Физические основы классической механики. Основы электромагнетизма

а) колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;

б) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармонические колебания величины S описываются уравнением типа

S=A • сos(щ₀t+ц),(1)

где А - максимальное значение колеблющейся величины, называемой амплитудой колебаний, щ₀ - круговая (циклическая) частота, ц - начальная фаза колебаний в момент времени t=0, (щ₀+ц) - фаза колебаний в момент времени t. Т.к. косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то S может принимать значения от +А до -А.

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2р, т.е.

щ₀ (t+T) + ц = *щ₀t + ц) + 2р , откуда Т=2р / щ₀ (2).

Величина обратная периоду колебаний:

v=l/T (3) *,

называется частотой - число полных колебаний в единицу времени.

Единица частоты - герц (Гц): 1Гц - частота периодического процесса, при которой за 1с совершается один цикл процесса. Из формул (2) и (3) следует, что щ₀ = 2рv*.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины S; получим выражения для скорости и ускорения:

V = dS/dt =-*A • sin(щ₀t + ц =A• щ₀ • cos(щ₀t+ ц + р/2), (4)

a = d²S/dt² =-A• щ₀² • cos(щ₀t+ ц)=A • щ₀² • cos (щ₀t+ ц + р), (5) т.е.

Имеем гармонические колебания той же циклической частоты. Амплитуды скорости и ускорения соответственно равны А щ₀ и А щ₀².

Фаза скорости отличается от фазы величины S на р/2, а фаза ускорения отличается от фазы величины S на р. Следовательно, в моменты времени, когда S=0, dS/dt приобретает наибольшие значения; когда же S достигает максимального отрицательного значения, то d²S/dt² приобретает наибольшее положительное значение.

Из формулы (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

d²S/dt² + щ₀²S=0 (6) (где учтено, что S=A • cos(щ₀ + ц).

Решением уравнения (6) является выражение (1).

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдолъ оси координат Х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты Х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (1), где S=Х:

Х=А•соs (щ₀t+ ц) (7).

Тогда скорость V и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны:*

V= A • щ₀² • соs (щ₀t+ ц) = A• щ₀² • cos(щ₀t+ ц + р/2);

a = -A • щ₀² • cos (щ₀t+ ц)=A• щ₀² • cos (щ₀t+ ц + р) (8)

Сила F=m•a, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m, с учетом уравнений (8) равна F=-m• щ₀² X. (F=-KX, где K= щ₀² • m, F-квазиупругая сила, т.е. подобная упругой силе, хотя физическая природа этой силы может быть другой).

Следовательно, сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону. Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения: E=E_{n max}=KX²/2; при прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии., которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения: E=E_{k max}=m • V^2*max/2=m•A² щ₀²/2. Выясним, как изменяется со временем кинетическая и потенциальная энергия гармонического колебания.

* E_k=mV²• щ₀²/2 • Sin² (щ₀t+ ц), (9)

Е_n =КХ²/2= mА² • щ₀²/2 • cos² (щ₀t+ ц), (10)

Сложив (9) и ('10), получим формулу для полной энергии:

E=E_k+E_n = mA² щ₀²/2.

Таким образом, полная энергия гармонического колебания действительно оказывается постоянной. Из формул (9) и (10) видно, что E_k и E_n. Изменяются с частотой 2 щ₀, т.е. с частотой, в два раза превышающей частоту гармонического колебания. Т.к.< sin²б > = < cos² б > = 1/2, то < E_k >= < E_n >= E/2.

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.

Математический маятник - идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом ц, образованным нитью с вертикалью. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине mgl sinц (m - масса, 1 - длина маятника).

Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесие, аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смешению и квазиупругой_силе, моменту М и угловому смещению ц нужно приписывать противоположные знаки. Следовательно: M = -mgl • sinqi* (1). Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Учитывая, что угловое ускорение - d²цdt^{2 *}, а момент инерции маятника равен ml², получаем:

ml²d²ц/dt² = -mgl•siц.

Последнее уравнение можно привести к виду

d²ц/ dt²+g/l • sinц = 0. (12).

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, в этом случае можно положить sinц?ц. Обозначим g/l = щ₀², придем к уравнению

d²ц/dt² + щ₀² ц = 0 (13),

решение которого известно:

ц =ц₀ • cоs (щ₀t + б ) (14).

Следовательно, при малых колебаниях математический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой щ₀ и периодом

Т=2р / щ₀ =2 р v1/ g (15).

