Термодинамика и теплопередача

Рис. 12.1

Рассмотрим две близкие изотермные поверхности с температурами t и t + ?t. Перемещаясь из точки А можно заметить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. Если перемещаться по изотерме, то изменения температуры не обнаружиться. Если перемещаться вдоль направления S, то будет наблюдаться изменение температуры. Наибольшую разность температур на единицу длины будем наблюдать в направлении нормали к изотермной поверхности. Предел отношения изменения температуры ?t к расстоянию между изотерами по нормали ?n , когда ?n>0, называют градиентом температуры

gradt = lim|?t/?n|?n>0 = ?t/?n (град/м) (12-5)

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермной поверхности в сторону возрастания температуры и численно равен частной производной от температуры по этому направлению. За положительное направление градиента принимается направление возрастания температуры.

Закон Фурье для теплопроводности

Связь между количеством теплоты dQ, проходящим через элементарную площадку dF, расположенную на изотермической поверхности, за промежуток времени dф и градиентом температуры устанавливается гипотезой Фурье:

dQ = -лdFgradt•dф = -лdFdф(?t/?n) (12-6)

Минус показывает, что в направлении теплового потока температура убывает и gradt является величиной отрицательной. Множитель л - коэффициент теплопроводности. Уравнение (12-6) носит название закона Фурье.

Количество теплоты, проходящей через единицу изотермической поверхности в единицу времени, называется плотностью теплового потока или вектором плотности теплового потока (Вт/м²)

q = dQ/dF•dф = -л(?t/?n) (12-7)



Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермной поверхности в сторону убывания температуры. Вектор q? и grad t лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Количество теплоты, прошедшей через произвольную поверхность F в единицу времени, называется тепловым потоком (Вт)

Количество теплоты в Дж, прошедшее за время ф через произвольную поверхность F, определяется

Коэффициент теплопроводности

Коэффициент теплопроводности характеризует способность вещества проводить теплоту

Он определяет количество теплоты, проходящей через единицу изотермической поверхности в единицу времени при градиенте температуры равным 1.

В общем случае л зависит от структуры, плотности, влажности вещества, а также от давления и температуры. В технических расчетах значения л берется из таблиц.

Т. к. при распространении теплоты температура в разных частях тела различна, то в первую очередь важно знать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры.

Для большинства материалов эта зависимость оказывается почти линейной

л = л0[1+b(t-t0)] (12-11)

где л0 - коэффициент теплопроводности при t0; t - температура; b - температурный коэффициент, определяемый опытным путем.

Коэффициент теплопроводности газов при повышении температуры возрастает и лежит в пределах 0,005-0,5 Вт/м•град. от давления он практически не зависит (воздух при 00 ?л = 0,0244 Вт/м•к).

Коэффициент теплопроводности капельных жидкостей находится в пределах 0,08-0,7 Вт/м•град и с повышением температуры убывает.

Вода, у которой от 0 до 127 0С л растет, а при дальнейшем увеличении температуры уменьшается. От давления л жидкостей практически не зависит (вода л = 0,5513 Вт/м•к).

Рис. 12.2

Коэффициент теплопроводности строительных и теплоизоляционных материалов лежит в пределах 0,02-3.0 Вт/м•град. С увеличением температуры л возрастает по линейному закону. Значительное влияние на л пористых тел оказывают газы, заполняющие поры и обладающие весьма малым коэффициентом теплопроводности по сравнению с л твердых компонентов. Большое влияние на л оказывает влажность материала. Он может быть больше, чем для сухого материала и воды в отдельности. Так, например для сухого кирпича л ? 0,3, для воды 0,6, а для влажного кирпича 0,9 Вт/м•град. Поэтому при расчетах необходимо учитывать, в каком состоянии находиться материал. Материалы с л меньше 0,2 Вт/м•град - теплоизоляторы.

Лучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых л изменяется от 3 до 458 Вт/м•град. С увеличением температуры л убывает. Теплоту в металлах переносят свободные электроны. Самым теплопроводным материалом является чистое серебро.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаем следующие допущения: внутренние источники теплоты отсутствуют; тело однородно и изотропно; используется закон сохранения энергии (разность между вошедшим количеством теплоты и вышедшим расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого объема).

Выделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами ?x, ?y, ?z.

Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей x, y и z.

Через площадку dx•dy за время dф согласно уравнению Фурье проходит следующее количество теплоты:

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения:

-



где t + dz - температура второй грани, а определяет изменение температуры в направлении z.

Уравнение (12-13) можно представить в виде

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде в направлении оси z равно:

или после сокращения

Приращения внутренней энергии по оси x и y равны:

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии



где dx•dy•dz - объем параллелепипеда, dx•dy•dz?с - масса параллелепипеда, с - массовая теплоемкость, (?t/?ф)•dф - изменение температуры во времени.

Приравниваем (12-17) и (12-18) и получим

Величина - оператор Лапласа, обозначается (набла), а -коэффициент температуропроводности и обозначается а. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

Это уравнение называется еще уравнением Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля. Оно является основным при изучении вопросов нагревания или охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке поля.

Коэффициент теплопроводности а = является физическим параметром вещества и измеряется в м2/сек. В нестационарных процессах а характеризует скорость изменения температуры. Из уравнения (12-20) следует, что а пропорционально изменению температуры во времени для любой точки тела. Следовательно, при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела у которого а больше. Газы имеют малый, а металлы большой коэффициент температуропроводности.

Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явление передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того, чтобы применить его в конкретном случае, необходимо знать распределение температур в теле в начальный момент времени и условия. Кроме того, должна быть известна геометрическая форма тела, его размеры, физические параметры среды и тела и граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела. Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности, или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры берутся для момента времени ф = 0.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие второго рода задается плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой.

