Решения практических задач динамики потоков применительно к химической промышленности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Основные положения гидроаэромеханики

1.1 Концепция сплошной среды

1.2 Физические параметры потока

1.3 Напряжение и деформация

1.3.1 Ньютоновская жидкость

1.3.2 Неньютоновские жидкости

1.3.3 Бингамовская вязко-пластичная жидкость

1.3.4 Жидкость со степенным законом поведения

1.4 Определение реологических свойств жидкости

1.4.1 Вискозиметр Куэтта

1.4.2 Течение в трубе. Вискозиметр Пуазейля

1.5 Температурные зависимости вязкости

1.5.1 Жидкости

1.5.2 Газы

1.6 Плотность

2. Статика жидкой среды

1.1 Напряжение и давление

1.2 Основные уравнения статической жидкой среды

1.2.1 Среда с постоянной плотностью

1.2.2 Идеальный изотермический газ

1.2.3 Идеальный изоэнтропийный газ

1.2.4 Атмосфера

1.3 Движущиеся системы

1.3.1 Вертикальное ускорение

1.3.2 Горизонтальное ускорение. Свободная поверхность

1.3.3 Вращающаяся среда

1.4 Выталкивающее действие

1.5 Статические силы на границе

1.6 Задачи

1.6.1 Статика

2. Законы сохранения

2.1 Сохранение массы

2.1.1 Интегральная форма

2.1.2 Дифференциальная форма

2.2 Сохранение энергии

2.2.1 Внутренняя энергия

2.2.2 Энтальпия

2.3 Неравновесные процессы

2.3.1 Коррекция кинетической энергии

2.4 Сохранение импульса

2.4.1 Одномерный поток в трубе

2.4.2 Коэффициенты гидравлических потерь

2.4.3 Сохранение момента импульса

2.4.4 Системы с подвижными границами и относительное движение

2.4.5 Дифференциальная форма закона сохранения импульса

2.5 Задачи

3. Поток в трубопроводе

3.1 Режимы потока

3.2 Флуктуации скорости и напряжения Рейнольдса

3.3 Общие соотношения для потоков в трубе

3.4 Сохранение энергии

3.4.1 Сохранение импульса

3.4.2 Неразрывность

3.4.3 Энергия диссипации

3.5 Ньютоновские жидкости

3.5.1 Ламинарный поток

3.5.2 Турбулентный поток

3.5.3 Все режимы потока

3.6 Потоки со степенным законом

3.6.1 Ламинарный поток

3.6.2 Турбулентный поток

3.6.3 Все режимы течения

3.7 Бингамовская жидкость

3.7.1 Ламинарный поток

3.7.2 Турбулентный поток

3.7.3 Все режимы течения

3.8 Задачи течения в трубопроводе

3.8.1 Определение движущей силы

3.8.2 Определение расхода

3.8.3 Определение диаметра

3.9 Течения в вискозиметрах

3.9.1 Вискозиметр Куэтта

3.9.2 Вискозиметр Пуазейля

3.10 Задачи

4. Внутренняя задача потока жидкости

4.1 Трубы не круглого сечения

4.1.1 Ламинарные потоки

4.1.2 Турбулентные потоки

4.2 Потери на трение в трубопроводной арматуре

4.2.1 Коэффициент гидравлических потерь

4.2.2 L/D метод эквивалентности

4.2.3 Метод Crane

4.2.4 2-K метод

4.2.5 3-K метод

4.3 Неньютоновские жидкости

4.4 Задачи с трубопроводами и арматурой

4.4.1 Определение движущей силы

4.4.2 Определение расхода

4.4.3 Определение диаметра

4.5 Слабый поток

4.6 Трубопроводная сеть

4.7 Задачи

5. Насосы и компрессоры

5.1 Насосы

5.1.1 Насосы объемного типа

5.1.2 Центробежные насосы

5.2 Характеристики насосов

5.3 Требования при перекачивании и выбор насоса

5.3.1 Требуемый напор

5.4 Кавитация и минимальное давление всасывания

5.4.1 Паровой затвор и кавитация

5.4.2 Допустимая высота всасывания

5.4.3 Коэффициент быстроходности

5.4.4 Коэффициент быстроходности подачи

5.5 Компрессоры

5.5.1 Изотермическое сжатие

5.5.2 Изоэнтропическое сжатие

5.5.3 Стадии сжатия

5.5.4 Эффективность

5.6 Задачи

6. Сжимаемые потоки

6.1 Свойства газов

6.1.1 Идеальный газ

6.1.2 Скорость звука

6.2 Поток в трубопроводе

6.2.1 Изотермический поток

6.2.2 Адиабатический поток

6.2.3 Сжатый поток

6.2.4 Коэффициент расширения

6.2.5 Идеальный адиабатический поток

6.3 Обобщающие выражения

6.3.1 Основные уравнения

6.3.2 Применение

6.3.3 Решение задач с высокоскоростными газовыми потоками

6.4 Задачи

Приложение 1.Дифференциальные уравнения сохранения в различных системах координат



Введение

Учебное пособие предназначено для начальной теоретической подготовки и получения навыков решения практических задач динамики потоков применительно к химической промышленности. Рассмотрены основные прикладные разделы гидро- и газодинамики. Изложены типовые постановки задач, свойственные для инженеров- механиков химических производств. В пособии рассмотрены практические примеры для жидкостных и газообразных потоков. Рассмотрение жидких потоков, в свою очередь, подразделяется на разделы, посвященные ньютоновским и неньютоновским потокам.

Все разделы пособия включают изложение теоретической части, формулировку основных практических задач свойственных для химической промышленности, примеры решения этих задач, а так же список задач для самостоятельного решения.

Первый раздел «Свойства потоков» носит вводный характер. Здесь излагаются основные теоретические посылки гидроаэродинамики. Приведена классификация сред, определены основные их свойства.

Второй раздел посвящен статическим задачам жидкой среды. Приведены основные зависимости статики жидкой и газообразной сред. Рассмотрены задачи по измерению перепадов давления с использование различных конструкций манометров. Изложены задачи по определению давления под действием полей: гравитационного, центробежного, возникающего при ускоренном движении.