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим.. При малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между точкой подвеса и центром масс маятника. (щ₀² =mgI/J), поэтому период колебания физического маятника определяется выражением

Т = 2р v J/mgI (16).

Из сопоставления формул (15) и (16) следует, что математический маятник с длиной l_np=J/ml (17) будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину l_пр. называют приведённой длиной

физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка 0' на продолжении прямой 00, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведёной длины, называется центром качаний физического маятника (см. рис.4 т. 0'). Точка подвеса 0 и центр качаний 0' обладают свойствами взаимозаменяемости: если ось подвеса сделать проходящей через центр качаний, то точка 0 прежней оси подвеса станет новым центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

3. Свободные колебания математического маятника, как и любые другие свободные колебания, с течением времени затухают.

Для того, чтобы колебания были незатухающими, энергия колеблющегося тела должна пополняться. Это может происходить, если на тело действует внешняя сила. Колебания тела или системы совершаемые под действием внешней, периодически пзменяющейся силы за счет работы этой силы называют вынужденными. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы, действующей на тело, а амплитуда таких колебаний зависит от амплитуды этой силы.

Резонанс.

Очень важным является случай возникновения вынужденных колебаний в системе, которая способна совершать свободные колебания. Рассмотрим следующий опыт. К горизонтальной рейке, укрепленной на стойках, подвешены математические маятники с нитями разной длины (рис.6) 1₁,1₂ ,1₃,1₄.

Среди них два маятника имеют одинаковую длину нити (1₂=1₄). Согласно формуле щ₀ = vg/1, это означает, что частоты собственных колебаний этих маятников одинаковы, т.е. щ₀₂ = щ₀₄. Если вывести из состояния равновесия маятник 2, то его колебания через рейку передадутся остальным маятникам. При этом маятники 1 и 3 будут покачиваться лишь слегка, а маятник 4 начнет раскачиваться cильно, с большой амплитудой колебаний.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний тела, происходящее при совпадении частоты изменения щ действующей на это тело внешней силы с собственной частотой щ₀ свободных колебаний данного тела, называют механическим резонансом.

На изображены графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний двух тел 1 и 2 от частоты изменения действующей на эти тела внешней периодически изменяющейся силы. Из рисунка видно, что амплитуда вынужденных колебаний возрастает с приближением частоты щ к собственной частоте тела щ₀ и становится максимальной при щ = щ₀ (резонанс). Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе тем больше, чем меньше трение в системе. При малом трении резонанс "острый" (кривая 1 на рис.7), при большем трении - "тупой" (кривая 2). В системе с малым трением амплитуда вынужденных колебаний при резонансе может стать очень большой даже при малой вынуждающей силе.

Амплитуда Х_m вынужденных колебаний при резонансе определяется по формуле:

Х_m = F_m/щ₀,

где F_m - амплитудное значение внешней силы; -коэффициент трения. Возможность возникновения резонанса приходится обязательно учитывать в технике, особенно при создании машин и механизмов с движущимися частями, а также при строительстве мостов, зданий и других конструкций, испытывающих вибрацию под нагрузкой. Известно много случаев, когда неучёт явления резонанса приводил к серьёзным авариям: разрушались мосты, самолеты, происходили поломки валов двигателей и турбин, гребных винтов кораблей и т.д. Однако явление резонанса имеет и большое практическое применение. Его используют во многих механических, акустических и радиотехнических приборах.

Незатухающие колебания могут происходить в системе и при отсутствии внешней силы, если данная система содержит в себе источник энергии и устройство, регулирующее поступление к колеблющейся части системы порций энергии, компенсирующих потере, вызванные трением. Такие системы называют автоколебательными. Примерами подобных систем являются часы, сердце живого организма и т.д. В отличие от вынужденных колебаний частота и амплитуда автоколебаний зависят от свойств автоколебательной системы.

Процесс распространения колебаний с течением времени называют волной. Волны, распространяющиеся за счёт упругих свойств среды, называют упругими. Упругие волны бывают поперечными и продольными.

Поперечный - называют волну, в которой колебания частиц происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Поперечные упругие волны могут распространяться только в твердых телах и на свободной поверхности жидкости. В газообразных обедах поперечные волны существовать не могут.

Продольной - называют волну, в которой колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продольные упругие волны могут распространяться и в твёрдых, и в жидких в газообразных средах.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества. Волна обладает периодичностью свойств в пространстве и во времени. Чтобы выявить фазовые соотношения в волне рассмотрим рис.8, на котором изображены в один и тот же момент времени положения колеблющихся точек среды, через которую проходит поперечная упругая волна, распространяющаяся вдоль оси Оу.

