0.5274930109

44^o5851.4

0.3921300894

54^o3809.2

0.5006723363

5.04936046 10^-3

0.528150487

44^o5959.9198

0.39245932425

54^o3841.468

0.50083858894

5.048238469 10^-3

0.5281512576

44^o5959.9999

0.3924597101

54^o3841.5063

0.500838783445

5.0482371565 10^-3

0.5281512585

45^o0000.0000

0.3924597106

54^o3841.5063

0.50083878367

5.048237155 10^-3

3.6.5 Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач на поверхні еліпсоїда на основі чисельного методу (формул Рунге-Кутта)

а) алгоритм

Алгоритм розв'язування приведений для випадку, коли можна виконати інтегрування зразу по всій довжині геодезичної лінії (до 100 км) без поділу її на частини, тобто h=s.

Пряма геодезична задача

Обернена геодезична задача

алгоритм оберненої геодезичної задачі на поверхні сфери:

за величинами B₁,L₁, S', A₁' розв'язують пряму геодезичну задачу на поверхні еліпсоїда (див. її алгоритм) і знаходять B₂',L₂',A₂';

за різницями координат B=B₂-B₂',

L=L₂ - L₂' з допомогою диференційних формул

уточнюють значення довжини лінії та азимута

з новими значеннями та знову переходять до розв'язування прямої геодезичної задачі і дальше за алгоритмом. Критерієм закінчення обчислень служить умова:

в разі виконання поставленої умови отримують остаточні значення A₁, A₂, s.

б) числовий приклад

Для еліпсоїда Красовського:

Вихідні дані:

Пряма геодезична задача

Позначення	Числові значення
k11 k21 k31 k12 k22 k32 k13 k23 k33 k14 k24 k34 B2 L2 A2	0.00665714 0.01032792 0.00791165 0.00663054 0.01040993 0.00799670 0.00663025 0.01041021 0.00799682 0.00660326 0.01049310 0.00808272 50o22'47.60412” 24o35'47.26145” 225o27'29.480”

Обернена геодезична задача

Обернена геодезична задача на сфері
s' A1'	60202.28 44o55'15”
Пряма геодезична задача на еліпсоїді	Диференційні формули
B2' L2' A2'	50o22'54.1097” 24o35'51.6089” -	dS dA	-202.321 284.29”
		s=s'+dS A1=A1'+dA	59999.958 44o59'59.823”
B2' L2' A2'	50o22'47.6044” 24o35'47.2581” -	dS dA	0.041 0.1768”
		s=s'+dS A1=A1'+dA	59999.999 45o00'00”
B2' L2' A2'	50o22'47.6041” 24o35'47.2614” 225o27'29.479”	dS dA	0 0
		s=s'+dS A1=A1'+dA	59999.999 45o00'00”
A1 A2 s	45o00'00” 225o27'29.479” 59999.999 м

3.6.6 Алгоритм та числовий приклад розв'язування прямої та оберненої геодезичних задач в просторі

числовий приклад

Для еліпсоїда Красовського:

Вихідні дані:

Пряма геодезична задача

B₁=49^o50'11.4596, L₁=24^o00'17.1502, H₁=385.471 м,

D=22488.169 м, Z₁₂=89^o18'16.2, A₁₂=191^o49'06.17.

Позна-чення	Числові значення
X1 Y1 Z1 N1	3765581.0974 1676919.8946 4851460.8641 6390748.0870
A1
	-22009.8372 -4605.4640 272.9719
X2 Y2 Z2	3782980.8262 1679626.9919 4837473.7697
B21 B22 B23 B24 B25	49026'55.23035 49 38 21.75402 49 38 19.07969 49 38 19.09012 49 38 19.09011
B2 L2 H2	49o 38' 19.0901 23o 56' 27.6445 698.106 м

Обернена геодезична задача

B₁=49^o50'11.4596”, L₁=24^o00'17.1502”, H₁=385.471 м,

B₂=49^o38'19.0901”, L₂=23^o56'27.6445”, H₂=698.106 м.

Позна-чення	Числові значення
N1 X1 Y1 Z1	6390748.0870 3765581.0974 1676919.8946 4851460.8641
A1
N2 X2 Y2 Z2	6390674.9433 3782980.8262 1679626.9919 4837473.7697
A2
	22012.6598 4586.5499 -352.2965
	-22009.8372 -4605.4640 272.9719
D	22488.169 м
z12 z21 A12 A21	89o18'16.2 90o53'51.4 191o49'06.17 11o46'11.04

Розділ 4. Плоскі прямокутні координати Гаусса-Крюгера

4.1 Плоскі координати в геодезії

Система координат і математична обробка матеріалів обмежених за територією геодезичних мереж, що прокладаються для геодезичного забезпечення інженерно-технічних, сільськогосподарських чи будь-яких інших видів робіт, повинні бути найбільш простими. Для інженерно-геодезичних робіт не є доцільним застосування системи геодезичних координат, не зважаючи на те, що вона є єдиною для всієї поверхні земного еліпсоїда, поскільки її координати отримуються шляхом досить складних обчислень і до того в дуговій мірі, а лінійні значення дугових одиниць змінюються зі зміною широти місця. Не кращий варіант є застосування для вказаних цілей просторових прямокутних координат. Найбільш простою є прямокутна система координат на площині, яка, однак, з поверхнею земного еліпсоїда безпосередньо не зв'язана. Як відомо, тільки досить незначні ділянки земної поверхні (радіусом 5-15 км) можна приймати за площину, а для більших територій застосування плоских прямокутних координат можливе лише через проектування частин поверхні земного еліпсоїда на площину. Тому вибір проекції для перенесення геодезичних побудов з еліпсоїда на площину становить теоретично і практично важливу задачу для геодезії.

Проекції земного еліпсоїда на площині, що приймаються для перенесення і опрацювання результатів геодезичних вимірювань, називаються геодезичними проекціями.

4.2 Загальні відомості про геодезичні проекції

На відміну від картографічних проекцій, при яких головна задача полягає в зображенні земної поверхні на папері (площині) в виді карт, геодезичні проекції дають методи точного перенесення елементів поверхні еліпсоїда (ліній, кутів) на площину, тобто між поверхнею еліпсоїда та площиною встановлюється такого роду відповідність, коли кожній точці поверхні еліпсоїда відповідає одна і тільки одна точка площини, причому при неперервному русі точки по поверхні еліпсоїда відповідна їй точка на площині переміщується теж неперервно.

