Низкочастотный динамический отклик в системах с сильным взаимодействием квазичастиц

Проанализируем эту ситуацию теоретически, используя для описания нашей системы теорию четырёхполюсников [. А.Л. Фельдштейн, Л.Р. Явич, В.П. Смирнов. Справочник по элементам волноводной техники. М.: Советское радио, 1967, 651с.]. Рассмотрим следующую схему:

В случае линейного пассивного (неавтономного) четырёхполюсника уравнение связи выражается через комплексную матрицу передачи следующим образом:

(2.1)

Если Z_x - импеданс образца, то с учётом соотношения Z_x=V₂/I₂ прибор будет показывать значение

(2.2)

Обозначая волновое сопротивление прибора Z_i, введём коэффициент отражения

.(2.3)

Определим также импедансы холостого хода Z₀=Z(Z_x=)=A/C и короткого замыкания Z_S=Z(Z_x=0)=B/D. Если четырёхполюсник является обратимым и симметричным (мы следуем терминологии, принятой в [74]), то для него A=D и после несложных преобразований находим:

.(2.4)

Формула (2.4) является основой для широко применяемого в промышленных приборах алгоритма "Open-Short" (OS) компенсации, когда для устранения вклада линии связи перед началом измерений проводится калибровка, заключающаяся в измерении импедансов Z₀ и Z_S.

При проведении широкодиапазонных измерений необходимо учитывать тот факт, что Z₀ и Z_S, вообще говоря, являются сложными функциями частоты. В этом случае, как правило, создаётся калибровочная таблица путём измерений Z₀ и Z_S для дискретного набора частот, а в промежутках используется интерполяция. Если четырёхполюсник является обратимым, но несимметричным, то для учёта влияния линии требуется знать уже не два, а три параметра [74, 75], и процедура калибровки несколько усложняется: обычно используют измерение высокостабильного прецизионного резистора с очень небольшой реактивной составляющей импеданса, сопротивление которого выбирается равным волновому сопротивлению прибора.

Рассмотрим ещё один практически важный случай. Коэффициент отражения Г_х для рассмотренного выше обратимого симметричного четырёхполюсника можно вычислить с помощью формул (2.2), (2.3):

.(2.5)

Видно, что если выполняется условие

B/C=Z₀Z_S=Z_i ²,(2.6)

то формула (2.5) приводится к виду

где

Таким образом, оказывается возможным учесть влияние линии связи при помощи одного комплексного параметра - эффективного коэффициента отражения линии Г₀():

Г_Х=Г₀()Г(2.7)

Соотношение (2.7) лежит в основе алгоритма Г-компенсации, который, как мы увидим далее, может быть эффективно использован в том случае, когда в качестве линии связи используется коаксиальный кабель.

Известно [74, 75], что для коаксиальной линии матрица передачи принимает вид:

, где(2.8а)

-(2.8б)

постоянная распространения, а

-(2.8в)

волновое сопротивление. В формулах (2.8а) (2.8в) l - длина кабеля, - круговая частота, а R,L,G,C - погонные сопротивление, индуктивность, проводимость (обусловленная, в основном, потерями в диэлектрике на высоких частотах) и ёмкость кабеля соответственно. Если Z_i равняется волновому сопротивлению прибора, то условие (2.6) выполнено, и можно записать:

(2.9)

Следовательно, для компенсации вклада коаксиального кабеля можно использовать простое соотношение (2.7) с Г₀=exp(-2 l). Однако в реальной ситуации и коэффициент передачи, и волновое сопротивление для распространённых в лабораторной практике типов кабелей являются достаточно сложными функциями частоты, поскольку из-за наличия дисперсии в диэлектрике и скин - эффекта величины R,G,L,C, в свою очередь, зависят от частоты сигнала. Кроме того, при низкотемпературных измерениях вдоль соединительной линии возникает градиент температуры, индуцирующий неоднородность её параметров. В результате нарушается условие обратимости эквивалентного четырёхполюсника и резко усложняется теоретический анализ.

Таким образом, при измерениях импеданса в диапазоне радиочастот необходимо самым тщательным образом учитывать вклад от линии связи. Соединительный кабель должен быть максимально коротким и иметь в требуемом диапазоне частот незначительные потери (желательно использовать воздушные линии), а перед измерениями требуется проведение калибровки.

Существует целый ряд методов измерения импеданса, каждому из которых присущи свои достоинства, а также ограничения и недостатки. При выборе подходящего метода приходится учитывать такие факторы, как диапазон частот, порядок измеряемых значений импеданса, точность измерений и производительность. Кратко рассмотрим основные характеристики наиболее употребительных схем.

1. I-V метод, в котором измеряются ток и падение напряжения на образце, наиболее прост в реализации, но достаточно редко используется в практике частотных измерений, так как для него характерны невысокая точность и ограниченный частотный диапазон. Основная область применения этого метода - измерения на постоянном токе.

2. Мостовая схема. Это наиболее распространённый метод измерения импеданса, которому свойственны высокая точность измерений при относительной простоте реализации. К недостаткам относятся невысокая предельная частота (наиболее распространены мостовые схемы в диапазоне частот до 10 МГц) и необходимость балансировки моста. Для повышения производительности измерений обычно используют "автобалансирующиеся" мосты, не нуждающиеся в подстройке за счёт применения специальной схемотехники.

3. Резонансные методы применяются, главным образом, для измерения добротности, так как им присущи такие недостатки, как невысокая точность измерений, ограничения по диапазону измеряемых величин, необходимость в настройке и сложная процедура анализа резонансных кривых.

4. Рефлектометрия (измерение коэффициента отражения). Этому методу свойственна средняя точность измерений, которая, однако, сильно зависит от соотношения измеряемого импеданса и некоторого характеристического импеданса (волнового сопротивления, см. §2.1.1), что обусловливает специфические для данного метода ограничения по диапазону измеряемых значений импеданса. В то же время, у этого метода есть одно очень важное преимущество: с его помощью можно проводить измерения в широком диапазоне частот, ограниченном скорее снизу, чем сверху. Поэтому в анализаторе импеданса HP4191A фирмы Hewlett-Packard, на основе которого в настоящей работе была создана установка для измерений импеданса в диапазоне частот 11000 МГц, применяется именно этот метод.