Законы конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой отличаются большой сложностью и будут рассмотрены далее.

Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях первого рода.

Теплопроводность через однослойную плоскую стенку

Рассмотрим наиболее распространенный случай - теплопроводность через однослойную стенку, длина и ширина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной д. Стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину, температуры поверхностей tґст и tЅст поддерживаются постоянными, т. е. являются изотермическими поверхностями. Температура меняется только в перпендикулярном направлении к стенке, которое принимается за ось x. Коэффициент л постоянен для всей стенки. При стационарном тепловом режиме температура в любой точке тела неизменна и не зависит от времени, т. е. ?t/?ф = 0. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид

Т. к. а не равно нулю, то нулю равна t , но т. к. тепловой поток направлен вдоль оси x, то первые и вторые производные по y и z тоже равны нулю, следовательно уравнение принимает вид:

d2t/dx2 = 0 (12-22)

Интегрируем уравнение (12-22), находим

dt/dx = const = A (12-23)

Повторно интегрируем и получаем



t = Ax + B (12-24)

При постоянном л это уравнение прямой линии. Найдем постоянные А и В. При x = 0 температура t = tґст = B; при x = д температура t = tЅст = Aд + tґст

Откуда

A = (tЅст - tґст )/д = dt/dx (12-25)

Плотность теплового потока находим из уравнения (12-7):

q = -л(dt/dn) = -л(dt/dx) = -л(tЅст - tґст)/д (12-26)

или q = (tґст - tЅст) (12-27)

Зная удельный тепловой поток, можно вычислить общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки за время ф:

Количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через плоскую стенку, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности л, ее площади F, промежутку времени ф, разности температур на наружных поверхностях стенки (tґст - tЅст) и обратно пропорционально толщине стенки д. Тепловой поток зависит не от абсолютного значения температуры, а от их разности tґст - tЅст = Дt , называемой температурным напором.

Уравнение (12-28) можно получить из закона Фурье, считая, что температура изменяется только в направлении оси x:



Q = -лF(dt/dx) (12-29)

Разделим переменные и получим

dt = -(Q/лF)dx (12-30)

Интегрируем при условии Q = const:

ф= -(Q/лF)x + C (12-31)

Постоянную интегрирования найдем из из граничных условий:

при x = 0 температура t = tґст = с;

при x = д температура

t = tЅст = -(Q/лF)д + tґст, откуда

Уравнение (12-23) справедливо для л = const.

Во многих случаях зависит л от температуры и эта зависимость выражается уравнением

л = л0 (1 + bt) (12-32)

Подставим в уравнение Фурье значение л из (12-32):

q = -л(t) = -л0 (1 + bt) (12-33)

Разделив переменные и интегрируя, получим



При граничных значениях переменных

Вычитая из (12-36) выражение (12-35) находим

Полученное выражение (12-37) позволяет определить плотность теплового потока при реременном л. В этом уравнении множитель л0(1 + b) является среднеинтегральной величиной коэффициента теплопроводности.

В уравнении (12-27) было принято л = const и равному среднему значению лср, поэтому сравнивая (12-27) и (12-37) получаем

лср = л0(1 + b ) (12-38)

Следовательно, если лср определяется при среднеинтегральной температуре tср.ст = (tЅст + tґст )/2, то формулы (12-27) и (12-37) равнозначны.

При этом плотность теплового потока определяется из уравнения



Лекция 11. Теплопроводность через многослойную плоскую стенку

В тепловых аппаратах и химических реакторах встречаются многослойные стенки, состоящие из нескольких плоских слоев различных материалов.

Расчетную формулу для теплопроводности сложной стенки при стационарном режиме можно вывести из уравнения теплопроводности для отдельных слоев, считая, что тепловой поток, проходящий через любую изотермическую поверхность, один и тот же.

Пусть стенка состоит из трех разнородных слоев, плотно прилегающих друг к другу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

x

Толщина слоев соответственно равна д1, д2, д3 и коэффициент теплопроводности их л1, л2, л3. Известны температуры на поверхностях наружных стенок t'ст и t''ст. Температуры между слоями обозначим t'сл и t''сл. Запишем тепловой поток для каждого слоя:

Q = _F_(t'ст - t'сл); Q = _F_(t'сл - t''сл); Q = _F_(t''сл - t''ст)

Решая эти уравнения относительно разности температур и складывая, получаем:



t'ст _ t'сл = _ ; t'сл - t''сл = _; t''сл - t''ст = _

t'ст - t''ст = _

t'ст - t''ст = _( + + ) откуда Q =

(13-1) для любого количества слоев

Q = F _(t'ст - t''ст) / (13-2)

Отношение называется термическим сопротивлением слоя, а величину - полным термическим сопротивлением многослойной плоской стенки.

Температуры между отдельными слоями сложной стенки определяются:

t'сл = t'ст - _;

t''сл = t'сл - _;(13-5)

t'''сл = t''сл - _; и т.д.

t'''сл = t''ст +



Температура в каждом слое стенки при постоянном л изменяется по линейному закону, а для многослойной стенки температурный график представляет собой ломаную линию.

Теплопроводность через однослойную цилиндрическую стенку

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, с внутренним радиусом r, и наружным r2 коэффициент теплопроводности материала постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t'ст и t''ст, причем температура изменяется только в радиальном направлении r. Следовательно, температурное поле будет одномерным, а изотермические поверхности - цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной d r, ограниченный изотермическими поверхностями.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее за единицу времени через этот слой, равно:

Q = - = - 2_ (13-6)

Разделим переменные и получим:

(13-7)

Интегрируем уравнение (13-7) в пределах



; t'ст - t''ст = (13-8)

(13-9)

Как видно из уравнения (13-8) распределение температур в стенке цилиндрической представляет собой логарифмическую кривую. Тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку, определяется заданными граничными условиями и зависит от отношения наружного диаметра к внутреннему.