Третий раздел посвящен основным законам сохранения, используемым в механике потоков: сохранения массы, энергии, количества движения и момента количества движения. Рассмотрено понятие гидравлических потерь, определены способы их учета. Рассмотрены задачи: механического воздействия потока на трубопровод различной формы; определения величины гидравлических потерь, расходные характеристики трубопроводов.

В четвертом разделе рассматривается движение потока в трубопроводе. Рассмотрены режимы течения, законы сопротивления с учетом различных реологических свойств потоков и режимов течения. Рассмотрены три основные задачи расчета трубопроводов: определение движущей силы, определение геометрических размеров трубопроводов, определение их расходных характеристик. Определены способы расчета коэффициентов гидравлического трения трубопровода.

Пятый раздел посвящен более подробному рассмотрению движения потока в трубопроводе. Рассмотрены каналы не круглого сечения, влияние формы сечения канала и режима потока на гидравлическое сопротивление. Представлены способы расчета гидравлических потерь трубопроводов с учетом наличия водопроводной арматуры. Рассмотрены три основные задачи расчета трубопроводов с учетом трубопроводной арматуры для различных типов сред: определение движущей силы, определение геометрических размеров трубопроводов, определение их расходных характеристик. Рассмотрено условие возникновение слабого потока в трубопроводе. Приведена методика расчета водопроводной сети.

Шестой раздел носит название «Насосы и компрессоры». Приведена основная классификация насосов и компрессоров. Дано описание основных характеристик насосного оборудования, предоставляемых поставщиком. Дана методика подбора насосов для сети. Рассмотрен вопрос возникновения кавитации и способы ее предотвращения. Для компрессорного оборудования рассмотрены задачи по оптимальному способу сжатия газа, многостадийное сжатие.

В седьмом разделе рассматриваются сжимаемые потоки. Рассмотрена специфика движения газового потока в трубопроводе. Рассмотрены три основные задачи расчета трубопроводов с: определение движущей силы, определение геометрических размеров трубопроводов, определение их расходных характеристик. Приведено условие возникновения сжатого потока.

Учебное пособие построено на основе курса «Гидроаэродинамика промышленных машин и аппаратов» и предназначено для подготовки инженеров - механиков химической и нефтехимической промышленности.

Основные положения гидроаэромеханики.

Предметом изучения гидроаэромеханики являются поведение потоков жидких сред, взаимодействие их с другими телами. Понятие жидкости в гидроаэромеханике охватывает широкий спектр сред от несжимаемых капельных жидкостей до сжимаемых сред, называемых газами.

При изучении механики потоков не оговаривается качественного отличия между жидкими и газообразными средами. Так теоретические и экспериментальные исследования показали, что газы, двигающиеся с околозвуковыми скоростями проявляют свойства несжимаемых жидкостей. Капельные жидкости при высоких давлениях начинают проявлять свойства сжимаемых сред. При механики потоков используются:

Классическая механика потоков;

Классическая термодинамика;

Справедливость концепции сплошных сред.

Первое предположение означает, что рассматриваются движения, скорости которых малы по сравнению со скоростью света, и поэтому не надо пользоваться релятивистской механикой. Так же рассматриваются объекты, гораздо большие объектов микромира, изучаемых квантовой механикой.

Термодинамически равновесным состоянием системы называется такое состояние, в котором все характеристики внутреннего состояния замкнутой системы при сохранении внешних условий могут сколь угодно долго сохранять свои значения. В условиях термодинамического равновесия состояние жидкости (газа) можно определить с помощью нескольких макроскопических параметров (таких, например, как плотность, скорость, температура),

Переход к состоянию термодинамического равновесия требует времени. Время, характеризующее быстроту, с которой затухают отклонения системы от равновесия, называют временем релаксации. Если время, необходимое для установления равновесия, очень мало по сравнению с временем, на котором заметным образом меняются макроскопические параметры газа, то в окрестности каждой точки мы будем иметь дело с жидкостью, находящейся в состоянии термодинамического равновесия или близком к нему, и можем пользоваться для описания ее термодинамическими законами.

Концепция сплошной среды

Пусть имеется среда, в объеме V которой заключена ее масса М. Можно определить среднюю плотность среды. Предположим, что объем V стремится к нулю. При наличии неоднородности среды, плотность вначале будет заметно зависеть от объема. Когда среда в объеме V станет почти однородной, плотность практически не будет изменяться. Такая зависимость от объема оказывается справедливой до тех пор, пока в объеме еще достаточно большое число молекул. При дальнейшем уменьшении объема плотность начнет испытывать резкие колебания. Это связано с тем, что расстояния между молекулами оказываются сравнимыми с размерами объема, и при небольших изменениях объема в одних случаях число молекул в объеме может остаться неизменным, в других -- может уменьшиться.

Элементарный объем, размеры которого, с одной стороны, пренебрежимо малы по сравнению с характерным размером рассматриваемого явления. Настолько малы, что его средние характеристики можно считать постоянными. С другой стороны, этот же элементарный объем содержит в себе настолько много молекул, что эти характеристики будут устойчивы по отношению к изменению объема. Такой элементарный объем будем называть физически бесконечно малым объемом. В дальнейших рассуждениях понятие о устремлении элементарного объема к нулю будет означать переход к физически бесконечно малому объему. Кроме пространственного приходится также иметь дело с пространственно-временным физически бесконечно малым объемом.

Таким образом, непрерывная среда, в обычном смысле сова, будет некоторым приближением физически бесконечно малого объема. Такое приближение применимо только для определенных[ масштабов явления. Количественная характеристика может служить число Кнудсена, являющееся одним из критерия подобия разреженных газов.

где л - средняя длина свободного пробега в газе; L- характерный размер изучаемого объекта, например: длина обтекаемого тела, диаметр трубопровода, диаметр потока. Область применимости гидроаэромеханики распространяется на явления со значениями числа Kn>0.001.

В дальнейшем будем пользоваться понятием элементарного объема, подразумевая под этим физически бесконечно малый жидкий объем. В силу его малости, элементарный объем можно рассматривать как поступательно движущийся и представлять себе, как движение материальной точки, характеризуемой конечным числом параметров.