Упрощённая схема измерений, использованная в рефлектометре HP4191A, изображена на рис. 2.1. Сигнал заданной частоты с синтезатора 1

Рис. 2.1. Блок-схема анализатора импеданса HP4191A. 1-синтезатор частоты, 2-делитель, 3-устройство подачи напряжения смещения, 4-направленный мост, 5-входной порт, 6-компенсатор электрической длины, 7-фазочувствительный детектор и АЦП, 8-линия связи.

разделяется на тестовый и опорный каналы при помощи делителя 2. Тестовый сигнал через устройство подачи напряжения смещения 3 поступает на направленный мост 4, к которому через входной порт 5 и линию связи 8 подключается измеряемый образец, характеризующийся импедансом Z_x. Отражённый от образца тестовый сигнал с моста и опорный сигнал поступают на фазочувствительный детектор 7, который вырабатывает напряжения, пропорциональные действительной и мнимой частям коэффициента отражения. Эти напряжения оцифровываются при помощи АЦП и пересчитываются в импеданс, который отображается на дисплее прибора, а также может быть считан через интерфейс GPIB.

Необходимо отметить ряд особенностей, возникающих при измерении образцов, подключаемых к входному порту прибора 5 через линию связи 8, в качестве которой нами был использован отрезок полужёсткого коаксиального кабеля с волновым сопротивлением 50 Ом и затуханием 2 дБ/м в рабочем диапазоне частот. Как следует из §2.1.1, для корректного измерения импеданса необходимо компенсировать вклад линии связи. Для этого нами было использовано несколько способов.

Во-первых, необходимо устранить паразитный фазовый сдвиг сигнала на линии связи 8, достигающий на верхней границе диапазона нескольких тысяч градусов (см. рис. 2.2, кривая 1 и формулу (2.9)). Сделать это чисто программным способом, используя формулы (2.4) или (2.7) хотя и возможно в теории, но неосуществимо на практике из-за шумов и конечной величины разрядности АЦП. Поэтому конструкцией прибора предусмотрено подключение в опорный канал специального кабеля 6 - компенсатора электрической длины линии. Подбирая длину компенсатора примерно равной удвоенной длине линии, удаётся уменьшить набег фазы до рекомендуемого в [76] значения |_max|<30.

Как следует из формул (2.8), волновое сопротивление и постоянная распространения кабеля сильно зависят от частоты, что приводит к сложной осциллирующей частотной зависимости модуля коэффициента отражения линии (кривая 2 на рис. 2.2). Особенно ярко этот эффект проявляется в частотной зависимости модуля комплексной проводимости разомкнутой линии (кривая 3 на рис. 2.2). Видно, что проводимость чрезвычайно сильно зависит от частоты, изменяясь в очень широких пределах - от 1 Ом^-1 практически до нуля; причём, как будет показано ниже, сходный характер частотной зависимости сохраняется в широком интервале значений импеданса нагрузки.



Рис. 2.2. Частотные зависимости параметров разомкнутой линии: фазы и модуля коэффициента отражения (кривые 1 и 2), а также модуля комплексной проводимости в отсутствие компенсации (кривая 3) и при наличии аппаратной и программной компенсации (кривые 4 и 5 соответственно).

К этим проблемам следует добавить паразитные отражения от разъёмов и неконтролируемых неоднородностей линий. Поэтому для повышения точности измерений, наряду с аппаратной компенсацией 6, применялась также программная, заключающаяся в автоматической коррекции измеряемого значения при помощи калибровочных процедур, подробно описанных в §2.1.1. В результате, как следует из данных тестовых измерений (кривые 4,5 на вставке на рис. 2.2), удаётся почти на два порядка повысить чувствительность установки.

Таким образом, описанные меры позволяют достаточно надёжно измерять импеданс образцов в широком температурном диапазоне (1.7300 К) и в магнитном поле до 7 Т, хотя точность измерений оказывается несколько хуже, чем при отсутствии линии. Более подробно анализ погрешностей измерений импеданса будет приведен в §2.4.

При разработке оборудования для низкотемпературных измерений импеданса на радиочастотах необходимо учитывать целый комплекс требований, зачастую противоречащих друг другу. Например, для повышения точности измерений импеданса крайне желательно сделать как можно меньше длину линии связи, соединяющей измерительный прибор и образец. Короткая линия связи с низкими потерями должна иметь значительный диаметр проводников при малой длине; в то же время, она должна иметь низкую теплопроводность, иначе не удаётся охладить образец до требуемой температуры. Кроме того, необходимо обеспечить конструктивную совместимость с имеющимся в лаборатории криогенным оборудованием и магнитными системами. С этой целью, для проведения измерений при низких температурах (1.7300 К) автором совместно с М.С. Карасёвым и Б.П. Шурухиным был спроектирован и изготовлен специальный криостат прокачного типа, схематично изображённый на рис. 2.3.

Вакуумный объём 1 откачивался форвакуумным насосом до давлений порядка 3*10^-3 мм.рт.ст., дальнейшая откачка проводилась адсорбционным угольным насосом 2. Для уменьшения теплоподвода от стенок использовался экран 3. Жидкий гелий из транспортного дьюара 4 прокачивался вакуумным насосом в гелиевый объём 5 через дроссель 6, что позволило получать температуры ниже точки кипения гелия при атмосферном давлении (4.2 К). Гелиевый объём был изолирован от вакуумного объёма с помощью холодного индиевого уплотнения 7. Два других уплотнения 8 вакуумного объёма находятся при температурах, близких к комнатной, и поэтому их прокладки были изготовлены из вакуумной резины. Отметим, что в данной конструкции отпадает необходимость в откачке линии 9 до высокого вакуума, что существенно снижает требования к кабелю. Образец 10 монтируется на медном столике 11 в непосредственной близости от центрального проводника коаксиального кабеля 9. Там же располагается термометр 12, в качестве которого использовался угольный резистор типа ТВО, что обеспечивает хороший тепловой контакт и высокую точность измерения температуры. Для плавной перестройки и стабилизации температуры, наряду с вентилем 13 регулировки скорости откачки гелия, использовался нагреватель 14, подключаемый к температурному контроллеру. Медный стакан 15 предназначен для снижения пульсаций температуры при высокой интенсивности прокачки паров гелия.

