Волновая и электромагнитная физика

Ширина и число этих полос будут зависеть от отношения а/. Из (10) следует, что sin = Z/2а. Поскольку модуль sin не может превышать единицу, то Z/2а ? 1, откуда

Z ? 2a/. (13)

Если щель очень узкая, а«, то вся поверхность MN является лишь небольшой частью одной зоны и колебания от всех её точек будут по любому направлению распространяться почти в одинаковой фазе. Условие минимума (11) не может быть выполнено даже для самого меньшего значения m = 1 и интенсивность света монотонно убывает от середины интерференционной картины к ее краям, асимптотически приближаясь к нулю. Сечение такой щели является практически точечным источником света, и волна от него будет распространяется практически одинаково во всех направлениях.

Если щель очень широкая, а», то уже первый минимум будет соответствовать очень малому отклонению от прямолинейного распространения света под углом

(₁)_min = arcsina a 1. (14)

Следующий минимум будет при угле (₂)_min 2/a и т.д. В результате прохождения через такую широкую щель плоской световой волны на экране наблюдается геометрическое изображение щели, окаймлённое по краям тонкими практически неразличимыми глазом перемеживающимися темными и светлыми полосками.

Чётко выраженные широкие дифракционные максимумы и минимумы будут наблюдаться лишь в промежуточном случае, когда ширина щели всего в несколько раз превышает длину волны и z_max имеет значение порядка 3-5.

Положение на экране дифракционных максимумов зависит от длины волны, поэтому при освещении щели белым светом центральный максимум будет наблюдаться в виде узкой белой полоски, так как при угле = 0 оптическая разность пути одинакова для света всех длин волн. Боковые дифракционные максимумы для различных длин волн разойдутся, так как согласно (12), чем меньше , тем под меньшими углами расположены дифракционные максимумы. Справа и слева от центрального максимума будут наблюдаться радужно окрашенные боковые максимумы интенсивности - дифракционные спектры первого, второго и т. д. порядка - цветные полосы с чередованием цветов от фиолетового к красному, обращенные фиолетовым краем к центру, рис.5.

Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

Рис.5.

ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА, ДИФРАКЦИОННЫЙ СПЕКТР. ДИСПЕРСИЯ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ РЕШЁТКИ

Вопросы:

1. Дифракционная решетка.

2. Дифракционный спектр.

3. Дисперсия и разрешающая способность.

4. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке.

1. Дифракционная решетка. Для увеличения интенсивности и более четкого разделения цветов следует воспользоваться не одной щелью, а целой дифракционной решеткой, которая представляет собой ряд параллельных щелей одинаковой ширины а, разделённых между собой непрозрачными промежутками шириной b. Сумма

а + b = 1 (1)

называется периодом или постоянной дифракционной решетки.

Конструктивно дифракционная решетка для видимого света изготавливается путем нанесения на прозрачную стеклянную пластинку с помощью алмазного резца делительной машины ряда тонких параллельных штрихов-канавок одинаковой ширины b на равных расстояниях а друг от друга. Поверхность стекла внутри канавок становится матовой, и эти канавки являются непрозрачными промежутками, разделяющими участки с ненарушенной поверхностью - "щели"_решётки, рис.1.

Дифракционные решетки имеют обычно от 100 до 600 щелей на 1 мм, т.е. период l =10-2 мкм. Лучшие решетки содержат до 1800 щелей на 1 мм, при общей длине до нескольких см., так что общее число щелей достигает 10⁵.



Рис.1.

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, нормально падающую на решетку, рис.2. Поместим параллельно решетке собирающую линзу L, а в ее фокальной плоскости - экран E. Каждая из параллельных щелей решётки дает на экране дифракционную картину, показанную на рис.2 пунктиром. Линза L собирает параллельные когерентные лучи, идущие от всех щелей под углом ц к главной оптической оси, в одну и ту же точку М фокальной плоскости. При параллельности всех щелей дифракционной решётки и строгой одинаковости их размеров амплитуды колебаний, создаваемых в точке М каждой щелью в отдельности, будут одинаковы. Практически одинаковым будет и распределение вдоль экрана интенсивностей и амплитуд колебаний, приходящих от каждой щели. Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции большого числа волн, идущих от всех щелей.

Pис.2.

