Актуальные проблемы развития авиационной промышленности в Узбекистане переходного периода

Недостаточно эффективное использование экономико-математических методов и моделей в практике управления объясняется и неподготовленностью к их восприятию, неудачным, неумелым приложением математических методов, по рождающим недоверие к ним. Часто наблюдается ситуация, когда математически строго поставленная экономическая задача, метод решения которой прошел экспериментальную проверку на условной информации, не встраивается затём в реальную технологию управленческого процесса. Приходится тратить годы усилий и много средств, чтобы отработанный в исследовательских условиях метод стал достояние практики. Подобная картина возникает в тех случаях, когда при отработке экономико-математического метода или модели первичными являются математическая форма и метод, тогда как экономическая постановка задачи место в технологии управленческого процесса, обеспеченность исходной информацией отодвигаются на второй план. Нельзя создать эффективный метод и алгоритм решения экономической задачи без учета особенностей организаций и тем пологий управленческого процесса, частью которого должна стать эта задача. Если этим обстоятельством пренебрегают, то «математический кирпич» невозможно уложить в здание управленческой технологии

Недопустимо формальное заимствование и перенесение сложившихся понятий и определений, связанных с решением математических задач, на задачи экономической, управленческой природы. Понятие «задача», «решение задачи» вошли в управленческую практику в связи с использованием в ней математических методов, применением компьютеров, автоматизацией управления экономическими объектами и процессами.. В ходе автоматизации управления основным средством, изучения и преобразования технологии разработки управленческих решений стало ее представление в виде устойчивых последовательно-параллельных цепочек взаимосвязанных экономических задач. Формирование на этой основе, функционально-структурных схем планирования и управления сыграло немалую роль в анализе структуры и содержания управленческих процессов, положило начало особой ветви их сетевого моделирования. Матрично-сетевые схемы, в узлах которых сосредоточены управленческие функции, реализуемые путем решения соответствующих задач, стали основной формой моделей, пришедших, на смену преимущественно словесным описаниям (вербальным моделям) управленческих процессов. Благодаря функционально-структурному моделированию управленческая технология стала реальным объектом проектирования

Однако попытки структуризации и формализации технологии разработки управленческих документов и решений с использованием схем, определяющих содержание и порядок решения экономических задач, натолкнулись на определенные, трудности. Реальная технология оказалась сложнее, чем моделирующая се схема. Хотя в процессе управления действительно решаются задачи, фиксированные в схемах, сетевых моделях или просто в перечнях задач, конкретное содержание задач и последовательность их решения не стабильны, а изменяются в зависимости от отдельных условий, таких, как особенности периода формирования решения, изменение целевой установки, выявление новых возможностей, уточнение ресурсов, появление дополнительной информации и др. То, что было неизвестно на первом этапе разработки, становится известным на другом, отдельные; целевые показатели переводятся в разряд ограничений, меняются местами входы и невыходы задачи, задаваемые и искомые показатели. Все это приводит к необходимости анализа исходного понятия «управленческая задача», сопоставления его с понятием «математическая задача», выявления общности и различий этих понятий

В общем случае экономико-управленческая задача может быть сформулирована следующим образом исходя из поставленных субъектом управления или заданных ему целевых установок в соответствии с имеющими место политическими, социальными, научно-техническими, производственно-технологическими, экологическими условиями и факторами а также ресурсными ограничениями установить, каким образом возможно и следует перевести объект управления из его исходного в желаемое, соответствующее целям управления состояние. Таким образом, условие управленческой задачи должно содержать; целевую установку, ограничения на область допустимых решений, характеристику искомых показателей и заданий, исходные данные для определения искомых величин, связи искомых показателей с другими, обусловленные их экономическим содержанием и организацией работ. Решение задачи представляет выведение искомых величин на условий задачи, и в этом смысле экономико-управленческая задача аналогична математической. Это и ecть существенные отличия

Разработчики экономико-математических методов и моделей обычно исходят, из того, что классическая математическая постановка задами целиком согласуется со сформулированной выше общей постановкой управленческой задачи. В действительности это далеко не так. Одно из самых лаконичных определений математической задачи имеет вид:. «Дано А, определить X». При этом предполагается; что постановке (формулировке) задачи заведомо присущи определенные свойства. У кажем их

Свойство разрешимости задачи относительно искомого X предполагает, что условия А достаточно, чтобы найти X с помощью формального алгоритма преобразованной, отыскание которого дает ключ к решению. Если данных А приводимых в условии, недостаточно для определения X, задача считается некорректно поставленной

Свойство определенности задачи означает, что существует алгоритм, позволяя отыскать (в детерминированном или вероятностном смысле) все множество значений X, удовлетворяющих условиям задачи. В противном случае, задача считается неопределенно, имеющей бесчисленное множество или вообще не имеющей решении

Математик предпочитает иметь дело с корректно поставленными, разрешимым определенными задачами. Разрабатывая метод решения экономической управленческой задачи, он всячески стремится поставить ее так, чтобы она была корректной и определенной в математическом смысле. Того же он требует от экономиста, если последний ставит задачу. Между тем уже в попытке «строгой» математической постановки экономико-управленческих задач кроется источник недоразумений и неудач, ибо многие экономические задачи в их формальном толковании воспринимаются как некорректные, неопределенные, не имеющие решений, хотя экономическом смысле поставлены правильно

Такой на первый взгляд непонятный и противоречивый вывод в действительности имеет под собой реальную основу, так как о правильности постановки экономической задачи нельзя судить с формально-математических позиций. Ряд специфических особенностей принципиально отличает реальные экономико-управленческие задачи от формально трактуемых математических задач, вследствие чего, прежде чем применять математические методы и строить математические модели, необходим тщательный, глубоко продуманный и обоснованный процесс сведения экономической задачи к производной от нее математической задаче