Две точки колеблются в одинаковых фазах, если они, двигаясь в одном направлении, одновременно проходят через положение равновесия и одновременно достигают одинаковых по модулю и знаку амплитудных отклонении. Данному условию удовлетворяют точки 0 и 4; 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8, следовательно, эти пары точек колеблются в одинаковых фазах, т.е. у них ₁=₂. Сдвиг фаг между любыми двумя точками, колеблющимися в одинаковых фазах, равен ₁-₂= 2k (k=0,1,2,...). Две точки колеблются в противоположных фазах если они, двигаясь в противоположных направлениях, одновременно проходят через положение равновесия и одновременно достигают равных по модулю, но противоположных по знаку амплитудных отклонений. Сдвиг фаг между любыми двумя точками, колеблющимися в противоположных фазах, равен ₁-₂=(2k+1) , где k=0, l, 2… Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковых фазах, называется длиной волны ().

-VT - длина волны - это расстояние, на. которое распространяется определенная фаза колебания за период. Т.к. T=l/v, где v - частота колебаний, V=v - скорость волны (фазовая скорость) - скорость перемещения в пространстве какой-либо фазы волны (например гребня или впадины в поперечной волне, сгущения или разрежения в продольной волне).

Если рассмотреть волновой процесс подробнее, то ясно, что колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси X, а колеблется совокупность частиц, расположенных в некотором объеме, т.е. волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства.

Совокупность всех точек среды, которые в данный момент времени колеблются в одинаковых фазах, образует некоторую поверхность, называемую волновой. Волновую поверхность, отделяющую колеблющиеся частицы среды от частиц, еще не начавших колебаться, называют фронтом волны. Волновой фронт в каждый момент времени один, а волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество. Волны принято называть по форме их волнового фронта. Если фронт имеет форму сферы; ее называет сферической. Такие волны создаются точечными источниками волн в однородной среде. Если фронт волны представляет собой плоскость, волну называют плоской. Плоскую волну можно, например, возбудить, если поместить в упругую среду плоскую пластину больших размеров и вызвать ее возвратно-поступательное движение.

При распространении в оплошной среде сферической волны площади ее волновых поверхностей быстро увеличиваются по мере удаления от источника волн (т.к. площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату радиуса). Это приводит к рассеянию энергии волны в пространстве и уменьшению интенсивности волны (т.е. к уменьшению энергии, переносимой волной за единичное время через единичную площадь), что, в свою очередь, вызывает уменьшение амплитуды колебаний частиц среды, т.е. затухание колебаний. Такое затухание сферической волны при ее удалении от источника происходят независимо от того, действуют ли в данной среде силы трения, вызывающие уменьшение амплитуды колебаний в процессе перехода кинетической энергии колебательного движения во внутреннюю энергию среды. При распространении в сплошной среде плоской волны площадь ее волновой поверхности при удалении волны от источника практически не увеличивается; поэтому энергия плоской волны в пространстве не рассеивается и затухание колебаний может происходить только под действием сил трения в среде.

Распространение волн в пространстве нередко сопровождается явлениями интерференции и дифракции этих волн. Такие явления свойственны всем волнам независимо от их природы и являются характерными признаками любого волнового процесса.

Явление интерференции возникает при суперпозиции (т.е. наложении) когерентных волн. Когерентными называют волны, излучаемые такими источниками, у которых частоты колебаний одинаковы (т.е. v₁=v₂), сдвиг фаз между колебаниями с течением времени не изменяется (т.е. ₁-₂=const) и колебания происходят в одной плоскости.

При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.

Если складываются колебания в одинаковых фазах, т.е. ₁=₂ и, следовательно, сдвиг фаз между ними ₁-₂=2К (К=0,1,2,...), то в результате происходит усиление колебаний образуется интерференционный максимум. При этом смещение (и амплитуда) результирующего колебания равно сумме смещений (амплитуд) наложившихся колебаний. Если же складываются колебания в противоположных фазах, т.е. ₁=-₂, и, следовательно, сдвиг фаз между ними ₁-₂=(2К+1) (К=0,1,2,...), то в результате происходит ослабление колебаний - образуется интерференционный минимум. При этом смещение (и амплитуда) результирующего колебания равно разности смещений (амплитуд) наложившихcя колебаний.

Дифракция волн - при распространении волны могут встретиться с различными препятствиями.

