(1.7)

де v - кут, утворений головною нормаллю кривої та нормаллю до поверхні. Формула (1.7) виражає відому теорему Меньє:

Радіус кривини якої завгодно кривої на поверхні рівний радіусу кривини нормального перерізу ,що має з нею спільну дотичну, помноженому на косінус кута між нормаллю до поверхні та головною нормаалю кривої.

Величина називається ще нормальною кривиною. Для її визначення служить наступна формула:

(1.8)

Вираз, що знаходиться в чисельнику, називається другою квадратичною формою поверхні. Величини D, D',D'' називаються коефіцієнтами другої квадратичної форми.

Через кожну точку поверхні можна провести цілу низку нормальних площин і, таким чином, отримати цілий ряд нормальних перерізів. Із нормальних перерізів суттєве значення мають два головних взаємно перпендикулярних перерізи: один з найбільшою

кривиною та другий: з найменшою Кривину будь-якого нормального перерізу можна виразити через кривину головних перерізів за формулою Ейлера

(1.9)

де А - азимут даного нормального перерізу.

Крім кривини нормального перерізу, в сфероїдальній геодезії використовується Гауссова кривина

а величина

(1.10)

носить назву середнього радіуса, кривини.

В нормального перерізу хоча б в одній точці головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні. Ця точка називається геодезичною точкою. В геодезичній точці. нормального перерізу кут v рівний нулю. Відповідно, нормальна кривина рівна кривині нормального перерізу в його геодезичній точці. Криву на поверхні, в якої всі точки геодезичні, тобто головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні у всіх точках, називають геодезичною лінією. Геодезичні лінії на поверхні відіграють роль прямих на площині, тому багато положень диференціальної геометрії на площині можуть бути узагальнені для поверхонь з заміною прямих геодезичними.

1.5 Чисельні методи у сфероїдальній геодезії

Ще в недалекому минулому всі обчислення в області сфероїдальної геодезії виконувались з допомогою логарифмів, а пізніше з допомогою малопотужної обчислювальної техніки. При обчисленнях приходилось користуватися об'ємними таблицями тригонометричних функцій та багаточисельними таблицями різноманітних величин, що в основному залежали від широти.

В сучасних умовах, коли ми майже всі масові обчислення виконуються на ЕОМ, абсолютно відпала необхідність в складанні спеціальних таблиць для геодезичних обчислень. Достатньо мати лише обмежене число постійних величин, необхідних для розв'язку тої чи іншої задачі. Прогрес обчислювальних методів з використанням сучасних програмних засобів дозволяє навіть обмежитись записом формул в самому загальному виді, іноді тільки у виді диференціальних рівнянь, а подальші перетворення віднести безпосередньо до процесу роботи на комп'ютері.

Характерним прикладом вибору обчислювальних методів на ЕОМ є застосування чисельних методів для розв'язку диференціальних рівнянь і обчислення еліптичних інтегралів. Такі методи були відомі давно, але на практиці не застосовувались, поскільки були досить трудомісткі і складні для ручних обчислень. Алгоритмів, якими користуються в сучасних чисельних методах дуже багато. Якщо їх реалізувати у вигляді достатньо універсальних програм, то вони можуть стати базовими і слугувати основою сучасних геодезичних технологій.

При розв'язку задач сфероїдальної геодезії приходиться мати справу з наступними обчислювальними задачами:

апроксимація функцій (поліномінальна, дробово-раціональна),

чисельне інтегрування (квадратурні формули Гаусса, Чебишева),

чисельні методи розв'язку диференційних рівнянь з початковими умовами (методи Рунге - Кутта).

Апроксимація функцій (наближення) - це заміщення різноманітних функцій "близькими" до них. більш зручними для використання функціями. До задач апроксимації функцій з параметрами, що входять лінійно, відносяться задачі апроксимації поліномами, а з параметрами, що входять нелінійно -- дробово-раціональні апроксимації. Наближене представлення неперервної функції з допомогою полінома степені п можна отримати з допомогою ряда Тейлора та. цілої низки його модифікацій, а одним із найбільш ефективних методів отримання необхідного числа дробово-раціональних наближень заданої функції є метод ланцюгових дробів.

Приклади апроксимації функції, що мають застосування в сфероїдальній геодезії, будуть наведені в кінці даної книги. Ми лише відмітимо, що безпосереднє отримання коефіцієнтів цих функцій зв'язане з довгими алгебраїчними обчисленнями і на даний час такий шлях не є ефективним, поскільки простіше виконати обчислення із заданою функцією.

Наближене обчислення визначеного інтеграла можна проводити різними методами: Сімпсона, Гаусса, Чебишева, Ромберга тощо. Розглянемо коротко тільки деякі з них.

Для обчислення інтеграла методом Сімпсона інтервал інтегрування ділить на п рівних частин (п - парне число).

Для кожної вузлової точки k (k=0,1,2,...,n) з кроком за аргументом

обчислюють значення підінтегральної функції . Після цього визначений інтеграл може бути обчислений за формулою

(1.11)

За Гаусом наближене обчислення визначеного інтеграла полягає в наступному. В проміжку між граничними .знажннями аргументів х=а і х =b вибирають п. вузлових точок за рівнянням

,

де v_i, - деяке постійне число менше одиниці, віднесене до відповідної вузлової точки. Для кожної вузлової точки за аргументом х_і обчислюють значення підінтегральної функції, яке потім домножують на деяке постійне число що відповідає цій точці.

Значення постійна R_t в залежності від n

n=1	v1=0.5	R1=1
n=2	v1=1-v2=0.21132487	R1=R2=0.5
n=3	v1=1-v3=0.1127016654 v2=0.5	R1=R3=0.2777777778 R3=0.4444444444
n=4	v1=1-v4=0.0694318442 v2=1-v3=0.3300094782	R1=R4=0.1739274226 R2=R3=0.3260725774
n=5	v1=1-v5=0.0469100770 v2=1-v4=0.2307653449 v3=0.5	R1=R5=0.1184634425 R2=R4=0.2393143352 R3=0.2844444444
n=6	v1=1-v6=0.0337652429 v2=1-v5=0.1693953068 v3=1-v4=0.3806904070	R1=R6=0.0856622462 R2=R5=0.1803807865 R3=R4=0.2339569673

Значення інтеграла можна обчислити за наступною формулою:

(1.12)

права частина якої тим ближча до точного значення інтегралу, чим більше використовується вузлових точок.