Тепловой поток может быть отнесен к единице длины трубы ql и к 1м2 внутренней и внешней поверхности q1 и q2. Тогда расчетные формулы принимают вид:

(13-9)

(13-10)

(13-11)

Теплопроводность через многослойную цилиндрическую стенку

Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех плотно прилегающих друг к другу слоев. Температура внутренней поверхности стенки t'ст, наружной t''ст, коэффициент теплопроводности слоев л1, л2, л3. Температура каждого слоя стенки изменяется по логарифмической кривой. Общая температурная кривая представляет собой ломаную логарифмическую кривую.



При стационарном режиме через все слои проходит один и тот же тепловой поток. Для каждого слоя тепловой поток равен:

Решая эти уравнения относительно разности температур и почленно складывая, получаем

(13-2)



Для многослойной цилиндрической стенки из n слоев

(13-3)

Лекция 12. Конвективный теплообмен

Общие понятия и определения

Конвективным теплообменом или теплоотдачей называют процесс переноса теплоты между поверхностью твердого тела и жидкой или газообразной средой. При этом перенос теплоты осуществляется одновременным действием теплопроводности и конвекции.

Явление теплопроводности в жидкостях и газах так же как и в твердых телах, определяется коэффициентом теплопроводности и температурным градиентом. Иначе дело обстоит с явлением конвекции - вторым видом распространения теплоты. Здесь процесс переноса теплоты неразрывно связан с переносом самой среды. Поэтому конвекция возможна лишь в жидкостях и газах, частицы которых могут легко перемещаться.

По природе возникновения различают два вида движения: свободное и вынужденное. Свободным называют движение , происходящее вследствии разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости или газа. Свободное движение называется также естественной конвекцией. Вынужденным называется движение, возникающее под действием постоянных возбудителей, например, вентилятор, насос и др.

Интенсивность конвективного теплообмена характеризуется коэффициентом теплоотдачи, который определяется по формуле Ньютона - Рихмана



	Q=б(tст - tж)F	(15 - 1)

Тепловой поток пропорционален поверхности теплообмена и разности температур стенки и жидкости.

Процессы теплоотдачи неразрывно связаны с условиями движения жидкости или газа.

Рейнольдс в 1884 г. в своих опытах установил, что при движении жидкости встречаются два вида потока, подчиняющихся различным законам. В потоке первого вида все частицы движутся только по параллельным между собой траекторией и движение их длительно совпадает с направлением всего потока. Жидкость движется спокойно, без изменений. Движение такого рода называется ламинарным.

Второй вид потока называется турбулентным, в нем непрерывно происходит перемешивание всех слоев жидкости. Каждая частица потока, перемешиваясь вдоль канала с некоторой скоростью, совершает различные движения перпендикулярно стенкам канала. Чем больше образуется пульсаций, завихрений, тем больше турбулентность потока. Рейнолдьс показал, что характер движения жидкости определяется величиной

		(15 - 2)

где - скорость движения жидкости, м/с; - характерный размер канала или обтекаемого тела, м; - кинематический коэффициент вязкости, м²/с. Критерий Re является безразмерной величиной. До значений Re = 2300 поток движения в трубе остается ламинарным, при больших значениях переходит в турбулентный.

Для процессов теплоотдачи режим движения рабочей жидкости имеет большое значение, так как им определяется механизм переноса теплоты. При ламинарном режиме перенос теплоты в направлении нормали к стенке осуществляется только теплопроводностью. При турбулентном движении жидкости перенос теплоты наряду с теплопроводностью осуществляется перпендикулярным к поверхности канала перемещение жидкости. В качестве жидкости и газообразных теплоносителей в технике применяют: воздух, воду, газы, масло, спирт, расплавленные металлы и другие. В зависимости от физических свойств этих веществ процессы теплоотдачи протекают различно.

Большое влияние на теплообмен оказывают следующие физические параметры: л - коэффициент теплопроводности; с - удельная теплоемкость;

с - плотность; б - коэффициент температуропроводности и м - коэффициент динамической вязкости.

В исследованиях конвективного теплообмена большое значение имеет вязкость между слоями, движущимися с различной скоростью, всегда возникает сила внутреннего трения, ускоряющая движение более медленного слоя и тормозящая движение более быстрого слоя.

Величина силы трения S между слоями, относится к единице поверхности, согласно закону Ньютона пропорционально градиенту скорости по нормали к направлению движения потока, следовательно

		(15 - 3)

где м - динамический коэффициент вязкости или коэффициент внутреннего трения, Н·с/м².

Чем больше м тем меньше текучесть жидкости. Вязкость капельных жидкостей с увеличением температуры уменьшается и почти не зависит от давления.

У газов с увеличением температуры и давления вязкость увеличивается.

В уравнениях гидродинамики и теплопередачи часто входит отношение динамического коэффициента вязкости м и плотности с, называемое кинематическим коэффициентом вязкости:

		(15 - 4)

Вводится понятие коэффициента температурного расширения в, характеризующего изменение объема при изменении температуры на 1 ?С (при p = const).

		(15 - 5)

Для газов это уравнение принимает вид

		(15 - 6)

Теплоотдача твердому телу тепла от жидкости зависит от ее температуры. Температурное поле, в свою очередь, зависит от гидродинамической обстановки в потоке жидкости, которая сложилась к заданному моменту времени. Следовательно, для решения тепловой задачи, вначале необходимо найти распределение скоростей, то есть решить гидродинамическую задачу.

Режимы течения и пограничный слой

Рассмотрим процесс произвольного омывания кого-либо тела безграничным потоком жидкости с постоянной скоростью течения .



