Физические основы классической механики. Основы электромагнетизма

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Физические основы классической механики

1.1 Введение в курс физики. Система единиц измерения. Системы отсчета

1.2 Основные понятия механики

1.3 Кинематика материальной точки

1.4 Механика твердого тела

1.5 Основы динамики

1.6 Основы равновесия тел

1.7 Законы сохранения в механике

1.8 Механические колебания и волны

2. Основы электромагнетизма

2.1 Основы электричества

2.2 Основы магнетизма Электромагнитные явления

3. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц. Современная физическая картина мира

Литература

1. Физические основы классической механики

1.1 Введение в курс физики. Система единиц измерения. Система отсчета

Окружающий нас мир, все существующее вокруг нас и обнаруживаемое посредством ощущений представляет собой материю. "Материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая... отображается ощущениями, существуя независимо от них". (В.И. Ленин). Неотъемлемым свойством материи и формой ее существования является движение. Под движением в широком смысле слова понимаются всевозможные изменения материи - от простого перемещения до сложнейших процессов мышления. Разнообразные формы движения материи изучаются различными науками, в том числе и физикой. Предмет физики, как и любой другой науки, может быть раскрыт только по мере его детального изложения. Дать строгое определение предмета физики довольно сложно, т.к. границы между физикой и рядом смежных дисциплин условны. Ясно, что на данной стадии развития нельзя сохранить определение физики только как науки о природе.

Академиком А.Ф. Иоффе (1880-1960; сов.физик) дано такое определение физики: "Физика - это наука, изучающая общие свойства и законы движения вещества и поля". В настоящее время общепризнано, что все взаимодействия осуществляются посредством полей, например, гравитационных, электромагнитных, полей ядерных сил. Поле наряду с веществом является одной из форм существования материи. Неразрывная связь поля и вещества, а также различия в их свойствах будут рассмотрены по мере изучения курса. Физика - наука о наиболее простых и вместе с тем наиболее общих формах движения материи и их взаимных превращениях. Изучаемые физикой формы движения материи (механическая, тепловая, электромагнитная и др.) присутствуют во всех высших и более сложных формах движения материи (химическая, биологическая и др.). Высшие и более сложные формы движения материи - предмет изучения других наук (химия, биология и др.). Физика тесно связана с другими естественными науками. Эта теснейшая связь привела к тому, что физика глубочайшими корнями вросла в астрономию, геологию, химию, биологию и др. естественные науки. В результате образовался ряд новых наук таких, как астрофизика, геофизика, физическая химия, биофизика и др.

Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь носит двусторонний характер. Физика выросла из потребностей техники (развитие механики у древних греков, например, было вызвано запросами строительной и военной техники того времени), и техника зачастую определяет тематику физических исследований (например, в свое время задача создания наиболее экономичных тепловых двигателей вызвала бурное развитие термодинамики). С другой стороны, от развития физики зависит технический уровень производства. Физика - база для создания новых отраслей техники (ядерная техника, электронная и др.). Физика тесно связана с философией. Такие крупные открытия в физике, как закон сохранения и превращения энергии, соотношение неопределенностей в атомной физике и др., являлись и являются ареной острой борьбы между материализмом и идеализмом. Бурный темп развития физики, растущие связи ее с техникой указывают на двоякую роль курса физики в ВУЗе: с одной стороны, это фундаментальная база для теоретической подготовки специалиста, с другой - это формирование диалектико-материалистического и научного мировоззрения.

Итак, современная физика изучает различные физические формы движения материи, их взаимные превращения друг в друга, а также свойства вещества и поля. Какими же методами пользуется физика при изучении явлений природы? Для непосредственного изучения явлений в физике применяются наблюдение и опыт. При наблюдении человек не вмешивается в ход явления, а только старается подметить его типичные особенности, и те условия, в которых оно протекает. Например, наблюдая за падением листа, оторвавшегося от ветки, и выпавшей из руки монеты, мы видим, что лист падает медленно по извилистому пути, а монета быстро по прямой линии.

Такое различие можно определить тем, что при их падении не все условия одинаковы. Общим является наличие и влияние воздуха, однако масса монеты больше, а площадь поверхности меньше, чем у листа. Пользуясь только наблюдением, установить влияние каждого ив этих условий на падение тел нужно проделать опыт, т.е. осуществить падение тел в безвоздушном пространстве, тогда будет видно, что лист падает так же, как и монета, а различия их движения в воздухе объясняются разным соотношением между массой и сопротивлением воздуха для этих тел. Последнее можно установить, измерив их массы и силы сопротивления воздуха.

