При розв'язування оберненої геодезичної мережі на площині між пунктами, розміщеними в різних смугах на еліпсоїді плоскі координати повинні бути задані в одній координатній зоні.

Для таких і їм подібних випадків, що нерідко зустрічаються на практиці, передбачено при створенні каталогів плоских прямокутних координат “перекриття” зон. Всі пункти, розміщені на по довготі на схід і захід від граничного меридіана шестиградусних смуг в каталогах мають координати в двох зонах: відносно осьового меридіана своєї зони і осьового меридіана сусідньої зони. Схематично таке перекриття показано на рис.4.10. Цим, фактично, протяжність шестиградусних зон по довготі збільшується до та створюється перекриття в .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.4.10

Проте перекриття зон не виключає всіх випадків обчислень на перетворення координат. Такі випадки можливі при проведенні топографо-геодезичних робіт на стику двох зон, як також і в одній зоні. В першому випадку виникає потреба перетворення координат із зони в зону, а в другому - переобчислення координат заданих в системі деякої стандартної зони відносно меридіана в місцеву систему координат відносно іншого меридіана з довготою , прийнятого за осьовий.

Загальна схема перетворення координат, коли задано в одній зоні (з довготою осьового меридіана ), треба знайти в другій зоні (з осьовим меридіаном ):

Перехід від до і за формулами (4.20);

З врахуванням довготи осьового меридіана другої зони перехід від і до за формулами (4.15).

Можливим є безпосереднє перетворення плоских прямокутних координат одної зони в плоскі координати другої зони без проміжного переходу в геодезичні координати, тобто . Проте алгоритм і самі обчислення в цьому випадку, при відсутності допоміжних засобів в виді спеціальних таблиць, доволі громіздкі.

Числовий приклад.

Нехай задані плоскі прямокутні координати м , м деякого пункта в системі шестиградусної зони () з осьовим меридіаном . Потрібно обчислити плоскі прямокутні координати цього пункта відносно осьового меридіана .

З заданими координатами і визначаємо геодезичні координати і за формулами (4.20) з використанням (4.21). Тоді: , . Тепер, за відомими і , використовуючи формули (4.15)-(4.17), знаходимо плоскі прямокутні координати відносно осьового меридіана : м і м.

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

5.1 Сучасні поняття про фігуру Землі та її зовнішнє гравітаційне поле

Розміри Землі і форма її поверхні як в цілому, так і окремих частин є предметом вивчення різних дисциплін (фізична геодезія або теорія фігури Землі, фізика Землі, теоретична геофізика тощо), в яких ці питання розглядаються з неоднакових позицій і різними методами, що обумовлено своїми специфічними задачами. Поняття “фігура Землі” є неоднозначним і має різне трактування в залежності від використання отримуваних даних.

З фізичної геодезії відомо, що потенціал сили ваги Землі визначається як сума потенціалу притягання Землі і потенціалу відцентрової сили . Відповідно, потенціал притягання в теорії фігури Землі це є потенціал сили притягання одиничної маси в довільній точці простору всіма масами планети Земля, а потенціал відцентрової сили Землі - це потенціал сили, яка виникає під час обертання Землі навколо своєї осі і діє на одиничну масу на поверхні планети або в найближчому її околі . У цих виразах: позначає точку, в якій обчислюється, - змінна точка всередині тіла Землі, яка приймає зміст центра мас елемента , - відстань між і (просторова пряма лінія), - Ньютонова гравітаційна стала (), - кутова швидкість обертання Землі. Отже,

. (5.1)

Якщо позначити силу ваги або прискорення сили ваги через і знати потенціал сили ваги даної точки, то можна обчислити складові сили ваги по осях координат

,

а, знаючи складові сили ваги легко можна визначити модуль вектора прискорення сили ваги

,

та його напрям

.

Фізична поверхня Землі в межах континентальної частини з її відносними підвищеннями та пониженнями не є правильною математичною поверхнею і не може бути виражена яким-небудь математичним рівнянням. Звідси виникла задача встановлення поняття і вибору математичної поверхні Землі.

Оскільки фізична поверхня Землі складається переважно із поверхні морів та океанів (загальна площа материків складає приблизно лише четверту частину всієї поверхні Землі, а їх середня висота над рівнем Світового океану дорівнює тільки десятитисячній частині земного радіуса), то в свій час за математичну поверхню Землі умовно була прийнята поверхня Світового океану в стані рівноваги води.

Поверхня води Світового океану як рідка маса, що знаходиться тільки під дією сили земного притягання та відцентрової сили обертання Землі, є однією з рівневих поверхонь потенціала сили ваги. Ця поверхня характеризується тією основною властивістю, що на ній потенціал прискорення сили ваги всюди має одне і теж постійне значення, тобто в кожній її точці напрям нормалі до неї збігається з напрямом дії сили ваги або з прямовисною лінією. Якщо рівневу поверхню Світового океану продовжити під материками так, щоб вона всюди перетинала напрям прямовисної лінії під прямим кутом, то тоді отримається деяка замкнута поверхня, яка і буде характеризувати математичну фігуру Землі.

Вказана властивість будь-якої рівневої поверхні може бути виражена математичним рівнянням,

(5.1ґ)

в якому потенціал сили ваги є функцією від координат її поточної точки та розподілу маси всередині тіла, обмеженого заданою рівневою поверхнею. В такій редакції рівнева поверхня, яка збігається з поверхнею Світового океану в стані рівноваги і відповідним чином продовжена під материками, є математичною поверхнею. Проте вигляд або форма цієї поверхні залежать від розподілу сили ваги на ній або внутрішньої будови Землі.

Згодом остаточно вияснилося, що фігура Землі, утворена рівневою поверхнею, яка збігається з поверхнею Світового океану і відповідним чином продовжена під материками, має досить складну форму. Це пояснюється нерівномірним розподілом сили ваги на поверхні Землі і залежить від структури земної кори. Вказана математична поверхня не може бути представлена повністю якою-небудь правильною геометричною фігурою, що має просте математичне рівняння. Для математичної фігури Землі у вказаному її розумінні в 1873 р. був запропонований термін “геоїд”, який закріпився в геодезичній науці до сьогоднішнього часу.

