Размещено на http://www.allbest.ru/

ВИЩА ГЕОДЕЗІЯ

Видання друге, доповнене

С.Г. Савчук

Львів-2005

Підручник складено на основі лекцій, які автор читає у Національному університеті “Львівська політехніка” студентам та курсантам геодезичних спеціальностей.

Зміст його відповідає програмі курсу “Основи вищої геодезії” для базового напрямку “Геодезія, картографія та землевпорядкування “ і ступеней бакалавра, спеціаліста та магістра.

Підручник Вища геодезія має за мету, з однієї сторони, дати майбутнім фахівцям необхідні знання з опрацювання результатів геодезичних вимірювань на еліпсоїді і, з другої сторони, надати необхідні відомості з питань дослідження фігури Землі, а також підготувати їх до вивчення інших дисциплін: фізичної геодезії, математичної картографії, космічної геодезії тощо.

В підручнику викладені наступні основні питання: геометрія земного еліпсоїда і методи розв'язування геодезичних задач на його поверхні, теорія та практика застосування плоских конформних координат в проекції Гаусса-Крюгера, методи дослідження фігури Землі, системи висот в геодезії, редукційна задача геодезії та основи визначення параметрів і орієнтування земного еліпсоїда, встановлення геодезичної референцної системи координат.

Розв'язування більшості задач іллюструється числовими прикладами. Для розв'язування основних геодезичних задач з допомогою сучасної комп'ютерної техніки приводяться відповідні алгоритми.

Підручник призначений для підготовки фахівців геодезичних спеціальностей у навчальних закладах України, в тому числі і військових. Він може бути використаний інженерно-технічними спеціалістами, які займаються математичним опрацюванням геодезичних мереж і застосуванням геодезичних методів в спеціальних інженерно-геодезичних роботах.

Табл. 15, рис.51, список літератури - 13.

ISBN …..................... Степан Савчук, 2005

Передмова

Визначення параметрів земного еліпсоїда і форми земної поверхні становить велику наукову зацікавленість та має важливе значення для практичної і інженерної геодезії, для топографії і картографії, а також для багатьох суміжних наук: астрономії, геофізики, геодинаміки тощо.

Вивчення геометрії земного еліпсоїда та методів розв'язування задач на його поверхні складає вагому частину змісту курсів “Основи вищої геодезії” та “Вища геодезія”. Ці питання, а також питання зображення поверхні еліпсоїда на площині відносяться до частини вищої геодезії, яка історично отримала назву “сфероїдна геодезія”.

Земний еліпсоїд, який є еліпсоїдом обертання з малим стисненням - сфероїдом, є математичною фігурою, що краще всього репрезентує загальну фігуру Землі. Тому поверхня еліпсоїда і служить поверхнею віднесення, на яку проектують (відносять) всі виміряні на фізичній поверхні Землі величини. Вона просто визначається точними математичними формулами і є зручною координатною поверхнею для розв'язування різноманітних геодезичних задач.

Математичні основи сфероїдної геодезії були закладені в першій половині ХІХ ст. в зв'язку з необхідністю опрацювання градусних вимірювань, тобто вимірювань, що мали за мету визначення розмірів та форми Землі. Імена Лежандра, Гаусса, Бесселя, Гельмерта і інших видатних математиків, астрономів і геодезистів неперервно пов'язані з розвитком сфероїдної геодезії.

При вивченні сфероїдної геодезії широко використовуються вища математика, в основному, сферична тригонометрія, диференційне і інтегральне числення, теорія рядів. Геометрію земного еліпсоїда можна розглядати як один із спеціальних розділів теорії поверхонь. В підручнику притримується, як правило, аналітичний метод викладу матеріалу; геометричний підхід використовується для наглядності викладу та інтерпретації складних аналітичних співвідношень. Проте, щоб складні, і часто штучні, перетворення і виклади не затіняли основних понять і залежностей, в окремих випадках опускалися непринципові деталі виводів деяких формул та рівнянь. Застосування в геодезичних обчисленнях комп'ютерної техніки викликало значну зміну методів розв'язування геодезичних задач сфероїдної геодезії. Якщо раніше більша увага зосереджувалась на перетворенні формул з метою приведення їх до виду, щодо зручності “ ручних” обчислень, то прогрес обчислювальних методів, особливо чисельних методів, дозволяє обмежитись записом формул в загальному вигляді, інколи тільки в виді диференційних рівнянь, а подальше перетворення віднести до процесу програмування.

Вища геодезія, в тому числі її частини - сфероїдна геодезія та теоретична геодезія, є однією із основних дисциплін, що забезпечує необхідну теоретичну і практичну спеціальну підготовку фахівців геодезичного профілю.

Пропонований підручник складається із п'яти основних розділів. У першому розділі описано предмет та задачі вищої геодезії, сучасний етап розвитку геодезії. В історичному аспекті розглянуто питання про фігуру Землі. Приводяться характеристики систем координат, що застосовуються у вищій геодезії. Даються короткі відомості з теорії поверхонь та чисельних методів.

У другому розділі “Геометрія земного еліпсоїда” приведені основні формули та співвідношення на поверхні земного еліпсоїда. Розглядаються задачі з обчислення довжин дуг меридіанів та паралелей і площі сфероїдальної трапеції. Досліджуються нормальні перерізи і геодезична лінія в плані використання їх при розв'язуванні головних геодезичних задач на поверхні земного еліпсоїда; встановлюються зв'язки між ними. Особлива увага приділяється геодезичній лінії, як основному лінійному елементу при розв'язку геодезичних задач на поверхні еліпсоїда.

Основний зміст третього розділу - питання розв'язування головних геодезичних задач (прямої та оберненої) на поверхні сфери, еліпсоїда та в просторі. Дається обгрунтування різних методів, аналіз їх щодо точності результату і ефективності застосування; приводяться алгоритми розв'язування задач з спрямуванням на використання персональних комп'ютерів.

Четвертий розділ присвячений системі плоских прямокутних координат проекції Гаусса-Крюгера. Приведені основні рівняння конформної проекції Гаусса, формули перетворення геодезичних координат в плоскі прямокутні і навпаки, формули для обчислення зближення меридіанів та масштабу проекції і для редукування напрямів та відстаней. Наведено числовий приклад опрацювання фрагменту геодезичної мережі на площині в проекції Гаусса-Крюгера.

