Принцип логарифмирования и антилогарифмирования используется в наиболее распространенном способе построения четырехквадрантных ПАС с нормировкой токов, которые обладают наилучшей совокупностью таких параметров, как линейность, широкополосность, температурная стабильность. Обычно они имеют дифференциальные входы, что расширяет их функциональные возможности. Перемножители с нормировкой токов выполняются по интегральной полупроводниковой технологии.

Упрощенная принципиальная схема ИМС ПАС с нормировкой токов типа 525ПС1 приведена на рисунке 7.24.

Устройство содержит сложный дифференциальный каскад на транзисторах ,…,. Перекрестные связи коллекторов этих транзисторов обеспечивают инверсию сигналов, необходимую для четырехквадрантного умножения. Входные каскады на транзисторах ,…, и ,…, преобразуют входные напряжения и в токи. С помощью транзисторов в диодном включении и происходит логарифмирование токового сигнала по входу Y. Антилогарифмирование сигнала Y и умножение его на сигнал X осуществляется усилителем на транзисторах ,…,.

В рассматриваемом устройстве связь между входными и выходными сигналами может быть представлена в виде отношения токов. Выходной ток перемножителя определяется соотношением [12]

,

где и - токи, протекающие через резисторы и ; и - рабочие токи в каналах X и Y.

Выходное напряжение, снимаемое с одного из сопротивлений нагрузки, равно [12]

,

где - масштабный коэффициент.

Все приведенные на рисунке 7.24 резисторы, кроме и , являются внешними. Их выбор зависит от конкретных требований к ПАС.

Для получения на выходе ПАС нулевого напряжения при равных нулю входных напряжениях предусмотрена подстройка с помощью переменных резисторов и . Если перемножитель работает только при одной полярности одного из входных сигналов, то он называется смещенным. Для превращения четырехквадрантного ПАС в смещенный достаточно на один из входов подать такое постоянное смещение, при котором сигналы на этом входе всегда оказываются меньше напряжения смещения.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возможности реализации разнообразных устройств электронной аппаратуры на перемножителях иллюстрирует рисунок 7.25.

Принцип работы этих устройств ясен из приведенных схем и расчетных соотношений, пояснения, пожалуй, требует лишь схема удвоителя частоты (рисунок 7.25в).

Если на оба входа перемножителя подают напряжение одной и той же частоты, то на выходе ПАС напряжение подчиняется следующему тригонометрическому тождеству

.

Из приведенного выражения видно, что любая входная частота f будет удваиваться при прохождении через устройство возведения в квадрат, либо делиться на два при прохождении через извлекатель корня квадратного (рисунок 7.25г). Более подробная информация о ПАС содержится в [12].

7.5 Компараторы

Компаратором называется устройство, позволяющее осуществить сравнение измеряемого входного напряжения с опорным напряжением . Алгоритм работы компаратора описывается выражениями:

, если <,

, если >.

Простейшая схема компаратора и его передаточная характеристика представлены на рисунке 7.26.

Вследствие большого коэффициента усиления ОУ на его выходе получается последовательность практически прямоугольных импульсов, причем положение моментов переключения соответствует равенству =. Если входы ОУ поменять местами, то поменяет знак. Входные диоды служат для защиты ОУ от большого дифференциального входного напряжения. Выходное напряжение компаратора может быть использовано для управления каким-либо устройством, например, широтно-импульсным модулятором. При =0 получим так называемый нуль-индикатор или детектор нулевого уровня.

Из-за конечного значения коэффициента усиления компаратора возможно плавное нарастание (рисунок 7.27а).

Если плавное срабатывание нежелательно, то применяют компаратор на основе ОУ с цепью ПОС (рисунок 7.27б). Если опорное напряжение не подается, то такой компаратор называют еще триггером Шмитта. Как видно из рисунка 7.27в, такой компаратор обладает гистерезисом, что объясняется наличием цепи ПОС. Переключение схемы в состояние происходит при достижении входным напряжением уровня срабатывания , а возвращение

в исходное состояние - при снижении входного напряжения до уровня отпускания . Значения входных пороговых напряжений и ширина зоны гистерезиса определяются по формулам:

,

,

.

Пороги срабатывания делают схему нечувствительной к шумам, которые всегда присутствуют во входном сигнале, и тем самым исключают ненужные переключения под действием шумов, т.е. устраняют так называемый "дребезг" контактов.

Важнейшим показателем ОУ в случае его использования в качестве компаратора является быстродействие, оцениваемое задержкой срабатывания и временем нарастания выходного напряжения. Лучшим быстродействием обладают специальные ИМС компараторов. Повышенное быстродействие в них достигается использованием СВЧ-транзисторов и исключением режима их насыщения. Более подробно компараторы описаны в [12,14].

