Основы навигации

Поэтому с учетом того, что а = 1 / arc 1' = 3437,7468 и Моd= 0,434294, формулы (80) и (81) перепишем в следующем виде:

D = 7915',70447 lg tg (45° + ц / 2){(1 - esin ц) / (1 + esin ц)}<>; (84)

D = x = 7915',70447 lg U. (85)

Для Земли--шара (е=0, а=R) уравнения меридианов и параллелей в проекции Меркатора имеют вид

x = D = R ln tg (45° + ц / 2)

y = Rл (86)

Таким образом, для равноугольной цилиндрической проекции Меркатора получены формулы:

Для сфероида: x = a ln tg (45° + ц / 2){(1 - esin ц) / (1 + esin ц)}e/2; y = aл m = n = (a / N)sec ц щ = 0.	Для шара: x = R ln tg (45° + ц / 2); y = Rл m = n = sec ц щ = 0.

При построении карты в проекции Меркатора всегда указывается параллель, к которой отнесен главный масштаб. Эта параллель называется главной параллелью. Главные параллели установлены для отдельных морей и океанов, их перечень приведен в Картографических таблицах.

§ 28. Локсодромия

Траектория корабля, идущего неизменным курсом, представляет собой на Земной поверхности линию двоякой кривизны, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом. Такая кривая называется локсодромией, что в переводе с греческого означает «косой бег» (рисунок). Локсодромия на поверхности Земли спиралеобразно приближается к полюсу, но никогда его не достигает.

Для вывода уравнения локсодромии рассмотрим элементарный треугольник АВF на земном эллипсоиде, образованный отрезками меридиана АF, параллели FB и локсодромии AF, составляющей с меридианами одинаковые углы К. По малости сторон треугольник АВF можно принять за плоский и тогда

tg K = rДл / MДц = NcosцДл / MДц.

Подставив в полученную формулу значения M и N, из формул (6) и (7), получим

tg K = {a(1 - eІsinІц)3/2cosцДл / (1 - eІsinІц)Ѕ * a(1 - eІ)Дц} = {(1 - eІsinІ) / (1 - eІ)} * cos ц (Дл / Дц.

Переходя от элементарно малых величин Дц и Дл к их дифференциалам, последнее выражение перепишем в виде

dл = tg K {(1 - eІ) / (1 - eІsinІц)} * (dц / cos ц).

Заменив в числителе 1 - eІ на 1 - eІ(sinІ + cosІц), получим

dл = tg K [ (1 - eІsinІц) / (1 - eІsinІц - e * { (ecosІц) / (1 - eІsinІц)} ] * (dц / cos ц,

откуда

dл = tg K { (dц / cos ц) - e * { (ecos ц dц) / (1 - eІsinІц) }.

Интегрирование последнего выражения в пределах от A (ц1, л1) до B (ц2, л2) дает

л2 - л1 = {tg K ?ц2ц1 dц / cos ц} - e * tg K ?ц2ц1 cos ц dц / (1 - eІsinІц

Произведя необходимые преобразования подынтегрального ?ц2ц1 cos ц dц / (1 - eІsinІц) выражения, как показано в предыдущем параграфе, получим уравнение локсодромии АВ на карте проекции Меркатора с учетом сжатия Земли

л2 - л1 = tg K [ ln tg (45° + ц2) - ln tg (45° + ц1 / 2) ] - e tg K [ln tg (45° + ш2 / 2) - ln tg (45° + ш1) ,]

окончательный вид которого будет

л2 - л1 = tg K [ ln tg (45° + ц2 / 2){(1 - esin ц2) / (1 + e sin ц2)e/2 - ln tg (45° + ц1 / 2) * { ( - esin ц1 / (1 + e sin ц1)e/2]

где ц1, л1, ц2, л2 -- координаты точек, через которые проходит локсодромия.

Без учета сжатия Земли уравнение локсодромии имеет вид

л2 - л1 = tg K [ ln tg (45° + ц2 / 2) - ln tg (45° + ц1 / 2) ] (88)

Выражения, стоящие в квадратных скобках уравнений (87) и (88), представляют собой разности меридиональных частей: D2 --для параллели с широтой ц2 и D1 -- для параллели с широтой ц1.

Поэтому выражения (87) и (88) могут быть представлены в виде

л2 - л1 = tg K (D2 - D1). (89)

Последнее уравнение показывает, что локсодромия на проекции Меркатора изображается прямой линией. Иначе и быть не может, так как систему параллельных между собой прямых (меридианов) под одним углом пересекает только прямая линия. Приняв одну из точек, через которые проходит локсодромия, на экваторе, т. е. считая ц1 = 0 и л1 = лo, а координаты произвольной точки В текущими, т.е. ц2 = ц и л2 = л, перепишем уравнение локсодромии в следующем виде (формулы 90):

-- с учетом сжатия Земли:

л = tg K [ ln tg (45° + ц / 2) * { (1 - e sin ц) / (1 + e sin ц) }e/2} ] + лo

-- без учета сжатия Земли:

л = tg K (45° + ц / 2) + лo

Выведенные уравнения позволяют по известным курсу К, долготе точки пересечения экватора ло и одной из текущих координат локсодромии вычислить вторую координату. Исследуем полученные уравнения с целью выявления свойств локсодромии.

1. Положив в формуле (87) или (88) K = 0° или K = 180°, найдем, что л2 - л1 = 0 или л2 = л1, т. е. л = const. В этом случае локсодромия совпадает с меридианом и проходит через точки обоих полюсов.

2. При K = 90° или K = 270° tg K = ?. Но так как разность долгот точек локсодромии л2 - л1 величина конечная, то один из членов формулы (87) или (88) дол-жен быть равен нулю, т. е. ln tg (45° + ц2 / 2) - ln tg (45° + ц1 / 2 ) = 0,

следовательно,

ц2 = ц1, то есть ц = const.

Локсодромия в этих случаях совмещается с параллелью или с экватором (при ц = 0°).