Во-первых, при решении экономико-управленческих задач требуется принимать во внимание качественные факторы, не поддающиеся формализации в их исходном виде, не выраженные в количественной, числовой форме непосредственно в условии задачи. Количество таких неформализованных задач управлений непрерывно возрастает. Перевод неформализованных факторов в конкретные количественные параметры осуществляется экспертным образом работником, который формулирует и решает задачу, или компетентными специалистами. Поэтому при постановке и разработке методов экономико-управленческих задач предусматривать неформальные процедуры формирования информации» дополняющей условие задачи

Во-вторых, экономико-управленческая задача в исходном виде чаще всего не имеет полного законченного условия, само условие формируется в процессе решения задачи и ее взаимодействия с другими задачами. Динамичность условия задачи, проявляющаяся в уточнении, изменении в процессе решения входной ин формации и постепенном снятии неопределенности по мере запроса и получения информации из других параллельно решаемых задач, превращение ее из неконкретной в корректную самим процессом решения представляют одну из характерных особенностей реальных экономических задач управления

В-третьих, при решении ряда управленческих задач необходимо учитывать фактор неопределенности, связанный с влиянием трудно предсказуемых условий, которые не могут быть заданы заранее. В этом случае в процессе решения задачи приходится вводить гипотезы, снимающие неопределенность, варьируя тем самым условие задачи

Все указанные особенности управленческих задач способны породить сомнение в том, что их постановка и решение вообще могут быть уделом математика. Отсюда вытекает высказываемый иногда пессимизм в отношении целесообразности и перспективности применения математических методов и моделей в управлении. Между тем неверие в эффективность использования экономико-математических методов в управлении -- столь же крайняя точка зрения, как и полярно противопо-1 ложное мнение об их всесилии. Соблюдение ряда условий, выбор рациональных путей и средств использования могут твердо гарантировать возможность получения, высокой отдачи математических методов и моделей, электронно-вычислительной техники, применяемых в планировании и управлении

Необходимо существенно приблизить разработку экономико-математических моделей к управленческой практике, повсеместно перейти к принципам модельных разработок, согласно которым экономическая постановка задач первична, а математическая модель производна, вторична и должна разрабатываться под реальные, конкретные управленческие задачи, Целесообразно осуществлять разработку экономико-математических методов и моделей в творческом союзе с управленцами, работниками органов управления. Участие компетентных специалистов в постановке задач и должно распространяться и на отработку методой решения, поскольку специалист способен подсказать, как дать количественную оценку качественным факторам, учесть неформальный характер отдельных условий, формировать недостающую информацию в процессе решения задачи. Потребность в осуществлении специалистами органов управления неформализованных процедур проявляется не только в процессе решения задачи, но в еще . большей мере на стыках задач при их объединении и систему расчетов. Бытующее среди экономистов-математиков стремление к прямому объединению отдельных модельных построений в систему моделей, предназначенных для сквозного решения экономических задач управления разного содержания и уровня, не, соответствует требованиям реальной технологии управленческого процесса. Кроме того, если работник аппарата управления не участвует в формировании промежуточных решений, увязке отдельных задач, он перестает чувствовать механизм кристаллизации решений и не доверяет ему, а последующий анализ чаще всего показывает, что математическое решение не удовлетворяет условиям, которые не внесены в модель ввиду «скрытости» промежуточных результатов

В этом свете непременным условием аффективного использования экономико-математических методов и моделей, реализуемых посредством применения современной компьютерной техники призвано стать формирование диалоговых систем решения экономических задач управления и использование диалоговых режимов работы. Диалогизация автоматизированных управленческих работ должна осуществляться таким образом, чтобы все большая часть промежуточной узловой модельной информации поступала к работникам аппарата управления, обеспечивая им возможность периодического вмешательства в процесс модельного расчета, осуществления корректировки расчетных параметров, уточнения информации, на основе имеющегося у работника «фона условий и установок», Наряду с диалогом, фиксированным в программе заранее, программное обеспечение должно давать возможность пользователю инициировать диалог в других точках, которые он выбирает но ходу решения задачи. Технологическую основу для реализаций гибкого диалога создают диалоговые системы на базе сочетания персональных компьютеров с крупными компьютерами, в которых они выступают в роли интеллектуальных терминалов, а также развитие терминальной сети. Широкое внедрение персональных компьютеров, максимально приближенных к рабочему месту управленца, значительно способствует диалогизации автоматизированных систем планирования и управления

Настоятельно необходим поиск математического аппарата решения управленческих задач с учетом указанных выше особенностей их постановки

Видимо, назрела разработка математической теории решения задач с итеративно уточняемой постановкой и возможностью гибкого задания и изменения параметров в условии задачи. Характерной чертой математических методов решения управленческих задач должна стать оценка чувствительности решения к изменению условий задачи. В этом направлении многообещающей становится разработка проблемно-ориентированного программно-математического обеспечения в виде универсальных математических алгоритмов решения широкого класса экономических задач управления с автоматической настройкой на индивидуальную задачу

Универсальные проблемно-ориентированные средства решения управленческих задач с использованием алгоритмов, автоматически (в диалоговом режиме) адаптируемых к содержанию конкретной задачи, составу ее входной и выходной информации, способны революционным образом преобразовать управленческую технологию, радикально ускорить ее автоматизацию. Такие средства дают возможность отказаться от разработки методов и алгоритмов решения каждой управлёнческой задачи в отдельности, т. е. осуществить переход от позадачной технологии формирования управленческих решений к «модульной» в которой схема расчета генерируется в процессе его осуществления в соответствии с содержанием решаемой задачи и универсальным алгоритмом. Основная идея состоит в том, чтобы на базе заранее установленных и зафиксированных связей между экономическими показателями, образующих своего рода базу знаний, с учетом наличной информации, имеющейся в банке данных, исходной установки и информации заданной в условии задачи и дополняемой в ходе решения, осуществлять, выбор оптимальной схемы проведения расчета с помощью поискового машинного алгоритма в режиме диалога. Универсальные проблемно-ориентированные средства решения позволяют избежать огромных затрат труда и времени на разработку алгоритмов решения непрерывно растущего массива управленческих задач