На центральной линии экрана, проходящей через главный фокус линзы О, лучи, идущие от всех щелей, сходятся без дополнительной разности хода, т.е. приходят в одинаковой фазе. При этом амплитуды их колебаний просто складываются, и в случае N одинаковых щелей амплитуда результирующего колебания будет в N раз, а интенсивность в N² раз больше, чем в случае одной щели.

Лучи, идущие от разных щелей под углом , отличным от нуля, сходятся в точке М, пройдя различные оптические пути и имея различные фазы колебаний. Они дают при интерференции более сложную картину.

Рассмотрим две соседние щели. Из рис.2 видно, что лучи, идущие от соответственных точек обеих щелей (крайних, центральных или промежуточных), имеют одну и ту же разность хода

= l sin (2)

и приходят в точку М со сдвигом фазы = 2(l sin)/. Такой же точно сдвиг фазы будет между колебаниями, приходящими от третьей щели и второй, четвертой и третьей, и т.д.

Резкое возрастание амплитуды результирующего колебания наблюдается в тех случаях, когда амплитуды колебаний от всех щелей А_i направлены одинаково, т.е. имеют сдвиг фазы кратный 2 (рис.3), что соответствует разности хода между соседними щелями кратной четному числу полуволн:

lsin_m = 2m /2 = m, m = 0, 1, 2, 3, .... (3)

Условие (3) характеризует положение главных максимумов дифракционной решетки. При углах _k, удовлетворяющих (3), амплитуда результирующего колебания А = NА₁ и интенсивность дифракционной картины возрастает в N² раз по сравнению с дифракцией от одной щели. Вследствие взаимной интерференции световых лучей из N щелей в некоторых направлениях они будут гасить друг друга. В этих направлениях между главными максимумами располагаются дополнительные минимумы интенсивности, разделенные вторичными максимумами, интенсивность которых значительно меньше, чем главных максимумов.

С увеличением N возрастает четкость дифракционной картины - увеличивается интенсивность и уменьшается ширина главных максимумов. Вследствие интерференции происходит перераспределение энергии в пространстве, и эта энергия концентрируется во все более узком интервале углов .

Подчеркнем, что хотя положение главных максимумов решетки не зависит от числа щелей, наличие большого числа щелей очень существенно:

А

Рис.3.

1)яркость каждой линии растет как N², 2) ширина каждой линии убывает как 1/N. Тем самым увеличивается точность производимых измерений.

2. Дифракционный спектр. Если на дифракционную решетку будет падать немонохроматический свет, то все дифракционные максимумы, кроме центрального, для лучей разного цвета разложатся в спектр. Центральный максимум (m = 0) для всех длин волн будет совпадать при = 0. Максимумы первого порядка (m = 1) будут для фиолетовых лучей расположены ближе к центру, чем для красных. Между ними расположатся максимумы промежуточных цветов, и мы будем наблюдать дифракционный спектр первого порядка. Между нулевым и первым порядками спектра расположена практически темная зона очень слабых вторичных максимумов. Такая же темная зона расположена между красным концом спектра первого порядка и фиолетовым краем спектра второго порядка, рис.4.

Рис.4.

Благодаря узости дифракционных максимумов решетки различные цвета почти не накладываются друг на друга. Это свойство дифракционной решетки используется для исследования спектрального состава света (определения длин волн и интенсивностей всех монохроматических компонентов), т.е. дифракционная решетка может быть использована как спектральный прибор. Для этого решетка D помещается на столике гониометра и освещается параллельным пучком света из коллиматора К (рис.5.). Разложенный дифракционной решеткой в спектр свет регистрируется фотоприемником r или наблюдается в зрительную трубу. Угол ц можно изменять и определять по шкале гониометра.

Спектр дифракционной решетки получается тем более четким, чем больше щелей N содержит решетка. Максимальное число наблюдаемых дифракционных спектров определяется из условия, чтобы модуль sin_m 1, т.е.

m_max l/. (4)

Из условия

sin_m =m/l (5)

видно, что синусы углов в спектре данного порядка прямо пропорциональны длинам волн, т.е. дифракционные спектры, в отличие от спектров призматических монохроматоров, всегда одинаковы и равномерны. Помещая дифракционную решетку D на столик гониометра ( рис.5) и освещая ее пучком параллельных лучей через щель коллиматора К, можно, измеряя угол _m, под которым видны данные лучи в зрительную трубу Т, точно найти их длину волны .

