Физические основы классической механики. Основы электромагнетизма

Следовательно, при данном условии ось вращения гироскопа сохраняет свое положение в пространстве. Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, чтобы момент внешних сил был отличен от нуля. Если момент внешних сил, приложенный к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явление, получившего название гироскопического эффекта. Оно состоит в том, чти под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа поворачивается вокруг оси О₃О₃, а не вокруг оси O₂O₂ как это бы казалось естественным на первый взгляд (O₁O₁ и O₂O₂ лежат в плоскости чертежа, а О₃О₃ и силы F перпендикулярной ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой O₂O₂- за время dt момент импульса L гироскопа подучит приращение dL=Mdt (направление dL совпадает с направлением М) и станет равным L=L+dL. Направление L₁ совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О₃О₃. Если время действия силы мало, то, xoтя момент сил М и велик, изменения момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени. Если ось гироскопа закреплена в подшипниках, то вследствие гироскопического эффекта возникает так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа.

Их действие необходимо учитывать при конструировании устройств, содержащих быстро вращающиеся массивные части (например, подшипники паровых турбин на корабле). Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и так, далее). Другое важное применение гироскопов - поддержание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и так далее. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порывы ветра и так далее) положение оси гироскопа в пространстве сохраняются. Следовательно, ось гироскопа вместе с рамами карданового подвеса поворачиваются относительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса о помощью определенных приспособлении включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу. Подобные же образом гироскопы могут применяться для автоматического управления движением самодвижущихся снарядов. Впервые гироскоп применен французским физиком Ж. Фуко для доказательства вращения Земли.

1.5 Основы динамики

Как уже говорилось, кинематика изучает движение тел, не рассматривал причин, обуславливающих это движение. Динамика же рассматривает законы движения тел и те причины, которые его вызывают или изменяют.

В основе так называемой классической или ньютоновской механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 году.

Законы Ньютона (как и все остальные физические законы) возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их (хотя и для обширного, но все же ограниченного круга явлений) подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые из них вытекают.

Ньютоновская механика достигла в течений двух столетий таких огромных успехов; что многие физики XIX столетия были убеждены в ее всемогуществе. Однако с развитием науки обнаружились новые факты, которые не укладывались в рамки классической механики. Эти факты подучили свое объяснение в новых теориях - специальной теории относительности и квантовой механики. В специальной теории относительности, созданной Эйнштейном в 1905 году; подверглись радикальному пересмотру ньютоновские представления о пространстве и времени. Это привело к созданию «механики больших скоростей» или; как ее называют, релятивистской механики. Новая механика не привела, однако, к полному отрицанию старой ньютоновской механики. Уравнения релятивистской механики в пределе (для скоростей, малых по сравнению со скоростью света) переходят в уравнения классической механики. Таким образом, классическая механика вошла в релятивистскую механику как ее частный случай и сохранила свое прежнее значение для описания движений, происходящими со скоростями, значительно меньшими скорости света. Аналогично обстоит дело и о соотношением между классической и квантовой механикой, возникшей в 20-х годах нашего века в результате развития физики атома. Уравнения квантовой механики также дают в пределе (для масс, больших по сравнению с массами атомов) уравнения классической механики. Классическая механика вошла и в квантовую механику в качестве ее предельного случая. Таким образом, развитие науки не перечеркнуло классическую механику, я лишь показало ее ограниченную применимость. Классическая механика, основывающаяся на законах Ньютона, является механикой тел больших (по сравнению с массой атомов) масс, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света).

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит изменить ее это состояние.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инерцией. Поэтому I закон называется также законом инерции. Непосредственно проверить I закон Ньютона, строго говоря, невозможно, однако обобщение ряда экспериментальных фактов; а также совпадение вытекающих из закона следствий с опытными данными доказывает его справедливость. Часто наблюдаемое состояние покоя окружающих нас тел обусловлено тем, что воздействия различных тел компенсируют друг друга. При движении тело тем дольше сохраняет свою скорость, чем слабее на него действуют другие тела: например, скользящий по поверхности камень тем дольше движется, чем ровнее поверхность, то есть, чем меньше на него воздействие этой поверхности. Механическое движение относительно, ^ его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Те системы отсчета, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета.

Инерциальной системой отсчета является такая, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы.

