б dS.

Работа переменной силы при перемещении по криволинейной траектории

Просуммировав все элементарные работы переменной силы F , получим ее работу на участке траектории от M0 до M1: M W F cos б dS. (10.2) M0 Разложив силу F на составляющие Fn и Ft , направленные соответственно по нормали и касательной, увидим, что работа нормальной составляющей равняется нулю и, следовательно, в формуле (10.2) произведение F cos б выражает модуль касательной составляющей силы F , т. е. Ft F cos б , и этой формуле можно придать вид M W Ft dS. M0

Интегралы могут быть определены лишь в том случае, если известен закон движения точки.

10.4 Мощность

Скалярная величина P Wt , характеризующая быстроту совершения работы, называется средней мощностью силы. В СИ мощность выражается в ваттах: Дж кг м2 /с2 кг м2 1 Вт = 1 = 1 = 1 ; с с с3 P FS cos б F cos б . t

Если в течение некоторого времени t мощность машины остается постоянной или меняется несущественно, то произведенная работа выражается формулой

W P t , отсюда и появляется единица времени 1 кВт · ч = 103 Вт · 3600 c = = 3,6 · 106.

10.5 Механический коэффициент полезного действия

В технике работа сил обычно связана с преодолением различных сопротивлений, для выполнения этой работы создается множество разнообразных машин и механизмов.

Силы сопротивления Fc , которые преодолевает любая машина (механизм):

- полезное сопротивление Fпс, для преодоления которого машины или механизмы и предназначены;

- вредное сопротивление Fвс, которое приходится вынужденно преодолевать попутно с полезным.

Тогда вся работа, которую совершает машина или механизм: W Wпс Wвс , где Wпс - работа по преодолении полезного сопротивления, отсюда Wпс W Wвс . Отношение полезной работы ко всей совершенной работе называется механическим коэффициентом полезного действия: з Wпс 100 %. W.

В технике распространены случаи работы машин при их последовательном соединении друг с другом.

Допустим, имеется совокупность трех механизмов с КПД з1 , з2 и з3 (10.5). Если работа, совершенная механизмами, W и их полезная работа Wпс , то КПД всех точек механизмов з Wпс ; W зобщ з1 з2 з3. W Wпс з1 з2 з3

Последовательное соединение машин

Вывод: чем длиннее "цепочка" совместно работающих механизмов, тем меньше её общий КПД, причем общий КПД всегда меньше самого низкого из числа перемножаемых КПД.



10.6 Работа сил на наклонной плоскости

Пусть требуется поднять на высоту h груз, сила тяжести которого G. h 2 1 3 G G G G G

Работа силы при поднятии груза

Предположим, что подъем осуществляется тремя способами:

- вертикально;

- по наклонной плоскости с углом подъема б;

- по менее крутой плоскости с углом подъема в (в < б).

Если считать, что груз перемещается равномерно, то работа при подъеме груза во всех трех случаях совершается одинаковая: W G h.

Но в первом случае приходится преодолевать силу тяжести G, во втором - Gб , в третьем - Gв . Так как в < б, то sin б sin в , значит, G G sin б G sin в.

Наклонная плоскость как одно из средств получения выигрыша в силе при перемещении тяжести широко используется в технике.

Если сила F направлена параллельно наклонной плоскости (10.7), то при перемещении вверх по наклонной плоскости тела на него кроме силы F действуют еще три силы:

- сила тяжести G, нормальная реакция наклонной плоскости Rn, значение которой

Rn G cos б; - сила трения Rf, значение которой R f f Rn f G cos б. F S F

Rn M R f h G

Работа силы на наклонной плоскости

При равномерном подъеме тела М четыре силы образуют уравновешенную систему. Алгебраическая сумма работ этих сил равна нулю:

WF WG WRf WRn 0;

WF WG WRf WRn ,

где WG - работа силы тяжести; WRf - работа силы трения;

WRn - работа нормальной реакции.