Отражательная решетка изготовляется процарапыванием параллельных штрихов на зеркальной поверхности. Её теория, по существу, не отличается от теории прозрачной решетки.

Для некоторых областей спектра стекло непрозрачно (например, для УФ-лучей). В этом случае нужно пользоваться кварцевой оптикой и отражательными решетками. Без линз можно обойтись, заменяя плоскую отражательную решетку вогнутой.

3. Дисперсия и разрешающая способность

Основными характеристиками всякого спектрального прибора является его дисперсия и разрешающая способность. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 ангстрем). Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

D = , (6)

где - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на (рис.6). Можно показать, что

D = m/lcosц ? m/l, (7)

так как cosц ? 1. Откуда следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки l. Чем выше порядок спектра k, тем больше дисперсия.

Дифракционная решетка

Линза

f

экран

l

l Рис.6.

Линейной дисперсией называют величину

D_лин = l /, (8)

где l - линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектр. линиями, отличающимися по длине на . Линейная дисперсия связана с угловой дисперсией соотношением

D_лин = fD, (9)

где f - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Приняв во внимание (7), запишем

D_лин = fm/l. (10)

Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину

R = , (11)

где - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Возможность разрешения (т.е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними, которое определяется дисперсией прибора, но также и от ширины спектральных, максимумов (рис. 7).

Согласно критерию Рэлея, изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников света или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями разрешимы, если центр дифракционного пятна каждого из них пересекается с краем первого темного кольца другого. При выполнении критерия Рэлея интенсивность «провала» между максимумами составляет 80 % интенсивности в максимуме.

Рис.7.

Разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра m и числу щелей N:

R_{дифр. реш.} = mN, (12)

то есть при заданном числе щелей для увеличения разрешающей силы необходимо переходить к большему порядку дифракционного спектра. Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей силой (до 210⁵).

В качестве примера на рис. 7х приведены дифракционные картины для двух спектральных линий, полученные с помощью трех дифракционных решеток с отличающимися значениями дисперсии и разрешающей силы.

Разрешающая сила решеток 1 и 2 одинакова, но дисперсия первой решетки меньше, чем второй. Решетки 2 и 3 имеют одинаковую дисперсию, но разрешающая сила второй решетки больше, чем третьей.

При падении на объектив света от удаленного точечного источника света в фокальной плоскости объектива вследствие дифракции световых волн вместо точечного изображения наблюдается дифракционная картина в виде светового пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Если на объектив падает свет от двух удаленных точечных источников света с некоторым угловым расстоянием дц, то в фокальной плоскости объектива наблюдается наложение их дифракционных картин. Используя критерий Рэлея можно получить, что наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются объективом с фокусным расстоянием f, равно

дц = 1,22лf/D, (13)

где D - диаметр входного зрачка объектива.

Величина, обратная дц, называется разрешающей силой (способностью) объектива

R = 1/ дц = D/1,22fл. (14)

Из формулы (14) следует, что для увеличения разрешающей способности оптических приборов необходимо увеличивать диаметр объектива. Поэтому оптические телескопы изготавливают с диаметром входного зеркала в несколько метров.

Для примера, диаметр зрачка человеческого глаза при нормальном освещении равен приблизительно 2·10^-3 м. Для оптического излучения с длиной волны л = 0,5·10^-6 м и f = 1, получим дц = 3·10^-4 рад ? 1?. Значит, минимальное угловое расстояние между точками, при котором глаз воспринимает их еще раздельно, равно одной угловой минуте.

4. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке

В 1895 г. Рентген обнаружил, что при электрическом разряде в вакуумной трубке возникает излучение, невидимое для глаз. Дальнейшие исследования показали, что это излучение, названное в дальнейшем рентгеновским, возникает при бомбардировке вещества быстрыми электронами. В современных рентгеновских трубках мишенью, обстреливаемой электронами, является металлическая пластинка - катод, расположенный под углом 45° к потоку электронов. Скорость электронов определяется величиной разности потенциалов между анодом и катодом.