7.6 Генераторы

Генератором называется автоколебательная структура, в которой энергия источника питания преобразуется в энергию электрических автоколебаний. Различают генераторы синусоидальных (гармонических) колебаний и генераторы сигналов специальной формы (прямоугольной, треугольной и т.д.)

Обобщенная макромодель генератора приведена на рисунке 7.28 и представляет собой усилительный каскад, охваченный цепью ПОС.

Для возникновения колебаний в данной системе необходимо выполнение условия баланса амплитуд и баланса фаз:

,

,

где и - фазовые сдвиги, вносимые усилителем и цепью ОС соответственно, n - целое число.

Для получения на выходе генератора синусоидального напряжения достаточно, чтобы данные условия выполнялись только на одной частоте.

Существует большое количество схемных реализаций генераторов, поэтому ограничимся рассмотрением генераторов на основе ОУ, как наиболее соответствующим содержанию курса АЭУ. На рисунке 7.29 приведены различные варианты схем генераторов гармонических колебаний на ОУ.

В схеме LC-автогенератора (рисунок 7.29а) баланс фаз обеспечивается наличием ПОС, вводимой с помощью резисторов и , баланс амплитуд достигается выбором номиналов резисторов и по условию

.

Здесь под К подразумевается масштабный коэффициент усиления, равный

,

где - сопротивление контура на частоте резонанса.

Частота резонанса определяется элементами LC-контура и рассчитывается по известной формуле

.

Можно избежать применения индуктивностей, используя селективные RC-цепи. Наибольшее применение получила так называемая фазирующая RC-цепь, включенная в схеме RC-генератора (рисунок 7.29б) между выходом и неинвертирующим входом ОУ. На частоте генерации фазовый сдвиг =0 и выполняется условие баланса фаз, для выполнения баланса амплитуд необходимо скомпенсировать затухание, вносимое фазирующей цепью на частоте генерации, т.е. выполнить условие

,

где - затухание, вносимое фазирующей цепью.

Чтобы генерировать колебания сложной формы, следует выполнить неравенство как условие генерации многочастотных колебаний. Оно легко реализуется.

В схеме RC-автогенератора с электронной перестройкой частоты (рисунок 7.29г) в качестве управляемых сопротивлений используется сдвоенный ПТ, у которого сопротивление канала является линейной функцией управляющего напряжения . Очевидно, что при изменении происходит электронная перестройка частоты. Если в качестве управляющего напряжения использовать низкочастотное колебание, то по закону изменения амплитуды этого колебания будет изменяться частота автогенератора, т.е. осуществляться частотная модуляция.

Важным параметром автогенераторов является температурная нестабильность частоты, которая в обычных LC-генераторах достигает порядка ()% на , в RC-генераторах - примерно на порядок ниже. Гораздо лучшие показатели стабильности частоты обеспечивают кварцевые автогенераторы (рисунок 7.29в). Здесь кварц используется в качестве эквивалентной индуктивности, образующей с емкостью С последовательный колебательный контур, имеющий на частоте резонанса минимальное сопротивление. На частоте резонанса ПОС достигает максимума, и возникает генерация. Для стабилизации режима ОУ охвачен глубокой ООС по постоянному напряжению, которая, в целях выполнения условия баланса амплитуд, устраняется на частоте генерации конденсатором , емкость которого выбирается из условия

.

В термостатированных кварцевых генераторах достигается нестабильность частоты порядка % на .

Для стабилизации амплитуды генерируемых колебаний в цепях ООС генераторов используют нелинейные элементы, например, диоды (рисунок 7.29 д), либо АРУ, например, на ПТ (рисунок 7.29е).

Принцип построения генераторов прямоугольных колебаний рассмотрим на примере симметричного мультивибратора на ОУ (рисунок 7.30).

Режим генерации здесь обеспечивается путем подключения к инвертирующему входу ОУ времязадающей цепи ООС ( и ). Предположим, что в начальный момент времени на инвертирующем входе ОУ присутствует большее положительное напряжение, чем на неинвертирующем. Тогда на выходе ОУ появится отрицательное напряжение , которое, благодаря цепи ПОС ( и ), имеет нарастающий характер. Этим отрицательным теперь будет заряжаться через . Процесс заряда будет продолжаться до тех пор, пока напряжение на инвертирующем входе ОУ станет более отрицательным, чем на ее неинвертирующем входе. Теперь на выходе ОУ появляется положительное , форсированно нарастающее под действием ПОС. Таким образом, на выходе ОУ будет формироваться последовательность симметричных двуполярных прямоугольных импульсов типа "меандр". Времена длительности импульса и паузы в таком мультивибраторе равны

.