Трактуя жидкость как непрерывную сплошную среду, будем в дальнейшем все функции, имеющие гидродинамический смысл, считать достаточно гладкими, т.е. непрерывными и имеющими достаточное число производных.

Физические параметры потока.

Рассмотрим понятия плотности, скорости, напряжения. Считаем момент времени t фиксированным. Выделим в жидкости элементарный объем V, ограниченный поверхностью S. Пусть М -- масса жидкости, заключенная в объеме V, K -- вектор ее количества движения.

Плотность жидкости в данной точке понимается как предел, к которому стремится величина , когда величина элементарного объема стремится к нулю, т. е.

.

Скоростью точки сплошной среды, как известно из кинематики, называется производная , где r -- радиус-вектор, определяющий положение точки. Имея в виду, что наша сплошная среда является моделью реальной жидкости, имеющей молекулярное строение, определим среднюю по объему скорость V как отношение количества движения к массе: . Соответственно, скорость в точке, к которой стягивается объем V, будет

Силы, действующие в потоке можно условно подразделить на объемные и поверхностные. В действительности, с физической точки зрения, все силы носят объемный характер и должны рассматриваться как распределение силы по объему. Однако в гидроаэромеханике часто выделяются объекты, у которых одно из измерений на много меньше остальных. Таковыми являются поверхности или искусственно выделенные плоскости. Объемные силы, распределенные на таких объектах удобно рассматривать как поверхностные.

Рассмотрим некоторую поверхность S, выделенную в потоке. На поверхности существует нормальный вектор n. Пусть одно из его возможных направлений выбрано положительным. Поверхность S со стороны положительного направления нормали назовем внешней стороной, а поток с внешней стороны поверхности назовем внешним потоком. Рассмотрим воздействие внешнего потока на поверхность S. Оно может быть представлено действием системы сил, распределенных по поверхности S. Выделим на поверхности S площадку ДS с нормалью n в некоторой средней точке. Обозначим через Fn силу, с которой внешний поток действует на площадку ДS. Средней поверхностной силой, приходящейся на единицу площади (или напряжением), будет вектор . Предел, к которому стремится , когда величина ДS стремится к нулю, определяет напряжение в этой точке:

Однако по закону Ньютона:

Таким образом, имеет смысл количества движения, переносимого через площадку ДS в единицу времени. Соответственно, есть количество движения, переносимое через единичную площадку в единицу времени, т.е. поток вектора количества движения через единичную площадку с нормалью n:

Жидкость, когда она находится в покое или движется как абсолютно твердое тело, в ней наблюдаются только нормальные напряжения и отсутствуют касательные. Наблюдающиеся в жидкости нормальные напряжения являются большей частью напряжениями сжатия, но не растяжения. В газах вообще не наблюдается напряжений растяжения. В реальных капельных жидкостях напряжения растяжения могут иметь место, но они невелики, т.е. прочность жидкости на разрыв невелика.

Важной характеристикой состояния жидкости является температура, понятие о которой дается в физике. Если необходимо учитывать совершающиеся в жидкости тепловые процессы, то в качестве основной функции будет входить также температура Т.

Напряжение и деформация.

Один из способов изучения свойства жидкости это изучение реакции от жидкости на приложенную к ней силу. Один из самых простых способов можно назвать простым сдвигом, изображенным на рисунке Рисунок 1.1. Исследуемая среда помещается между двумя параллельными пластинами. Нижнюю пластину фиксируют, а к верхней прикладывают силу, параллельную пластине. Среда прилипает к пластинам и деформируется при начале движения верхней пластины. В зависимости от способа реакции среды на внесенное возмущение и осуществляется классификация сред.

Механическое поведение среды соответствует механическим или реологическим свойствам, может определяться через сдвиговые напряжения . (сила, приходящаяся на единицу площади) и сдвиговую деформацию (относительное перемещение). Эти характеристики определяются следующим образом. Сила действует на поверхность пластины, площадью , при этом наблюдается перемещение пластины на величину .

(1.1)

и

(1.2)

Способ, которым деформация сдвига реагирует на напряжение сдвига, определяет механическую или реологическую классификацию сред. Параметры, входящие в количественные отношения между сдвиговыми напряжением и деформацией, называются реологическими свойствами среды. Отметим, что размерность сдвигового напряжения выражается в единицах напряжения или давления: Н/м2 или Па. Сдвиговая деформация - безразмерная величина.

Материал, не поддающийся деформации, в случае наличия сдвиговых напряжений назовем твердым материалом

.

(1.3)

Если материал имеет величину деформации пропорциональную приложенной силы, такой материал называют линейно упругим или эластичным (Гуковский). Количественно это можно записать:

(1.4)

где G - называют модуль сдвига. Если напряжение в таком материале снимается, то и деформация уменьшается и становится равной нулю.

Если верхнюю пластину двигать, но это перемещение не прямо пропорционально приложенной силе, называют его не линейным (не Гуковским) упругим или эластичным твердым телом. Закон может быть записан в форме

(1.5)

Вид функции зависит от природы материала. Для такой среды G - модуль сдвига, но он не является постоянным. Следует заметить, что этот материал так же восстанавливает свою прежнюю форму при снятии нагрузки.

Другой крайний случай, когда молекулы среды расположены на значительном расстоянии друг от друга и их взаимодействием можно пренебречь. Ситуация соответствует газу с низким давлением. В нашем опыте пластина будет двигаться при незначительных усилиях. Уравнение, описывающее среду:

(1.6)

Такая среда называется невязкой (Паскалевской) жидкостью.

Ньютоновская жидкость

В противоположность от поведения твердых тел, для жидкости напряжение сдвига не зависит от деформации, но зависит от скорости изменения деформации. Если молекулы проявляют заметное взаимное притяжение такое, что сила или сдвиговое напряжение пропорциональна относительной скорости, т.е. градиенту скорости, такая среда носит название вязкая (ньютоновская) жидкость. Уравнение, описывающее такое поведение:

(1.7)

где - скорость сдвига или скорость деформации.

(1.8)

а м - коэффициент вязкости жидкости. Таким образом, уравнение (1.8) дает определение коэффициента вязкости, который есть и имеет размерности: , . Когда касательное напряжение, приложенное к жидкости снимается, скорость сдвига становится равной нулю, но прежняя форма элемента жидкости не восстанавливается.