В следствии влияния сил трения в непосредственной близости от поверхности тела, скорость течения должна быстро падать да нуля. Тонкий слой жидкости вблизи поверхности тела, в котором происходит изменение скорости жидкости от значений скорости невозмущенного потока вдали от стенки до нуля непосредственно на стенке, называется динамическим пограничным слоем. Толщина этого слоя дg возрастает вдоль по потоку. С увеличением скорости потока, толщина динамического пограничного слоя уменьшается в следствии сдувания его потоком. Напротив, с увеличением вязкости, толщина динамического слоя увеличивается.

Течение в динамическом пограничном слое может быть как турбулентным 1, так и ламинарным 2.

Характер течения и толщина в нем (дЛ и дТ) определяются величиной Re. Следует отметить, что в случае турбулентно динамического пограничного слоя непосредственно у стенки, имеется очень тонкий слой жидкости, движение в котором имеет ламинарный характер. Этот слой называется вязким, или ламинарным, подслоем 3.

Если температуры стойки и жидкости неодинаковы, то вблизи стенки образуется по аналогии с динамическим пограничным слоем тепловой пограничный слой, в котором происходит изменение температуры жидкости.



В не пограничных слоях температура жидкости постоянная t0. В общем случае толщина динамического и теплового пограничных слоев определяется величиной безразмерного числа Прандтля Pr = н/a. Для вязких жидкостей (масло) Pr>1 и толщина динамического пограничного слоя больше толщины теплового пограничного слоя. Для газов Pr ? 1 и толщины слоев приблизительно одинаковы. Для жидких металлов Pr<1 и тепловой слой проникает в область динамического невозмущенного потока.

Изменение физических свойств жидкости в пограничном слое зависит от температуры, в связи с чем интенсивность теплообмена между жидкостью и стенкой оказывается различной в условиях нагревания и охлаждения жидкости. Для капельных жидкостей интенсивность теплообмена при нагревании больше, чем при охлаждении в следствии уменьшения пограничного слоя. Следовательно теплоотдача зависит от направления теплового потока, а также от формы и размера поверхностей.

Коэффициент теплоотдачи

В процессе конвективного переноса теплоты характер течения жидкостей имеют очень большое значение, так как определяется механизм теплоотдачи. Процесс переноса теплоты на границе с поверхностью канала можно выразить законом Фурье

		(15 - 7)



Это же количество теплоты можно выразить уравнением Ньютона - Рихмана

		(15 - 8)

Приравняем и получим

	или	(15 - 9)
		(15 - 10)

Это дифференциальное уравнение описывает процесс теплообмена на поверхности канала (n=0).

Конвективный теплообмен является весьма сложным процессом и зависит от большого числа факторов, определяющих процесс теплоотдачи. Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между жидкость и поверхностью канала. В общем случае коэффициент теплоотдачи является функцией физических параметров в жидкости, характера течения жидкости, скорости движения жидкости, формы и размеров тела.

Отсюда

	(15 - 11)

где x - характер движения жидкости (свободное или вынужденное движение); Ф - форма стенки; - размеры поверхности.

Уравнение (15 - 11) показывает, что - величина сложная и для ее определения невозможно дать общую формулу. Обычно для определения б прибегают к опытным исследованиям.

Дифференциальные уравнения теплообмена

Для сложных явлений, а к ним относятся процесс теплоотдачи, в которых определяющие величины меняются во времени и пространстве, установить зависимость между переменными очень трудно.

В таких случаях, применяя общие законы физики, ограничиваются установлением связей между переменными в небольшом промежутке времени и элементарном объеме пространства. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса. После интегрирования этого уравнения получают аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и рассматриваемого интервала времени.

Такие уравнения можно получить для процесса теплоотдачи. Так как теплоотдача определяется не только тепловыми но и гидродинамическими явлениями, в систему дифференциальных уравнений входят уравнения энергии (или теплопроводности), теплообмена, движения и сплошности.

Вывод всех этих уравнений очень громоздкий, и дается в спец курсах и поэтому мы возьмем их без вывода.

Дифференциальное уравнение энергии устанавливает связь между пространственным и временным изменением температуры в любой точке движущейся жидкости:

		(15 - 12)

Если ===0, уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности для твердых тел.

Дифференциальное уравнение теплообмена выражает условия теплообмена на границе твердого тела и жидкости



		(15 - 13)

Дифференциальное уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости Навье - Стокса:

для оси x			(15 - 14)
для оси y
для оси z

Дифференциальное уравнение сплошности или непрерывности, для сжимаемых жидкостей имеет вид

		(15 - 15)

для несжимаемых жидкостей при с=const уравнение сплошности принимает вид

		(15 - 16)



Лекция 13. Основы теории подобия

При изучении различных физических явлений применяют два метода исследований, которые позволяют получить качественные закономерности для исследуемых явлений. В первом методе используют экспериментальное изучение конкретных свойств, единичного явления, во втором - исходят из теоретического исследования рассматриваемой проблемы.

Достоинства экспериментального метода исследования достоверность получаемых результатов. Основной недостаток экспериментального метода исследования заключается в том, что результаты данного эксперимента не могут быть использованы применительно к другому явлению, которое в деталях отличается от изучаемого. Поэтому выводы, сделанные на основании анализе результатов данного эксперимента, не допускают распространения их на другие явления. Следовательно, при экспериментальном методе исследования каждый конкретный случай должен служить самостоятельным объектом изучения. Последнее обстоятельство является органическим недостатком указанного метода исследования.

Второй метод исследования для нахождения количественных зависимостей, который широко применяется современной наукой, рассматривается в математической и теоретической физике.