Если размеры препятствий намного превышают длину волны, за ними волны не распространяются. Если же размеры препятствий сравнимы с длиной волны или меньше ее, происходит дифракция волн, т.е. отклонение волн от первоначального направления распространения и сгибание волнами препятствий.

2. Основы электромагнетизма

2.1 Основы электричества

Введение

Со словами "электричество", "электрический ток" вы встречались много раз и успели к ним привыкнуть. Но попробуйте ответить на вопрос: "Что такое электрический заряд?" - и вы убедитесь, что это не так-то просто. Дело в том, что понятие заряда - это основное, первичное понятие, не сводимое на современном уровне развития наших знаний к каким-либо более простым, элементарным понятиям. Сначала выясним, что понимают под утверждением: данное тело или частица имеет электрический заряд.

Вы знаете, что все тела построены из мельчайших, неделимых на более простые (насколько сейчас науке известно) частиц, которые поэтому называют элементарными. Все элементарные частицы имеют массу и благодаря этому притягиваются друг к другу согласно закону всемирного тяготения. Сила тяготения сравнительно медленно убывает по мере увеличения расстояния между частицами: обратно пропорционально квадрату расстояния. Большинство элементарных частиц, хотя и не все, кроме того, обладают способностью взаимодействовать друг с другом с силой, которая также убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, но эта сила в огромное число раз превосходит силу тяготения. Так, в атоме водорода, электрон притягивается к ядру (протону) с силой, в 10³⁹ раз превышающей силу гравитационного притяжения.

Если частицы взаимодействуют друг с другом с силами, которые медленно уменьшаются с увеличением расстояния и во много раз превышают силы всемирного тяготения, то говорят, что эти частицы имеют электрический заряд. Сами частицы называются заряженными. Бывают частицы без электрического заряда, но не существует электрического заряда без частицы Взаимодействие между заряженными частицами, носят название электромагнитных. Электрический заряд определяет интенсивность электромагнитных взаимодействий, подобно тому, как масса определяет интенсивность гравитационных взаимодействий.

Электрический заряд элементарной частицы - это не особый "механизм" в частице, который можно было бы снять с нее, разложить на составные части и снова собрать. Наличие электрического заряда у электрона и других частиц означает лишь существование определенных силовых взаимодействий между ними. Но мы, в сущности, ничего не знаем о заряде, если не знаем законов этих взаимодействий. Знание законов взаимодействия должно входить в наши представления о заряде. Законы эти не просты, изложить их в нескольких словах невозможно. Вот почему нельзя дать достаточно удовлетворительного краткого определения того, что такое электрический заряд.

Существует два типа зарядов - положительные и отрицательные; одноименные заряды друг от друга отталкиваются, разноименные притягиваются. При электризации трением всегда заряжаются оба тела, причем равными по величине, но разноименными зарядами.

Опытным путем американский физик Р.Милликен (1868-1953) и советский физик А.Ф.Иоффе доказали, что электрический заряд дискретен, т.е. заряд любого тела составляет целое кратное от некоторого элементарного электрического заряда - е .

q = N e ; N - число элементарных зарядов, q - заряд тела (е =1,6 10^-*19 Кл). Электрон (m_e =9,11 10^-31кг) и протон (m_p = 1,67 10^-27 кг) являются соответственно носителями элементарных отрицательных и положительных зарядов.

Из обобщенных опытных данных был установлен фундаментальный закон природы, впервые сформулированный английским физиком М.Фарадеем (1791-1867). Закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрический зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами о внешними телами остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы.

Электрический заряд - величина релятивистски инвариантная, т.е. не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется этот заряд или покоится.

Наличие свободных носителей заряда (электронов, ионов) является условием того, что тело проводит электрический ток. В зависимости от способности тел проводить электрический ток они делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники.

Проводники - тела, в которых электрический заряд может перемещаться по всему его объему. Проводники делятся на две группы:

1) проводники первого рода (например, металлы) - перенесение в них зарядов (свободных электронов) не сопровождается химическими превращениями;

2) проводники второго рода (например, расплавленные соли, растворы кислот) - перенесение в них зарядов (положительных и отрицательных ионов) ведет к химическим изменениям.

Диэлектрики (стекло, пластмассы) - тела, которые не проводят электрического тока; если к этим телам не прикладывается внешнее электрическое поле, в них практически отсутствуют свободные носители заряда.

Полупроводники (германий, кремний) занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, причем их проводимость сильно зависит от внешних условий, например температуры.