3. Уравнение (90) приведем к такому виду:

tg (45° + ц / 2) = e(л - лo)ctg K (91)

Полученное уравнение показывает, что каждому значению широты ц соответствует только одно значение долготы л, т. е. локсодромия пересекает каждую параллель только один раз. Придавая долготе значения л, л + 2р, л + 4р, л + 6р и т. д., будем получать каждый раз все новые возрастающие значения широты. Это означает, что локсодромия пересекает каждый меридиан бесчисленное множество раз, стремясь к полюсу и не достигая его. Исключение составляют лишь случаи, когда K =0° и K = 180°.

§ 29. Изменение масштаба на карте в проекции Меркатора

Расстояние по меридиану между двумя параллелями на проекции Меркатора определяется разностью меридиональных частей этих параллелей:

D2 - D1 = РМЧ (92)

Длина одной минуты дуги меридиана на данной параллели карты в проекции Меркатора, выраженная в миллиметрах, носит название меркаторской мили. Величиной меркаторской мили, графически изображенной на боковых (восточной и западной) рамках карты, пользуются как единицей линейного масштаба для измерения расстояний при работе на карте.

Численное значение меркаторской мили И (мм) на данной параллели ц, знаменатель частного масштаба на которой равен С, может быть вычислено по формуле

И = Д 1' / C (93)

Точные значения Д 1' (мм) даются в Картографических таблицах. Главный масштаб на проекции Меркатора относится только к главной параллели, и этот масштаб (численный) указывается в заголовке карты. Кроме того, на картах указывается масштаб по экватору. Главной может быть любая параллель, в том числе и экватор. В последнем случае цилиндр будет касаться земного эллипсоида (шара) по линии экватора. Во всех остальных случаях цилиндр будет секущим и главной параллелью проекции будут параллели сечения эллипсоида цилиндром.

Масштаб в проекции Меркатора, оставаясь постоянным по всем направлениям в любой точке, меняется от точки к точке с изменением широты. На главной параллели увеличение масштаба равно единице и искажения длин отсутствуют. Частный масштаб в любой точке карты равен увеличению масштаба. Чтобы установить зависимость масштаба на проекции Меркатора от широты, найдем отношение масштабов в двух точках проекции, расположенных на разных параллелях ц1 и ц2.

Масштабы в каждой из этих точек по всем направлениям одинаковы. Поэтому сравнивать можно любые частные масштабы в этих точках по параллелям или по меридианам.

Рассмотрим отношение масштабов по параллелям. Будем при этом считать, что экватор является главной параллелью, следовательно, масштаб по экватору равен главному масштабу и увеличение масштаба на экваторе равно единице.

Масштаб проекции в точке А' на параллели ц1 (рисунок) равен

n1 = A'B' / A'oB'o = adл / r1dл = a / N1 cos л1,

где adл --длина изображения отрезка параллели на проекции между заданными меридианами, равная длине отрезка экватора между теми же меридианами, так как по свойству проекции каждая параллель на проекции увеличивается или уменьшается до длины главной параллели;

r1dл -- длина отрезка параллели между заданными меридианами на условном глобусе.

Из приведенной формулы видно, что вдоль параллели масштаб изображения изменяться не будет, так как величины а, r1, ц1 остаются неизменными. Следовательно, параллели в проекции Меркатора являются линиями постоянного масштаба. С изменением широты радиус параллели меняется, уменьшаясь с увеличением ц, величина а при этом остается неизменной. Уменьшение знаменателя дроби приводит к увеличению частного, т. е. к увеличению масштаба с возрастанием широты.

По аналогии с предыдущим получим масштаб для точки А" на параллели ц2

n2 = A''B'' / A''oB''o = adл / r2dл = a / N2cos ц2

Сравним полученные масштабы в точках А' и А", взяв их отношение

n2 / n1 = a / N2cos ц2 :

N1cos ц1 / N2cos ц2

Без учета сжатия Земли аналогичное отношение масштабов на разных параллелях будет иметь вид

n2 / n1 = cos ц1 / cos ц2

Таким образом, показано, что с увеличением широты масштаб на проекции Меркатора увеличивается. Формулы (94) и (95) позволяют определить масштаб или увеличение масштаба на любой параллели, если известно увеличение масштаба на одной из них.

Так как в заголовке карты всегда приводится масштаб nо для главной параллели (цo), то при возникновении необходимости вычислить масштаб в любой точке проекции на параллели ц1 можно воспользоваться формулой

n1 / no = No cos цo / N1 cos ц1 (96)

с учетом сжатия Земли или формулой

n1 / no = cos цo / cos ц1 (97) без учета сжатия Земли.

Если в формулах (96), (97) от масштабов n1 и no перейти к знаменателям числовых масштабов С1 и Со, то они примут вид:

-- с учетом сжатия Земли (98)

Co / C1 = Nocos цo / N1cos ц1,

- без учета сжатия Земли (99)

Co / C1 = cos цo / cos ц1.

Полученные формулы выражают так называемый модуль параллели Ш --число, разделив на которое знаменатель главного масштаба, получают знаменатель частного масштаба на любой другой параллели.

Из определения следует, что C = Co / Ш, откуда

Ш = Co / C = No cos цo / N cos ц = ro / r = ro arc 1' / r arc 1' . (100)

Модуль параллели Ш легко вычислить по любому из последних равенств. В приведенных равенствах использована величина r arc 1' = P, которая представляет собой длину одной минуты дуги параллели в мм. Величины P для широт от 0 до 89° 55' приводятся в Картографических таблицах.

Таким образом, модуль параллели V можно вычислить с помощью Картографических таблиц по формуле Ш = Po / P, а в случае отсутствия таблиц рассчитать по формуле

Ш = No cos цo / N cos ц = ro

или, если принимать Землю за шар,

Ш = cos цo / cos ц. (101)

Пример.

Требуется рассчитать частный масштаб карты в проекции Меркатора по параллели с широтой ц = 56°N, если главный масштаб по параллели с широтой цo = 60° N равен µo = 1 : Co = 1:200000.

Решение.

1. Из Картографических таблиц выбираем Ро = P60 =930015 мм и P56 = 1039897 мм.

2. Модуль параллели Ш для широты ц = 56° равен

Ш = Po / P = 930015 / 1039897 = 0, 89424.

3. Знаменатель частного масштаба для параллели ц =56° N равен С = Со: Ш = 200000 : 0,89424 = 223630, а искомый масштаб будет µ = 1 : 223630.