Использование в качестве линии связи относительно короткого (1 м) отрезка полужесткого кабеля и описанной выше конструкции криостата позволили, наряду со стандартными измерениями частотных зависимостей, осуществить прецизионные измерения температурных зависимостей импеданса для различных фиксированных значений частоты в широком частотном диапазоне. Кроме этого, в данной работе проводились измерения импеданса при низких температурах в магнитном поле до 7 Т, создаваемом сверхпроводящим соленоидом. Для этого использовалась вставка, совместимая с криомагнитными системами, подключавшаяся к измерителю импеданса с помощью гибкого кабеля типа РК50-7. Оборудование, использованное при измерениях электрофизических, гальваномагнитных и других свойств исследованных образцов, более подробно описано в §2.2.



Рис. 2.3. Устройство прокачного криостата для измерений импеданса (см. текст).

2.2 Другие методы характеризации образцов

В рамках данной работы, наряду с оригинальной методикой измерения импеданса в диапазоне радиочастот, использовался достаточно широкий комплекс методов измерения разнообразных параметров, характеризующих физические свойства исследуемых образцов. К ним относятся температурные и полевые зависимости электропроводности, коэффициент Холла, термоЭДС, а также резонансное микроволновое магнитопоглощение и фотопроводимость. Отметим основные особенности измерения указанных величин применительно к изученным в настоящей работе образцам.

Рисунок 2.4

Удельное сопротивление (Т,Н) на постоянном токе проводящих материалов, таких, как аморфный полупроводник a GaSb, соединение с промежуточной валентностью SmB₆ и других образцов, измерялось в широком диапазоне температур (1.7300 К) и магнитных полей (07 Т) при помощи метода Ван-дер-Пау. К преимуществам данного метода относится, прежде всего, возможность измерения образцов сложной геометрической формы и малых размеров, затрудняющих точные измерения абсолютной величины с помощью стандартного четырёхконтактного метода. Это достигается измерением токов и напряжений на образце с использованием коммутации токовых и потенциальных контактов (см. рисунок) и последующим вычислением абсолютных значений путём численного решения уравнения

,(2.10)

где R_a=U_a/I_a, R_b=U_b/I_b - сопротивления образца для двух состояний коммутатора, а d₀ - единственный геометрический размер, равный толщине образца. Следует отметить, что измерение сопротивления высокоомных образцов (например, при гелиевых температурах сопротивление образцов a GaSb достигает 10¹⁰ Ом) с помощью выпускаемых промышленностью цифровых приборов, таких как Щ300/Щ31, оказывается практически невозможным из-за ограничений по входному сопротивлению. Для решения этой проблемы автором совместно с Д.Г. Лунцем и Н.А. Самариным был изготовлен многофункциональный автоматизированный коммутатор с матрицей ключей 4х4 на реле РЭС65 и операционных усилителях типа ОРА111 фирмы Burrbrown (США), позволяющий за счёт применения специальных схемотехнических приёмов надёжно измерять сопротивления до 10 ГОм.

При измерениях коэффициента Холла наряду со стандартными методами, было использовано оригинальное устройство, разработанное в Лаборатории низких температур ИОФРАН. Устройство, управляемое при помощи компьютера, с помощью шагового двигателя позволяло вращать образец, размещённый в полости сверхпроводящего соленоида вокруг оси, перпендикулярной к направлению магнитного поля. В такой геометрии эксперимента нормальная к поверхности образца компонента поля и э.д.с. Холла изменяются по гармоническому закону, и, следовательно, коэффициент Холла можно вычислить по амплитуде изменения сигнала. Для уменьшения паразитных вкладов от термоЭДС проводов и наводок от магнитных систем была использована коммутация направления тока измеряемых сигналов.

Измерения резонансного магнитопоглощения микроволнового излучения в диапазоне частот 37120 ГГц, а также измерения фотопроводимости были выполнены на оборудовании и по методике, подробно описанной в работе. Измерения термоЭДС были выполнены совместно с М.В. Кондриным по оригинальной методике.

Охлаждение образцов до гелиевых температур осуществлялось при помощи набора криостатов различных конструкций, описанных в [79, 80]. Измерения температурных зависимостей в диапазоне температур 4.2<T<300 K проводились путём постепенного охлаждения помещённого на вставку держателя с образцом в парах гелия, а для достижения температур ниже 4.2 К использовалась откачка паров гелия из внутреннего объёма криостата. В тех случаях, когда требовалась стабилизация температуры, теплоподвод к образцу ограничивался при помощи вакуумируемой ампулы или специальных теплоизолирующих насадок, а температура держателя с образцом регулировалась посредством нагревателя, соединяемого с температурным контроллером, и изменением интенсивности откачки хладагента. Для измерений температуры использовались калиброванные по прецизионному термометру угольные резисторы типа ТВО.

Магнитное поле создавалось при помощи сверхпроводящих соленоидов, изготовленных в ИАЭ им. Курчатова. Измерение значений магнитного поля проводилось образцовым датчиком Холла или рассчитывалось по измеряемому значению тока через соленоид с использованием известных калибровочных коэффициентов или таблиц. Для питания сверхпроводящего соленоида постоянным током автором был разработан специальный стабилизированный источник тока, позволяющий плавно изменять и стабилизировать ток соленоида с точностью не хуже 10^-4 в интервале 0100 А, и очень небольшими (1 мА) пульсациями с частотой напряжения сети. Такие высокие требования к источнику питания определяются необходимостью проведения спектроскопических исследований, а также в целом значительно повышают точность измерений в магнитном поле.