Указанное деление тел является в некоторой степени условным, однако большая количественная разница в проводимости тел обусловливает огромные качественные различия в их поведении и оправдывает поэтому деление тел на проводники, диэлектрики, и полупроводники.

Единица электрического заряда (производная единица, т.к. определяется через единицу силы тока) - Кулон (Кл) - электрический заряд, проходящий через поперечное сечение при токе силой 1А за время 1с.

Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов установлен в 1785 г. Ш. Кулоном с помощью крутильных весов (ранее этот закон был открыт Г. Кавендишем, однако его работа оставалась неизвестной более 100 лет).

Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует. Точечный заряд в учении об электричестве играет такую же важную роль, как материальная точка в механике.

Закон Кулона: сила взаимодействия между двумя точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

F = Kq₁q₂/ г²,

где К - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т.е. является центральной, и соответствует притяжению (F< 0) в случае разноименных зарядов и отталкиванию (F > 0), в случае одноименных зарядов. Сила F называется кулоновской силой. В векторной форме закон Кулона имеет вид :

F₁₂ = Kq₁q₂ / г² r₁₂ / г ,

где F₁₂ - сила, действующая на заряд q₁ со стороны заряда q₂, r₁₂ - радиус-вектор, соединяющий заряд q₁ с зарядом q₂, r=|r₁₂|.

Если взаимодействующие заряды находятся в однородной и изотропной среде, то сила взаимодействия F = Kq₁q₂/r, где -безразмерная величина - диэлектрическая проницаемость среды, показывающая, во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в данной среде меньше силы взаимодействия в вакууме: = F_o / F Для вакуума =1. В СИ коэффициент пропорциональности принимается равным К = 1/4_о. Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде: F= (l/4_о ) (q1q2 /r²).* Величина _o называется электрической постоянной она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна: _o =8,85 10^-12 Кл²/(Н м²), или ₀ =8,85 10 ф/м, где фарад (ф) - единица электроемкости. Тогда 1/4_о =9-10⁹ м/ф.

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле. Согласно представлениям современной физики, поле реально существует и наряду о веществом является одним из видов материи, посредством которого осуществляются определенные взаимодействия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав вещества. В данном случае говорят об электрическом поле - поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Мы будем рассматривать электрические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами и называются электростатическими.

Для обнаружения и исследования такого поля используется пробный точечный положительный заряд - такой заряд, который своим действием не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом q, поместить пробный заряд q₀ ,то на него действует сила F, различная в разных точках поля, которая согласно закону Кулона, пропорциональна пробному заряду q₀. Поэтому отношение F/q₀ не зависит от пробного заряда и характеризует электрическое поле в этой точке, где пробный заряд находится. Эта величина является силовой характеристикой электростатического поля и называется напряженностью. Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля: Е = F/q_o.

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Из последней формулы следует, что единица напряженности электростатического поля - ньютон на кулон (Н/Кл): lH/Кл - напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует силой в 1 Н. 1Н/Кл = 1В/м, где В (вольт) - единица потенциала электростатического поля. Напряженность поля точечного заряда для вакуума ( =1); Е = 1/4_о q/г²г/г; или в скалярной форме: Е =1/4_о q/г²;

Вектор Е во всех точках поля направлен радиально от заряда, если он положителен, и радиально к заряду, если отрицателен. Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности (силовых линий), которые проводят так, чтобы касательные к ним в каждой точке пространства совпадали по направлению с вектором напряженности в данной точке поля. Т.к. в каждой точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Для однородного поля (вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности - радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен, и входящие в него, если он отрицателен.

Вследствие большой наглядности графический способ представления электрического поля широко применяется в электротехнике.

В истории развития физики имела место борьба двух теорий - дальнодействия и близкодейcтвия. В теории дальнодействия принимается, что электрические явления определяются мгновенным взаимодействием зарядов на любых расстояниях.

Согласно теории близкодействия, все электрические явления определяются изменениями полей зарядов, причем эти изменения распространяются в пространстве от точки к точке с конечной скоростью. Применительно к электростатическим полям обе теории дают одинаковые результаты, хорошо согласующиеся с опытом. Переход же к явлениям, обусловленным движением электрических зарядов, приводит к несостоятельности теории дальнодействия, поэтому современной теорией взаимодействия заряженных частиц является теория близкодействия.

Рассмотрим метод определения величины и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов q₁, q₂, …… q_n. Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила F, действующая со стороны поля на пробный заряд q_o, равна векторной сумме сил F_i, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов

*F = F_i, т.к. F = q_оE, то и F_i = q_оE_i, где Е - напряженность

результирующего поля, E_i - напряженность поля, создаваемого зарядом q_i.