Передмова до другого видання

Друге видання даного підручника не має суттєвих змін щодо розділу “Сфероїдна геодезія”. У ньому доданим є лише один розділ, в якому приведені вибрані питання теоретичної геодезії. Там приведені основні відомості, щодо вивчення фігури Землі, розкрито методи редукування геодезичних вимірів на відлікову поверхню, розглянуті питання про системи висот, що використовуються в геодезії та про встановлення розмірів земного еліпсоїда і його орієнтування відносно рівневої поверхні.

Основні роботи в області вищої геодезії, які вказані в списку літератури, можуть використовуватись для більш поглибленого вивчення окремих питань.

Рисунки в підручнику виконані інженером Павлом Чубатьком.

Автор висловлює вдячність керівникам геодезичних та землевпорядних установ, які спонсорували необхідні кошти для видання підручника і буде вдячний всім читачам за їх зауваження та побажання щодо поліпшення підручника.

Листи слід надсилати за адресою:

Кафедра вищої геодезії та астрономії,

Інститут геодезії,

Національний університет “Львівська політехніка”,

вул. Ст.Бандери, 12,

Львів-13, 79013.

E-mail: ssavchuk@polynet.lviv.ua

Зміст

Розділ 1

1.1 Предмет та задачі вищої геодезії

1.2 Сучасний етап розвитку геодезії

1.3 Фігура Землі

1.4 Системи координат, що застосовуються у вищій геодезії

1.5 Основи теорії поверхонь

1.6 Чисельні методи у сфероїдній геодезії

Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда

2.1 Параметри земного еліпсоїда, зв'язки між ними

2.2 Рівняння поверхні еліпсоїда

2.3 Зв'язки між координатами

2.3.1 Зв'язок між геодезичною, приведеною і геоцент-ричною широтами

2.3.2 Зв'язки між різними видами координат

2.4 Головні радіуси кривини в даній точці еліпсоїда

2.5 Лінійний елемент поверхні еліпсоїда

2.6 Довжини дуг меридіана та паралелі. Площа сфе-роїдальної трапеції

2.6.1 Обчислення довжини дуги меридіана

2.6.2 Обчислення довжини дуги паралелі

2.6.3 Обчислення площі сфероїдальної трапеції

2.7 Криві на поверхні еліпсоїда

2.7.1 Нормальні перерізи

2.7.2 Геодезична лінія

2.7.3 Геодезичні полярні координати. Приведена дов-жина геодезичної лінії

2.7.4 Різниці азимутів ідовжин дуг геодезичної лінії та нормального перерізу

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

3.1 Види геодезичних задач

3.2 Короткі історичні відомості

3.3 Точність роз'язування головної геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда

3.4 Основні шляхи роз'язування геодезичних задач

3.4.1 Розв'язування сфероїдальних трикутників

3.4.2 Розв'язування головних геодезичних задач

3.5 Диференційні формули

3.5.1 Диференційні формули для геодезичної лінії

3.5.2 Диференційні формули для довільної точки простору

3.5.3 Диференційні формули для системи геодезичних координат

3.6 Методи розв'язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда

3.6.1 Розв'язування головних геодезичних задач за формулами із середніми аргументами (спосіб Гаусса)

3.6.2 Розв'язування головних геодезичних задач спо-собом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)

3.6.3 Розв'язування головних геодезичних задач мето-дом переходу на поверхню сфери (формули Бесселя)

3.6.4 Чисельні методи розв'язку головних геодезичних задач

3.7 Алгоритми та числові приклади розв'язування головних геодезичних задач

3.7.1 Алгоритм та числовий приклад розв'язування пря-мої і оберненої геодезичних задач на поверхні сфери

3.7.2 Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої і оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда способом Гаусса

3.7.3 Алгоритм та числовий приклад розв'язування пря-мої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда на основі методу допоміжної точки (формул Шрейбера)

3.7.4 Алгоритм та числовий приклад розв'язування пря-мої і оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі методу переходу на поверхню сфери (формул Бесселя)

3.7.5 Алгоритм та числовий приклад розв'язування пря-мої і оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі чисельного методу (формул Рунге-Кутта)

3.7.6 Алгоритм та числовий приклад розв'язування пря-мої і оберненої геодезичних задач в просторі

Розділ 4. Плоскі прямокутні координати Гаусса- Крюгера

4.1 Плоскі координати в геодезії

4.2 Загальні відомості про геодезичні проекції

4.3 Основні рівняння конформної проекції Гаусса

4.4 Перетворення полярних координат

4.5 Формули проекції Гаусса-Крюгера

4.5.1 Формули для обчислення координат

4.5.2 Формули для обчислення зближення меридіанів

4.5.3 Формули для обчислення масштабу проекції

4.5.4 Формули для редукування напрямів і відстаней

4.6 Практика застосування проекції Гаусса-Крюгера

4.7 Перетворення координат Гаусса-Крюгера із зони в зону

4.8 Числовий приклад опрацювання фрагменту геоде-зичної мережі на площині в проекції Гаусса-Крюгера

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

5.1 Сучасні поняття про фігуру Землі та її зовнішнє гравітаційне поле

5.2 Відхилення прямовисних ліній та відступи геоїда від земного еліпсоїда

5.2.1 Астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній

5.2.2 Гравіметричні відхилення прямовисних ліній

5.2.3 Інтерполювання відхилень прямовисних ліній

5.3 Визначення відступів геоїда (квазігеоїда)

5.3.1 Астрономічне нівелювання

5.3.2 Астрономо-гравіметричне нівелювання

5.4 Системи висот в геодезії

5.4.1 Поняття висоти

5.4.2 Ортометричні висоти

5.4.3 Нормальні висоти

5.4.4 Динамічні висоти

5.5 Редукування геодезичних вимірювань з фізичної поверхні на поверхню земного еліпсоїда

5.5.1 Поняття про редукційну задачу

5.5.2 Редукування лінійних вимірів

5.5.3 Редукування виміряних горизонтальних напрямів

5.6 Основи визначення параметрів фігури Землі та її орієнтування

5.6.1 Методи виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями

5.6.2.Встановлення вихідних геодезичних дат

5.6.3 Сучасні підходи до визначення параметрів фігури Землі

5.6.4 Геодезичні референцні системи координат у геодезії

Список літератури

Розділ 1

1.1 Предмет та задачі вищої геодезії

Вища геодезія вивчає фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, методи створення систем геодезичних координат на. всю поверхню Землі або на. окремі її ділянки, а. також способи визначення положення точок земної поверхні в тій чи іншій системі координат.