Методи Рунге-Кутта належать до багатоточкових однокрокових методів чисельного інтегрування систем звичайних диференційних рівнянь. Суть методу Рунге-Кутта полягає в наступному. Нехай функція визначається диференційним рівнянням

та початковими значеннями у=у₀ при х=х₀. Слід знайти чисельне значення функції у_n для заданого значення аргумента

Для визначення у_n послідовно обчислюють значення функцій у_і для рівновіддалених проміжних значень x_i=x₀+h_i (I=1,2,…n) причому за початкові приймають значення x_i-1 I y_n-1, знайдені в попередньому обчислені. Прирісі аргумента є кроком інтегрування величина якого встановлюєіься в залежності від заданої точності визначення функції Функцію y_i обчислюють за формулою

(1.13)

Де

(1.14)

позначення 0(h^k) свідчить про те, що у формулах знехтувано доданками порядку h^k.

При виводі цих формул вихідним рівнянням послужив розклад функції y_i в ряд Тейлора за степенями h до четвертого порядку.

Для розв'язування системи звичайних диференційних рівнянь

будується система рівновіддалених точок x_i=x₀+ih . Обчислення у_ji в кожній точці здійснюється за формулою

(1.15)

де j - номер рівняння системи, і - номер точки інтегрування. Коефіцієнти k_ji

визначаються за формулами, аналогічними (1.14).

Класичний метод Рунге-Кутта частково модифікувався для практичних застосувань (в основному для прискорення та спрощення процесу обчислень). Найбільш відомі модифікації Мерсона (1958) та Інгланда (19..). На даному рівні розвитку обчислювальних засобів особливого виграшу ці модифікації не дають, а отже класичний метод Рунге-Кутта залишається базовим методом чисельного інтегрування диференційних рівнянь першого порядку.

Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда

2.1 Параметри земного еліпсоїда, зв'язки між ними

Поверхня еліпсоїда утворюється від обертання еліпса навколо його малої (полярної) осі.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1

Будь-який еліпс визначається розмірами його великої а і малої b півосей (рис 2.1). За розмірами півосей можна знайти положення фокусів F₁ і F₂ еліпса

Відносна величина, що визначається із співвідношення називається першим ексцентриситетом еліпса.

Мають застосування і інші відносні величини:

другий ексцентриситет

,(2.2)

полярне сплющення (стиснення)

Розміри еліпса визначаються розмірами його великої півосі а. Форма еліпса визначається однією із приведених вище відносних величин, найчастіше це сплющення.

Крім великої та малої півосей еліпса, часто застосовується ще одна лінійна величина, що визначається із співвідношення

Приведені лінійні та відносні величини еліпса називаються параметрами еліпса і відносяться також і до еліпсоїда обертання. Параметри а - велика (екваторіальна) піввісь еліпсоїда і b- мала (полярна) піввісь еліпсоїда або a і називають основними параметрами, що визначають еліпсоїд обертання, а квадрати першого та другого ексцентриситетів е² та - похідними.

Між перерахованими величинами існують залежності. Так із (2.1) та (2.2) отримаємо:

,

Враховуючи вище наведені залежності для полярного сплющення та першого ексцентриситета е отримаємо наступні формули зв'язку

Для виводу числових значень параметрів земного еліпсоїда, переважно великої півосі та сплющення, використовуються відповідні геодезичні, астрономічні, гравіметричні і супутникові виміри.

Для наближених розрахунків можна використовувати наступні значення:

a=6378 км,

а-b=21 км,

е² 2 .

Відомо багато еліпсоїдів, параметри яких визначались в різних регіонах Землі і названі на честь видатних вчених, керівників робіт, що їх визначали:

Назва еліпсоїда	Екваторіальний радіус, м	Сплющення
Kрасовського(1940 Міжнародний(1924) Кларка(1880) Бесселя(1841) Ері(1830) Евереста(1830) Гельмерта (1906) WGS66(1966) GRS67(1967) WGS72(1972) GRS80 (1979) WGS84	6378245 6378388 6378249 6377397 6377563 6377276 6378200 6378145 6378160 6378135 6378137 6378137	1/298.3 1/297.0 1/293.46 1/299.15 1/299.32 1/300.80 1/298.3 1/298.25 1/298.25 1/298.26 1/298.26 1/298.26

Для еліпсоїда Красовського, що застосовується в геодезичних роботах в Україні, крім основних параметрів (див. табл. 2.1), згідно приведених вище формул зв'язку, маємо

b = 6356863.01877;

e² = 0.006693421623;

На даний час, згідно резолюції XVII Генеральної Асамблеї Міжнародної геодезичної та геофізичної спілки (Канбера, 1979), офіційною референцною системою Міжнародної асоціації геодезії є Геодезична Референцна Система 1980 року -GRS80. Ця система визначає основні параметри загального земного (глобального) еліпсоїда. Серед них

a =6378137 м,

e² = 0.006694380023;

Відзначимо, що прийняття загального земного чи референц-еліпсоїда, тобто його розмірів, є одним з основних чинників, що характеризує певну систему геодезичних координат.

2.2 Рівняння поверхні еліпсоїда

Поверхня, як відомо із аналітичної геометрії, визначається рівнянням

F(x,y,z)=0 (2.7)

в прямокутних декартових координатах.

Поверхню можна ще визначити з допомогою трьох рівнянь:

(2.8)

що виражають координати x, y, z у функції довільних параметрів u, v. Виключивши ці парметри із трьох рівнянь (2.8), прийдемо до рівняння виду (2.7). Якщо в рівняннях (2.8) надамо параметрам u, v певні значення, то і для x, y, z отримаємо цілком визначені значення. Отже, кожній парі значень відповідає певна точка на даній поверхні.

Параметри u, відіграють, очевидно, роль координат на даній поверхні; їх називають криволінійними координатами.