С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета. В этой системе тело отсчета - Солнце, координатные оси, представляющие собой три взаимоперпендикулярных направления, ориентированные на три произвольно выбранные звезды. Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностыо (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), пренебрежимо малы, поэтому при решении многих задач ее можно считать инерциальной.

Никакими механическими опытами и наблюдениями, производимыми внутри инерциальной системы отсчета, нельзя установить, движется эта система отсчета равномерно и прямолинейно или покоится. Это заключение называется принципом относительности Галилея-Ньютона в механике. Теория относительности Эйнштейна обобщает этот результат и распространяет его на все явления природы.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы). Всякое тело противится попыткам изменить состояние его движения. Это свойство тел называется инертностыо. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, навиваемая массой тела. Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, m_ин = m_гр. Поэтому в дальнейшем будем говорить просто о массе тела.

Чтобы описать воздействия, упоминаемые в I законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость, то есть приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, то есть изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело получает ускорение или изменяет свою форму и размеры (обозначим силу буквой F).

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос; как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил

a ~ F (m=const) [1]

(равнодействующая сила - сила, равная геометрической сумме всех приложенных к телу сил). При действии одной и той же силы на различные тела их ускорения оказываются различными. Чем больше масса тела, то есть чем больше его инертность, тем меньшее ускорение под действием данной силы оно приобретает, то есть

a ~ 1/m (F=const) [2].

Используя выражения (1) и (2) и учитывая, что сила и ускорение- величины векторные, можем записать

а = kF/m [3].

Полученное соотношение выражает II закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом) совпадает по направлению с действующей на нее силой и равно отношению этой силы к массе материальной точки (тела). В системе единиц СИ К=1, тогда

a=F/m F =ma = m dv/dt [4]

Учитывая, что масса тела (материальной точки) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (4) ее можно внести под знак производной:

F= d(mv)/dt [5].

Векторная величина

P=mV [6],

численно равная произведению массы тела на его скорость и имеющая направление скорости; называетcя импульсом этого тела (материальной точки). Подставив (6) в (5) получим

F=dP/dt [7].

Выражение (7) - более общая формулировка Ii закона Ньютона: производная импульса материальной точки (тела) по времени равна действующей на нее силе. Из формулы (4) следует определение: за единицу силы принимают силу, которая единице массы сообщает ускорение, равное единице. Единица силы - ньютон (Н) : 1Н - сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1м/с², в направлении действия силы: 1Н= 1кг м/с².

В механике большое значение имеет принцип независимости сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно II-му закону Ньютона, как будто других сил не было.

Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис.1 действующая сила F=mа разложена на два компонента на F (направлена по касательной к траектории) и F_n (направлена по нормали к центру кривизны).

Используя выражение a=dv/dt и a_n=V²/R и V=R , можно записать:

F = m a = m dv/dt; F_n = ma_n = mV²/R = m R² [8].

Третий закон Ньютона.

Характер взаимодействия между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия; силы с которыми действуют друг на друга тела (материальные точки), всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела: F₁=-F₂ [ 8 ]. Рассмотрим например, два тела массами m₁ и m₂, которые действуют друг на друга с силами F₁ и F₂. Под действием сил F₁ и F₂ тела приобретают ускорения a₁ и a₂.

Согласно второму закону Ньютона, можно записать :

F₁ =m₁ a₁ и F₂ =m₂ a₂ [9].

Используя выражения (8) и (9), получим m₁ a₁ = - m₂ a₂ или a₁ = - m₂a₂/m₁, т.е. ускорения двух взаимодействующих тел обратно-пропор-циональны их массам и направлены в противоположные стороны.

При использовании законов динамики иногда допускают следующую ошибку: если действующая сила всегда вызывает равную по модулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно; их равнодействующая должна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Однако надо помнить, что во втором законе Ньютона речь идет об ускорении, приобретаемом телом под воздействием приложенных к нему сил. Равенство нулю ускорения означает равенство нулю равнодействующей сил, приложенных к одному и тому же телу. Третий закон Ньютона говорит о равенстве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух взаимодействующих тел действует только одна сила, которая и сообщает данному телу ускорение. Третий закон Ньютона так же как и первый, и второй законы динамики, выполняется только в инерциальных системах отсчета.