Рентгеновское излучение - жесткое электромагнитное излучение, и оно обладает волновыми свойствами. Для того чтобы обнаружить дифракцию его, необходимо чтобы размеры щелей и преград, образующих правильную решетку на пути волн, были не слишком велики по сравнению с длиной волны. Рентгеновское излучение обладает столь малой длиной волны, что для него на обычных дифракционных решетках дифракция не наблюдается.

Дифракция электромагнитного излучения наблюдается не только на одномерной дифракционной решетке, но и на двух- и трехмерных периодических структурах. Проделаем мысленно следующее. Поставим две дифракционные решетки одну за другой так, чтобы их штрихи были взаимно перпендикулярными. Первая решетка даст, например, в горизонтальном направлении ряд максимумов, положения которых определяются условием

l₁ sin₁ = m₁ (m₁ =0, 1,2,3,..,). (15)

Вторая решетка разобьет каждый из образовавшихся таким образом пучков излучения на расположенные по вертикали максимумы, положения которых определяются условием

l₂ sin₂ = m₂ (m₂ =0, 1,2,...). (16)

В итоге дифракционная картина будет иметь вид правильно расположенных светлых пятен.

Такая же дифракционная картина получится, если вместо двух решеток взять одну прозрачную пластинку с нанесенными на нее двумя системами взаимно перпендикулярных штрихов. Подобная пластинка представляет собой двумерную периодическую структуру.

Дифракция наблюдается также на трехмерных структурах, т.е. пространственных образованиях, обнаруживающих периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. Подобными структурами являются все кристаллические тела. Однако их период ( 10^-10 м) слишком мал для того, чтобы можно было наблюдать дифракцию в видимом свете. В случае кристаллов условие l выполняется только для рентгеновского излучения.

Впервые дифракция на кристаллах с использованием очень узких пучков рентгеновского излучения наблюдалась в 1913 г. в опыте Лауэ, Фридриха и Книппинга. Первые методы расчета дифракции от объемной решетки дал Лауэ. Совершенно эквивалентные формулам Лауэ, но гораздо более удобные для анализа, формулы были даны независимо русским ученым Вульфом и английскими физиками У .Г. и У.Л .Брэггами. Метод, предложенный ими, состоит в следующем.

Проведем через узлы кристаллической решетки параллельные равноотстоящие плоскости (рис.8), называемые атомными слоями.

Рис.8. (d заменить на l)

Если падающая на кристалл волна плоская, то огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в таком слое, также будет представлять собой плоскость. Таким образом, суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отразившейся от усеянной атомами поверхности по обычному закону отражения.

Плоские вторичные волны, отразившиеся от разных атомных слоев, когерентны и будут интерферировать между собой подобно волнам, посылаемым в данном направлении различными щелями дифракционной решетки. Вторичные волны будут практически гасить друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода между соседними волнами является кратной . Из рис.8 видно, что разность хода двух волн, отразившихся от двух соседних атомных слоев, равна 2lsinQ, где l - период идентичности кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым слоям, Q - угол скольжения падающих лучей. Следовательно, направления, в которых получаются дифракционные максимумы рентгеновского излучения, определяется условием

2 l sinQ = ± m (m =1,2,...). (17)

Это соотношение называется формулой Вульфа - Брэггов.

Атомные слои в кристалле можно провести множеством способов. Каждая система слоев может дать дифракционный максимум, если для нее окажется выполнимым (17). Однако заметную интенсивность имеют лишь те максимумы интенсивности, которые получаются за счет отражений от слоев, достаточно густо усеянных атомами. При произвольном направлении падения монохроматического рентгеновского излучения на кристалл дифракция не возникает. Чтобы ее наблюдать, надо, поворачивая кристалл, найти определенный угол скольжения. Дифракционная картина может быть получена и при произвольном положении кристалла, для чего нужно пользоваться рентгеновским излучением с непрерывным спектром. Тогда для таких условий опыта всегда найдутся длины волн , удовлетворяющие условию (17).

Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов находит два основных применения. Она используется для исследования спектрального состава рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия) и для изучения структуры кристаллов (рентгеноструктурный анализ). Определяя направления максимумов, получающихся при дифракции рентгеновского излучения с неизвестной длиной волны от кристаллов с известной структурой, можно определить длину волны.

