Волновая и электромагнитная физика

От интегральных уравнений Максвелла (3), (8-10) можно перейти к системе дифференциальных уравнений. Четыре фундаментальных уравнения Максвелла в интегральной или дифференциальной формах не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Их необходимо дополнить соотношениями, связывающими векторы E, H, D, B и j, которые не являются независимыми. Связь между ними определяется свойствами среды и ее состоянием. Электромагнитные свойства среды определяются уравнениями, которые в общем случае очень сложны, они могут быть интегральными, тензорными и нелинейными, однако в случае изотропной однородной проводящей неферромагнитной и несегнетоэлектрической среды имеют простой вид

D = ее₀E, B= мм₀H, j = у E. (12)

Уравнения (3), (8-10) и (12) образуют полную систему уравнений электромагнитного поля в среде, решение которой при заданных граничных условиях позволяет определить векторы E, H, D, B и j и скаляр с (с -плотность распределения электрических зарядов в пространстве) в каждой точке среды с заданными ее характеристиками е, м, у.

Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с магнитным. Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, способны превращаться друг в друга и образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла не только смогла объяснить уже известные экспериментальные факты, но и предсказала новые явления. Одним из важных выводов этой теории явилось существование магнитного поля токов смещения, что позволило Максвеллу предсказать существование электромагнитных волн - переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. Это привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света.

Уравнения Максвелла описывают огромную область явлений. Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важную роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы и проблема управляемого термоядерного синтеза, магнитная гидродинамика, нелинейная оптика, астрофизика и т.д.

Уравнения Максвелла неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, т.е. когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля - фотонов велика и в процессах участвует небольшое число фотонов.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Вопросы.

1.Экспериментальное получение электромагнитных волн.

2.Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля.

3. Энергия электромагнитных волн.

4. Давление электромагнитных волн.

1.Экспериментальное получение электромагнитных волн

Существование электромагнитных волн было предсказано английским физиком М.Фарадеем в 1832году. Из уравнений Максвелла, сформулированных им в 1865 году, вытекает, что переменные электромагнитные поля распространяются в пространстве со скоростью света. Решающее значение для подтверждения максвелловской теории сыграли опыты немецкого физика Г. Герца (1888г.), в которых было показано, что электрические и магнитные поля действительно распространяются в виде волн, свойства которых описываются уравнениями Максвелла. Уравнения Максвелла позволили установить, что электромагнитные радиоволны, оптическое, рентгеновское и гамма-излучения представляют собой электромагнитные волны с различной длиной волны.

Если где-то в пространстве существуют изменяющиеся со временем электрические заряды и токи, то они будут излучать электромагнитные волны, распространяющиеся в окружающей среде. Источником электромагнитных волн, например, может служить любой электрический колебательный контур или проводник, по которому течет переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменные электрическое и магнитное поля.

В рассмотренной ранее лекции колебательном LC- контуре электрическое и магнитное поля сосредоточены между обкладками конденсатора и внутри катушки индуктивности. Такой контур слабо излучает энергию в окружающее пространство и является в этом смысле закрытым колебательным контуром. Излучающая способность такого контура мала и он непригоден для получения электромагнитных волн. В 1886 году Г. Герц использовал для получения электромагнитных волн открытый колебательный контур, в котором он уменьшил число витков катушки и площадь пластин конденсатора, а также раздвинул их и таким образом совершил переход от закрытого колебательного контура к открытому колебательному контуру (вибратор Герца), представляющему собой два стержня, разделенных искровым промежутком. При подаче на вибратор высокого напряжения в промежутке между стержнями проскакивала искра. Она закорачивала промежуток, и в вибраторе возникали затухающие электрические колебания. За время горения искры успевало совершаться большое число колебаний. Если в закрытом колебательном контуре переменное электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора (рис.1а), то в открытом оно заполняет окружающее

a) б) в)

L₁ 1

C E(t)

2

L₂

Рис.1.

пространство (рис.в), вследствие чего существенно повышается интенсивность электромагнитного излучения. Излучаемые электромагнитные волны, распространяясь в пространстве, переносят энергию, поэтому запасенная в вибраторе энергия с течением времени уменьшается. Пополняется энергия вибратора за счет источника э.д.с., подключаемого к обкладкам конденсатора, а искровой промежуток применяется для того, чтобы увеличить разность потенциалов, до которой первоначально заряжаются обкладки. Помимо электрического поля, в пространстве вокруг вибратора создается вихревое магнитное поле, причем как показали исследования, в каждой точке пространства векторы Е и Н взаимно перпендикулярны, а их значения зависят от координат и времени. Для регистрации электромагнитных волн Г. Герц использовал второй подобный вибратор, называемый резонатором, имеющий такую же частоту собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т.е. настроенный в резонанс с вибратором. Когда электромагнитные волны достигали резонатора, то в его зазоре проскакивала электрическая искра.