1.6 Основы равновесия тел

Мы уже знаем, что законы Ньютона позволяют узнать, какие ускорения получают тела под действием приложенных к ним сил. Но очень часто бывает важно знать, при каких условиях тела, на которые могут действовать различные силы, не получают ускорений. О таких телах говорят, что они находятся в состоянии равновесия. В таком состоянии, в частности, находятся покоящиеся тела. Знать условия, при которых тела находятся в покое, очень важно для практики, например при постройке зданий, мостов, всевозможных опор, подвесов, при изготовлении машин, приборов и т.д. Для Вас этот вопрос, также не менее важен! Но основами равновесия в спорте более подробно занимается такая наука, как биомеханика, изучением которой вы займетесь на третьем курсе.

А механика занимается более общими вопросами. Та часть механики, в которой изучается равновесие твердых тел, называется статикой. Известно, что всякое тело может двигаться поступательно и, кроме того, вращаться или поворачиваться вокруг какой-нибудь оси. Чтобы тело находилось в покое, оно не должно ни двигаться поступательно, ни вращаться или поворачиваться вокруг какой-нибудь оси. Рассмотрим условия равновесия тел для этих двух видов возможного движения по отдельности. А выяснить, какие именно условия обеспечивают равновесие тел, помогут нам законы Ньютона.

Равновесие тел при отсутствии вращения. При поступательном движении тела можно рассматривать движение только одной точки тела -его центра масс. При этом мы должны считать, что в центре масс сосредоточена вся масса тела и к нему приложена равнодействующая всех сил, действующих на тело. (Сила, которая одна может сообщить телу такое же ускорение, как и все одновременно действующие на него силы, вместе взятые, называется равнодействующей этих сил).

Из второго закона Ньютона следует, что ускорение этой точки равно нулю, если геометрическая сумма всех приложенных к ней сил -равнодействующая этих сил - равна нулю. Это и есть условие равновесия тела при отсутствии его вращения.

Чтобы тело, которое может двигаться поступательно (без вращения), находилось в равновесии, необходимо, чтобы геометрическая сумма сил, приложенных к телу, была равна нулю. Но если геометрическая сумма сил равна нулю, то и сумма проекций векторов этих сил на любую ось тоже равна нулю. Поэтому условие равновесия тела можно сформулировать и так: чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма приложенных к телу сил на любую ось была равна нулю.

В равновесии, например, находится тело, к которому приложены две равные силы, действующие вдоль одной прямой, но направленные в противоположные стороны.

Состояние равновесия - это не обязательно состояние покоя. Из второго закона Ньютона следует, что, когда равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю, тело может двигаться прямолинейно и равномерно. При таком движении тело тоже находится в состоянии равновесия.

Например, парашютист, после того как он начал падать с постоянной скоростью, находится в состоянии равновесия. Силы приложены к телу не в одной точке. Но важна не точка приложения силы, а прямая вдоль которой она действует. Перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия ничего не изменяет ни в движении тела, ни в состоянии равновесия. Ясно, например, что ничего не изменится, если вместо того чтобы тянуть вагонетку, ее станут толкать. Если равнодействующая сил, приложенных к телу, не равна нулю, то, для того чтобы тело находилось в состоянии равновесия, к нему должна быть приложена добавочная сила, равная по модулю равнодействующей, но противоположная ей по направлению.

Эта сила называется уравновешивающей.

Равновесие тел с закрепленной осью вращения. Момент силы. Правило моментов. Правило рычага. Пара сил.

Итак, условия равновесия тела при отсутствии вращения выяснены. Но как обеспечивается отсутствие вращения тела. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим тело, которое не может совершать поступательного движения, но может поворачиваться или вращаться. Чтобы сделать невозможным поступательное движение тела, его достаточно закрепить в одной точке так, как можно, например, закрепить доску на стене, прибив её одним гвоздем; поступательное движение такой доски становится невозможным, но доска может поворачиваться вокруг гвоздя, который служит ей осью вращения.

Теперь выясним, какие силы не могут и какие могут вызвать поворот (вращение) тела с закрепленной осью вращения. Рассмотрим, некоторое тело, которое может поворачиваться, вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Из этого рисунка видно, что силы F₁, F₂ и F₃ не вызовут поворота тела. Линии их действия проходят через ось вращения. Любая такая сила будет уравновешена силой реакции закрепленной оси. Поворот (или вращение) могут вызвать лишь такие силы, линии, действия которых не проходят через ось вращения. Сила F₁, например, приложенная к телу так, как показано на рисунке 3, заставит тело повернуться по часовой стрелке, сила F₂ вызовет поворот тела против часовой стрелки.