Результати астрономо-геодезичних робіт підтвердили висновки про те, що вказана вище математична поверхня, хоч і відповідає фізичній природі Землі, проте може значно відрізнятися від правильної математичної фігури - загального земного сфероїда - фігури, яка найкращим чином представляє Землю як в гравітаційному так і в геометричному відношенні.

Отже, через те, що дійсне поле сили ваги є математично дуже складним, виділяють (в якості референцного) нормальне поле сили ваги простої аналітичної природи. В загальному, нормальний потенціал сили ваги вибирається так, що референц-еліпсоїд є еквіпотенціальною поверхнею для :

,

а геоїд - еквіпотенціальною поверхнею дійсного потенціала сили ваги :

.

Відмінність потенціала сили ваги реальної Землі від потенціала сили ваги Нормальної Землі носить назву збурюючого потенціала, тобто .

Для обчислення нормальної сили ваги на еліпсоїді служить замкнута формула Сомільяна

, (5.1ґґ)

де і - параметри еліпсоїда, і позначають нормальну силу ваги на екваторі і полюсі відповідно.

Отже, найбільш відомою узагальненою фігурою Землі є загальний земний сфероїд, точнішне рівневий еліпсоїд обертання, який ще називають Нормальна Земля. Під цим терміном розуміється узагальнена модель Землі як планети в цілому, яка з однієї сторони відтворює її основні властивості в усередненому вигляді, а з другої - найбільш просто представляє її для математичного опису.

Нормальна Земля при розв'язуванні наукових і практичних задач виконує двояку роль: вона застосовується або як правдоподібна модель Землі, яка з достатньою точністю замінює реальну Землю (в астрономії, геофізиці, картографії, навігації тощо), або там, де вимагається більш висока точність, як досить добре її перше наближення ( в геодезії, гравіметрії, космічній геодезії тощо).

Чисто теоретично при вивченні фігури Землі у відношенні її виду та розмірів можна було би розглядати будь-яку із її рівневих поверхонь, оскільки від одної із них можна теоретично перейти до іншої рівневої поверхні. Для переходу від даної або вихідної рівневої поверхні до другої нескінченно близької до неї рівневої поверхні , розташованої на висоті , можна було би застосувати наступну формулу

(5.2)

Але для переходу від одної рівневої поверхні до другої, як показує формула (5.2), необхідно знати закон зміни сили ваги з висотою. Оскільки закон зміни сили ваги з висотою всередині земної маси точно не відомий, то теоретична можливість переходу від одної рівневої поверхні до другої рівневої поверхні Землі не може бути здійснена строго у практичному відношенні.

Вибір і вивчення довільної рівневої поверхні для того, щоб потім визначати відносно неї елементи конкретно заданої рівневої поверхні теж не може бути абсолютно умовним. Для геодезії особливе значення має вивчення вигляду і розмірів безпосередньо тієї рівневої поверхні, яка проходить близько до фізичної поверхні Землі та найкращим чином характеризує її дійсну фігуру. Зрозуміло, що вона має бути вибрана у повній відповідності до будови і характеру зовнішньої поверхні Землі як планети в цілому. Це означає, що нормальний потенціал необхідно встановити так, щоб збурюючий потенціал був гармонійною функцією з високою точністю наближення.

5.2 Відхилення прямовисних ліній та відступи геоїда від земного еліпсоїда

Напрям сили ваги в деякій точці, або напрям прямовисної лінії повністю визначається виглядом рівневої поверхні в цій точці. Визначає вигляд рівневої поверхні, а, відповідно, і напрям прямовисних ліній розподіл мас в земній поверхні. Це ж саме стосується і відступів геоїда від земного еліпсоїда: відступи обумовлені існуючим розподілом мас на земній поверхні і всередині її та відповідають цьому розподілу.

Порушення певного розподілу мас, при якому густина речовини змінюється в горизонтальному напрямі (має різні значення в різних місцях на одній глибині), охоплюють лише зовнішній шар Землі, товщина якого не перевищує 70 км. В порівнянні з розмірами та масою всієї Землі така незначна величина означає, що відступи геоїда від еліпсоїда та відхилення прямовисних ліній від нормалей до цього еліпсоїда повинні бути малими величинами.

На основі сучасної моделі гравітаційного поля EGM96 можна характеризувати відступи геоїда від загального земного еліпсоїда. Доказаним фактом є існування глобальних хвиль геоїда, тобто загальних відступів його від земного еліпсоїда. Висоти цих хвиль складають до 70 м, а їхня зміна має як довготний так і широтний характер. Цим глобальним відступам геоїда відповідають і глобальні відхилення прямовисних ліній від нормалей до еліпсоїда (до 10.

Місцеві особливості будови земної кори викликають локальні хвилі геоїда, яким відповідають і локальні відхилення прямовисної лінії. Причинами, що викликають локальний характер, можуть бути аномальне залягання порід всередині земної кори, берегові лінії океанів та морів, гірські утворення тощо. Місцеві відступи геоїда представлені, переважно, у вигляді порівняно незначних хвиль, що мають невелику висоту та область поширення. Проте відповідні їм локальні відхилення прямовисної лінії можуть досягати дуже значних величин (десятків секунд дуги), що є наслідком значної зміни кривини рівневої поверхні.

Коли йде мова про відступи геоїда від земного еліпсоїда та відповідні відхилення прямовисних ліній, то ми повинні чітко зрозуміти про які параметри йдеться.

Відступи геоїда над земним еліпсоїдом - це перевищення точок геоїда відносно поверхні еліпсоїда. Вони не можуть бути виміряні безпосередньо. Результати астрономо-геодезичних і гравіметричних вимірювань, віднесені до поверхні певного еліпсоїда, дають тільки похідні величини або градієнти відступів геоїда від поверхні віднесення. Дослідження фігури геоїда і полягає у визначені її відступів від фігури еліпсоїда за похідними від них величинами, якими і є відхилення прямовисних ліній та аномалії сили ваги , що безпосередньо обчислюються за даними вимірювань.

Якщо відхилення прямовисної лінії визначають як кут між нормаллю до поверхні загального земного еліпсоїда і напрямом прямовисної лінії, то називають його абсолютним відхиленням прямовисної лінії. Якщо ж до уваги береться нормаль до поверхні референц-еліпсоїда - то отримують відносне відхилення прямовисної лінії.