Надамо параметру в рівнянні (2.8) яке-небудь постійне значення, а параметр u будемо змінювати. Рівняння (2.8) в такому випадку виражають x, y, z у функції одного довільного параметра u і, відповідно, визначають деяку лінію на поверхні. Змінюючи значення параметра, отримаємо множину ліній .

Цілком аналогічно маємо другу множину ліній . Лінії тієї і другої множини називаються координатними лініями; вони аналогічні прямим на площині, що визначаються рівняннями x=const і y=const.

Із аналітичної геометрії відомо, що рівняння поверхні двоосного еліпсоїда обертання може бути записане у вигляді

.(2.9)

Це-рівняння виду (2.7)

Для поверхні еліпсоїда обертання рівняння виду (2.8) матимуть вигляд

(2.10)

Виключення параметрів u, із рівнянь (2.10), як було сказано вище, повинно привести до рівняння (2.9). Із перших двох рівнянь (2.10) отримаємо

.

Це рівняння і третє рівняння (2.10) можуть бути написані в наступному виді

Їхня сума і дає нам рівняння (2.9).

Вияснимо геометричний зміст координатних ліній. Перш за все розглянемо лінію u=const.

-- рівняння кола (2.12)

Ці формули показують, що площина z=const (рис 2.2) паралельна площині ху і перетинає поверхню еліпсоїда по колу радіуса r.

Рис. 2.2

Коло u=const називається паралеллю, а параметр - широтою.

Паралель з найбільшим радіусом r=a (z=0) називається екватором. Екватор ділить еліпсоїд на дві симетричні половини.

Криві =const є еліпсами і утворюються в результаті перетину поверхні еліпсоїда площинами, що вміщують вісь z. Вони називаються меридіанами, а параметр , який для поверхні еліпсоїда позначається буквою - геодезичною довготою.

Якщо в рівнянні (2.9) виключити координати за (2.12), то отримаємо рівняння меридіана

Широта та довгота є криволінійними координатами точки на поверхні еліпсоїда; рівняння (2.13) - це рівняння еліпса, параметризоване широтою u, яка носить назву - п р и в е д е н а широта.

Приведена широта може бути побудована геометрично. Візьмемо відрізок прямої, рівний великій півосі еліпсоїда, і відкладемо його так, щоб один кінець відрізка лежав на поверхні еліпсоїда в деякій точці Q , а другий - на осі обертання еліпсоїда в точці Q' (рис 2.3)

Гострий кут, утворений відрізком QQ' з площиною екватора, називається приведеною широтою.

Поверхня може бути задана також змінним радіусом-вектором r, та геоцентричною широтою .

Геоцентричною широтою називається кут, утворений радіусом-вектором даної точки з площиною екватора.

Рис. 2.3

Із прямокутного трикутника (рис2.3) отримаємо

, (2.14)

Або (2.15)

Із трикутника (рис2.3) для радіуса-вектора отримаємо наступні вирази

(2.16)

а враховуючи (2.13), радіус-вектор еліпсоїда у функції геоцентричної широти буде

(2.17)

2.3 Зв'язки між координатами

2.3.1 Зв'язок між геодезичною, приведеною і геоцентричною широтами

Для того щоб встановити зв'язок геодезичної широти В з приведеною и, розглянемо який-небудь меридіан, наприклад, такий, площиною якого є площина zx (див. рис.2.2). Для цього меридіана L=const і його рівняння в параметричній формі отримаємо із рівнянь (2.10)

Тангенс кута, утвореного нормаллю з віссю х (рис.2.4), рівний похідній взятій з оберненим знаком

Рис. 2.4

На основі формул (2.15) та (2.19) зв'язок між геоцентричною широтою та геодезичною буде наступним

(2.20)

Для подальшого викладу нам будуть необхідні ще наступні залежності, що легко отримуються із (2.19)

Якщо ввести позначення

(2.22)

то формули (2.21) будуть мати наступний вид

Згідно формул (2.23) і (2.18) можна записати зв'язок між величинами V та W

Із формули (2.24) з врахуванням (2.22) та зв'язку між ексцентриситетами (перша формула із 2.5) отримаємо вираз для V у функції геодезичної широти

Функції V та W називають ще основними сфероїдними функціями геодезичної широти.

У сфероїдній геодезії часто використовується позначення

2.3.2 Зв'язки між різними видами координат

Між просторовими прямокутними (декартовими) та геоцентричними координатами, на основі формул (2.10)

та отриманих співвідношень (2.16), існують прості математичні залежності

(2.28)

Радіус-вектор еліпсоїда визначається із (2.17).

Обернені залежності, на основі (2.28), будуть мати наступний вид

(2.29)

Між просторовими прямокутними координатами X,Y,Z , приведеною широтою и та геодезичною довготою L на основі формул (2.10) та отриманих співвідношень між великою та малою півосями (див. третю формулу (2.5)), існують наступні залежності

Обернені залежності, на основі (2.30), будуть мати наступний вид

(2.31)

Враховуючи співвідношення (2.20) та (2.30), для поверхневих еліпсоїдних координат B,L та декартових X,Y,Z формули зв'язку мають вид

Вираз позначимо через і, як буде видно із подальшого викладу (параграф 2.4), це є рівняння для радіуса кривини першого вертикалу заданої точки на поверхні еліпсоїда у функції геодезичної широти. Остаточно, формули зв'язку будуть наступними:

(2.32)

Обернені залежності будуть мати наступний вид

(2.33)

Перша формула (2.33) отримана простим перетворенням (шляхом ділення другої формули (2.32) на першу). Друга формула (2.33) отримана наступним чином. Із перших двох формул (2.32) отримаємо

Поділивши третє рівняння (2.32) на отримане, дістанемо остаточно друге рівняння (2.33).

Зв'язок між геодезичними координатами та декартовими отримаємо наступним чином. Спроектуємо висоту (див.рис.1.3) на відповідні осі (рис.1.4). Тоді проекції висоти будуть виражені залежностями

(2.34)

Обернені залежності будуть мати наступний вид

(2.35)

Вираз для обчислення довготи знаходимо аналогічно (2.33), а обчислення широти , як видно із (2.35) вимагає застосування процесу наближень. Формула для отримана наступним чином. На основі рівнянь (2.34), після нескладних перетворень, можемо отримати

,

а також

.