Итак, Е = E_i, полученная формула выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей согласно которому напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности. Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд qo, то сила, приложенная к заряду, совершает работу.

dA = Fdl = Fdl соs* a = 1/4_о qq_o/r² dl cos , т.к.

dl cos = r, то dA = 1/4_о qq_o/r² dr

A₁₂ = ? dA = qq_o /4_о ? dr/r² = 1/4_о (qq_o/r_{1_*_} qq_o/r₂)

Работа при перемещении заряда q_o из точки 1 в точку 2 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Как известно, работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает заряд qо в начальной и в конечной точках поля заряда q:

*А12=1/4₀ qq₀/r₁-1/4₀ qq₀/r₂ = U1-U2,

откуда следует, что потенциальная энергия заряда qo в поле заряда q равна: U = 1/4_о qq₀/r + С, которая, как и в механике, определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С.

Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (г ) потенциальная энергия обращается в нуль (En = 0), то С = 0 и потенциальная энергия заряда q_o, находящегося в поле заряда q на расстоянии г от него равна: U = 1/4_о qq_o/r (*) Т.к. для одноименных зарядов qq_o > 0, то и U (отталкивания) положительна, а для разноименных зарядов qq_o < 0 и U < О (отрицательна). Из формулы (*) вытекает, что отношение U/q_o не зависит от qо и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом: = U/q_o. Потенциал () в какой-либо точке электрического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, а, равен: = 1/4_о q/г. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда qо из точки 1 в точку 2 может быть представлена как A₁₂ = U₁ - U₂=q_o (₁-₂), т.е. равна произведению переносимого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Из последней формулы видно, что ₁-₂=A₁₂/q_o. Таким образом, потенциал - физическая величина, определяемая работой по перемещение единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность, т.е. = A /q_o.

Из формулы = U/q_о следует, что единица потенциала - вольт (В): 1В - есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В = 1Дж/Кл). Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов. В этом заключается существенное преимущество скалярной энергетической характеристики электростатического поля - потенциала - перед его векторной силовой характеристикой - напряженностью, которая равна геометрической сумме напряженностей слагаемых полей.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электрического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом -энергетической характеристикой поля. Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси Х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и X2 - X1 = dx, равна Ex=dx. Та же работа равна 1-2=-d. Приравняв оба выражения, можем записать: Ех = -/х, где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по X. Повторив аналогичные рассуждения для осей Y и Z, можем найти вектор Е:

*Е = - (/хi + /yj + /zk),

где i, j, k - единичные векторы координатных осей X, У, Z. Ив определения градиента следует, что Е = -grad или Е = -. ( - набла оператор), т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение. Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал определяется по формуле:

= 1/4o q/г.

Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Рассуждения приводят к выводу о том, что линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, вое точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т.е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако, их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше. Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля величину и направление напряженности поля. На рис.5 для примера показан вид линий напряженности (пунктирные линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) поля заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом - впадину.

В электродинамике - разделе физики, в котором рассматриваются явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов или макроскопических заряженных тел, - важнейшим понятием является понятие электрического тока.

Электрическим током называется любое упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. Если в проводнике поддерживать внешнее электрическое поле Е, то в нем свободные электрические заряды начнут перемещаться: положительные - по полю, отрицательные - против поля, т.е. в проводнике возникает электрический ток, называемый током проводимости. Если же перенос электрических зарядов осуществляется при перемещении в пространстве заряженного макрокоскопического тела, то возникает так называемый конвекционный ток.

Для возникновения и существования электрического тока необходимо, с одной стороны, наличие свободных носителей тока - заряженных частиц, способных перемещаться упорядоченно, с другой -наличие электрического поля, энергия которого, каким-то образом восполняясь, расходовалась бы на их упорядоченное движение. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I - скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

I= dq/dt.

Ток, сила и направление которого не изменяются со временем, называется постоянным. Для постоянного тока I=q/t, где q -электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника. Единица силы тока ампер (А). Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего черев единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярно направлению тока, называется плотностью тока.

j = I/S.

Плотность тока - вектор, ориентированный по направлению тока, т.е. направление вектора j совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов. Выразим силу и плотность тока через скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике. Если концентрация носителей тока равна n и каждый носитель имеет элементарный заряд е (что не обязательно для ионов), то за время dt через поперечное сечение S, переносится заряд dq = ne <V> Sdt. Сила тока I = dq/dt = ne <V>S, а плотность тока j = ne <V>. Сила тока сквозь произвольную поверхность определяется как поток вектора j, т.е.