В качестве ньютоновских жидкостей можно привести примеры: воздух, вода, масло, глицерин.

Неньютоновские жидкости

Для ньютоновского потока напряжение пропорционально скорости сдвига. Константа пропорциональности является коэффициентом вязкости. Вязкость есть свойство материала и при данной температуре и давлении постоянна. Неньютоновская жидкость представляет отклонение от этого типа поведения.

Если свойства жидкости таковы, что скорость сдвига и касательные напряжения не прямо пропорциональны, а связаны более сложной функцией, такую среду называют не-Нютоновской жидкостью. Для таких жидкостей вязкость может быть определена как , но она не является постоянной. Вместо этого можно рассмотреть вязкость как функцию от касательного напряжения и скорости сдвига. Такая вязкость называется наблюдаемой вязкостью и обозначается з.

(1.9)

Вид уравнения (1.9) будет зависеть от природы среды. Жидкости со сложной структурой, такие как эмульсии, суспензии, пены, растворы полимеров, осадок сточных вод, различные шламы и т.д.

В действительности, некоторые среды имеют одновременно свойства эластичности (твердого тела) и вязкости (жидкости). Такие среды называют вязко-эластичными. Примером могут служить различные полимеры. Полное описание реологических свойств может осуществляться функциями, связывающими напряжения, деформации, а также производные и интегралы по времени от этих величин. Свойство эластичности наделяет материал памятью об исходной форме, поскольку при снятии нагрузки образец стремится восстановить свою прежнюю форму. Такие материалы называют материалы с памятью. Они обладают время- зависимыми свойствами.

В простейшем случае вязкость имеет время-независимое поведение, напряжение сдвига зависит только от скорости сдвига, но не прямо пропорционально как в ньютоновской жидкости.

На графике зависимости напряжения сдвига или вязкости от скорости сдвига, можно различать различные виды поведения в зависимости от природы жидкости, как

показано на рисунках Рисунок 1.2 и Рисунок 1.3. Следует отметить, что напряжение сдвига и скорость сдвига одновременно или положительные или отрицательные и зависят от направления движения потока или приложения силы. Поскольку вязкость всегда положительна, скорость сдвига (или напряжение сдвига) является аргументом функции вязкости. Для неньютоновского потока вязкость будет абсолютное значение, невзирая на знак скорости сдвига и напряжения сдвига.

Если вязкость среды уменьшается с ростом скорости сдвига, среду называют жидкостью со сдвиговым разжижением или псевдопластичной жидкостью. Такое поведение характерно для разбавленных суспензий, растворов полимеров.

Поток с противоположным поведением, т.е. когда мнимая вязкость увеличивается с ростом скорости сдвига, среду называют жидкостью со сдвиговым уплотнением. Такое поведение характерно для высоко концентрированных суспензий, где интенсивно взаимодействие между частицами.

Некоторые очень концентрированные суспензии называются дилатантными (расширяющимися). Поскольку у таких суспензий частицы плотно упакованы, при возникновении деформации сдвига частицы должны перестраиваться с увеличением общего занимаемого объема, т.е. суспензия расширяется. Дилатантные среды имеют тенденцию вести себя как жидкости со сдвиговым уплотнением. Но это не означает, что все жидкости со сдвиговым уплотнением являются дилатантными.

Бингамовская вязко-пластичная жидкость.

Если для среды зависимость сдвигового напряжения от скорости деформации линейна, но график прямой не проходит через начало координат, а пересекает ось ф в некоторой точке , среда называется бингамовская вязко-пластичная жидкость.

(1.10)

Величина - пороговое напряжение и предельная (или пластическая) вязкость . Эти две реологические характеристики необходимы для определения свойств потока бингамовской жидкости. Положительный знак используется, когда величины ф и положительны и отрицательный, когда они отрицательны. Функция вязкости бингамовской жидкости равна

(1.11)

или

(1.12)

Поскольку эта среда не станет течь, если напряжение в ней окажется меньше напряжения порогового значения , это уравнение используется для ситуации, когда . При меньшем значении напряжения сдвига среда ведет себя как твердое тело.

(1.13)

Из (1.11) и (1.12) следует, что бингамовская вязко-пластичная жидкость является жидкостью с уменьшением вязкости при росте напряжения или скорости сдвига. Такое поведение характерно для многих концентрированных суспензий, таких как осадок сточных вод, краски, пены, пищевые соусы, кровь.

Жидкость со степенным законом поведения.

Для жидкостей со сдвиговым разжижением и уплотнением зависимости сдвигового напряжения от скорости сдвига часто аппроксимируются моделью степенного закона. В этом случае данные исследования дают прямую линию на логарифмическом графике, то говорят, что поток имеет модель степенной закон движения, который можно представить

(1.14)

или

если имеют знак (+)

если имеют знак (-)

Существует два реологических показателя для этой модели: коэффициент консистентности - m; индекс потока - n. Функция наблюдаемой вязкости для модели степенного закона задана как

(1.15)

или

(1.16)

Отметим, что n - безразмерная величина, тогда как m имеет размерность . Однако m также равно вязкости потока при скорости сдвига 1 сек-1, т.е. это показатель вязкости в соответствующих единицах. При n=1 модель степенного закона переходит в ньютоновскую и m=м. При n<1 имеет место сдвиговое разжижение потока или псевдо- пластичная жидкость. При n>1 имеет место сдвиговое уплотнение потока или дилатантная жидкость. Случай псевдо- пластичной жидкости распространен значительно чаще, чем дилатантной. Поведение этих жидкостей представлено на рисунках Рисунок 1.2 и Рисунок 1.3. Модель степенного закона очень популярна в случаях подбора кривой вязкости для разных жидкостей в широком диапазоне скоростей деформации. Однако экстраполяция модели за пределы экспериментальных данных не оправдана, поскольку при n<1 предсказывать вязкость, которая неограниченно возрастает по мере уменьшения скорости деформации или убывает при уменьшении скорости деформации, окажется физически не реалистичным.

Определение реологических свойств жидкости.