Тоді ,

або (2.36)

Поділимо чисельник і знаменник у другому доданку (2.36) на і в результаті перетворень отримаємо

,

а домноживши знаменник другого доданку ще на та після деяких перетворень, остаточно отримаємо формулу, яка після відповідних позначень буде відповідати (2.35).

Що стосується переходу від поверхневих еліпсоїдних координат B,L до плоских x,y, то вид формул залежить від способу зображення (проекції) поверхні еліпсоїда на площині. Для проекції Гаусса-Крюгера формули зв'язку приведенні при розгляді відповідної теми у розділі 4.

2.4 Головні радіуси кривизни в даній точці еліпсоїда

В будь-якій точці поверхні еліпсоїда обертання головними нормальними перерізами є:

меридіальний переріз, тобто нормальний переріз, що проходять через задану точку і полюси еліпсоїда ;

переріз першого вертикалу, що проходить через точку і перпендикулярний до меридіального перерізу точки .

Радіус кривини меридіального перерізу буде радіусом кривини плоскої кривої, від обертання якої утворилась дана поверхня обертання. У сфероїдній геодезії він позначається буквою М. Радіус кривини другого головного перерізу - N. Вказані радіуси аналогічні радіусам та (див. розділ 1, п.1.6).

Згідно теореми Меньє (1.6), радіус кривини першого вертикалу буде рівний радіусу паралелі r , поділеному на косинус кута між площиною паралелі та нормаллю до поверхні

Це означає, що радіус кривини головного перерізу, перпендикулярного до меридіального, рівний відрізку нормалі до поверхні від поверхні до осі обертання (рис 2.5).

Радіуси кривини M та N , як функції широти В даної точки, застосовуються в багатьох теоретичних і практичних розрахунках. У функції широти радіус кривини меридіана М може бути виражений через формули (1.2) або через коефіцієнти першої та другої квадратичних форм поверхні (1.7).

На основі другої групи формул (1.2) та з врахуванням рівняння (2.10) в редакції (2.13) для радіуса кривини меридіана запишемо

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.5

Підставивши у вищенаведену формулу значення похідних, отримаємо вираз для радіуса кривини

Або (2.38)

Вираз (2.38) можна перетворити

З врахуванням першої формули (2.20) та формули (2.21), остаточний вираз для радіуса кривини меридіана буде мати вид

З врахуванням (2.11) вираз для радіуса кривини першого вертикалу буде а використовуючи першу із формул (2.20), остаточно отримаємо

Величини М та N характеризують форму поверхні еліпсоїда в околицях даної точки і в подальшому постійно будуть нами використовуватися. Графічно, залежність радіусів кривини і від широти , показана на рис. 2.6 а) і б) відповідно.

Размещено на http://www.allbest.ru/

а)

б)

Рис.2.6

Більшим за значенням є радіус кривини . Дійсно, згідно формул (2.39) і (2.40), маємо

.

тільки при В=90 , тобто на полюсі, де радіус кривини

Відношення різниці головних радіусів кривини до меншого із них може бути виражений формулою

Величина ² характеризує відступ форми еліпсоїда в околицях даної точки від сфери.

Досить часто застосовуються і інші вирази для радіусів М та N

З використанням введених позначень, формулу (1.8) із розділу 1, запишемо у виді

(2.43)

Дана формула встановлює залежність радіуса кривини нормального перерізу, проведеного під азимутом , від радіуса кривини меридіана та першого вертикала.

Середнє геометричне значення із головних радіусів кривини

називається середнім радіусом кривини еліпсоїда обертання, а рівняння (2.44) є наслідком формули (1.9).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Середній радіус кривини застосовується при зображенні частин еліпсоїда на кулі (див. параграф 2.7.3) або на площині (див. розділ 4), при обчисленнях площ і сферичних надлишків фігур на поверхні еліпсоїда. Наближені значення середнього радіуса кривини для різних широт можна знайти графічно (рис. 2.7).

При розв'язуванні деяких задач Землю приходиться приймати за кулю. Якщо це робиться для досить наближених розрахунків, радіус кулі приймається рівним 6 371 км, в інших випадках можна прийняти .

2.5 Лінійний елемент поверхні еліпсоїда

Через дану точку на поверхні еліпсоїда можна провести низку різних ліній. Кожна з цих ліній певним чином зорієнтована відносно однієї з координатних ліній, а саме меридіана. Кут орієнтування, тобто кут між дотичними, проведеними до меридіана в північному напрямі та заданою лінією, називається геодезичним азимутом А. Він відраховується від меридіана в сторону руху годинникової стрілки. Один і той азимут може мати і декілька різних ліній. Це буде в тому випадку, коли ці лінії мають спільну дотичну в даній точці., наприклад, паралель і перший вертикал в заданій точці поверхні еліпсоїда мають однаковий азимут, який дорівнює 90⁰ (або 270⁰), хоча розташовані вони в різних площинах.

Диференціал дуги ds довільної кривої на поверхні еліпсоїда називається лінійним елементом поверхні еліпсоїда.

На поверхні еліпсоїда координатні лінії мають своє позначення: Х - довжина дуги меридіана від екватора (в сторону полюса) до даної точки; Y - довжина дуги паралелі від середнього (початкового) меридіана до даної точки.

Відомо, що для будь-якої кривої радіус її кривини в даній точці дорівнює відношенню диференціала дуги кривої до до диференціалу кута між дотичними до кривої в крайніх точках цієї дуги. Якщо позначити диференціал дуги меридіана через , а паралелі через , диференціал кута між дотичними до крайніх точок елемента дуги меридіана через , а паралелі через , то, згідно вище зазначеного, для диференціалів дуг меридіана та паралелі отримаємо відповідно

Спроектувавши лінійний елемент на координатні лінії (лінії меридіанів та паралелей), отримаємо (див. рис 2.8)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отримане рівняння (2.46) є аналогом рівняння (1.4) для поверхні еліпсоїда обертання, тобто є першою квадратичною формою поверхні еліпсоїда.