WG G cos(б 90 ) SG S sin б;

WRf R f S cos180 R f S f G S cos б;

WRn Rn S cos 90 0;

WF G S sin б f S G cos б G S (sin б f cos б).

Если же требуется определить значение силы F, то с учетом того, что WF F S , получаем F WF G S (sin б f cos б) G (sin б f cos б). S S

Полезную часть работы сил F составляет работа по подъему тела на высоту h S sin б и тогда Wп G h G S sin б.

Таким образом, КПД наклонной плоскости при подъеме груза силой направленной параллельно наклонной плоскости: з WG G S sin б sin б ; W G S sin б f cos б sin б f cos б F tgб з . tgб f

Вывод: КПД наклонной плоскости зависит только от угла ее наклона и коэффициента трения при перемещении груза по плоскости.

10.7 Работа и мощность при вращательном движении тел

Допустим, что к рукоятке C колеса, насаженного на ось OZ, приложена сила F , постоянно направленная перпендикулярно CO r

(10.8). При вращении колеса точка приложения силы F перемещается по окружности и элементарная работа этой силы dW F dS . Вектор силы при вращательном движении тела Но так как dS rdц , то dW F r dц , где произведение F r M z называется вращающим моментом. Следовательно, при вращении тела элементарная работа dW M z dц. При повороте колеса на угол ц ц2 ц1 работа ц W M z dц. ц0

Если при этом вращающий момент M z const , то W M z ц (работа при вращении тела равна произведению вращающего момента на угол поворота).

Разделив обе части этого равенства на t t 2 t1 (время действия вращающего момента), получим его мощность: P W M ц , t z t или, так как ц щ: t P M z щ (10.3)

(мощность при вращении тела равна произведению вращающего момента на угловую скорость).

Из формулы (10.3) вытекает важное следствие: P M z щ (при постоянной мощности вращающий момент обратно пропорционален угловой скорости).

10.8 Трение качения. Работа при качении тел

Трением качения называется сопротивление, возникающее при перекатывании одного тела по поверхности другого. Тело 1 и каток 2 (10.9) абсолютно недеформируемые. Малая сила F вместе с силой трения R f , приложенной к катку в точке K, образуют пару (F ,

R f ), под действием которой каток начинает катиться (10.9, а).

Работа сил при качении тела

На самом деле абсолютно недеформируемых тел нет (10.9, б). При перекатывании катка силой F деформация смещается вперед по направлению качения и место приложения полной реакции R опорной поверхности также смещается несколько вперед на длину fk относительно теоретической точки касания K и отклоняется от нормали Bn на небольшой угол (10.9, в).

При качении катка на него действуют четыре силы, образующие две пары сил: движущую пару ( F , R f ) с моментом F r и пару

сопротивления качению ( G , Rn ) с моментом Rn fk . Момент пары сопротивления иначе называют моментом трения качения, а величину fk - коэффициентом трения качения. Значение fk зависит от материала тел и выражается обычно в сантиметрах. Например, для трения мягкой стали по стали fk = 0,005 см, а для трения закаленной стали по стали (подшипники качения) fk = 0,001 см. Качение катка 2 начинается при условии F r Rn fk . Для перекатывания катка сила F Rn fk . r



Глава 11. Общие теоремы динамики

11.1 Импульс силы. Количество движения. Кинетическая энергия

Любое взаимодействие тел, приводящее к какому-либо изменению движения, длится некоторое время. Векторная мера действия силы F dt , равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия, называется элементарным импульсом силы. Направление вектора импульса совпадает с направлением вектора силы. Единица импульса в СИ - Н • с: 1 Н с 1 кг м с 1 кг м . с2 с Векторная мера механического движения точки m , равная произведению массы точки на ее скорость в данный момент времени, называется количеством движения. Направление вектора количества движения совпадает с направлением вектора скорости.

Единица количества движения в СИ - кг м . Как видим, единицы с импульса силы и количества движения одинаковы.