Воспроизведение явления в таких условиях, при которых можно изучить влияние отдельных факторов на ход явления, установить закономерную связь между переменными величинами в используемом явлении или получить однозначный ответ на поставленный вопрос, называется экспериментом или опытом. Опыт обычно сопровождается измерениями. Т.о., с помощью опытов и измерений можно установить законы, которым подчиняются различные явления. Но физика должна не только открывать закономерности явлений, но и объяснять их.

Сопоставляя закономерности, можно обнаружить для многих из них внутреннюю связь. Для объяснения этой связи создается новое предположение, называемое гипотезой. Т.к. гипотеза объясняет с единой точки зрения многие явления, пользуясь ею, можно предсказать новые, еще неизвестные явления, или ход известных, но неизученных явлений. Если новые опыты противоречат гипотезе, то она либо отбрасывается, либо видоизменяется. Если же проверка подтверждает и развивает сущность гипотезы, то она становится достоверной и называется физической теорией, такова, например, молекулярно-кинетическая теория. Таким путем физика освобождается от всего ложного и совершенствуют наши представления о природе. Следовательно, опыт в сочетании с наблюдениями и размышлениями является наиболее совершенным методом изучения природы.

Законы физики устанавливают связь между физическими величинами, для чего необходимо эти величины измерять. Измерение физической величины есть действие, выполняемое с помощью средств измерений для нахождения значения физической величины в принятых единицах. Потребность измерять была свойственна человеческому обществу на всех стадиях его развития. Чем многограннее становилась производственная деятельность человека, тем большие требования предъявлялись к точности измерений, тем больше расширялся круг измеряемых физических величин, тем больше становилось число единиц измерений. В равных отраслях науки и техники вводились свои, специфические, удобные по размеру единицы измерений. Многообразие единиц измерений на определенной стадии развития общества становится тормозом в установлении и расширении экономических, торговых и научных связей.

Необходимость в унификации мер и единиц измерений привела в конце XV-IIIв. к установлению Метрической системы мер. Разработанная французскими учеными (Лагранж, Лаплас, Монж и др.) и введенная первоначально во Франции, получила во второй половине Х1Х в. международное признание. В мае 1875г. в Париже представителями семнадцати государств (Россия, Германия, Франция, США, Италия и др.) была подписана Метрическая конвенция, которая предусматривала создание Международного бюро мер и весов, а также созыв один раз в шесть лет Генеральных конференций по мерам и весам. В метрическую систему мер входят единицы измерений ограниченного числа величин - длины, площади, объема и емкости, массы. Поэтому с расширением круга величин, подлежащих измерению, возникла необходимость в системах единиц, охватывающих целые разделы физики.

Идея создания таких систем принадлежит немецкому математику К. Гауссу. Гаусс показал, что если выбрать независимо друг от друга единицы измерений нескольких величин то, на основе этих единиц с помощью физических законов можно установить единицы измерений всех величин, входящих в определенный раздел физики. Совокупность единиц, образованных по принципу Гаусса, и получила название "Системы единиц".

Единицы измерений, выбранные произвольно и послужившие основой для выражения остальных единиц, называются основными. Единицы, полученные на основе основных и с помощью физических формул, называются производными. Система единиц, в основу которой положены единица длины - сантиметр (см), единица массы - грамм (гр), единица времени -секунда (с), получила сокращенное название СГС (по первым буквам основных единиц). Если же в качестве основных единиц выбрать метр (м) - единица длины, килограмм (кг) - единица массы, секунду (с) - единица времени, то получим систему единиц МКС. Если же в качестве основных единиц выбрать метр (м) - единица длины, тонну (т) - единица массы, секунду (с) - единица времени, то получим систему МТС.

Таблица 1 Производные единицы

СГС	МКС	МТС
[v] = 1 cм/c	[v] = 1 м/c	[v] = 1 м/c
[a] = 1 см/с2	[a] = 1 м/с2	[a] = 1 м/с2
[F] = 1 г см/с2 (дина)	[F] = 1 кг м/с2 (Ньютон)	[F] = 1 т м/с2 (стен)
[A] = 1 г см2/с2 = 1 эрг	[A] = 1 кг м2/с2 = 1 джоуль (Дж)	[A] = 1 т м2/с2 (кДж)