Характер зміни довготи та широти при переміщенні вздовж будь-якої лінії на поверхні еліпсоїда, може бути виражений наступними диференціальними рівняннями, що випливають із (2.45)

(2.47)

(2.48)

Серед цих формул відсутній вираз, що характеризує зміну азимута А в залежності від переміщення вздовж лінії на величину ds. Справа в тому, що ця залежність не буде однаковою для всіх ліній, тоді як приведенні вище формули відносяться до будь-якої лінії на поверхні.

2.6 Довжини дуг меридіана та паралелі. Площа сфероїдної трапеції

Поскільки у формулі лінійного елемента поверхні еліпсоїда (2.46) кожна складова в правій частині є квадрат диференціала дуги координатної лінії, то звідти отримаємо наступні вирази для довжин дуг меридіана та паралелі:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.9

На практиці також часто виникає необхідність обчислення площі частин поверхні еліпсоїда (сфероїдних трапецій), які представляють площі знімальних трапецій.

Сфероїдною трапецією називається частина поверхні еліпсоїда, обмежена меридіанами і паралелями (рис 2.10).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2.10

де М і N визначаються формулами (2.39) і (2.40) відповідно.

Тоді площа сфероїдної трапеції визначається подвійним інтегралом:

2.6.1 Обчислення довжини дуги меридіана

Обчислення довжини дуги меридіана Х, згідно (2.49), зводиться до знаходження еліптичного інтегралу

який в елементарних функціях не береться. Одним із класичних шляхів його знаходження є розклад підінтегрального виразу в біномінальний ряд з подальшим почленним інтегруванням. Маємо

Замінивши в цьому виразі парні степені синуса косинусами кратних дуг згідно відомих рівнянь

та згрупувавши постійні члени і позначивши їх буквами , отримаємо

Звідси, після почленного інтегрування і підстановки границь, знайдемо остаточно

(2.52)

Коефіцієнти визначаються із наступних виразів, основним аргументом яких є ексцентриситет еліпсоїда

(2.53)

За формулою (2.52) можна знайти довжину дуги земного меридіана будь-якої довжини, взявши при цьому необхідну кількість членів розкладу.

Для обчислення довжини дуги меридіана від екватора () до будь-якої паралелі з широтою В , формула (2.52) отримає наступний вид

(2.54)

Формулу (2.54) можна представити ще в такому виді

, (2.55)

де коефіцієнти визначаються через параметри прийнятого еліпсоїда

(2.56)

Формулами (2.55) і (2.56) ми будемо користуватися в розділі 4.

Вираз для довжини дуги меридіана при малих відстаннях (довжини сторін або ланки тріангуляції 1 класу) можна отримати на основі застосування формули Тейлора з введенням середнього аргумента.

Позначимо довжини дуг меридіанів від екватора до точок з широтою та через та . Крім того,

. Тоді можна написати

(2.57)

Приймаючи різницю широт між двома точками малою величиною, запишемо ряд за степенями В

,

Або (2.58)

Індекс “m” при коефіцієнтах цього ряду означає, що вони обчислюються за середнім аргументом . Похідні (і=1,3), можна знайти на основі першої формули (2.49) послідовним диференціюванням:

Тут визначається формулою (2.21).

Останній вираз з точністю до членів з можна записати

Підставивши значення похідних у (2.58), остаточно отримаємо

де M_m обчислюється через B_m за формулою (2.39).

Другий член в правій частині формули (2.59) на широтах 45-55 складає всього лише 0,002м при . Тому для малих різниць широт В, дугу меридіана можна розглядати як дугу кола з центральним кутом, який рівний різниці широт її крайніх точок , і описану радіусом меридіанного перерізу, рівному M_m , тобто

Наближенене значення інтегралу можна обчислити на основі застосування чисельних методів розв'язування означених інтегралів. Серед них: формули трапецій, Сімпсона, Гаусса, Чебишева тощо. В розділі 1 приведено два методи обчислення інтегралу : формули (1.10) для методу Сімпсона та (1.11) для методу Гаусса. Застосуємо вказані формули для обчислення довжини дуги меридіана між точками з широтами та .

В першому випадку розділимо інтервал інтегрування на дві частини з кроком . Для кожної вузлової точки з кроком за аргументом знаходимо значення підінтегральної функції . Тоді, згідно (1.10), отримаємо

. (2.61)

При застосуванні формули (1.11) виберемо дві вузлові точки (і=2). З врахуванням даних табл.1.1, визначимо аргументи функції . При аргументом буде значення широти , а при - . Остаточно, формула для обчислення довжини дуги меридіана методом Гаусса, буде

. (2.62)

Вказані формули є рівноточними і дозволяють обчислювати довжину дуги меридіана при різниці широт до з похибкою м. Для розширення широтного діапазону треба ділити інтервал інтегрування на більшу кількість частин (для методу Сімпсона) або вибирати більшу кількість вузлових точок (для методу Гаусса).

Можна поставити обернену задачу: при відомій довжині дуги меридіана і її середній широті чи , знайти різницю широт кінцевих точок чи широту .

На основі (2.60) отримаємо

. (2.63)

Для визначення широти за довжиною дуги меридіана за основу можна взяти формулу (2.54)

(2.64)

Обчислення широти виконують методом послідовних наближень, приймаючи в першому наближенні .

Коли за основу взяти формулу (2.49), то отримаємо наступні вирази

(2.65)

Недоліком формул (2.64) та (2.65) при обчисленні широти є необхідність застосовування процесу наближень. Без наближень дана задача розв'язується методом перетворення (обертання) тригонометричних рядів. Якщо заданий тригонометричний ряд

то наступний ряд

буде оберненим по відношенню до заданого. Коефіцієнти в цих рівняннях пов'язані співвідношеннями

Якщо тепер за задану взяти формулу (2.55), то обернена до неї буде визначатися із виразу

(2.66)

де коефіцієнти знаходяться із співвідношень

2.6.2 Обчислення довжини дуги паралелі

Рівняння довжини дуги паралелі інтегрується зразу в кінцевому виді, оскільки паралель є колом (див. рис. 2.9) з радіусом

 (2.67)

Очевидно, що при одній і тій же різниці довгот дуга паралелі на різних широтах буде мати неоднакову довжину, поскільки радіус паралелі залежить від широти.