Скалярная мера механического движения точки m 2 , равная 2 половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией. Единица кинетической энергии - джоуль (Дж): 1 Дж 1 Н м 1 кг м м 1 кг м2 . с2 с2

11.2 Теорема об изменении количества движения точки

Пусть на точку массой m действует система постоянных сил, равнодействующая которых F согласно основному закону динамики (изменение количества движения точки равно импульсу всех сил). Спроецировав на оси координат обе части векторного равенства (11.1), в общем случае получим: а) систему трех скалярных уравнений:

F x t m

F y t m

F z t m

2 x

2 y

2 z

m 1x ; m 1 y ; m 1z ,

где F x Fkx ; F y Fky ; F z Fkz ;

б) если силы, действующие на точку, лежат в одной плоскости, то получим два скалярных уравнения;

в) если силы действуют вдоль одной прямой, то, спроецировав уравнение (11.1) на эту прямую, получим одно скалярное уравнение:

F t m 2 m 1 .

11.3 Теорема об изменении кинетической энергии точки

Пусть на точку действует система постоянных сил, равнодействующая которых F . Допустим, что силы действуют вдоль одной прямой. Тогда F ma ; F S ma S . На прямолинейном пути a 2 1 и S t 2 1 t ; t ср 2 1 m t 2 2 m 2 2 1 2 1 F S . t 2 2 Отсюда с учетом того, что F S W Wk , Wk m 22 m 12 , 2 2 т. е. изменение кинетической энергии точки равно сумме работ действующих сил.

11.4 Понятие о механической системе

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой (11.1). Например, механическую систему образуют Земля и Луна или спортивный самолет и буксируемый им планер.

Любое материальное тело рассматривается в механике как механическая система, образуемая совокупностью материальных точек. Абсолютно твердое тело носит название неизменяемой механической системы, так как расстояние между материальными точками остается неизменным. Изменяемые системы - любые машины или механизмы.

К понятию о механической системе

Если рассматривать какую-либо механическую систему, то силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в эту систему, называются внешними (Fe, Re), а силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел этой же системы, называются внутренними (Fi).

Главный вектор всех внутренних сил механической системы равен нулю, причем это условие соблюдается, только если рассматриваемая механическая система неизменяемая.

Движение механической системы зависит:

1) от действующих сил;

2) суммарной массы системы m mk , где m - масса механической системы; mk - массы ее отдельных точек;

3) положения центра масс системы.

Движение центра масс определяется (только при поступательном движении) уравнением Fс maс , где Fс - результирующая всех внешних сил, приложенных к точкам системы; m - масса системы; aс - ускорение центра масс системы.

Как видим, это уравнение аналогично основному уравнению динамики точки. Смысл его состоит в том, что центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и приложены все внешние силы.

11.5 Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело (11.2) под действием внешних сил Fek (эти силы на не показаны) вращается около оси OZ с угловым ускорением е .

К определению работы сил, действующих на вращающееся тело

Алгебраическая сумма моментов всех сил (активных сил и сил сопротивления) относительно оси OZ M ez M z Fek называется вращающим моментом.

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разобьем его на множество материальных точек массами mk . Каждая из этих точек движется по окружности радиуса сk , с ускорением ak , которое разложим на касательное akф и нормальное akn ускорение.

Приложим к каждой материальной точке элементарные силы инерции: касательную F ин.kt makt и нормальную F ин.kn makn . Согласно принципу Даламбера, активные силы, силы реакции связей и силы инерции образуют уравновешенную систему. Поэтому алгебраическая сумма моментов всех этих сил относительно оси OZ должна быть равна нулю, т. е. M ez Fин.kt с kt 0 (моменты сил Fин.kt относительно оси OZ равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось).