Абсолютні відхилення прямовисної лінії залежать тільки від розподілу мас Землі. Відносні відхилення прямовисної лінії залежать від розподілу мас Землі, прийнятих параметрів і орієнтування референц-еліпсоїда. Очевидно, що відносні відхилення прямовисної лінії можуть значно відрізнятися від абсолютних в тих же точках і через них ми не можемо безпосередньо робити висновки про характер неправильностей у будові земної кори.

Напрям прямовисної лінії визначається на земній поверхні з астрономічних спостережень через визначення астрономічних координат - широти та довготи . Напрям нормалі до поверхні референц-еліпсоїда визначається геодезичними координатами і . Звідси випливає, що відхилення прямовисних ліній можна визначити через співставлення астрономічних і геодезичних координат. Оскільки геодезичні координати традиційно визначаються на поверхні референц-еліпсоїда за результатами лінійних і кутових вимірювань на фізичній поверхні Землі, то відхилення прямовисної лінії називають також відносними астрономо-геодезичними. Відзначимо, що при обчислені геодезичних координат на основі результатів супутникових спостережень, із порівняння їх з відповідними астрономічними координатами отримаємо абсолютні астрономо-“геодезичні” відхилення прямовисних ліній.

Напрям прямовисної лінії в даній точці земної поверхні збігається з напрямом нормалі до рівневої поверхні потенціалу сили ваги в цій же точці або, точніше, з дотичною до силової лінії дійсного поля сили ваги. Напрям нормалі до земного еліпсоїда збігається з дотичною до силової лінії нормального поля сили ваги. Звідси, відхилення прямовисної лінії можна визначити як кут між дотичними до силових ліній дійсного і нормального полів сили ваги. В такому сенсі його називають гравіметричним відхиленням прямовисної лінії або відхиленням важка.

Одна із причин появи відхилень прямовисних ліній - притягання надлишкових мас на материках і недостатність цих притягальних мас в океанах. І хоча зміна зовнішніх (топографічних) форм рельєфу не є домінуючою як зміна густини порід земної кори, все ж форми топографічного рельєфу вносять певний вплив на знак і величину відхилень прямовисних ліній. Цей вплив дещо послаблюється через так звану ізостатичну компенсацію або ізостазію. Відхилення прямовисних ліній, що визначаються на основі впливу топографічних мас з врахуванням явища ізостазії, називаються топографо-ізостатичними відхиленнями.

Відступи геоїда від земного еліпсоїда теж можна класифікувати на абсолютні - висоти геоїда над загальним земним еліпсоїдом (позначається через ) та відносні - висоти геоїда над референц-еліпсоїдом (позначається через ).

Відмітимо значення відступів геоїда та відхилень прямовисних ліній.

Відступи (висоти) геоїда над референц-еліпсоїдом, як і відхилення прямовисних ліній, безпосередньо використовуються при вивченні фігури Землі: виводі параметрів земного еліпсоїда; встановленні вихідних геодезичних дат; визначенні взаємного орієнтування різних геодезичних систем координат.

З використанням висот геоїда та відхилень прямовисних ліній розв'язують багато редукційних задач вищої геодезії.

Через відхилення прямовисних ліній встановлюється прямий зв'язок між астрономічними і геодезичним координатами.

За допомогою відхилень прямовисних ліній здійснюється перехід від безпосередньо виміряного астрономічного азимута до геодезичного азимута.

Відхилення прямовисних ліній необхідні при класичному методі визначення геодезичних висот.

5.2.1 Астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній

Оскільки відхилення прямовисних ліній у будь-якій точці визначається як різниця двох векторних напрямів, то воно повинно визначатись двома параметрами - величиною кута, що позначається через і називається повним відхиленням прямовисної лінії, та азимутом площини, в якій він розміщується. Проте частіше відхилення прямовисних ліній визначаються двома іншими величинами: проекцією повного відхилення прямовисної лінії на площину меридіана і першого вертикала даної точки. Проекція на площину меридіана називається складовою відхилення прямовисної лінії в меридіані і позначається , а проекція на площину першого вертикалу - складовою відхилення прямовисної лінії в першому вертикалі і позначається через .

Нехай фізична поверхня, поверхня геоїда та поверхня земного еліпсоїда в точці співпадають. На рис. 5.1. зображений полярний сферичний трикутник , вершини якого представлені геодезичним і астрономічним зенітами точки та полюсом світу . Даний трикутник утворений проекціями осей систем координат на сферу одиничного радіуса та точкою перетину геодезичного і астрономічного меридіанів точки (лінія паралельна осі обертання Землі). Згідно визначення, відхилення прямовисної лінії визначається кутом або стороною сферичного трикутника - та азимутом площини - , в якому знаходиться повне відхилення . Дуга вимірює кут між нормаллю до еліпсоїда і напрямом на точку , тобто вираз відповідає геодезичній широті точки . Відповідно, дуга відповідає астрономічній широті даної точки . Оскільки астрономічні і геодезичні довготи відраховуються від одного початкового меридіана, то . Сферичний трикутник з позначеними сторонами і кутами приведений на рис. 5.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.1

Проведемо криву ортогональну до . Утворений трикутник буде малим, оскільки повне відхилення прямовисної лінії рідко перевищує десятки секунд дуги. Тоді, із малого сферичного трикутника , отримаємо

(5.3)

У формулі (5.3) через та позначено складові повного відхилення прямовисної лінії у меридіані та першому вертикалі відповідно.

На основі формул синусів та п'яти елементів для сферичного трикутника маємо

,

.

Враховуючи члени першого порядку розкладів для малих величин та позначення (5.3), отримаємо остаточно вирази для складових відхилення прямовисних ліній

(5.4)

На основі (5.3) отримаємо

(5.5)

На практиці отримують спочатку складові за (5.4), а потім вже за формулами (5.5) і .