Полосы широт практически постоянного масштаба.

Длина меркаторской мили с увеличением широты непрерывно возрастает. При пользовании картой это обстоятельство принимается во внимание и отрезки длин -- расстояний на карте в проекции Меркатора -- измеряются той частью линейного (широтного) масштаба, который расположен около средней параллели измеряемого отрезка. При построении линейного (широтного) масштаба вертикальную рамку нужно разбить на отрезки, равные меркаторской миле, имеющей в различных широтах разную длину. Наиболее строгим и точным решением такой задачи был бы расчет картографических абсцисс x = f (ц) для всех параллелей от широты южной рамки до широты северной рамки карты с широтным интервалом в одну минуту. Однако такой расчет является чрезвычайно сложным и трудоемким. Этого и не требуется для практических задач. Поэтому при составлении карты параллели проводятся через определенные промежутки (широтный интервал) Д ц, внутри которых деление рамки на минуты осуществляется разбивкой их на равные части, соответствующие средней длине меркаторской мили в данном промежутке. Внутри такой полосы широт Д ц изменение масштаба настолько мало, что оно не превышает ошибок графических построений. Какова же та разность широт, в пределах которой длина меркаторской мили без ущерба для точности графических построений может быть принята постоянной величиной.

Проведенное профессором В. В. Каврайским исследование позволило установить зависимость полосы широт практически постоянного масштаба от широты и масштаба карты. Эта зависимость выражена следующей формулой:

Дц' = ? {(CNctg цN) / 675} или

Дц' = ? { (C1 ctg ц1) / 675} (102)

где C1 -- знаменатель частного масштаба на рамке карты в широте ц1;

ц1 -- широта ближайшей к полюсу рамки карты.

В готовом виде величины промежутков практически постоянного масштаба приводятся в Картографических таблицах. Рассчитанный (или выбранный из таблиц) промежуток практически постоянного масштаба округляется в меньшую сторону до значения, кратного 5' или 10', и принимается затем в качестве широтного интервала, через который на карте проводятся параллели картографической сетки. Если выбранный или рассчитанный широтный интервал окажется меньше 5', то округление производится также в меньшую сторону до значения, кратного одной целой минуте.

Пример.

Рассчитать величину широтного интервала, через который должны быть проведены на карте параллели, чтобы в промежутках между ними меркаторскую милю можно было считать величиной постоянной. Масштаб карты 1 :300 000 по главной параллели 60° и район картографируемой местности ограничен параллелями цS = 59° N и цN = 62°30' N.

Решение.

1. По формулам CN = Co / Ш и Ш = Po / PN находим CN.

Po = 930015, lg Po = 5,96849.

PN = 858973, lg PN = 5,93398/

lg Ш = 0, 03451

Co = 300000, lg Co = 5,47712

lg CN = 5,44261

CN = 277080.

2. По формуле Д ц' = v { (CNctg цN) / 675} находим Д ц'.

CN = 277080, lg CN = 5,44261

цN = 62° 30', lg ctg цN = 9,71648

У = 5,15909

lg 675 = 2,82930

2 lg Д ц' = 2,32979

lg Д ц' = 1,16489

Д ц' = 14,6'.

Округляя полученный интервал Д ц' в меньшую сторону, принимаем Д ц' = 10'.

§ 30. Понятие о построении картографической сетки проекции Меркатора

При вычислении картографической сетки проекции Меркатора обычно задают:

-- крайние параллели, s и меридианы ostw изображаемого участка земной поверхности;

-- главный масштаб о карты;

-- широту главной параллели о.

При заданных границах изображаемого участка и главном масштабе вычисление картографической сетки и отрезков меридиана и параллели для нанесения опорных пунктов сводится к расчету:

-- длины нижней (верхней) рамки а;

-- длины боковой рамки b;

-- диагонали рамки d;

-- отрезков боковой рамки для нанесения промежуточных параллелей х(х');

-- отрезков нижней (верхней) рамки для нанесения промежуточных меридианов у (у').



Для вычисления размеров рамки карты и построения картографической сетки используется так называемая единица карты е (мм), являющаяся для данной карты величиной постоянной.

Единица карты представляет собой длину одной минуты экватора или параллели на карте, выраженную в миллиметрах. Длина одной минуты экватора эллипсоида равна а аrс 1', следовательно, в заданном масштабе единица карты выражается формулой

e = a arc 1' / Cэ = Рэ / Сэ, (103)

где Рэ--длина 1' дуги параллели.

Для главной параллели (Со) единица карты выражается формулой

e = ro arc 1' / Co = Po / Co, (104)

а для любой другой параллели формулой

e = rrc 1' / C(105)

Таким образом, для единицы карты е можно написать ее значения

e = a arc 1' / Cэ = Рэ / Сэ = ro arc 1' / Co = Po = P / Cconst. (106)

Поскольку для рассчитываемой рамки карты задаются главная параллель и масштаб о по главной параллели, то единицу карты вычисляют по формуле

e = Po / Co = ro arc 1' / Co,

где ro = No cos ?? должно быть выражено в мм. Для стандартных масштабов величины единицы карты е приводятся в табл. 4 Картографических таблиц.

После того как вычислена или выбрана из таблицы единица карты, размеры горизонтальной и вертикальной рамок карты рассчитываются по следующим формулам:

a = e (w)'

b = e (DN - Ds)', (107)

где (DN - Ds) -- разность меридиональных частей крайних северной и южной параллелей изображаемого участка.

Для контроля правильности расчета рамок карты вычисляется ее диагональ d по формуле

d = aІ + bІ) (108)

Для проведения меридианов через заданные интервалы Д? долгот картографической сетки рассчитываются удаления их (в миллиметрах) от крайнего западного и для контроля -- от крайнего восточного меридианов рамки. Расчет производится по формулам:

yi = e (iw)

y'i = e (oi) (109)

где yi -- удаление заданного меридиана с долготой ?i от крайнего западного меридиана рамки;

y'i -- удаление того же меридиана от крайнего восточного меридиана рамки.

Соблюдение равенства yi + y'i = а служит контролем правильности произведенных вычислений.