I = ? jdS

Если два разноименных проводника А и В, заряженных до потенциалов ₁ и ₂, соединить проводником С, то под действием поля начнется перемещение электронов в направлении АСВ, проводнику пойдет ток в направлении ВСА. В процессе прохождения тока произойдет выравнивание потенциалов и напряженность поля внутри проводника станет равной нулю, ток прекратится. Таким образом, электрическое поле создает в проводнике кратковременный импульс тока (сила тока в момент соединения возрастает от нуля до некоторого максимума, а затем постепенно убывает до нуля). Для поддержания в цепи постоянного тока необходимо иметь специальное устройство, внутри которого происходило бы непрерывное разделение разноименных зарядов и их перенос к соответствующим проводникам. Подобное устройство, называемое источником тока (или генератором) должно действовать на электроны (или вообще на заряды) силами не электростатического происхождения; такие силы называются сторонними. Природа сторонних сил может быть различной.

Например, в гальванических элементах эти силы возникают за счет энергии химических реакций между электродами и электролитами; в генераторах постоянного тока - за счет анергии магнитного поля и механической энергии вращения якоря и т.п. Роль источника. тока в электрической цепи, образно говоря, такая же как роль насоса, который необходим для перекачивания жидкости в гидравлической системе. За счет создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электрического поля, благодаря чему на концах внешней цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный электрический ток. Сторонние силы, перемещая электрические заряды, совершают работу.

Физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) , действующей в цепи: = A/qo. Часто вместо того, чтобы оказать: "в цепи действуют сторонние силы", говорят: " в цепи действует ЭДС", т.е. термин электродвижущая сила употребляется как характеристика сторонних сил. ЭДС, как и потенциал, выражается в вольтах (В). Сторонняя сила Fст., действующая на заряд qo, может быть выражена как*

Fст =Eст qo,

где Ест - напряженность поля сторонних сил. Работа же сторонних сил над зарядом qо на замкнутом участке цепи равна:

А = фF_стdl=q_oфE_стdl.

Разделив обе части равенства на, qo, получим э.д.c., действующую в цепи:* = фE_стdl, т.е. э.д.с., действующая в цепи, определяется как циркуляция вектора напряженности сторонних сил. Э.д.с., действующая на участке 1-2,

равна _1-2= ? E_ст dl

На заряд qo помимо сторонних сил действуют также силы электростатического поля F_e=q_oE. Таким образом, результирующая сила, действующая в цепи на заряд q_o, равна F=F_ст+F_e=q_о(Е_ст+Е). Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом q_o на участке 1-2, равна

А_1-2=q_o?Е_ст dl+q_o?Edl , или А_1-2 = q_o12+q_o(₁-₂).

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, поэтому в данном случае A₁₂ = q_o12

Напряжением U на участке 1-2 называется физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем электростатических (кулоновских) и сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи. Таким образом, U₁₂ =(₁-₂)+₁₂. Понятие напряжения является обобщением понятия разности потенциалов: напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов в том случае, если на этом участке не приложена э.д.с., т.е. сторонние силы отсутствуют.

Немецкий физик Г. Ом (1787-1854) экспериментально установил, что сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику (т.е. проводнику, в котором не действуют сторонние силы), пропорциональна напряжению на концах проводника: (*) I = U/R, где R - электрическое сопротивление проводника. Уравнение (*) выражает закон Ома для участка цепи (не содержащего источника тока): сила тока в проводнике прямо пропорциональна приложенному напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению проводника. Формула I = U/R позволяет установить единицу сопротивления - Ом (Ом): 1 Ом - сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1В течет постоянный ток силой 1 А.

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Для цилиндрического проводника. сопротивление прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади его поперечного сечения: R = 1/S, р - коэффициент пропорциональности, характеризующий материал проводника. Он называется удельным электрическим сопротивлением. Единица удельного сопротивления - омметр (Ом м). Наименьшим удельным сопротивлением обладает серебро (1,6 10^-8 Ом м) и медь (1,7 10^-8 Ом м). На практике наряду с медными применяют алюминиевые провода, хотя алюминий и имеет большее, чем медь удельное сопротивление (2,6 10^-8 Ом м), но зато обладает меньшей плотностью по сравнению с медью.