Системы единиц СГС, МКС, МТС, т.е. системы основными единицами которых являются единицы длины, массы и времени, называются абсолютными системами. Многообразие систем единиц также как и многообразие отдельных единиц измерений, создает трудности в научном и экономическом общении народов. Поэтому еще в Х1Х в. возникла необходимость в создании единой международной системы, которая включила бы в себя единицы измерений всех разделов физики. Однако соглашение о введении такой системы было принято только в 1961 году. Системе было присвоено сокращенной обозначение SI (СИ) - система интернациональная (основана на шести единицах: метр - единица длины, килограмм - единица массы, секунда - единица времени, ампер - единица силы тока, градус Кельвина - единица температуры термодинамической.. свеча - единица силы света. Система СИ имеет ряд преимуществ перед другими системами. Она универсальна, т.е. охватывает все области измерений. С переходом на Международную систему можно отказаться от использования других систем. Эта система является когерентной, т.е. системой, в которой производные единицы всех величин могут быть получены с помощью определяющих уравнений с числовыми коэффициентами равными единице. Переход на Международную систему существенно повысил уровень точности измерений, т.к. основные единицы ее воспроизведены более точно.

У нас в стране согласно государственному стандарту (ГОСТ 8.417-81) обязательна к применению Международная система единиц СИ, в которой используется семь основных единиц - метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела и две дополнительные - радиан и стерадиан.

Метр (м) равен 1660763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2р₁₀ и 5d₅ атома криптона-86.

Килограмм (кг) равен массе Международного прототипа килограмма (платино-иридиевого цилиндра, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севере, близ Парижа).

Секунда (с) - промежуток времени, равный сумме 919S631770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия -133.

Ампер (А) равен силе неизменяющегося тока., который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения; расположенным в вакууме на расстоянии 1м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной в 1м силу взаимодействия, равную 210^-7 Н.

Кельвин (К) равен 1/273,16 термодинамической температуры тройной точки воды.

Кандела (кд) равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 54010¹² Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср.

Моль (моль) - количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде - 12 массой 0,012 кг.

Радиан (рад) равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.

Стерадиан (ср) равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Размерность физической величины есть ее выражение в основных единицах. Исходя, например, из второго закона Ньютона, получим, что размерность силы запишется в виде [F] = MLT^-2, где М - размерность массы, L - размерность длины, Т - размерность времени. Размерности обеих частей физических равенств должны быть одинаковыми, т.к. физические законы не могут зависеть от выбора единиц физических величин. Исходя из этого, можно проверять правильность полученных физических формул (например, при решении задач); а также устанавливать размерности физических величин.

Простейшей формой движения материи является механическое движение, которое состоит в перемещении тел или частей относительно друг друга. Движение тела может быть описано полностью, если найден метод определения положения движущегося тела в пространстве в любой момент времени. Выясним, что требуется для полного описания движения тела. Прежде всего, надо указать тело отсчета, т.е. тело, относительно которого рассматривается изменение положения движущегося тела. Для того чтобы установить положение движущегося тела (или материальной точки) относительно тела отсчета, с телом отсчета связывают начало прямоугольной (декартовой) системы координат или точку приложения радиуса - вектора г (в дальнейшем все векторные величины будут обозначаться в тексте жирным шрифтом) (см. рис.1). Тогда совокупность трех координат X, Y, Z (или радиус - вектор r) однозначно определяет положение тела в пространстве. Движение происходит как в пространстве, так и во времени. Поэтому для описания движения необходимо также определять время. Это делается с помощью часов. Тело отсчета, связанная с ним координатная система и прибор для измерения времени образуют систему отсчета.

1.2 Основные понятия механики

Механика - часть физики, которая изучает простейшую и наиболее общую форму движения материи, заключающуюся в перемещении тел иди частей тела относительно друг друга и называемую механическим движением. Развитие механики как науки начинается с III в. до н.э., когда древнегреческий ученый Архимед сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики в значительной мере выяснены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем и окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном,

Механика Галилея-Ньютона называется классической и изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, изучаются теорией относительности, сформулированной А.Эйнштейном. Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприменимы -они изучаются квантовой механикой.

В большей части нашего курса мы будем рассматривать движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости света, т.е. будем иметь дело с классической механикой. Механика подразделяется на три раздела:

1) кинематику;

2) динамику;

3) статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая те причины, которые это движение обусловливают.

Динамика изучает законы движения тел и те причины, которые вызывают или изменяют это движение.

Статика изучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.

Наиболее простым примером механического движения является движение материальной точки. Материальная точка -это тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Вопрос о том, можно ли данное конкретное тело рассматривать как материальную точку или нет, зависит не от размеров этого тела, а от условий задачи. Одно и то же тело в одних случаях может быть сочтено за материальную точку, в других же должно рассматриваться как протяженное тело.