В методе структурного анализа узкий пучок рентгеновского излучения направляется на кристалл. Для каждой системы слоев, достаточно густо усеянных атомами, находится в излучении длина волны, при которой выполняется условие (17). Поэтому на помещенной за кристаллом фотопластинке регистрируется (после проявления) совокупность черных пятнышек, взаимное расположение которых отражает симметрию кристалла. Расшифровывая рентгенограммы, по расстоянию между пятнышками и по их интенсивности удается найти размещение атомов в кристалле и расстояния между ними.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ

Вопросы:

1. Дисперсия и поглощение света. Нормальная и аномальная дисперсия.

2. Электронная теория дисперсии.

3. Поглощение света. Закон Бугера-Ламберта.

1. Дисперсия и поглощение света. Нормальная и аномальная дисперсия

Дисперсией света называют явление зависимости абсолютного показателя преломления вещества n от частоты света щ (или длины волны л) или зависимость фазовой скорости V световой волны от ее частоты:

n = f(л).

Следствием дисперсии света является разложение в спектр пучка белого света при прохождении его через одну или несколько преломляющих поверхностей, например, через призму. В вакууме световая волна распространяется с постоянной скоростью, не зависящей от частоты. Дисперсия света называется нормальной в случае, если показатель преломления монотонно возрастает с увеличением частоты (убывает с увеличением длины волны); в противном случае дисперсия называется аномальной, рис.1.

В видимой области спектра с увеличением частоты показатель преломления увеличивается.

Величина

D = dn/dл₀

называется дисперсией вещества и характеризует скорость изменения показателя преломления при изменении длины волны.

Нормальная дисперсия света наблюдается вдали от полос или линий поглощения света веществом, аномальная - в пределах полос или линий поглощения.

Первое экспериментальное исследование дисперсии света в стеклянной призме было выполнено И. Ньютоном в 1672 г., рис.2.

Пусть монохроматический пучок света падает на прозрачную призму с преломляющим углом и и показателем преломления n под углом б₁. После двукратного отклонения (на левой и правой гранях призмы) луч оказывается отклоненным от первоначального направления на угол ц. Из геометрических преобразований следует, что

ц = и(n-1),

т.е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол и показатель преломления вещества призмы. Поскольку n = f(л), то лучи разных длин волн после прохождения через призму окажутся отклоненными на разные углы, т.е. пучок белого света разлагается в спектр, что и наблюдалось впервые Ньютоном. Значит, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решетки, можно определить спектральный состав света.

Следует помнить, что составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагаются различно. В дифракционном спектре синус угла отклонения пропорционален длине волны, следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее. В призме же для всех прозрачных веществ с нормальной дисперсией показатель преломления n с увеличением длины волны уменьшается, поэтому красные лучи отклоняются призмой слабее, чем фиолетовые.

На явлении нормальной дисперсии основано действие призменных спектрометров, широко используемых в спектральном анализе. Это объясняется тем, что изготовить призму значительно проще, чем дифракционную решетку. Призменные спектрометры имеют также большую светосилу.

2. Электронная теория дисперсии. Взаимодействие оптического излучения с веществом определяется взаимодействием электромагнитного поля световой волны с системой заряженных частиц, входящих в состав атомов и молекул вещества. Из электромагнитной теории Максвелла следует, что

n = ем,

где е -диэлектрическая проницаемость среды, м - магнитная проницаемость. Для всех оптически прозрачных веществ м ? 1, поэтому

n = е. (1)

т.е. зависимость n = f(л) определяется зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты переменного электрического поля световой волны. Но в соответствии с теорией Максвелла величина е является постоянной, а полученные из этого выражения значения n не согласуются с экспериментальными данными.

Для объяснения дисперсии света была предложена электронная теория Лоренца, в которой дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами вещества, совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле световой волны.

Ознакомимся с этой теорией на примере однородного изотропного диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость вещества равна

е = 1 + ч = 1 + Р/(е₀Е),

где ч - диэлектрическая восприимчивость среды, е₀ - электрическая постоянная, Р - мгновенное значение поляризованности (наведенный дипольный момент единицы объема диэлектрика в поле волны с напряженностью электрического поля Е). Тогда

n² = 1 + Р/(е₀Е), (2)

т.е. n зависит от Р. Для видимого света частота щ~10¹⁵ Гц столь велика, что существенны лишь вынужденные колебания внешних (наиболее слабо связанных) электронов атомов, молекул или ионов под действием электрической составляющей поля волны, а ориентационной поляризации молекул при такой частоте не будет. Эти электроны называются оптическими электронами.