Для нанесения промежуточных параллелей вычисляются удаления этих параллелей xi и x'i от крайних (северной и южной) параллелей рамки. Расчет производится по формулам:

xi = e (Di - Ds)'

x'i = e (DN - Di), (110)

где Di -- меридиональная часть заданной промежуточной параллели.

Ошибки вычислений элементов картографической сетки не должны превышать ошибок графических построений, т. е. 0,2 мм.

Промежуточные меридианы сетки могут проводиться сколь угодно часто, однако в действительности они проводятся через интервалы долгот, кратные 5' или 10', на расстояниях один от другого 150--200 мм. Разбивка широтной и долготной шкал рамки карты производится путем деления отрезков рамки карты между проведенными меридианами и параллелями на равные части.

На рассчитанную и построенную картографическую сетку наносятся опорные пункты и другие подробности (береговая черта, результаты промера и другая обстановка) местности, охватываемой данной картой. Опорные пункты наносятся на сетку по их географическим координатам. Практически нанесение опорных пунктов сводится к вычислению отстояния меридиана и параллели опорного пункта от рамок карты. Расчетными формулами при этом являются:

xM = e(DM - Ds)'

x'M = e(DN - DM)'

yM = e( - w)'

y'M = e( - M)', (111)

где

xM и x'M --отстояние параллели опорного пункта М в мм от нижней и верхней рамок карты;

yM и y'M --отстояние меридиана опорного пункта М в мм от боковых рамок карты;

DM --меридиональная часть параллели опорного пункта;

M --долгота меридиана опорного пункта.

Последовательность действий при вычислении картографической сетки легко уясняется из решения следующего примера.

Пример.

Рассчитать картографическую сетку проекции Меркатора для карты, охватывающей район с границами:

s = 59°00,0'N; w = 25°00,0'Ost; N = 60° 15,0'N; ost = 28°20,0'Ost в масштабе = 1 :200000 по главной параллели о=60°. Меридианы сетки провести через 30'.

Решение.

1. Расчет е и выбор Д?.

Из табл. 4 Картографических таблиц по ?о =60°N и масштабу ?? =1:200000 выбираем е = 4,6501 мм. При невозможности воспользоваться Картографическими таблицами единица карты рассчитывается с применением таблиц логарифмов по формуле e = Po / Co Po = 930015; lg Ро = 5,96849 Со = 200000; lg Со = 5,30103, lg е = 0,66746, е = 4,6501 мм.

Промежуток практически постоянного масштаба, т. е. широтный интервал между параллелями, выбирается из табл. 6 Картографических таблиц. В нашем примере он равен 13,1'. Округляя его в меньшую сторону, примем Д =10'.

2. Вычисление размеров рамки карты.

N = 60°15,0' N, DN = 4537,471', lg (DN - DS) = 2,17052,

s = 59°00,0', DS = 4389,384', lg е = 0,66746, DN - DS = 148,087', lg b = 2,83798, b = 688,6 мм,

w = 25°00,0' Ost, lg (o - w) = 2,30103, o = 28°20,0' Ost, lg е = 0,66746,

o - w = 200', lg а = 2,96849, a = 930 мм .

§ 31. Поперечная цилиндрическая равноугольная проекция Гаусса

При выполнении некоторых специальных навигационных задач проекция Меркатора, имеющая основными координатными линиями меридианы и параллели, оказывается недостаточно удобной. Так, например, чтобы вычислить географические координаты какой-либо точки для нанесения ее на карту, приходится прибегать к трудоемким и сложным формулам, затрачивая на вычисление много времени. Значительно проще такого рода задачи решаются с использованием прямоугольных координат вместо географических. Замена географических координат прямоугольными позволяет производить расчеты по несложным формулам плоской тригонометрии. Непрерывное изменение масштаба на карте в проекции Меркатора также представляет известное неудобство, так как пределы полосы с практически постоянным масштабом весьма ограничены. На практике нередко бывает удобнее иметь карту с незначительными искажениями длин и площадей, а также с масштабом, который можно практически принимать постоянным в пределах всего листа карты. Так, при выполнении ряда работ, требующих высокой точности, целесообразно применять проекцию, на плоскости которой изображение строится как план, где измеренные углы и расстояния переносятся на планшет без исправления поправками за искажение проекции. Для обеспечения этого требования проекция должна иметь малые искажения длин, не превышающие ошибок графических построений на планшете (0,2 мм). Измеренным на местности сферическим углам должны соответствовать на карте плоские углы с ничтожно малыми их искажениями.

Таким образом, основным требованием, предъявляемым к проекции, используемой для составления топографических карг, различных планшетов и для обработки триангуляции, является небольшая величина искажений углов и длин и простота их учета. Такой проекцией является картографическая проекция, предложенная в начале XIX в. известным немецким ученым Гауссом. Проекция Гаусса по свойству изображения является равноугольной, а по способу построения картографической сетки -- поперечной цилиндрической проекцией эллипсоида. Принципиально проекция/Гаусса может быть также получена путем проектирования шара, представляющего равноугольную проекцию эллипсоида, на боковую поверхность касательного цилиндра, ось которого лежит в плоскости экватора.

Нормальной системой координат проекции Гаусса, является система сферических (сфероидических) прямоугольных координат X, У, экватором которой служит средний меридиан картографируемой зоны, а начальным меридианом -- земной экватор.

Средний меридиан, выполняющий роль экватора нормальной системы координат проекции Гаусса, называется осевым меридианом. Картографическая проекция Гаусса постановлением Геодезического комитета Госплана СССР в 1928 г. принята основной для выполнения топографических и триангуляционных работ. Этим же постановлением для всей территории СССР введена единая система прямоугольных координат.

§ 32. Сферические прямоугольные координаты

В отличие от географических сферические координаты являются поверхностными координатами, представляющими собой дуги больших кругов, и выражаются в линейной мере -- в километрах или в метрах. За начало счета сферических прямоугольных координат принимается точка пересечения экватора с одним из меридианов, называемым осевым.