Чтобы сделать поворот иди вращение невозможным, нужно, очевидно, приложить к телу по крайней мере две силы: одну, вызывающую поворот по часовой стрелке, другую - против часовой стрелки. Но эти две силы могут быть и неравны друг другу (по модулю). Например, сила F₂ (см. рис.4) вызывает поворот тела против часовой стрелки.

Как показывает опыт, ее можно уравновесить силой F₁, вызывающей поворот тела по часовой стрелке, но по модулю меньшей чем сила F₂. Значит, у этих двух неодинаковых по модулю сил одинаковое, так сказать "вращающее действие". Что же у них общего, что для них одинаково? Опыт показывает, что в этом случае одинаково произведение модуля силы на расстояние от оси вращения до линии действия силы (слово "расстояние" здесь означает длину перпендикуляра, опущенного из центра вращения на направление действия силы). Это расстояние называется плечом силы. Плечо силы F₁ - это d₁, плечо силы f₂ - это d₂.

F₁d₁ = F₂d₂ ;

M = |f| d

Итак, "вращающее действие" силы характеризуется произведением модуля силы на её плечо. Величина, равная произведению модуля силы F на её плечо d, называется моментом силы относительно оси вращения. Слова "относительно оси" в определении момента необходимы потому что, если, не изменяя ни модуля силы, ни её направления, перенести ось вращения, из точки О в другую точку, то изменится плечо силы, а значит и момент силы. Момент силы характеризует вращательное действие этой силы и во вращательном движении играет ту же роль, что и сила в поступательном движении.

Момент силы зависит от двух величин: от модуля самой силы и от ее плеча. Один и тот же момент силы может быть создан малой силой, плечо которой велико, и большой силой с малым плечом. Если, например, пытаться закрыть дверь, толкая ее поблизости от петель, то этому с успехом сможет противодействовать ребёнок, который догадается толкать ее в другую сторону, приложив силу поближе к краю, и дверь останется в покое. Для новой величины - момента силы - нужно найти единицу. За единицу момента силы в СИ принят момент силы в 1Н, линия действия которой отстоит от оси вращения на 1м. Эту единицу называют ньютон-метром (Н м).

Моментам сил, вращающих тело по часовой стрелке, принято приписывать положительный знак, а против часовой стрелки -отрицательный.

Тогда моменты сил F₁ и F₂ относительно оси О имеют противоположные знаки и их алгебраическая сумма равна нулю. Таким образом, мы можем написать условие равновесия тела с закрепленной осью:

F₁d₁=F₂d₂ или - F₁d₁+F₂d₂=0, М₁+М₂=0.

Следовательно, тело имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил относительно данной оси равна нулю, т.е. если сумма моментов сил, действующих на тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил действующих на тело против часовой стрелки.

Это условие равновесия тел с неподвижной осью вращения называют правилом моментов.

Рычаги. Правило рычага

Нетрудно понять, что из правила моментов следует знаменитое правило рычага.

Рычагом называют имеющее неподвижную ось вращения твердое тело, на которое действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг этой оси. Различают рычаги первого и второго года. Рычагом первого рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена между точками приложения сил, а сами силы направлены в одну и ту же сторону. Примерами рычагов первого рода могут служить коромысло равноплечих весов, железнодорожный шлагбаум, колодезный журавль, ножницы и т.д.

Рычагом второго рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена по одну сторону от точек приложения сил, а сами силы направлены противоположно друг другу. Примерами рычагов второго рода являются гаечные ключи, различные педали, щипцы для раскалывания орехов, двери и т.д. Согласно правилу моментов, рычаг (любого рода), урав-новешен только тогда, когда М₁=М₂. Поскольку М₁=F₁ d₁ и М₂=F₂ d₂, получаем F₁d₁=F₂d₂. Из последней

формулы следует, что F₁/F₂=d₁/d₂. Рычаг находится в равновесии, когда действующие на него силы обратно пропорциональны их плечам. Но это не что иное, как другое выражение правила моментов: F₁/F₂=d₁/d₂. Из последней формулы видно, что c помощью рычага можно получить выигрыш силе тем больший, чем больше соотношение плеч. Это широко используют на практике.