Для простоты рассмотрим среду, в которой имеется лишь один сорт атомов и в каждом из них возможны колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р = ех, где е - заряд электрона, х - смещение электрона из положения равновесия под действием электрического поля световой волны. Если n₀ - концентрация атомов в диэлектрике, тогда

Р = р n₀ = n₀ е х. (3)

Подставив (3) в (2) получим

n² = 1 + n₀ е х /(е₀Е), (4)

т.е. задача сводится к определению смещения х электрона под действием внешнего электрического поля Е = Е₀cos щt.

Вынужденные колебания электрона, удерживаемого в атоме упругой силой, под действием внешней гармонической силы описываются уравнением

d²x/dt² +щ₀² x = (F₀/m)cos щt = (e/ m) E₀cos щt, (5)

где F₀ = еE₀ - амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, щ₀ = vk/m - собственная частота колебаний электрона, m - масса электрона. Решив уравнение (5), найдем е = n² в зависимости от констант атома (е, m, щ₀) и частоты внешнего поля щ, т.е. решим задачу дисперсии.

Решением (5) является

х = А cos щt, (6)

где

А = еЕ₀/m(щ₀² - щ²). (7)

Подставим (6) и (7) в (4) и получим

n² = 1 + n₀e²/е₀m(щ_0i² - щ²). (8)

Если в атоме или молекуле вещества имеются различные заряды с массами m_i, способные совершать вынужденные колебания с собственными частотами щ_0i, то

n² = 1 + n₀/е₀ ?(e_i²/m_i)/(щ₀² - щ²). (9)

Из (8) и (9) видно, что показатель преломления вещества зависит от частоты щ внешнего электрического поля, и что в области частот от щ = 0 до щ ? щ₀ значение n² больше 1 и возрастает с увеличением частоты щ (нормальная дисперсия). Вблизи собственной частоты (щ = щ₀) значение n(щ) терпит разрыв, что соответствует поглощению света веществом; в области частот от щ ? щ₀ до щ = ? значение n² меньше 1 и возрастает от - ? до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя от n² к n, получим зависимость n = n(щ), представленную на рис.1. Если учесть силы сопротивления при колебаниях электронов, то график зависимости n(щ) вблизи щ₀ дается штриховой линией АВ - область аномальной дисперсии. Куполообразная штриховая линия на рис.1 изображает зависимость коэффициента поглощения света веществом. Поглощение света в области аномальной дисперсии обусловлено интенсивным поглощением света на резонансной частоте.

Исследования аномальной дисперсии света в парах натрия были выполнены российским физиком Д.С. Рождественским. Он экспериментально показал справедливость формулы (9) и ввел дополнительную поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов вещества.

3. Поглощение света. Закон Бугера-Ламберта

Поглощением (абсорбцией) света называется уменьшение энергии световой волны при ее распространении в веществе вследствие преобразования энергии волны в другие виды энергии в результате ее взаимодействия со средой. Интенсивность света при прохождении через вещество уменьшается.

С точки зрения электронной теории, при прохождении световой волны через вещество часть энергии волны затрачивается на возбуждение и поддержание колебаний электронов, входящих в состав атомов. Частично энергия колебаний электронов вновь переходит в энергию светового излучения в виде вторичных волн, частично же переходит в другие формы энергии, например, в энергию теплового движения атомов, т.е во внутреннюю энергию вещества (нагревание вещества).

Поглощение света в веществе можно в общих чертах описать с энергетической точки зрения, не входя в детали механизма взаимодействия световых волн с атомами и молекулами поглощающего вещества.

Формальное описание поглощения света веществом было дано Бугером, который установил связь между интенсивностью света, прошедшего через конечный слой поглощающего вещества, и интенсивностью падающего на него света

I_lл = I_0лe^{-K l}, (10)

где I_0л - интенсивность светового излучения с длиной волны л, падающего на поглощающий слой; I_lл - интенсивность светового излучения, прошедшего поглощающий слой вещества толщиной l; К - коэффициент поглощения, зависящий от л, т.е. К = f(л), и индивидуальный для каждого вещества. Например, одноатомные газы и пары металлов (атомы которых можно считать изолированными, так как они находятся на значительных расстояниях друг от друга) обладают близким к нулю коэффициентом поглощения и только для очень узких интервалов длин волн Дл = 10^-12 - 10^-11 м наблюдаются резкие максимумы поглощения - линейчатый спектр поглощения. Эти спектральные линии поглощения соответствуют частотам собственных колебаний электронов в атомах.