Более подробно генераторы на ИМС описаны в [12].

7.7 Устройства вторичных источников питания

Из множества различных устройств вторичных источников питания ограничимся рассмотрением стабилизаторов с использованием ОУ, как наиболее соответствующим содержанию курса АЭУ.

Компенсационные стабилизаторы напряжения с ОУ позволяют достичь высокого значения коэффициента стабилизации напряжения, низкого дифференциального выходного сопротивления, повышенного КПД.

На рисунке 7.31 а приведена схема высококачественного стабилизатора на ОУ.

Здесь ОУ используется в качестве буферного усилителя. Высокое значение входного сопротивления ОУ обеспечивает идеальные условия для работы стабилитрона. Нагрузка может быть достаточно низкоомной, т.к. выход ОУ низкоомный за счет действия 100% ПООСН.

Недостатком рассмотренного стабилизатора является малый рабочий ток, обусловленный низкой нагрузочной способностью ОУ. Избежать этого недостатка можно усилением выходного тока ОУ с помощью внешних транзисторов, используемых в режиме повторителей напряжения (рисунок 7.31б). Здесь к выходу ОУ подключен составной транзистор (,,) по схеме с ОК. Максимальный ток нагрузки такого стабилизатора ориентировочно равен

.

Необходимое напряжение стабилизации определяется выбором типа стабилитрона и, помимо этого, соответствующим выбором резисторов и . Устройство не нуждается в емкости фильтра на выходе, т.к. здесь используется эффект умножения по отношению к нагрузке емкости конденсатора С, подключенного к базе .

Другие устройства вторичных источников питания описаны в [12, 14].

8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА АЭУ

8.1 Оценка нелинейных искажений усилительных каскадов

Аналитический расчет НИ представляет собой довольно сложную задача и в полной мере может проводиться с помощью ЭВМ.

Для каскадов на БТ возможна аналитическая оценка НИ для случая малых нелинейностей ( одного порядка с ) [15].

Обычно уровень НИ характеризуется коэффициентом гармоник . Суммарный коэффициент гармоник равен

,

где и соответственно коэффициенты гармоник по второй и третьей гармоническим составляющим (составляющими более высокого порядка можно пренебречь ввиду их относительной малости).

Коэффициенты гармоник и , независимо от способа включения БТ, определяются из следующих соотношений:

,

,

где В - фактор связи (петлевое усиление).

Данные выражения учитывают только нелинейность эмиттерного перехода и получены на основе разложения в ряд Тейлора функции тока эмиттера

.

Фактор связи зависит от способа включения транзистора и вида обратной связи. Для каскада с ОЭ и ПООСТ имеем:

,

где - сопротивление источника сигнала (или предыдущего каскада); - сопротивление ПООСТ (см. подраздел 3.2, в случае отсутствия ПООСТ ).

Для каскада с ОЭ и ||ООСН

,

где , - сопротивление ||ООСН (см. подраздел 3.4).

Для каскада с ОК

,

где (см. подраздел 2.8).

Для каскада с ОБ

.

Коэффициенты гармоник и , независимо от способа включения ПТ, определяются из следующих соотношений:

,

,

где А - коэффициент, равный второму члену разложения выражения для нелинейной крутизны в ряд Тейлора, равный [15]

,

где и см. рисунок 2.33.

Фактор связи В зависит от способа включения транзистора и вида ООС. Для каскада с ОИ и ПООСТ имеем:

,

где - сопротивление ПООСТ (см. подраздел 3.2, в случае отсутствия ПООСТ ).

Для каскада с ОИ и ||ООСН имеем:

,

где , - сопротивление ||ООСН (см. подраздел 3.4).

Для каскада с ОС

,

где (см. подраздел 2.11).

Для каскада с ОЗ

.

В приведенных выше выражениях - сопротивление тела полупроводника в цепи истока, , где - см. подраздел 2.10, для маломощных ПТ =(10…200)Ом; - см. рисунок 2.38.

Приведенные соотношения для оценки дают хороший результат в случае малых нелинейностей, в режиме больших нелинейностей следует воспользоваться известными машинными методами [4], или обратиться к графическим методам оценки НИ [6].

8.2 Расчет устойчивости УУ

Оценку устойчивости УУ, представленного эквивалентным четырехполюсником, описываемым Y-параметрами, удобно проводить с помощью определения инвариантного коэффициента устойчивости [2]:

.