Фундаментальною теоретично-практичною задачею вищої геодезії є побудова земної системи геодезичних координат та єдиної моделі зовнішнього гравітаційного поля Земі. .Розв'язання цієї задачі проводиться на основі теоретичних досліджень та математичної обробки результатів наземних астротиомічних, геодезичних та гравіметричних вимірювань, супутникових спостережень, світлолокації Місяця та великобазисних радіоінтерферометричних спостережень.

До недавнього часу основним методом побудови геодезичних мереж був метод тріангуляції, який широко застосовувався в геодезичному виробництві. як в нашій країні так і за кордоном. Координати пункгів обчислювались від різних початків і були віднесені до різних відлікових поверхонь, які апроксимували Землю найкращим чином в межах незначних територій. З розвитком інтеграційних процесів, широким впровадженням сучасних систем зв'язку, розробкою глобальних міжнародних науково-практичних проектів роль геодезії і задачі, які вона повинна виконувати, поступово змінюються. Перш за все змінюється сам принцип створення геодезичних мереж. На зміну традеційним геодезичним вимірам, які полягали у вимірюванні горизонтальних напрямів та відстаней між пунктами мережі, прийшли сучасні метода: візначення місцеположення з допомогою спеціальних супутникових систем. При цьому значно зросла точність визначення координат, оперативність їх отримання, а також можливість визначення їх в глобальній (загальноземній) системі координат.

Даний курс обмежений колом питань, яке може бути назване "класичною вищою геодезією", поскільки в ній фігура Землі та її гравітаційне поле, як об'єкти вивчення, розглядаються незалежними від часу, тобто зв'язана з Землею система координат з часом не змінюється. Це справедливо з досить високою точністю (10^-6 і вище). Але на протязі останніх десяти років точність порядка 10^-7 і навіть 10^-8 стала реальністю. Це означає точність визначення абсолютного положення порядку декількох сантиметрів. На такому рівні точності геодинамічні (залжні від часу) ефекти мають вже помітний вплив на точність визначення земних систем координат. Вони можуть спричинятися глобальними еволюційними процесами в житті Землі і проявлятися у рухах земної кори, переміщенні літосферних плит, нерівномірності обертання, переміщенні полюсів та центра мас Землі тощо.

Методи побудови геодезичних мереж, способи точних вимірювань їх параметрів (наземні лінійно-кутові, супутникові виміри), а також методи обробки результатів цих вимірювань розпзядаються в курсах "Основні геодезичні роботи" та, частково, "Космічна геодезія". Астрономічні визначення широт і довгот точок земної поверхні та азимутів напрямів вивчаються в курсі "Геодезична астрономія". Вивченням земного поля сили ваги, методів вимірювання та обробки параметрів гравітащйного поля Землі, тобто, гравіметричними визначеннями займається "Гравіметрія".

Встановлення залежностей між результатами астрономо-геодезичних, гравіметричник та супугникових вимірювань і величинами, що визначають фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, складає одну із задач теоретичної геодезії, як складової вищої геодезії.

Сфероїдальна або математична геодезія є однією із найбільш важдивих складових вищої геодезії.

В сфероїдальній геодазії вивчаються перш за все метода визначення взаємного положення точок, розташованих як на поверхні земного еліпсоїда так і над цією поверхнею - вихідною координатною поверхнею.

Відомо, що класичні геодезичні вимірювання проводяться на земній поверхні і зв'язані з прямовисними лініями (лініями важка), і, відповідно, з рівневою поверхнею.

Рівневою поверхнею називають поверхню, у всіх точках якої нормалі до неї збігаються з прямовисними лініями. Прямовисна лінія - ца пряма, що збігається з напрямом дії сили ваги в даній точці.

Рівневих поверхонь можна побудувати нескінченну множину. Серед них виділяють одну, яка збігається з незбуреною припливами і хвилями водною поверхнею Світового океану. Якщо цю поверхню продовжити під материками так, щоби вона всюди залишалась нормальною до напряму прямовисних ліній, то отримаєм замкнуту поверхню, яка дістала назву поверхнею геоїда.

Поверхня геоїда не може бути представлена одним рівнянням в кінцевому виді, із-за чого для розв'язування основних задач вищої геодезії вибирають допоміжну поверхню, з одного боку, просту і достатньо добре вивчену в математичному плані і, з другого боку, і можливо близьку до поверхні геоїда. Ці умови добре задовільняє належно підібраний еліпсоїд обертання. Називають такий еліпсоїд земним еліпсоїдом або земним сфероїдом. геодезія широта меридіан еліпсоїд

Отже, при розв'язуванні основних задач астрономо-геодезичної і картографічної практики земну поверхню заміняють поверхнею еліпсоїда обертання або сфероїда і однією із задач вищої геодезії є вивчення геометрії поверхні еліпсоїда обертання, що складає предмет сфероїдальної геодезії.

Безпосередні виміри, пов'язані з напрямами прямовисних ліній, приводяться (редукуються) на поверхню еліпсоїда. Щодо кутових вимірювань, то це означає, перш за все, введення поправок за відхилення прямовисних ліній. Відхилення прямовисних ліній -це кут між прямовисною лінією і нормаллю до поверхні земного еліпсоїда в даній точці.

Питання редукцій відмірювань, тісно пов'язані з задачею вивчення фігури Землі, встановлення розмірів земного еліпсоїда та його орієнтування віднюсно поверхні геоїда, розглядаються в теоретичній геодезії. При вивченні всіх питань сфероїдальної геодезії допускаеться, що результати геодезичних вимірювань вже приведені на поверхню еліпсоїда.