Спектры поглощения многоатомных газов имеют вид линейчатых полос шириной Дл = 10^-10 - 10^-7 м, определяемых колебаниями атомов внутри молекул. Молекулы обладают набором близко расположенных собственных частот колебаний, что и обуславливает линейчатые полосы их поглощения, рис.3.

В диэлектрических веществах нет свободных электронов, поэтому для них коэффициент поглощения мал (К = 10^-3 - 10^-5 см^-1) и для них наблюдается сплошной спектр поглощения.

Если поглотителем является вещество в растворе, то поглощение света тем больше, чем больше молекул растворенного вещества встречает свет на своем пути. Поэтому коэффициент поглощения зависит от концентрации С. В случае слабых растворов, когда взаимодействием молекул растворенного вещества можно пренебречь, коэффициент поглощения пропорционален концентрации С:

К_л = _лС, (11)

где _л - коэффициент пропорциональности, который также зависит от л. Учитывая (11), можно закон Бугера (10) переписать в виде:

I_л = I_0лe^{- Cl} , (12)

где _л - показатель поглощения света на единицу концентрации вещества. Если концентрация растворенного вещества выражается в моль/литр, то _л называют молярным коэффициентом поглощения.

Соотношение (12) носит название закона Бугера-Ламберта-Бера. Отношение величины светового потока, вышедшего из слоя I_lл , к вошедшему I_0л носит название коэффициента оптического (или свето-) пропускания слоя Т:

Т = I_lл /I_0л = e^{- Cl} (13)

или в процентах

Т = I_lл /I_0л 100%. (14)

Поглощение слоя равно отношению



Логарифм величины 1/Т называется оптической плотностью слоя D

D = lg 1/T = lg I_0л /I_lл = 0,43_лСl, (15)

т.е. оптическая плотность характеризует поглощение света средой. Соотношение (15) может быть использовано как для определения концен- трации растворов, так и для характеристики спектров поглощения веществ.

Зависимость оптической плотности от длины волны D = f(л) является спектральной характеристикой поглощения данного вещества, а кривая, выражающая эту зависимость, называется спектром поглощения.

Cогласно модели атома Бора кванты света испускаются и поглощаются при переходе системы (атома) из одного энергетического состояния в другое. Если при этом в оптических переходах меняется только электронная энергия системы, как это имеет место в атомах, то в спектре линия поглощения будет резкой.

Однако для сложных молекул, энергия которых слагается из электронной Е_эл , колебательной Е_кол и вращательной Е_вр энергии (Е =Е_эл + Е_кол + Е_вр ) при поглощении света изменяется не только электронная энергия, но обязательно колебательная и вращательная. Причем поскольку ?Е_эл>>?E_кол>>?Е_вр, то в результате этого набор линий, соответствующих электронному переходу, в спектре поглощения растворов выглядит как полоса поглощения.???

Коэффициент поглощения для металлов имеет большие значения (примерно 10³ - 10⁵ см^-1) и поэтому металлы являются непрозрачными для света. В металлах вследствие наличия большого количества свободных электронов под действием электрического поля возникают быстропеременные токи. Энергия световой волны быстро уменьшается из-за выделения токами джоулевой теплоты, превращающейся во внутреннюю энергию металла. Чем выше проводимость металла, тем больше в нем свободных электронов и тем сильнее в нем поглощается свет.

Окрашенность поглощающих тел объясняется зависимостью коэффициента поглощения от длины световой волны.

Явление поглощения света используется при изготовлении светофильтров, которые в зависимости от химического состава стекол пропускают свет только определенных длин волн, поглощая остальные.