Понятие материальной точки - абстрактное понятие, но его введение облегчает решение конкретных задач. Например, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. О том, как определяется положение движущейся точки мы говорили на первой лекции (тело отсчета, системы координат, системы отсчета). При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется тремя скалярными уравнениями:

x = x(t), y = y(t), z = z(t) (1),

эквивалентными векторному уравнению

r = r(t) (2).

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка движется в пространстве; то она обладает 3-мя степенями свободы (координаты х, у, z), если по некоторой поверхности, то двумя степенями свободы, если по кривой, то одной степенью свободы.

Исключая t в уравнениях (1) и (2), получим уравнение траектории движения материальной точки.

Траектория движения материальной точки - линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории, движение может быть прямолинейным или криволинейным. Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории. Отчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути s и является скалярной функцией времени s=s(t). Вектор г=г-r_о, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времен, называется перемещением. Естественно, что при прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения |г| равен пройденному пути s.

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина - скорость, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор г_о.

В течение небольшого промежутка времени At точка пройдет путь s и получит элементарное перемещение г. Величина

<v> = r/t (3)

называется средней скоростью движения за время t (для обозначения среднего значения какой-либо величины будем заключать, символ этой величины в угловые скобка < >. Направление средней скорости совпадает с направлением г. Если перейдем к пределу при t0, то получим выражение для мгновенной скорости

v = lim r/t = dr/dt (4) t0

Мгновенная скорость - векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости У направлен по касательной к траектории в сторону движения. По мере уменьшения t путь s все больше будет приближаться к |г|, поэтому:

v = |v| = |lim r/t | = lim |r|/t = lim s/t = ds/dt (5)

t0 t0 t0

Таким образом, числовое значение мгновенной скорости равно первой производной пути по времени:

v = lim s/t = ds/dt (6) В случае неравномерного движения, когда

t0

Числовое значение мгновенной скорости о течением времени изменяется, пользуются скалярной величиной <V> - средней скоростью неравномерного движения на данном участке: <V> = s/t. Из рисунка видно, что <V> > |<V>|: т.к. s > |г| и только в случае прямолинейного движения s = |г|.

Если выражение ds = Vdt проинтегрировать по времени в пределах от t до (t + t), то найдем длину пути, пройденного точкой за время t:

s = ? ^t+t _t Vdt (7).

В случае равномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости постоянно, выражение (7) примет вид;

s = V ? ^t+t _t dt = Vt (8).

Путь, пройденный точкой за промежуток времени от t₁ до t₂ определяется интегралом

s = V ? ^t2 _t1V(t) dt (8).

Ускорение

Скорость материальной точки может изменяться со временем, как по величине, так и по направлению. Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению, называется ускорением. Пусть вектор V задает скорость точки А в момент времени t. За время t движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от V как по модулю, так и направлению, равную V₁=V+V. Перенесем вектор V₁, в точку А и найдем V.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до (t =t) называется векторная величина, равная отношению изменения скорости V к интервалу времени t:<a> = V/t.

Мгновенным ускорением а материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

а= lim <a>= lim V/t=dV/dt;

t0 t0

Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. Разложим вектор V на две составляющие: тангенциальную, совпадающую с направлением вектора V, и нормальную составляющую V_n перпендикулярную вектору V; и направленную по радиусу к центру кривизны траектории (рис 4). |V|=|V₁|-|V| - этот вектор, представляет собой изменение скорости по модулю за время t. Вторая же составляющая - Vn характеризует изменение скорости за время t по направлению. Предел отношения |V|/t, являющийся производной от скорости по времени, определяет быстроту изменения величины скорости в данный момент времени t и является тангенциальной составляющей ускорения а

а = lim |V|/t = lim |V|/t=d|V|/dt;

t0 t0

Вторая составляющая ускорения, равная

а_n= lim |V_n|/t = V²/r; называется нормальной t0

составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории, к центру её кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением). Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.5).

Итак; тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

Единицы измерения скорости и ускорения в системе СИ

[V]=1м/с -это скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором материальная точка за 1с совершает перемещение 1м.

[а]=1м/с² -это ускорение такого равноускоренного движения при котором за каждую секунду скорость тела увеличивается на 1м/с.