Загальні формули цього роду відповідності між поверхнею еліпсоїда та площиною або загальні формули геодезичних проекцій можуть бути написані в наступному виді

(4.1)

де і - геодезичні координати, широта і довгота, що визначають положення точки на поверхні еліпсоїда, та - декартові (прямокутні) координати точки на площині, а і - довільні функції, неперервні в області (- довгота, яка відрахована від деякого меридіана (), прийнятого за початковий).

Очевидно, що формули (4.1) є загальними формулами переходу від геодезичних координат до прямокутних плоских. На практиці до функцій і ставлять вимоги, щоб при будь-яких значеннях і в заданій області поверхні еліпсоїда мати цілком визначені як за знаком так і за величиною числа для та для.

Поверхня еліпсоїда не відноситься до числа тих поверхонь, які зображуються на площині без спотворень. Тому і проекція еліпсоїда на площину, що описується рівняннями (4.1) буде мати спотворення кутів та ліній. Існують проекції, що зберігають кути, але спотворюють довжини ліній і площі (фігури), проекції, що зберігають площі, але спотворюють довжини ліній і кути, і проекції, що спотворюють і довжини ліній, і кути, і площі. Розподіл спотворень залежить від виду функцій і. Величина спотворень визначається розмірами тієї області поверхні еліпсоїда , яка зображується на площині, причому в деяких випадках спотворення можуть бути і дуже значними. Поскільки мова йде про геодезичні проекції, то такі випадки не розглядаються.

Геодезичні побудови, як правило, створюються шляхом виміру кутів геометричних фігур, а лінійні виміри виконуються, наприклад, в тріангуляції тільки щоб задати масштаб мережі.

Якщо координати опорних геодезичних пунктів задані в проекції, то графічні матеріали знімань виходять теж в проекції і тільки їх числові дані в виді безпосередньо виміряних довжин сторін і кутів знімальних ходів треба виправляти за перехід до проекції. Викладеним і обгрунтовується умова: кути (при перенесенні їх з еліпсоїда на площину проекції) повинні зберігати свої величини, а враховуватись повинні лише спотворення довжин ліній.

Такі проекції, в яких відсутні кутові спотворення, називаються конформними (рівнокутними).

Неминучі спотворення фігур при переході з еліпсоїда на площину в будь-якій проекції будуть зростати із збільшенням розмірів частини поверхні еліпсоїда, що зображується на площині. В геодезичних роботах, що проводяться переважно на значних територіях і з високою точністю, виникає необхідність враховувати ці спотворення.

Відсутність кутових спотворень не є головною перевагою конформних проекцій перед неконформними, адже геодезичні лінії еліпсоїда, що зображуються на площині, мають вигляд кривих, які в практиці геодезичних робіт використати досить трудно. Тому зображення геодезичної лінії на площині замінюють прямою лінією - хордою, яка з'єднує кінцеві точки цього зображення. Звідси виникає додаткова задача в конформних проекціях - визначення кута між зображенням геодезичної лінії та хорди, який називають поправкою за кривину зображення геодезичної лінії на площині.

Границя відношення довжини відрізка на площині до довжини відповідного йому відрізка на еліпсоїді, коли довжина останнього стрімко наближається до нуля, називається масштабом зображення. Його можна визначити як відношення нескінчено малого переміщення точки на еліпсоїді до відповідного переміщення точки на площині (див. рис. 4.1):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.4.1

Масштаб, в загальному випадку, буде величиною, яка змінюється як при переході від однієї точки до другої, так і при зміні напряму в одній і тій же точці. Іншими словами, в загальному випадку масштаб буде функцією положення точки, тобто її координат і азимута. Поскільки в конформних проекціях зберігаються подібність нескінченно малих фігур, то масштаб є постійним в нескінченно малій області навколо точки. Це означає, що в конформних проекціях масштаб зображення в кожній даній точці не залежить від напряму лінійного елемента.

Із загального числа конформних проекцій ми розглянемо детально тільки проекцію Гаусса-Крюгера, яка найбільш широко використовується в практиці геодезичних і топографічних робіт багатьох країн.

Проекція Гаусса-Крюгера, яка отримала широке розповсюдження на початку 20-х років ХХ ст., була розроблена і впроваджена в практику Гауссом ще в 1820-30 р.р. при зніманні території ганноверського герцогства. Проте Гаусс цю свою роботу не опублікував; лише в 1866 р. теорію проекції Гаусса опублікував Шрейбер. В 1912 і 1919 р.р. австрійський геодезист Крюгер дав детальний виклад теорії проекції Гаусса з розробкою робочих формул. До речі, тодішня Австро-Угорщина була першою країною, яка запровадила проекцію Гаусса, і яку пізніше стали називати проекцією Гаусса-Крюгера.

Універсальна поперечна проекція Меркатора UTM (Universal Transverse Mercator projection), яка має застосування, головним чином, в західних (англомовних) країнах, особливо в США - просто інша версія проекції Гаусса-Крюгера; відрізняється від неї практично лише тим, що масштаб зображення вздовж осьового меридіана приймають рівним не одиниці, а 0.9996.

4.2 Основні рівняння конформної проекції Гаусса

Як вже було зазначено, в теорії геодезичних проекцій основним є встановлення взаємнооднозначної точкової відповідності між поверхнями земного еліпсоїда і площини таким чином, щоб відповідні кути геометричних фігур еліпсоїда і площини були рівними, а сторони пропорційними. Вказана відповідність визначається законом перетворення заданих геодезичних координат B,L в координати x,y на площині, чи навпаки. Загальні рівняння точкової відповідності можуть бути виражені функціональними залежностями (4.1).

При конформному зображені функції (4.1) повинні задовільняти умовам конформності. Розглянемо коротко ці умови.

Нехай точка А' є зображенням на площині деякої точки на еліпсоїді А (рис.4.2). Дуги A'B' і A'C' - зображення диференціала дуги меридіана та дуги паралелі відповідно.

Кут є кутом повороту конформного зображення як меридіана, так і паралелі відносно прямолінійних координатних ліній на площині. Цей кут носить назву з б л и ж е н н я м е р и д і а н і в на площині.

Із подібних трикутників A'B'B” і A'C'C” можемо записати

Згідно формули (4.2) для масштабу m отримаємо

,

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.4.2

Для зображення диференціалів дуг меридіана і паралелі напишемо повні диференціали плоских прямокутних координат на основі рівнянь (4.1)

Застосувавши ці рівняння для зображення диференціала дуги меридіана , отримаємо

Аналогічно для зображення диференціала дуги паралелі , отримаємо

Підставимо значення сторін, що визначаються виразами (ІІ), (ІІІ) і (IV) в рівняння (І). Отримаємо

Із наведених співвідношень отримаємо диференційні рівняння

Диференційні рівняння (4.3) є тими умовами, які повинні задовільняти функції (4.1) при конформному зображенні еліпсоїда на площині.