У любой точки вращающегося тела числовое значение касательного ускорения akt есk , поэтому значение

Fин.kt makt mk есk , где е - угловое ускорение тела. Тогда M ez е m с 2 . k k Величина m с2 I z , равная сумме произведений масс всех k k точек тела на квадраты их расстояний от оси вращения, называется моментом инерции тела (системы) относительно этой оси. Основное уравнение динамики вращающегося тела: M ez е Iz .

В СИ момент инерции тела выражается в кг · м2.

11.6 Кинетическая энергия тела. Кинетический момент

Кинетическая энергия тела складывается из кинетических энергий его отдельных точек.

1. При поступательном движении тела (11.3) скорости всех его точек равны между собой и равны c - скорости центра масс

тела. Поэтому легко понять, что кинетическая энергия тела при поступательном движении E m 2 , c к.п 2 где m - масса тела;

К определению кинетической энергии при поступательном движении тела

2. При вращательном движении тела с некоторой угловой скоростью щ все его точки движутся по окружностям различных радиусов сk и имеют скорости k щ сk . Определив кинетическую энергию каждой точки m 2 и сложив ее по всему объему k 2 тела, получим 2 Eк.вр mk k 2 1 m щ 2 с2 щ2 m с 2 . 2 kk 2 k k

К определению кинетической энергии при вращательном движении тела

А так как m с2 I Z - момент инерции тела относительно k k оси Z, для кинетической энергии находим такое выражение: Eк.вр I z щ2 . 2

Кинетическая энергия тела при сложном его движении (в частности, при плоскопараллельном) складывается из кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр масс, т. е. m 2 I щ2 Eк Eк.п Eк.вр c z . 2 2 Кроме кинетической энергии мерой вращательного движения

тела является величина Iz щ , называемая кинетическим моментом вращающегося тела. Кинетический момент в СИ выражается в кг м2 .



Раздел 2. Основы построения и исследования механизмов

Глава 12. Структура механизмов

12.1 Основные понятия

Механизмом называется система тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в требуемые движения других твердых тел.

Машиной называется устройство, выполняющее механические движения для преобразования энергии, материалов и информации с целью замены или облегчения физического и умственного труда человека. В зависимости от основного назначения различают энергетические, технологические, транспортные и информационные машины. Энергетические машины предназначены для преобразования энергии. К ним относятся, например, электродвигатели, двигатели внутреннего сгорания, турбины, электрогенераторы. Технологические машины предназначены для преобразования обрабатываемого предмета, которое состоит в изменении его размеров, форм, свойств или состояния. Транспортные машины предназначены для перемещения людей и грузов. Информационные машины предназначены для получения и преобразования информации.

В состав машины обычно входят различные механизмы.

Всякий механизм состоит из отдельных твердых тел, называемых деталями. Деталь является такой частью машины, которую изготовляют без сборочных операций. Детали могут быть простыми (гайка, шпонка и т. п.) и сложными (коленчатый вал, корпус редуктора, станина станка и т. п.). Детали частично или полностью объединяют в узлы. Узел представляет собой законченную сборочную единицу, состоящую из ряда деталей, имеющих общее функциональное назначение (подшипник, муфта, редуктор и т. п.). Сложные узлы могут включать в себя несколько узлов (подузлов), например, в состав редуктора входят подшипники, валы с насаженными на них зубчатыми колесами и т. п. Одно или несколько жестко соединенных твердых тел, входящих в состав механизма, называются звеном.

В каждом механизме имеется стойка, т. е. звено неподвижное или принимаемое за неподвижное. Из подвижных звеньев выделяют входные и выходные. Входным называется звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения других звеньев. Выходным звеном называется звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм.

Кинематической парой называется соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение.

12.2 Классификация кинематических пар. Кинематические цепи

По числу связей, наложенных кинематической парой на относительное движение ее звеньев, все кинематические пары делятся на пять классов. Свободное тело (звено) в пространстве обладает шестью степенями свободы.

Поверхности, линии и точки, по которым соприкасаются звенья, называются элементами кинематической пары. Различают низшие (1-5) пары, элементами которых являются поверхности, и высшие (6, 7) пары, элементами которых могут быть только линии или точки.