При k>1 усилитель безусловно устойчив, при k<1 - потенциально неустойчив, т.е. существуют такие сочетания полных проводимостей нагрузки и источника сигнала, при которых возможно возникновение генерации.

Устойчивость усилителя с учетом проводимости нагрузки и источника сигнала определяется следующим соотношением:

.

При k>1 усилитель безусловно устойчив, при k<1 - неустойчив, k=1 соответствует границе устойчивости.

Эквивалентные Y-параметры усилителя определяются, согласно методике подраздела 2.3, в заданных точках диапазона рабочих частот. Использование инвариантного коэффициента устойчивости особенно удобно при машинном анализе УУ. Другие методы оценки устойчивости описаны в [6].

8.3 Расчет шумовых характеристик УУ

Шумы в УУ в основном определяются шумами активных сопротивлений и усилительных элементов, расположенных во входных каскадах. Наибольший вклад в мощность шума, создаваемого усилительным каскадом, вносит усилительный элемент. Наличие собственных источников шумов ограничивает возможность усиления слабых сигналов.

В зависимости от природы возникновения, собственные шумы транзистора подразделяются на тепловые, дробовые, шумы токораспределения, избыточные и т.д.

Тепловые шумы обусловлены беспорядочными перемещениями свободных носителей заряда в проводниках и полупроводниках, дробовые - дискретностью заряда носителей (электронов и "дырок") и случайным характером инжекции и экстракции их через p-n-переходы. Шум токораспределения вызывается флуктуациями распределения тока эмиттера на токи коллектора и базы. Все вышеперечисленные виды шумов имеют равномерный спектр.

Природа избыточных шумов до конца еще не выяснена. Обычно их связывают с флуктуациями состояния поверхности полупроводников. Спектральная плотность этих шумов обратно пропорциональна частоте, что послужило поводом для названия их шумами типа 1/f. Еще их называют фликкер-шумами, шумами мерцания и контактными шумами. Шумы типа 1/f сильно возрастают при дефектах в кристаллической решетке полупроводника.

Наиболее весомый вклад в мощность шумов усилительных элементов вносят тепловые шумы.

Шумы активных элементов можно представить в виде источника напряжения (рисунок 8.1а) или источника тока (рисунок 8.1б).

Соответствующие значения ЭДС и тока этих источников следующие (см. подраздел 2.2):

,

,

где - полоса рабочих частот; - постоянная Больцмана; Т - температура в градусах Кельвина; - шумовое сопротивление, - шумовая проводимость, .

Для стандартной температуры Т=290К эти формулы можно упростить:

, .

Спектральные плотности шумов по напряжению и току составляют [17]:

,

,

где , - дифференциалы от среднеквадратичных напряжений и токов шумов как случайных функций времени t, действующих в полосе пропускания df.

Любой активный элемент можно представить шумящим четырехполюсником (рисунок 8.2) и по данным формулам рассчитать его шумовые характеристики.

В [16] приведены выражения для шумовых параметров БТ и ПТ нормированных спектральных плотностей шумов по напряжению , по току и взаимной спектральной плотности , представляющих собой соответственно шумовое сопротивление, шумовую проводимость и взаимную спектральную плотность шумов.

Для БТ, включенного по схеме с ОЭ:

,

,

,

где и в миллиамперах, g и в миллисименсах. При учете фликкер-шумов для частот f10Гц в данных выражениях следует принять:

,

.

Для ПТ, включенного с ОИ:

,

,

.

Данные формулы применимы и для других схем включения транзисторов.

Полагая равномерным спектральные плотности шумов, согласно [16] можно получить выражение для коэффициента шума каскада:

.

Исследуя это выражение на экстремум, определяем оптимальное сопротивление источника сигнала , при котором коэффициент шума каскада F минимален:

.

При этом в большинстве случаев оказывается, что не совпадает с , оптимальным с точки зрения получения необходимой каскада (>). Выходом из данной ситуации является включение между первым и вторым каскадами цепи противошумовой коррекции (рисунок 8.3).

Введением противошумовой коррекции добиваются повышения коэффициента передачи каскадов в области ВЧ (путем внесения корректирующей цепью затухания на НЧ и СЧ), компенсируя тем самым спад усиления на ВЧ за счет высокоомного .

Приближенно параметры противошумовой коррекции можно определить из равенства ее постоянной времени RC постоянной времени некорректированного каскада.

Расчет шумов каскадно соединенных четырехполюсников (многокаскадного усилителя) обычно сводится к расчету коэффициента шума входной цепи и входного каскада. Первый каскад в таком усилителе работает в малошумящем режиме, а второй и другие каскады в обычном режиме.