2.3 Автоматизированная система регистрации

Для решения различных многоплановых экспериментальных задач автором было создано программное обеспечение для комплексной автоматизации эксперимента. Заметим, что хотя число возможных конфигураций измерительных систем для различных методик неопределённо и достаточно велико, при их сборке обычно используются одни и те же универсальные приборы и оборудование, номенклатура которого достаточно стабильна. Следовательно, с учётом современных тенденций в проектировании информационных систем, представляется обоснованным широкое использование клиент - серверных технологий и реализация системы в виде совокупности компонентов, взаимодействующих посредством стандартных коммуникационных протоколов и принятых в промышленности форматов хранения и передачи данных. Кроме того, разделение системы на модули, выполняющие определённую функциональную нагрузку, и наличие стандартизованного межмодульного интерфейса позволяют модифицировать отдельные части программного комплекса без риска нарушить работоспособность других частей, что обеспечивает лёгкость и удобство сопровождения и поэтапное наращивание функциональных возможностей.

Для проведения исследований в рамках данной работы, вне зависимости от конкретной методики, была использована одна и та же универсальная система автоматизации эксперимента, упрощённая блок - схема которой изображена на рис. 2.4. В состав измерительной установки включалось требуемое количество цифровых измерительных приборов и другое необходимое оборудование, такое, как коммутаторы, ЦАП, источники тока, генераторы и т.п., соединяемое с персональным компьютером с помощью стандартных интерфейсов RS232 и IEEE488 (GPIB). Каждому физическому устройству соответствует отдельный программный модуль, объединяющий функции драйвера и компонента пользовательского интерфейса, обеспечивая последовательный и "прозрачный" интерфейс как со стороны оператора, так и со стороны других модулей. Специальные модули содержат стандартные алгоритмы расчёта и интерфейсные элементы для наиболее часто измеряемых в ходе эксперимента физических величин, таких, как магнитное поле, температура, частота, проводимость, и т.д. Специфические для каждой методики алгоритмы также реализованы в виде дополнительного модуля, что гарантирует высокую производительность и не накладывает дополнительных функциональных ограничений.

Сформированный клиентским модулем поток данных передаётся универсальной серверной программе, которая служит для накопления и визуализации информации в удобной для экспериментатора форме, а также позволяет проводить обработку и анализ данных, в том числе и непосредственно в ходе эксперимента. В состав системы входит также "электронный лабораторный журнал", автоматически сохраняющий в базе данных информацию об исследуемых образцах, условиях проведения эксперимента, настройках оборудования и других параметрах.

Продолжительный успешный опыт эксплуатации данного программного обеспечения показывает, что использование при проектировании иерархической компонентной модели наиболее адекватно отражает структуру современной многофункциональной системы регистрации, а также существенно упрощает интерфейс пользователя. Автоматизация экспериментальной установки позволила значительно улучшить точность измерений и, как следствие, повысить достоверность полученных результатов.



Рис. 2.4. Блок - схема системы автоматизации эксперимента.

2.4 Погрешности измерений

Анализ погрешностей измерений комплексной проводимости (или диэлектрической проницаемости) на переменном токе в диапазоне радиочастот оказывается, вообще говоря, достаточно нетривиальной проблемой и сводится к решению двух взаимосвязанных задач: собственно оценке погрешности измерения импеданса и учёту паразитных вкладов от измерительной ячейки и контактов к изучаемому образцу.

Погрешности измерения импеданса определяются, в свою очередь, базовой точностью измерительного прибора и погрешностями, вносимыми линией связи. Основные метрологические характеристики анализатора импеданса НР4191А, использованного в данной работе, приведены в таблице 2.1 [76].

Таблица 2.1. Основные метрологические характеристики анализатора импеданса НР4191А.

Измерительный сигнал	Частота: 11000 МГц, шаг 100 Гц Мощность: -20 dBm (Rн=50 Ом)
Базовая точность (зависит от частоты)	|Г|: не хуже 0.007+0.000005 * F (МГц)
Диапазоны измеряемых величин (зависят от частоты)	|Z|, R, X: 1мОм 100 кОм |Г|: 0.0001 1.0000 : -180 180
Напряжение смещения	40 В, шаг 10 мВ, макс. ток 7.2 мА

Относительная точность измерения, как уже отмечалось в §2.1.2, сильно зависит от величины измеряемого параметра и от частоты (рис. 2.5) и может достигать значений порядка 10^-4. Поэтому для достижения максимальной точности измерения желательно использовать такую конфигурацию измерительной ячейки, чтобы в требуемом диапазоне частот и температур модуль импеданса образца оказывался как можно ближе к входному сопротивлению прибора (50 Ом). Благодаря применению описанных в §2.1.1 калибровочных процедур, наличие измерительной линии незначительно (в 23 раза) снижает чувствительность прибора, причём её влияние на частотные зависимости заметно выше, чем на температурные, для которых при использовании программной обработки данных вполне достижима максимальная относительная погрешность порядка 0.01%.

Влияние геометрии измерительной ячейки и качества контактов к образцу зачастую является наиболее трудно поддающимся анализу фактором. Это обусловлено, в первую очередь, малыми размерами исследованных образцов (обычно порядка 1 мм и менее), и целым рядом других сложностей технологического характера. Дополнительная специфика возникает при измерениях на переменном токе, так как приходится учитывать поправки на паразитные ёмкости и индуктивности коротких (23 мм) проводников, которыми образец подключается к линии, контактные сопротивления (используемая методика не рассчитана на четырёхзондовую схему подключения), краевые эффекты в ячейках конденсаторного типа и т.д. В этом случае для оценки паразитных вкладов выполнялись измерения в нескольких конфигурациях ячейки или использовались тестовые измерения образцов с известными параметрами. Как правило, относительная точность измерения динамической проводимости (и диэлектрической проницаемости) оказывается существенно лучше, чем абсолютная; в силу упомянутых выше обстоятельств, она различается в разных экспериментах и поэтому будет отдельно рассмотрена в каждом конкретном случае при описании соответствующих экспериментальных данных.



Рис. 2.5. Зависимость точности измерения импеданса от значения |Z| и частоты.