Як вже було зазначено, точкова відповідність між поверхнею еліпсоїда і площиною повинна бути взаємною, тобто повинні існувати і зворотні функції

 (4.6)

що дозволять перейти від плоских прямокутних координат до геодезичних .

Умови, яким повинні задовільняти ці функції при конформному зображенні, визначаються наступними диференційними рівняннями

(4.7)

Відповідно, зближення меридіанів і масштаб зображення будуть визначатися наступними формулами

Рівняння (4.3) і (4.7) - основні рівняння конформного перетворення координат. Інтегрування їх виконується при початкових умовах, які задаються при зображенні еліпсоїда на площині чи навпаки.

В проекції Гаусса осьовий меридіан зображується прямою лінією, що приймається за вісь з масштабом m=1, тобто для точок осьового меридіана абсциси рівні дугам меридіана від екватора, а ординати - нулю. Якщо позначити дуги меридіана від екватора до точки заданої широти через X, то для точок осьового меридіана при l=0 отримаємо

Крім того, додатнім значенням l повинні відповідати додатні значення y і від'ємним l - від'ємні y; додатнім і від'ємним l відповідають тільки додатні значення x (для північної півкулі Землі). Ці умови і визначають проекцію Гаусса.

4.4 Перетворення полярних координат

Одне із застосувань геодезичної лінії полягає в тому, що з її участю можна на поверхні еліпсоїда створити систему координат, в якій положення пунктів визначається довжиною геодезичної лінії та кутом, що відраховується від заданого вихідного напряму. Якщо цей напрям збігається з меридіаном, то друга координата - кут, буде азимутом геодезичної лінії -. Така система координат на еліпсоїді, аналогічна полярній системі координат на площині (довжина прямолінійного відрізка та дирекційний кут), називається п о л я р н о ю г е о д е з и ч н о ю.

Поскільки математичне опрацювання результатів геодезичних вимірювань значно простіше виконується на площині, ніж на еліпсоїді, то необхідно здійснити перетворення систем полярних координат, тобто знайти формули переходу від полярних координат і на еліпсоїді до відповідних їм координатам і на площині.

Нехай меридіан, що проходить через т. (рис.4.3 а)); дотична до еліпсоїда і паралельна площині осьового меридіана. Кут між напрямом меридіана і дотичною називається геодезичним зближенням меридіанів в т.. Кут в т. між напрямом меридіана і геодезичною лінією є геодезичний азимут А₁₂ цієї лінії; кут в т. між напрямом дотичної і напрямом геодезичної лінії є геодезичний дирекційний кут ₁₂. Для поверхні еліпсоїда має місце очевидна рівність .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.3

На рис. 4.3 б) : точки q₁ і q₂ зображення точок Q₁ і Q₂ поверхні еліпсоїда; ор вісь абсцис, зображення осьового меридіана ОР; q₁n зображення меридіана Q₁P; крива q₁q₂ зображення геодезичної лінії Q₁Q₂, d хорда, що стягує цю криву між точками q₁ і q₂. Кут між координатною лінією y = const і зображенням меридіана q₁n називається зближенням меридіанів на площині; відраховується він від лінії y = const, тобто лінії, паралельної осі абсцис, в напрямі проти ходу годинникової стрілки. Напрямний кут ₁₂, відрахований від координатної лінії у = const за годинниковою стрілкою до заданого напряму до хорди q₁q₂ називається дирекційним кутом на площині. Кут ₁₂ між дотичною до кривої q₁q₂ в т. q₁ і хордою d називається поправкою за кривину зображення геодезичної лінії на площині або р е д у к ц і є ю н а п р я м у; відраховується він від дотичної до кривої за ходом годинникової стрілки до хорди. На площині має місце рівність

. (4.11)

Згідно формули (4.2) для визначення довжини кривої S (зображення геодезичної лінії на площині) необхідно знайти інтеграл

Якщо позначити різницю довжин кривої S та її хорди d через

Поправки і залежать від довжини кривої S та її кривини і є поправками за кривину зображення геодезичної лінії, причому перша з них вводиться в напрям лінії S, а друга - в її довжину. В загальному випадку ці залежності складні, але для редукційних задач геодезії, що виникають при переході з еліпсоїда на площину, можна вивести наближені формули, які цілком задовільняють практичні вимоги.

4.5 Формули проекції Гаусса-Крюгера

4.5.1 Формули для обчислення координат

а) плоских прямокутних за геодезичними

При малій величині різниці довгот залежність між плоскими прямокутними координатами і геодезичними координатами для симетричних проекцій, якою є проекція Гаусса-Крюгера можна представити у вигляді

Характерною особливістю рівнянь (4.15) є залежність абсциси від членів парної степені різниці довгот, а ординати - тільки від непарної степені цієї різниці. Такі рівняння ще називають рівняннями симетричних проекцій. Для таких проекцій дві точки еліпсоїда, що мають одинакову широту і одинакову за абсолютною величиною різницю довгот, після їх зображення на площині будуть мати одинакову абсцису та одинакову за абсолютною величиною ординату.

Знайдемо значення коефіцієнтів рівнянь (4.15).

Поскільки проекція має бути конформною, то поставимо вимогу, щоб рівняння зображення (4.15) задовільняли умови конформного зображення (4.3).

З цих формул видно, що для отримання кожного наступного коефіцієнта необхідно знайти похідну попереднього коефіцієнта.

Довжину дуги меридіана X від екватора до даної точки з широтою B можна обчислити за формулою (2.50)

де коефіцієнти A₀,A₂,A₄,A₆, що визначаються через параметри прийнятого еліпсоїда (див. ф-лу (2.50), для еліпсоїда Красовського мають наступні значення:

(4.18)

Формули (4.15) разом з (4.16)-(4.18) мають високу точність (до 0.001 м в і ) та можуть застосовуватись для різниці довгот, тобто для системи шестиградусних зон. Щодо триградусних зон, то ці формули можна спростити, а саме: в формулі для x можна не враховувати члени з та, а для y - члени з та

Якщо виникає необхідність обчислення координат і з меншою точністю, наприклад, до 1 м, то формули (4.19) з врахуванням коефіцієнтів для еліпсоїда Красовського можна спростити, а саме

(4.19')

Відмітимо, що у наведених формулах координати і отримуємо в метрах, а аргументи при цьому потрібно виразити в радіанах.