Расчет шумов в общем случае представляет собой сложную задачу, решаемую с помощью ЭВМ. Для ряда частных случаев шумовые параметры могут бить рассчитаны по соотношениям, приведенным в [16].

8.4 Анализ чувствительности

Чувствительностью называется реакция различных устройств на изменение параметров ее компонент.

Коэффициент чувствительности (функция чувствительности или просто чувствительность) представляет собой количественную оценку изменения параметров устройства (в т.ч. и АЭУ) при заданном изменении параметров его компонент.

Необходимость расчета функции чувствительности возникает при необходимости учета влияния на характеристики АЭУ факторов окружающей среды (температуры, радиации и т.д.), при расчете требуемых допусков на параметры компонент, при определении процента выхода ИМС, в задачах оптимизации, моделирования и т.д.

Функция чувствительности параметра устройства y к изменению параметра компонента определяется как частная производная

.

Данное выражение получено на основе разложения в ряд Тейлора функции нескольких переменных , где

.

Пренебрегая частными производными второго и более порядка, получаем связь функции чувствительности и отклонения параметра :

.

Существуют разновидности функции чувствительности:

абсолютная чувствительность , абсолютное отклонение при этом равно ;

относительная чувствительность , относительное отклонение равно ;

полуотносительные чувствительности , .

Выбор вида функции чувствительности определяется видом решаемой задачи, например, для комплексного коэффициента передачи относительная чувствительность равна относительной чувствительности модуля (действительная часть) и полуотносительной чувствительности фазы (мнимая часть):

.

Для простых схем вычисление функции чувствительности может осуществляться прямым дифференцированием схемной функции, представленной в аналитическом виде. Для сложных схем, получение аналитического выражения схемной функции представляет собой сложную задачу, возможно применение прямого расчета функции чувствительности через приращения. В этом случае необходимо проводить n анализов схемы, что для сложных схем весьма нерационально.

Существует косвенный метод расчета чувствительности по передаточным функциям, предложенный Быховским [17]. Согласно этому методу, функция чувствительности, например, прямого коэффициента передачи равна произведению функций передачи с входа схемы до элемента, относительно которого ищется чувствительность, и передаточной функции "элемент - выход схемы" (рисунок 8.4а).

Так как расчет функции чувствительности сводится к расчету передаточных функций, то для их нахождения возможно применение, например, обобщенного метода узловых потенциалов. Косвенный метод расчета по передаточным функциям позволяет находить функции чувствительности более высоких порядков. На рисунке 8.4б проиллюстрировано нахождение функции чувствительности второго порядка. В общем же существует n! путей передачи сигнала, каждый из которых содержит n+1 сомножителей.

Ниже описывается метод расчета функции чувствительности, сочетающий прямой метод дифференцирования и косвенный по передаточным функциям, позволяющий за один анализ находить чувствительность к n элементам схемы [18]. Рассмотрим данный способ на примерах получения выражений для абсолютной чувствительности первого порядка S-параметров электронных схем, описанных матрицей проводимости [Y].

В матричном представлении характеристики электронных схем, в том числе и параметры рассеяния [S], определяются в виде отношений алгебраических дополнений матрицы [Y] (см. подраздел 7.2). Изменяемый параметр входит при этом в некоторые элементы алгебраических дополнений. Определение функции чувствительности сводится в этом случае к нахождению производных от отношений алгебраических дополнений (или алгебраических дополнений и определителя) по элементам, в которых содержится изменяемый параметр. В случае, когда изменяемый параметр входит в элементы дополнений определителя функционально, чувствительность определяется как сложная производная.

Для определения производных алгебраических дополнений по изменяемым параметрам входящих в них элементов воспользуемся теоремой, утверждающей, что производная определителя по какому-либо элементу равна алгебраическому дополнению этого элемента. Доказательство теоремы основано на разложении определителя по Лапласу

.

Общее выражение для S-параметров через алгебраические дополнения имеет вид (см. подраздел 7.2)

.

Определим функции чувствительности параметров рассеяния к пассивному двухполюснику включенному между произвольными узлами k и l (см. рисунок 8.5а)

При получении данного и последующих выражений используются следующие матричные соотношения [3]:

,

.