Остановимся на погрешностях определения других физических величин. Частота сигнала при измерениях импеданса могла задаваться с очень высокой относительной точностью до 10^-7 [76], хотя долговременная нестабильность частоты оказывалась несколько хуже, около 3*10^-6.

Точность измерения температуры определялась чувствительностью использованных датчиков и обычно составляла при комнатной температуре около 0.1 К, а ниже 50 К существенно возрастала до значений примерно 10^-3 К. Реальная систематическая погрешность определения температуры образца определялась градиентом температуры в измерительной ячейке и не превышала, по нашим оценкам, 1%. Такую же точность обеспечивал температурный контроллер, использованный для стабилизации температуры.

Ошибки измерения магнитного поля, ввиду малых размеров образцов по сравнению с характерным масштабом неоднородности поля в соленоиде, определялись, в основном, погрешностью в калибровке поля и не превышали 0.1%.

При измерениях гальваномагнитных характеристик образцов на постоянном токе основные погрешности связаны с невысокой точностью определения геометрических размеров образцов и конечным размером контактов. Поэтому абсолютная погрешность измерения электропроводности, магнитосопротивления и коэффициента Холла, как правило, оказывалась в пределах 10%. Относительная погрешность, гораздо более существенная с точки зрения анализа экспериментальных данных, благодаря использованию прецизионных цифровых измерительных приборов, оказывалась существенно меньше и не превышала (0.050.1%).

Погрешности определения физических величин, получаемых в результате обработки данных, обсуждаются при описании соответствующих алгоритмов вычислений.

3. Прыжковая проводимость на переменном токе в аморфном антимониде галлия

Прыжковая проводимость с переменной длиной прыжка неоднократно исследовалась как теоретически, так и в экспериментально (см. §1.1.4). Из формул (1.22)-(1.24), (1.28)-(1.31) следует, что в случае g(E_F)=const проводимость на постоянном и переменном токе может быть описана при помощи всего двух параметров: плотности состояний на уровне Ферми g(E_F) и радиуса локализации волновой функции a. Следовательно, выполнив измерения температурных, частотных и полевых зависимостей проводимости на одних и тех же образцах, можно осуществить независимую экспериментальную проверку описанных в §1.1.4 существующих теоретических моделей.

Несмотря на то, что предложенная программа выглядит очень простой, она до сих пор не была реализована в полном объёме, что может быть отчасти связано с значительными методическими трудностями при проведении подобных исследований [20]. Более того, оказывается, что попытки такого рода расчетов для тетраэдрических материалов типа а-Ge дают величины плотности состояний, которые могут отличаться более чем на два порядка для статических (формулы (1.22)-(1.24)) и динамических (формулы (1.28), (1.30)) измерений [1, 22]. К тому же, в экспериментах часто наблюдается более слабая температурная зависимость '(,Т) [24, 22] по сравнению с предсказаниями теории Поллака-Джебалла.

Указанная проблема была сформулирована более чем десятилетие назад [1, 22, 24] и до сих пор, насколько нам известно, не получила удовлетворительного решения. Одной из наиболее вероятных причин наблюдаемых противоречий, на наш взгляд, может являться нарушение условий применимости парного (дипольного) приближения [2], на котором основан вывод формул (1.28)-(1.34) для динамической проводимости. Поэтому, как уже отмечалось в §1.1.4, представляется целесообразным проведение измерений динамической проводимости на достаточно высоких частотах.

Целью настоящей работы явилось экспериментальное исследование проблемы согласованного описания статических и динамических характеристик, для чего нами изучались температурные зависимости проводимости и магнитосопротивления (Т,H) и диэлектрические потери (,Т) a-GaSb в области прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка моттовского типа.

3.1 Определение параметров локализованных состояний методом моттовской спектроскопии

Для исследования прыжковой проводимости в настоящей работе использовались образцы a-GaSb, полученные методом закалки в условиях высокого давления при температуре синтеза T_syn700 C, обладающие полупроводниковым типом проводимости (см. §1.2.1). Экспериментальные данные по прыжковой проводимости на постоянном токе представлены на рис. 3.1.

Температурная зависимость удельного сопротивления (рис. 3.1а) в интервале температур 150T300 К демонстрирует активационное поведение с E_a210 мэВ, которое при дальнейшем понижении температуры Т100 К переходит в закон Мотта для прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка (1.22) с n=ј. При гелиевых температурах полевая зависимость магнитосопротивления (рис. 3.1б) оказывается немонотонной: в слабых полях наблюдается небольшое отрицательное магнитосопротивление, обусловленное квантовыми интерференционными эффектами [20]. В сильных полях зависимость (H) определяется сжатием волновой функции и положительное магнитосопротивление следует квадратичному закону (1.24).



Рис. 3.1. Температурная зависимость удельного сопротивления (а) и полевая зависимость магнитосопротивления (б) при T=4.2 K, использованные для определения параметров локализованных состояний у образца a-GaSb.

Такое поведение температурных и полевых зависимостей проводимости находится в полном соответствии с литературными данными [20, 26], а наличие протяжённых линейных участков ln~H², ln~T ^-1/4 позволяет использовать для определения параметров локализованных состояний предложенную в [20] процедуру "моттовской спектроскопии" (§1.1.4). Расчет по формулам (1.22) (1.24) дает значения g(E_F)= 4.2*10²⁰ см^-3эВ^-1 и а=46 Е, которые также хорошо согласуются с результатами [20].

3.2 Низкочастотная динамическая проводимость a-GaSb.

Измерения частотных и температурных зависимостей действительной и мнимой частей динамической проводимости, '(,T) и "(,T), были выполнены в диапазоне частот = /2=1500 МГц и температур 4.2Т300 К для тех же самых образцов a-GaSb по методике, описанной в §2.1. С целью повышения точности и достоверности результатов измерения проводились для нескольких конфигураций измерительной ячейки.