Выберем на экваторе произвольную точку О (рисунок) с долготой Lо и обозначим точки экватора с долготами L ± 90° через Е и Q. Через выбранную точку О и заданную на сфере точку Aо проведем их меридианы. Через точку Ао проведем дугу большого круга, плоскость которого составит с плоскостью меридиана PNOPS угол, равный 90°. Если теперь точку О принять за начало системы координат и координатными осями считать: осевой меридиан PNOPS --осью абсцисс, а экватор EOQ -- осью ординат, то положение точки Аo может быть определено сферической абсциссой ОВо = Х и сферической ординатой ВоАо =Y. Сферические абсциссы Х отсчитываются от экватора в линейной мере (километрах или метрах) и считаются положительными для точек, лежащих к северу от экватора, и отрицательными для точек, расположенных южнее экватора. Сферические ординаты Y определяют удаление точек от осевого меридиана по дугам больших кругов, проходящим через эти точки перпендикулярно осевому меридиану.

Ординаты Y также выражаются в линейной мере. Ординаты Y принимаются положительными для точек, лежащих восточнее осевого меридиана, и отрицательными для точек, расположенных к западу от осевого меридиана. Связь прямоугольных сферических Х и Y и географических ? и координат может быть выведена из треугольника ВоРNАо (рисунок). Применив к треугольнику теорему синусов, получаем

sin (Y / R) = cos sin (Lo). (112)

По формуле тангенс катета прямоугольного сферического треугольника найдем

tg {90 - (X / R)} = tg (90 - ) cos ( - Lo)

или

ctg (X/R) = ctg cos ( - Lo), (113)

где Y / R и X / R - дуги больших кругов - сферические прямоугольные координаты, выраженные в радианах;

X и Y - сферические прямоугольные координаты, выраженные в линейных единицах;

R - радиус Земли.

Геометрическое место точек, имеющих одинаковую ординату У, представляет собой малый круг аАоО.1 (рисунок вверху), плоскость которого параллельна плоскости осевого меридиана. Радиус такого малого круга зависит от величины сферической ординаты Y и определяется по формуле r = R cos (Y/R). (114)

Сферический угол PNAoa = при заданной точке Aо между ее меридианом и малым кругом, плоскость которого параллельна плоскости осевого меридиана, называется углом схождения или сближения меридианов. Величина его зависит от разности долгот между осевым меридианом и меридианом точки Аo и от широты этой точки. Определяется угол сближения меридианов по формуле = ( - Lo)sin . (115)

Знак угла сближения меридианов определяется расположением точек относительно осевого меридиана. Для точек, расположенных восточнее осевого меридиана, угол сближения меридианов будет иметь знак плюс; для точек, находящихся западнее осевого

На плоскости проекции сферические прямоугольные координаты X, Y изображаются в виде плоских прямоугольных координат х, у. При этом на проекции образуется сетка, составленная двумя семействами взаимно перпендикулярных параллельных прямых линий. Сферический угол схождения меридианов ? в силу равноугольности проекции изображается на проекции плоским углом схождения меридианов в виде угла между меридианами и линиями y = сonst.

§ 36. Применение карт в проекции Гаусса для навигационных целей

Для навигационных целей наиболее употребительны карты масштаба 1 : 100000 и крупнее. При таких масштабах ошибки графической прокладки определений места по сеткам изолиний будут незначительными и карты обеспечат точное вождение корабля по заданной линии пути с осуществлением коррекции курса на основе определений места.

Наиболее часто встречающимися навигационными задачами, решаемыми на карте в проекции Гаусса, являются:

-- нанесение точки по заданным координатам или измерение (снятие) координат заданной точки;

-- прокладка направлений (пеленгов);

-- счисление пути корабля;

-- прокладка определений места.

На проекции Гаусса, помимо координатных линий прямоугольной системы координат, прямыми изображаются линии дирекционных направлений, пересекающие километровые линии под постоянным углом или Т.

Линия кратчайшего расстояния -- ортодромия (для шара) -- изображается на проекции Гаусса кривой, обращенной выпуклостью от осевого меридиана и составляющей со стягивающей ее хордой небольшой угол ''. Поправка '' вследствие ее малой величины при решении навигационных задач не учитывается. Иными словами, при решении навигационных задач можно считать, что отрезки ортодромии на карте изображаются прямыми линиями.

Локсодромия на проекции Гаусса изображается кривой, обращенной выпуклостью от полюса. Стягивающая локсодромию хорда -- прямая линия на карте -- практически совпадает с изображением ортодромии вследствие малости угла ''. При сравнительно небольших плаваниях углы f1 и f2, которые локсодромия составляет со стягивающей ее хордой (рисунок), можно принять равными f1 = f2 = f, а локсодромию можно принять за дугу окружности.

Рисунок позволяет заключить:

Т = ИК - 1 - f и Т = ИК - 2 + f2;

- 1 - f = - 2 + f2,

откуда

f = 2 - 1) / 2. (130)

Следовательно, угол, который составляет локсодромия со стягивающей ее хордой, равен полуразности углов сближения меридианов в точках А и В, т. е. в начале и в конце локсодромии.

Принимая отрезок локсодромии AСВ за дугу окружности (рисунок), имеющую радиус, равный R, и центр в точке О, можно написать

ACB = Sлок = 2Rf;

AB = Sорт = 2Rsin f,

Откуда

Sлок / Sорт = f / sin f.

Представив sin f в виде ряда и ограничиваясь по малости f двумя членами разложения, перепишем последнее выражение в виде

Sлок / Sорт = f / (f - f3 / 6) или Sлок / Sорт = 1 / (1 - f2 / 6),

откуда

Sорт = Sлок - Sлок * (f2 / 6).

Обозначив Sлок - Sорт через Дs, получим Дs = Sлок (f2 / 6). (131)

Выражая f в минутах дуги, будем окончательно иметь

Дs = Sлок (f2 / 6) arc 1'. (132)

Расчеты по последней формуле показывают, что при Sлок =75 миль в ? = 60° ошибка от замены локсодромии стягивающей ее хордой оказывается равной примерно 15 м. Если линию локсодромии длиной до 30 миль заменить отрезком хорды, то ошибка Дs не выйдет за пределы 10 м.

Учитывая сделанные выше выводы, можно следующим образом сформулировать рекомендации по решению отдельных навигационных задач на карте в проекции Гаусса.