Для электронных схем, содержащих БТ, моделируемые ИТУТ (см. подраздел 2.4.1), определим чувствительность S-параметров к проводимости управляющей ветви и параметру управляемого источника включенных соответственно между узлами k, l, и p, q (рисунок 8.5б):

Если электронная схема содержит ПТ, моделируемые ИТУН (см. подраздел 2.4.1), то чувствительность параметров рассеяния к крутизне S, включенной между узлами p, q при узлах управления k, l (рисунок 8.5в), равна

Чувствительность параметров рассеяния к любому Y-параметру подсхемы (рисунок 8.5г), например, , будет равна

При известной чувствительности к параметру элемента подсхемы x (см. рисунок 8.5г) чувствительность S-параметров полной схемы к этому параметру, в соответствии с понятием сложной производной, выразится как

.

Последнее выражение указывает на возможность применения метода подсхем при анализе чувствительности сложных электронных схем.

Зная связь параметров рассеяния с вторичными параметрами электронных схем ( и др.) и чувствительность параметров рассеяния к изменению элементов схемы, возможно нахождение функций

чувствительности вторичных параметров к изменению этих элементов. Например, для коэффициента передачи по напряжению с i-го на j-й узел чувствительность к изменению параметра x (полагая, что и ) получаем

.

Аналогично для () имеем

;

.

Данный способ столь же эффективно может быть использован при определении чувствительности более высоких порядков для всевозможных характеристик электронных схем. Реализация полученных таким образом алгоритмов расчета чувствительности сводится к вычислению и перебору соответствующих алгебраических дополнений, что хорошо сочетается с нахождением других малосигнальных характеристик электронных схем.

8.5 Машинные методы анализа АЭУ

В подразделе 2.3 приведена основная идея обобщенного метода узловых потенциалов, на основе которого были получены большинство соотношений для эскизного расчета усилительных каскадов. Однако наряду с несомненными достоинствами данного метода (простота программирования, малая размерность получаемой матрицы проводимости Y, nn, где n- количество узлов схемы без опорного), данный метод имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить невозможность представления в виде проводимости некоторых идеальных моделей электронных схем (короткозамкнутых ветвей, источников напряжения, зависимых источников, управляемых током и т.д.). Кроме того, представление индуктивности проводимостью неудобно при временном анализе схем, что связано с преобразованием Лапласа (оператор Лапласа p должен быть в числителе для того, чтобы система алгебраических уравнений и полученная в результате преобразования система дифференциальных уравнений имела одинаковые коэффициенты).

В настоящее время наибольшее распространение получили топологические методы формирования системы уравнений электрической цепи, наиболее общим из которых является табличный [4].

В этом методе все уравнения, описывающие цепь, включаются в общую систему уравнений, содержащую уравнения Кирхгофа для токов, напряжений и компонентные уравнения.

Уравнения Кирхгофа для токов можно представить в виде

,

где A- матрица инценденции [4], описывающая топологию цепи, - вектор тока ветвей.

Уравнения Кирхгофа для напряжений имеют вид

,

где и - соответственно, вектора напряжений ветвей и узловых потенциалов, - транспонированная матрица инценденции А.

В общем случае уравнения, описывающие элементы цепи, можно представить в следующей форме:

,

где и - соответственно, квазидиагональные матрицы проводимости и сопротивления ветвей, - вектор, куда входят независимые источники напряжения и тока, а также начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях.

Запишем приведенные уравнения в следующей последовательности:

;

;

;

и в общем виде

TX=W.

Табличный метод имеет главным образом теоретическое значение, поскольку наряду с основным достоинством, выражающимся в том, что возможно нахождение всех токов и напряжений ветвей и узловых потенциалов, имеет ряд существенных недостатков. В первую очередь следует отметить избыточность метода, приводящую к большой размерности матрицы Т. Далее следует отметить, что многие идеальные управляемые источники приводят к появлению лишних переменных. Например, входной ток управляемых напряжением источников тока и напряжения, а также входное напряжение управляемых током источников тока и напряжения равны нулю, но в данном методе они рассматриваются как переменные.

В практическом плане чаще всего используется модификация табличного метода - модифицированный узловой метод с проверкой [4].

Идея данного метода заключается в разделении элементов на группы; одна группа сформирована из элементов, которые описываются помощью проводимостей, для элементов второй группы такое описание невозможно. Поскольку через токи ветвей первой группы можно выразить напряжения ветвей, а напряжения ветвей через узловые потенциалы, то можно исключить из табличных уравнений все напряжения ветвей, а для элементов первой группы еще и токи ветвей. При введении дополнительных уравнений для токов в ветвях с элементами второй группы производится проверка на наличие заранее известных (нулевых) переменных. В результате такого преобразования получим уравнения модифицированного узлового метода с проверкой



или в общем виде

,

где n- размерность матрицы проводимости элементов первой группы (n- число узлов схемы без нулевого); m- число дополнительных уравнений для элементов второй группы; - вектор независимых источников тока; - вектор токов ветвей элементов второй группы; - вектор, куда входят независимые источники напряжения, а также начальные напряжения и токи на конденсаторах и индуктивностях, представленных элементами второй группы.

Для упрощения программирования обычно представляют матрицу коэффициентов системы уравнений модифицированного узлового метода в виде суммы двух матриц размерностью (n+m)*(n+m)

.

В матрицу G вносят все активные проводимости и коэффициенты, соответствующие частотно-независимым элементам, а в матрицу С- все частотнозависимые элементы, причем индуктивности обычно представляют элементом второй группы, т.е. сопротивлением. Далее находят решение данной системы уравнений, используя алгоритмы Гаусса-Жордана либо L/U- разложения [4].

При частотном анализе электронных схем оператор р заменяется на j, организуется цикл по частоте, внутри которого для каждой частотной точки формируется система уравнений, которая решается относительно интересующих напряжений и токов.

При временном анализе линейных электронных схем возможно непосредственно использовать модифицированную узловую форму уравнений

.

После перехода во временную область получим

,

или

.

Решение полученной системы дифференциальных уравнений находится путем численного интегрирования. Одними из эффективных методов численного интегрирования являются методы, опирающиеся на линейные многошаговые формулы [4], к простейшим из которых относятся формулы Эйлера (прямая и обратная) и формула трапеций.

Разбив временной интервал [0,T] на конечное число отрезков h и положив , для каждого момента времени можно найти приближение к истинному решению путем применения линейных многошаговых формул:

 (прямая формула Эйлера);

(обратная формула Эйлера);

(формула трапеций).

Нахождение для (n+1)-го шага вычислений возможно путем применения прямой формулы Эйлера.

Поскольку напряжение на конденсаторе и ток, протекающий через него связаны соотношением i=CdV/dt, а для индуктивности имеем V=Ldi/dt, то применение обратной формулы Эйлера равноценно переходу от емкостей и индуктивностей к их эквивалентным схемам, показанным на рисунке 8.6, в результате чего цепь становится резистивной. Такие модели индуктивности и емкости носят название сеточных (сопровождающих, дискретных) моделей.

Отыскание рабочей точки или расчет по постоянному току является первым шагом при нелинейном анализе УУ. Анализ характеристик по постоянному току схем, содержащих нелинейные сопротивления, сводится к решению системы нелинейных уравнений вида f(x)=0.

Поскольку законы Кирхгофа применимы не только к линейным, но и к нелинейным элементам, для формирования системы уравнений f(x) возможно использование уже рассмотренных табличных методов. Структура получаемых табличных уравнений будет рассмотрена ниже.

Для решения системы нелинейных уравнений f(x) применяется метод Ньютона-Рафсона [4]. Метод предусматривает использование начального приближения , проведение итерационной процедуры и, если величина достаточно мала, констатацию факта сходимости (n- количество итераций):

,

где J- якобиан (матрица Якоби) размерностью (m*m)

.

В процессе итерационной обработки данной системы уравнений на каждом этапе итерации могут быть получены значения и J; это эквивалентно решению линейного уравнения в форме

.

Другими словами, решение нелинейных уравнений можно интерпретировать как повторное решение линейных уравнений на каждом этапе итерационного процесса.

Структура якобиана внешне совпадает с табличными уравнениями линейных цепей, которые преобразованы с учетом расчета по постоянному току - убраны конденсаторы и закорочены катушки индуктивности.

Пусть табличные уравнения заданы в следующей форме:

;

;

;

Система уравнений определяет связь между токами и напряжениями ветвей в неявной форме, некоторые из этих зависимостей могут быть линейными.

Матрица Якоби на n-й итерации будет иметь вид

,

где ; где .

Для формирования якобиана возможно использование различных модификаций табличного метода, в том числе и модифицированного узлового с проверкой. Результат анализа схемы по постоянному току (режим по постоянному току) может быть использован в качестве начального приближения при временном анализе нелинейных электронных схем.

Нелинейные уравнения легко включаются в уравнения цепи, составленные табличным или модифицированным узловым методом. Линейные элементы, как и прежде, линейными компонентными уравнениями. Для нелинейных уравнений характерны уравнения в неявной форме, хотя иногда нелинейности можно описать и в явной форме. Нелинейные емкости и индуктивности лучше всего описывать с помощью дополнительных переменных - электрических зарядов и магнитных потоков соответственно, которые должны быть введены в вектор неизвестных. Если это проделать, то уравнения, записанные как табличным, так и модифицированным узловым методами можно представить в следующем виде:

,

где E и G- постоянные матрицы, а все нелинейности сведены в вектор p(x).