Пара сил. Две равные по модулю антипараллельные силы, приложенные к телу в разных точках, называют парой сил. Примерами пары сил могут служить силы, которые приложены к рулевому колесу автомобиля, электрические силы, действующие на диполь магнитные силы, действующие на магнитную стрелку и т.д..

Пара сил не имеет равнодействующей, т.е. совместное действие этих сил нельзя заменить действием одной силы. Поэтому пара сил не может вызвать поступательное движение тела, а вызывает только его вращение. Если при повороте тела под действием пары сил направления этих сил не изменяются, то поворот тела происходит до тех пор, пока обе силы не окажутся действующими противоположно друг другу вдоль прямой, проходящей через ось вращения тела.

Пусть на тело, имеющее закрепленную ось вращения О, действует пара сил f и f. Моменты этих сил M₁=|f|d₁<0 и M₂=|f| d₂<0. Сумма моментов M₁+M₂=|f|(d₁+d₂)= =|f|d0, следовательно, тело не находится в равновесии. Кратчайшее расстояние d=d₁+d₂ между параллельными прямыми, вдоль которых действуют силы, образующие пару сил, называют плечом пары сил; M=|f|d- это момент пары сил. Следовательно, момент пары сил равен произведению модуля одной из сил этой пары на плечо пары независимо от положения оси вращения тела при условии, что эта ось перпендикулярна плоскости, в которой находится пара сил.

Если пара сил действует на тело, не имеющее закрепленную ось вращения, она вызывает вращение этого тела вокруг оси, отходящей через центр масс данного тела.

Виды равновесия тел.

Если тело находится в равновесии, то это значит, что сумма приложенных к нему сил равна нулю и сумма моментов этих сил относительно оси вращения также равна нулю. Но возникает вопрос: а устойчиво ли равновесие? ( F = 0, M = 0).

С первого взгляда видно, например, что положение равновесия шарика на вершине выпуклой подставки неустойчиво: малейшее отклонение шарика от его равновесного положения приведёт к тому, что он скатится вниз. Поместим тот же шарик на вогнутой подставке. Его не так-то просто заставить покинуть свое место. Равновесие шарика можно считать устойчивым.

В чём же секрет устойчивости? В рассмотренных нами случаях шарик находится в равновесии: сила тяжести f_т, равна по модулю противоположно направленной силе упругости (силе реакции) N со стороны опоры. Всё дело, оказывается, именно в том малейшем отклонении, о котором мы упоминали. На рисунке 9 видно, что как только шарик на выпуклой подставке покинул свое место, сила тяжести f_т перестаёт уравновешиваться силой N со стороны опоры (сила N всегда направлена

перпендикулярно поверхности соприкосновения шарика и подставки). Равнодействующая силы тяжести f_т и силы реакции опоры N, т.е. сила F, направлена так, что шарик ещё больше удалится от положения равновесия. Иное дело на вогнутой подставке (рис.10). При малом отклонении от первоначального положения здесь тоже нарушается равновесие. Сила упругости со стороны опоры и здесь уже не будет уравновешивать силу тяжести. Но теперь равнодействующая этих сил F_T направлена так, что тело вернётся в прежнее положение. В этом и состоит условие устойчивости равновесия.

Равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении равновесного положения равнодействующая сил, приложенных к телу, возвращает его к положению равновесия.

Равновесие неустойчиво, если при малом отклонении тела от положения равновесия равнодействующая сил, приложенных к телу, удаляет его от этого положения.

Это справедливо и для тела, имеющего ось вращения. В качестве примера такого тела рассмотрим обыкновенную линейку, укрепленную на стержне, проходящем через отверстие вблизи ее конца. Из рисунка 11а видно, что положение линейки устойчиво. Если же подвесить ту же линейку так, как показано на другом рисунке 11б, то равновесие линейки будет неустойчивым.

Устойчивое и неустойчивое положения равновесия друг от друга ещё и положением центра тяжести тела.