Г. Герц, используя описанный вибратор, получил электромагнитные волны длиной от 0,6 м до 10 м. С помощью больших металлических зеркал и асфальтовой призмы (размером более 1 м и массой 1200 кг) Герц осуществил отражение и преломление электромагнитных волн. Он обнаружил, что оба эти явления подчиняются законам, установленным ранее в оптике для световых волн. Отразив бегущую плоскую волну с помощью металлического зеркала в обратном направлении, Герц получил стоячую волну и, измерив расстояние между узлами и пучностями, определил длину волны л. Умножив л на частоту колебаний вибратора н, определил скорость распространения электромагнитных волн, которая оказалась к близкой скорости света С. Используя решетку из параллельных друг другу медных проволок расположенных на пути распространения электромагнитных волн Г. Герц доказал поперечность электромагнитных волн.

Опыты Г. Герца были продолжены русским ученым П.Н. Лебедевым, который в 1894 году применил миниатюрный вибратор из тонких платиновых стерженьков и получил более короткие электромагнитные волны с л = 4 - 6 мм и исследовал прохождение их в кристаллах. При этом было обнаружено двойное преломление волн (двойное лучепреломление).

В 1896 году русский ученый А.С. Попов впервые осуществил с помощью электромагнитных волн передачу сообщения на расстояние около 250 м (были переданы слова «Генрих Герц»). Тем самым было положено основание радиотехнике.

Недостатком вибраторов Герца и Лебедева являлось то, что свободные колебания в них быстро затухали и обладали малой мощностью. Для получения незатухающих колебаний необходимо создать автоколебательную систему, которая обеспечивала бы подачу энергии с частотой, равной частоте собственных колебаний контура. Для этого используют ламповые или транзисторные генераторы.

Простейшим излучателем электромагнитной волны является электрический диполь, представляющий собой отрезок проводника длиной l <<л, по которому протекает электрический ток I = I₀sinщt. На расстояниях r>>л от электрического диполя, в так называемой волновой зоне, электромагнитные поля «отпочковавшиеся» от диполя никак с ним не связаны и свободно распространяются в пространстве. В однородной изотропной среде они образуют сферическую волну.

Помимо радиотехники электромагнитные волны широко используются в радиолокации для обнаружения и определения положения самолетов, ракет, кораблей, наблюдения за образованием и движением облаков, изучения движения планет и метеоритов и т.д. Электромагнитные волны используются в радиогеодезии для точного определения расстояний между объектами и положение объекта на местности (система ГЛОНАСС). В радиоастрономии электромагнитные волны используются для исследования радиоизлучения небесных объектов. Практически нет таких областей науки и техники, где бы не использовались электромагнитные волны.

2.Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля

На расстоянии r>>л от электрического диполя или вибратора (волновая зона) электрическое и магнитное поля изменяются в фазе по гармоническому закону и представляют собой сферическую электромагнитную волну, распространяющуюся с фазовой скоростью

V = 1/?е₀ем₀м = С/vем,

где С = 1/v е₀м₀ - скорость света в вакууме, е и м - диэлектрическая и магнитная проницаемость среды. Так как ем>1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме. При наличии дисперсии среды (зависимости скорости распространения электромагнитных волн от их частоты) скорость переноса энергии, характеризуемая групповой скоростью V_гр, может отличаться от V. В анизотропных средах V зависит также от направления распространения волны.

С дальнейшим увеличением расстояния от вибратора радиус кривизны фронта сферической волны увеличивается, и ее можно считать плоской. Можно показать, что для однородной незаряженной непроводящей (плотность тока j=0) несегнетоэлектрической (е = const) и неферромагнитной среды (м = const) из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженности Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению:

ДE = (1/V²)?²E/?t², (1)

ДH = (1/V²)?²H/?t², (2)

где Д = ?²/?x² + ?²/?y² + ?²/?z² - оператор Лапласа.

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору V скорости распространения волны, причем векторы Е, Н и V образуют правовинтовую систему. Уравнениям (1) и (2) удовлетворяют плоские монохроматические электромагнитные волны, описываемые уравнениями

Е_y = E₀cos(щt - kx + ц), (3)

H_z = H₀cos(щt - kx + ц), (4)

где k = щ/V - волновое число.

Векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах, поэтому в уравнениях (3) и (4) начальные фазы ц колебаний в точках с координатой х = 0 одинаковы.

Между амплитудными Е₀ и Н₀ и мгновенными значениями Е и Н в плоской электромагнитной волне существует взаимосвязь:

Еvе₀е = Нvм₀м; Е₀ ?е₀е = Н₀ ?м₀м. (5)

3.Энергия электромагнитных волн. Электромагнитные волны переносят энергию. В изотропной среде, не обладающей ферромагнитными и сегнетоэлектрическими свойствами, объемная плотность энергии электромагнитного поля W складывается из объемных плотностей W_эл и W_м электрического и магнитных полей:

W = W_эл + W_м = е₀еE²/2 + м₀мH²/2. (6)

Усредненные по времени плотности энергии электрического и магнитного полей одинаковы, т.е. W_эл = W_м. Поэтому можно написать, что

W = W_эл + W_м = е₀еE² = ?е₀м₀?ем ЕН. (7)

Полную энергию электромагнитного поля W можно определить, вычислив интеграл по объему V, в котором характеристики электрического и магнитного полей отличны от нуля

W = ?( W_эл + W_м ) dV.