При вычислении удельной электропроводности ()~Z_x по измеренному значению импеданса Z вклад измерительной ячейки учитывался с помощью формулы , отвечающей изображённой на рис. 3.2 эквивалентной схеме, причем значения паразитных индуктивности контактов L и ёмкости сборки C определялись путём проведения калибровочных измерений. Данная процедура обработки результатов эксперимента позволила надёжно измерять динамическую проводимость (,T) в широком диапазоне частот и температур с абсолютной погрешностью не более 510% (рис. 3.3).

Традиционно данные (,T) для неупорядоченных сред представляют в асимптотически точном виде (1.25), (1.29). Из рис. 3.3 следует, что у a-GaSb при Т=300 К показатель степени s составляет 0.910.94, а в области прыжковой проводимости уменьшается до s0.80.7 (Т=77 К) и s0.760.64 (Т=4.2 К). Отметим, что в нашем случае с точностью 510% выполняется условие связи (1.26), следующее из соотношения Крамерса-Кронига для степенных зависимостей. Такое согласие оказывается вполне удовлетворительным, учитывая приближенный характер формулы (1.25). Значение индекса для всей области прыжковой проводимости практически постоянно и составляет 0.3 (см. вставку на рис. 3.3).

3.2 Обсуждение экспериментальных результатов

Сравнивая результаты рис. 3.3 с литературными данными [1, 22, 23] можно заключить, что поведение частотных и температурных зависимостей динамической проводимости у a-GaSb оказывается достаточно типичным для тетраэдрических аморфных полупроводников. В частности, можно сделать вывод, что бесфононное (резонансное) туннелирование (1.28) не вносит заметный вклад в диэлектрические потери, так как в этом случае должно быть =0, s>1, что противоречит экспериментальным данным.

Механизму термически активированного туннелирования, который описывается формулой Поллака-Джебалла (1.30), соответствует близкое к наблюдаемому в эксперименте значение s=1-4/ln(_ph/)), хотя величина индекса , исходя из данных рис. 3.3, существенно отличается от теоретического значения =1.



Рис. 3.3. Действительная и мнимая части высокочастотной проводимости образца a-GaSb при различных температурах. На вставке показана температурная зависимость проводимости для частоты 100 МГц.

Таким образом, как и в случае a-Ge [24], температурная зависимость высокочастотной прыжковой проводимости оказывается более слабой по сравнению с предсказанием (1.30). Следует отметить, что учёт кулоновского взаимодействия электронов не может привести к значительному ослаблению температурной зависимости, так как непосредственная оценка по формуле (1.31) показывает, что влияние корреляционных поправок для температур выше 20 К несущественно. Кроме того, доминирование кулоновских корреляций должно привести к величине n=Ѕ в формуле (1.22) [19], в то время как эксперимент даёт значение n=ј (рис. 3.1).

Сравним теперь экспериментальные данные для статической и динамической '(,T) проводимости на частоте =100 МГц с результатами модельного расчета по формуле Поллака-Джебалла с параметрами g(E_F) и а, определенными из статических измерений, и фононной частотой _ph(45)*10¹³ c^-1, выбранной из условия соответствия наблюдаемым индексам s (см. рис. 3.4, кривые 1-3 соответственно). Видно, что '(,T) хотя и возрастает в 7520 раз для Т100К по сравнению со случаем статической проводимости (рис. 3.4, кривые 1 и 2), но все же не настолько сильно, как должно было бы быть согласно формуле (1.30). Таким образом, в случае a-GaSb отмеченное выше расхождение теоретических и экспериментальных значений в теории Поллака-Джебалла составляет два порядка величины и оказывается существенно больше ошибки, возникающей в результате экспериментальной погрешности в определении g(E_F) и а.

Несколько лучшее описание температурной зависимости динамической проводимости можно получить в рамках поляронной модели, предложенной в работах [22, 24] для интерпретации диэлектрических потерь в аморфном германии. Результаты соответствующего модельного расчета '(,T) по формуле (1.33) приведены на рис. 3.5. Значения параметров g(E_F) и а в формулах (1.33), (1.34) определялись по методике, описанной в §3.1, а для диэлектрической проницаемости использовалось известное из литературных данных значение 15. Величины _ph, W₀ и r₀ выполняли функцию подгоночных параметров и оказались равны соответственно (38)*10¹² c^-1, 175 мэВ и 22020 Е, а поправочный коэффициент k, определяемый соотношением '_теор=k*'_эксп и учитывающий возможные систематические ошибки, варьировался в пределах k=1520. Из данных рис. 3.5 следует, что хотя формулы (1.33), (1.34) и позволяют правильно воспроизвести форму частотных и температурных зависимостей '(,T) на качественном уровне, в этом случае также имеет место значительное (более чем на порядок) завышение расчётных значений динамической проводимости.

Рис. 3.4. Сравнение статической (кривая 1) и динамической (кривая 2) прыжковой проводимости с расчетом по формуле Поллака-Джебалла (кривая 3) для экспериментальных параметров локализованных состояний (рис. 3.1).



Рис. 3.5. Сравнение температурных (а) и частотных (б) зависимостей действительной части динамической прыжковой проводимости ' _эксп (точки) с расчётом '_теор по формуле (1.33) для поляронной модели (линии).

Кроме того, следует отметить, что использование поляронной модели для интерпретации данных динамической проводимости a-GaSb нельзя совместить с одновременным наблюдением закона Мотта (1.22) для проводимости на постоянном токе. Конечно, a priori можно представить себе ситуацию, когда проводимость на постоянном токе осуществляют электроны, а за потери на переменном токе ответственны поляроны, которые дают слабый вклад в статическую проводимость, причём в этом случае естественно ожидать значений плотности состояний и радиуса локализации, никак не связанных с результатами статических измерений и определяющих '(,T) для поляронных прыжков. Однако данные рис. 3.4 практически исключают такую интерпретацию. Действительно, если поляроны и не вносят вклада в перенос на постоянном токе в силу их более сильной локализации, то электроны будут заведомо давать вклад и в статическую, и в динамическую проводимость, причем величина '(,T), оцененная по формуле Поллака-Джебалла для экспериментальных параметров сетки сопротивлений Миллера-Абрахамса (рис. 3.4, кривая 3), существенно превышает гипотетический поляронный вклад, который следует сопоставлять с наблюдаемыми данными (рис. 3.4, кривая 2). Таким образом, реальной проблемой является не привлечение дополнительного поляронного вклада, а объяснение того факта, что электроны, участвующие в прыжках, дают величину '(,T) значительно меньше ожидаемой исходя из формул (1.30)-(1.34).