Центром тяжести твёрдого тела, называют точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на каждую частицу этого тела. Центр тяжести твёрдого тела совпадает с его центром масс. Поэтому центр масс часто называют центром тяжести. Однако между этими понятиями есть отличие. Понятие центра тяжести справедливо только для твёрдого тела, находящегося в однородном поле сил тяжести, а понятие центра масс не связано ни c каким силовым полем и справедливо для любого тела (механической системы).

Итак, для устойчивого равновесия центр тяжести тела должен находиться в самом низком из возможных для него положений.

Равновесие же тела, имеющего ось вращения, устойчиво при условии, что его центр тяжести расположен ниже оси вращения.

Возможно и такое положение равновесия, когда отклонения от него не приводит к каким-либо изменениям в состоянии тела. Таково, например, положение шарика на плоской опоре или линейки, подвешенной на стержне, проходящем через её центр тяжести. Такое равновесие называется безразличным.

Мы рассмотрели условие равновесия тел, имеющих точку опоры или ось опоры. Не менее важен случай, когда опора приходится не на точку (ось), а на некоторую поверхность.

Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии; когда вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, не выходит за пределы площади опоры этого тела. Различают те же случаи равновесия тела, что упоминались выше. Однако равновесие тела, имеющего площадь опоры, зависит не только от расстояния его центра тяжести от Земли, но и от расположения и размеров площади опоры этого тела. Для того, чтобы можно было одновременно учитывать и высоту центра тяжести тела над Землёй, и значение его площади опоры, было введено понятие угол устойчивости тела.

Углом устойчивости называют угол, образованный горизонтальной плоскостью и прямой, соединяющей центр тяжести тела с краем площади опоры. Как видно из рисунка 12, угол устойчивости уменьшается, если каким-либо способом центр тяжести тела понижают (например, делают нижнюю часть тела более массивной или часть тела зарывают в Землю, т.е. создают фундамент, а также увеличивают площадь опоры тела). Чем меньше угол устойчивости, тем устойчивее равновесие тела.

Вывод: для того чтобы какое-либо тело находилось в равновесии, необходимо одновременное выполнение двух условий: во-первых, векторная сумма всех приложенных к телу сил должна быть равна нулю и, во-вторых, нулю должна быть равна и алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил относительно произвольной неподвижной оси.

1.7 Законы сохранения в механике

Для вывода закона сохранения количества движения или импульса введем некоторые понятия.

Механическая система - совокупность материальных точек и тел, рассматриваемых, как единое целое. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними.

Механическая система тел, на которую действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной).

Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел то согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m₁, m₂, ..., m_n и V₁ ,V₂ , … ,V_n.

Пусть f - равнодействующая всех приложенных к данному телу внутренних сил, а f - равнодействующая приложенных к данному телу внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

d/(m₁V₁)/dt = F₁+F₁, d/(m₂V₂)/dt = F₂+F₂ , … , d/(m_nV_n)/dt = F_n+F_n

Складывая почленно эти уравнения, получим:

d(m₁V₁ + m₂V₂ +…+ m_nV_n)/dt = *F₁+ F₂ +…F_n + F₁+F₂+…+ F_n.

Но т.к. геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

d(m₁V₁ + m₂V₂ +…+ m_nV_n)/dt = F₁+ F₂ +…F_n , или dp/dt = F₁+ F₂ +…F_n.

Таким образом, производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Рассматривая замкнутую систему, можем записать F₁+ F₂ +…F_n = 0. Таким образом

dp/dt = d(m₁V₁ + m₂V₂ +…+ m_nV_n)/dt = 0 или

dp/dt = d(m₁V₁)/dt = 0 p = m_iV_i = const

Полученное выражение и является законом сохранения импульса; полный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Иными словами, внутренние силы не могут изменить полного импульса системы ни по модулю, ни по направлению.

Этот закон справедлив, не только в рамках классической механики. Он является фундаментальным законом природы.

Закон сохранения количества движения связан с определенным свойством симметрии пространства - его однородностью.

Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета. В данном случае под замкнутой системой тел не понимается вся Вселенная, а лишь такие ее части, которые можно рассматривать в качестве замкнутых систем.