Поведение жидкости определено ее реологическими свойствами, которые характеризуются отношением между величиной касательного напряжения и скорости деформации. По определению, эти свойства могут быть определены, пользуясь схемой на рисунке Рисунок 1.1. А именно, поместить исследуемую среду между двумя параллельными пластинами, придать верхней пластине заданную скорость (V) и измерить при этом действующую силу (F). Касательное напряжение будет определено как ; скорость деформации, соответственно, как , а вязкость . Эксперимент повторяется с различными соотношениями V и F, чтобы определить вязкость при различных напряжениях сдвига (или скоростях деформации). Однако такое конструктивное решение не вполне удобно для использования, поскольку трудно удерживать жидкость в зазоре между горизонтальными пластинами. Для измерения вязкости были разработаны более удобные приборы.

Вискозиметр Куэтта.

Вискозиметр состоит из двух концентрических цилиндрических поверхностей: внешней-«стакана» и внутренней - «поплавка» и исследуемой жидкости в зазоре между ними (рисунок Рисунок 1.4). Внешняя цилиндрическая поверхность вращается с постоянной угловой скоростью Щ. Воздействие, передаваемое на испытуемый образец, является причиной его деформации. От жидкости воздействие передается на внутреннюю цилиндрическую поверхность. На внутреннюю цилиндрическую поверхность действует момент (M), который измеряется спиральной пружиной. Таким образом, известны: радиусы внутренней (Ri) и внешней (Ro) цилиндрических поверхностей, высота зоны контакта с испытуемым образцом (L), величина угловой скорости (Щ) и крутящий момент (M). Нужно определить величины скорости сдвига и касательных напряжений на образце для вычисления вязкости. Напряжение сдвига определяется из закона сохранения моментов на цилиндрической поверхности образца.

где r - расстояние до оси вращения, индексы под напряжением сдвига (r, и) означают действие силы в направлении и на радиусе r. Решая относительно напряжения сдвига, получим

(1.17)

Приняв , получим напряжение на внутренней цилиндрической поверхности . Для получим напряжение на внешней цилиндрической поверхности . Если зазор достаточно мал, т.е. , то кривизной можно пренебречь и поток в зазоре эквивалентен потоку между параллельными пластинами. В этом случае можно использовать среднее напряжение и получить среднюю скорость сдвига

или

(1.18)

где . Однако, если зазор не мал, напряжение сдвига должно корректироваться для кривизны профиля скорости. Применим следующее аппроксимирующее выражение, записанное для жидкости со степенным законом поведения. Выражение применимо для напряжения сдвига на внутренней цилиндрической поверхности, дающее точность от 1% до 5%.

(1.19)

где

Момент (дин·см)	Скорость (об/мин)
2,000	2
3,500	4
7,200	10
12,500	20
20,000	40

(1.20)

степень наклона графика зависимости от в точках Щ и M для уравнения (1.19). Таким образом, нужно получить выборку пар точек Щ и M для того, чтобы для них найти величину , а значит и величину скорости сдвига. Более точно об уравнениях (2.19), (2.20) изложено в разделе 3.9. Если , т.е. Щ прямо пропорционально M, тогда исследуемая жидкость - ньютоновская. Вязкость для каждой скорости сдвига (или напряжения сдвига) определяется путем деления напряжения сдвига (1.17), при , на скорость сдвига (1.19), рассчитанном при .

Пример 1.1

Имеется вискозиметр Куэтта с параметрами: Ri=2 см, Ro=2,05см, L=15 см.

Требуется исследовать образец жидкости. Определить вязкость образца и уравнение реологической модели наилучшим образом соответствующее ему. Имеется выборка измерений, представленных в таблице.

Решение.

Вязкостью является напряжение сдвига на малой цилиндрической поверхности, как дано в (1.17), разделенное на скорость сдвига на ней же, согласно (1.19). Величина согласно (1.19) определена как тангенс угла наклона графика зависимости от для каждой пары точек из таблицы. Такой график изображен на рисунке Рисунок 1.5 а). Данная прямая линия лучшим образом связывает все экспериментальные данные по методу наименьших квадратов. Имеет место уклон 0,77 с . В общем случае, если экспериментальные данные не попадают на прямую линию, угол наклона (тангенс) нужно определять в каждой точке, дающей различные значения для всей выборки. Используя в (1.19) для скорости сдвига и (1.17) для напряжения сдвига, получим следующие значения, показанные на графике рисунок Рисунок 1.5 б). На графике представлена линия уравнения с и . В этом случае модель степенного закона достаточно хорошо описывает данные в заданном диапазоне касательных напряжений, так что одинаково для каждой точки выборки. Если в другой ситуации данные выборки не будут иметь одинаковое значение в каждой точке, модель степенного закона окажется не пригодной для описания реологии исследуемого образца. Скорость сдвига и вязкость будут определяться, как и ранее (используя локальные значения в каждой точке выборки), но кривая вязкости будет лучшим образом описываться, вероятно, другой моделью.

Течение в трубе. Вискозиметр Пуазейля.

Другой подход для определения вязкости это измерение полного перепада давления и расхода потока (Q) в стационарном ламинарном потоке через трубы с постоянным сечением длины L и диаметром D (Пуазейлевский поток). Это можно сделать, измеряя перепад давления между двумя различными точками подключения на трубе или разницу между давлением в исходной емкости и точкой слива из трубы, как на рисунке Рисунок 1.6.

Обычно используют трубу маленького диаметра для того, чтобы обеспечить стационарные величины гидростатического давления в сосуде и гидравлических потерь потока.

Закон сохранения импульса в потоке устанавливает связь между напряжением сдвига на стенке и измеряемым перепадом давления.

(1.21)

Величина скорости деформации на стенке трубы дана как

(1.22)

где

(1.23)

есть скорость сдвига на стенке для ньютоновской жидкости (), и

(1.24)

показатель наклона графика зависимости от для каждой точки выборки экспериментальных данных. Величина имеет тот же смысл, что и для вискозиметра Куэтта. Как и ранее из () следует, что прямо пропорционально Q и жидкость будет ньютоновской. Вязкость дана как .

Температурные зависимости вязкости.

Все свойства жидкости зависят от температуры. Для большинства случаев вязкость наиболее чувствительна к температурным изменениям.