Умножив плотность энергии W на скорость V распространения волны в среде, получим модуль вектора плотности потока энергии S, где S - векторная величина, равная энергии, переносимой электромагнитной волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению переноса.

S = WV = EH. (8)

Так как векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то направление вектора [EH] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН. Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова- Пойтинга) можно представить как векторное произведение Е и Н:

S = [EH].

Поток Ф энергии, переносимой электромагнитной волной через некоторую поверхность F, можно найти с помощью интегрирования:

Ф = ?S dF. (9)

При распространении электромагнитной волны в средах с диссипацией энергии волна затухает, а ее энергия поглощается или рассеивается средой.

4.Давление электромагнитных волн

Гипотеза о существовании давления света впервые была высказана в 17 веке немецким ученым И. Кеплером для объяснения отклонения хвостов комет, пролетающих вблизи Солнца. Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются телами, что было подтверждено Г. Герцем, то из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны сообщают телу некоторый импульс, т.е. должны оказывать на тела давление. Однако значение этого давления ничтожно мало даже для самых сильных источников света, таких как Солнце.

При падении электромагнитной волны на поверхность любой среды ее электрическая составляющая вызывает периодическое смещение электрических зарядов среды, образуется электрический ток, взаимодействие которого с магнитной составляющей волны приводит к появлению силы Ампера, направленной перпендикулярно поверхности среды. Усредненное по времени значение силы Ампера, действующей на единицу поверхности, дает давление плоской электромагнитной волны

Р = (1 - Т + R)I/C,

где I/C - отношение интенсивности света к его скорости, Т и R- коэффициенты пропускания и отражения света поверхностью среды.

Электромагнитному полю присущ механический импульс.

В случае поглощающей поверхности импульс электромагнитного поля

Р = W/С,

где W - энергия электромагнитного поля. Выражая импульс как Р = mC (поле в вакууме распространяется со скоростью С), получим Р = mC = W/С, откуда

W = mC², (10)

где m - масса поля. Так как скорость света С очень велика, то даже значительной энергии поля соответствует очень малая его масса.

Соотношение (10) между массой и энергией электромагнитного поля является универсальным законом природы.

Можно оценить, что при средней мощности солнечного излучения, приходящего на Землю, давление для абсолютно поглощающей поверхности составляет примерно 5 мкПа. В исключительно тонких экспериментах, ставших классическими, П.Н. Лебедев в 1899 г. доказал существование светового давления на твердые тела, а в 1910 г. - на газы. Результаты измерений оказались в полном согласии с теорией, что подтвердило выводы Максвелла о том, что свет представляет собой электромагнитные волны.

С развитием квантовых представлений об оптическом излучении давление электромагнитных волн получает простую интерпретацию. Оптическое излучение представляется как поток фотонов с энергией е = hх, скоростью С и импульсом hх/С, где h - постоянная Планка. Если падающий на среду фотон поглощается, рассеивается или отражается частицами среды, то он передает свою энергию и импульс силы этим частицам. Передача импульса согласно 2-му закону Ньютона означает появление силы с неравной нулю составляющей, перпендикулярной поверхности среды, т.е. появление давления вследствие воздействия на поверхность среды оптического излучения. Импульс силы, сообщаемый единице поверхности в единицу времени, равен давлению Р на поверхность.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Вопросы.

1. Основные законы геометрической оптики.

2. Фотометрические величины и их единицы.

1.Основные законы геометрической оптики

Геометрическая оптика это раздел оптики, в котором изучаются законы распространения света в прозрачных средах и построение изображений в оптических системах на основе представлений о световых лучах. Под световым лучом понимают линию, вдоль которой распространяется поток световой энергии. Световой луч является абстрактным математическим понятием, а не физическим образом. На практике обычно используют оптические пучки с шириной значительно большей длины волны и угловым расширением пучков, связанным с явлением дифракции света на оптических неоднородностях, пренебрегают. Это допустимо, если длина световой волны л> 0. Поэтому приближения геометрической оптики можно определить как предельный случай волновой оптики при л> 0.

Принцип прямолинейного распространения света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно. В неоднородной среде, показатель преломления которой является функцией координат, луч искривляется. В этом случае истинная траектория луча может быть найдена на основе принципа Ферма: действительным путем распространения света является путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с другими возможными путями между теми же точками.

Согласно принципу независимости распространения световых лучей луч света при встрече с другими лучами продолжает распространяться в том же направлении, не изменяя амплитуды, частоты, фазы и плоскости поляризации электрического вектора световой волны. Эффект, производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой пучок на отдельные световые пучки, можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо. Этот закон справедлив лишь при не слишком больших интенсивностях света, когда не играют существенной роли эффекты, связанные с откликом среды на распространение светового луча. При интенсивностях, достигаемых с помощью лазеров, независимость световых лучей перестает соблюдаться.