Проанализируем теперь возможные причины расхождения статических и динамических характеристик. Данные рис. 3.6 позволяют сравнить частотные и

температурные зависимости длины прыжка на переменном токе R, рассчитанные по формулам (1.30), (1.34) в парном приближении с оптимальной длиной прыжка на постоянном токе R_opt, которая определяется выражением [1]

R_opt=(a/2)(T₀/T)^1/4.(3.1)

Видно, что во всём частотном и температурном интервале как в теории Поллака-Джебалла (1.30), так и для поляронного механизма (1.34) оказывается справедливым неравенство RR_opt и условие применимости парного (дипольного) приближения нарушается.



Рис. 3.6. Температурные (а) и частотные (б) зависимости длины прыжка, рассчитанные для экспериментальных параметров локализованных состояний в рамках различных моделей. 1 3 - Моттовская оптимальная длина прыжка на переменном токе R_opt (формула (3.1)); 4,5 - длина прыжка R в модели Поллака Джебалла (формула (1.30)); 6 8 - длина прыжка R^P в поляронной модели (формула (1.34)); 9 - длина когерентности фазы волновой функции L_T~T ^1/3 (стр. 77); 10 - расчёт L_T по формуле (3.12) (L_T~T ^1/2).

Согласно существующим теоретическим представлениям, в случае RR_opt реализуется режим многократных прыжков [2, 25] и для динамической проводимости окажется справедливым выражение (1.35). Расчёт '(,T) по формуле (1.35) с использованием предложенных в [25] значений критических индексов 0.17, 0.3, 2.3 позволяет удовлетворительно описать поведение частотных зависимостей динамической проводимости, в то время как для температурных зависимостей согласие с экспериментом оказывается неудовлетворительным. В нашей недавней работе [. S.V. Demishev, A.A. Pronin, M.V. Kondrin, N.E. Sluchanko, N.A. Samarin, T.V. Iscenko, G. Biskupski, I.P. Zvyagin. DC and AC Hopping Transport in Bulk Amorphous Gallium Antimonide. Phys. Stat. Sol. (b) v.218, p.67-70 (2000).] было показано, что наилучшая аппроксимация экспериментальных данных достигается при использовании эмпирических зависимостей вида A(T)=const, B(T)T ^-1 для функций A(T) и B(T), входящих в формулу (1.35) (см. рис. 3.7). Однако, несмотря на приемлемую точность описания экспериментальных данных с помощью модифицированной формулы (1.35), теоретическая мотивация для указанного выбора функций A(T), B(T) отсутствует.

Таким образом, выполненный нами анализ показывает, что известные из литературы модели динамической проводимости не позволяют дать адекватного описания экспериментальных данных для a-GaSb.

В работе [. С.В. Демишев, А.А. Пронин, Н.Е. Случанко, Н.А. Самарин, А.Г. Ляпин. Возникновение режима неоптимальных прыжков для проводимости на переменном токе в аморфном антимониде галлия. Письма в ЖЭТФ, т.65, вып.4, с.322-327 (1997).] был развит альтернативный подход, основанный на рассмотрении неоптимальных прыжков [. I.P. Zvyagin. The Temperature Dependence of the Conductivity near the Localization Threshold. Phys.Stat.Sol. (b) v.120, p.503-509 (1983).] при сохранении описания '(,T) в парном (дипольном) приближении. Согласно [87], при конечных температурах существует длина когерентности фазы волновой функции L_T, обусловленная неупругим взаимодействием с фононами. В результате, огибающую волновой функции (R)exp(-R/a) локализованного центра некорректно рассматривать на расстояниях RL_T, и параметр L_T играет роль предельной длины прыжка [87]. В частности, наблюдение закона Мотта (1.22) возможно только при условии R_optL_T. Для величины L_T можно предложить различные теоретические оценки [87]; в простейшем случае L_T =(g(E_F)k_BT)^-1/3 [87]. Используя известную величину плотности состояний, находим, что у a-GaSb в диапазоне 4.2KT100К характерные пространственные масштабы лежат в пределах 190 ЕL_T65 Е и 130 ЕR_opt60 Е, то есть условие R_optL_T для Т100К заведомо выполняется (см. рис. 3.6). Однако для динамической проводимости длина прыжка будет Е, и в рассматриваемом случае справедливо соотношение R_optL_TR, то есть для прыжков на постоянном токе реализуется моттовский режим, а для прыжков на переменном - режим неоптимальных прыжков.

Рис. 3.7. Сравнение экспериментальных температурных (а) и частотных (б) зависимостей действительной части динамической прыжковой проводимости (точки) с расчётом по формуле (1.35) в модели многократных прыжков (линии) с использованием эмпирических зависимостей A(T) и B(T) (см. текст).

Основная качественная идея [86] состоит в том, что электрон, который в идеальной ситуации должен был бы прыгнуть на расстояние RL_T, в действительности не может сместиться под действием электрического поля на расстояние, большее длины когерентности. Поскольку '(,T) растет с увеличением длины прыжка (формула (1.30)), то обрезание R на уровне L_T должно приводить к заметному уменьшению проводимости по сравнению с результатом Поллака-Джебалла, что и наблюдается экспериментально (рис. 3.4).