Для эффективного использования экономико-математических моделей в управлении важно различать модели, предназначенные для непосредственного использования и встраивания в управленческую технологию, и аналитические, исследовательские, используемые для проведения прогнозно-аналитических расчетов и обоснований. К последним моделям не следует предъявлять требований полного соответствия их переменным показателям, используемым и управлении, так же, как и тесной взаимосвязи моделей с управленческой технологией, направленное на решение конкретных задач управления, базирования входной информации модели на имеющуюся статистику и нормативную базу. Аналитические модели призваны, во-первых, формировать первичные ориентиры, т. е. аналитические значения экономических показателей, используя, которые 'работники управления могут эффективнее и качественнее вырабатывать управленческие решения традиционными «немодельными» методами. Такие модели служат для прогнозно-аналитических расчетов, предваряющих или сопровождающих практическое управление. Это модели исследовательского тина, которые «вырабатывают» предварительную или вспомогательною информацию об управляемых процессах, определяют ориентировочные значения показателей или величины аналитических расчетных показателей, на основании которых определяются или (уточняются показатели проектов, планов, программ, постановлений. Во-вторых, соответствующим образом построенные теоретико-математические модели позволяют получать качественные выводы о поведении экономических объектов управления в тех или иных условиях и ситуациях. В-третьих, работа над аналитическими моделями, создает научный задел для дальнейшего совершенствования системы экономико-управленческих моделей. На этих моделях могут экспериментально проверяться многие предложения поискового и исследовательского характера

Аналитические модели функционируют вне реального управленческого процесса, не «вписаны» в его технологию, накладывающую ряд ограничений на организацию и временные параметры процесса, что облегчает осуществление расчетов по моделям, придает большую «свободу действий» в настройке .модели и ее отладке, которая бывает неизбежной при любом практическом «запуске» сложных недостаточно отработанных моделей или даже при замене исходной информации отработанной модели. Наконец, оперирование аналитическим модельным ^аппаратом не обязательно целиком передавать в руки управленцам. Такие модели могут существовать и стенах научно-исследовательских организаций, расчеты по ним проводятся вычислительными центрами при участии разработчиков моделей, а в органы управления передаются итоговые результаты моделирования с требуемым комментарием. Конечно, участие «потребителей» в формировании исходной базы аналитических модельных расчетов и в их осуществлении желательно и способно облепить использование этих результатов, но такое условие не следует выдвигать непременно

Благодаря своей известной автономии по отношению к регламентированному управленческому процессу, аналитические модели поддаются непрерывному совершенствованию. Эти модели можно использовать как одиночные, из них удается формировать аналитические модельные комплексы и аналитические системы моделей. Заметная степень свободы в выборе числа и вида переменных позволяет состыковать аналитические модели и одноуровневые, и даже многоуровневые системы. На базе аналитических моделей может быть экспериментально произведен целый ряд направлений совершенствования экономико-математического моделирования, которые намечается применять в реальных процессах управления

Создание и внедрение в практику управления компьютерных сетей дают возможность организовать автоматизированное рабочее место (АРМ) работника органов управления, позволяющее обеспечить 'широкий набор услуг при работе с информацией, документами. Создание АРМ должно осуществляться с учетом функций и характера груда различных категорий работников. Например, АРМ руководящих работников должны предусматривать возможность оперативно получать обобщенные данные о разрабатываемом проекте решения, осуществлять сравнительный анализ вариантов решений

В условиях внедрения единой информационной сети и системы АРМ в управленческих органах открываются широкие возможности комплексного совершенствования технологии и организации управления. С точки зрения технологии перечисленные средства создают реальную основу для перевода всего процесса управления на «безбумажную» технологию, при которой в виде бумажных документов, оформляются лишь окончательные результаты той или иной стадии работ, а все виды промежуточного обмена информацией (прежде всего внутри организации) производятся с помощью компьютерной сети. С точки зрения организации внедрение этих средств позволит эффективно, осуществлять диспетчеризацию управленческого процесса и контроль за его ходом

§6.4 ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ, ПРИМЕНИМЫЕ В УПРАВЛЕНИИ

Существует значительное разнообразие видов, типов экономическо-математических моделей, пригодных для использования в управлении экономическими объектами и процессами в той или иной степени применяемых на практике. В предыдущем изложении были выделены аналитические и прикладные, детерминированные стохастические модели. Экономико-математические модели делятся также на макроэкономические и микроэкономические в зависимости от уровня моделируемого объекта управления, на динамические, характеризующие изменение объектов управления во времени, и статические, описывающие взаимосвязи между разными параметрами, показателями объекта в одно и то, же время. Дискретные модели отражают состояние объекта управления в отдельные, фиксированные момента времени, а непрерывные характеризуют непрерывное изменение показателей деятельности объекта во времени. Имитационными называют экономико-математические модели, используемые в целях имитации управляемых экономических объектов и процессов с применением средств компьютерной информационной техники. По типу математического аппарата, применяемого в моделях, выделяются экономико-статистические корреляционно-регрессионные модели, модели линейного и нелинейного программирования, матричные модели, сетевые модели. Возможны и другие способы классификации экономико-математических моделей. В ходе последующего изложения отдельные виды экономико-математических моделей, применимые и применяющиеся в управлении, выделены прежде всего по признаку области их практического приложения в задачах управления экономикой и связи с объектами управления. Краткое описание моделей, входящих в группу данного вида, позволяет понять сущность и назначение моделей этой группы, сферу их использования. Практическая приложимость моделей отдельных видов, групп иллюстрируется простейшими, в основном условными примерами, так как подробное описание моделей и демонстрация их приложимости на конкретных, реальных примерах не входит в задачу книги, является предметом специальной литературы по экономико-математическому моделированию и его применению в экономике и в управлении экономикой