Если световой луч падает на границу раздела двух прозрачных сред, то в точке падения он разделяется на два луча - отраженный и преломленный, направления которых задаются законами отражения и преломления света.

Закон отражения света: отраженный от границы раздела двух сред луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Закон преломления света: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред

sini₁/sini₂ = n₂₁ = n₂/ n₁ , очевидно sini₁/sini₂ = V₁/ V₂, (1)

где n₂₁ - относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления n₂₁ = n₂/ n₁, причем показатель преломления первой среды относительно второй n₁₂ равен обратному значению показателя преломления второй среды относительно первой n₂₁. Абсолютным показателем преломления среды называется величина n, равная отношению скорости С распространения электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости V в среде:

n = С/ V.

Среда с большим оптическим показателем преломления называется оптически более плотной.

Из симметрии выражения (1) вытекает обратимость световых лучей, сущность которой состоит в том, что если направить световой луч из второй среды в первую под углом i₂, то преломленный луч в первой среде выйдет под углом i₁. При переходе света из оптически менее плотной среды в более плотную получается, что sini₁ > sini₂, т.е. угол преломления меньше угла падения света, и наоборот. В последнем случае при увеличении угла падения угол преломления увеличивается в большей мере, так что при некотором предельном угле падения i_пр угол преломления становится равным р/2. С помощью закона преломления можно рассчитать значение предельного угла падения:

sin i_пр/sin(р/2) = n₂₁= n₂/n₁, откуда i_пр = arcsin n₂/n₁. (2)

В этом предельном случае преломленный луч скользит по границе раздела сред. При углах падения i > i_пр свет не проникает в глубь оптически менее плотной среды, весь падающий свет полностью отражается, имеет место явление полного внутреннего отражения. Угол i_пр называется предельным углом полного внутреннего отражения.

Явление полного внутреннего отражения используется в призмах полного отражения, которые применяются в оптических приборах: биноклях, перископах, рефрактометрах (приборах, позволяющих определять оптические показатели преломления), в световодах, представляющих собой тонкие, гнущиеся волокна из оптически прозрачного материала. Свет, падающий на торец световода под углами, большими предельного, претерпевает на границе раздела сердцевины и оболочки полное внутреннее отражение и распространяется только по световедущей жиле. С помощью световодов можно как угодно искривлять путь светового пучка. Для передачи изображений используются многожильные световоды (кабели). Световоды широко используются в медицине, ЭВМ, интегральной оптике и т.д. Оптические волокна и кабели используются для передачи информации со скоростью до 100 Гбит/с. При этом дальность передачи без промежуточных пунктов регенерации сигналов составляет сотни километров.

Для объяснения закона преломления и искривления лучей при прохождении их через оптически неоднородные среды вводится понятие оптической длины пути луча

L = nS или L = ?ndS,

соответственно для однородной и неоднородной сред.

Согласно принципу Ферма для оптической длины пути луча, распространяющегося в неоднородных прозрачных средах: оптическая длина пути луча в среде между двумя заданными точками минимальна, или другими словами, свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна. Поскольку

ДL = nДS = (C/V)VДt = CДt,

то условие минимума для промежутка времени Дt, который необходим для прохождения света вдоль луча из одной точки в другую, эквивалентно минимуму для оптической длины пути L.

2.Фотометрические величины и их единицы

Фотометрия - раздел оптики, занимающийся вопросами измерения энергетических характеристик оптического излучения в процессах распространения и взаимодействия с веществом. В фотометрии используются энергетические величины, которые характеризуют энергетические параметры оптического излучения вне зависимости от его действия на приемники излучения, и световые величины, которые характеризуют физиологические действия света и оцениваются по воздействию на глаза человека или другие приемники.

Энергетические величины.

Поток энергии Ф_е - величина, численно равная энергии W излучения, проходящей через сечение, перпендикулярное направлению переноса энергии, за единицу времени

Ф_е = W/ t, ватт (Вт).

Поток энергии эквивалентен мощности энергии и определяется произведением объемной плотности энергии на скорость переноса.

Энергия, излучаемая реальным источником в окружающее пространство, распределена по его поверхности.

Энергетическая светимость (излучательность) R_е - мощность излучения с единицы площади поверхности во всех направлениях:

R_е = Ф_е / S, (Вт/м²)

т.е. представляет собой поверхностную плотность потока излучения.

Энергетическая сила света (сила излучения) I_e определяется с помощью понятия о точечном источнике света - источнике, размерами которого по сравнению с расстоянием до места наблюдения можно пренебречь. Энергетическая сила света I_e величина, равная отношению потока излучения Ф_е источника к телесному углу щ, в пределах которого это излучение распространяется:

I_e = Ф_е /щ, (Вт/ср) - ватт на стерадиан.

Сила света источника часто зависит от направления излучения. Если она не зависит от направления излучения, то такой источник называется изотропным. Для изотропного источника сила света равна

I_e = Ф_е /4р.

В случае протяженного источника можно говорить о силе света элемента его поверхности dS.