Обернена задача, тобто знаходження різниці довгот, розв'язується строго на основі формули (2.67).

2.6.3 Обчислення площі сфероїдної трапеції

Для обчислення площі формулу (2.50), з врахуванням (2.67), представимо в наступному вигляді

(2.68)

після чого використаємо прийом, аналогічний як при знаходженні інтегралу (2.51), а саме, підінтегральну функцію (2.68) розкладемо в біномінальний ряд:

.

Застосовуючи загальну формулу інтегрування

У формулі (2.69) та - геодезичні координати вершин сфероїдної (знімальної) трапеції.

Якщо задана номенклатура знімальної трапеції, площу якої необхідно обчислити, то перш за все необхідно визначити геодезичні координати і її вершин. Для цього спочатку з допомогою бланкової номенклатури карти знаходять координати вершин трапеції масштабу 1:1000 000, а потім за стандартною процедурою (методом поділу масштабів) геодезичні координати вершин, заданої певним масштабом, трапеції.

Числовий приклад.

Для листа карти масштабу 1: 1 000 000 В₂=52, В₁=48, різниця довгот східної і західної рамок карти . Тоді, згідно формули (2.69), для еліпсоїда Красовського площа трапеції дорівнює км².

Коли мова йде про дійсну площу ділянок фізичної поверхні Землі, то її підраховують не за приведеними формулами, а шляхом безпосереднього вимірювання площ на топографічних картах чи планах.

Для обчислення площі всієї поверхні земного еліпсоїда у формулі (2.69) треба прийняти , . Тоді

. (2.70)

На основі цієї формули можна знайти радіус еквівалентної кулі , площа якої дорівнює площі еліпсоїда

Звідки (2.71)

Радіус кулі, рівновеликої за площею поверхні загального земного еліпсоїда WGS-84, дорівнює, згідно формули (2.71) 6370894м. Це значить, що при розв'язуванні деяких задач, в основному, наближеного характеру, коли форму Землі можна прийняти за кулю, її радіус потрібно брати 6371км.

Крім площі трапеції, на практиці приходиться обчислювати і лінійні розміри її рамок в масштабі карти. Рамки трапеції - це відрізки дуг меридіанів і паралелей. Формули для довжин рамок трапецій, у відповідності з формулами (2.63) та (2.67), будуть

, (2.72)

де - знаменник масштабу карти. Позначення сторін трапеції показані на рис. 2.11.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.11

Стрілку прогину рамки знімальної трапеції розраховують за формулою

(2.73)

Зазначимо, що всі кутові величини, які входять у вищенаведені формули безпосередньо, треба брати в радіанній мірі.

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

3.1 Види геодезичних задач

Виміряні на фізичній поверхні Землі кутові та лінійні величини після редукування їх на математично правильну поверхню, якою слугує поверхня земного еліпсоїда, використовуються в подальшому при розв'язуванні різноманітних геодезичних задач. Основними і найбільш типовими задачами вищої геодезії є: розв'язування трикутників і обчислення координат пунктів та азимутів напрямів, що дозволяють визначати взаємне положення різних точок на еліпсоїді і на фізичній поверхні Землі. Це , переважно, і є кінцевою метою всіх геодезичних робіт.

Остання задача носить назву головної задачі вищої геодезії або головної геодезичної задачі. Отже, головна геодезична задача, в її класичній постановці, безпосередньо зв'язана з методом тріангуляції і розв'язується вона в геодезичних координатах B,L на поверхні прийнятого для опрацювання геодезичних вимірювань еліпсоїда, і на яку пункти фізичної поверхні Землі проектуються нормалями. Суть поняття, що визначається словами "головна геодезична задача" зводиться до наступного. На поверхні земного еліпсоїда маємо точки Q₁ i Q₂. Положення точки Q₁ задано її геодезичними координатами: широтою B₁ і довготою L₁. Крім того відома довжина s геодезичної лінії, що з'єднує точки Q₁ i Q₂, а також азимут A₁ цієї лінії в точці Q₁ (прямий азимут). Вимагається визначити широту B₂ і довготу L₂ точки Q₂, а також азимут A₂ геодезичної лінії Q₂ Q₁ в точці Q₂ (обернений азимут).

Описана задача називається прямою геодезичною задачею.

Якщо заданими величинами є координати B₁,L₁ i B₂,,L₂ точок Q₁ i Q₂, а величинами, що визначаються - азимути A₁, A₂ і довжина s геодезичної лінії, то таку задачу називають оберненою геодезичною задачею.

Рисунок 3.1 іллюструє сказане вище. На ньому: Р - полюс еліпсоїда, лінії Q₁ P i Q₂ P - меридіани точок Q₁ i Q₂.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.1

Розв'язування вказаних задач ускладнюється тим, що виконувати їх потрібно на поверхні, для якої неможна привести кінцевих формул, аналогічних формулам, що використовуються при розв'язуванні подібних задач на поверхні сфери або на площині. При розв'язуванні головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда необхідно враховувати кривину цієї поверхні, що змінюється і залежність її від широти, а також досить високі вимоги, щодо точності результатів обчислень. Хоча математичні методи забезпечують виконання обчислень з будь-якою практично необхідною точністю, проте висока точність, як правило, вимагає досить складних підходів до методів розв'язування головних геодезичних задач.

Лінійні розміри кривих на еліпсоїді одинакової дугової величини також залежать від широти. Тому до геометричних фігур, утворених цими кривими, не можуть бути застосовані звичайні правила рівності їх елементів. Так, наприклад, трикутники з рівними сторонами, але розташовані на різних широтах, будуть мати нерівні відповідно розташовані кути; аналогічно, трикутники, що мають рівні кути і по одній одинаковій стороні, будуть мати нерівні дві інші сторони, якщо вони розташовані не на одній широті.

Проте розв'язування задач на еліпсоїді полегшується тим, що земний еліпсоїд мало відрізняється від сфери, тому трикутники на його поверхні можуть з незначними для практики похибками замінюватись сферичними і їх розв'язування виконуєтьсяться за формулами сферичної тригонометрії.