При выводе дифференциальных уравнений теоретической физики используют самые общие законы природы. Применение этих общих законов к изучаемым явлениям позволяет получить наиболее общие связи между физическими параметрами явлений.

Любое дифференциальное уравнение (или система уравнений) является математической моделью целого класса явлений. Под классом понимают такую совокупность явлений, которая характеризуется одинаковым механизмом процессов и одинаковой физической природой.

Явление, которые входят в класс, подчиняются одинаковым уравнением как по форме записи, так и по физическому содержанию входящих в него величин.

Например, дифференциальное уравнение теплопроводимости:

описывает целый класс явлений нестационарной теплопроводимости.

Можно записать еще одно дифференциальное уравнение для нестационарного переноса вещества в виде:

где D - коэффициент диффузии; С - концентрация какого-либо вещества.

Это уравнение по форме одинаково с уравнением теплопроводимости, но описывает другой класс явлений; т. к. величины, входящие в него, имеют другое физическое содержание.

При интегрировании любого дифференцированного уравнения можно получить бесчисленное множество различных решений, удовлетворяющих этому уравнению.

Чтобы получить из них одно частное, надо знать все характерные особенности данного явления. Эти дополнительные условия, которые вместе с дифференциальным уравнение однозначно определяют единичное явление, называемое условиями однозначности.

Условия однозначности состоят из: 1).геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или системы; 2).физических условий, которые обладают тела, составляющие данную систему; 3) граничных условий, которые характеризуют взаимодействие системы с окружающей средой; 4).временных условий, характеризующих протекание процесса в настоящий момент времени по всему объему системы.

Дифференциальные уравнения и условия однозначности должны определять конкретное единичное явление. В случае описания косвенного теплообмена из-за слоистости изучаемых явлений найти решение, удовлетворяющее дифференциальным уравнением и условием однозначности, невозможно.

Следовательно, если недостатком экспериментального метода исследования является невозможность распространение результатов, полученных в данном опыте на другие явления, отличающие от изученного, то недостатком математической физики является невозможность перейти от класса явлений, характеризуемых дифференциальными уравнениями и условиями однозначности, к единичному конкретному явлению. Каждый из этих методов в отдельности не может быть эффективно использован для решения практических задач.

Если положительные стороны математического и экспериментального методов исследования объединить в одно целое, то можно получить универсальный аппарат для изучения различных явлений природы. Такое объединение обоих методов осуществляется теорией подобия.

Теория подобия - это учение о подобии явлений. Впервые с понятием подобия мы встречаемся в геометрии, откуда этот термин и заимствован. Как известно, геометрически подобные фигуры, например треугольники, обладают тем свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны, т. е.



Величина Сl называется коэффициентом пропорциональности или константой подобия. Условия (16-1) является формулировкой геометрического подобия, т.е. каждой точке одной фигуры соответствует сходственная точка другой. Причины подобия применимы не только к геометрическим телам, но и к физическим и тепловым процессам.

Рассмотрим правило выбора констант подобия на конкретном примере. Для этого воспользуемся дифференцированным уравнением теплоотдачи. Это уравнение для сходственных точек двух подобных между собой систем записывается так:

для первой системы

для второй системы

Обозначим константы подобия:

где l - характерный размер системы/

Из определения констант подобия следует, что



Подставив эти выражения в выражение (16-3) и сократив на Ct ,получаем:

Уравнение (16-2) и (16-5) тождественны, т. к. они выражают связь между показателями процесса, обусловленную дифференциальным уравнением теплоотдачи для одной и той же точки системы.

Из условий тождественности уравнений следует, что

Величина С называется индикатором подобия.

Из уравнения (16-6) видно, что выбор комплекса констант подобия ограничен условием: любая их комбинация должна быть равна единице.

Заменив значение констант подобия в уравнении (16-6) из уравнений (16-4), получаем:

Следовательно, существуют такие безразмерные соотношения параметров, характеризующих процесс, которые у подобных явлений в сходственных точках имеют численно одинаковые значения.

Эти безразмерные соотношения называют числами подобия.

Они являются безразмерными комплексами.

Числа подобия принято называть именами крупных ученых, известных своими работами в области теплообмена и гидродинамики.

Записанное уравнением (16-7) число называется числом Нуссельта (Nu).

Безразмерные числа подобия представляют собой новые переменные, введение которых значительно уменьшает число величин под знаком функции.

Числа подобия можно получить для любого физического процесса. Для этого необходимо иметь его математическое описание. Последнее является необходимой предпосылкой теории подобия.

Основные положения теории подобия можно сформулировать в виде трех теорем. Две первые из них говорят о явлениях, подобие которых заранее известно, и формулирует основные свойства подобных между собой явлений. Третья теорема обратная. Она устанавливает признаки, по которым можно узнать, подобны ли два явления друг другу.

Первая теорема подобия для подобного течения двух жидкостей была высказана Ньютоном в 1686 г. За исходное уравнение возьмем второй закон Ньютона.

Предположим, что имеем случай движения двух механических систем. Оба явления описываются одним и тем же уравнением:

Существование подобия между явлениями налагает на них следующие условия:



Подставим эти выражения в уравнение (16-10)

Таким образом, уравнения (16-9) и (16-12) тождественны, из чего следует, что:

Это равенство представляет собой математическое выражение первой теоремы подобия, которая гласит: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Если в равенство (16-13) подставить значение величин из (16-11), то получаем:

Это равенство указывает, что число подобия fф/mw одинаково для всех подобных между собой явлений. Полученное число называется именем Ньютона (Ne).



Первая теорема может быть сформулирована еще и так: у подобных явлений числа подобия численно одинаковы. Теорема указывает, при выполнении ответов необходимо и достаточно измерять лишь те величины, которые входят в числа подобия изучаемого явления.