Энергетическая яркость (лучистость) В_е - величина, равная отношению энергетической силы света ДI_e элемента излучающей поверхности к площади ДS проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную направлению наблюдения:

В_е = ДI_e / ДS. (Вт/ср.м²)

Действие источников называют освещением. Оно характеризуется энергетической освещенностью.

Энергетическая освещенность (облученность) Е_е характеризует степень освещенности поверхности и равна величине потока излучения со всех направлений, падающего на единицу освещаемой поверхности. (Вт/м²).

В фотометрии используется закон обратных квадратов (закон Кеплера): освещенность плоскости с перпендикулярного направления от точечного источника с силой I_e на расстоянии r от него, рис. Х.:

Е_е = I_e /r².

Отклонение луча оптического излучения от перпендикуляра к поверхности на угол б приводит к уменьшению освещенности (закон Ламберта):

Е_е = I_e cosб/r².

Важную роль при измерении энергетических характеристик излучения играют временное и спектральное распределение его мощности. Если длительность оптического излучения меньше времени наблюдения, то излучение считают импульсным, а если больше - непрерывным. Источники могут испускать излучение различных длин волн. Поэтому на практике используют понятие спектр излучения - распределение мощности излучения по шкале длин волн л (или частот). Практически все источники излучают по-разному на разных участках спектра.

Для бесконечно малого интервала длин волн dл значение любой фотометрической величины можно задать с помощью ее спектральной плотности. Например, спектральная плотность энергетической светимости

R_ел = dW/dл,

где dW - энергия, излучаемая с единицы площади поверхности за единицу времени в интервале длин волн от л до л + dл.

Световые величины. При оптических измерениях пользуются различными приемниками излучения, спектральные характеристики чувствительности которых к свету различных длин волн различны. Отклик на монохроматическое излучение единичной мощности называется спектральной чувствительностью фотоприемника. Спектральная чувствительность фотоприемника зависит только от его свойств, у разных приемников она различна. Относительная спектральная чувствительность человеческого глаза V(л) приведена на рис. 2.

V(л)

1,0

0,5

0

^{400 555 700} л, нм

Рис.2

Система световых величин вводится с учетом относительной спектральной чувствительности человеческого глаза. Поэтому световые измерения, являясь субъективными, отличаются от объективных, энергетических и для них вводятся световые единицы, используемые только для видимого света. Основной световой единицей в системе СИ является сила света - кандела (кд), которая равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540·10¹² Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср. Все остальные световые величины выражаются через канделу.

Определение световых единиц аналогично энергетическим. Для измерения световых величин используют специальные методики и приборы - фотометры.

Световой поток. Единицей светового потока является люмен (лм). Он равен световому потоку, излучаемому изотропным источником света с силой в 1 кд в пределах телесного угла в один стерадиан (при равномерности поля излучения внутри телесного угла):

1 лм = 1 кд·1ср.

Опытным путем установлено, что световому потоку в 1 лм, образованному излучением с длиной волны л = 555 нм соответствует поток энергии в 0,00146 Вт.

Световому потоку в 1 лм, образованному излучением с другой л, соответствует поток энергии

Ф_е = 0,00146/V(л), Вт. 1 лм = 0,00146 Вт.

Освещенность Е - величина, раная отношению светового потока Ф, падающего на поверхность, к площади S этой поверхности:

Е = Ф/S, люкс (лк).

1 лк - освещенность поверхности, на 1 м² которой падает световой поток в 1 лм (1лк = 1 лм/м²). Для измерений освещенности используют приборы, измеряющие поток оптического излучения со всех направлений, - люксметры.

Яркость R_C (светимость) светящейся поверхности в некотором направлении ц есть величина, равная отношению силы света I в этом направлении к площади S проекции светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную данному направлению:

R_C = I/(Scosц). (кд/м²).

В общем случае яркость источников света различна для разных направлений. Источники, яркость которых одинакова по всем направлениям, называются ламбертовскими или косинусными, так как световой поток, излучаемый элементом поверхности такого источника, пропорционален cosц. Строго удовлетворяет такому условию только абсолютно черное тело.

Любой фотометр с ограниченным углом зрения является по сути яркометром. Измерение спектрального и пространственного распределения яркости и освещенности позволяет рассчитать все остальные фотометрические величины путем интегрирования.

ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА НА СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ. ТОНКИЕ ЛИНЗЫ. ФОРМУЛА ТОНКОЙ ЛИНЗЫ И ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРЕДМЕТОВ С ПОМОЩЬЮ ТОНКОЙ ЛИНЗЫ

Вопросы:

1. Преломление (и отражение) света на сферических поверхностях.

2. Тонкие линзы. Формула тонкой линзы.

3. Построение изображений предметов с помощью тонкой линзы.

1.Преломление (и отражение) света на сферических поверхностях. Сферические преломляющие поверхности часто встречаются в практике. Они ограничивают оптические стекла (линзы) - основные детали оптических приборов.

Предположим, что две прозрачные однородные среды с показателями преломления n₁ и n₂ разделяются сферической поверхностью с радиусом r. Введем понятие главная оптическая ось, под которой будем подразумевать прямую, проходящую через источник света (точка А₁) и центр кривизны (точка С) преломляющей поверхности ВD, рис.1.