В механике Галилея-Ньютона в виду независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через ее центр масс, т.е. p=mV_c. где m - масса системы, а V_c - скорость ее центра масс. Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

mdV_c = F₁+ F₂ +…F_n закон движения центра масс *

В соответствии с p=mV_c* из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

Для замкнутой системы, момент внешних сил равен нулю, т.е. М=0, * т.е. * dL/dt=0 или L =const. - закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Полученное выражение и является законом сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы остается постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Иными словами, внутренние силы не могут изменить импульса системы ни по модулю, ни по направлению.

Этот закон справедлив, не только в рамкам классической механики. Он является фундаментальным законом природы.*идет повтор с стр 53 до 2 вопроса этой лекции надо убрать*

Энергия - универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других - переходит в другую форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое).

Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) другому телу, равна энергии, полученной вторым телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила* F, составляющая некоторый угол а (альфа) с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fg* на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы: A = F_s S = F S cos , где F-модуль силы, S-модуль перемещения.

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число достаточно малых элементов чтобы можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного элемента - постоянной. Тогда элементарная работа:* A_i = F_si dS_i = F_i dS_i cos ,* а работа переменной силы на всем пути MN будет равна сумме элементарных работ:

* A = ?F_si dS_i = ?F_i dS_i cos

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимости F_s от S вдоль траектории MN. Если эта зависимость представлена графически; то искомая работа А определяется заштрихованной на графике площадью.

Если, например, тело движется прямолинейно, F=const и =const, то получим

* A = ?F dS cos = F cos ? dS = FS cos

где S - пройденный телом путь. Из формулы (*) следует, что при </2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F_si совпадает по направлению с вектором скорости движения * . Если >/2, то работа силы отрицательна, в этом случае работа совершается против данной силы. При =/2 (F S), работа силы равна нулю (где S - вектор перемещения).

Единица работы в СИ - джоуль (ДЖ): 1ДЖ - работа совершаемая силой в 1Н на пути в 1м (1Дж=1Нм).

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность (N) есть физическая величина, равная отношению работы А к промежутку времени t, за который она совершена: N=A/t.

Если тело движется с постоянной скоростью V под действием силы F, то мощность может быть выражена формулой N=A/t=F_sS/t=F_sV, то есть равна произведению проекции силы на направление перемещения на скорость тела. В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки времени t совершается неодинаковая работа А) вводится понятие мгновенной мощности:

N=lim A/t = dA/dt. * t 0

Если мощность (мгновенная) не постоянна, то формула N = A/t определяет среднюю мощность. Единица мощности - ватт (Вт):

1 Вт-мощность, при которой за 1с совершается работа 1 джоуль (1 Вт=1Дж/с).

В технике часто используют единицу:

1кВт =10³Вт и 1МВт=10⁶Вт. Внесистемная единица мощности - лошадиная сила: 1л.с. = 735 Вт

3. Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение тела.

Если* F действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью *V, то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа силы *f на пути, которое тело прошло за время возрастания скорости от 0 до *У, идет на увеличение кинетической энергии, то есть dA = dE_k.

Используя скалярную запись второго закона Ньютона F=m dV/dt и умножая обе части равенства на перемещение dS, подучим:

m dV/dt dS= F dS= dA. Так как:

V= dS/dt , то dA= m V dV = dE_k и E_k = ?m V dV= mV²/2 ;

Таким образом, для тела массой m, движущегося со скоростью V, кинетическая энергия E_k = mV²/2. Из последней формулы видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения. При выводе формулы E_k. предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчёта, т.к. иначе нельзя было бы использовать второй закон Ньютона. В разных инерциальных системах отсчёта, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а* следовательно, и его кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

Потенциальная энергия - часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них - консервативными. Если же работа совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными; примером их являются силы трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией En* которая определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, т.к. в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная E_n по координатам. Поэтому потенциальную энергию какого-то определённого положения тела считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчёта), а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.

Потенциальная энергия тела обычно определяется работой, которую совершили бы действующие на него внешние силы, преодолевающие консервативные силы взаимодействия, перемещая его из конечного состояния, где потенциальная энергия равна нулю, в данное положение.

Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению потенциальной энергии этого тела, взятому с обратным знаком; т.е.

dA= - dE_n,

т.к. работа совершается за счёт убыли потенциальной энергии конкретный вид функции Е_n зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна Е_n = mgh, где h- высота, отсчитанная от нулевого уровня, для которого Е_n = 0. Выражение Е_п = mgh вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли. Т.к. начало отсчёта выбирается произвольно, то E_n может иметь отрицательное значение (E_k. всегда положительна!)