1) Нанесение точки на карту по ее географическим координатам может быть сделано так же, как и на карте в проекции Меркатора, пользуясь делениями широты и долготы на ближайших рамках карты. Основанием для этого является то обстоятельство, что меридианы, являющиеся ортодромиями, изображаются на проекции Гаусса практически прямыми линиями; параллели, являющиеся частным случаем локсодромии, в пределах 15--20 см также могут быть приняты за прямые. Кроме того, и меридианы и параллели длиной 15--20 см можно принимать за параллельные между собой прямые.

2) Пеленги на карте прокладываются прямыми линиями. Прокладка пеленга на карте должна производиться относительно меридиана, ближайшего к начальной точке пеленга.

3) При ведении счисления путь корабля прокладывается на карте в виде прямой линии под углом относительно ближайшего к начальной точке пути меридиана, равным ИК ± f. Знак поправки за кривизну локсодромии f на карте в проекции Гаусса находится с помощью чертежа с учетом, что локсодромия на карте обращена выпуклостью от ближайшего полюса. При f 0,5° можно на карте прокладывать ИК без исправления поправкой.

Другой прием прокладки линии пути (курса) состоит в том, что заданное направление движения корабля между двумя точками (ИК) прокладывается относительно меридиана, расположенного примерно посредине между точками A и B без всяких поправок. Линию пути (курса) можно откладывать и относительно вертикальных километровых линий (линии у = const). При этом угол между линией пути (курса) и линией х -- дирекционный курс Т -- равен

T = ИК - ср,

где

ср = 1 + 2) / 2, 1 и 2-- углы сближения меридианов в точках А и В.

4) Пройденное по заданному курсу (пути) расстояние откладывается по прямой без учета поправок за кривизну кратчайших линий и поправки Дs, которые при графической прокладке практически ничтожны.

5) Прокладка определений места на проекции Гаусса ничем практически не отличается от прокладки на карте в проекции Меркатора, если опорные пункты располагаются в пределах рамки карты.

§ 37. Топографические карты, их номенклатура и использование в кораблевождении

Карты, изображающие отдельные участки суши, принято называть топографическими. В отличие от топографических карты, охватывающие целые материки или очень большие участки земной поверхности, называются географическими.

Советские топографические карты масштаба 1 : 500000 и крупнее составляются в проекции Гаусса; карта масштаба 1 : 1 000 000 составляется как в проекции Гаусса, так и в проекции международной карты мира. Географические карты могут составляться в различных проекциях. Математическая основа топографических карт строится по размерам эллипсоида Красовского в единой системе геодезических координат в шестиградусных зонах. Советские топографические карты составляются по обобщенным инструкциям и наставлениям и могут использоваться всеми ведомствами и учреждениями СССР. Иными словами, топографические карты являются многоцелевыми картами. Рамки топографических карт в виде трапеций образуются линиями картографической сетки меридианов и параллелей. Таким образом, любая топографическая карта представляет собой изображение участка земной поверхности, напоминающего по форме сфероидическую трапецию, ограниченную двумя меридианами и двумя параллелями. Вследствие того что топографические карты строятся, как правило, для шестиградусных зон, масштаб в пределах листа карты сохраняется практически постоянным и равен масштабу, указанному в заголовке карты.

На топографических картах показываются следующие элементы: сооружения на местности, населенные пункты, дорожная сеть, рельеф местности, водные объекты суши, в том числе береговая черта, почвенно-растительный покров, ориентиры, объекты связи.

Для покрытия земной поверхности топографическими картами различных масштабов существует определенная система нарезки (разграфка) карт. В Советском Союзе для всех топографических карт масштаба 1 : 1 00000,0 и крупнее до масштаба 1 : 10000 включительно принята нарезка карт по меридианам и параллелям.

Размеры сфероидической трапеции, изображаемой на топографических картах различных масштабов

Интервал	1:1 000 000	1:500 000	1:200 000	1:100 000	1:50 000	1:25 000	1:10 000
Дц	4°	2°	40'	20'	10'	5'	2,5'
Дл	6°	3°	1°	30'	15'	7,5'	3.75'

Каждый лист карты в зависимости от масштаба имеет свое обозначение. Система условных обозначений буквами и цифрами отдельных листов топографических карт различных масштабов называется номенклатурой карт.

В основу нарезки и номенклатуры топографических карт положен лист карты масштаба 1 : 1 000000, охватывающий участок земной поверхности размерами 4° по широте и 6° по долготе. Таким образом, вся земная поверхность делится на колонны -- между меридианами и ряды -- между параллелями. Каждый ряд сфероидических трапеций имеет разность широт 4°, и каждая колонна имеет разность долгот 6°. Счет рядов ведется от экватора до полюсов, и ряды в северном полушарии обозначаются латинскими буквами А, В, С, D, Е, F и т. д. (рисунок). Территория СССР располагается в пределах рядов I, J, К, L, М, N, О, Р, Q, R, S, Т. Колонны обозначаются арабскими цифрами от 1 до 60; счет их ведется от меридиана 180° к востоку.

Обозначение каждой из карт в масштабе 1 : 1000000 слагается из обозначения ряда и колонны. Так, например, миллионная карта, на которой помещен Тбилиси, имеет обозначение К--38.

Нарезка и номенклатура карт масштабов крупнее миллионной осуществляются путем соответствующего деления миллионной карты на более мелкие участки. Так, каждый лист карты масштаба 1 :500 000 составляет четверть листа миллионной карты. Для составления карт в масштабе 1:200000 миллионная карта делится на 36 частей, обозначаемых римскими цифрами от I до XXXVI.

Номенклатура карт в масштабе 1 :500 000 слагается из обозначения карты масштаба 1 : 1 000 000 и соответствующей ей четверти, обозначаемой буквами русского алфавита А, Б, В, Г (например, N--35-- Г).

Карты в масштабе 1:200000 обозначаются номером карты масштаба 1 : 1 000 000 с добавлением номера соответствующей ее части (например, N--35--XII).

Карты масштаба 1 : 100000 получаются делением листа миллионной карты на 144 части, каждая из которых охватывает/ район, ограниченный разностью параллелей Дц = 20' и по долготе Дл = 30'. Номенклатура стотысячной карты составляется из обозначения карты масштаба 1:1000000 и номера соответствующей трапеции (например, N--35--24).