§6.5 ФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ

В группу экономико-математических факторных моделей входят модели, включающие, с одной стороны, экономические факторы, от которых зависит состояние и изменение управляемого экономического объекта, и, с другой стороны, зависящие от этих факторов параметры (показатели) состояния объекта, если факторы известны, заданы, то модель позволяет определить искомые, неизвестные параметры. Возможна и обратная постановка задачи, при которой заданы желаемые показатели состояния экономического объекта, а надо с помощью модели установить значения факторов, обеспечивающих достижение требуемых показателей. При подобной постановке задачи факторы представляют искомые управляющие воздействия, способные придать объекту управления желаемое состояние, перевести его в это состояние. Факторные модели чаще всего представлены достаточно простыми в математическом отношении линейными или степенными функциями, характеризующими связь между факторами и зависящими от них параметрами экономического объекта (процесса)

Пример 1. Модель в виде производственной функции. Исходим из положения, что, валовой национальный продукт страны (ВИП), выраженный в млрд руб., зависит от количества занятых экономической деятельностью людей (L) (в тысячах человек) и объема вложенного в экономику капитала (К), исчисленного в млрд руб

ВНП=А*Lб*Kв

Такую зависимость в экономике принято называть производственной функцией, в которой L и К играют роль факторов производства. Пусть известно, например, что А-0,6; а-0,5; в-0,5; L-60000. Требуется найти объем капиталовложений (К), обеспечивающий получение ВНП-2000 млрд руб. в год. Из условия следует, что

2000 = 0,6 *v60000*К

откуда находим, что К=4*106/0,36*6*104=200млрд руб

Другой вариант постановки рассматриваемой задачи может заключаться и том, чтобы установить, какой будет величина ВНП, если увеличить капиталовложения (К) в три раза, т. е. принять К-600 млрд руб. Как следует из расчета, в этом случае:

ВНП= 0,6*v60000*600 = 3600 млрд р., т.е. приращение капитала К на 400 млрд руб, позволило получить приращение ВНП на 3600-2000=1600млрд руб

Пример 2. Факторная модель производительности труда. Исходим из положенимя, что производительность труда работника исчисленная в стоимости производимой им за один час рабочего времени продукции, выражается следующей формулой в виде линейной зависимости производительности от трех факторов

ПТ=а1*Т+а2*Ф+а3*3П

Где: Т - стаж работы но специальности в годах;

Ф - фондооснащенность работника, выраженная в стоимости используемых им технических средств производства в рублях;

3П- часовая заработная плата работника в рублях

Коэффициенты а1 , а2, а3 соответственно равны: а1 - 0,5; а2 - 0,001; а3 --3, 0

Применяя указанную факторную модель и полагая, что работник имеет стаж работы Т= 20 лет, а стоимость используемых им технических средств производства составляет Ф = 16000 р., определим, какую часовую зарплату надо выплачивать работнику, чтобы его производительность ПТ составила 50 р./ч. Подставляя исходные данные в формулу модели, получаем:

50=0,5*20 + 0,001*16000 + 3,0*ЗП

Отсюда ЗП=(50-0,5*20-0,001*16000)/3=8р/ч

Естественно, что модель позволяет решать и ряд других задач управления производительностью труда. Например, можно по отчетным данным фирмы о значениях ПТ, Т, Ф, ЗП вычислить коэффициенты а1 , а2, а3 характеризующие интенсивность влияния разных факторов на производительность труда в данной фирме.Пусть на примере трех работников фирмы установлено, что:

1- Для работника, имеющего стаж Т-10 лет, фондооснащенность Ф-20000р. И зарплату 10 р./ч., производительность труда ПТ равна 95 р./ч

2- для второго работника, имеющего стаж 16 лет, фондооснащенность Ф-15000р1 и зарплату 8 р./ч., производительность труда ПТ составила 78 р./ч

3- для третьего работника, имеющего стаж 20 лет, фондооснащенность 25000р. и зарплату 12 р./ч., производительность труда ПТ составила 120 р./ч

Тогда на основании факторной модели производительности труда выполняются следующие соотношения:

95 =а1* 10 + а2 * 20000 + а3* 10;

78= а1* 16 + а2 * 15000 + а3* 8

120= а1* 20 + а2 * 25000 + а3* 12

В результате получена система из трех уравнений с тремя неизвестными, решая которую, находим, что

а1=0,5; а2=0,02; а3=5,0

Знание этих, установленных до, опытным даных, значений коэффициентов интенсивности действия факторов позволяет менеджерам фирмы прогнозировать уровень производительности труда на фирме, руководствуясь формулой ПТ=0,5Т+0,002Ф+5,0*3П

§6.6 БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ

Балансовые экономико-математические модели, как следует из их названия, выражают в математической форме баланс определенного вида экономического продукта, включая и денежные средства

В самом общем виде балансовое соотношение имеет вид:

Приход = расход ± Изменение запасов

В этом соотношении приход понимается как общее поступление экономического продукта из самых"разных источников за определенный период времени, а расход - как суммарное расходование того же продукта на самые разные нужды за то же время. Знак плюс соответствует случаю, когда приход больше расхода и запасы (остатки) изменились в сторону увеличения, а знак минус - случаю, когда приход меньше расхода и запасы уменьшились, а то и вовсе возник дефицит продукта

Уравнение баланса или система уравнений, если составляется многопродуктовый баланс, характеризуют наличие, производство, потребление, закупку, продажу, экспорт, импорт продукта определенным хозяйствующим субъектом. Им может быть государство (страна), регион, предприятие, компания, семья