б) геодезичних за плоскими прямокутними

Щоб отримати формули для обчислення геодезичних координат за плоскими прямокутними координатами, представимо функції (4.6) у вигляді рядів за степенями ординати, вважаючи її малою величиною. Для симетричних проекцій зображень ці ряди будуть мати вигляд

Всі коефіцієнти в цих рядах є функціями тільки абсциси.

Як видно із формул (4.20) і рис.4.4, при величина є широтою точки (рис.4.4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.4.4

Плоскими прямокутними координатами точки є, а геодезичними -.

Поскільки абсциса цієї точки рівна довжині дуги меридіана, то широту можна знайти як функцію довжини дуги меридіана на основі формули (2.56)

де коефіцієнти для еліпсоїда Красовського будуть мати наступні значення

а коефіцієнти рядів (4.20) будуть тоді функціями широти.

Перейдемо до визначення коефіцієнтів в рядах (4.20). Підставимо в рівняння (4.7) часткові похідні рядів (4.20), де замість аргумента будем брати аргумент. Тоді отримаємо

Із порівняння між собою в цих рівностях коефіцієнтів при одинакових степенях, знайдемо

Для знаходження всіх необхідних коефіцієнтів застосовуємо послідовне диференціювання по довжині дуги меридіана , враховуючи при цьому, що

Остаточні значення коефіцієнтів рядів (4.20) мають наступний вигляд

(4.21)

Обчислені таким чином геодезичні координати будуть виражені в радіанній мірі. Точність цих формул така, що вони забезпечують в координатах при розміщені точки на краю шестиградусної зони.

4.5.2 Формули для обчислення зближення меридіанів

Для визначення зближення меридіанів скористаємось другою формулою (4.4)

часткові похідні в якій знайдемо на основі формул (4.15). Отримаємо

Підставивши значення похідних у (4.22), отримаємо

Значення коефіцієнтів даються виразами (4.16), підставивши які в (4.23) і виконавши елементарні математичні перетворення, остаточно отримаємо

Аналогічним чином можна знайти вираз для обчислення зближення меридіанів за плоскими прямокутними координатами, тільки при цьому за вихідну беруть другу формулу (4.8)

Приведемо остаточну формулу для зближення меридіанів у функції плоских прямокутних координат

У формулах (4.24) і (4.25) не враховано члени з. Точність приведених формул забезпечує обчислення в.

Знак зближення меридіанів співпадає зі знаком різниці довгот або знаком, тобто для точок, які розташовані на схід від осьового меридіану, зближення меридіанів завжди буде додатнім, а на захід від нього - від'ємним.

4.5.3 Формули для обчислення масштабу проекції

Для знаходження формули масштабу зображення скористаємось формулою (4.5), яку представимо у вигляді

Вирази для часткових похідних нами вже отримано - ф-ли (4.22'). Підставивши квадрати цих виразів у (4.26) і додавши їх, отримаємо

В цій формулі збережено члени порядку. З врахуванням виразів для (без сфероїдних членів при) та простих алгебраїчних перетворень остаточно знаходимо

Як видно із даної формули, при, тобто на осьовому меридіані, масштаб проекції рівний одиниці. При віддалені від осьового меридіана на схід і на захід значення масштабу швидко зростає.

Для отримання формули масштабу зображення у функції плоских прямокутних координат скористаємось другою формулою (4.19), яку, з прийнятими вище обмеженнями, запишемо

Застосовуючи формули обертання ряду для, знайдемо

З врахуванням останніх двох виразів формулу (4.27) можна записати у наступному вигляді

 (4.28)

Оскільки

де - середній радіус кривини еліпсоїда, то остаточно отримаємо

Масштаб зображення є дуже важливою характеристикою конформної проекції. Згідно формули (4.28) або (4.29) можна встановити величини і розподіл лінійних спотворень при переході з еліпсоїда на площину. Так легко замітити, що із збільшенням ординати лінійні спотворення зростають пропорційно ; постійному значенню ординати відповідає практично постійна величина масштабу . Величина радіуса

із зміною широти змінюється звісно, але досить незначно. Тому лінії рівних спотворень довжин в проекції Гаусса-Крюгера розташовуються практично паралельно осі абсцис на всій смузі проекції від екватора до полюса, а звідси виходить, що проекцію Гаусса-Крюгера найбільш оптимально застосовувати для зображення смуги, яка витягнута на еліпсоїді з півдня на північ. Межами такої смуги служать лінії рівних спотворень довжин .

4.5.4 Формули для редукування напрямів і відстаней

Під редукуванням напрямів і відстаней розуміють перехід від напрямів і довжин геодезичних ліній на еліпсоїді до відповідних їм величин на площині. Редукція напрямів полягає у визначенні поправки за кривину зображення геодезичної лінії на площині, а редукція відстаней - знаходженні різниці довжини геодезичної лінії та хорди зображення геодезичної лінії. Після введення цих редукцій у виміряні величини, які приведені на поверхню еліпсоїда, ми отримаємо геодезичну мережу, редуковану з еліпсоїда на площину.

На практиці редукування мережі 1-го класу на площину проводиться тільки в окремих випадках і не має широкого розповсюдження, тому при виводі формул будемо орієнтуватися на мережі нижчих (2-4) класів.

Для редукування напрямів вважатимемо, що AB є геодезичною лінією на поверхні еліпсоїда в складі деякої замкнутої геодезичної фігури ABDC (рис. 4.5.б).

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) б)

Рис.4.5

Нехай геодезична лінія AB зображена на площині в виді кривої (рис. 4.5.а). Кути в точках і між дотичними до кривої і хордою позначимо через і . Координати точок і позначимо через і . Нехай точки і є основами ординат точок і відповідно. Із-за конформності проекції фігури ABCD і A'B'C'D' будуть подібними, а відповідні кути у них рівними. Суми внутрішніх кутів складуть:

на еліпсоїді ;

на площині .

Значить, , тобто сферичний надлишок рівний сумі поправок взаємнообернених напрямів. Як відомо (див. розділ 3), сферичний надлишок визначається формулою

де - площа фігури A'B'C'D'; .