Використання сфери є дуже вигідним для наближеного розв'язування головної геодезичної задачі, коли задана точність не викликає необхідності введення поправок за перехід з поверхні еліпсоїда. Така задача може виникнути при використанні радіогеодезичних методів вимірюваннь, в навігації, при інженерно- геодезичних вишукуваннях і інших аналогічних задачах. Радіус сфери в таких випадках приймається рівним або середньому радіусу кривини еліпсоїда для області робіт або радіусу такої сфери, площа поверхні якої рівна площі поверхні земного еліпсоїда.

Розв'язування геодезичних задач на сфері, яке базується на методах і формулах сферичної тригонометрії, може використовуватись і як перше наближення при їх розв'язування на поверхні еліпсоїда ( про це буде мова у розділі 3.6.) або як проміжний етап при зображенні за певним законом еліпсоїда на сфері і використання останнього для розв'язування геодезичних задач на еліпсоїді.

При опрацюванні просторових геодезичних мереж (без проектування їх на поверхню еліпсоїда) може виникнути потреба в розв'язуванні головної геодезичної задачі між точками в просторі, особливо часто такі задачі розв'язуються при застосуванні супутникових методів визначення положення пунктів.

Відзначимо, що крім головної геодезичної задачі, класична геодезія має в своєму арсеналі також і інші види геодезичних задач: азимутальна і лінійна засічки, гіперболічна засічка тощо. Конкретний тип засічок визначається в залежності від виду кутових (прямі азимути, різниці прямих азимутів з двох пунктів, обернені азимути, різниці обернених азимутів) чи лінійних (відстані, різниці відстаней, сума відстаней, відношення відстаней) вимірювань. Проте в даний час для визначення координат пунктів кутові і лінійні засічки дуже рідко використовуються, тому основна увага буде зосереджена на розв'язуванні головної геодезичної задачі.

3.2 Короткі історичні відомості

Виникнення головної геодезичної задачі у вище наведеній постановці слід віднести до першої половини ХVII століття, коли Снелліус розробив і запропонував метод тріангуляції, коли в результаті теоретичних вишукувань та практичних робіт цілого ряду вчених було правильно встановлено вид і розміри Землі і, коли, нарешті, були в достатній мірі розроблені математичні методи розв'язування цієї задачі. Природньо, що успіхи в розв'язуванні головної геодезичної задачі обумовлювались широким розмахом геодезичних робіт, як в плані виробництва, так і в плані наукових досліджень.

Першість в науково обгрунтованій постановці і розв'язуванні головної геодезичної задачі належать французам. Франція відігравала керівну роль в цьому питанні протягом всього XVIII ст.. Однією з перших обставин, що заставила вчених зайнятися розв'язком цієї задачі, були роботи Ж.Кассіні (1734) із складання топографічної карти Франції. А перший крок до розв'язування головної геодезичної задачі з врахуванням сфероїдного виду Землі був зроблений А.Клеро (1735), котрий встановив наступне положення, справедливе для всіх поверхонь обертання: для кожної точки найкоротшої лінії на подібній поверхні добуток відстані від осі обертання на синус азимута є сталим. Це положення Клеро, котре носить назву тепер теореми Клеро, створило основу сфероїдної тригонометрії. Л.Ейлер (1753), як засновник сфероїдної тригонометрії, вказав на застосування останньої для трикутників на будь-яких поверхнях, якщо сторони трикутників є найкоротшими лініями. При розв'язування головної геодезичної задачі має застосування теорема А.Лежандра (1787), котра значно спрощує розв'язування трикутників тріангуляції. Лежандр дав три розв'язки головної геодезичної задачі різної точності. Третій розв'язування, в якому використовується геодезична лінія, можна вважати першим прямим розв'язком головної геодезичної задачі.

З двадцятих років XIX ст. першість в даному питанні переходить до німецьких вчених, які дали дуже багато цінного в багатьох теоретичних і прикладних питаннях геодезії взагалі і грали провідну роль протягом XIX ст.

Розв'язування головної геодезичної задачі з застосуванням достатньо зручних формул і з забезпеченням необхідної в той час точності дав в своїх роботах Зольднер (1810). Замість прямого шляху розв'язування К.Гаусс вперше, застосувавши ряд Тейлора, дав непрямий (побічний) шлях, в якому обчислювались не безпосередньо шукані координати і азимути, а лише поправки до вихідних даних. Він же, на основі своєї теорії конформного зображення одної поверхні на другій, дає вивід формул розв'язування головної геодезичної задачі. Оригінальний підхід до розв'язування цієї задачі запропонував О.Шрейбер (1878), що в подальшому дістав назву “спосіб допоміжної точки”. Відомі також формули розв'язування головної геодезичної задачі Ф.Гельмерта (1875), В.Йордана (1883), Л.Крюгера (1919).

Остання чверть XIX ст. і початок XX ст. пов'язана із значними успіхами геодезичних робіт на американському континенті і ця обставина, знову таки, відбилась там і на питанні розв'язування головної геодезичної задачі (А.Кларк, Л.Пюіссан, Тобі, А.Роббінс).

Подальші дослідження цього питання не внесли суттєвих змін. На перший план вийшли чисельні методи розв'язування головної геодезичної задачі з допомогою ЕОМ. Особливістю цих методів є простота програмування, висока точність розв'язування, універсальність і однотипність обчислювальної процедури при будь-яких відстанях (Ф.Харамза (1961), Н.Беспалов (1980)).

Методи розв'язування головної геодезичної задачі між точками в просторі були досліджені в роботах М. Молоденського (1954), М.Хотіна (1957), Н.Дюфура (1959), В.Єремеєва і М. Юркіної (1966).

Треба відзначити і внесок українських вчених у проблему розв'язування геодезичних задач: розв'язок на великі відстані (М.І.Русин), розв'язок в системі просторових координат (А.Є.Філіпов, В.І.Рудський) тощо.

3.3 Точність розв'язування головної геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда

При розгляді питання про точність обчислень при розв'язуванні прямої та оберненої геодезичних задач виходять з того, що похибки обчислень ніколи не повинні збільшувати похибки самих вимірювань. В зв'язку з цим всі обчислення виконують з точністю, що в 5-10 раз перевищує досягнуту точність вимірювань. У відповідності з цією точністю повинні підбиратися формули та розроблятися алгоритми обчислень.