Розміри еліпсоїда характеризуються величинами його великої півосі і полярного стиснення, а положення його в тілі Землі переважно визначається складовими відхилення прямовисної лінії в площинах меридіана і першого вертикалу та висотою геоїда в якій-небудь одній точці, яка е проекцією відповідного пункта геодезичної мережі і приймається за вихідний пукт геодезичних вимірювань. При цьому напрям прямовисної лінії у вихідному пункті відносно основних координатних площин Землі, тобто площин земного екватора та початкового меридіана, встановлюється шляхом астрономічних визначень його широти і довготи, а також і азимута напряму з нього на який-небудь суміжний пункт. Шляхом же виправлення астрономічної широти і довготи вихідного пункта та астрономічного азимута вибраного напряму в цьому пункті. за відхилення прямовисної лінії в тому ж пункті визначаються його геодезична широта і довгота та геодезичний азимут того ж напряму, які разом з заданою висотою геоїда у віхідному пункті служать вихідними геодезичними датами, для опрацювання геодезичних вимірювань на поверхні прийнятого еліпсоїда.

Методи визначення положення точок на поверхні еліпсоїда в системі поверхневих координат, точок фізичної поверхні Землі чи вавкалоземного простору в системі просторових координат складають основну частину предмету сфероїдальної геодезі.

При створенні топографічних карт, розв'язуванні багатьох практичних задач інженерного характеру суттєве спрощення робіт дає використання системи плоских прямокутних координат. Пошук картографічного зображення поверхні еліпсоїда на площину і встановлення системи плоских координат теж предмет досліджень сфероїдальної геодезії.

Отже, в сфероїдальній геодезії вивчають геометричні метди визначення взаємного положення точок земної поверхні та навколоземного простору, в яких за вихідну координатну поверхню прийнята поверхня земного еліпсоїда, а виміряні величини, що використовуються в цих методах, вільні від впливу відхилень прямовисних ліній. Методи вивчення фігури та зовнішнього гравітаційного поля Землі, параметри редукцій наземних астрономо-геодезичних вимірювань в єдину систему відліку - головні питання вивчення в теоретичній геодезії.

1.2 Математичні та фізичні моделі Землі

Встановлення геометричної фігури Землі, в принциповому плані, здавалось би не становить значної проблеми. Для цього достатньо за даними вимірювань визначиш в певній системі координати точок земної поверхні та побудувати відповідну геометричну поверхню. Кординати точок повинні бути певним чином, зв'язані з заданою системою ліній, які належать ординатній системі.

Класично, координати точок отримують із астрономо-геодезичних вимірювань. Як відомо, при цих вимірюваннях вісь геодезичнаго (чи астрономічного) приладу орієнтують відносно прямовисної лінії. Але поскільки величина і напрям сили ваги в кожній точі пов'язані з обертанням Землі навколо своєї осі та розподоіом мас в тілі Землі, що має досить складний характер, встановлення форми Землі стає неможливим без вивчення поля земного тяжіння, тобто гравітаційного поля Землі.

Проблема вивчення фігури Землі відноситься до числа найдавніших наукових проблем, поставлених людством ще на ранній ступіні свого культурного розвитку. На протязі багатовікової історії вона була і до цих пір залишається однією із найважливіших наукових проблем природознавства і перш за все астрономії та геодезії. Вивчення виду та розмірів Землі, а також її положення і руху в світовому просторі в значному плані сприяли науковому світопізнанню.

Початком вивчення фігури Землі щодо її виду та розмірів було наукове обгрунтування погляду про її кулеподібність. Імена Піфагора, Арістотеля, Архімеда, Ератосфена та інших учених і філософів стародавньої Греції і Єтипта навічно залишились в пам'яті людства, як першопрохідців вчення про фігуру Землі. Вже перші практичні визначення розмірів Землі базувалися на принципіально правильному геометричному методі, розробленому стародавніми математиками та астрономами, що полягав у вимірюванні деякої дуги меридіана та визначенні відповідного їй кута в центрі земної кулі, тобто різниці широт кінцевих точок цієї дуги. За цими вимірюваннями визначалася довжина дуги меридіана в один градус або довжина всього кола земної кулі. Звідси виник принцип вимірювання довжини дуги градуса меридіана або принцип градусного вимірювання, на якому були засновані всі подальші методи дослідження фігури Землі щодо її виду та розмірів.

В перших і подальших визначеннях розмірів Землі найбільш слабким місцем досліджень було вимірювання лінійної довжини дуги меридіана. Тодішня техніка вимірювання дозволяла вимірювати тільки короткі дуги меридіана, що в свою чергу при навіть незначних похибках у визначенні відповідного цій дузі центрального кута викликало значну похибку в довжині градуса меридіана та величині, земного радіуса. З застосуванням методу тріангуляції з'явилась принципова можливість визначати дуги меридіанів та паралелей будь-якої довжини з високю точністю.

Градусні вимірювання Пікара (1670 р.) остаточно закріпили перше правильне і науково обгрунтоване представлення про кулеподібність Землі. В той же час в областях фізики, механіки, астрономії нагромадились нові факти, які вимагали узагальнення. Наукове пояснення цих факпв привело до обгрунтування нового вчення про фігуру Землі.

Теоретично встановив сплюснутість фігури Землі в напрямі її полюсів Ньютон (1687 р.). Він, на основі закону всесвітнього тяжіння, прийшов до висновку, що фігура планети при не дуже швидкому обертанні повинна прийняти форму сфероїда або в простішому вилажу еліпсоїда обертання з незначним стисненням. Величина цього стиснення, за розрахунками Ньютона при умові, що Земля складається із однорідної ідеальної) рідини, склала 1:230. Разом з тим він розглядав і зміну форми фігури планети в залежності від зміни її розмірів, густини маси та швидкості обертання навколо своєї осі. Тим самим ним було вказано, що дослідження фігури Землі щодо її виду та розмірів є не тільки геометричною задачею, але пов'язано із вивченням її генезису, внутрішньої будови і умов обертання навколо своєї осі.

Цілий ряд геодезичних експедицій в різних широтах (1718, 1737, 1742 р.р.), а також теоретичні дослідження французького матеаматика Клеро (1743 р.) практично і теоритично підтвердили обгрутнтованість ідеї про сфероїдальнісіь Землі. Дослідження Клеро підтвердили, що фігура Землі зв'язана з її внутрішньою будовою і фізичним станом й маси. Він вказав на можливість визначення величини стиснення земного сфероїда, якщо задані розміри, швидкісіть обертання і внутрішня будова Землі. Клеро рйзширив доказ Ньютона про те, що фігурою рівноваги однорідної ідеальної рідини, що обертається, буде еліпсоїд обертання малого стиснення.

В своїх дослідженнях Клеро обгрунтував і загальний закон розподілу величин прискорення сили ваги на поверхні земного сфероїда. Він встановив зв'язок між стисненням земного сфероїда та розподілом сили ваги на його поверхні. Відповідні рівняння або теореми Клеро є теоретичною основою виводу стиснення фігури Землі за вимірюванням сили ваги на її поверхні.

На початку XIX ст. в багатьох країнах почали розвиватися астронамо-геодезичні робота з метою складання точних карт. При виконанні цих робіт приймалась до уваги і задача визначення розмірів Землі в новій її постановці.

Необхідно відмітити, що постановка задачі виводу розмірів земного еліпсоїда перш за все вимагала встановлення відповідного поняття або представлення про фігуру Землі, поскільки її фізична поверхня, що складається із поверхні материків та океанів, має значні "неправельності". Зрозуміло, що фізична поверхня Землі в межах материків з їх відносними підвищеннями та пониженнями не є поверхнею еліпсоїда обертання і не може бути виражена яким-небудь математичним рівнянням. Звідси виникла задача встановлення поняття і певного підбору математичної поверхні Землі.

Фазична поверхня Землі складається переважно із поверхні морів та океанів, зв'язаних між собою, що утворюють єдину водну масу - Світовий океан. Поверхня води Світового океану, як рідкої маси, що знаходиться тількіі під дією сили земного притягання та відцентрової сили обертання Землі, є однією із рівневих поверхонь потенціала сили ваги. Вона характеризується тією основною властивістю, що на ній потенціал прискорення сили ваги має повсюди одне і теж постійне значання, тобто в кожній її точці напрям нормалі до неї збігається з напрямом дії сили ваги або з прямовисною лінією. Якщо рівневу поверхню Світового океану продовжити під материками таким чином, щоб вона всюди перетинала напрям прямонисної лінії під прямим кутом, то тоді вийде деяка замкнута поверхня, яка і буде характеризувати математичну фігуру Землі.

Вказану основну властивість будь-якої рівневої поверхні можна виразити математичним рівнянням, представляючи відповідний її потенціал сили ваги функцією від координат її поточної точки та розподілу маси всередині Землі. В такому плані рівнева поверхня, що збігається з поверхнею Світового океану в стані рівноваги і відповідним чином продовжена під материками, є математичною поверхнею. Проте вид, або форма цієї поверхні залежить від розподілу сили ваги на ній або внутрішньої будови Землі.

В 1849 р. була опублікована робота відомого англійського математика Стокса, який вслід за Ньютоном і Клеро зробив значне узагальняння теорії про фігуру Землі. Зокрема, він поставив задачу- знайти рівневу поверхню, що повністю охоплює маси, за відомим силовим полем - і побудував формулу, що дає її розв'язок для випадку Землі малого стиснення, близької до еліпсоїда обертання.

Фізична поверхки Землі має дуже складну форму із-за сукупності різноманітних форм рельєфу і не може в цілому бути представлена точно якою небудь правильною математичною фігурою. В 1873 р. Лістінгом (J. Listing) було запропоновано вважати математичною фігурою Землі тіло, поверхня якого збігається із середнім рівнем води в морях та океанах і є рівневою. Така фігура дістала назву геоїда. В попередньому параграфі вже давалося поняття геоїда, як рівневої поверхні. Стандартизований термін геоїд -це фігура Землі, утворена рівневою поверхнею, що збігаеться з поверхнею Світового океану в стані цілковитого спокою та рівноваги, відповідно продовжена під материками (щоб напрями прямовисних ліній перетанали цю поверхню у всіх її точках під прямим кутом).

В приведеному вище понятті про геоїд є певна невизначеність, зв'язана з невизначеністю поняття про стан цілковитого спокою та рівноваги Світового океану. В дійсності Світовий океан знаходиться в стані безперервного руху, що постійно відхиляє його фізичну поверхню від деякої рівневої поверхні. Проте дані спостережень показуюїь, що різниці середніх рівнів океанів і морів порівняно незначні (1-1.5 м) і при дослідженні фігури Землі щодо форми та розмірів невизначеність середнього рівня Овітового океану не має особливого значення.

Отже, фігура геоїда є свого роду узагальненою або зглаженою фігурою дійсної Землі. Форму фігури геоїда можна визначити за резуяьтатами вимірювання сили ваги. Іншими даними для дослідження фігури геоїда є асірономічні спостереження, що дають напрям дії сили вага або прямовисної лінії в точках спостереження, та геодезичні вимірювання, що визначають взаємне положення цих точок в деякій системі координат. Ці вимірювання, що називаються ще градусними вимірюваннями, а також сучасні методи визначення місцеположення за допомогою супутникових систем дозволяють вирішувати задачу дослідження фігури геоїда.

Вивчення фігури геоїда щодо його виду та розмірів полягає у співставленні його з відомою фігурою порівняння. В цьому плані задачу вивчення фігури геоїда можна розділити на дві частини, котрі між собою тісно пов'язані і котрі тим не менше допустимо розглядати і розв'язувати окремо. В першу частину цієї задачі входить визначення виду і розмірів тієї фігури порівняння - аналітичної поверхні, яка правильно представляє загальну фігуру Землі в цілому, друга частина її полягає у визначенні залишкових відступів геоїда від вказаної фігури порівняння. Визначенням аналітичної поверхні за даними супутникових, астрономо-геодезичник і гравіметричних спостережень займається вища геодезія, а визначенням відхилень геоїда від знайденої поверхні - гравіметрія.

Можливість визначення відхилень геоїда від вибраної фігури порівняння починається з теоретичних робіт Стокса. Пізніше цілий ряд вчених розвинули теорію Стокса. Однією з основних передумов дослідження фігури геоїда та визначення елементів, що характеризують її земний еліпсоїд є необхідність проводити градусні вимірювання і вимірювання сили ваги безпосередньо на поверхні геоїда. Поскільки в дійсності ці вимірювання в межах суші проводяться на фізичній поверхні Землі, то звідси випливає задача приведення їх результатів до поверхні геоїда. Цю задачу називають ще редукційною. Детально ці питання розглядаються в курсі фізичної геодезії. Відмітимо лише, що для розв'язування ціеї задачі в строгій постановці необхідно знати розподіл сили ваги або розподіл густин всередині маси Землі (вище поверхні геоїда) тобто аналітичне продовження аномалій сили ваги від фізичної поверхні до поверхні геоїда. В загальному випадку густина мас над геоїдом є апріорі невідомою тому і виникають значні труднощі точного приведення результатів вимірювань до поверхні геоїда, а також труднощі дослідження фігури геоїда за цими вимірюваннями.

Альтернативне поняття фігури Землі у виді фізичної поверхні було введене Брунсом (1878 р.), але тільки Молоденським (1945 р.) розвинута теорія визначення безпосередньо фізичної поверхні Землі. Він показав, що фігура Землі щодо її виду та розмірів мже бути визначена на основі тільки тих даних, які отримують із вимірювань на її фізичній поверхні.

Вивчення фігури фізичнюї поверхні Землі також пов'язано з її узагальненням або згладжуванням шляхом виділення із неї відповідної "неправильної" або топографічної частини. Для цього Молоденський запропонував деяку допоміжну поверхню, дуже близьку до поверхні геоїда і названу ним квазігеоїдом. Визначення фігури квазігеоїда щодо її виду та розмірів за результатами вимірювань на фізичній поверхні Землі також базується на порівнянні її з відомою аналітичною поверхнею - земним еліпсоїдом.

При виводі розмірів земного еліпсоїда практично можна не рахуватися з різницею між геоїдом та квазігеоїдом, поскільки вона (1-2 м) не може мати великого значення при сучасній точності досліджень.

Отже, існують в основному три різні можливі поняття "фігура Землі": а) фізична або дійсна Земля - тверда і рідка частани Земі. Вона є надзвичайно нерегулярною навіть після деякого згладження. Згладжена поверхня піддається математичному опису після деякого усереднення в часі (геодинамічні ефекти); б) геоїд чи квазігеоїд;

в) Нормальна Земля або модель Землі. Найбільш простою матиматичною моделлю є еліпсоїд обертання - двоосний еліпсоїд; його інтенсивно використовують в практиці. В теоретичних дослідженнях застосовують також трьохосний еліпсоїд.

Фізичною моделлю Земш е гідростатична фігура рівноваги. Вона близька до елшпсоїдів, але не точню збігається з ними. Фізична модель Землі базуються на моделі внутрішньої будови і має застосування перш за все в геофізиці, хоча на сучасному етапі розвитку геодезії вона все більше виходить на передній план. На даний час найбільш широко використовуються модеді РRЕМ (Рreliminary Reference Earth Model). В вищій геодезії практично не роблять різниці між фігурою фізичною і поверхнею, що обмежує цю фігуру. Головна умова для Нормальної Землі або фігури порівняння - вона повинна найкращим чином представляти фігуру Землі як в геометричному плані так і в гравітаційному.

Приведемо ще декілька понять, що використовуються у вищій геодезії і, особливо, у сфероїдальній геодезії.

Геоїд за формою близький до сфероїда (тіло обертання близьке до кулі) з малим полярним стисненням і, зокрема, до найпростішого із сфероїдів - еліпсоїда обертання.

Земний сфероїд - це фігура, яку б прийняла Земля як пружно-в'язка планетарна маса, що знаходиться в стані гідростатичної рівноваги і під впливом тільки сил взаємного тяжіння її частинок і відцентрової сили її обертання навколо незмінної осі.

Земний еліпсоїд - це еліпсоїд, що характеризує фігуру та розміри Землі.

Еліпсоїд, що найбільш близько підходить до фігури Землі в цілому і центр якого збігається з центром мас Землі, називається загальним земним еліпсоїдом, а еліпсоїд, що нейбільш близько підходить до поверхні геоїда на певній території (в межах держави, репону чи кошиненту) і центр якого хоч і близько підходить, але не збігається з центром мас Землі називається референц-еліпсоїдом.

Отже, референц-еліпсоїд - це земний еліпсоїд, вісь яиаго паралельна осі загальноземного еліпсоїда, який найкращим чином характеризує частину земної поверхні, взятий для опрацювання геодезичних вимірів та встановлення системи геодезичних координат.

1.3 Системи координат, що застосовуються у вищій геодезії

Системи координат, що застосовуються в сучасній геодезії, можна розділити на групи: прямолінійні (двовимірні - на площині, тривимірні - в просторі); сферичні (двовимірні - на сфері, тривимірні - в просторі), еліпсоїдальні (двовимірні -на поверхні еліпсоїда, тривимірні - в просторі) тощо. Прямолінійні координати - двовимірні на площині - можуть буш полярними координатами на площині, а сферичні координати деколи називають полярними координатами в просторі. Вони можуть відрізнятися за формою, що задається, і бути: прямокутними і криволінійними. Але принципові відмінності систем координат обумовлюються вибором початку, основної координатної площини та головної осі координат.

Система координат, початок якої знаходиться в центрі мас Землі або близько нього, називається геоцентричною та квазігеоцентричною відповідно. Звідси, координати, зв'язані з загальноземним еліпсоїдом, будуть загальноземними і геоцентричними, а координати, зв'язані з вибраним референц-еліпсоїдом, - референцними і квазігеоцентричними. Якщо ж початок координат збігається з пунктом спостереження на земній поверхні (топоцентром), то систему координат називають топоцентричною.

В залежності від вибраної основної координатної площини розрізняють екваторіальну (екватор або площина, паралельна екватору), екліптичну (площина екліптики), горизонтну (площина місцевого горизонту) та орбітальну (площина орбіти небесного об'єкта) системи координат.

І, в залежносгі від вибраного напряму осей координат відносно точок простору, системи координат поділяють на: зоряні, якщо вони зорієнтовані за далекими зорями (вивчаються в курсі “Геодезична астрономія”), квазарні, якщо вони зорієнтовані за далекими природніми радіоджерелами (квазарами); земні, якщо вони зорієнтовані за нерухомими точками на земній поверхні.

Напрями осей вибраної системи координат в просторі можуть бути задані відносно характерних точок небесної сфери або земної поверхні. У відповідності з цим слід розрізняти системи координат, що не обертаються і що обертаються разом з Землею.

В геодезії широке застосування мають особливі системи зв'язаних з Землею координат, основні координатні площини та головні осі яких збігаються відповідно з площиною земного екватора і віссю обертання Землі, або є паралельними до них. В одній із цих систем координат положення точки земної поверхні характеризується компонентами напряму прямовисної лінії в цій точці відносно координатних площин або нерухомих зірок. Поскільки положення точки земної поверхні в цій системі координат, що обертається разом з Землею, може бути визначане безпосередньо із астрономічних спостережень в цій точці, то ця сама система координат називається астрономічною.

Отже, астрономічні координати - компоненти напряму прямовисної лінії в даній точці простору відносно площини перпендикулярної до осі обертання Землі та площини початкового астрономічного меридіана.

Фігура Землі, як було сказано вище, в загальному має сфероїдальний вид, то для побудови другої системи координат вона замінюється деяким еліпсоїдом обертання з відомими розмірами та заданим положенням в тілі Землі. Положення точок земної поверхні характеризується компонентами напрямів нормалей до поверхні прийнятого еліпсоїда в цих точках та їх висотами над поверхнею цього еліпсоїда. Поскільки згадувані характеристики положення точок в цій системі координат визначаються за результатами геодезичних спостережень, то сама система називається геодезичною.

Астрономічна і геодезична системи координат можуть бути задані у вигляді як прямолінійних прямокутних, так і еліпсоїдальних координат.

При заданні геодезичних координат в еліпсоїдальному виді паралелі та меридіани приймають за систему ортогональних координатних ліній на еліпсоїді, а за координати приймають кутові величини. Перейдемо до їх розгляду.

Приймемо один з меридіанів за початиовий. Тоді положення будь-якого другого меридіана буде визначатися двогранним кутом, утвореним площинами початкового та даного меридіанів. Цей кут має одну і ту ж величину для всіх точок даного меридіана і, відповідно, може бути прийнятий за координату для меридіана. Він позначається буквою L і називається геодезичною довготою.

Довготи, що відраховуються від площини початкового меридіана на схід (в полю проти руху годинникової стрілки) в межех від 0 до +180 називаються східними довготами, а на захід в межах від 0 до -180 -- західними довготами.

Отже, меридіан є координатна лінія, у всіх точках якої геодезична довгота має одну і ту ж величину (L=const). Відмітимо, що площина геодезичного меридіана проходить через нормаль до поверхні еліпсода Q₀ і вісь обертання еліпсоїда РОР₁ (рис. 1.1). 'Тобто, геодезичний мерідіан - слід перерізу земного еліпсоїда площиною, що проходить через нормаль до поверхні земного еліпсоїда в даній точці і його малу вісь.

Внаслідок симетричності поверхні еліпсоїда відносно меридіана пряма Q₀n буде перпиндикулярна одночасно до дотичної до мередіана і до дотичної до паралелі, відповідно вона перпендикулярна до дотичної площини в точці Q₀ .

Гострий кут, утворений нормаллю до поверхні еліпсоїда і площиною екватора, називається геодезичною широтою і позначається буквою В.

Геодезична широта відраховується від площини екватора в межах від 0 до ±90.Отже, паралель є координатна лінія, у всіх точках якої геодезична широта має одне і теж значення В=const.

Система геодезичних координат В і L представляє собою основну систему координат, яка дозволяє однозначно вивтчати положення будь-якої точки на поверхні еліпсоїда. Практичне значення її полягає в тому, що геодезичні координати В і L дуже відрізняються від астрономічних коордниат і (предмет вичення геодезичної астрономіі) Останні, як відомо, визначаються із астрономічних спостережень незалежно від геодезичних вимірювань. Відмітимо, що коли не проводять різниці між астрономічними та геодезичними координатами ( в дрібномасштабному картографуванні, особливих умовах розв'язувяння геодезичних задач, де не вимагається високої точності), то їм дають загальну географічні координати.

Положення точки Q (Q₀ є її проекцією) відносно поверхні еліпсоїда (див. рис. 1.1) визнанаеться геодезичною висотою Н. Відрізок нормалі QQ₀ називається геодезичною висотою. Геодезична висота відраховується від поверхні .земного елопсоїда в сторону збільшення висот.

Поскільки геодезичні координади В, L, Н прив'язані до поверхні еліпсоїда, то їх. ще називають еліпсоїдальними координатами.

Система геодезичних координат також може бути задана у виді просторових прямокутних координат X, Y, Z, початок якої суміщений з центром О еліпсоїда і основною площиною яких (XОY) служить площина його екватора. За координатну вісь Х приймаеться лінія перетину площин екватора еліпсоїда та відповідним чином вибраного геодезичного початкового меридіана, вісь Y розташована в площині екватора під кутом 90 від початкового меридіана і вісь Z няправлена на північ вздовж малої осі ОР еліпсоїда(рис. 1.1). Відмітимо, що положення початкового геодезичного меридіана відносно початкового астрономічного меридіана залежить від умов орієнтування еліпсоїда в тілі Землі.

Отже, ми отримаєм геоцентричну екваторіальну систему координат, яка приймає участь в добовому русі Землі та є нерухомою відносно точок земної поверхні.

Геодезичні координати пунктів земної поверхні можуть бути задані також в проекції еліпсоїда на площину, тобто плоскими прямокутними координатами ху. В геодезичному виробництві, як у нас в Україні,так і в багатьох інших країнах, найбільш широко застосовується система плоских прямокутних координат Гауса-Крюгера. В основі цих координат лежить проекція, яку розробив німецький вчений К.Гаусс (1825-30 р.р.) і для якої австрійський геодезист Л.Крюгер (1912 р.) дав робочі формули, довівши проекцію до практичного застосування. Це рівнокутна (конформна) поперечно-циліндрична проекція. Її й прийнято в даному випадку для зображення поверхні еліпсоїда на площину.

Якщо будь-яка точка на еліпсоїді, наприклад пункт геодезичної мережі, має координати B і L, то, використовуючи властивості проекції, можна за цими даними визначити для цієї точки плоскі прямокутні координати х і у та навпаки. Детальніше дану систему координат буде розглянуто при вивченні розділу "Плоскі конформні

Системи просторових еліпсоїдальних координат В, L, Н, просторових прямолінійних прямокутних ноорданат X, У, Z, а також плоских прямокутних координат х, у складають геодезичну систему координат. В класичній геодезичній літературі, під суто геодезичними, традиційно вважається система поверхневих еліпсоїдальних координат В, L, що склалася як першооснова геодезичної системи координат. Такої традиції ми будемо дотримуватися в подальших викладах і це не повинно бути причиною якогось непорозуміння.

Геодезична система коорданат знаходить широке застосування в теоретичних дослідженях та практичних роботах в геодезії, топографії і картографії, поскільки вона об'єднує дані геодезії, топографічних знімань і картографування всієї поверхні Землі. Вона визначається також положенням центра мас, осі обертання та екватора Землі, а також нормаллю до земного еліпсоїда, що є надзвичайно зручним для вивчення фізичної фігури Землі і геоїда відносно земного еліпсоїда, визначення висот та розв'язку інших наукових і практичних задач.

1.4 Основи теорії поверхонь

Геометрію земного еліпсоїда можна розглядати як один із спеціальних розділів теорії поверхонь. Тому в даній книзі багато питань базується на основі цієї теорії. Приведемо найбільш необхідні відомості із теорії поверхонь.

Теорію поверхонь слід розглядати із двох сторін: внутрішньої геометрії поверхні та зовнішньої геометрії. З позиції першої розглядаються властивості, інваріантні відносно викривлення поверхні, а з другої - властивості, інваріантні відносно групи рухів в просторі. Однією з основних задач сфероїдальної геодезії є вивчення внутрішньої геометрії поверхні земного еліпсоїда.

Сукупність таких властивостей поверхні та фігур на ній, які не змінюються при викривленні поверхні, називається внутрішньою геометрією поверхні.

Викривленням називається таке перетворення поверхні, при якому довжини всіх ліній, що лежать на цій поверхні, зберігаються.

Накладення однієї поверхні на другу після викривлення називається розгортанням першої поверхні на другу.

Поскільки основна увага нами буде звернута на вивчення кривих на поверхні, нагадаємо основні визначення, що відносяться до кривих. Плоскі криві

Рівняння кривої можна задати в наявному виді F(х,у)=0, в явному виді: у=f(х), в параметричному виді x=x(u), y=y(u),u параметр. В залежності від виду заданої кривої диференціал дуги знаходять із виразів:

, де (1.1)

, де

Кривиною К плоскої кривої в даній точці Q називається границя відношення кута між дотичними в двох суміжних точках Q₁ і Q₂ до дуги кривої між цими точками при зменшенні дуги до нескінченно малих розмірів.

Радіусом кривини R вданій точці називається величина, обернена кривині

Кривина та радіус кривини плоскої кривої визначаються за формулами:

, де

Та

, де

Просторові криві.

Рівняння просторової кривої в параметричному виді

х=х(и), у=у(и), , де u - параметр.

Диференціал дуги просторової кривої

В кожній точці, Q просторової кривої визначаються три прямі і три площини, що взаємно перетинаються в т.Q під прямими кутами (рис .1.3).

Прямі. Дотична, що є граничним положенням січної. Головна нормаль - перетин нормальної і стичної площин, бінормаль- пряма, перпендикулярна до стичної площини Площини. Нормальна площина - площина, перпендикулярна до дотичної. Стична площина--граничне положення площини, що проходить через три близькі .точки кривої Q₁Q₂ та Q₃ коли Q₁ Q₂ і Q₃ Q₂ (рис-1.х). Спрямна площина - площина, що містить дотичну і бінормаль.

Кривиною просторової кривої в даній точці називається числова характеристика відхилення кривої від прямої лінії в області даної точки кривої, її обчислюють за формулою

Крученням просторової кривої в даній точці називається числова характеристика відхилення просторової кривої від плоскої кривої в області даної точки.

Поверхні. Рівняння поверхні задається наступними формами;

F(х, у, z)=0 - неявна

z = f(x, у) - явна

x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(и, v) -параметрична.

Диференціал дуги або лінійний елемент поверхні

(1.4)

Праву частину рівняння (1.4) називають першою квадратичною формою поверхні. Коефіцієнти E, F, G, що є функціями координат u та v, залежать тільки від положеня: точки на поверхні. Через дані коефіцієнти можна виразити також кут між кривими та площі фігур, тобто перша квадратична форма визначає метрику поверхні. При вигинанні поверхні без розтягів та розривів її рівняння звичайно змінюється, але метрика залишиться тією ж, тобто перша квадратична форма при вигинанні поверхні зберігається.

В сфероїдальній геодезії застосовується ортогональна система криволінійних параметричних координат, які утворюють на поверхні прямокутну сітку координат. В такому випадку рівняння (1.4) прийме наступний вид:

(1.5)

Позначивши отримаєм

(1.6)

Криволінійні координати (t,v) називаються ізометричними координатами.

Важливе значення у сфероїдальній геодезії мають нормальні перерізи. Вони отримуються від перетину поверхні площиною, що проходить через нормаль поверхні. Такі. площини, як було вже вище сказано, називаються нормальними.

В теорії поверхонь доказується, що всі криві на поверхні, які проходять через задану точку в одному і тому ж напрямі (тобто які мають спільну дотичну) і які мають спільну стичну площину, мають в цій точці одинакову кривину К . Відповідно, кривина довільної кривої рівна, кривині плоского перерізу, що є слідом перетину поверхні стичною площиною даної кривої.

Якщо позначити радіус кривини кривої, у якої головна нормаль збігаеться з нормаллю до поверхні через й R₀ , тоді радіус кривини якої завгодно кривої на поверхні буде визначатися згідно формули:

...