Рассмотрим, как преломляются оптические лучи, падающие из источника света на поверхность раздела двух сред.

Для определения значений углов и длин направленных отрезков воспользуемся следующим правилом. Расстояния будем считать положительными, если они отложены от точки О в направлении распространения светового луча, и отрицательными, если они отложены в сторону, противоположную световому лучу, рис.1.



Рис.1.

Значения всех углов отсчитываются от направления оптической оси или нормали к поверхности ВD, причем углы, откладываемые по ходу часовой стрелки, считаются положительными, в обратном направлении - отрицательными.

Предполагаем, что пучок лучей очень узкий и образует очень малые углы с оптической осью или нормалями к разделяющим поверхностям. Такой пучок лучей называется параксиальным. В этом случае можно приближенно заменять синусы и тангенсы значениями этих углов в радианах.

Величина

D = (n₂ - n₁)/r, (1)

которая зависит только от коэффициентов преломления сред и радиуса поверхности их раздела, называется оптической силой поверхности.

Из треугольников А₁LK, KLC и KLA₂ на рис.1 можно получить, что

-n₁/S₁ + n₂/S₂ = (n₂ - n₁)/r, (2)

или

-n₁/S₁ + n₂/S₂ = D. (3)

Выражение (3) - формула для сферической преломляющей поверхности.

Из формулы (3) следует, что при заданных значениях D, S₁ и S₂ все параксиальные лучи, испускаемые точечным источником света А₁, сойдутся в одной точке А₂, т.е. преломляющая сферическая поверхность дает точечное (или стигматическое) изображение источника А₁. Если учитывать и непараксиальные лучи, то изображение точечного источника А₁ будет размытым.

Формула для сферической преломляющей поверхности показывает, что при прохождении лучей через оптическую систему в обратном направлении будет сформировано изображение, в точности совпадающее с исходным источником, т.е. если бы источник света был в точке А₂, то его изображение было бы в А₁ (взаимность). Выражение (3) охватывает все случаи преломления лучей на сферической поверхности. Используя установленное выше правило знаков для углов и длин направленных отрезков, можно рассмотреть случаи выпуклой (r > 0) и вогнутой (r < 0) поверхности.

Найдем место, где сойдутся параксиальные лучи от бесконечно удаленного источника А₁, рис.2а. В этом случае учтем, что S₁ = - ?, a S₂ ? f₂, и, подставив их в формулу (3), получим значение величины f₂, определяющей положение точки F₂, т.е второго главного фокуса преломляющей поверхности:

n₂/ f₂ = (n₂ - n₁)/r,

откуда

f₂ = n₂ /D = r n₂/( n₂ - n₁). (4)

Определим положение первого главного фокуса F₁, поместив источник света А₁ на расстоянии S₂ = + ?, т.е справа от поверхности BD, рис.2б. Для f₁ = S₁ при S₂ = ? получим

f₁ = - r n₁/( n₂ - n₁). (5)

Используя формулы (4) и (5), определим отношение главных фокусных расстояний:

f₂ / f₁ = - n₂ / n₁ .

Рис.2.

Преобразуем формулу для сферической преломляющей поверхности (3), введя в нее значения главных фокусных расстояний.

Разделим ее левую и правую части на значение оптической силы D преломляющей поверхности (1) и учтем соотношения (4) и (5):

r n₂/ S₂( n₂ - n₁) - r n₁/ S₁( n₂ - n₁) = 1 > f₂/S₂ + f₁/S₁ = 1. (6)

Из формул (4-6) для преломления света на сферической поверхности можно получить формулу для отражения света в сферическом зеркале, если в этих соотношениях положить n₂ = - n₁ (так как углы меняют знак), тогда получим

f₂ = f₁ = r/2 (7)

1/S₁ + 1/S₂ = 2/r. (8)

(8) - формула для отражения света в сферическом зеркале.

Для плоского зеркала r = ?, тогда из (8) следует, что S₁ = S₂ , т.е. изображение в плоском зеркале оказывается расположенным на том же расстоянии за зеркалом, что и предмет перед ним.

2.Тонкие линзы. Формула тонкой линзы. Случай преломления света на одной сферической поверхности встречается сравнительно редко. Наиболее распространенным элементом оптических систем является линза. Оптические линзы представляют собой объем из однородного прозрачного вещества, ограниченного двумя плоскими, сферическими или цилиндрическими поверхностями. Чаще всего используют сферические поверхности постоянного радиуса кривизны. Реже используют цилиндрические линзы и астигматические линзы, у которых радиусы кривизны для двух ортогональных сечений поверхности разные. Сферические линзы бывают двояковыпуклые, плосковыпуклые, выпукловогнутые, двояковогнутые и др. Для видимого света используются линзы из стекла, для УФ - из кварца, для ИК - из монокристалла каменной соли или кварца.