Вихідними даними, крім постійних величин (параметрів еліпсоїда, швидкості розповсюдження електромагнітних хвиль у вакуумі тощо), є результати вимірювань довжин ліній та напрямів (кутів).

Враховуючи, що напрями в високоточній тріангуляції отримуються із спостережень з точністю до 0.01", всі обчислення, пов'язані з визначенням геодезичних азимутів виконують з точністю 0.001".

В першокласних мережах довжини сторін вимірюються з похибкою 1:500 000 - 1:000 000, а кути - з похибкою . Довжини сторін повинні бути не меншими 20 км.

Похибка взаємного визначення положення пунктів (лінійний зсув кінцевої точки лінії довжиною 20 км), яка викликана похибкою виміряної сторони або похибкою виміряного кута, складе

м,

м.

Проекції лінійного зсуву на меридіан і паралель будуть відповідно



Щоб не допускати накопичення похибок обчислень при послідовному розв'язуванні прямої геодезичної задачі від пункта до пункта, обчислення широт і довгот виконують з точністю до 0.0001".

Слід відмітити, що вказана точність характерна для високоточних геодезичних мереж, що створювались методом тріангуляції. В зв'язку з широким впровадженням сучасних супутникових методів визначення положення пунктів, а також їх використання на відстані до тисяч і більше кілометрів, вимоги щодо точності обчислень можуть бути різними. Відзначимо також і те, що при сучасній обчислювальній техніці мова не йде про технічне досягнення потрібної точності, а про вибір методів та алгоритмів розв'язування геодезичних задач в залежності від заданої точності.

3.4 Основні шляхи розв'язування геодезичних задач

3.4.1 Розв'язування сфероїдних трикутників

Класичний метод побудови геодезичної мережі на земній поверхні - метод тріангуляції - складається із геометричних фігур, основними з яких є трикутники, а їхніми вершинами - геодезичні пункти. Виміряні на цих пунктах кутові та лінійні величини виправляються різного роду поправками, що враховують інструментальні похибки, вплив атмосфери тощо, а також приводяться (проектуються) на поверхню вибраного для опрацювання геодезичних вимірювань земного еліпсоїда.

В результаті введення поправок у виміряні значення кутів та ліній, останні поступають на стадію математичного опрацювання з метою врівноваження і подальшого обчислення координат всіх геодезичних пунктів.

Врівноваженню підлягає геодезична мережа, що складається із трикутників на еліпсоїді, які називають ще сфероїдними трикутниками. Для отримання елементів сфероїдного трикутника, переважно довжин його сторін, необхідно його розв'язати, тобто за відомими його елементами знайти невідомі (невимірювані) елементи. При класичному методі побудови геодезичних мереж задача полягає в послідовному обчисленні довжин сторін трикутників тріангуляції, причому відомими є одна сторона та кути кожного трикутника.

На сучасному етапі кардинально змінилася техніка вимірювань. За допомогою GPS-технологій геодезична мережа будується як просторова побудова у вигляді своєрідного багатогранника, гранями якого є плоскі трикутники з виміряними прямолінійними відстаннями між їх вершинами. Врівноваження такої просторової побудови є складним, тому більш традиційний шлях перед врівноваженням полягає в тому, що виміряні відстані редукуються на поверхню вибраного еліпсоїда. При цьому можна знайти всі кути новоутворених сфероїдних трикутників і врівноважувати мережу як лінійно-кутову.

Отже, для встановлення геометричних зв'язків між трикутниками необхідно попередньо знайти величини всіх його елементів - кутів та сторін, тобто розв'язати. Враховуючи, що сторони в першокласних геодезичних мережах рідко перевищують 30 км, то трикутники тріангуляції вважаються малими сфероїдними трикутниками. Саме такі трикутники ми і будемо в подальшому розглядати.

Можливість розв'язування малих сфероїдних трикутників як сферичних була розглянута в попередньому розділі (див. п.2.7.3).

Сферичний надлишок

Із сферичної тригонометрії відомо, що сферичний надлишок сферичного трикутника (рис.3.2) рівний площі цього трикутника, якщо радіус сфери, на якій він розташований, . При сферичний надлишок визначається формулою

. (3.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для практичних обчислень сферичного трикутника будь-якого розміру сферична тригонометрія надає формули різного виду. Серед них:

В малих сфероїдних трикутниках і , тому тригонометричні функції малих аргументів можна розкласти в ряди із збереженням тільки перших членів розкладів:

В результаті отримаємо наступні формули:

(3.2)

Для типових довжин сторін тріангуляції формули (3.2) можна використовувати без членів в дужках

(3.3)

У випадку вимірювання всіх кутів ці формули можна перетворити так, щоб сферичний надлишок був функцією лише однієї сторони

(3.4)

В першокласних геодезичних мережах сферичний надлишок обчислюється з точністю до .

Для обчислення сферичного надлишку в кожному трикутнику, крім кутів, повинні бути відомі також довжини сторін. Вияснимо, з якою точністю повинні бути відомі довжини сторін і кути, щоб обчислений за ними сферичний надлишок мав похибку не більше .

Для рівностороннього трикутника на основі формул (3.4) можемо записати

Продиференціювавши дану формулу за змінними та , отримаємо

Прийнявши, що та , знайдемо допустимі похибки сторін і кутів для різних довжин сторін малого сферичного трикутника (табл. 3.1). В табл. 3.1 приведено також можливі значення сферичного надлишку для рівносторонніх трикутників.

Одним із основних застосувань сферичного надлишку є виявлення нев'язки у трикутнику тріангуляції

(3.5)

Таблиця 3.1

км	м
30 50 100	4 2 1	90 30 10	2 5 20

Способи розв'язування малих сфероїдних трикутників

а) за формулами сферичної тригонометрії

Розв'язування малих сфероїдних трикутників, як було вже зазначено, зводиться до розв'язування сферичних трикутників за формулами сферичної тригонометрії. Так для трикутника (рис. 3.2) при заданій стороні та кутах , на основі формули синусів, запишемо

...