С учетом а и a_n составляющих ускорения движения можно классифицировать следующим образом:

1) а=0, а_п=0 -прямолинейное равномерное движение;

2) a=a=const, a_n=0 -прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения а=а=V/t=(V₂-V₁)/(t₂-t_l). Если начальный момент времени t₁=0, а начальная скорость V₁=V_o, то, обозначив t₂=t. и V₂=V получим a=(V-V_o)/t, откуда V=V_o+at. Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, получим формулу для пройденного пути в случае равнопеременного движения:

S =? ^t ₀Vdt =? ^t ₀ (V_o + at)dt=V_ot + at²/2;

3) а =f(t), a_n =0 - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) а =0, a_n =const. При а=0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы а_n=V²/г следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, имеем дело с равномерным движением тела по окружности;

5) а =0, a_n =f(t) -равномерное криволинейное движение;

8) а = const , a_n =0 -криволинейное равнопеременное движение;

7) а =f(t), a_n 0 -криволинейное движение с переменным ускорением.

1.3 Кинематика материальной точки

В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

а) Равномерное прямолинейное движение - это такое происходящее по прямолинейной траектории движение, при котором тело (материальная точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения (г). Если тело движется по прямой только в одном направлении, модуль его перемещения равен пройденному пути, т.е. |г| = =s. Для того чтобы найти перемещение тела г за промежуток времени t, необходимо знать его скорость V. Скорость равномерного прямолинейного движения равна V= r/t - отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого было совершено это перемещение. Направление V в прямолинейном движении совпадают с направлением г, Из определения равномерного прямолинейного движения следует, что скорость такого движения является величиной постоянной, т.е. V = const. По модулю |

V| =s /t [1].

Пусть ось ОХ системы координат; связанной с системой отсчета, совпадает с прямой, вдоль которой движется тело, а Х_о - координата начальной точки движения. Вдоль оси ОХ направлены и перемещение г и скорость V движущегося тела. Из формулы V = г /t. следует что г = Vt. Согласно этой формуле, векторы г и V t равны, поэтому равны и их проекции на ось ОХ :

r_х = v_x t [ 2 ].

r = v t.

Теперь можно установить кинематический закон равномерного прямолинейного движения, т.е. найти выражение для координаты тела в любой момент времени. Так как

х = х₀ + г_х, а г_х =V_X t , то х = х₀+V_x t [ 3 ].

Из формулы [3] видно, что для нахождения положения тела (материальной точки) в любой момент времени при прямолинейном равномерном движении нужно знать начальную координату тела (точки) Хо и проекцию вектора скорости на ось, вдоль которой движется тело. Но необходимо помнить, что проекция вектора скорости может быть как положительной, так и отрицательной.

Формула [3] позволяет выяснить, какой смысл имеет величина «скорость». Из нее следует; что Vx = (х-х_о) /t; проекция скорости на ось равна изменению соответствующей координаты за единицу времени. Подчеркнем еще раз, что для решения основной задачи механики необходимо знать не только модуль скорости, но и ее направление.

б) Равноускоренное прямолинейное движение - это такое прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Вспомним, что быстроту изменения скорости называют ускорением а.

a =(V-V_o) /t , [ 4 ]

где V_o - начальная скорость тела, т.е. его мгновенная скорость в момент начала отсчета времени; V - мгновенная скорость тела в рассматриваемый момент времени. Из формулы [4] и определения равноускоренного движения следует, при таком движении ускорение не изменяется, т.е. а = const. В прямолинейном равноускоренном движении векторы V_o, V и а направлены по одной прямой. Поэтому модули их проекций на эту прямую равны модулям самих этих векторов; и поэтому формулу [4] можно записать так

а = (V-V_o) /t [ 5 ].

Из [4] следует, что V = Vo + at - по этой формуле определяют мгновенную скорость V, если известны Vo - начальная скорость и ускорение а. Для прямолинейного равноускоренного движения эту формулу можно записать в виде:

V = Vo + at [6].

Если

Vo = 0, то V = at [7],

Средняя скорость прямолинейного ускоренного равномерного движения может быть определена по формуле:

Vcp = (Vo+ V) / 2, [8].

Где Vo - начальная скорость тела. ( материальной точки ),

V - скорость в данный момент времени.

Найдем кинематический закон прямолинейного равноускоренного движения. Для этого проинтегрируем выражение [6] и получим, что

s = Vot + at²/2 [9].

Если

Vo=0 , то s=at²/2 [10].

По двум последним формулам [9] и [10] определяют путь, пройденный в равноускоренном прямолинейном движении (модуль перемещения тела. не изменяющего направления своего движения).