Будем рассматривать тонкие сферические линзы, для которых расстояние между преломляющими поверхностями мало по сравнению с радиусами кривизны ограничивающих поверхностей. Тонкие сферические линзы делятся на собирающие (положительные) и рассеивающие (отрицательные). У собирающих линз середина толще, а у рассеивающих - тоньше, чем их края. Точки пересечения поверхностей с оптической осью линзы называются вершинами преломляющих поверхностей. Расстояние между ними - толщина линзы. Для тонких линз (рис.3) вершины О₁ и О₂ их сферических поверхностей расположены близко друг от друга и можно считать, что они совпадают с точкой О, которая называется оптическим центром линзы. Прямая линия, проходящая через геометрические центры ограничивающих поверхностей - главная оптическая ось линзы. Оптический центр линзы обладает тем свойством, что лучи проходят сквозь эту точку не преломляясь.

Рис.3.

Линза с показателем преломления n находится обычно в воздухе с

n₀ = 1. Используя выражения, полученные выше для преломляющей сферической поверхности, несложно получить формулу тонкой линзы:

(n - 1)(1/R₁ + 1/R₂) = 1/a + 1/b, (9)

где R₁ и R₂ - радиусы кривизны поверхностей линзы, а и b - расстояния от предмета до центра линзы и от центра линзы до изображения, соответственно.

Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы считается положительным, а вогнутой - отрицательным.

Если а = ?, т.е. лучи падают на линзу параллельным пучком, рис.4а, то

(n - 1)(1/R₁ + 1/R₂) = 1/b (10)

Соответствующее этому случаю расстояние b = OF = f называется фокусным расстоянием линзы, определяемым по формуле

f = 1/(n - 1)(1/R₁ + 1/R₂). (11)

Если b = ?, т.е. изображение находится в бесконечности и, следовательно, лучи выходят из призмы параллельным пучком, рис.4б, то a = OF = f. Таким образом, фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих сторон одинаковой средой, равны. Точки F - фокусы линзы. Фокус - это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси. Если же пучок параллельных лучей образует некоторый угол с главной оптической осью, то после прохождения оптической системы точка их пересечения будет лежать в плоскости, проходящей через фокус перпендикулярно главной оптической оси. Такая плоскость называется фокальной. Таким образом, каждая оптическая система имеет два фокуса и две фокальные плоскости.

Величина

(n - 1)(1/R₁ + 1/R₂) = 1/ f = Ф (12)

называется оптической силой линзы. Ее единица измерения - диоптрия (дптр). Диоптрия- оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м: 1 дптр=1/м. Для собирающей линзы оптическая сила положительная, для рассеивающей - отрицательная.

Линзы с положительной оптической силой являются собирающими, а с отрицательной - рассеивающими. В отличие от собирающей рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые продолжения лучей, падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси, рис.5. Мнимый фокус будет и у двояковыпуклой линзы, если ее поместить в среду с большим, чем у линзы показателем преломления. Значит, определение линзы как собирающей (с действительным фокусом) или рассеивающей (с мнимым фокусом) зависит как от ее параметров, так и от оптических свойств среды, в которую она помещена.

Учитывая (9), формулу линзы (12) можно записать в виде

1/a + 1/ b = 1/f. (13)

Для рассеивающей линзы расстояния f и b считают отрицательными.

3. Построение изображений предметов с помощью тонкой линзы

Оптическая система (в частности линза) лишь в идеальном случае (параксиальные лучи, n = const, л = const) будет давать изображение светящейся точки в виде точки. Такое изображение называется стигматическим. В реальных оптических системах эти условия не выполняются, в них возникают искажения изображения, называемые аберрациями (или погрешностями). Различают сферическую аберрацию, кому, дисторсию и хроматическую аберрацию. Реальные оптические системы обладают также астигматизмом (погрешностью, обусловленной неодинаковостью кривизны оптической поверхности в разных плоскостях сечения падающего на нее светового пучка), т.е. изображение светящейся точки, полученное с помощью такой системы, имеет вид пятна эллиптической формы или отрезка линии. Для уменьшения этих искажений собирают группы линз, называемых оптической системой. Оптическая сила составной системы равна алгебраической сумме оптических сил отдельных линз.

D_{опт. сист.} = ?D_i.

Важным параметром линзы является линейное или поперечное увеличение Y, равное отношению линейных размеров изображения к размерам предмета:

Y = a/в. (14)

Увеличение положительно для мнимых изображений (изображение прямое), и отрицательно, если изображение предмета перевернутое (действительное изображение). Для плоского зеркала Y = 1, т.е изображение прямое и натуральной величины.

Кроме линейного увеличения оптическую систему можно также характеризовать угловым увеличением W, равным отношению тангенсов углов ц₂ и ц₁ (рис.1), т.е.

W = tg ц₂ /tg ц₁. (15)

Существует простая связь линейного и углового увеличений. Если предмет и изображение находятся в одной среде, то

Y W = 1. (16)

Угловое и линейное увеличения оптической системы различны для разных точек оси, и чем больше линейное увеличение, тем меньше угловое.