Тоді

Приймаючи наближено, , отримуємо

. (4.30)

На практиці потрібно знати не тільки величину кута для даного напряму, але і як ввести його в цей напрям, щоб перейти на площині від кривих ліній до їхніх хорд. Оскільки відрахування кутів ведеться за ходом годинникової стрілки, то із рис. 4.5.а) легко видно, що для переходу від напряму до хорди кут при точці потрібно відняти від напряму , а при точці - додати до напряму . Отже, поправки і у взаємні напрями мають протилежні знаки:

(4.31)

Формулами (4.31) користуються для редукування напрямів в тріангуляції 3 класу і нижче.

Поправки за редукцію алгебраїчно віднімаються від виміряних напрямів.

Значення редукованих плоских кутів A',B' і C' за виміряними на фізичній поверхні і приведеними на еліпсоїд кутами A,B і C трикутника ABC отримують наступним чином

Сума поправок за редукцію кутів трикутника рівна його сферичному надлишку з оберненим знаком, що служить контролем обчислення та . Справді,

В тріангуляції 2-го класу для обчислення поправок за кривину зображення геодезичних ліній застосовують більш точні формули, які приведемо без доведення

(4.32)

де - середній радіус кривини, обчислений за широтою середньої точки заданої геодезичної лінії.

Як видно з наведених формул, для обчислення редукцій повинні бути відомі плоскі прямокутні координати початкового і кінцевого пунктів. Визначимо необхідну точність цих координат. Для цього достатньо дослідити формулу (4.30). Продиференціювавши дану формулу за координатами і , знаходимо

.

Позначивши , отримаємо

.

Нехай:

для тріангуляції 2-го класу км (на краю шестиградусної зони); км, тоді м;

для тріангуляції 3-го класу км; км, тоді м.

Стосовно опрацювання кутомірних вимірювань нижчих класів (розрядів), то поправки за кривину (в межах шестиградусних зон) можна обчислювати за наближеною формулою:

,

а наближені координати пунктів можна вибрати із карти або схеми геодезичної мережі.

Нижче наводиться таблиця абсолютних величин поправок (редукцій) за кривину зображення геодезичної лінії для різних значень та

Таблиця 4.1

км ,км	50	100	150	200	250
5	0.6”	1.2”	1.9”	2.5”	3.2”
10	1.3”	2.5”	3.8”	5.1”	6.4”
20	2.5”	5.0”	7.7”	10.1”	12.6”

Як видно із таблиці 4.1, в знімальних мережах (км) поправками за кривину, через їх незначні величини, в порівнянні з похибками вимірювання кутів, можна нехтувати.

Перед виводом формул для редукцій відстаней розглянемо спочатку питання про різницю в довжинах зображення дуги геодезичної лінії на площині та хорди , шо стягує цю дугу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Із (4.12) можемо записати інтеграл

, (4.33)

де масштаб визначається формулою (4.29).

Знайти інтеграл (4.33) в замкнутій формі надзвичайно трудно, поскільки масштаб зображення є досить складною функцією довжини геодезичної лінії. Проте такі фактори як порівняно невелика довжина геодезичної лінії (<30 км) і незначне віддалення від осьового меридіану () спрощують задачу знаходження інтегралу (4.33), і її розв'язання можна буде шукати наближеними методами.

Одним із наближених методів обчислення вказаних означених інтегралів є чисельний метод. Конкретно для даного випадку можна застосувати формулу Сімпсона, розділивши інтервал інтегрування на дві частини. Тоді інтеграл (4.33) може бути представлений наступним наближенням

(4.34)

Де (4.35)

Якщо обчислення проводяться з геодезичними координатами, то для масштабів зображення можна використати формулу (4.27)

При довжинах ліній, що не перевищують 30 км, у всіх трьох виразах для масштабу зображення радіус кривини можна обчислювати тільки для середньої точки, а в членах четвертого порядку прийняти .

Для ординат можемо записати такі очевидні співвідношення

Підставивши в рівняння (4.34) вирази для масштабів (4.35) та використавши приведені вище співвідношення, отримаємо остаточну формулу

(4.36)

Із отриманої формули видно, що лінія на площині в проекції Гаусса-Крюгера завжди довша від ліній, що зображуються з еліпсоїда. Третій і четвертий члени формули (4.36) при км (максимально можливі значення на краю шестиградусної зони) і км складають 6 і 8 мм відповідно, тому в роботах, де не вимагається висока точність або коли розміри зони є меншими (), можна користуватися формулою

. (4.36')

Підрахуємо тепер, з якою похибкою допустимо знати в (4.36) ординату середньої точки редукованої лінії.

При похибці в , рівній , отримаємо в похибку , згідно (4.36'), рівну

звідки

.

Якщо поставити вимогу, щоб не перевищувало 0.001 м, то, приймаючи км, км і км, отримаємо, що м.

4.6 Практика застосування проекції Гаусса-Крюгера

Областю зображення або областю розповсюдження системи плоских прямокутних координат є к о о р д и н а т н а з о н а, обмежена двома меридіанами, з різницею довгот в , переважно в 6^о - шестиградусна зона. Номерація зон, а відповідно і довгота осьового меридіана, пов'язана з прийнятою номенклатурою карт. Кожна шестиградусна зона відповідає одній колоні листів карти масштабу 1:1 000 000 і, якщо N є номером колони, то номер шестиградусної зони n визначається за формулою .

Осьовий меридіан шестиградусної зони проекції Гаусса-Крюгера збігається із середнім меридіаном відповідної колони карти масштабу 1:1 000 000. Звідси виходить, що довгота осьового меридіана може бути знайдена за формулою . Довгота межового меридіана шестиградусної зони відносно осьового рівна .

В топографічних роботах крупного масштабу застосовуються триградусні зони, а в спеціальних роботах можуть і ще вужчі, але при цьому координати опорних пунктів даються і в шестиградусній зоні.

Прямолінійне зображення осьового меридіана і екватора, які приймаються за осі декартових координат, дозволяють створити в кожній координатній зоні самостійну систему плоских координат, яка використовується у всіх видах геодезичних і топографічних робіт, що виконуються в межах однієї зони.

Системи координат в кожній зоні проекції Гаусса-Крюгера абсолютно ідентичні: плоскі координати x і y, обчислені за геодезичними координатами в будь-якій координатній зоні, мають одні і ті ж значення.