Вторая теорема подобия была доказана в 1911 г. русским ученым Федерманом и в 1914 г. американским ученым Букингемом.

Если уравнение дано в дифференциальной форме, то для нахождения чисел подобия не связано с его интегрированием. Это было показано при получении чисел Nu и Ne. Особую ценность приобретает возможность получения чисел из дифференциальных уравнений, когда последние неинтегрируемы.

Вторая теорема подобия гласит: если физическое явление описывается системой дифференциальных уравнений, то всегда существует возможность представления их в виде уравнений подобия.

Из второй теоремы подобия следует, что если результаты любого эксперимента обработать в числах подобия, то зависимость между ними необходимо выражать в виде уравнения подобия, т. е.:

где k1, k2, k3,…, kn - числа подобия.

Третья теорема подобия устанавливает необходимые условия для того, чтобы явления оказались подобными друг другу. Доказательство ее дано Кирпичевым в 1933 г. Третья теорема исходит из предположения, что явление это протекают в геометрически подобных системах. Это первое условие существования подобия.

Дополнительным условием подобия является равенство чисел подобия, составляющих из величин, входящих в условия однозначности. Такие числа называются определяющими. Числа подобия, в которые входят искомые величины, называются определяемыми.

Таким образом, третья теорема подобия может быть сформирована следующим образом: подобны те процессы, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности, численно одинаковы.

Теория подобия дает общие методические указания, как поступать в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающий процесс, устанавливает пути для правильной постановки опыта и дает указания по обработке полученных результатов. Она является научной основой проведения экспериментов по изучению процессов теплообмена и обобщения результатов опыта.

Для практического применения теории подобия в случае конвективного теплообмена, описываемой системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством переменных, необходимо знать числа подобия, которые войдут в уравнения подобия.

Для получения чисел подобия применяют рассмотренные в предыдущей лекции уравнения:

уравнение движения вязкой жидкости Навье-Стекса по оси х в целях сокращения выкладок

уравнения для несжимаемой жидкости

уравнение энергии потока



уравнение теплообмена на границе твердого тела с окружающей средой

Напишем уравнение для двух подобных систем. Процессы, протекающие в первой системе, описываются уравнениями (16-16)-(16-19), во второй системе аналогичным уравнению только с индексом (ґ).

На основании подобия процессов сходственные для обеих систем связаны попарно множителями подобного преобразования:

Выразим все переменные в уравнениях второй системы (ґ) через переменные первой системы:



В обе подобные системы входят одни и те же переменные, которые определяются одинаковым образом. Это возможно в случае тождественности уравнений (16-16)-(16-19) и (16-20)-(16-23). Из условий тождественности следует, что

Группируем члены этого соотношения по два, получаем

Если в этих соотношениях вместо констант подобия подставить их значение и сгруппировать по индексам, то получим следующие числа подобия:



где Н0 - число подобия гидродинамической гомохронности, характеризует скорость изменения поля скоростей движущейся жидкости во времени; Fr - число Фруда, определяет отношение сил инерции к силам тяжести; Eu - число Эйлера, характеризует соотношения между силами давления и силами инерции; Re - число Райнольдса, представляющее собой отношение сил инерции к силам вязкости и определяющее характер течения жидкости.

Из уравнений энергии получаем следующие соотношения:

Подставляем вместо констант подобия их значение и получаем:

где F0 - число Фурье, критерий тепловой гомохронности, характеризующее связь между скоростью изменения температурного поля, физическими параметрами и размерами тела, Pe - число Пекле, число подобия конвективного теплообмена. Если в число Pe вместо "а" подставить его значение, равное л/cс и помножить числитель и знаменатель на избыточную температуру, то ,т е числитель характеризует теплоту, переносимую конвекцией, знаменатель - теплопроводимостью

Из уравнения теплообмена получаем следующие соотношения:



После преобразования имеем:

Nu - число Нуссельта, характеризующий конвективный теплообмен между жидкостью и поверхностью твердого тела Число Nu определяется теми же величинами, что и число Bi, но в Nu входит теплопроводимость теплоносителя, а в Bi - теплопроводимость твердого тела.

Если разделить Pe на Re ,то получаем число Pr

Pr - число, определяющее физические свойства жидкости.

При изучении теплообмена в свободном потоке жидкости учитывается число Фруда, но в нем необходимо исключить скорость w, которую трудно измерить.

Для этого умножаем Fr на Re2 и получаем

где Ga - число Галилея, характеризующее соотношение сил тяжести и силы молекулярного трения.

Умножая Ga на симплекс , в котором с и с0 - полотности жидкости в двух точках, получаем:



Ar - число Архимеда, определяющее условия свободного движения среды.

Для случая, когда измерение плотности жидкости получается вследствие различия температур в различных ее точках , симплекс можно заменить через вДt, где в - коэффициент объемного расширения среды (для газа ).

Тогда получаем новое число:

Gr - число Грасгофа, характеризующее соотношение подъемной силы, возникающей вследствие разности плотностей жидкости и силы молекулярного трения.

Критерии уравнения конвективного теплообмена

При работе тепловых аппаратов искомыми величинами являются коэффициент теплоотдачи б и гидравлическим сопротивлением Дp. Конвективный теплообмен характеризуется пятью числами подобия - Nu, Eu, Pr, Gr, Re.

Число Nu содержит неизвестный коэффициент теплоотдачи б, а Eu - искомую величину Дp, характеризующая гидравлическое сопротивление при движении жидкости. Поэтому Nu и Eu являются определяемыми числами подобия, а Pr, Gr, Re - определяющими.

При конвективном теплообмене уравнения подобия можно представить в следующем виде:



В случае вынужденного движения жидкости и при развитом турбулентном решение свободная конвекция в сравнении с вынужденной очень мала, поэтому уравнение подобия упрощается:

Для некоторых газов величина Pr в процессе конвективного теплообмена почти не изменяется с температурой, тогда

При свободном течении жидкости, когда вынужденная конвекция отсутствует, вместо Re вводится Gr:

Опытное исследование теплоотдачи капельных жидкостей показано, что коэффициент теплоотдачи б будет величиной, различной в условиях охлаждения и нагревания стенки. Это связано с изменением физических параметров жидкости в пограничном слое.

Для получения уравнений подобия, одинаково справедливых как для нагревания, так и для охлаждения, вводят дополнительные отношения:



Первое соотношение обычно применяется при расчете теплоотдачи газов, остальные два - для расчета теплоотдачи капельных жидкостей.

Академик Михеев М. А. рекомендует учитывать направление теплового потока отношением . Тогда общее уравнение подобия для конвективного теплообмена принимает следующий вид:

Лекция 14. Теплообмен излучением. Общие сведения о тепловом излучении

Носителями лучистой энергии являются электромагнитные колебания с длиной волны от долей микрона до многих километров. В зависимости от диапазона доли волн такие излучения делятся на рентгеновские, ультрафиолетовые, световые, инфракрасные радиоволны.

Для нас наибольший интерес представляют лучи, возникновение которых определяется только температурой и оптическими свойствами излучающего тела. Такими свойствами обладают световые и инфракрасные лучи, длина волн их соответственно 0,4-0,8 мкм и 0,8-800 мкм. Эти лучи называют тепловыми, а процесс их распространения - тепловым излучением.

Природа тепловых и световых излучений одна и та же, разница только в длине волны.

Тепловое излучение свойственно всем телам и каждое из них излучает энергию в окружающую среду, если температура тела не равна . При попадании на другие тела эта энергия частично поглощается, частично отражается и частично проходит сквозь тела. Та часть лучистой энергии, которая поглощается телом, снова превращается в тепловую. Та часть, которая отражается, попадает на другие тела и ими поглощается. То же самое происходит и стой же частью энергии, которая проходит сквозь тела. Таким образом, после ряда поглощений энергия излучения полностью распределяется между окружающими телами. Следовательно, каждое тело не только непрерывно излучает, но и непрерывно поглощает лучистую энергию. В результате этих явлений при одинаковых или различных температурах между телами и осуществляется процесс лучистого теплообмена. При одинаковых температурах тел кол-во отдаваемой энергии излучения будет равно количеству поглощаемой энергии.

Суммарное излучение с поверхности тела по всем направлениям полусферического пространства и по всем длинам волн спектра называют интегральным излучением Q (Вт).

Интегральный лучистый поток, излучаемый по всем направлениям, называют плотностью интегрального излучения E, Вт/м

E=dQ/dF (18-1)

где dQ - элементарный поток излучения, испускаемый элементарной поверхностью dF.

Пусть из всего кол-ва энергии Q, падающего на тело, часть Q поглощается, часть Q отражается и часть Q проходит сквозь тело (рис.18-1) , то

Q = Q+ Q+ Q

Разделив на Q, получим:

A + R + D = 1 (18-2)

A - называется поглощающей способностью, R - отражающая способность, D - пропускательная способность.

Если A=1, то R=0 и D=0. Это означает, что вся падающая лучистая энергия полностью поглощается телом. Такие тела называют абсолютно черными.

Если R=1, то A=0 и D=0. Это когда вся падающая энергия полностью отражается. При этом если поверхность правильно отражает лучи, то такая поверхность называется зеркальной. Если падающий луч при отражении расщепляется на множество лучей, то отражение называется диффузным, а тело - абсолютно белым.

Если D=1, то A=0, R=0. Это когда вся падающая лучистая энергия полностью проходит сквозь тело. Такие тела называют прозрачными.

Абсолютно черных, белых и прозрачных тел в природе нет.

Твердые тела, для тепловых лучей практически непрозрачны, т.е. D=0 , в этом случае

A + R = 1 (18-3)

Вместе с тем имеются тела, которые прозрачны для определенных длин волн. Так, кварц для тепловых лучей непрозрачен, а для световых и ультрафиолетовых прозрачен. Каменная соль прозрачна для тепловых лучей, непрозрачна для ультрафиолетовых лучей.

Оконное стекло прозрачно для световых лучей и не прозрачно для ультрафиолетовых.

Белая ткань прямо отражает лишь видимые лучи, а тепловые поглощает так же хорошо, как и темная.

Для поглощения и отражения тепловых лучей большое значение имеет не цвет, а состояние поверхности. Гладкие поверхности хорошо отражают, шероховатые хорошо поглощают.

При исследовании потоков излучения большое значение имеет распределение энергии излучения, испускаемой абсолютно черным телом по отдельным длинам волн спектра. Каждой длине волны при определенной температуре соответствует определенная интенсивность излучения I. Интенсивность излучения или спектральная (монохроматическая) интенсивность излучения, представляет собой плотность потока излучения тела для длины волны от л до л+d л отнесенная к рассматриваемому интервалу длин волн d л

(18-4)

где I - спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела, ВТ/м

Основные законы теплового излучения.

Закон Планка.

Интенсивности абсолютно черного тела I и любого реального тела I зависит от температуры и длины волны.

Планк теоретически установил следующий закон изменения интенсивности абсолютно черного тела в зависимости от температуры и длины волны

(18-5)

где С=3.74*10 Вт* м - первая постоянная Планка, С=1.44*10 - вторая постоянная Планка; л - длина волны, м; Т - температура тела, К.

Закон Планка можно представить графически

Из рис. Видно, что при интенсивность излучения стремится к нулю. С увеличением л растет I и при некотором достигает своего максимума, затем убывает и при снова стремится к нулю. С повышением температуры максимумы кривых интенсивности излучения смещаются в сторону коротких волн.

Связь между температурой и устанавливает закон Вина:

=2,9*10/ T (18-6)

где измеряется в метрах.

Закон Стефана-Больцмана.

Закон был установлен опытным путем Стефаном и обоснован теоретически Больцманом в 1881г. Он устанавливает зависимость плотности потока интегрального излучения от температуры.

Его аналитическое выражение можно получить из закона Планка. Тепловой поток, излучаемый единицей поверхности черного тела в интервале длин волн от л до л+dл, может быть определен из уравнения

d= I*dл (18-6)

Элементарная площадка на рис 18-2 ограниченная кривой Т=const, основанием dл и ординатами, соответствующими значениям I при л и л+dл определяет кол-во энергии излучения dи называется плотностью интегрального излучения абсолютно черного тела для длин волн dл. Вся же площадь между кривой Т=const и осью абсцисс равна интегральному излучению абсолютно черного тела в пределах от л=0 до л=? при данной температуре.

(18-7)

Подставим в это уравнение значение I, получим



и интегрируя, получим

(18-8)

где - постоянная Стефана-Больцмана и равна 5,67*10 Вт/ м*К. В технических расчетах закон Стефана-Больцмана записывают как

(18-9)

где С - коэф. излучения абсолютно черного тела, С= 5,67 . Следовательно, энергия излучения пропорциональна четвертой степени температуры. Строго закон Стефана-Больцмана справедлив для абсолютно черного тела.

Реальные тела не являются абсолютно черными. Излучение реальных тел так же зависит от температуры и длины волны. Все реальные тела являются серыми телами, и излучение ими называют серым излучением. Под серым излучением понимают такое, которое аналогично излучению черного тела, но интенсивность лучей для каждой длины волны I при любой температуре составляет неизменную долю от интенсивности излучения черного тела I. (рис 18-3). Следовательно

I/ I= е = const (18-10)

Величина е - спектральная степень черноты. Она зависит от физических свойств тела. Степень черноты серых тел всегда меньше 1.

Плотность интегрального излучения серого тела равна

, но I= I* е , тогда

(18-11)

Плотность интегрального излучения серого тела составляет долю, равную е от плотности интегрального излучения абсолютно черного тела.

Величина С= е С Вт/ м *К называется коэф. излучения серого тела. Он зависит не только от физических свойств тела, но и от состояния поверхности, также от температуры и длины волны.

Закон Кирхгофа.

Закон Кирхгофа устанавливает связь между энергией излучения и энергией поглощения. Эту связь можно получить из рассмотрения лучистого теплообмена между двумя параллельными пластинами с неодинаковой температурой, причем одна пластина абсолютно черная с температурой T, вторая серая с температурой Т. Расстояние между ними значительно меньше их размеров, так что излучение каждой из них обязательно попадет на другую.

Составим энергетический баланс. С единицы левой поверхности в единицу времени излучается энергия в количестве Е. Попадая на черную поверхность, эта энергия полностью ею поглощается. В свою очередь черная поверхность излучает энергию . Попадая на серую поверхность, эта энергия частично в количестве поглощается, его остальная часть в количестве отражается, снова попадает на черную поверхность и ею полностью поглощается.

При этих условиях серая поверхность получает энергию в количестве , а расходует Е.

Следовательно, тепловой баланс имеет вид

(18-12)

При равности температур также происходит излучение между поверхностями, но система находится в термодинамическом равновесии и Q=0. Отсюда получаем

или (18-13)

Полученное соотношение может быть распространено на любые тела и поэтому можно записать

(18-14)

В такой форме закон Кирхгофа формулируется так: при термодинамическом равновесии отношение излучаемой способности тела к его поглощательной способности одинаково для всех серых тел и равно излучательной способности абсолютно черного тела при той же температуре. Могут быть и другие записи выражения (18-14). Согласно уравнению (18-11) Е= C подставляя его в (18-14), получаем:

(18-15)

Отсюда следует, что



; и т.д. (18-16)

а т.к. ; и т.д. имеем

, и т.д.

В такой форме закон показывает, что при термодинамическом равновесии поглощательная способность и степень черноты тела численно равны.

Теплообмен излучением между твердыми телами в прозрачной среде.

Теплообмен излучением между параллельными пластинами.

Закон Стефана-Больцмана позволяет определить плотность собственного излучения , которое возникает в поверхностном слое тела и полностью определяется его температурой и физическими свойствами. Если тело участвует в теплообмене излучением с другими телами, то на рассматриваемое тело падает извне энергия излучения в количестве E. Часть падающей энергии излучения в количестве AE телом поглощается и превращается во внутреннюю энергию тела. Остальная часть энергии в количестве RE отражается от тела.

Сумма собственного излучения и отраженного, испускаемых поверхностью данного тела, называют эффективным (фактическим) излучением

(18-20)

Эффективное излучение зависит не только от физических свойств и температуры данного тела, но и от физических свойств, температуры и спектра излучения других окружающих тел. Кроме того, оно зависит от формы, размеров и относительного расположения тел в пространстве.

Рассмотрим теплообмен излучением между двумя серыми параллельными пластинами, разделенными прозрачной средой. Размеры пластин значительно больше расстояния между ними, так что излучение одной из них будет полностью попадать на другую.

Обозначим температуру и , коэф. поглощения и , собственное излучение пластин и , эффективные излучения и , коэф. излучения и . Полагаем >. Первая пластина излучает на вторую энергию , вторая пластина часть этой энергии поглощает, а часть отражает обратно на первую, где снова первая пластина часть поглощает и часть отражает обратно на вторую и т.д. Суммарный поток излучения первой пластины, состоящий из собственного излучения и отражаемого излучения (1-) , находим из уравнения

...