Построение изображения предмета в тонких линзах осуществляется с помощью следующих лучей:

1)луча, проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего направления;

2) луча, идущего параллельно главной оптической оси; после преломления в линзе этот луч (или его продолжение) проходит через второй фокус линзы;

3) луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы; после преломления в ней он выходит из линзы параллельно ее главной оптической оси.

Примеры построения изображения в собирающей и рассеивающей линзах даны на рисунках 6 - 9.

СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ

Вопросы:

1.Развитие представлений о природе света.

2.Когерентные световые волны. Интерференция волн.

3.Методы наблюдения интерференции света: опыт Юнга, метод зеркал Френеля, бипризма Френеля.

1.Развитие представлений о природе света

Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других - как поток особых частиц (фотонов). Длительный путь развития учения о свете привел к современным представлениям о двойственной корпускулярно-волновой природе света. Рассмотрим вначале круг явлений, в основе которых лежит волновая природа света.

Теоретические исследования Максвелла о распространении электромагнитных волн, экспериментальные измерения скорости их распространения в пустоте, оказавшейся равной скорости распространения света в пустоте, и другие исследования позволили выдвинуть предположение о чисто электромагнитной природе света.

Электромагнитная теория света явилась существенным шагом вперед в понимании природы оптических явлений. Свет оказался частным случаем электромагнитных волн с длиной волны от = 400 нм (фиолетовый) до =760 нм (красный). Только этот интервал длин электромагнитных волн оказывает непосредственное воздействие на наш глаз и является собственно светом. Однако и более коротковолновое (<400 нм - ультрафиолетовое) и более длинноволновое оптическое излучение (>760 нм - инфракрасное) имеют качественно одну и ту же электромагнитную природу и отличаются лишь методами их возбуждения и обнаружения.

В веществе длины световых волн будут иными, чем в вакууме. В случае колебаний частоты длина волны в вакууме равна ₀ = c/. В среде, в которой фазовая скорость световой волны V = с/n, длина волны имеет значение

= V = c/n =₀/n.

В электромагнитной волне колеблются векторы Е и Н, причем ЕН (рис.1). Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями вектора напряженности электрического поля Е, о котором говорят поэтому как о световом векторе. Магнитный вектор Н световой волны для описания действия света практически не используется.

Рис.1. Взаимное расположение векторов Е и Н в световой волне.

Модуль амплитуды светового вектора мы будем обозначать А (иногда Е_м). Соответственно изменение во времени и пространстве проекции светового вектора на направление, вдоль которого он колеблется, будет описываться уравнением

Е = Асоs(t - kr + ) - уравнение световой волны (1)

где k - волновое число (k = 2), r- расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения световой волны. Для плоской световой волны, распространяющейся в непоглощающей среде, А = const, для сферической волны А убывает как 1/r и т.д.

Частоты видимых световых волн лежат в пределах = (3,9-: 7,5) 10¹⁴ Гц.

Частота изменений плотности потока энергии, переносимой волной, будет еще больше (она равна 2). Уследить за столь быстрыми изменениями потока энергии не могут ни глаз, ни приборы, вследствие чего они регистрируют усредненный по времени поток переносимой энергии.

Интенсивность света I в данной точке пространства равна плотности потока электромагнитной энергии и определяется вектором Пойтинга S

I=|<S>|= |<[ЕН]>|.

Поскольку для электромагнитной волны Е ~ Н, то интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора Е, т.е. I~А².

В изотропных средах направление распространения световой энергии (луча) совпадает с нормалью к волновой поверхности, т.е. с направлением волнового вектора k. Модуль k = k - волновое число.

Несмотря на то, что световые волны поперечны, они не обнаруживают асимметрии относительно луча. Это обусловлено тем, что в естественном свете имеются колебания, совершающиеся в самых различных направлениях, перпендикулярных к лучу, рис.1а. Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых его атомами. Эти волны, налагаясь друг на друга, образуют испускаемую телом световую волну. В результирующей волне колебания вектора Е различных направлений представлены с равной вероятностью.

Луч света

Е

Рис.1а. Колебания вектора Е в световой волне естественного света.

В естественном свете колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в котором направления колебаний вектора Е упорядочены каким-либо образом, называется поляризованным. Если колебания светового вектора происходят только в одной проходящей через луч плоскости, свет называется плоско- (или линейно-) поляризованным. Упорядоченность колебаний может заключаться в том, что вектор Е поворачивается вокруг луча, одновременно пульсируя по величине. В результате конец вектора Е описывает эллипс. Такой свет называется эллиптически - поляризованным. Если конец вектора Е описывает окружность, свет называется поляризованным по кругу.

2.Когерентные световые волны. Интерференция волн

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов, проявляющееся при их сложении.

Пусть в данную точку пространства приходят две световые волны Е₁ и Е₂ одинаковой частоты, которые возбуждают в этой точке колебания одинакового направления (обе волны поляризованы одинаковым образом):

Е₁ = А₁соs(t + ₁),

Е₂ = A₂cos(t + ₂).

Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна Е = Е₁ + Е₂. Тогда амплитуда А результирующего колебания той же частоты может быть определена из выражения:

А² = А₁² +А₂² + 2А₁А₂соs, (1)

...