Жидкости

По мере роста температуры увеличивается скорость движения молекул. Тем самым ослабляется коротко-действующее взаимодействие между молекулами и, как следствие, уменьшается вязкость. Для многих жидкостей связь между температурой и вязкостью описывается уравнением Андраде.

(1.25)

где T - абсолютная температура. Если вязкость известна при двух различных температурах, этого оказывается достаточным, чтобы оценить величины A и B, что позволит вычислять вязкость для любой другой температуры. Если известны данные только для одной точки, то одним из способов экстраполяции может послужить диаграмма Льюиса-Сквайрса на рисунке Рисунок 1.7, основанный на эмпирическом факте того, что степень изменение вязкости от температуры зависит от самого значения вязкости.

Рассмотрим пример применения диаграммы. Предположим, что для некоторой жидкости известна точка . Нужно найти при T2. Для этого отложим значение вязкости на оси ординат, проведем от отмеченного значения до пересечения с кривой горизонтальную прямую. На оси абсцисс отметим точку, соответствующую температуре . Для задания новой температуры T2 от отмеченной температурной точки T1 необходимо отложить интервал в нужном направлении, т.е. в сторону увеличения или уменьшения. Новая точка будет соответствовать температуре T2. Для этой точки читаем на оси ординат искомое значение . Так, например, при температуре 20°C вязкость была 1 сП. Тогда при 40°C вязкость окажется 0,7 сП.

Несмотря на большое разнообразие различных зависимостей, уравнение (1.25) имеет широкое распространение. Оно хорошо аппроксимирует значение вязкости для многих жидкостей за исключением случаев при низких и высоких температурах, где вязкость может аномально увеличивать или уменьшать свои значения.

Газы.

В отличии от жидкости, вязкость газов возрастает при увеличении температуры. Это происходит потому, что молекулы газа расположены гораздо дальше друг от друга чем у жидкости. Поэтому взаимодействие между молекулами на много слабее. Однако с ростом температуры растет кинетическая энергия молекул, а значит возрастает и взаимообмен этой энергией, что означает увеличение вязкости. Вязкость газов не так чувствительна к температуре, как для жидкости. Для описания температурной зависимости вязкости для газов используют уравнение:

(1.26)

Параметры a и b можно определить для двух различных значений вязкостей при разных температурах. Далее формула (1.26) будет готова для нахождения значения вязкости для произвольно заданной температуры. Значение параметра b часто ограничено величиной 1,5. Фактически, если известно значение вязкости м1 только при одной температуре T1, далее приведенное уравнение часто используется для оценки вязкости при произвольно выбранной температуре.

(1.27)

где TB - температура кипения для газа. Температура представляется по шкале Кельвина.

Плотность.

В отличии от вязкости, для жидкости и газа с увеличением температуры плотность уменьшается. Причем плотность газа на много более чувствительна к изменению температуры, чем жидкости. Если плотность жидкости и ее паров известны при 20

Статика жидкой среды.

Напряжение и давление

Силы, действующие внутри потока, имеют различное происхождение. Это могут быть:

- гравитационные силы;

- внешние силы, вызванные насосом или другим устройством;

- внутренние силы, вызванные силами сопротивления.

Любая из этих сил может проявляться в потоке в виде напряжений. Напряжение представляется как сила, приложенная к единичной площади, которая ограничена бесконечно малым объемом потока. Как сила, так и площадь выражаются векторными величинами. Вектор силы имеет направление действия силы, а вектор площади - направление нормали к выбранной поверхности. Таким образом, напряжение имеет как численное значение, так и два направления, связанных с ним, что имеет название тензор второго порядка или диада. Если сила действует вдоль направления какой либо оси i декартовой системы координат, т.е. i=x1, x2, x3, а поверхность сориентирована в направлении j, тогда соответствующий компонент напряжения уij определяются как

где i,j =1,2 или 3

(2.1)

Таким образом, видно, что для трехмерного пространства существует девять компонентов уij. Можно показать, что матрица, образованная элементами уij будет симметричной, т.е. уij=уji. Таким образом, остается только шесть независимых компонентов.

Поскольку в потоке существуют различные источники сил, то существуют и различные виды напряжений. Например, напряжение, которое существует в жидкости при состоянии покоя, называется давлением. Хотя давление есть разновидность напряжения, оно не зависит от направления поверхности, т.е. оно изотропно. Сила действует одинаково на все элементарные поверхности для выбранной точки жидкой среды. Таким образом, давление лишено такой характеристики, как направление и потому является скалярной величиной. Однако, компоненты напряжений, появляющиеся в результате движения потока, имеют такие характеристики, как направление и поэтому являются анизотропными. Такие напряжения часто ассоциируются с гидравлическим трением. Такие напряжения будем обозначать символом фij, где i и j определены согласно (2.1). Таким образом, напряжение в произвольной точке потока уij складывается из давления и анизотропной компоненты.

(2.2)

где P - изотропное давление. По соглашению оно принимается отрицательной величиной, поскольку действие его сжимающее. Положительным принимаются напряжения с растягивающим действием, т.е. положительный Fi действует на положительный Sj или отрицательный Fi действует на отрицательный Sj. Обозначение дij - единичный тензор или символ Кронекера, который принимает значения

Это необходимо, поскольку изотропное напряжение действует только по нормали выбранной площадки, т.е. i=j. Как отмечалось выше, анизотропное напряжение фij связано с движением потока и поэтому в покоящейся жидкости становится равным нулю. Таким образом, отличительной особенностью жидкого тела от твердого заключается в том, что напряжения в состоянии покоя переходит в анизотропную форму - давление.

Основные уравнения статической жидкой среды

Рассмотрим область цилиндрической формы внутри потока. Применим закон сохранения количества движения к слою, заштрихованному на рисунке Рисунок 2.1. Слой имеет толщину Дz, площадь поверхности Az. Нормаль r поверхности Az есть ось z. Плотность потока в слое - с. Гравитационные силы действуют с ускорением g и в направлении -z. Закон сохранения количества движения в закрытой системе равносилен второму закону Ньютона, т.е.

.