Можна отримати величину відхилення прямовисної лінії для будь-якого напряму з азимутом . На основі рис. 5.1 (без доведення) запишемо остаточно

(5.6)

При виводі формул астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній вважалося, що фізична поверхня і поверхня земного еліпсоїда в заданій точці збігаються або перетинаються. В загальному випадку точка фізичної поверхні не знаходиться на поверхні еліпсоїді, а має певну висоту . Через це напрям прямовисної лінії, що задається безпосередньо виміряними астрономічними координатами деякої точки , не збігається з напрямом прямовисної лінії у перетині її з поверхнею еліпсоїда.

Виходом з такого становища було б редукування астрономічних координат на поверхню еліпсоїда по прямовисній лінії. Проте траєкторія прямовисної лінії всередині Землі може змінюватись невідомим нам чином внаслідок незнання густини мас земної кори, що унеможливлює точне редукування астрономічних координат.

Очевидно, що трактування поняття відхилення прямовисної лінії як кут між дотичними до силових ліній дійсного і нормального полів сили ваги буде відповідати всім можливим випадкам. Так у виміряні астрономічні координати не потрібно вводити жодних поправок, оскільки саме вони дають напрям вектора сили ваги в даній точці земної поверхні. Проте другий вектор - напрям нормалі або напрям дотичної до силової лінії нормального поля рівневого еліпсоїда, відрізняється від напряму нормалі на поверхні цього еліпсоїда. Геометричний зміст різниці між вказаними напрями полягає в тому, що від геодезичних координат на еліпсоїді здійснюється перехід до геодезичних координат, віднесених до поверхні еліпсоїда, що проходить через дану точку . Оскільки силові лінії нормального гравітаційного поля є плоскими кривими, тобто відсутні викривлення в довготі, то при переміщенні по них змінюється тільки широта.

З врахуванням зроблених пояснень можемо написати

(5.7)

У (5.7) позначено: - напрям нормалі до еліпсоїда в точці , або, інакше, напрям дотичної до силової лінії нормального поля, яка проходить через точку і утворює з площиною екватора кут , - напрям сили ваги в точці , який складає з площиною екватора кут .

Оскільки із опрацювання спостережень ми можемо отримати геодезичну широту , то для визначення величини складової необхідно знати різницю . В курсі фізичної геодезії дається вивід цієї поправки, кінцевий вигляд якої наступний

(5.8)

Отже, остаточні формули для визначення астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній будуть мати вигляд

(5.9)

Знайдемо величини впливу відхилення прямовисних ліній на азимути, горизонтальні та вертикальні кути. Якщо позначити: - геодезичний азимут напряму з пункту на суміжний пункт, - астрономічний азимут того ж напряму, то різниця вказаних азимутів має такий вигляд

. (5.10)

Звернемо увагу, що вираз (5.10) справедливий як для редукції астрономічного азимута, визначеного із астрономічних чи гіроскопічних спостережень, так і для виміряного горизонтального напряму.

У рівнянні (5.10) розрізняють дві частини: одну у вигляді , яка є сталою в даній точці, і другу - змінну, що залежить від азимута конкретного напряму та його зенітної відстані.

Оскільки горизонтальний кут визначається різницею напрямів, то, очевидно, що формула

(5.11)

і буде виглядом поправки в горизонтальний кут за відхилення прямовисної лінії. Величину називають поправкою в горизонтальний кут, обумовлену відхиленням прямовисної лінії у вершині даного кута. Ця поправка вводиться при редукуванні виміряних горизонтальних кутів з фізичної поверхні на поверхню земного еліпсоїда (див. § 5.5.2).

Поправка , що визначається формулою (5.11), переважно має досить мале числове значення у порівнянні з поправкою . Так, при визначенні астрономічних азимутів сторін геодезичної мережі, зенітні відстані, як правило, близькі до , тобто . Приймемо, що для деякого пункту на широті складові відхилення прямовисної лінії дорівнюють , а азимут напряму - . Тоді

Зважаючи, що астрономічний азимут визначається з похибкою , то для переходу до геодезичного азимута рівняння (5.11) записують у вигляді

. (5.12)

Це рівняння називають рівнянням Лапласа, а азимути, що отримують за формулою (5.12), називають азимутами Лапласа. Для їх отримання необхідно на пункті геодезичної мережі мати визначені значення астрономічного азимута та астрономічних координат, переважно, астрономічної довготи. Оскільки азимути Лапласа практично не залежать від похибок кутових вимірювань в геодезичних мережах, то їх можна використовувати як надійний контроль кутових вимірювань у ланці тріангуляції. Нехтувати поправкою можна при одиничних редукуваннях горизонтальних кутів. При передачі азимутів через багато кутів трикутників ланки тріангуляції ця поправка може носити систематичний характер, особливо у випадку неповної відповідності розмірів та орієнтування референц-еліпсоїда геоїду в межах території розташування астрономо-геодезичної мережі, що позначиться на складових .

Формула

(5.13)

визначає вигляд редукційної поправки за вплив складових відхилення прямовисних ліній на виміряні зенітні відстані.

В класичній геодезії пунктами для отримання астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній служили пункти Лапласа. На інших пунктах геодезичної мережі ці відхилення визначали через інтерполювання.

На пунктах Лапласа чи на будь-яких інших пунктах, де визначені астрономічні і геодезичні координати, складові астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній обчислюються за формулами (5.9). Не важко помітити, що похибка значення при визначенні величини завжди буде настільки малою, що нею можна знехтувати. Точність визначення астрономічних координат складає в широті та в довготі. Враховуючи (5.9), отримаємо для середніх квадратичних похибок

Вважаючи, що точність визначення широти і довготи є однаковою, тобто , запишемо

.

При опрацюванні геодезичних мереж величиною похибки визначення геодезичних координат можна знехтувати у порівнянні з похибкою астрономічних визначень. Це означає, що обчислення астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній повністю залежить від точності астрономічних визначень, що виконуються на пунктах геодезичної мережі. Для пунктів, астрономо-геодезичні відхилення яких визначають шляхом інтерполювання через відомі їх значень на інших пунктах, точність буде визначатися точністю визначення останніх та точністю інтерполювання.

5.2.2 Гравіметричні відхилення прямовисних ліній

Поскільки відхилення прямовисної лінії є кут між нормалями до рівневих поверхонь дійсного і нормального гравітаційного полів, то, очевидно, має місце функціональний зв'язок між відхиленнями прямовисних ліній та аномаліями сили ваги, тобто . Термін “гравіметричні” означає, що відхилення прямовисних ліній визначають на основі вимірювань прискорення сили ваги методами гравіметрії.