Для однотипного способу аналітично виражати положення будь-якої точки земної поверхні Баумгарт (1919) вніс пропозиції:

оптимальним вважати поділ на триградусні зони;

виключити з вжитку від'ємні ординати шляхом додавання до них 500 000 м;

за осьові меридіани прийняти меридіани 3, 6, 9, 12^о, … східної довготи, відносячи їх до Грінвіча, а перед ординатою вказувати відповідні їм номери

Таблиця 4.2

	0о	3о	6о	9о	12о	15о	…
n	0	1	2	3	4	5	…

В результаті цих пропозицій, отримана вище вказаним чином ордината називається

у м о в н о ю о р д и н а т о ю. Наприклад, Y=7 490891,297 означає, що точка з цією ординатою розташована в 7 зоні, її істинна ордината рівна y=-9108,703, а довгота осьового меридіана .

Пропозиції Баумгарта були прийняті багатьма державами.

В Україні на даний час за осьові прийняті меридіани 3, 9, 15, 21^о, … східної довготи

Размещено на http://www.allbest.ru/

відносно Грінвіча (див. рис. 4.7), тобто з інтервалом в 6^о; номерація їх відповідає приведеному ряду

Таблиця 4.3

	3о	9о	15о	21о	27о	33о	…
n	1	2	3	4	5	6	…

Система координатних зон створює незручності при обчисленні геодезичної мережі, а також при проведенні топографічних знімань у випадках, коли геодезична мережа або частина земної поверхні, на якій проводять знімання розташована не в одній, а в двох або навіть в декількох зонах. Хоча ці незручності переборюються порівняно просто, проте ширину зони стараються вибрати якомога більшою і тим самим зменшити труднощі, що можуть виникати в таких випадках.

При виконанні геодезичних робіт ширина координатної зони може бути, в принципі, довільною. Врахування більшої кількості членів у формулах для перетворення координат та редукцій кутів і ліній не є перешкодою для сучасних методів та засобів обчислень. Наприклад, вся територія України, що простягається по довготі на 20^о, може бути віднесена до однієї зони і формули (4.15-4.16) дозволяють обчислити плоскі прямокутні координати будь-якої точки з точністю до 0.01 м.

Зовсім іншою є справа в топографії. Так при створенні топографічних карт, основна вимога, що стосується до будь-якої картографічної проекції - це рівність відстаней, які виміряні на карті, відстанням на місцевості в масштабі карти. Максимальне спотворення можна визначити на основі формули редукції відстаней (4.36')

, (4.37)

де - максимальна відстань, яку можна виміряти між двома найбільш віддаленими точками в межах листа топографічної карти. Цю відстань можна обчислити на основі формул для сторін сфероїдної трапеції (див. розділ 2)

, (4.38)

де та - розміри рамок трапеції (листа карти певного масштабу) по широті та довготі відповідно.

Значення , якому будуть відповідати максимальні лінійні спотворення, викликані масштабом проекції, для території України будуть в точці з координатами . В цій точці км. Тоді, згідно формул (4.38) та (4.37), отримаємо

Таблиця 4.4

Масштаби трапецій	, км	, м
1:25 000	13.5	9
1: 10 000	6.8	5
1: 5 000	3.4	2
1: 2 000	1.1	0.8

Точність відстані, виміряної між двома точками на топографічній карті, характеризується похибкою порядку 0.7 мм. В залежності від масштабу карти дана похибка відповідає величині в метрах

Таблиця 4.5

Масштаби трапецій	, м
1:25 000	18
1: 10 000	7
1: 5 000	4
1: 2 000	1

Як видно із наведених таблиць, для топографічних карт масштабного ряду до 1:2 000, лінійними спотвореннями при виконанні картометричних робіт можна знехтувати в межах однієї шестиградусної зони від широти 45^о та більше. Для більш крупних масштабів величина лінійних спотворень на краю шестиградусної зони є недопустимою, тому в цих випадках потрібно застосовувати триградусні зони.

Спотворення виникають не тільки при використанні карт, але і при самих топографічних зніманнях. Тому при встановлені ширини зони виходять також із інтересів топографічних робіт: вибирають зони такого розміру по довготі, при якому не виникало би потреби враховувати спотворення. Завдяки властивості конформності проекції кути контурів будуть зберігатися і питання відноситься, головним чином, до врахування спотворень відстаней. Справді, на краю шестиградусної зони при =250 км, =1 км значення редукції буде менше 1” (див. формулу (4. )), тобто достатньо мала величина в порівнянні з похибками вимірювання кутів при розвитку знімальної основи (20-30”).

З достатньою для даного питання точністю ординату у можна обчислити за формулою (див. 4.19)

.

Тоді, згідно формули (4.37), для відносного спотворення відстаней, напишемо

.

Південні райони України розташовані на широті біля 45^о. Поставивши вимогу, щоб спотворення відстаней не переважало певної величини, отримаємо різні значення ширини зони по довготі

Таблиця 4.6

Відносна похибка	1/1000	1/2000	1/5000	1/10 000
Ширина зони	3.5о	2.5о	1.5о	1о

Поскільки при зніманнях в кадастрових роботах, а також територій, що відводяться під будівництво великих інженерних споруд, допускаються досить незначні лінійні спотворення, щоб ними можна було знехтувати і лише в крайніх випадках враховувати за допомогою простих формул, то звідси і виходять при виборі ширини зони (див. табл.4.6).

Викладені положення дозволяють встановити наступний порядок дій при опрацюванні геодезичної мережі 2 класу в проекції Гаусса-Крюгера, якщо вихідними даними є геодезичні координати і одного або обох пунктів вихідної сторони, її довжина та азимут і горизонтальні напрями на інші сторони мережі:

виміряні напрями приводять до поверхні еліпсоїда шляхом їх редукування з фізичної поверхні Землі;

від геодезичних координат () початкового пункта (пунктів) початкової (вихідної) сторони переходять до плоских прямокутних координат () цього пункта (пунктів), обчисливши також при цьому значення зближення меридіанів ();

знаючи геодезичний азимут () вихідної сторони (геодезичної лінії) та зближення меридіанів () в початковому пункті, обчислюють наближено (без врахування поправки за кривину зображення геодезичної лінії ) дирекційний кут зображення геодезичної лінії на площині

Коли дані про геодезичний азимут відсутні, тоді, при відомих геодезичних координатах другого пункту початкової сторони, шляхом розв'язування оберненої геодезичної задачі на еліпсоїді, знаходять його значення або переходять від геодезичних координат цього пункта до його плоских прямокутних координат, а значення дирекційного кута на площині в цьому випадку знаходять за відомою формулою

проводять попереднє (наближене) розв'язування трикутників (для тріангуляційної мережі) та обчислення сферичних надлишків трикутників;