При последовательном соединении проводников их сопротивления складываются: R = R₁ + R₂ + … + R_n; а при параллельном - суммируются обратные значения сопротивлений:

1/R = 1/R₁ + l/R₂ + ... + 1/R_n.

Опыт показывает, что в первом приближении изменение удельного сопротивления, а следовательно, и сопротивления с температурой описывается линейным законом: = _о(1 + t); R = R_o(l + t), где и _о, R и R_o - соответственно удельные сопротивления и сопротивления проводника при t^о и 0°С, - температурный коэффициент сопротивления, для чистых металлов (при не очень низких температурах) близкий к 1/273 град^-1. Значит, температурная зависимость сопротивления может быть представлена в виде

R =R_oT,

где Т - термодинамическая температура.

Качественная температурная зависимость сопротивления металла. Впоследствии было обнаружено, что сопротивление многих металлов (например, Al, Pb, Zn и др.) и их сплавов при очень низких температурах Тк (0,14-20 К), называемых критическими, характерных для каждого вещества, скачкообразно уменьшается до нуля, т.е. металл становится абсолютным проводником. Впервые это явление, называемое сверхпроводимостью, обнаружено Г. Камерлинг - Оннесом для ртути. Явление сверхпроводимости объясняется на основе квантовой теории. На зависимости электрического сопротивления металлов от температуры основано действие термометров сопротивления, которые позволяют по градуированной взаимосвязи сопротивления от температуры измерять температуру с точностью до 0,003 К. Использование в качестве рабочего вещества термометра сопротивления полупроводников, приготовленных по специальной технологии, - термисторов - позволяет отмечать изменение температуры в миллионные доли Кельвина (измерение температур очень малых объемов).

Рассмотрим однородный проводник, к которому приложено напряжение U. За время dt через сечение проводника переносится заряд dq = Idt. Т.к. ток представляет собой перемещение заряда dq под действием электрического поля, то работа тока:

(*) dA=dqU=IUdt.

Если сопротивление проводника R, то, используя закон Ома, получим dA=I²Rdt=U²/Rdt. (*) Их последних двух формул следует, что мощность тока: Р=dA/dt=UI=I²R=U²/R. Полученные выражения справедливы как для переменного, так и для постоянного тока, причем для переменного тока этими формулами определяется мгновенное значение мощности. Работа тока выражается в джоулях, а мощность - в ваттах. На практике применяется также внесистемные единицы работы тока: ватт-час (Вт ч) и киловатт-час (кВт ч). 1Вт ч = 3,6 10³Дж; 1кВт ч = 10³Вт ч = 3,6 10⁶Дж.

Если ток проходит по неподвижному проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии, (*) dQ = dA. Таким образом, используя выражение (*), получим: dQ = I U dt = I² R dt = U²/R dt. Полученное выражение представляет собой закон Джоуля-Ленца экспериментально установленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э.Х. Ленцем.

Тепловое действие тока находит широкое применение в технике, которое началось с открытия в 1873 г. русским инженером А.Н.Лодыгиным (1847-1923) лампы накаливания. На нагревании проводников электрическим током основано действие электрических муфельных печей, электрической дуги (открыта русским инженером В.В. Петровым (1761-1834), контактной электросварки, бытовых электронагревательных приборов и т.д.

Мы рассматривали закон Ома для однородного участка цепи, т.е. такого, в котором не действует Э.д.с. Теперь рассмотрим неоднородный участок цепи, где действующую э.д.с. на участке 1-2 обозначим через ₁₂, а приложенную на концах участка разность потенциалов - через (₁- ₂).

Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1-2, то работа dA₁₂ всех сил (сторонних и электростатических), совершаемая над носителями заряда, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте dQ, выделяющейся на участке. Заряд q_о переносимый за время dt по проводнику, равен I dt. Работа сил, совершаемая при перемещении этого заряда на участке 1-2 равна dA₁₂ = q_{o 12} + q_o(₁-₂). Э.д.с., как и сила тока -величина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком - в зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если э.д.с. способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении, то ₁₂ > 0. Если э.д.c. препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то ₁₂ < 0. За время dt в проводнике выделяется теплота dQ = I²Rdt = IR(I dt) = IRq_o. Т.к. dA₁₂ = dQ, то IR = (₁-₂) + ₁₂, откуда I = [(₁-₂) + ₁₂]/ R. Полученное выражение представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме, который является обобщенным законом Ома. Если на данном участке цепи источник тока отсутствует (₁₂ = О), то приходим к закону Ома для однородного участка цепи: I = (₁-₂,) / R = U/R (при отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка равно разности потенциалов).

...