Кинематические цепи

Кинематической цепью называется система звеньев, связанных между собой кинематическими парами. Замкнутая плоская цепь. Незамкнутая пространственная цепь

12.3 Структурный синтез и анализ механизмов

Структурный синтез механизма заключается в проектировании его структурной схемы, под которой понимается схема механизма, указывающая стойку, подвижные звенья, виды кинематических пар и их взаимное расположение.

Метод структурного синтеза механизмов, предложенный русским ученым Л.В. Ассуром в 1914 г., состоит в следующем: механизм может быть образован путем наслоения структурных групп к одному или нескольким начальным звеньям и стойке.

Структурной группой (группой Ассура) называется кинематическая цепь, число степеней свободы которой равно нулю после присоединения ее внешними кинематическими парами к стойке и которая не распадается на более простые цепи, удовлетворяющие этому условию.

Принцип наслоения иллюстрируется на примере образования 6-звенного рычажного механизма (12.3).

Для структурных групп плоских механизмов с низшими парами

W - число степеней свободы; n - число подвижных звеньев; Рн - число низших пар.

Этому соотношению удовлетворяют следующие сочетания

В роли одноподвижных пар выступают низшие пары. Простейшей является структурная группа, у которой n = 2 и Pн = 3. Она называется структурной группой второго класса.

Принцип наслоения структур, ц1 - угол поворота кривошипа (обобщенная координата)

Порядок структурной группы определяется числом элементов ее внешних кинематических пар, которыми она может присоединяться к механизму. Все группы второго класса имеют второй порядок.

Структурные группы, у которых n = 4 и Рн = 6, могут быть третьего или четвертого класса (12.4).

Структурные группы: а - третьего класса; б - четвертого класса

Класс структурной группы в общем случае определяется числом кинематических пар в замкнутом контуре, образованном внутренними кинематическими парами.

Класс механизма определяется высшим классом структурной группы, входящей в его состав.

Порядок образования механизма записывается в виде формулы его строения. Для рассмотренного примера (см. 12.3): (0,1) > > II(2,3) > II(4,5), механизм второго класса. Римскими цифрами указывается класс структурных групп, а арабскими - номера звеньев, из которых они образованы. Здесь обе структурные группы относятся ко второму классу, второму порядку, первому виду.

12.4 Конструктивно-функциональная классификация механизмов

Согласно этой классификации механизмы можно разделить на пять основных видов: рычажные, кулачковые, фрикционные, зубчатые механизмы и механизмы с гибкими звеньями.

К рычажным механизмам относятся механизмы, звенья которых образуют только вращательные, поступательные, цилиндрические и сферические пары. На 12.5 показаны схемы наиболее распространенных рычажных механизмов: кривошипно-ползунного (12.5, а), шарнирного четырехзвенника (12.5, б), кулисного.

Кривошип - вращающееся звено, которое может совершать полный оборот вокруг неподвижной оси (звено 1 на всех трех схемах 12.5). Шатун - звено, которое образует кинематические пары только с подвижными звеньями (звено 2 на 12.5, а, б). Ползун звено, образующее поступательную пару со стойкой (звено 3 на 12.5, а и звено 2 на 12.5, в). Коромысло - вращающееся звено, которое может совершать только неполный оборот вокруг неподвижной оси (звено 3 на 12.5, б). Кулиса - звено, вращающееся вокруг неподвижной оси и образующее с другим подвижным звеном поступательную пару (звено 3 на 12.5, в).

Рычажные механизмы

К кулачковым механизмам относятся механизмы, в состав которых входит кулачок - звено, имеющее элемент высшей пары, выполненный в виде поверхности переменной кривизны. Кулачковые механизмы (12.6) предназначены для преобразования вращательного или возвратно-поступательного движения входного эвена, которым, как правило, является кулачок 1, в возвратно-поступательное или возвратно-вращательное движение выходного звенатолкателя 2.

Кулачковые механизмы

Основное достоинство кулачковых механизмов заключается в возможности получения практически любого закона движения толкателя за счет соответствующего выбора профиля кулачка.

Во фрикционных механизмах (12.7) движение от входного звена к выходному передается за счет сил трения, возникающих в местах контакта звеньев (высшая пара).

Фрикционный механизм

К зубчатым механизмам относятся механизмы, в состав которых входят зубчатые звенья.

Механизмы с гибкими связями (12.8) применяют для передачи вращательного движения между валами при больших межосевых расстояниях.

12.5 Передаточное отношение

В механизмах, предназначенных для передачи вращательного движения (фрикционных, зубчатых и др.), основным кинематическим параметром является передаточное отношение, представляющее собой отношение угловых скоростей звеньев: i щ1 , i щ2 . 12 щ2 21 щ1

Очевидно, что 1 i21 i12 .

При параллельных осях вращения звеньев передаточное отношение считается положительным, если направления угловых скоростей звеньев одинаковые, и отрицательным, если эти направления противоположные (). Передаточное отношение может быть выражено через параметры механизма: i щ1 r2 z2 , 12 щ2 r1 z1 где r1 и r2 - радиусы фрикционных катков; z1 и z2 - числа зубьев колес в случае зубчатой передачи.



Глава 13. Основы расчета и проектирования механизмов

13.1 Общие сведения о передачах. Основные виды зубчатых передач

Передачами в машинах называются устройства, предназначенные для передачи энергии механического движения на расстояние и преобразования его параметров. Необходимость применения обусловлена несовпадением требуемых скоростей движения исполнительных органов с оптимальными скоростями двигателей; преобразованием видов движения (вращательного в поступательное), регулированием скорости, распределением потоков мощности между различными исполнительными органами машины, реверсированием движения.

По принципу работы механические передачи делятся на передачи с непосредственным соприкосновением звеньев (фрикционные, зубчатые, червячные, волновые, винтгайка, шарнирно-рычажные) и передачи с гибкой связью (ременные, канатные, цепные).

Передачи выполняются с постоянным или переменным (регулируемым) передаточным отношением. В последнем случае регулирование может быть ступенчатое или бесступенчатое.

Наряду с механическими широко применяются гидравлические, пневматические и электрические передачи.

Зубчатая передача - это трехзвенный механизм, в котором два подвижных звена являются зубчатыми колесами, образующими между собой высшую пару. Достоинства: высокая надежность работы в широком диапазоне скоростей и нагрузок, малые габариты, большая долговечность, высокий КПД, сравнительно малые нагрузки на валы и подшипники, постоянство передаточного отношения, простота обслуживания. Недостатки: высокие требования к точности изготовления и монтажа, повышенный шум при больших скоростях.

В зависимости от расположения осей вращения колес различают следующие виды зубчатых передач: с параллельными осями (цилиндрические), с пересекающимися осями (конические), со скрещивающимися осями.

Цилиндрические передачи: с внешним (13.1, а) и внутренним зацеплением (13.1, б); частным случаем является реечная передача (13.1, в), осуществляющая преобразование вращательного движения в поступательное.

Цилиндрические зубчатые передачи

Цилиндрические колеса могут быть с прямыми (13.2, а), косыми или винтовыми (13.2, б) и шевронными зубьями (13.2, в). Цилиндрические колеса Конические передачи чаще всего выполняются ортогональными, у которых межосевой угол ? = 90° (13.3). Конические колеса могут быть с прямыми, тангенциальными и криволинейными (чаще всего круговыми) зубьями (13.4).

Коническая передача. Конические колеса

Червячная передача (13.5) состоит из червяка 1, представляющего собой однозаходный или многозаходный винт, и червячного колеса 2. Зубчатое колесо передачи с меньшим числом зубьев называется шестерней (z1), а с большим числом зубьев - колесом (z2). i z2 , i щ1 . 12 z1 12 щ2 Червячная передача По соотношению угловых скоростей ведущего и ведомого звеньев зубчатые передачи делятся на понижающие (редукторы) и повышающие (мультипликаторы). У понижающих передач ведомое звено вращается с меньшей скоростью, чем ведущее ( щ2 щ1 ), a у повышающих - наоборот ( щ2 щ1 ).

13.2 Общие сведения о методах изготовления зубчатых колес

Существуют два принципиально различных метода изготовления зубчатых колес - метод копирования и метод обкатки (огибания).

При методе копирования профиль инструмента точно совпадает с профилем впадины изготовляемого колеса. В качестве инструмента используются модульная дисковая (13.6) или пальцевая фреза, фасонный резец и др. После обработки каждой впадины заготовка поворачивается на один угловой шаг: ф 360z .

Процесс повторяется до тех пор, пока не будут нарезаны все зубья (ф - центральный угол). Так как форма эвольвенты зависит от радиуса основной окружности, то колёса одного модуля, но с разным числом зубьев должны нарезаться фрезами с различной кривизной эвольвенты. Но бесконечное количество фрез иметь невозможно, поэтому промышленностью изготавливаются комплекты, состоящие из восьми фрез. Это приводит к неточности изготовления колес. Вторым существенным недостатком метода копирования является низкая производительность труда.

Нарезание зубьев методом копирования

При методе обкатки инструмент и заготовка имеют такое же относительное движение, как два зубчатых колеса в зацеплении. Поэтому инструмент представляет собой колесо с зубьями эвольвентного профиля, заточенными для осуществления резания. Такое инструментальное колесо называется долбяком (13.7).

Нарезание зубьев методом обкатки

Кроме долбяка используются зуборезная рейка с прямолинейными профилями зубьев или червячная фреза, которая в нормальном сечении витков имеет профиль рейки. Преимущества метода обкатки: высокая производительность, большая точность, возможность нарезания колес одного модуля с различными числами зубьев одним и тем же инструментом.



13.3 Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения

Для получения больших передаточных отношений применяются многоступенчатые передачи, составленные из нескольких простых зубчатых передач. Рассмотрим трехступенчатую передачу (13.8).

Трехступенчатая передача Передаточное отношение всего механизма i щ1 , (13.1) 14 щ4 а передаточное отношение отдельных ступеней - i щ1 , i щ2 щ2 , i щ3 щ3 . 12 2 3 щ3 3 4 щ4 щ4 щ2 щ3

Перемножим эти отношения: i i i щ1 щ2 щ3 щ1 . (13.2)12 2 3 3 4 щ2 щ3 щ4 щ4 Сравнивая выражения (13.1) и (13.2), получим i14 i12 i2 3 i3 4 , т. е. передаточное отношение многоступенчатой передачи равно произведению передаточных отношений отдельных ступеней. Колеса 1 и 4 вращаются в одну сторону. Таким образом, i i i i z 2 z3 z4 . 14 12 2 3 3 4 z1 z 2 z3

Если все ступени являются цилиндрическими передачами, то в общем случае i1n 1 k z2 z3 zn , z1 z 2 z n 1 где k - число внешних зацеплений. Частным случаем многоступенчатой передачи является ступенчатый ряд с промежуточными (паразитными) колесами (13.9). Передаточное отношение для такой передачи

i 1 3 z 2 z3 z 4 z4 .

14 z1 z 2 z3 z1

Промежуточные колеса не влияют на величину общего передаточного отношения, но могут изменять его знак. Такие передачи применяются для изменения направления вращения ведомого звена, а также в случае передачи вращения между удаленными валами. В общем случае i 1 k zn . 1n z1 Передача с промежуточными колесами

Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями вращения

К механизмам с подвижными осями относятся механизмы, в составе которых имеется хотя бы одно колесо с перемещающейся в пространстве осью вращения (сателлит). Различают три вида таких механизмов:

1) дифференциальные;

2) планетарные;

3) замкнутые дифференциальные.