Для случая; когда тело движется по оси Ох из точки с координатой х₀ из формулы [9] получаем уравнение, выражающее зависимость координаты этого тела от времени. Т.к.

х = х_о + г_х а г_х = V_ox t + a_xt²/2, то: x=x_o+V_oxt+a_xt²/2 [11].

Формула [11] есть кинематическое уравнение прямолинейного равноускоренного движения. Следует помнить., что V_ох и а_x могут быть как положительными, так и отрицательными, т.к. это проекции векторов V₀ и а на ось Ох.

Установим связь модуля перемещения тела r с его скоростью равноускоренного прямолинейного движения. Из формулы [4] находим, что t = (V - V_o) / a, подставим это выражение в формулу мгновенной скорости получим:

Vo+V V-V

S = , следовательно S=(V²- Vо²)/2a или

2 a V²= V_о²+2as если V_o =О, то V²=2as

в) Неравномерное прямолинейное движение - это движение, при котором за равные промежутки времени тело (материальная точка) совершает неравные перемещения. При таком движении скорость тела с течением времени изменяется, поэтому для характеристики такого движения иcпользуются понятия средней и мгновенной скоростей. V_cp =г/t - средняя скорости - векторная величина, равная отношению перемещения тела к промежутку времени, за который совершено это перемещение. V_cp характеризует (переменное) неравномерное движение в течение только того промежутка времени, для которого эта скорость определена. Зная V_cp и t, можно определись перемещение r = V_cpt. Найти положение движущегося тела в любой момент времени с помощью средней скорости нельзя.

Когда тело движется по прямолинейной траектории в одну сторону, модуль его перемещения равен пройденному телом пути, т. е. |r| =V_cpt. тогда V_cр = s/t, отсюда s = V_cp t.

Для того, чтобы можно было определить положение, движущегося неравномерно тела, вводят понятие мгновенной скорости. Мгновенной скоростью неравномерного движения называют скорость, которую тело имеет в данный момент времена и, следовательно, в данной точке траектории. На предыдущей лекции вводилось понятие мгновенной скорости; числовое значение которой равно первой производной пути по времени, V=ds/dt. Если аналитический вид зависимости перемещения от времени известен, с помощью правил дифференцирования можно определить мгновенную скорость в любой момент времени.

V_мгн= dr/dt - векторная форма,

Движение происходящее, по криволинейной траектории, называется криволинейным.

Частным случаем криволинейного движения является движение по окружности.

При криволинейном движении мгновенная скорость материальной точки (тела) в каждой точке траектории криволинейного движения направлена по касательной к траектории. Следовательно, в криволинейном движении направление скорости тела непрерывно изменяется. Поскольку скорость - величина векторная, изменение направления скорости даже при неизмененном модуле скорости означает, что скорость изменяется, т.е. тело движется c ускорением. Значит; любое криволинейное движение, в том числе движение по окружности, является ускоренным движением. Криволинейное движение происходит в том случае, когда вектор ускорения в любой точке траектории составляет с вектором скорости угол, не равный нулю или . Движение по любой криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам окружностей различных радиусов. Поэтому задача определения ускорения тела при произвольном криволинейном движении сводится к нахождению ускорения при движения тела по окружности соответствующего радиуса.

Траектория криволинейного движения

В случае движения материальной точки по окружности по аналогии с линейными скоростью и ускорением вводятся: угловая скорость и угловое ускорение. Пусть точка движется по окружности радиуса R. Ее положение через малый промежуток времени зададим углом . Очень малые повороты можно рассматривать как векторы (будем эти векторы обозначать символами и d). Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела. Следовательно, d является не истинным вектором, а поездовектором.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени

= lim /t = d/dt

t0

Направление вектора угловой скорости задается правилом правого винта: вектор угловой скорости совпадает по направлению поступательным движением острия винта, головка которого вращается по часовой стрелке.

Размерность угловой скорости [ ]= Т^-1, а ее единица в системе СИ - рад/с. Линейная скорость точки

V = lim s/t = lim R /t = Rlim /t= R, т.е. V=R

t0 t0 t0

Если = const , то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2.

Т.к. промежутку времени t=Т соответствует =2, то =2/Т, откуда Т = 2/ (т.к. при равномерном вращении = /t). Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении его по окружности, в единицу времени называется частотой вращения. n = 1/T = /(2), откуда = 2n.

Используя формулы : V=R ; а_ц = V²/R , получим : а_ц =²R или:

а_ц = 4²R / T²= 4²n²R

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (изменение угловой скорости по направлению).