за відомими координатами та початкового пункту, наближеним значенням дирекційного кута вихідної сторони, наближеними значеннями довжин сторін мережі розв'язують послідовно прямі геодезичні задачі на площині, в результаті чого знаходять наближені координати та всіх пунктів мережі. Для геодезичних мереж нижчих класів (3 і 4) наближені координати можуть бути знайдені графічно з топографічної карти;

за наближеними координатами обчислюють довжину хорди вихідної сторони та поправки за кривину зображення геодезичних ліній всіх напрямів. Сума поправок в кути і сферичний надлишок в кожному трикутнику повинна бути рівна нулю;

поправки вводять у виміряні напрями і отримують приведені на площину напрями хорд, після чого обчислюють приведені плоскі кути;

проводять врівноваження мережі і отримують врівноважені значення кутів;

за врівноваженими кутами та довжиною вихідної сторони (хорди) проводять остаточне обчислення довжин всіх сторін мережі;

знаходять точне значення дирекційного кута вихідної сторони

і дирекційні кути всіх сторін мережі за формулою

за координатами початкового пункта, довжинами і дирекційними кутами всіх сторін обчислюють остаточні плоскі прямокутні координати та всіх пунктів мережі.

Відмітимо, що характерною особливістю супутникового методу визначення координат є забезпечення можливості прив'язки нової мережі до певної системи координат з виконанням відповідного їх перетворення. Більшість програмних комплексів може виконувати перехід від просторових декартових (чи еліпсоїдальних) координат системи WGS-84 в систему прямокутних плоских координат у заданій проекції, в тому числі і для проекції Гаусса-Крюгера.

При використанні проекції Гаусса-Крюгера можливі також випадки, коли

а) виникає необхідність перевичислення координат із системи однієї зони в систему другої зони;

б) потрібно здійснити перетворення із місцевої системи в державну систему координат чи навпаки;

в) обчислення координат в заданій проекції потрібно виконати за координатами інших геодезичних проекцій;

г) проведено переорієнтування референц-еліпсоїда і вимагається визначити вплив даного фактора на плоскі прямокутні координати мережі.

Перелічені випадки застосування проекції Гаусса-Крюгера є важливими в практичних роботах. В наступному параграфі коротко розглянуто питання переводу плоских прямокутних координат із зони в зону, як таке, що має місце постійно в практиці ведення топографо-геодезичних робіт. Щодо інших випадків, наведених вище, то зауважимо, що їхній розгляд виходить за рамки даного курсу. Ці питання висвітлені в спеціальній літературі з проблем теорії та практики геодезичних проекцій.

4.7 Числовий приклад опрацювання фрагменту геодезичної мережі на площині в проекції Гаусса-Крюгера

Нехай фрагмент геодезичної мережі (тріангуляції) 2-го класу складається з двох трикутників (рис.4.8), сторона одного з них є вихідною стороною даної мережі, тобто відомо її довжина і геодезичний азимут; відомо також геодезичні координати вихідного пункта :

Размещено на http://www.allbest.ru/

B₁ =51^о 58'08.3168”

L₁ =21^о 50'11.3692”

A₁₂=177^о 15'41.494”

S₁₂ =24796.232 м

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таблиця 4.7

Назва вершин	Виміряні та приведені до еліпсоїда кути
С B A	55о54'45.56” 55 46 30.66 68 18 46.67
D C B	60o 52'14.52” 56 19 23.45 62 48 23.90

Всі обчислення виконують для триградусної зони в послідовності, яка вказана у параграфі 4.6, наступним чином:

Обчислення плоских прямокутних координат пункта за його геодезичними координатами; виконується за формулами (4.19). Перед обчисленнями координат проводять встановлення номера триградусної зони, в якій розташований пункт та довготи осьового меридіана :

,

а потім обчислюють самі координати та зближення меридіанів:

;

для контролю проводять обчислення геодезичних координат вихідного пункту за отриманими плоскими прямокутними на основі формул (4.20). При цьому значення величини , а .

Попереднє (наближене) розв'язування трикутників проводиться з метою обчислення наближених довжин сторін мережі, які необхідні в свою чергу для обчислення сферичних надлишків трикутників та наближених координат пунктів. Сторони обчислюються за формулами плоскої тригонометрії (теоремою синусів), а сферичний надлишок за формулою (3.4). Результати обчислень приведені в таблиці 4.8.

Таблиця 4.8

№ трикутника	Трикутники	Довжини сторін, м	Сферичний надлишок
1	B c a A C b	c=24796 b=24756 a=27821
2	B d c C D b	d=27821 b=28329 c=26504

Дирекційний кут хорди зображення геодезичної лінії початкової сторони на площині обчислюється за формулою (4.11). Поскільки значення поправки поки що нам невідоме, то можемо знайти тільки наближене значення дирекійного кута:

.

Обчислення наближених координат пунктів, необхідних для визначення поправок , а також приведення довжини вихідної сторони на площину в проекції наведено у таблиці 4.9.

Таблиця 4.9

Елементи	A(1)	A(1)	B(1)	B(1)	C(1)
	B(2)	C(2)	D(2)
кут	176036'09”	176036'09” 68018'47”	356036'09” 55046'31”	300049'38” 62048'24”	120049'38” 56019'23”
	176036'09”	244054'56”	300049'38”	238001'16”	177009'01”
	5735571	5749828	5749828	5721534	5721534
	5760323 24796 57489	5760323 24756 57489	5735571 27821 58958	5735571 26504 58958	5749828 28329 35068
	58958	35068	35068	36476	36476

Обчислення поправок за формулою (4.31) проводять згідно таблиці 4.10.

Таблиця 4.10

Елементи	A(1)	A(1)	B(1)	B(1) <...

Страница:

•  1 
•  2 
•  3 
•  4 
•  5 
•  6 

книга "Вища геодезія" скачать

Подобные документы

• Розв'язування задач сфероїдної геодезії

  Обчислення довжини дуги меридіану та паралелі. Наближене розв'язування трикутників за теоремою Лежандра та способом аддитаментів. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера і розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами.
  
  курсовая работа [317,4 K], добавлен 10.05.2011
  

• Створення глобальних мереж методами супутникової геодезії

  Стан української мережі станцій супутникової геодезії. Системи координат, їх перетворення. Системи відліку часу. Визначення координат пункту, штучних супутників Землі в геоцентричній системі координат за результатами спостережень, методи їх спостереження.
  
  курсовая работа [2,2 M], добавлен 27.11.2015
  

• Створення планово-висотної основи стереофотограметричного методу зйомки на площі трапеції

  Сутність стереофотограметричного методу зйомки на площі. Фізико-географічна характеристика ділянки робіт. Розрахунок геодезичних та плоских прямокутних координат вершин рамки заданої трапеції та планово-висотних опорних точок; метрологічні прилади.
  