При составлении карт в масштабе 1:50000 лист карты в масштабе 1 : 100 000 разбивается на четыре части, каждая из которых обозначается буквами русского алфавита А, Б, В, Г. Обозначаются карты масштаба 1 : 50 000 номенклатурой карты масштаба 1 : 100 000 с добавлением одной из указанных букв (например,

N - 35 -- 12 -- Б).

Схема расположения листов карт масштабов 1 :500 000, 1 :200 000, 1 : 100000, 1 : 50000 на листе карты масштаба 1:1 000 000 показана на рисунке.

В дальнейшем нарезка карт масштабов 1 :25 000 и 1 : 10000 производится, как показано на рисунке. (Кстати, обозначения на этом рисунке следующие:

- жирная сплошная линия - нарезка листов карты М 1:500 000;

- тонкая сплошная линия - нарезка одинарных листов М 1:200 000;

- пунктирная линия - нарезка счетверенных листов М 1:200 000).

Например, карта в масштабе 1:25000 имеет номенклатуру N--35--12--Б--б, а карта масштаба 1 : 10000 обозначается N--35--12--Г--б--4.

Номенклатура карты, т. е. ее обозначение, надписывается над ее верхней рамкой, номенклатура соседних листов показывается мелким шрифтом в средней части рамок. В нижней части листа карты под рамкой показывается схема расположения прилегающих к данной карте листов других карт.

Для удобства и быстроты определения, номенклатуры того или иного листа топографической карты составляются и издаются так называемые сборные таблицы, представляющие собой одноцветные карты мелкого масштаба, на которых в виде прямоугольников или трапеций изображены листы карты соответствующих масштабов. Пользование такими сборными таблицами обычно затруднений не вызывает.

Методика решения навигационных задач на топографических картах определяется картографической проекцией, положенной в основу их построения, и условными обозначениями, принятыми для изображения нагрузки.

Глава 9. СЧИСЛЕНИЕ ПУТИ КОРАБЛЯ

§ 46. Основные понятия и определения

Корабль в плавании непрерывно меняет свое место относительно окружающей обстановки: берегов, островов, дна и т. д. Для осуществления кораблевождения по избранному безопасному пути штурман располагает способом, позволяющим ему непрерывно следить за местом корабля и путем, по которому он перемещается. Этот способ называется счислением пути корабля или сокращенно счислением.

Сущность счисления состоит в том, что по известным исходному месту, направлению, скорости и времени перемещения корабля рассчитывают его место и путь на любой момент времени. Таким образом, счислением пути корабля называется совокупность действий, имеющих целью получить на любой момент времени место и путь корабля на основе знания исходного места, направления, скорости и времени его перемещения. Место, полученное способом счисления по показаниям корабельных приборов (компаса, лага, часов), называется счислимым местом. Оно может быть получено графическим способом на морской карте или с помощью аналитического способа счисления по формулам и таблицам. Аналитическое и графическое счисление может выполняться штурманом вручную или с помощью автоматических счислителей и прокладчиков.

В настоящей главе рассматривается графический способ счисления пути корабля, выполняемый штурманом вручную. Корабль под влиянием работы движителей (гребных винтов) перемещается относительно вод ной среды в направлении своей диаметральной плоскости. Направление этого перемещения указывается компасами; скорость перемещения и проходимое кораблем расстояние измеряются лагами или вычисляются по времени и числу оборотов гребных винтов, показываемому тахометрами.

Помимо движителей, на корабль обычно действуют такие гидрометеорологические факторы, как течение, ветер и вызываемое им волнение. Явление перемещения корабля под воздействием течения носит название снос корабля течением. Явление перемещения корабля под влиянием ветра называется дрейфом.

Для ведения счисления пути корабля необходимо знать и учитывать:

-- исходное место корабля ц, л ;

-- его истинный курс и скорость ИК, V ;

-- время движения корабля данным курсом t.

При наличии в районе плавания течения, ветра и волны необходимо, кроме того, учитывать:

-- снос корабля течением, т. е. знать и учитывать элементы течения -- его направление и скорость;

-- дрейф ? ;

-- время t' действия на корабль течения, ветра и других гидрометеорологических факторов.

Все эти величины называются элементами счисления.

К счислению пути корабля предъявляются следующие требования:

-- счисление должно вестись непрерывно, чтобы в любой момент времени можно было видеть положение и путь корабля относительно окружающей обстановки;

-- счисление должно быть точным, чтобы обеспечить навигационную безопасность плавания и решение задач, поставленных кораблю;

-- счисление должно быть достаточно простым и наглядным.

Графический способ счисления часто называют навигационной прокладкой. Однако следует иметь в виду, что навигационная прокладка -- понятие более широкое: оно, помимо счисления, включает в себя нанесение на карту обсервованных мест корабля, получаемых на основе измерения различных навигационных параметров.

§ 47. Элементарные задачи навигационной прокладки, решаемые на карте в проекции Меркатора

Как графическое счисление, так и навигационная прокладка в целом в значительной своей части состоят из решения на карте ряда элементарных задач.

К этим задачам относятся:

-- нанесение точки на карту по заданным координатам;

-- снятие (измерение) координат заданной точки;

-- измерение расстояний между заданными точками;

-- прокладка от заданной точки заданных направлений;

-- измерение направлений между заданными точками;

-- перенос заданной точки с одной карты на другую.

Перечисленные задачи решаются на карте в проекции Меркатора с помощью прокладочного инструмента, в комплект которого входят циркуль-измеритель, штурманский транспортир и параллельная линейка. Вместо транспортира и линейки могут использоваться два прямоугольных треугольника, сделанные из прозрачного материала, на одном из которых нанесены градусные деления; может использоваться также и специальная механическая прокладочная линейка, входящая в комплект автопрокладчика.

Рассмотрим, как с помощью прокладочного инструмента решаются простейшие задачи навигационной прокладки.

Задача 1. По заданным широте и долготе нанести точку на карту.

Задача решается с помощью параллельной линейки и циркуля.

На боковой рамке карты отмечают деление, соответствующее заданной широте; приложив параллельную линейку к параллели, ближайшей к этому делению, перемещают линейку так, чтобы ее срез пришелся на отмеченное деление. Затем, не сдвигая линейки, отмечают на нижней или на верхней рамке карты деление, соответствующее заданной долготе, и, сняв циркулем отрезок от этого деления до ближайшего меридиана, откладывают его вдоль среза линейки от того же меридиана.

Циркулем делается слабый укол, который и обозначит точку с заданными координатами.

Задача 2. Снять с карты широту и долготу данной точки.

Задача решается с помощью циркуля. Поставив одну ножку циркуля в данную точку, раздвигают его так, чтобы вторая ножка пришлась на ближайшую параллель. Проведя циркулем часть окружности, убеждаются, что ножка его касается этой параллели. Затем, не изменяя раствора циркуля, прикладывают одну его ножку к той же параллели на боковой рамке карты, а другую вдоль рамки к северу или к югу от данной параллели соответственно тому, севернее или южнее этой параллели находится -заданная точка. Слабый укол второй ножки циркуля отметит искомую широту данной точки. Для снятия долготы снова ставят одну ножку циркуля в данную точку и, раздвинув его до ближайшего меридиана, описывают второй ножкой дугу окружности, касательную меридиану. Не изменяя раствора циркуля, прикладывают одну ножку его к тому же меридиану на верхней или нижней рамке карты, а другую вдоль рамки к Ost или W от этого меридиана соответственно тому, с какой стороны от него находится данная точка. Слабый укол циркуля отметит искомую долготу данной точки.

Задача 3. Измерение расстояния между двумя точками.

Задача решается с помощью циркуля. Устанавливают одну ножку циркуля в первую точку, а другую-- во вторую и, не изменяя раствора циркуля, переносят его на боковую рамку карты в широте, соответствующей измеряемому расстоянию, где и подсчитывается число миль, оказавшееся в растворе циркуля. Если расстояние между точками большое и не может быть снято одним раствором циркуля (угол между ножками циркуля не должен быть более 90°), то его измеряют по частям, беря каждую часть в соответствующей широте.

Задача 4. От данной точки на карте проложить заданное направление.

Задача решается с помощью линейки и транспортира. Транспортир кладут на карту вблизи данной точки так, чтобы нижний срез его линейки составил с меридианом приблизительно заданное направление, а цен тральный штрих совпал с ближайшим меридианом. Затем, не смещая центрального штриха от меридиана, поворачивают транспортир вправо или влево до тех пор, пока деление транспортира, соответствующее заданному направлению, не совпадет точно с меридианом. Добившись совпадения, проверяют, не сместился ли центральный штрих транспортира с линии меридиана, затем к буртику транспортира плотно прикладывают параллельную линейку. После этого убирают транспортир и, сохраняя заданное направление, подводят срез линейки к данной точке, от которой и проводят тонко очиненным карандашом линию. Это и будет линия заданного направления. Для проверки правильности положения линейки рекомендуется, не меняя ее направления, еще раз приложить транспортир к срезу линейки у ближайшего меридиана. Если заданное направление близко к 0 или 180°, то транспортир следует прикладывать к параллели и устанавливать его на отсчет, отличающийся от заданного направления на 90°.

Задача 5. Определить направление проложенной на карте линии.

Задача решается с помощью транспортира и линейки. Точно совместив параллельную линейку с проложенной на карте линией курса или пеленга, прикладывают к ее срезу транспортир таким образом, чтобы его центральный штрих совпал с одним из меридианов. Отсчет на транспортире покажет величину (в градусах и долях градуса) определяемого направления (курса или пеленга).

Задача 6. Перенести точку с одной карты на другую.

Задача решается с помощью линейки, транспортира и циркуля и может быть выполнена или по пеленгу и расстоянию от ориентира, или по географическим координатам точки.

По пеленгу и расстоянию. На первой карте измеряют истинный пеленг и расстояние от какого-либо приметного точечного ориентира (маяк, тригонометрический знак), нанесенного на обеих картах, до заданной точки и записывают их. Затем прокладывают от того же ориентира на второй карте по этому истинному пеленгу то же расстояние в масштабе второй карты. Для контроля те же действия повторяют еще раз, но теперь следует измерять на первой карте и прокладывать на второй карте пеленг и расстояние от другого ориентира.

По географическим координатам. На первой карте измеряют широту и долготу заданной точки и записывают их. По снятым координатам точка наносится на второй карте. Для контроля измеряются широта и долгота нанесенной точки на второй карте и сравниваются с координатами заданной точки на первой карте.

§ 48. Графический способ счисления по показаниям компаса, лага и часов

При отсутствии ветра корабль под влиянием работы движителей (гребных винтов) перемещается относительно воды в направлении своей диаметральной плоскости. Если при этом отсутствует и течение, то это направление можно считать совпадающим с направлением перемещения корабля относительно грунта (дна моря).

Проложив на карте (рисунок) от исходной точки А прямую, составляющую с меридианом карты угол, равный истинному курсу корабля, получим линию курса, по которой перемещается корабль.

Расстояние, проходимое кораблем, может быть рассчитано по показаниям лага или по скорости хода корабля и времени. Для этого в тот момент, когда корабль находился в исходной точке счисления A, замечаются время по часам Т1 и отсчет лага ол1. В заданный момент, т. е. по истечении некоторого промежутка времени, эти действия повторяются: вновь замечаются время по часам T2 и отсчет лага ол2.

Расстояние, пройденное кораблем за время t = T2 - T1, может быть рассчитано по лагу Sл = кл (ол2--ол1) или по скорости хода корабля и времени Sоб = Vоб * t .

Проложив это расстояние от исходной точки А по линии курса, получим точку В, соответствующую месту корабля в момент T2 при отсчете лага ол2. Полученная таким путем точка В называется счислимым местом корабля и обозначается небольшой черточкой, перпендикулярной линии курса. Аналогичными действиями можно найти место корабля на следующий момент времени Тз при отсчете лага олз и т. д.

Вдоль линии курса надписывается компасный курс корабля и затем в скобках--поправка компаса с ее знаком. Около каждой счислимой точки делается надпись дробью: в числителе--часы и минуты, в знаменателе -- отсчет лага. Дробная черта всегда проводится параллельно параллели с помощью линейки, концы линии не должны выступать за стороны воображаемого прямоугольника, окаймляющего цифры дроби. Высота каждой цифры должна быть равна примерно 4 мм.

...