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: =d/ dt. Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор | | , при замедленном - антипараллелен. а = =dv/dt, V=R и а=d(R)/dt=Rd/dt=R; a_n=V²/R=²R²/R=²R. Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами.

s=R; V=R ; а = R; a_n = ²R. В случае равнопеременного движения точки по окружности, = const, = ₀+t, =₀ + ₀t+t²/2, ₀ - начальная угловая скорость. С помощью последней формулы можно в любой момент времени найти положение точки, равномерно переменно движущейся по окружности. Это значит, что данная формула выражает собой кинематический закон движения, т.е. является уравнением этого движения.

1.4 Механика твердых тел

1. Всякое движение твердого можно разложить на два основных вида движения - поступательное и вращательное. Поступательное движение - это такое движение, при котором любая прямая, cвязанная с движущимся телом, остается параллельна самой себе. Значит, при поступательном движении все точки тела движутся с одинаковыми v и а. Примером такого движения может служить движение кабины "колеса обозрения".

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться вне тела.

При поступательном движении все точки тела получат за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, центpa инерции) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Так как любое движение твердого тела можно представить, как наложение двух выше указанных видов движения, рассмотрим случай плоского движения, то есть такого, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Примером такого движения может служить качение цилиндра по плоскости.

Разбиение перемещения на поступательное и вращательное может быть осуществлено бесчисленным множеством способов, однако в любом случае производится поворот на один и тот же угол . Элементарное перемещение точки тела dr можно разложить на два перемещения dr_в, причем dr_n для всех точек тела одно и то же.

Перемещение. dr_в осуществляется поворотом тела на один и тот же угол d относительно различных осей). Разделив dr на соответствующий промежуток времени dt получим скорость точки.

V =dr/dt=dr_n/dt=dr_в/dt = V_o + V' , V' - скорость относительно данной оси вращения, где V_о - скорость поступательного движения (одинаковва для всех точек тела ), V' - различная для разных точек тела скорость обусловленная вращением. Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений -поступательного со скоростью V_о и вращательного с угловой скоростью (вектор которой направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж).

Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции.

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

J = ⁿ _i=1m_ir _i ²

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу J = ?r²dm , где интегрирование производится по всему объему тела. Величина г в этом случае есть функция положения точки с координатами X,Y,Z. В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис 4). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом г и внешним - (г + dr).

Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r²dm (так как dr<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно г), где dm - масса элементарного цилиндра. Объем элементарного цилиндра = 2rhdr. Если - плотность материала, то его масса: dm = 2rhdr и dJ = 2hr³dr/

Тогда: момент инерции сплошного цилиндра J = ?dJ= 2rh?r³dr=1/2hR⁴

так как R²h - объем цилиндра, то его масса m= R²h, а момент инерции J = 1/2mR²

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции, относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера J=J_c+md² : момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния d между осями. В заключение приведем значение моментов инерции для некоторых тел (тела предполагаются однородными, m - масса тела).

1. Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сечением любой формы. Максимальный поперечный размер стержня b << 1где l- длина стержня. Момент инерции относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину, равен

J=1/12ml²

2. Для диска или цилиндра при любом отношении R к 1. Момент инерции относительно оси, совпадающей с осью симметрии.

J= 1/2 mR²

3. Тело - тонкий диск (Ь << R).

Ось вращения совпадает с диаметром диска

J = 1/4 mR²

4. Шар радиуса R, ось вращения проходит черев центр шар,

J = 2/5 mR²

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси 00, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие элементарные объемы о элементарными массами m₁, m₂, … m_n, находящимися на расстоянии r₁, r₂, … r_n, от оси вращения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_n опишут окружности различных радиусов r_n и будут иметь различные линейные скорости V_n. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

=V₁/r₁= V₂/r₂= … = V_n/r_n

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергии его элементарных объемов

Т_вр=m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 + … + m_nv_n²/2,

Т_вр=m_iv_i²/2 ; Т_вр=m_i²r_i²/2=²/2 m_ir_i² = J²/2;

Таким образом Т_вр= J²/2 - Кинетическая энергия вращающегося тела.

Сравнивая формулы для кинетической энергии тела, движущегося поступательно и кинетической энергии тела, движущегося вращательно, видим что (mV²/2 и J²/2) момент инерции вращательного движения - мера инертности тела

Чем больше момент инерции, тем большую энергию нужно затратить для достижения данной скорости. Полученная формула справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Для тела, катящегося по горизонтальной плоскости (колесо), энергии движения будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения:

T=mV²/2 + J²/2;

где m - масса тела, V- скорость поступательного движения, J- момент инерции, - угловая скорость.

Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение какой либо системой, то кинетическая энергия вращения возрастает на величину затраченной работы. Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии г, d - угол между направлениям силы и радиусом - вектором. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на малый угол d точка приложения. В проходит путь dS=rd и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения dA=F sin r d . Величина, равная произведения силы на ее плечо называется моментом силы M=F l, l=r sin .

Величина M= Fr sin , называется моментом силы относительно оси вращения; r sin =1 есть кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения, и называется плечом силы - величина векторная, его направление перпендикулярно плоскости, в которой расположен вектор силы, и определяется по правилу правого винта. Используя, полученные выражения, запишем: dA = M d - работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии : dA = dT, но dT=d(J²/2)= J d, поэтому: Md = J d или Md/dt= J d/dt , учитывая, что = d/dt, получим M= J d/dt=J, в векторной форме М = J, - это уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы выступает ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Таблица 1

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса	m	момент инерции	J
Путь	S	Угол поворота
Скорость	V=dS/dt	Угловая скорость	=d/dt
Ускорение	a=dV/dt	Угловое ускорение	=d/dt
Импульс	р= m v	Момент импульса	L=J
Сила	F	Момент силы	M
Основное уравнение динамики	Основное уравнение динамики '
F=ma=dp/dt		M=J =di/dt
Работа	F dS	Работа вращения	M d
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия вращения
mV2/2		J2/2

Момент импульса L_i отдельной частицы тела массой m_i называется произведение расстояния r_i от оси вращения до частицы на импульс m_i V_i этой частицы: L_i= m_i V_i r_i .

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

L = m_i V_i r_i

Так как для вращательного движения

V_i = r_i , то L = m_ir_i² = m_ir_i² =J, то есть L = J

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Момент импульса твердого тела это вектор, направленный по оси вращения так, чтобы видеть конца вращение, происходящим по часовой стрелке.

Продифференцируем уравнение L=J

по времени: dL/dt= J , d/dt = J = M

или в векторной форме dL/dt=M - это уравнение еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента количества движения твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси. Если мы имеем дело c замкнутой системой, то момент внешних cил М=0 и dL/dt=0, или L=const, то есть J = const. Полученное выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяете течением времени. Закон сохранения момента импульса - фундаментальный закон природы. Продемонстрировать сохранение момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, стоящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в поднятых на уровне плеч руках гири, приведен во вращение с угловой скоростью (n)i. Человек обладает некоторым моментом количества движения, который сохраняется. Если он опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результат чего возрастет угловая скорость его вращения. Аналогично гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Опыт помазывает, что если тело привести во вращение вокруг некоторой оси, а затем предоставить его самому себе, то положение оси вращения в пространстве изменяется. Сохранить положение оси вращения неизменным можно с помощью подшипников. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяет своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями. Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, преходящие через центр масс тела, которые могут быть свободными осями. Например, свободные оси однородного прямоугольного параллелепипеда параллельны его ребрам. Для однородного цилиндра свободными осями являются его геометрическая ось и две взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости. перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Свободными осями шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс. Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения. Опыт и теория показывает, что вращение около осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг своей оси 1 и 2.

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец привести в быстрое вращение (с помощью центробежной машины), то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной длине палочки и проходящей через ее середину (см.рис.). Это и есть свободная ось вращения (момент инерции при этом положении максимальный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внешних связей, то положение оси вращения в пространстве некоторое время сохраняется. Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко примечается в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы - пассивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью. Рассмотрим одну ив разновидностей гироскопов - гироскоп на кардановом подвесе (см.слайд).

Дискообразное тело - гироскоп - закреплено на оси АА, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей горизонтальной оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси СС. Все три оси пересекаются в одной точке Д, являющейся центром масс гироскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в пространстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом количества движения колец пренебрегаем. Так как трение мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп вращать (например, с помощью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменным. Это можно объяснить с помощью основного закона динамики вращательного движения.

Для свободного вращающегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его оси вращения, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения Д совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом силы трения мы также пренебрегаем. Поэтому, если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения: dl/dt =М, L-const, то есть момента количества движения гироскопа сохраняет свое значение и направление в пространстве. Неизменным будет и момент количества движения гироскопа относительно оси вращения, равный L=J и направленный вдоль оси вращения.

...