Полученная система дифференциальных уравнений решается путем интегрирования с использованием формулы дифференцирования назад [4] и алгоритма Ньютона-Рафсона, для чего формируется якобиан. В целом структура якобиана для линейной и нелинейной цепи идентична, отличие между ними в том, что нелинейная емкость (индуктивность) будет представлена двумя уравнениями, а заряд q (поток ) станет еще одним неизвестным. Однако и для линейных емкостей и индуктивностей можно ввести заряды и магнитные потоки в качестве переменных, что приведет к совпадению якобиана и матрицы системы уравнений. Любая нелинейная проводимость появится в якобиане аналогично линейной проводимости в матрице С модифицированного узлового метода. Таким образом становится возможным единый подход к формированию и решению уравнений линейных и нелинейных цепей с целью получения их временных и частотных характеристик, что и успешно реализуется в современных пакетах схемотехнического проектирования.

Более подробно перечисленные методы, а также другие вопросы анализа электронных цепей приведены в [4]. В [19] описан один из пакетов схемотехнического проектирования Electronics Workbench.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ограниченный объем данного пособия не позволил в полной мере отразить весь круг вопросов построения и анализа АЭУ. При необходимости следует обращаться к литературе, ссылки на которую имеются в каждом разделе пособия. При выполнении расчетных заданий, лабораторных работ и курсового проекта следует пользоваться соответствующими учебными пособиями и методическими рекомендациями [19, 20].

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справочное руководство: Пер. с нем.-М.: Мир, 1982.-512с.: ил.

Ленк Дж. Справочник по современным твердотельным усилителям: Пер. с англ. - М.: Мир, 1977.-500с.: ил.

Сигорский В.П. Анализ электронных схем. - Киев: Гос. изд. техн. лит., 1963. - 200с.: ил.

Влах И., Синхгал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1988. - 560с.: ил.

Цыкин Г.С. Усилительные устройства. - М.: Связь, 1971. - 368с.: ил.

Мамонкин И.Г. Усилительные устройства. - М.: Связь, 1977. - 360с.: ил.

Помыткин М.П. Проектирование импульсных усилителей: Методические указания для студентов специальностей 200700, 201600. - Томск, ТИАСУР, 1970. - 44с.: ил.

Зелингер Дж. Основы матричного анализа и синтеза применительно к электронике: Пер. с англ. - М.: Сов. радио, 1970. - 236с.: ил.

Шкритек П. Справочное руководство по звуковой схемотехнике: Пер. с нем.. - М.: Мир, 1991. - 446с.: ил.

Аналоговые интегральные микросхемы: Справочник/ Б.П.Кудряшов и др. - М.: Радио и связь, 1981. - 160с.: ил.

Панин Н.П. Переменные аттенюаторы и их применение. - М.: Энергия, 1971. - 40с.: ил.

Игнатов А.Н. Микроэлектронные устройства связи и радиовещания. - Томск: Радио и связь, Томское отделение, 1990. - 400с.: ил.

Основы радиоэлектроники: Учебное пособие/ Ю.И. Волощенко и др.; Под ред. Г.Д. Петрухина. - М.: Изд-во МАИ, 1993. - 416с.: ил.

Игумнов Д.В., Костюнина Г.П. Полупроводниковые устройства непрерывного действия. - М.: Радио и связь, 1990. - 256с.: ил.

Жаркой А.Г. Расчет нелинейных искажений гармонических сигналов в транзисторных усилителях: Методические указания для студентов специальностей 200700, 201600. - Томск, ТИАСУР, 1987. - 54с.: ил.

Проектирование усилительных устройств: Учеб. пособие/ Ефимов В.В. и др.; под ред. Н.В. Терпугова. - М.: Высш. шк., 1982ю - 190с.: ил.

Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей: Пер. с англ. - М.: Сов. радио, 1973. - 200с.: ил.

Красько А.С., Кологривов В.А. Оценка чувствительности параметров рассеяния с помощью обобщенного метода узловых потенциалов: Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Исследование и разработка прецизионных измерительных комплексов и систем с использованием радиоволновых и оптических каналов связи", часть 1. - Томск: ТИАСУР, 1981. - стр.117.

Красько А.С. Схемотехника аналоговых электронных устройств: Компьютерный лабораторный практикум. - Томск: ТУСУР ТМЦДО, 2002. 42с.: ил.

Красько А.С. Проектирование аналоговых электронных устройств: Методические указания по курсовому проектированию. - Томск: ТУСУР ТМЦДО, 2000. 42с.: ил.

Размещено на Allbest.ru

...