(2.3)

Поскольку это векторное уравнение, рассмотрим его составляющую для оси z. - это сумма всех сил, действующих на выделенный слой в направлении z; m - масса слоя; az - ускорение, действующее в направлении z. Поскольку поток не двигается, то az = 0. А баланс количества движения превращается в баланс сил. Уравнение (2.3) примет вид:

(2.4)

Силы, действующие на область, составляют:

-действие отрицательного давления (-P) на нижнюю поверхность области с отрицательной нормалью (-z). Сила положительна ;

-действие отрицательного давления (-P) на верхнюю поверхность области с положительной нормалью(+z). Сила отрицательна ;

-сила тяжести отрицательна .

Если принять и разделить уравнение (2.4) на , получим:

(2.5)

которое является основным уравнением статики. Это уравнение показывает, что в любой точке внутри среды давление уменьшается по мере увеличения координаты z. Уравнение верно вне зависимости от природы среды.

Среда с постоянной плотностью

Если плотность (с) остается постоянной, процесс носит название изохорический, т.е. заданная масса всегда занимает одинаковый объем. Так же жидкость, обладающую этим свойством, часто называют несжимаемой. Если ускорение свободного падения (g) так же постоянно, то давление может меняться за счет изменения уровня z. Уравнение (2.5) показывает, что изменение давления обусловлено изменением уровня z. Проинтегрировав (2.5), можно записать:

или

(2.6)

Величина Ф определяется локальным давлением P и статическим напором . Эта величина постоянна в любой точке изохорического процесса.

Пример 2.1

Разность давлений между двумя точками среды движущейся или покоящейся может быть измерена при помощи манометра. Манометр содержит несжимаемую жидкость плотностью (сm), которая не смешивается с потоком из трубы (плотность сf). Трубки манометра подсоединены к точкам трубопровода, между которыми необходимо измерить перепад давления (рисунок Рисунок 2.2).

Согласно выражения (2.6), запишем величину Ф для точек 1, 2, 3 и 4.

(2.7)

или

(2.8)

Если уравнения (2.8) сложить, можно исключить величины P3 и P4. В итоге можно получить:

(2.9)

где и , , . Уравнение (2.9) уравнение для манометра. Отметим, что перепад Дh измеряет разность потенциалов , которая идентична перепаду давлений только если труба горизонтальна, т.е. . Следует отметить, что уравнение для статической среды не может быть применено к трубопроводу с нестатическим состоянием.

Идеальный изотермический газ

Если среда принимается как идеальный газ, состояние ее описывается газовым законом:

(2.10)

Тогда выражение (2.5) можно представить:

(2.11)

Если температуры постоянные, т.е. процесс изотермический, то уравнение (2.11) можно проинтегрировать от до , чтобы определить давление P как функцию уровня z.

(2.12)

где . Следует отметить, согласно (2.12) для идеального газа падение давления в зависимости от уровня происходит экспоненциально, в отличии от линейного для несжимаемой жидкости.

Идеальный изоэнтропийный газ

Если газ переходит из состояния 1 в состояние 2 без передачи или диссипации энергии, такой процесс называется адиабатическим и обратимым. Такой процесс проходит при постоянной энтропии, потому его так же называют изоэнтропийным. Для идеального газа в этом случае справедливо:

(2.13)

Где есть соотношение, характерное для каждого газа. Для идеального газа верно: . Если плотность исключить из (2.13) и (2.10), то в результате получим

(2.14)

которое связывает температуру и давление в любых двух точках для изоэнтропийного идеального газа. Если использовать выражение (2.14) для того, чтобы исключить T из (2.11), то полученное выражение можно интегрировать, чтобы получить зависимость давления от уровня:

(2.15)

Это нелинейная зависимость давления от уровня. Из уравнений (2.14), (2.15) можно исключить , чтобы получить зависимость температуры газа от уровня.

(2.16)

Таким образом, падение температуры линейно от уровня.

Атмосфера

Ни выражение (2.12), ни (2.15) не дают достаточно точной зависимости давления и температуры от уровня для обычного воздуха, который не является ни изотермическим, ни изоэнтропийным. В этом случае необходимо использовать эмпирические зависимости. В действительности такого рода зависимости могут сильно варьироваться в зависимости от ситуации. Но существуют некоторые усредненные варианты.

(2.17)

Где средняя температура на уровне земли, т.е. z=0 считается равной T=15°C (T=288°K) . Рассматривая выражение (2.17) с (2.11) совместно, можно получить

(2.18)

где T0=288°K и G=6,5°C/км. Интегрируя (2.18) и полагая постоянным ускорение свободного падения, получим зависимость давления от уровня.

(2.19)

Формула (2.19) применима для уровней в пределах 0 < z <11 км.

Движущиеся системы

Было установлено, что напряжение, существующие в покоящейся среде, есть давление поскольку напряжения сдвига для среды равняется нулю. Это также применимо для жидкостей находящихся в движении без сдвигов. Так происходит потому, что причиной сдвигового напряжения является градиент скорости. Однако если движение ускоренное, то в состав давления войдут дополнительные составляющие.

Вертикальное ускорение

Рассмотрим вертикальный цилиндр жидкости, изображенный на рисунке Рисунок 2.3, поднимающийся вверх с ускорением az. Закон сохранения движения будет выражаться уравнением (2.3), а именно

.

Однако в данном случае и получим по аналогии с выражением (2.5)

(2.20)

Полученное выражение показывает, что наличие дополнительного ускорения az в системе равносильно увеличению ускорения свободного падения на величину az. Результат можно обобщить и на ускорения, направленные в другие направления. Ускорение в направлении i дадут градиент давления внутри жидкости в направлении -i и по величине .

(2.21)

Горизонтальное ускорение. Свободная поверхность.

Рассмотрим емкость с жидкостью, установленную на тележке (рисунок Рисунок 2.4). В начальный момент уровень жидкости горизонтальный. В случае придания горизонтального ускорения тележке будем наблюдать уклон поверхности жидкости величиной и по отношении к горизонтали. Величина уклона и будет зависеть от приложенного ускорения ax. При разгоне тележки в произвольном месте жидкости существует вертикальный градиент давления, определенный как (2.5) и горизонтальный градиент давления, определенный по (2.21). Таким образом, для любого элементарного объема жидкости полный дифференциал давления dP состоит из двух компонент:

(2.22)

Так как поверхность жидкости находится под атмосферным давлением, то для любой точки на поверхности верно выражение :

или

(2.23)

что определяет величину уклона поверхности жидкости по отношении к горизонтали.