Произведем теперь количественную оценку. Следуя [23], запишем выражение для '(,T) для парного приближения в виде

.(3.2)

Согласно стандартным теориям [2, 22, 23], в парном приближении усреднение следует проводить с учётом корреляции дипольного момента e²R и дебаевского фактора :

(3.3)

или дебаевского фактора и множителя, учитывающего энергетический разброс уровней :

.(3.4)

Отметим, что формуле Поллака-Джебалла соответствует случай (3.3). Можно предположить, что в режиме неоптимальных прыжков корреляция между различными сомножителями в (3.2) будет ослаблена и эти величины следует усреднять независимо:

.(3.5)

Действительно, в силу условия R>L_T дипольный момент ограничен сверху величиной eL_T, которая в первом приближении не зависит от частоты, то есть

.(3.6)

Поскольку неоптимальный прыжок может произойти на любом центре, для которого выполняется условие =1, максимизирующее дебаевский фактор, то величину можно оценить как

,(3.7)

где R_D определяется из условия

.(3.8)

Так как фактор, учитывающий разброс уровней, оценивается стандартным образом [2, 22, 23]

=g(E_F) 2k_BT,(3.9)

то из формул (3.5)-(3.9) следует выражение для ' вида

.(3.10)

Следуя [87], будем считать, что в режиме неоптимальных прыжков характерная фононная частота равна

,(3.11)

а L_T в прыжковой области более точно выражается через эффективный коэффициент диффузии D^* [87]:

.(3.12)

Тогда из (3.10)-(3.12) находим:

.(3.13)

Из формулы (3.13) следует, что индексы и s в (1.25) связаны соотношением +s1, которое неплохо выполняется для a-GaSb (рис. 3.3). Кроме того, из явного выражения для вытекает, что этот индекс в режиме неоптимальных прыжков будет уменьшаться с температурой, что и наблюдается экспериментально (рис. 3.3).

Выражение для '(,T) содержит единственный неизвестный параметр D^*, который может быть найден из сравнения зависимости (3.13) и экспериментальных данных (рис. 3.8). Видно, что формула (3.13) неплохо аппроксимирует как температурные, так и частотные зависимости при D^*=2.53.5 см²/с. По-видимому, D^* достаточно сложно вычислить из первых принципов [87], однако можно предложить независимую оценку. Если Т^*100 K отвечает началу участка прыжковой проводимости (рис. 3.1), то при этой температуре должно выполняться условие R_optL_T [87], откуда следует значение D^*=5 см²/с, достаточно близкое к оцененному выше исходя из формулы (3.13). Отметим, что величина L_T, рассчитанная по формуле (3.12), также удовлетворяет условию R_optL_T R (рис. 3.6).

Таким образом, мы видим, что представление об обрезании прыжка на переменном токе на длине L_T позволяет не только качественно, но и количественно объяснить экспериментальные данные по частотным и температурным зависимостям динамической прыжковой проводимости. При этом достигается существенно более полное соответствие эксперименту по сравнению с моделью многократных прыжков (см. рис. 3.7). Тем не менее, приведенный расчёт носит оценочный характер и основан на двух "сильных" допущениях.

Во-первых, в отличие от стандартных теорий предполагается, что характерная фононная частота даётся формулой (3.11) и для условий нашего эксперимента оказывается порядка 10¹¹ с^-1. Во-вторых, мы предполагаем, что число пар, между которыми осуществляются переходы, зависит от полного объёма , в соответствии с тем, что внешнее электромагнитное поле "выбирает" резонансные пары центров, для которых =1, а неупругие процессы взаимодействия с фононами приводят к тому, что фактический прыжок происходит на другой центр, расположенный на расстоянии L_T R_D() от исходного. В результате прыжковый перенос на переменном токе зависит не от одной, как в стандартном парном приближении, а от двух характерных длин L_T и R_D(). Оба этих предположения не могут быть строго доказаны, хотя и оправдываются удачным сопоставлением формулы (3.13) с экспериментом.



Рис. 3.8. Сравнение экспериментальных температурных (а) и частотных (б) зависимостей действительной части динамической прыжковой проводимости (точки) с расчётом по формуле (3.13) (линии).

По нашему мнению, дальнейшее развитие теории динамической прыжковой проводимости с учётом неоптимальных прыжков является весьма перспективным и должно привести к последовательному и непротиворечивому количественному объяснению статической и динамической прыжковой проводимости. В рамках существующих теорий такое объяснение часто оказывается невозможным, что хорошо иллюстрирует случай a-GaSb. Однако сформулированная теоретическая задача представляет собой предмет обширного самостоятельного исследования и выходит за рамки настоящей работы.

4. Низкотемпературные аномалии транспортных характеристик SmB6 и FeSi

Несмотря на то, что история исследований гексаборида самария SmB₆ и моносилицида железа FeSi насчитывает несколько десятилетий, целый ряд необычных свойств этих объектов, среди которых следует особо выделить упомянутые в §1.2.2 выше аномалии транспортных характеристик при гелиевых и промежуточных температурах, до сих пор не получили удовлетворительного объяснения.

В отсутствие единой общепринятой интерпретации низкотемпературного поведения этих объектов и, в частности, особенностей их электронной структуры, наиболее популярной и часто используемой моделью является модель "Кондо-изоляторов" [37]. В зависимости от соотношения различных энергетических параметров (энергии f(d) электронных состояний, положения уровня Ферми, величин кулоновского и гибридизационного взаимодействия) в подобных соединениях реализуются различные основные состояния, среди которых могут быть как металлические (тяжелофермионные системы), так и диэлектрические (системы с гибридизационной щелью), к которым, в частности, относятся рассматриваемые в данной работе SmB₆ и FeSi. Более того, при изменении внешних условий (температуры, давления и др.) в них часто наблюдаются различные фазовые превращения, причём не исключается возможность формирования коллективных электронных состояний [36, 37].

В такой ситуации детальное исследование поведения низкотемпературной динамической проводимости SmB₆ и FeSi в сочетании с измерениями транспортных характеристик на постоянном токе, выполненное на одних и тех же монокристаллах высокого качества, позволяет ответить на ряд вопросов о характере многочастичных взаимодействий, роли зарядовых и спиновых флуктуаций, природе и механизмах низкотемпературной проводимости в этих системах. В рамках подхода, используемого в настоящей работе, особый интерес при проведении комплексного исследования обусловлен тем обстоятельством, что в SmB₆, также как и в FeSi, согласно литературным данным [43, 45], имеет место значительная (до двух порядков величины) дисперсия проводимости () в радиочастотном диапазоне.

...