Кут між нормаллю до рівневого еліпсоїда та прямовисною лінією на земній поверхні будемо представляти його складовими в площинах меридіана і першого вертикалу [9]

(5.14)

Знак “-“ поставлений через те, що додатні відхилення прямовисних ліній збільшують геодезичну широту і довготу і поправку треба вводити із знаком мінус.

Формула (5.14) відображає залежність між відхиленням прямовисних ліній та збурюючим потенціалом сили ваги . Згідно [9], збурюючий потенціал . Тоді, приймаючи , для часткових похідних запишемо

Підставимо знайдені значення часткових похідних у формулу (5.14), вважаючи при цьому, що а - середньому радіусу кривини еліпсоїда в даній точці. Отримаємо

(5.15)

Значення висоти геоїда задається формулою Стокса [11]]

Оскільки явно від і не залежить і, враховуючи, що кінцевість підінтегрального виразу дозволяє диференціювати під знаком інтегралу, то будемо мати

(5.16)

Похідні по і мають наступні значення

(5.17)

Позначимо

. (5.18)

Тоді, з врахуванням (5.16-5.18) формули (5.15) отримають наступний вигляд

(5.19)

Формули (5.19) називаються формулами Венінг-Мейнеса, а вираз (5.18) - функцією Венінг-Мейнеса. Вказані формули дають значення відхилень прямовисних ліній на поверхні геоїда в меридіані та у напрямі першого вертикалу за відомими аномаліями сили ваги на цій поверхні.

Опустивши викладки з диференціюванням формули Стокса, напишемо для функції Венінг-Мейнеса (5.18) розгорнутий вираз

(5.20)

При практичному обчисленні відхилень прямовисних ліній праву частину формул (5.19) поділяють на три частини, що відповідають трьом областям інтегрування: центральній області радіуса , в якій градієнт сили ваги за вибраними напрями і можна вважати сталими (), а поверхню сфери в її межах - горизонтальною площиною; ближній кільцевій зоні радіуса (), в якій можна знехтувати кривиною Землі; далеким зонам, в яких кривина Землі враховується (). Кожна область, за виключенням центральної, розбивається радіальними напрямами на сферичні трапеції. Для кожної трапеції повинно бути відомо середнє значення аномалії сили ваги . В курсі фізичної геодезії приводиться детальний виклад методики обчислення відхилень прямовисних ліній з застосуванням чисельних способів розв'язування інтегралів (5.19). Вкажемо лише на те, що обчислення в усіх трьох областях інтегрування представляє собою “абсолютне” відхилення прямовисних ліній. Лапки “ “ означають, що теоретично це можливо, але практично даних про аномалії сили ваги по всій поверхні Землі завжди є недостатньо, тому досить часто інтегрування ведеться тільки у області до від досліджуваного пункту. На даний час врахування далеких зон можна виконувати за глобальними гравітаційними моделями.

При оцінці точності визначення гравіметричних відхилень прямовисних ліній необхідно взяти до уваги систематичні похибки впливу далеких зон, обумовлені відсутністю даних про аномалії сили ваги або похибками інтерполювання аномалій для тих трапецій, де вони не визначалися. Крім систематичних будуть мати місце випадкові похибки врахування місцевих (локальних) полів аномалій сили ваги. Якщо рівномірне гравіметричне знімання виконане для всієї поверхні Землі, то похибка визначення абсолютних відхилень прямовисних ліній буде залежати тільки від точності визначення гравіметричних характеристик для відповідних ділянок земної поверхні. Її можна підрахувати за формулою

,

де - похибка гравіметричного визначення прискорення сили ваги, яка залежить точності самих гравіметричних вимірів, від густоти знімання та від похибки інтерполювання до центральної точки трапеції. Для похибки похибки гравіметричних відхилень прямовисних ліній будуть складати .

5.2.3 Інтерполювання відхилень прямовисних ліній

При обчислені гравіметричних відхилень прямовисних ліній в конкретній точці фізичної поверхні вимагаються дані про аномалії сили ваги на всій поверхні Землі. Фактично, навіть при достатньо детальних гравіметричних зніманнях, сила ваги визначається в обмеженому числі знімальних точок. Значення сили ваги між цими точками оцінюється методом інтерполяції. На ті області Землі, де взагалі відсутні гравіметричні дані, аномалії сили ваги отримують методами прогнозування. Отже, при обчисленні відхилень прямовисних ліній за аномаліями сили ваги останні інтерполюють або екстраполюють. Методи інтерполяції і прогнозу аномалій сили ваги достатньо повно розглядаються в курсах гравіметрії та фізичної геодезії. Після того, як будуть відомі аномалії сили ваги (виміряні, інтерпольовані чи прогнозовані) по всій поверхні Землі, задача визначення відхилень прямовисних ліній для будь-якої точки фізичної поверхні розв'язується. Для цього можуть бути використані інтегральні формули Венінг-Мейнеса (5.19).

Зовсім інша справа є з астрономо-геодезичними відхиленнями прямовисних ліній. Значення цих відхилень можна отримати тільки на пунктах, де виконані астрономічні і геодезичні визначення їх координат. На решти пунктах геодезичної мережі астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній отримують шляхом інтерполювання. Для інтерполювання значення відхилення в даному пункті необхідно мати інформацію про величини відхилень в суміжних пунктах та закон розподілу цих відхилень в даній ділянці земної поверхні.

Найбільшого поширення отримали наступні способи інтерполювання:

§ пряма інтерполяція;

§ використання гравіметричних даних.

Спосіб прямої інтерполяції

В класичних астрономо-геодезичних мережах астрономічні визначення широти і довготи виконувалися на всіх пунктах Лапласа, а також на пунктах, що були розташовані приблизно посередині ланок 1 класу. При такій типовій схемі розташування астропунктів їх кількість складала 9-15 в межах полігону 1 класу, а середня відстань між цими пунктами - біля . Значення складових астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній можна отримати шляхом прямої (лінійної чи графічної) інтерполяції між астропунктами. За даними досліджень, похибка інтерполяції відхилення для рівнинних районів дорівнює

(5.21)

При зменшенні відстані між астропунктами такі оцінки можна було би вважати прийнятними, якщо б закон розподілу відхилень прямовисних ліній був близьким до лінійного. Навіть у рівнинних районах існують різні за розмірами аномальні ділянки, на яких реальні оцінки перевищують обчислені у два і більше разів. В гірських районах характер розподілу відхилень прямовисних ліній значно ускладнюється через вплив топографічних мас. Виходом із становища є суттєве збільшення числа астрономічних пунктів або застосування інших способів інтерполювання.

Спосіб інтерполювання з використанням гравіметричних даних

Для застосування цього способу повинна бути виконана за певною програмою локальне гравіметричне знімання. Теоретичне обгрунтування та опис програми приводиться в курсі гравіметрії [4]. В основі даного способу лежать дослідження М.Молоденського (1940), який показав, що при умові виконання локального гравіметричного знімання різниці астрономо-геодезичних і гравіметричних відхилень прямовисних ліній змінюються на земній поверхні за лінійним законом. Це означає, що вказані різниці будуть лінійними функціями координат пунктів.

Припустимо, що для деякої геодезичної мережі з рівномірно розташованими астрономічними пунктами відомими є складові гравіметричних відхилень прямовисних ліній для всіх пунктів цієї мережі. Вони можуть бути обчислені за формулами (5.19) на основі виконаного гравіметричного знімання. Тоді для астропунктів можна отримати різниці

(5.22)

де - складові астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній, - число астропунктів.

Різниці вважаються лінійними функціями планових координат астропунктів. Тому можна написати наступні рівняння

(5.23)

Невідомими в рівняннях (5.23) є інтерполяційні коефіцієнти . Для кожного астропункту можна скласти два рівняння вигляду (5.23). Очевидно, що для розв'язування задачі необхідно мати не менше трьох рівномірно розташованих в геодезичній мережі астропунктів. З метою забезпечення контролю та для забезпечення точності інтерпольованих відхилень прямовисних ліній число астропунктів в геодезичній мережі повинно бути більше трьох. Як ми вже зазначали, при стандартній схемі побудови державної геодезичної мережі число астропунктів у полігоні 1-го класу повинно бути не менше 9. Тоді появляються надлишкові вимірювальні величини, а самі рівняння розв'язуються за способом найменших квадратів. Отримавши значення інтерполяційних коефіцієнтів, можна для будь-якого -го геодезичного пункта, розташованого між астропунктами, обчислити значення , а потім, на основі (5.22), знайти для нього астрономо-геодезичні відхилення прямовисної лінії

і .

В результаті такого інтерполювання складові астроно-геодезичних відхилень прямовисних ліній будуть визначатися із середніми квадратичними похибками .

5.3 Визначення відступів геоїда (квазігеоїда)

Як вже зазначалося у §.5.1, відступи геоїда над земним еліпсоїдом - це перевищення точок геоїда відносно поверхні еліпсоїда. Виміряти безпосередньо ці перевищення не можна. Лише відхилення прямовисних ліній та аномалії сили ваги є тими безпосередньо виміряними величинами, які служать для вивчення фігури Землі. Фігура Землі представляється у вигляді земного еліпсоїда, а однією із задач її вивчення і є визначення відступів фігури геоїда від поверхні еліпсоїда.

Для визначення відступів геоїда (квазігеоїда) чисто гравіметричним методом з використанням лише аномалій сили ваги, відомих по всій поверхні Землі, можна скористатися теорією та відповідними формулами Стокса (теорією та формулами Молоденського). Розглянемо коротко ці підходи.

Проблема визначення зовнішнього гравітаційного поля W Землі і форми рівневої поверхні S потенціалу сили ваги за її значеннями на цій поверхні, згідно (5.2)

,

вперше поставлена і розв'язана англійським вченим Стоксом.

Стокс звів цю проблему до одного з видів крайових задач теорії потенціалу (потенціали в ділянках, де немає притягувальних мас, є гармонійними функціями). Замість W шукається збурюючий потенціал . Розв'язок Стокса визначає тільки головну частину Т. Поскільки вимірювання g виконують на фізичній поверхні , а не на рівневій поверхні (геоїді) S, то потрібно ще перейти із до S (задача редукування), попередньо “забравши” маси, що лежать між і S (задача регуляризації геоїда). Обидві ці задачі не розв'язуються однозначно через те, що не відома густина мас між і S. Тому розв'язок Стокса є наближеним розв'язком задачі визначення форми геоїда це так зване стоксове наближення [11]. Її строгий розв'язок вимагає регуляризації геоїда і редукування виміряних g на геоїд, що неможливо точно здійснити в принципі. Узагальненням теорії Стокса, із якої виключена необхідність регуляризації геоїда і редукування виміряних g, є теорія Молоденського. Щоб уникнути гіпотез і припущень, потрібно вважати потенціал та його похідні заданими тільки в тих місцях, в яких вони безпосередньо вимірюються, тобто на фізичній поверхні Землі. Крайова умова повинна бути задана також на фізичній поверхні Землі, тобто потрібно відмовитися від вивчення рівневої поверхні - геоїда, а перейти до вивчення нерівневої або кусково-рівневої поверхні. В цьому випадку можна побудувати гравітаційне поле в усьому зовнішньому просторі і вивчати форму поверхні, поза якою немає маси, що притягує, тобто фізичної поверхні Землі. Така постановка проблеми та її розв'язок належить М.Молоденському (40-60 р.р. ХХ ст.). В свої роботах він показав, що форма фізичної поверхні Землі і потенціал поза нею, можуть бути визначені, якщо мати в розпоряджені тільки дані спостережень на поверхні Землі, не застосовуючи при цьому модельні представлення внутрішньої будови Землі, переважно земної кори. Таку задачу стали називати задачею Молоденського. Дана задача буде полягати перш за все в тому, щоб отримати рівняння, яке пов'язує фігуру дійсної Землі з такими функціями, числові значення яких отримуються із астрономо-геодезичних та гравіметричних вимірювань на цій поверхні.

При вивченні фігури фізичної поверхні Землі так само, як і при вивченні рівневої фігури Землі методом Стокса, вводиться допоміжна (проміжна відлікова) поверхня - квазігеоїд. Відстань між точками квазігеоїда і еліпсоїдом називають висотою квазігеоїда або аномалією висоти. До її визначення і зводиться, в основному, задача визначення фізичної поверхні Землі або задача Молоденського [11].

Історично так склалося, що через недостатньо повну гравіметричну вивченність земної поверхні в цілому визначення відступів геоїда від поверхні прийнятого еліпсоїда вивчалося геометричними методами. Роль гравіметричних даних зводилася до їх використання при інтерполюванні тих чи інших величин. Оскільки такі класичні методи не втратили свого значення і в теперішній час, то розглянемо їх суть.

5.3.1 Астрономічне нівелювання

Часткові похідні збурюючого потенціалу (тут проведена заміна на ) будуть дорівнювати

.

Підставимо знайдені значення часткових похідних у формулу (5.14) і отримаємо нові вирази для складових відхилень прямовисних ліній

(5.24)

Обчислимо диференційну зміну відступів геоїда , використовуючи топоцентричну горизонтальну систему координат (див. § 1.4). Якщо висота геоїда є функцією цих координат, тобто , то його повний диференціал буде

. (5.25)

Згідно формули (3.47) має місце ортогональне перетворення координат, тобто відрізки

(5.26)

складають ортогональну систему координат. З використанням (5.24) та (5.26) для часткових похідних отримаємо

.

Зауважимо, що часткова похідна по висоті приведена нами без доведення (детальніше див. [9]). Тепер формулу (5.25) можна записати у такому вигляді

.

Поскільки та (див. формулу 3.1), то

.

Проінтегрувавши останній вираз по ходовій лінії між точками та на земній поверхні, отримаємо перевищення геоїда між цими точками

. (5.27)

Формула (5.27) і є формулою астрономічного нівелювання. У цій формулі перший інтеграл є головним, а другий - малою поправкою за відносний надлишок сили ваги.

Отже, сам процес астрономічного нівелювання полягає в наступному. Вздовж вибраної траси повинні бути визначені астрономічні та геодезичні координати точок, взятих на відстанях 5-10 км, їх наближені висоти (будь-яким методом). Необхідно також провести гравіметричне знімання. Після отримання всіх необхідних даних визначають . Звісно, в початковій точці астрономічного нівелювання висота геоїда над земним еліпсоїдом повинна бути відома. Отримання різниць за формулою (5.27) є досить складною справою, особливо це стосується обчислення другого члена. Взагалі ця поправка є порівняно незначною: в гірських районах вона може складати до 0.5м, а у рівнинних - до 0.1м. Зважаючи на величину даної поправки, а також на той факт, що вона визначається досить невпевнено, нею часто нехтують. Тому формулу астрономічного нівелювання часто записують у спрощеному варіанті

, (5.28)

де .

Похибка лінійної інтерполяції астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній визначається для рівнинних районів виразом (5.21). Емпірична середня квадратична похибка астрономічного нівелювання (в м) по лінії довжиною підраховується за формулою

, (5.29)

де -відстань між астропунктами. Для типової в Україні відстані маємо . Тоді при .

Результати астрономічного нівелювання можуть бути суттєво покращені, якщо замість збільшення кількості астропунктів використати інтерпольовані значення астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній (див. § 5.2.3). Використання інтерпольованих відхилень прямовисних ліній зменшує вплив нелінійності зміни астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній, але цілком не виключає його.

5.3.2 Астрономо-гравіметричне нівелювання

Астрономічне нівелювання може бути практично реалізоване при умові, що в кожній точці нівелювання відомі астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній. Це означає, що в кожній з цих точок необхідно виконати астрономічні визначення широти та довготи, а також передати на на ці точки геодезичні координати. Для значних територій це є надзвичайно складна робота. Відхилення прямовисних ліній можуть бути отримані чисто гравіметричним методом з допомогою формул Венінг-Мейнеса (5.19). В силу вказаних там причин цей метод теж є малопридатним для даної задачі. Ще у 1934 р. М. Молоденським був запропонований спосіб визначення висот геоїда, що базувався на можливостях астрономо-геодезичного та гравіметричного методів отримання відхилень прямовисних ліній. При цьому він дозволяв обійти труднощі, що зустрічалися у кожному методі зокрема. Цей спосіб був названий астрономо-гравіметричним нівелюванням. Суть цього способу полягає у тому, що відхилення прямовисної лінії між віддаленими пунктами і можуть бути інтерпольовані за матеріалами гравіметричного знімання та астрономо-геодезичними даними. Інтерполювання проводиться згідно методики, що описана у § 5.2.3. Це дає змогу врахувати нелінійність зміни астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній між суміжними астрономічними пунктами.

Якщо витримані умови астрономо-гравіметричного методу, то середня квадратична похибка астрономо-гравіметричного нівелювання підраховується за формулою (5.29). Враховуючи, що точність , середня відстань між суміжними астропунктами складає , то при .

5.4 Система висот в геодезії

5.4.1 Поняття висоти

Для того щоб знати фігуру реальної Землі, достатньо знати відстані від вибраного еліпсоїда точок фізичної поверхні Землі - висоти точок земної поверхні . Тоді можна говорити про точне знання фігури Землі. Якщо геодезичні координати визначають положення проекцій точок на еліпсоїд, то висоти визначають відступи точок від еліпсоїда по нормалі до нього. Точність буде залежати від густоти точок, у яких відомі значення висот земної поверхні над еліпсоїдом. Значення висот отримують, як правило, із нівелювань, проте отримані висоти віднесені не до еліпсоїда, а до деякої іншої поверхні - рівневої, за яку приймають рівень моря, тобто поверхні геоїда. Якщо припустити, що нівелірні висоти відраховуються від поверхні, яка визначається рівнянням і збігається з рівнем моря, то задача буде полягати у визначенні нівелірних висот точок фізичної поверхні Землі, а також у визначенні висот геоїда від вибраного еліпсоїда. Визначенні таким чином висоти називають геодезичними висотами.

Практична роль, яку відіграють висоти, полягає в наступному:

§ висоти точок земної поверхні визначають рельєф, який потрібно відобразити на топографічних картах;

§ висоти, а особливо точні значення різниць висот окремих точок поверхні Землі, необхідні для проектування і будівництва різноманітних інженерних споруд;

§ знання висот необхідне для обчислення редукцій у безпосередньо виміряні на земній поверхні величини при переході на поверхню еліпсоїда.

Висота виміряна

Якщо прийняти, що початкова точка нівелірного ходу збігається з нуль-пунктом нівелювань , то тоді перевищення h_M точки М на фізичній поверхні Землі над нуль-пунктом О нівелювання, одержане шляхом інтегрування виміряних між точками О і М елементарних перевищень dh (рис.5.2)

, (5.30)

Виміряне перевищення складається з відрізків прямовисних ліній між рівневими поверхнями, які перетинають земну поверхню в точках стояння нівелірних рейок вздовж лінії нівелювання. Рівневі поверхні (див. рис. 5.2), що відображають загальний еліпсоїдний вигляд Землі та місцеві нерівномірності розподілу мас всередині земної кори, не паралельні між собою. Через непаралельність рівневих поверхонь виміряні висоти, визначені за результатами нівелювання різними трасами (наприклад ODM і ОСМ), є неоднозначні. Це означає, що залежить від шляху прокладання лінії нівелювання.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.5.2

Різниці в результатах нівелювання через різні шляхи проведення нівелювання в рівнинних районах можуть досягати сантиметрів, а у гірських районах - метрів. Через цю причину у замкнутих нівелірних ходах, вільних від всіх похибок вимірювань, будуть нев'язки. В подальшому цю нев'язку будемо називати теоретичною нев'язкою.

Вказана вище неоднозначність у визначені виміряної висоти, тобто залежність значення висоти точки від шляху нівелювання, недопустима в точних нівелювальних роботах на значній території.

5.4.2 Ортометричні висоти

Різниця потенцілів сили ваги між точками, що знаходяться на різних рівневих поверхнях, буде визначатися формулою (5.2), а її числове значення у поточній точці М і у нуль-пункті нівелювання О (див. рис.5.2), взята з оберненим знаком називається геопотенціальною величиною. Якщо між точками О і М виконано геометричне нівелювання та виміряні значення сили ваги g в точках стояння рейок, то геопотенціальна величина С_М точки М відносно точки О знайдеться за формулою

, (5.31)

Геопотенціальна величина не залежить від шляху нівелювання. Безпосередньо прирости геопотенціальних величин можуть використовуватися при врівноваженні полігонів геометричного нівелювання, оскільки теоретична сума цих приростів в замкнутому полігоні дорівнює нулю.

Відрізок (див. рис. 5.2) представляє відстань від нуль-пункта висот - геоїда до фізичної поверхні Землі, яку називають ортометричною висотою точки і позначають . Отже, ортометрична висота - це висота точки фізичної поверхні Землі над поверхнею геоїда, відкладена по силових лініях поля сили ваги (чи по прямовисних лініях), що проходять через цю точку. Числове значення ортометричної висоти H^g одержують діленням геопотенціальної величини С_М на середнє інтегральне (можна брати середнє) значення сили ваги вздовж силової лінії (чи відрізка прямовисної лінії) СМ, тобто

. (5.32)

Для точок одної і тої ж рівневої поверхні ортометричні висоти будуть різними настільки, наскільки різними є значення в різних точках одної і тої ж рівневої поверхні. Проте отримати ортометричну висоту точки за формулою (5.32) є проблематичним. Якщо значення інтегралу можна знайти порівняно легко (потрібно виміряти перевищення та знати прискорення сили ваги вздовж нівелірної траси), то величину визначити точно неможливо. Для її визначення, необхідно знати густину мас, що лежать між фізичною поверхнею Землі і геоїдом в кожній точці силової лінії. Величина може бути розрахована при певних модельних припущеннях розподілу сили ваги або густини в земній корі.

В результаті перетвореня формулу (5.32), опускаючи індекси для конкретної точки, приводять до наступного вигляду

. (5.33)

В цьому рівнянні перший інтеграл дає виміряну висоту, другий - поправку у виміряну висоту за непаралельність рівневих поверхонь нормального потенціалу, третій та четвертий дають поправки, що обумовлені аномаліями сили ваги.

При застосуванні ортометричної системи висот геодезична висота точки (див. рис. 5.2) визначиться як сума її складових

,

де -висота геоїда над поверхнею еліпсоїда.

5.4.3 Нормальні висоти

Ортометричні висоти мають суттєвий недолік принципового характеру - вони не можуть бути обчислені точно, оскільки при цьому, як вже вище зазначалося, необхідно задаватися тією чи іншою моделлю розподілу мас в тілі Землі. Від цього недоліку ортометричних висот вільні нормальні висоти, які ввів Молоденський при розробці загальної теорії фігури Землі [11].

Нормальною висотою Н_М точки М фізичної поверхні Землі (рис.5.3) називається відрізок М₀М₂ силової лінії, що проходить через точку в полі нормального потенціалу сили ваги, між рівневими поверхнями (рівневий еліпсоїд) і .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5.3

Числове значення нормальної висоти одержують за формулою

, (5.34)

де - середнє значення нормальної сили ваги по лінії М₀М₂. За аналогією з отриманням виразу (5.33), формулу (5.34) можна перетворити

. (5.35)

З формули видно, що перший член представляє суму виміряних перевищень в нівелірному ході, другий член є поправкою за непаралельність рівневих поверхонь нормального поля сили ваги, а останній член - це поправка за відхилення дійсного гравітаційного поля Землі від нормального.

Якщо від точок фізичної поверхні Землі відкласти по силових лініях нормального гравітаційного поля вниз їх нормальні висоти, то отримаємо поверхню квазігеоїда. Тоді нормальну висоту можна розглядати як висоту точки фізичної поверхні Землі над квазігеоїдом.

Геодезична висота точки дорівнює сумі нормальної висоти і аномалії висоти . Аномалія висоти дорівнює відрізку і називається висотою квазігеоїда над відліковою поверхнею (див. рис. 5.3). Суттєвих поправок за те, що геодезичні висоти відкладають не по силових лініях нормального поля, а по нормалях до еліпсоїда, не виникає. Якщо відліковою поверхнею є референц-еліпсоїд, то

...