Вращающаяся среда

Рассмотрим открытую емкость цилиндрической формы, наполненную водой (рисунок Рисунок 2.5). Емкость установлена на вращающемся столе, который вращается с постоянной угловой скоростью щ. Внутреннее радиальное ускорение возникает в следствии вращения . Радиальный градиент давления возникает в соответствии с этим ускорением в каждой точке жидкости в дополнении к вертикальному гравитационному градиенту давления. Таким образом, дифференциал давления состоит из двух составляющих и равен:

(2.24)

Аналогично, как и для ускоряющейся тележки, можно определить форму поверхности вращающейся жидкости. Поскольку на поверхности давление постоянно

(2.25)

Уравнение (2.25) может быть проинтегрировано, чтобы получить форму поверхности

(2.26)

приняв постоянную интегрирования величину - уровень жидкости на оси вращения, т.е. при r=0. Полученное уравнение показывает, что форма поверхности вращающейся жидкости параболическая.

Выталкивающее действие

Как результат принципа Архимеда, влияние выталкивающего действия на погруженное в жидкость тело равно весу вытесненной им жидкости и действует в направлении противоположном действующего вектора ускорения. Таким образом, эффективный равнодействующий вес погруженного в жидкость тела есть его вес за исключением веса вытесненной им жидкости. Результат эквивалентен замещению плотности тела в выражении для его веса ( где - объем тела) разницей между плотностью тела и жидкости, т.е. , где

Это так же применимо для любого погруженного тела, подверженного ускорению. Например, твердые частицы объемом погруженные в жидкость внутри центрифуги на радиусе r, вращающейся с угловой скоростью щ, подвержены радиальной силе равной . Таким образом, выталкивающее действие уменьшает эффективную плотность погруженного тела на величину окружающей жидкости.

Статические силы на границе.

Сила, влияющая на твердую границу за счет статического давления, равна

(2.27)

Отметим, что сила и площадь являются векторными величинами, а давление - скаляр. Таким образом, направление действующей силы определяется ориентацией поверхности, на которую действует давление. То есть, компоненты силы, действующие на поверхность, есть интеграл давления по проекциям элемента площади поверхности. Вектор поверхности (нормаль к элементу поверхности) параллелен к направлению действия силы. Заметим, что давление есть отрицательное изотропное напряжение, противоположное к нормали (обращенной к жидкости) границы, представляющей положительную площадь. Исходя из третьего закона Ньютона, сила воздействия на границу с жидкостью имеет противоположный знак по отношению к силе реакции от границы.

Пример 2.2

Рассмотрим силу воздействия на внутреннюю стенку трубы за счет внутреннего давления (рисунок Рисунок 2.6). Давление P действует одинаково во всех направлениях внутри трубы. Равнодействующая сила влияния среды на внутреннюю стенку перпендикулярна плоскости, проходящей через ось трубы, вычисляется как произведение давления и площади проекции стенки на эту плоскость, т.е.

Эта сила направлена на растяжение стенки трубы и компенсируется внутренним напряжением металла. Существует эффективное рабочее напряжение у для материала, из которого изготовлена труба. Если рассматривать трубу как тонкостенную, т.е. принять постоянство напряжения вдоль радиуса R и записать равенство действующей и противодействующей сил, получим:

(2.28)

или

(2.29)

Это соотношение определяет требуемую толщину стенки, противостоящей давлению Pв трубе радиусом R, сделанной из материала с рабочим напряжением у.

Для нахождения силы давления на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под некоторым углом б, используем уравнения Бернулли. Вычислим силу F давления со стороны жидкости на некоторую площадь S стенки согласно рисунка Рисунок 2.7.

Ось Ox направим по линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости, а ось Oy -- перпендикулярно к этой линии в плоскости стенки.

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

(2.30)

где -- давление на свободной поверхности; h -- глубина расположения площадки dS.

Для определения полной силы F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S:

(2.31)

где y- координата площади dS.

Последний интеграл представляет собой статический момент площади S относительно оси Ox и равен произведению этой площади на координату ее центра тяжести, обозначенный точкой С на рисунке Рисунок 2.7.

Тогда уравнение (2.31) примет вид:

где - глубина расположения центра тяжести площади S.

(2.32)

Итак, полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой площади S.

При наличии внешнего давления силу F можно рассматривать как сумму двух сил: сила обусловленная внешним давлением и сила, возникающая в результате гидростатического давления.

Остается определить точку приложения силы давления. Так как внешнее давление передается всем точкам площади S одинаково, то его равнодействующая сила будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы давления от веса жидкости (точка D) применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ox равен сумме моментов составляющих сил.

где - координата точки приложения силы

Выражая и через и y и определяя , получим:

,

где - момент инерции площади S относительно оси Ox.

Учитывая, что

,

где - момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Ox. Находим:

(2.33)

Таким образом, точка приложения силы расположена ниже центра тяжести площади S. Расстояние между ними:

.

Таким образом, при наличии избыточного давления сила, действующие на площадь S будет раскладываться на две силы: силу, обусловленную внешним давлением величиной и приложенную к точке С ; силу, как результат гидростатического давления величиной и приложенную в точке D , согласно рисунка Рисунок 2.7.

Задачи

Статика

1.Уравнение манометра , где есть разность давления плюс гидравлический напор между двумя точками, к которым подсоединен манометр, - разность плотностей двух жидкостей в манометре, - показания манометра и g - ускорение свободного падения. Если и для манометра, подсоединенного к двум точкам горизонтальной трубы. Вычислить значение в следующих единицах: А) паскалях, Б)атмосферах.

2.Перевернутый манометр содержит масло с плотностью 0,92 г/см3. Манометр подсоединяют с разных сторон измерительной диафрагмы, установленной на горизонтально расположенном трубопроводе, перекачивающий рассол. Плотность рассола 1,1 г/см3. Если показания манометра - 17 см, каков перепад давления на диафрагме (Па)? Сколько это в сантиметрах водяного столба?

...