На первый взгляд балансовые модели выглядят очень простыми. Однако когда приходится составлять балансы многих продуктов в материальной и денежной форме на разные периоды времени, то соотношения баланса, будучи в большинстве случаев линейными уравнениями по отношению к входящим в них неизвестным, искомым величинам, представляют довольно сложные системы уравнений

В управлении экономикой на разных уровнях балансовые модели дают возможность субъекту управления определять, какие объемы производства, ноступ-1ления продуктов, товаров или величины и источники денежных доходов необходимы для удовлетворения нужд, запросов, потребностей, обеспечения расходов объекта управления на определенный период времени. Кроме того, балансовые модели устанавливают требуемые соотношения, пропорции между объемами производства, производственного потребления разных видов продукции, ресурсов, совместно применяемых в производственных процессах. Такие модели позволяют установить соответствие между объемными показателями в материально-вещественном (физическом) и денежном измерении с помощью цен. Балансовые модели есть главный инструмент достижения согласованности между производством и потреблением, доходами и расходами, а также контроля, проверки целевого использования ресурсов

Следует, правда, иметь в виду, что в большинстве случаев балансовые соотношения можно назвать экономико-математическими моделями лишь с определенной степенью условности, поэтому и реальной практике чаще говорят о балансовых расчетах, чем о балансовых моделях. Это относится, например, к построению плановых и отчетных балансов предприятий, балансов в виде государственных, региональных, местных, семейных бюджетов, балансов денежных доходов и расходов населения. Вместе с тем, такие виды балансов, как межотраслевой баланс производства и использования продукции, многопродуктовые балансы, оптимизационные балансы, представляющие систему многих связанных между собой балансовых соотношений, правомерно относятся к экономико-математическим моделям. i

Пример 1.Простейшая двухпродуктовая балансовая модель. Предположим, что производится два товара, один в количестве х1 и другой -- в количестве х2, измеренном в одних и тех же единицах. На производство первого товара тратится 0, общего выпуска этого же товара (например, на производство топлива затрачива ется 10% производимого топлива) и 0,15 единиц второго товара. Кроме того, 330 единиц первого товара производится на другие нужды. На производство единицы второго товара затрачивается 0,2 единицы первого товара и 0,05 единицы второго товара (например, на производство металла затрачивается 5% производимого металла). Кроме того, 6600 единиц второго товара производится на другие нужды. Надо определить x1 и х2, т. е. требуемые объемы производства одного и второго товара

Двухпродуктовая балансовая модель выглядит следующим образом:

х1= а11*х1 + а12*х2 + х1д ;

х2= а21*х1 + а22*х2 + х2д

В модели приняты обозначения:

х1--объем производства первого товара;

х2 -- объем производства второго товара;

а11 - доля первого товара, затрачиваемая на его же производство;

а12 -- доля первого товара, затрачиваемая па производство второго;

а21-- доля второго товара, затрачиваемая на производство первого;

а22 -- доля второго товара, затрачиваемая на его же производство;

х1д объем производства первого товара на другие нужды;

х2д - объем производства второго товара на другие нужды

Приводимая простейшая балансовая модель представляет систему двух линей ных уравнений относительно неизвестных х1 и х2

Согласно условиям задачи a11 = 0,1; а12 = 0,15; а21=0,2; а22=0,05; х1д = 3300; x2д= 6600. В итоге приходим к системе уравнений баланса:

х1 = 0,1 х1 + 0,15 х2 + 3300

х2 = 0,2 х1 + 0,05 х2 + 6600

Решая систему, находим искомые объемы производства

х1 =5000 единиц; х2 = 8000 единиц. : ,

Исходная модель может быть использована и для решения других задач, неизвестными могут быть, например, х1 и х12 или х2 и х2д при заданных значениях других величин, входящих в модель

§6.7 ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

Обширный класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные модели, позволяющие выбрать из всех возможных решений самый лучший оптимальный вариант. В математическом смысле оптимальность понимается как достижение экстремума (максимума или минимума) критерия оптимальности, именуемого также целевой функцией. Оптимизационные задачи решаются посредством применения моделей с помощью методов математического программирования, реализуемых обычно с применением электронно-вычислительной техники

Оптимизационная модель формируется в общем виде следующим образом: «Надо отыскать значения управляемых параметров (показателей) х1, х2…..хп, характеризующих управляемый экономический объект или процесс, придающие максимальное или минимальное значение целевой функции F(x1, x2,……хп) при соблюдении ограничений, накладываемых на область изменения показателей х1, х2.....хп, и связей между ними в виде f(x1, х2,……хп) ? а. Если целевая функция, ограничения, связи между искомыми показателями выражены и виде линейных зависимостей, то оптимизационная модель сводится к задаче линейного математического программирования и саму модель также называют линейной. Оптимизационные модели чаще всего используются в задачах отыскания лучшего способа использования экономических ресурсов, позволяющего достичь максимального целевого эффекта. Кстати, математическое программирование возникло на основе решения задачи об оптимальном раскрое листов фанеры, обеспечивающем наиболее полное использование материала. Поставивший эту задачу известный российский математик и экономист, академик Л. В. Канторович был впоследствии удостоен Нобелевской премии по экономике

Пример 1. Простейшая задача па максимизацию прибыли компании. Компания производит два продукта в количестве х1 и х2 тонн за месяц соответственно. Тонна первого продукта приносит 12 тыс. р. прибыли, а тонна второго продукта -- 8 тыс. р. Производственные мощности компании позволяют выпускать не более 100 т двух продуктов вместе, при этом производство первого продукта не может превышать более чем в три раза производство второго. Надо определить оптимальный объем производства, приносящий компании максимальную прибыль

Применительно к данной задаче пеленая функция (критерий оптимальности) имеет вид

F(x1, х2,……хп) =F(x1, х2)=12х1+8х2 тыс. руб

Объемы выпуска x1 и х2 есть заведомо положительные величины, т. е

х1?0; х2?0

Между значениями х1 и х2 имеются связи

х1+ x2?l00

х1?3х2 ;

Таким образом, приходим к типичной задаче линейного математического программирования, когда надо отыскать значения управляющих параметров х1, х2, придающие максимальное значение целевой функции 12х1 + 8х2 с учетом фиксированных связей и ограничений

Постановку и решение этой задачи удобно проиллюстрировать графически, отобразив связи и ограничения а системе координат x1, х2, как изображено на рис 8.2

В силу положительных значений х, и х2 (х, 0; х2 0) решение следует искаnm в первом квадранте. Ограничение по суммарному выпуску (х, + х2 100) сужает область поиска до находящейся внутри треугольника ОАС, ограниченного сверху, прямой х, < х2 e 100. Ограничение х, Зх2 еще более сужает область допустимых по условию задачи значений х1 и х2, заключая ее в треугольник ОАВ, ограниченный снизу прямой х1= Зх2. Среди всех значеиий х1 и х2,заключенных внутри,ОАВ,01.|оптимальным соответствует точка В

Графическая интерпретация задачи оптимизации

В этой точке, соответствующей координатам х1, = 75; х2 = 25, достигается наибольшее из допустимых значений х1, равное 75. К наибольшему же значению х1, и надо стремиться, так как первый вид продукции приносит в расчете на одну тонну больше прибыли, чем второй (12 > 8), т.е. надо выбирать наибольшее из возможных, допустимых значений х1. Оптимальное решению обеспечивает достижение максимума целевой функции в виде значений, равного

12х1. + 8х2 = 12 х 75 + 8 х 25 =1100 тыс.р

Легко проверить, что внутри треугольника ОАВ любому другому сочетанию кроме х1=75; х2 = 25, соответствует меньшая суммарная прибыль

Пример 2. Транспортная задача. Рассмотрим вначале общую постановку, этой достаточно сложной оптимизационной задачи и построим ее общую экономикой математическую модель, которую потом проиллюстрируем простейшим примером

Пусть имеется n поставщиков товара и m его потребителей. Каждый «i» поставщик способен поставлять потребителям за определенное время количество товара, равное Nj, а каждый «j» потребитель нуждается в количестве товара, равном Мi. Обозначим через хij количество товара, поставляемое «i» поставщиком «j» потребителю. Тогда общий объем поставок Q, равный объему cпроса всех потребителей, выразится соотношением:

где сумма поставок всем m потребителям со стороны <н* поставщика

-- сумма потребностей «j» потребителя, удовлетворяемых поставками всех n поставщиков

Примем далее, что стоимость перевозки товара «i» поставщиком «j» потребителю равна сij . Тогда общая стоимость перевозок, зависящая от прикрепления «i» поставщика к «j» потребителю, т. е. от значений хij равна

Оптимизационная задача заключается в том, чтобы найти значения хij, т.е. величины и поставок (перевозок) товара от каждого поставщика к каждому потребителю, при которых общая стоимость перевозок F(x11,x12,.....xij...xnm) будет минимальной. Решение задачи должно удовлетворять следующим ограничениям:

1) все значения xij неотрицательны, т. е. xij ? 0, (3);

2) возможности перевозок и запросы потребителей удовлетворяются полностью, что выражено соотношением (1)

Экономико-математическая модель транспортной задачи, в представленном виде характеризуемая целевой функцией (2) и ограничениями (1), (3), представляет оптимизационную модель задачи линейного математического программирования. Решение таких задач при больших значениях количества поставщиков товара «п» и количества потребителей товара «m» требует применения сложных математических методов. Поэтому проиллюстрируем решение транспортной задачи на простом примере, в котором отыскание оптимального решений не составит большого труда

Пусть имеются два поставщика и три потребителя товара. Возможности поставки и спрос'потребителей, а также стоимость перевозок единицы груза приведены в следующей таблице:

Потребители	Потребность в товаре	Поставщики	Возможность перевозки, тонн	Стоимость доставки едини-цы товара потребителю, руб./т
				Потребитель 1	Потребитель 2	Потре-,-бительЗ
1	50	]	100	С11=10	С12=9	С13=11
2	70	2	60	С21,=8	C22=1O	С23=9
3	40

Задача заключается в том, чтобы найти значения объемов поставок х11, x12, x13 первого поставщика первому, второму и третьему потребителю и объемы поста! вок х21, х22, х23 второго поставщика соответственно первому, второму и третьем потребителю, при которых суммарные затраты

F(X11, X12, X13, X21,Х22, X23) = C11x11+C12x12+ C13x13+C21x21 +C22x22+C23x23 = 10x11+9x12+11x13+8x21+10x22+9x23

будут наименьшими. Одновременно должны соблюдаться условии

x11+x12+x13=100; x12+x22+x23= 60; x11+x21=50; x12+x22=70; x13+x23=40

характеризующие полное удовлетворение потребностей потребителе» и полное, использование возможностей поставщиков товара

Так как самой дешевый является стоимость доставки единицы товара вторых поставщикам первому, потребителю, то используем эту возможность полностью и примем х21 = 50 т тем самым полностью удовлетворим его потребность. Оставшуюся возможность доставки 60-50 = 10 т товара со стороны второго поставщика предоставим; Третьему потребителю, т. е. х23 - 10, так как расход на доставку единицы товара (С23=9) меньше, чем второму потребителю (С22=10)' и меньше, чем доставка первым поставщиком (С13=11). Отсюда следует, что х23 = 10 т. Возможности второго поставщика на этом исчерпаны и оставшиеся потребности должны быть удовлетворены первым поставщиком. Он поставит второму потребителю х12=70 т и третьему потребителю х13 =30 т, так как 10 тонн этот потребитель уже получил от второго поставщика. Ну а поставки товара черным, поставщиком неврому потребителю так же, как и поставки вторым поставщиком второму потребителю, окажутся, ненужными, так что х11= 0 и х22=0. В итоге искомое решение задачи имеет вид*