  курсовая работа [573,1 K], добавлен 05.10.2014
  

• Оцінка точності при параметричному методі врівноваження

  Предмет науки геодезії та історія її розвитку. Значення планово-картографічного матеріалу в сільському господарстві. Суть завдання врівноваження геодезичних побудов та їх основні способи. Проведення оцінки точності при параметричному методі врівноваження.
  
  реферат [1,1 M], добавлен 14.11.2010
  

• Виконання геодезичних робіт у будівництві

  Призначення геодезії у будівництві, сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва. Одиниці мір, що використовуються в геодезії. Вимірювання відстаней до недоступної точки за допомогою далекомірів. Загальнодержавні геодезичні мережі опорних точок.
  
  методичка [1,1 M], добавлен 15.09.2014
  

• Геодезичний чемпіонат

  Методична розробка семінару з дисципліни "Геодезія", побудованого у цікавій для студентів формі вікторини. Змагання з кращих знань з питань: відображення поверхні Землі, теодолітна зйомка місцевості, нівелірні роботи, тахеометрична зйомка місцевості.
  
  методичка [3,9 M], добавлен 23.02.2010
  

• Застосування нарисної геометрії у геодезії

  Суть та область застосування метода проекцій з числовими відмітками. Визначення довжини прямої і кута її нахилу до основної площини. Особливість креслень в проекціях з числовими відмітками або планів. Взаємне положення двох площин, прямої та площини.
  
  методичка [44,0 K], добавлен 11.10.2009
  

• Комплекс геодезичних та землевпорядних робіт при складанні еколого-економічного проекту території Гарасимівської сільської ради Тлумацького району Івано-Франківської області

  Нормативно-правове забезпечення землеустрою. Аналіз фізико-географічних та екологічних умов території Гарасимівської сільської ради. Методи та способи геодезичних робіт в землеустрої. Охорона праці при проведенні геодезичних і землевпорядних робіт.
  
  дипломная работа [3,7 M], добавлен 24.08.2014
  

• Способи картометричних робіт

  Вивчення графоаналітичних прийомів аналізу карт, методи картометрії і морфометрії. Точність вимірювань довжин і площ на картах. Визначення прямокутних координат точки. Емпіричні способи введення поправок і різного роду редукцій для корекції результату.
  
  реферат [19,2 K], добавлен 21.11.2010
  

• Складання проекту геодезичних робіт для державних потреб

  Розробка проекту топографо-геодезичних робіт для створення цифрових планів. Визначення чисельного та якісного складу працівників, необхідних для виконання даної роботи. Складання календарного графіку, кошторису на виконання польових та камеральних робіт.
  
  курсовая работа [1,0 M], добавлен 13.11.2014
  

• Системы координат и преобразования между ними

  Описание систем координат, применяемых в геодезии. Технологические схемы преобразования координат. Составление каталогов геодезических, пространственных прямоугольных, плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера в системах ПЗ-90.02, СК-42, СК-95.
  
  курсовая работа [653,2 K], добавлен 28.01.2014
  

• Геодезия

  Предмет и задачи геодезии, понятия о форме и размерах Земли. Системы координат, принятые в геодезии. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера. Изображение рельефа на топографических картах и планах. Решение инженерно-геодезических задач.
  
  курс лекций [2,8 M], добавлен 13.04.2012
  

• Проект геодезичних робіт щодо створення цифрового плану місцевості М 1:500 на території виробництва ПАТ "Дніпроважмаш"

  Створення цифрового плану місцевості в масштабі 1:500 згідно польових даних на території ПАТ "Дніпроважмаш". Топографо-геодезичне забезпечення району робіт. Топографічне знімання території. Камеральна обробка результатів польових геодезичних вимірювань.
  
  дипломная работа [3,1 M], добавлен 13.08.2016
  

• Зображення рельєфу на картах

  Сутність, методи та аналіз зображення рельєфу на геодезичних картах. Загальна характеристика зображення рельєфних моделей горизонталями. Особливості відображення рельєфу за допомогою штриховки, відмивки і гіпсометричного способу на картах малих масштабів.
  
  реферат [1,4 M], добавлен 20.05.2010
  

• Системы координат, используемые при создании геодезических сетей

  Геодезическая система отсчета WGS-84, ее исходное определение и реализация. Топографические карты СК-63, их отличия. Единая государственная система геодезических координат 1995 г. Процедура обеспечения требуемого автоматического преобразования координат.
  
  реферат [23,2 K], добавлен 16.12.2013
  

• Система координат

  Общеземные системы координат. Системы картографических координат. Местные системы, история их введения и особенности применения. Основные национальные системы высот. Недостатки использующихся систем высот. Балтийская система высот в Республике Беларусь.
  
  курсовая работа [2,0 M], добавлен 01.03.2015
  

• Метод фототріангуляції

  Основна ціль фототріангуляції, суть даного методу. Особливості будування маршрутної та блочної фототріангуляції. Сутність способів незалежних та частково залежних моделей, обчислення просторових координат точок. Побудова фототріангуляції методом в’язок.
  
  реферат [240,8 K], добавлен 23.10.2012
  

• Тримірне моделювання великих кратерів моря Ясності

  Особливості геологічної будови, віку і геоморфології поверхні окремих ділянок видимої півкулі Місяця та їх моделювання. Геолого-геоморфологічна характеристика регіону кратерів Тімохаріс та Ламберт. Розвиток місячної поверхні в різних геологічних ерах.
  
  курсовая работа [855,4 K], добавлен 08.01.2018
  

• Оценка качества и точности полевых измерений

  Цель предварительных вычислений в полигонометрии. Вычисление рабочих координат. Уравнивание угловых и линейных величин. Вычисление весов уравненных значений координат узловой точки. Оценка точности полевых измерений и вычисления координат узловой точки.
  
  лабораторная работа [84,2 K], добавлен 09.08.2010
  

• Методи моніторингу техногенного рельєфу (на прикладі Нововолинського кам'яновугільного басейну)

  Суть моніторингу навколишнього природного середовища. Експериментальні геодезичні спостереження за станом деформацій земної поверхні на території Львівсько-Волинського кам’яновугільного басейну на прикладі м. Нововолинська. Фактори формування рельєфу.
  
  дипломная работа [5,3 M], добавлен 26.07.2013
  

Другие документы, подобные "Вища геодезія"

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам