Волновая и электромагнитная физика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вопросы по физике для 3 курса ВГКС

1. Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Принцип Гюйгенса. Интенсивность волны. Стоячие волны.

2. Эффект Доплера в акустике.

3. Ультразвук. Источники и приемники УЗ волн. Применение ультразвука.

4. Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре. Свободные затухающие колебания. Добротность контура. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

5. Вынужденные электрические колебания. Полное сопротивление цепи с C, L и R. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

6. Резонанс напряжений и резонанс токов.

7. Общая характеристика теории Максвелла. Уравнения Максвелла. Вихревое магнитное поле. Ток смещения.

8. Экспериментальное получение электромагнитных волн. Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля.

9. Энергия электромагнитных волн. Давление электромагнитных волн.

10. Основные законы геометрической оптики.

11. Фотометрические величины и их единицы.

12. Преломление света на сферических поверхностях.

13. Тонкие линзы. Формула тонкой линзы и построение изображений предметов с помощью тонкой линзы. Искажения изображений.

14. Электромагнитная теория света. Уравнение световой волны.

15. Когерентные световые волны. Интерференция волн.

16. Методы наблюдения интерференции света: опыт Юнга, метод зеркал Френеля, бипризма Френеля.

17. Интерференция света при отражении от тонких пластинок. Полосы равной толщины и равного наклона.

18. Кольца Ньютона. Применение явления интерференции. Интерферометры. Просветление оптики.

19. Дифракция. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля.

20. Дифракция света на круглом экране и круглом отверстии.

21. Дифракция света на одной щели.

22. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр. Дисперсия и разрешающая сила дифракционной решетки.

23. Взаимодействие света с веществом. Дисперсия и поглощение света. Теория Лоренца. Нормальная и аномальная дисперсия. Закон Бугера-Ламберта.

24. Естественный и поляриз. свет. Поляризаторы. Степень поляризации. Закон Малюса.

25. Поляризация света при отражении и преломлении. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление. Анизотропия кристаллов.

26. Искусственное двойное лучепреломление. Вращение плоскости поляризации.

27. Эффект Доплера для световых волн. Поперечный эффект Доплера.

28. Тепловое излучение. Свойства равновесного теплового излучения. Абсолютно черное тело. Распределение энергии в спектре АЧТ.

29. Законы Кирхгофа, Стефана-Больцмана, закон смещения Вина. Формула Планка.

30. Оптическая пирометрия. Радиационная, цветовая и яркостная температуры.

31. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца.

32. Следствия из преобразований Лоренца: одновременность событий в разных системах отсчета; длительность событий в разных системах отсчета; длина тел в разных системах отсчета.

33. Релятивистский закон сложения скоростей.

34. Основные законы релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.

1.УПРУГИЕ ВОЛНЫ

Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Стоячие волны. Эффект Доплера в акустике

Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако, оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде называется волновым процессом или волной. Пример: сейсмические волны, волны на воде. Направление распространения волны (колебания) называется лучом.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно лучу, т.е. она является упругой волной сдвига. Если же частицы среды колеблются вдоль луча, то упругая волна сжатия называется продольной.

волновая электромагнитная физика оптика

Рис.1. а)Поперечная волна б)Продольная волна

Продольные волны могут возникнуть в среде обладающей упругостью объема, т.е. в твердых телах, жидкостях и газообразных телах. Поперечные волны возникают только в среде, обладающей упругостью формы (деформацией сдвига), т.е. только в твердых телах. Исключение составляют волны на поверхности воды.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Основные закономерности волнового процесса справедливы не только для механических волн упругой среды, но и для волн любой природы, в частности для волн электромагнитного поля. Волны подчиняются законам геометрической оптики, отражаясь и преломляясь у поверхностей раздела сред, где скорость их распространения изменяется.

Уравнение плоской волны.

Пусть колебания источника О гармонические, т.е. описываются уравнением Х = Аsin t. С течением времени все частицы среды тоже придут в гармоническое колебание с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет синусоидальная волна.

х л

?V x

0 y

y

Рис.2.

График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны. График колебания - зависимость смещения данной частицы от времени, график волны - смещение всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.

Получим уравнение волны. Рассмотрим некоторую частицу С. Очевидно, что если частица О колеблется уже в течение времени t, то частица С колеблется еще только в течение времени (t - ), где - время распространения колебаний от О до С. Тогда уравнение колебания для частицы С будет

Х = Аsin(t - ) ,

но =y/V, где V - cкорость распространения волны.

Тогда Х = Аsin(t - y/V) - уравнение волны (1)

Учитывая, что длина волны VT = V/, откуда V = /T, = 2/T =2 получим

Х = Аsin2(t/T - y/) = Asin2(t -y/) = Asin(t -2y/)= Asin(t - кy),

где к = 2/ -волновое число. Если поменять оси координат, то

y(x,t) = Asin(t kx).

Знак (+) указывает противоположное направление распространения.

Расстояние, на которое распространяется колебание за один период, называется длиной волны.

Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы (фазовая скорость). В однородной среде скорость постоянна. При переходе из одной среды в другую меняется скорость распространения волн, ибо меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что при переходе из одной среды в другую будет меняться .

Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны.

Т.о., фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать, используя принцип Гюйгенса, сущность которого в следующем.

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1, рис. 3.

?V y

1 2

Рис.3

Требуется найти его положение через промежуток времени t. Согласно Гюйгенсу, 1)каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна.

Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом

y = Vt,

где V -скорость волны.

2)Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса).

Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V, а следовательно и y неодинаковы в различных направлениях.

Т.к. прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется

интенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии E, переносимой волною сквозь площадь S₊., перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ?t и размеру площади.

I = E/?t•S₊,

откуда I=E, если ?t=1 и S₊=1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт/м²).

Получим выражение для интенсивности волны (можно не давать!!!!!).

Пусть в 1 см³ среды содержится n₀ частиц массой m. Тогда энергия колебания среды в единице объема равна

Е = n₀m²A²/2 = ²A²/2,

где =n₀m.

Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 см² переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см² и высотой, равной V, следовательно интенсивность

I =EV = V²A²/2.

?V

y

1 см² или 1м²

V

Рис.4

Т.о., интенсивность волны пропорциональна плотности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.

Стоячие волны.

Часто приходится наблюдать взаимное наложение волн, при этом частицы среды участвуют сразу в нескольких волновых движениях. Опыт показывает, что в этом случае смещение каждой частицы среды является суммой ее смещений, соответствующим всем налагающимся волнам. Явление наложения называется сложением волн. Одним из важнейших примеров такого сложения служит наложение двух плоских волн, бегущих вдоль оси ОХ в среде без затухания в противоположных направлениях с одинаковыми амплитудой и частотой. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. В этом случае результирующее смещение определяется формулой

Y(x,t)=Asin(t - kx)+Asin(t +kx)=2Asin t coskx=B(x) sint

- уравнение стоячей волны

Такое сложение мы можем наблюдать при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают результирующее колебание, называемое стоячей волной. Колебания струны.

Из уравнения стоячей волны видно, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда В зависит от координаты х:

В(х) = 2А cos kx = 2Acos2x/.

В тех точках, где 2x/ = n (n = 0,1,2,...), амплитуда В достигает максимума, равного 2А. Эти точки наз. пучностями стоячей волны.

Координата пучности равна х_n = n/2. В точках, где 2х/ = (n+1/2), амплитуда В обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов равны

X_y = (n ?)/2.

Из формул для координат узлов и пучностей следует, что расстояние между соседними узлами (так же как и соседними пучностями) равно /2.

На границе, где происходит отражение волны, может возникнуть узел или пучность, это зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникнет пучность (рис.5а), если более плотная - узел (рис.5б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами - образуется пучность.

В случае стоячей волны переноса энергии колебаний нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной.

А

0 х

Рис.5.

Эффект Доплера в акустике

Звуковые волны - механические колебания в определенном интервале частот, распространяющиеся в упругой среде (н = 16 - 20000 Гц).

Если источник, излучающий звуковые волны с частотой н₀ = 1/Т₀, и приемник звука (наблюдатель-слушатель) неподвижны относительно среды, в которой распространяются волны, то частота колебаний н, воспринимаемых приемником, будет равна частоте н₀ колебаний источника (н₀ = н).

Если источник или приемник звука перемещаются относительно среды, то частота н₀ ? н. Это явление называется эффектом Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Пример: лабораторная работа в БГУ.

Предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой, причем скорости V_ист и V_пр положительны при сближении приемника и источника, и отрицательны при их взаимном удалении.

1)Сначала рассмотрим случай, когда приемник приближается к источнику звука, а источник покоится, т.е. V_пр>0, V_ист =0. Тогда скорость распространения волны относительно приемника станет равной V + V_пр. Так как длина волны л при этом не меняется, то

н = (V + V_пр)/л = (V + V_пр)/VT = (V + V_пр) н₀/V, (*)

т.е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (V + V_пр)/V раз больше частоты колебаний источника.

2)Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т.е. V_ист >0, V_пр = 0. Поскольку скорость распространения колебаний зависит лишь от упругих свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние VT (равное длине волны л = VT) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении распространения волны расстояние V_истТ (рис.6), т.е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной

л^' = л - V_истТ = (V - V_ист)Т,

тогда

н = V/ л^' = V/(V - V_ист)Т = V н₀/(V - V_ист), (*)



т.е. частота н колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в V/(V - V_ист) раз. В первом и втором случаях, если V_ист< 0 и V_пр< 0, знак в формулах (*) будет противоположным.

3)Источник и приемник движутся относительно друг друга. Объединив оба уравнения (*), получим общее выражение для частоты н, воспринимаемой приемником звука:

н = (V ± V_пр) н₀/(V -+ V_ист), (**)

причем, в формуле верхние знаки перед скоростями берутся в том случае, когда векторы скорости приемника и источника направлены в сторону сближения, нижние знаки - в случае взаимного удаления источника и приемника.

Если направления скоростей V_ист и V_пр не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (**) надо брать их проекции на направление этой прямой.

Разновидностью эффекта Доплера является так наз. двойной эф. Доплера - смещение частоты волн при отражении их от движущихся тел, поскольку отражающий объект можно рассматривать сначала как приемник, а затем как переизлучатель волн.

Доплеровский эффект позволяет измерять скорость движения источников излучения или рассеивающих волны объектов (используется в радио- и гидролокации для измерения скорости движущихся целей). В астрофизике эффект Д. используется для определения скорости движения звезд и скорости вращения небесных тел. В спектроскопии доплеровское уширение линий излучения атомов и ионов дает способ неконтактного измерения их температуры.

2.УЛЬТРАЗВУК

Ультразвук. Источники и приемники ультразвуковых волн. Применение ультразвука

Ультразвук- упругие волны с частотами от 20 кГц до 1 ГГц. Ультразвук (УЗ) подразделяют на три диапазона: УЗ низких частот (до 10⁵ Гц), УЗ средних частот (10⁵ - 10⁷ Гц), УЗ высоких частот (10⁷ - 10⁹ Гц). Каждый из этих диапазонов характеризуется своими специфическими особенностями генерации, приема, распространения и применения. Длина волны УЗ высокой частоты в воздухе составляет 3,4·10^-3 - 3,4·10^-5 см, что значительно меньше длины волны звуковых волн. Из-за малых длин волн УЗ, как и свет, может распространяться в виде строго направленных пучков большой интенсивности.

УЗ в газах, и в частности в воздухе, распространяется с большим затуханием. Жидкости и твердые тела (в особенности монокристаллы) представляют собой хорошие проводники УЗ, затухание в них значительно меньше. В воздухе и газах применяют только УЗ низких частот, для которых затухание меньше.

Устройства для генерации УЗ разделяют на две группы- механические и электромеханические.

Механические излучатели УЗ - воздушные и жидкостные свистки и сирены, они отличаются простотой устройства и эксплуатации, не требуют электрической энергии высокой частоты. Их недостаток - широкий спектр излучаемых частот и нестабильность частоты и амплитуды, что не позволяет использовать их для контрольно-измерительных целей; они применяются главным образом в промышленной УЗ-вой технологии и частично - как средство сигнализации.

Основными излучателями УЗ являются электромеханические, преобразующие электрические колебания в механические, которые используют в основном два явления: пьезоэлектрический эффект и магнитострикцию.

Обратный пьезоэлектрический эффект - это возникновение под действием электрического поля деформации в вырезанной определенным образом кварцевой пластине или пластине титаната бария. Если такую пластину поместить в высокочастотное переменное эл. поле, то можно вызвать ее вынужденные колебания. Для увеличения амплитуды колебаний и излучаемой в среду мощности, как правило, применяются резонансные колебания пьезоэлектрических элементов (пластин) на их собственной частоте. Предельные интенсивности излучения УЗ определяются прочностными свойствами материала излучателей. Для получения очень больших интенсивностей УЗ используют его фокусировку (параболоид).

Магнитострикция - это возникновение деформации в ферромагнетиках под действием магнитного поля. В ферромагнитном стержне (никель, железо и др.), помещенном в быстропеременное магнитное поле возбуждаются механические колебания, амплитуда которых максимальна в случае резонанса.

Приемники УЗ. Вследствие обратимости пьезоэффекта пьезоэлектрические преобразователи используются и для приема УЗ. Ультразвуковые колебания, воздействуя на кварц, вызывают в нем упругие колебания, в результате чего на противоположных поверхностях кварца возникают электрические заряды, которые измеряются электроизмерительными приборами.

Применение УЗ. УЗ широко используется в технике, например для направленной подводной сигнализации, обнаружении подводных предметов и определении глубин (гидролокатор, эхолот). Принцип локации: посылается импульс УЗ и регистрируется время t до его возвращения после отражения от предмета, расстояние L до которого измеряется.

L = Vt/2

По данным измерения поглощения УЗ можно осуществлять контроль за протеканием технологических процессов (контроль состава жидкостей, концентрации газов и т.д.). Используя отражение УЗ на границе различных сред с помощью УЗ-вых приборов измеряют размеры изделий (УЗ-вые толщиномеры), определяют уровни жидкостей в емкостях, недоступных для прямого измерения. УЗ используется в дефектоскопии для неразрушающего контроля изделий из твердых материалов (рельс, крупных отливок, качества проката и т.д.). Отдельно следует отметить, что при помощи УЗ осуществляется звуковое видение: преобразуя УЗ-вые колебания в электрические, а последние в световые, оказывается возможным увидеть те или иные предметы в непрозрачной для света среде (например, УЗИ брюшной полости, и т.д.). УЗ применяют для воздействия на различные процессы (кристаллизацию, диффузию, тепло- и массообмен в металлургии и т.д.) и биологические объекты, для изучения физических свойств веществ (поглощения, структуры вещества и т.д.). Ультразвуковая хирургия, микромассаж тканей,…

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Вопросы

1.Свободные колебания в LC-контуре. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

2. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение.

3. Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

4. Резонанс напряжений и резонанс токов.

1. Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения во времени значений силы тока и напряжения в электрической цепи, а также обусловленные этим взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, которые описывают соответственно векторы напряженности электрического Е и магнитного Н полей. Примером электрической цепи, в которой возникают такие колебания, является электрический колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R, рис.1.

- С + I=dq/dt

ц₂ ц₁> ц₂

R L

K E_c =-LdI/dt

Рис.1.

Если сопротивление R мало (R>0) электрический контур является идеальным (LC - контур). При R?0 часть электрической энергии будет расходоваться на нагревание проводников и будет наблюдаться затухание колебательных процессов.

Свободные колебания в LC-контуре. Колебания электрического тока в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд q, либо возбудив в индуктивности ток. Воспользуемся первым способом. При разомкнутом ключе К зарядим конденсатор С. Между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого W_C = q²/2C. После замыкания ключа К емкость начнет разряжаться и в контуре потечет электрический ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но возникнет и начнет увеличиваться энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность L. Энергия магнитного поля W_L=LI²/2. Если R = 0, то в момент когда напряжение на конденсаторе, заряд, а следовательно и энергия W_C обращаются в нуль, энергия магнитного поля W_L и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции Е_с). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора С достигнут первоначального значения q (но противоположных знаков), сила тока в цепи станет равной нулю. После этого рассмотренные процессы начнут протекать в обратном направлении, контур вернется в исходное состояние и весь цикл повторится снова. Колебания электрического тока (заряда, напряжения) сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

При возрастании электрического заряда на положительно заряженной обкладке конденсатора сила тока в цепи равна

I = dq/dt. (1)

Для расчета электрической цепи запишем закон Ома, условившись, что обход контура будем совершать против часовой стрелки:

IR = ц₁ - ц₂ + E_C. (2)

Подставив разность потенциалов между обкладками ц₂ - ц₁ =q/C и э.д.с. самоиндукции E_c =-LdI/dt, равенство (2) можно переписать в виде дифференциального уравнения второго порядка по отношению к заряду q=q(t) на обкладках конденсатора, и таким образом получим дифференциальное уравнение второго порядка колебаний заряда в контуре:

Ld²q/dt² +Rdq/dt + q/C = 0. (3)

Поскольку внешние э.д.с. в контуре отсутствуют, то рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания.

Если учесть, что R = 0, то процесс периодического превращения электрической энергии в магнитную и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электрические колебания. Напряжение на обкладках конденсатора меняется во времени по закону U = U₀cosщ₀t, а ток в катушке индуктивности - I = I₀cosщ₀t, т. е свободные колебания в контуре являются гармоническими с частотой щ₀ = 2р/Т₀. Используя стандартные обозначения для собственной циклической частоты щ₀ гармонических колебаний:

щ₀ = 1/vLC, (4)

уравнение (3) перепишем так

d²q/dt² + щ₀²q = 0 (3а)

- дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний электрического заряда в контуре.

Решением уравнения (3а) является функция

q = q_mcos(щ₀t + б). (5)

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой щ₀ = 1/vLC, которая называется собственной циклической частотой контура, она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора.

Из (4) получаем выражение для периода колебаний (формула Томсона):

T₀ = 2рv(LC). (6)

Используя известную формулу q = UC и (5), запишем выражение для напряжения на конденсаторе:

U_с = (1/C)q_mcos(щ₀t + б) = U_m cos(щ₀t + б). (7)

Продифференцировав функцию (5) по времени, получим выражение для силы тока в контуре:

I = - щ₀q_m sin(щ₀t + б) = I_m cos(щ₀t + б + р/2). (8)

Из (8) видно, что сила тока в катушке индуктивности L опережает по фазе напряжение на конденсаторе C на р/2. Сопоставление формул (5), (7) и (8) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот, как мы уже это установили ранее, основываясь на энергетических соображениях. Амплитудные значения тока и напряжения:

U_m=q_m/C, I_m = щ₀q_m, U_m = I_mv(L/C).

2. Свободные затухающие колебания. Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R?0, это приводит к затуханию колебаний. Введем обозначение в=R/2L, где в - коэффициент затухания, тогда уравнение (3) можно переписать следующим образом

d²q/dt² + 2вdq/dt + щ₀²q = 0. (9)

(9) - дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

При условии, что в<щ₀ решение уравнения (9) для заряда q имеет вид затухающих колебаний:

q = q_m e^-вt cos(щt + б), (10)

где щ = ?( щ₀² - в²) - частота затухающих свободных колебаний, очевидно, что щ<щ₀. Таким образом, потери энергии приводят к изменению не только амплитуды колебаний, но и их частоты.

После подстановки в последнее выражение значений для щ₀ и в, получим

щ = ?(1/LC - R²/4L²). (11)

При R = 0 выражение (11) переходит в (4).

Колебания заряда на обкладках конденсатора происходят с периодом

Т = 2р/щ и убывающей амплитудой q_m (t) = q_mexp(-Rt/2L), рис.2.

q

t

Рис.2.Затухание свободных колебаний заряда в RLC- контуре.

Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации

ф = 1/в = 2L/R,

т.е. индуктивность L является мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.

Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока в контуре

I = dq/dt = q_m e^-вt [-вcos(щt + б) - щsin(щt + б)].

Это выражение можно преобразовать к виду

I = I_me^-вtcos(щt + б +Д). (12)

Из (12) видно, что сила тока в контуре затухает со временем, а колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Д) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

л = ln a(t)/a(t+T) = вT, (13)

где a(t) - амплитуда соответствующей величины (q, U или I). Вспомним, что л = 1/N_e, где N_e- число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Подставив в (13) значение для в=R/2L и Т=2р/щ, получим

л = (R/2L)(2р/щ) = рR/Lщ, (14)

т.е. логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура L, C и R и является характеристикой контура.

Если затухание невелико (в<<щ₀), то в (14) можно считать щ ? щ₀ =1/vLC. Тогда

л ? (рR/L)·v(LC) = рR·v(C/L).

Величину v(C/L), которая имеет размерность электрического сопротивления, называют волновым сопротивлением.

Качество колебательного контура часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

Q = р/л = рN_e. (15)

Видно, что добротность контура тем больше, чем большее число колебаний он успевает совершить, прежде чем амплитуда колебаний уменьшиться в е раз. В случае слабого затухания

Q = (1/R)·v(L/C). (16)

При увеличении сопротивления контура R затухание колебаний увеличивается, коэффициент затухания растет и при в² ? щ₀² вместо колебаний в контуре происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления R_k определяется условием

R_k²/4L² = 1/LC, (17)

откуда

R_k = 2v(L/C). (18)

Таким образом, условие возможности колебаний в контуре записывается в виде:

R < 2v(L/C = R_k. (19)

Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение

Для получения незатухающих колебаний нужно непрерывно пополнять энергию контура от внешнего источника, чтобы компенсировать потери на джоулево тепло, оказывая внешнее периодически изменяющееся воздействие, например, включив последовательно с элементами контура переменную э.д.с. (Е = Е₀cosщt) или, разорвав контур, подавать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (U = U_m cosщt).

Колебания, возникающие в CLR-цепочке при наличии переменной э.д.с., называются вынужденными.

Эту э.д.с. нужно прибавить к э.д.с. самоиндукции, в результате уравнение (3) из предыдущей темы примет вид

Ld²q/dt² +Rdq/dt + q/C = Е₀cosщt (1)

- дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний.

Вынужденные колебания электрического заряда в цепи контура определяются частным решением этого неоднородного уравнения. Это частное решение имеет вид

q = q_mcos(щt - ш), (2)

Установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (2), где ш - сдвиг фаз между внешней э.д.с. и напряжением (зарядом) на конденсаторе, а

tg ш = R/(1/щC -щL).

Продифференцировав выражение (2) по переменной t, получим выражение для силы тока в контуре при установившихся колебаниях

I = - щq_m sin(щt - ш) = I_m cos(щt - ш + р/2),

где амплитуда силы тока в контуре

I_m = E₀/vR² + (щL - 1/щC)²,

R_L = щL - реактивное индуктивное сопротивление,

R_C = 1/щC - реактивное емкостное сопротивление,

Х = щL - 1/щC - реактивное сопротивление,

Z = vR² + (щL - 1/щC)² - полное (эффективное) сопротивление электрической цепи (колебательного контура).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит не только от амплитуды внешней э.д.с., но и от ее частоты щ.

Выражение для силы тока можно записать также в виде

I = I_m cos(щt - ц), (3)

где ц = ш - р/2 -сдвиг по фазе между током в контуре и приложенной э.д.с., а

tgц = tg(ш - р/2) = - 1/tgш = (щL -1/щC)/R. (4)

Разделив выражение (2) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

U_C = (q_m/C) cos(щt - ш) = U_Cmcos(щt - ц -р/2), (5)

где

U_Cm = q_m/C = U_m/щCv R² + (щL - 1/щC)² = I_m/щC. (6)

Умножив производную функции (3) на индуктивность L, получим напряжение на индуктивности

U_L = L(dI/dt) = - щLI_msin(щt - ц) = U_Lmcos(щt - ц + р/2), (7)

где U_Lm = щLI_m.

Сравнивая (3), (5) и (7) видим, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на р/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на р/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Эти же результаты можно получить с помощью векторной диаграммы, как для переменных токов. Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей L, C и R, переменного электрического тока.

Резонанс напряжений и резонанс токов

Подключим к CLR-контуру переменное синусоидальное напряжение U = U_m cosщt. В цепи переменного тока, с последовательно включенными L, C и R, полное сопротивление контура имеет минимальное значение Z_min = R, если щL = 1/щC. В этом случае падения напряжения на индуктивности и конденсаторе равны, а их фазы противоположны, т.е. (U_L)_рез опережает (U_С)_рез по фазе на р, так что (U_С)_рез + (U_С)_рез = 0. Ток в цепи принимает максимальные значения (возможные при данном U_m), определяемые минимальным сопротивлением, что свидетельствует о наличии резонансной частоты щ_рез для тока, значение которой определяется из условия

щL = 1/щC, откуда щ_рез = 1/vLC = щ₀, (8)

т.е. резонансная частота для силы тока равна циклической частоте собственных колебаний в контуре. Напряжение U_R на активном сопротивлении R в этом случае равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (U_R =U). При этом сила тока и внешнее напряжение совпадают по фазе.

Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в контуре с последовательно включенными L, C, R и Е при щ_рез = 1/vLC = щ₀ называется резонансом напряжений (последовательным резонансом).

I₀ I_m

0,7·I_{m рез}= I_{m рез}/v2

щ₁ щ_рез щ₂ щ

Рис.2. Резонансная кривая колебательного контура.

Кривая зависимости амплитуды силы тока в контуре от частоты внешнего напряжения называется резонансной характеристикой контура, рис.2. Частота щ_рез не зависит от активного сопротивления контура R. Дщ = щ₂ - щ₁ - полуширина резонансной кривой. Частоты щ₁ и щ₂ соответствуют амплитуде силы тока в контуре, которая в v2 раз меньше максимально возможной амплитуды тока.

Поскольку в случае резонанса напряжений (U_L)_рез = (U_С)_рез, то подставив сюда значения резонансной частоты (8) и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе (6), (7), получим

(U_L)_рез = (U_С)_рез = I_m vL/C = (U_m/R)vL/C = QU_m, (9)

где Q - добротность контура. Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. Так как Q обычных колебательных контуров больше единицы, то (U_L)_рез = (U_С)_рез > Е, т.е. добротность показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе (катушке) больше напряжения (э.д.с.), приложенного к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты, выделения из многих сигналов одного колебания определенной н.

Можно показать, что относительная полуширина резонансной кривой связана с добротностью контура следующим соотношением

Дщ/щ_рез=RvC/L=1/Q. (10)

При резонансной частоте сдвиг фаз ц между током и напряжением обращается в нуль (ц=0), т.е. изменения тока и напряжения происходят синфазно колебаниям внешней э.д.с.:

Е = E₀cos щ_резt, I_рез = (E₀/R)cos щ_резt, I₀^max = E₀/R.

Резонанс токов. Рассмотрим цепь переменного электрического тока, содержащую параллельно включенные L и С, рис.3. Пусть активное сопротивление R = 0.

I₁ C

I 1 2

I₂ L ~U

Рис.3.

Если U =U_mcosщt, то в ветви 1С2 течет ток

I₁ = I_m1cos(щt-ц₁). (11)

Начальная фаза ц₁ определяется условием tg ц₁ =-?, т.е. ц₁ = (2n+3/2)р, n=1, 2, 3, ... , а амплитуда тока (при условии L = 0 и R = 0) равна

I_m1 = U_m/(1/щC).

Сила тока в ветви 1L2

I₂ = I_m2cos(щt-ц₂), (12)

а начальная фаза ц₂ , определяемая из условия tg ц₂ =+?, равна ц₂ = (2n+1/2)р, n=1, 2, 3, ... Амплитуда тока (при R = 0 и С=? - условие отсутствия емкости в цепи) равна

I_m2 = U_m/(щL).

Cравнивая выражения (11) и (12) видим, что ц₂ - ц₁ =р, т.е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда тока во внешней (неразветвленной) цепи согласно первому правилу Кирхгофа равна

I_m = | I_m1 - I_m2 |= U_m |щC - 1/(щL)|.

Если щ = щ_рез = 1/v(LС), то I_m1 = I_m2 и I_m = 0.

Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор С и катушку индуктивности L, при приближении частоты щ приложенного напряжения к резонансной частоте щ_рез называется резонансом токов (параллельным резонансом).

Амплитуда тока I_m = 0, так как считали, что активное сопротивление контура R = 0. При R ? 0 разность фаз ц₂ - ц₁ ? р, поэтому I_m ? 0 и сила тока I в подводящих проводах примет наименьшее возможное значение, обусловленное только током через резистор. При резонансе токов силы токов I₁ и I₂ могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный параллельный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной. Поэтому его свойства используются в резонансных усилителях, позволяющих выделить одно колебание определенной частоты из сигнала сложной формы.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Вопросы.

1.Общая характеристика теории Максвелла. Вихревое магнитное поле.

2. Первое уравнение Максвелла в интегральном виде.

3. Ток смещения. Второе уравнения Максвелла в интегральном виде.

4. Третье и четвертое уравнения Максвелла. Уравнения состояния.

1. Общая характеристика теории Максвелла. Вихревое магнитное поле. Ток смещения

Фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающей электромагнитные явления в любой среде (и в вакууме) были получены в 60-х гг. 19 века Дж. Максвеллом на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений и развития идеи английского ученого М. Фарадея о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляется посредством электромагнитного поля (явление электромагнитной индукции). Максвелл предложил уравнения, связывающие воедино электрические и магнитные явления, и предсказал существование электромагнитных волн. В теории Максвелла раскрывается электромагнитная природа света. Теория Максвелла является макроскопической, так как в ней рассматриваются поля, создаваемые макроскопическими зарядами и токами, сосредоточенными в объемах значительно больших, чем объемы отдельных атомов и молекул.

Теория Максвелла для электромагнитного поля связывает величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, т.е. распределением в пространстве электрических зарядов и токов. Векторы Е, D, B и H электромагнитного поля в сплошной среде подчиняются уравнениям связи, которые определяются свойствами среды. Электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции, т.е. полное поле нескольких источников представляет собой векторную сумму полей, создаваемых отдельными источниками.

Рассмотрим явление электромагнитной индукции. Из закона Фарадея

Е_ин = - ?Ф_m /?t (1)

следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и появлению вследствие этого индукционного тока. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, проводящий контур, в котором появляется э.д.с., играет второстепенную роль, являясь лишь индикатором, обнаруживающим это поле.

2.Первое уравнение Максвелла в интегральной форме

Первое уравнение Максвелла представляет собой закон индукции Фарадея. Согласно определению, э.д.с. равна циркуляции вектора напряженности электрического поля Е:

Е = ?E·dl, (2)

которая для потенциального поля равна нулю. В общем случае изменяющегося вихревого поля для Е_ин получим

?E·dl = - dФ_m /dt = -?(?B/?t) dS. (3)

(3) - первое уравнение Максвелла: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данным контуром. Знак « - « соответствует правилу Ленца для направления индукционного тока. Отсюда следует, что переменное магнитное поле создает в пространстве вихревое электрическое поле независимо от того, находится в этом поле проводник (замкнутый проводящий контур) или нет. Полученное таким образом уравнение (3) является обобщением уравнения (2), которое справедливо только для потенциального поля, т.е. электростатического поля.

3.Ток смещения и второе уравнение Максвелла в интегральной форме

Второе уравнение Максвелла в интегральной форме является обобщением на переменные поля закона Био - Савара - Лапласа о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только электрическими токами, текущими в проводнике, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Чтобы установить количественные соотношения между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.

Для определения понятия тока смещения рассмотрим цепь переменного тока с напряжением U и подключенным к ней конденсатором С.

I I_см

С

~U

Рис. 4.

Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле. Согласно теории Максвелла, в тех участках электрической цепи, где отсутствуют проводники тока, токи проводимости замыкаются токами смещения I_см в диэлектрике конденсатора, причем

I = I_см = ?j_смdS, (4)

где j_см - плотность тока смещения.

То есть, переменное электрическое поле в конденсаторе (или ток смещения) в любой момент времени создает такое же магнитное поле, как если бы через конденсатор протекал ток проводимости, равный силе тока в металлических проводниках цепи.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора можно записать так

I = dq/dt = (d/dt)?у dS = ?(?у/?t)dS = ?(?D/?t)dS, (5)

так как поверхностная плотность заряда у на обкладках конденсатора равна электрическому смещению D в конденсаторе. Подынтегральное выражение в (4) можно рассматривать как частный случай скалярного произведения двух векторов (?D/?t)dS, когда векторы (?D/?t) и dS взаимно параллельны. Поэтому для общего случая выражение (5) можно записать так

I = ?(?D/?t)dS.

Cравнивая это выражение с (4), имеем

j_см = ?D/?t.

Направление векторов плотностей токов j и j_см совпадают с направлением вектора ?D/?t.

В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как в диэлектрике вектор электрического смещения D = е₀E + P, где Е - напряженность электрического поля, а Р - поляризованность среды, тогда плотность тока смещения будет равна

j_см = е₀ ?E/?t + ?P/?t, (6)

где е₀?E/?t - плотность тока смещения в вакууме (не связанная с движением зарядов, а обусловленная только изменением электрического поля во времени), ?P/?t - плотность тока поляризации - тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах).

Максвелл ввел понятие полного тока. Полный ток, равный сумме тока смещения и тока проводимости, всегда является замкнутым. Плотность полного тока

j_полн = j + ?D/?t. (7)

В зависимости от электропроводности среды и быстроты изменения электрического поля каждое из слагаемых в уравнении (7) дает различный вклад. В хорошо проводящих средах (металлах) и при малых скоростях изменения электрического поля ?D/?t плотность тока смещения пренебрежимо мала по сравнению с плотностью тока проводимости. В плохо проводящих средах (диэлектриках) и при высоких скоростях изменения ?D/?t ток смещения вносит основной вклад в полный ток.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля Н, введя в нее понятие полного тока

? Hdl =?(j + ?D/?t)dS - (8)

второе уравнение Максвелла: циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна суммарному току проводимости, который пронизывает поверхность S, натянутую на этот контур, сложенному со скоростью изменения потока вектора электрической индукции D через эту поверхность.

Повторяем, что переменное магнитное поле может возбуждаться движущимися зарядами (электрическими токами) и переменным электрическим полем (током смещения).

Третье и четвертое уравнения Максвелла. Третье уравнение Максвелла выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов (магнитное поле порождается только электрическими токами), т.е. теорема Гаусса оказалась справедливой не только для электро- и магнитостатических полей, но и для переменного во времени вихревого электромагнитного поля:

?DdS = q, (9)

?BdS = 0. (10)

Как видим, уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей, что обусловлено существованием в природе электрических зарядов и электрических токов проводимости, но отсутствием зарядов магнитных. Величины, входящие в уравнения Максвелла, являются зависимыми, и между ними существует следующая связь:

D = D(E), B= B(H), j = j(E). (11)

Эти уравнения называются уравнениями состояния или материальными уравнениями, они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определенную форму.

Интегральные уравнения Максвелла описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды.

...