X11=0; X12=70; X13=30; X21=50; Х22=0; X23=10

а суммарные расходы на поставку товаров, равные

0 х 10 + 70 х 9 + 30 х 11 + 50 х 8 + 0 х 10 + 10 х 9 =1450 руб

и есть минимально возможные. Средняя стоимость перевозки одной тонны т<>вара составит ? 9 руб./т, между тем как при отсутствии оптимизации средняя цена равна

§6.8 МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Модели управления запасами призваны дать субъекту управления отпет на вопрос о том, какой уровень запаса ресурсов следует иметь, как он должен изменяться во времени, обновляться в связи с поступлением и расходованием ресурсов, чтобы обеспечить бесперебойность, надежность протекания экономических процессов и в то же время минимизировать издержки, связанные с хранением, пополнением и расходованием запасов. Tак как уровень спроса, неожиданно возникающих потребностей в расходовании запасаемых ресурсов носит чаще всего случайный характер, то модели управления запасами должны быть стохастическими, вероятностными. Но и упрощенной постановке возможно и использование детерминированных моделей

Наиболее распространены модели управления складскими запасами. Рассмотрим вначале, как формируются экономико-математическая модель управления складскими запасами в общей постановке

У Обозначим текущий уровень запаса продукта на складе'в'момент времени t величиной 3 (t).Тогда справедливо равенство

3(t)-3нач + P(t)-R(t),

Где 3нач - начальный запас товаров на складе в момент t-0;

P(t) - поступление товаров па склад за время t;

R(t) - расходование товаров со склада за время t

Очевидно, что в любой момент запас товаров па складе не может быть отрицательным, т.е. '

3(t)?0

Поступление и расходование товаров со склада обычно производится партия-ил. Обозначив обы-м поставки в одной партии через Р, а объем расходуемой парии R , преобразуемой исходное соотношение к виду

3 = 3нач+

где n - количество поставляемых партий товара;

m - количество расходуемых партий товара

Это равенство можно рассматривать как базисное в модели управления став- ками. В зависимости от того, какие величины, показатели в нем заданы, а какие являются искомыми, различают разные виды моделей управления запасами. В модель могут входить также ограничительные условия и дополнительные связи между показателями, переменными величинами. Часто в модель включаются показали, характеризующие затраты на поставку, хранение, отправку товаров со склада, и задача ставится в плоскости минимизации затрат. Вместо одного вида тоьара иногда приходится рассматривать несколько видов, что усложняет задачу

Пример. Задача минимизации расходов на доставку и хранение товара па складе. Товар поставляется на склад партиями, каждая партия имеет один и тот же объем х. За доставку одной партии товара склад уплачивает С1, руб., Величина С1, не зависит от объема партии. За время Т склад получает количество товаров, равное Q. Хранение единицы объема товара в единицу времени обходится складу в С2, руб. Товар со склада равномерно поставляется заказчикам, которые сами оплачивают перевозку товаров со склада. Требуется установить оптимальный объем парии поставки х, при котором суммарные затраты склада на доставку и xpaнение товара будут минимальными

Установим вначале затраты на доставку товара за время Т.Так как количество партий равно частному от деления общего объема поставок Q на объем одной партии х, то затраты равны С1, х Q. Затраты на хранение установим исходя из того, что полученная складом партия товара х расходуется равномерно и, таким образом, на складе хранится в среднем количество товара, равное половине поставленной партии, т. е. х/2. Умножая это количество на время Т и на удельные затраты хранения единицы товара в единицу времени, получаем, что общие затраты на хранение равны Таким образом, суммарные затраты С составляют

С=С1

откуда находим искомое значение х0, т. с. оптимальный объем партии товара:

x=

Это и есть решение задачи

Например, если С1, = 6000 руб. за доставку партии товара, С2 = 300 руб. за хранение тонны товара на складе в течение суток, oбщий объем поставки Q - 100 т за время Т - 40 суток, то

X=т

т.е. для минимизации затрат на доставку и хранение товара на складе надо поставлять его на склад партиями по 10 т в каждой партии

§6.9 ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ

Игровые экономико-математические модели представляют математическое описание экономических ситуаций, в которых происходит столкновение, иротивопо-ставление интересов двух или нескольких противоборствующих сторон (игроков), Преследующих разные цели и действующих таким образом, что способ действия одного из участников зависит от действий другого. Математическая модель подобной конфликтной ситуации получила название игры, участвующие в ней лица, противостоящие стороны именуются игроками, а исход противостояния сторон'называют выигрышем и соответственно проигрышем. Если выигрыш игрока равен проигрышу его противника, то такая игра двух лиц называется игрой с нулевой суммой или антагонистической

Игровые модели позволяют участникам игры выбрать так называемую опти- мальную стратегию, т. е. установить в зависимости от складывающейся ситуации способ действий, позволяющий максимизировать возможный выигрыш или мини- мизировать возможный проигрыш, Наиболее простой тип игры-парная конеч- ная игра дцух игроков, в которой каждый из них обладает выбором из конечною числа стратегий. Обрисуем модель такой игры в общих чертах, а затем приведем иллюстрированные примеры ее использования. Предположим, что в игре участвуют игроки А и В. Игрок имеет в своем распо- ряжении п стратегий, способов действий: А1, А2,...,,АП, а игрок В располагает воз- можностью реализовать m стратегий: В1, В2,...,В,П- В зависимости oт того, какую стратегию Ai. (i-l,2,...n) выберет игрок А и какую стратегию Вj (j*l,2,...m) выберет игрок В, зависит исход игры каждого из них, т. е. выигрыш а., одного из игроков и соответственно проигрыш другого. Таким образом, любой паре стратегий (Аi, Bj) соответствует определенное значение выигрыша аij. В итоге совокупность всех воз можных выигрышей в данной игре образует матрицу, столбцы которой соответ- ствуют стратегии одного игрока, а строки -- стратегии другого. Такую матрицу называют платёжной матрицей или матрицей игры

Общий вид платежной матрицы, строки которой соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы -- стратегиям игрока В, изображен на рис. 8.3

Рис

	В1	В2			Вm
А1	a11	a12			a1m
А2	a21	a22			a2m
Аn	ап1	an2			апm

При выборе своей стратегии Аi из набора п возможных стратегий A1, A2,..., Аn игрок А должен учитывать, что его соперник В выберет в ответ стратегию Вj, из набора возможных стратегий, стремясь свести выигрыш игрока А к минимуму. Пусть, наименьший из всех возможных выигрышей игрока А при выборе им стра тегии Аi т. е. наименьшее значение аij в «i» строке платежной матрицы равно аi, т. е. ai-min aij Наибольшее из значений ai(i=l,2,.,.,n) обозначим а,(следовательно а = max ai. Такое максимальное значение из набора минимальных выигрышей игро ка, соответствующих всему спектру применяемых им стратегий, называют нижней ценой, или максимальным выигрышем из минимальных -- максимином. Макси- мин представляет гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии иг рока В, так как игрок А может выбрать ту стратегию, которая приносит ему наи больший выигрыш из минимально возможных

· Игрок В, стремясь уменьшить выигрыш игрока А и понимая, что А стремится к максимальному выигрышу, выбирая свою контрстратегию Вj, анализирует прежде всего максимально возможные выигрыши игрока А. Пусть среди всех выигрышей игрока А при выборе игроком В стратегии Вj. Максимально возможный равен bj, т.е. bj=max bij Наименьшее из всех возможных значений bj(j=l,2,...,m) обозначим b, т. е. b=minbj Такое минимальное значение из набора максимальных выигрышей игрока, соответствующее всему спектру применяемых им стратегий, называют верхней ценой игры, или минимальным выигрышем из максимальных -- мини-максом. Минимакс представляет неизбежный проигрыш игрока В при любой стратегии игрока А ибо игрок А будет, естественно, стремиться максимизировать проигрыш игрока В и соответствующим образом выбирать свою стратегию

Известный в теории игр принцип минмакса рекомендует игрокам выбирать из соображений осторожности, уменьшения риска максиминную стратегию при стремлении получить наибольший выигрыш или минимаксную при стремлении минимизировать проигрыш. Проиллюстрируем это положение на простых при мерах

Пример. Модель игры Человека с Природой. Во многих случаях результат деятельности людей зависит не только от выбора ими той или иной стратегии, но и от ситуаций, складывающихся во внешней среде. Классический случай - влияние погодных условий, природных явлений на итоги экономической деятельности. Люди как бы играют с Природой, которая создает разные ситуации, не благоприятствующие получению людьми лучших результатов. Какую ситуацию «выберет» Природа в своей игре с людьми трудно предвидеть, и потому приходится учитывать возможные ситуации

Пусть Человек располагает возможностью осуществлять три стратегии действий Аi в целях получения прибыли, а Природа способна создать четыре сила ситуаций Вj, каждая из которых влияет тем или иным образом на величину прибыли. Составим платежную матрицу, в клетках которой зафиксированы рассчитанные определенными методами (которые в примере не рассматриваются) ве- личины возможной прибыли. Например, матрица прибылей в тысячах рублей имеет вид:

	В 1	В2	B3	В 4
А1	25	32	29	27
A2	29	36	28	32
Аз	27	* 28	31	24

Применим максимиииую стратегию, стремясь получить наибольшую прибыль. Выделим в каждой из строк матрицы минимальные значения прибыли, которые могут быть получены при осуществлении одной из возможных стратегий А1, А2, А3 и самых неблагоприятных условиях, создаваемых Природой. Это 25 тыс. руб. при стратегии А1, 28 тыс. руб. при стратегии А2 и 24 тыс. руб. при стратегии А3. Максимальное из этих значений -- 28 тыс. руб. соответствует максиминной стратегии А2, которую иследует выбрать, обеспечив тем самым гарантированное получение этой величины прибыли при любых условиях, ситуациях, создаваемых Природой

Проиллюстрируем теперь минимаксную стратегию, используя платежную матрицу, в клетках которой указаны величины потерье, возникающих при осуществлении стратегий А1, А2, А3., в условиях В1, В2, В3, В4. Пусть матрица имеет вид

	В111	В2	В3	В4
А1	53	55	48	51 56
А2	49	52	50
Аз	51	53	52	47

Выделяем в каждой из строк матрицы максимально возможные при осуществлении данной стратегии потери. Это 55 при стратегии А1, 58 при стратегии Az и 52 при стратегии А3. Минимальное из этих значений равно 52 и соответствует стратегии А3, которая и является минимаксной

§6.10 СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ

Специфическое свойство и основной признак этого вида моделей, используемых в планировании и управлении совокупностью взаимосвязанных действий, опера- ций состоит в том, что они представлены в форме сетевых графиков выполнения работ, именуемых также сетевыми графами. Главными элементами, своего рода «строительными кирпичами» таких моделей являются работы и события. Под «работой» и сетевой модели имеются в виду любые действия, итог которых состо- ит в переводе управляемого объекта из одного состояния в другое. Событие же отражает результат работы, выполняемой на определенном этапе

На рис. 8.4 приведен упрощенный сетевой график работ по выпуску книги, в ко тором буквами обозначены работы, а цифрами -- события

Примерный сетевой график подготовки и выпуска новой книги

Исходное событие 1 -- возникновение идеи, замысла у автора, за ним следует работа «а» -- подготовка материалов, написание первого варианта рукописи, за вершающиеся событием 2 -- появлением первичной рукописи, с которой автор обращается в издательство. , :

...