Найдём потенциальную энергию упруго-деформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

F_ynp= -K x,

К- коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость), знак минус указывает, что F_ynp направлена в сторону, противоположную деформации. По третьему закону Ньютона, для преодоления силы упругости надо приложить силу

F= - Fynp= Kx.

Элементарная работа dA, совершаемая силой F при малой деформации dx, равна

dA = F dx= Kxdx,

а полная работа

A = ? Kxdx = Кх²/2+с = Е_n

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Если принять, E_n недеформированного тела (при х =0) равна нулю, то с=0. Таким образом, E_n упругодеформированного тела равна:

E_n= Кх/2.*

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергии системы - энергия механического движения и взаимодействия:

Eмех* = Е_n +E_k

Закон сохранения энергии - результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В. Ломоносову (1711-1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю.Майером и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем.

Выведем закон сохранения энергии. Для этого рассмотрим замкнутую систему материальных точек массами m₁, m₂, … , m_n, движущихся со скоростями V₁, V₂ , … V_n. Пусть F₁, F₂, … F_n - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждую из этих точек, a F₁, F₂, … F_n - равнодействующие внешних сил. При V«c массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

m₁ dV₁/dt = F₁ + F₁;

m₂ dV₂/dt = F₂ + F₂;

……………………..

m_n dV_n/dt = F_n + F_n;

Пусть все точки за какой-то интервал времени dt совершают перемещения dX₁, dX₂, .... dX_n Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение, и; учитывая, что dX* = V_i dt, получим:

m₁ (V₁dV₁) = (F₁ + F₁) dX₁ = 0;

m₂ (V₂dV₂) = (F₂ + F₂) dX₂ = 0;

……………………………….

m_n (V_ndV_n) = (F_n + F_n) dX_n = 0;

Сложив эти уравнения и учитывая, что система замкнута, т.е.

F₁ + F₂ +…+ F_n . получим:

m_iV_idV_i = F_i dX_i = 0

m_iV_idV_i = d(m_iV_i ²/2*=* 0

dE_к - бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы; а:

F_i dX_i = dEп* - бесконечно малая работа всех действующих в

системе внутренних консервативных сил, взятая с обратным знаком, т.е. бесконечно малое изменение потенциальной энергии системы dE_n. Следовательно, для всей системы в целом dE_k+dE_n = 0, откуда полная механическая энергия замкнутой системы. Е_мех= E_k+Е_n = const. Полученное выражение представляет собой закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчёта времени. Например, при свободном падении тел в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности падения тела, а не зависят от того, когда тело начало падать. В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны, взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Такие системы называются замкнутыми консервативными системами. Существует ещё один вид систем - диссипативные системы - такие системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счёт преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации или рассеяния энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

При движении тела в замкнутой консервативной системе происходит непрерывное превращение кинетической его энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной. Поэтому этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон сохранения и превращения энергии - фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

В замкнутой системе, в которой действуют силы трения, полная механическая энергия системы при движении убывает. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии не справедлив. Однако при "исчезновении" механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой, В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии - сущность неуничтожимости материи и её движения.

1.8 Механические колебания и волны

Колебаниями называются процессы или движения, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Колеблются мосты под действием проходящих по ним поездов, колеблются вращающиеся валы машин и детали летящих самолетов, дрожат части зданий в больших городах и т.д. Таковы примеры вредных механических колебаний с которыми борется техника. Колеблются маятники различного рода в часах и других приборах, вибрируют струны звучащей скрипки, колеблются напряжение и ток в электрической цепи. Колеблются части нашего тела при движении. С определенной периодичностью происходят многие процессы в биосистемах. Физическая природа колебаний может быть разной поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. При всем разнообразии колебаний имеются общие законы, которым они подчиняются.

Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся Д.У. Рэлеем; А.Г. Столетовым; П.Н. Лебедевым. Большой вклад в развитие теории колебаний внесли Л.И. Мандельштам и его ученики.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия. (Пример: колебания маятников).

Вынужденными называются такие колебания; в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. (Пример: колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу).

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой - система сама управляет внешним воздействием.

Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:

...