Рассмотрим один из простейших дифференциальных механизмов (13.10). Звенья 1 и 3 - центральные колеса, 2 - сателлит,

Н - водило. Водило Н и соосные с ним центральные колеса 1 и 3

называются основными звеньями.

Дифференциальная передача

Получим формулу, связывающую угловые скорости звеньев в дифференциальном механизме. Используем метод обращения движения. Сообщаем всем звеньям механизма дополнительную угловую скорость, равную угловой скорости водила Н, но противоположно направленную, т. е. ( щН ). При этом относительное движение звеньев не изменится, а угловые скорости в обращенном движении будут следующими: щ H щ щ Н , щ Н щ щ Н , щ Н щ щ Н , щ Н щ Н щ Н 0. 1 1 2 2 3 3 Н Таким образом, так как щНН 0, то дифференциальный механизм превратился в зубчатый механизм с неподвижными осями. Для такого обращенного механизма где iН - передаточное отношение обращенного механизма, определяемое через число зубьев колес: iН z3 . 13 z1 Полученное выражение (13.3) называется формулой Виллиса. В общем случае формула Виллиса имеет вид ща щН iН . ab щв щН ав

Если в дифференциальном механизме одно из центральных колес сделать неподвижным, то получится планетарный механизм

Планетарная передача

Так как щ0, то из формулы щ1 щН iН получим:

Выражение (13.4) называется формулой Виллиса для планетарных

где индекс b соответствует неподвижному центральному колесу. Планетарные механизмы часто называются планетарными передачами. Они позволяют получать большие передаточные отношения при малых габаритах.



Глава 14. Основы кинематического анализа механизмов

14.1 Задачи и методы кинематического анализа механизмов. Масштабные коэффициенты

Кинематический анализ механизма состоит в определении движения его звеньев по заданному движению начальных звеньев. При этом считается известной кинематическая схема механизма, т. е. его структурная схема с указанием размеров звеньев, необходимых для кинематического анализа.

Основные задачи кинематического анализа.

1. Определение положений звеньев и траекторий отдельных точек звеньев.

2. Определение линейных скоростей и ускорений точек, угловых скоростей и ускорений звеньев.

3. Определение передаточных отношений между звеньями.

Эти задачи могут решаться графическими, аналитическими и экспериментальными методами.

Масштабные коэффициенты

Масштабным коэффициентом называется отношение численного значения физической величины к длине отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину.

Например, если длина звена равна l = 0,05 м, а отрезок, изображающий это звено, AB = 50 мм, то масштабный коэффициент длин м1 = 0,05/50 = 0,001 м/мм, что соответствует чертежному масштабу 1 : 1; если же АВ = 25 мм, то м1 = 0,05/25 = 0,002 м/мм (1 : 2).

Масштабный коэффициент скоростей мх, м . Если скорость с мм некоторой точки А хA = 10 м/с, а отрезок, изображающий хA, pa =50 мм, то мх = 10/50 = 0,2 м . Масштабный коэффициент Построение положений рычажных механизмов методом засечек

Кинематический анализ механизмов выполняется в порядке присоединения структурных групп.

Построение положений плоских механизмов второго класса обычно выполняется методом засечек. В качестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм.

Кривошипно-ползунный механизм

Вначале находим крайние положения механизма (0 и 3), в которых кривошип 1 и шатун 2 располагаются на одной прямой. Для этого из центра О делаем засечки радиусами АВ + ОА и АB - ОА на линии движения ползуна 3. Далее делим окружность, описываемую точкой А, на равные части (например, на шесть) и отмечаем последовательные положения точки А - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, а затем методом засечек на линии движения ползуна получаем последовательные положения точки В - 0, 1, 2, 3 (движение справа налево) 4, 5, 6 (движение слева направо). S - ход ползуна. В результате получаем последовательные положения всех звеньев механизма.

...