Большое распространение получил атомно-абсорбционный метод спектрального анализа, основанный на явлении избирательного поглощения света атомными парами химических элементов. При пропускании света через пары элемента (пары получают, например, при распылении раствора анализируемого образца в пламени, при испарении с поверхности образца под действием лазерного излучения, в различного рода атомизаторах: ) атомный пар поглощает свет только той частоты, которая соответствует частоте собственных колебаний электронов. Чувствительность метода составляет 10^-8 % или 10^-12 г.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ЕСТЕСТВЕННЫЙ И ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ. СТЕПЕНЬ ПОЛЯРИЗАЦИИ. ЗАКОН МАЛЮСА

Вопросы

1. Естественный и поляризованный свет.

2. Поляризаторы. Степень поляризации. Закон Малюса.

1.Естественный и поляризованный свет

Поляризованным называется свет (см. выше), в котором направления колебаний светового вектора Е упорядочены каким-либо образом. В естественном свете, испускаемом обычными источниками света, колебания разных направлений светового вектора Е быстро и беспорядочно сменяют друг друга.

Для рассмотрения прохождения естественного света через поляризационные устройства удобно использовать следующую методику. Пусть два взаимно перпендикулярных колебания вектора напряженности электрического поля свершаются вдоль осей х и у и отличаются по фазе на :

Е_x = A₁ cost, Е_y = A₂ cos(t + ). (1)

Результирующая напряженность Е является векторной суммой Е_х и Е_у (рис.1), причем угол между направлениями векторов Е и Е_х определяется равенством

tg = Е _y /Е _x = A₂ cos(t + )/ A₁ cost, (2)

 E_y E

E_x

Рис.1.

Естественный свет. Если разность фаз претерпевает случайные хаотические изменения, то и угол , т.е. направление светового вектора Е, будет испытывать скачкообразные неупорядоченные изменения. В соответствии с этим естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных электромагнитных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность.

Плоско поляризованный свет. Если световые волны Е_х и Е_у когерентны, причем разность фаз постоянна и равна нулю или . Тогда согласно (2)

tg = ± А₂/А₁ = const.

Следовательно, результирующее колебание Е совершается в фиксированном направлении, т.е волна оказывается плоско поляризованной.

Круговая и эллиптическая поляризация. Допустим, что А₁ = А₂ и = ±/2, тогда

tg = ± tgt,

т.к. соs(t ± р/2) = ± sint. Отсюда вытекает, что плоскость колебаний вектора напряженности Е поворачивается вокруг направления луча с угловой скоростью . В этом случае свет 6удет поляризованным по кругу.

При произвольном постоянном значении в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний Е_х и Е_у получим вектор Е, конец которого движется по эллипсу, т.е. мы получаем в результате сложения таких двух взаимно перпендикулярных волн эллиптически поляризованную световую волну. В частном случае, может получиться движение по прямой или по окружности. При разности фаз =0 или , эллипс вырождается в прямую и получается плоско поляризованный свет. При = ±/2 и равенстве амплитуд складываемых волн эллипс превращается в окружность - получается свет поляризованный по кругу.

В зависимости от направления вращения вектора Е световой волны различают правую и левую эллиптическую и круговую поляризацию. Если по отношению к направлению, противоположному направлению луча, вектор Е вращается по часовой стрелке, поляризация называется правой, в противоположном случае - левой.

Плоскость, в которой колеблется световой вектор в плоско поляризованной волне, называется плоскостью колебаний. Плоскостью поляризации называется не плоскость, в которой колеблется вектор Е, а перпендикулярная к ней плоскость.

2.Поляризаторы. Степень поляризации. Закон Малюса. Плоско поляризованный свет можно получить из естественного света с помощью приборов, называемых поляризаторами. Поляризаторы свободно пропускают колебания, параллельные плоскости, которая называется плоскостью поляризатора, и полностью или частично задерживают колебания, перпендикулярные к этой плоскости. Поляризатор, задерживающий перпендикулярные к его плоскости колебания только частично, называется несовершенным. Просто поляризатором называется идеальный поляризатор, полностью задерживающий колебания, перпендикулярные к его плоскости, и не ослабляющий колебаний, параллельных плоскости.

На выходе из несовершенного поляризатора получается свет, в котором колебания одного направления преобладают над колебаниями других направлений. Такой свет называется частично поляризованным. Его можно рассматривать как смесь естественного и плоско поляризованного. Частично поляризованный свет, как и естественный, можно представить в виде наложения двух некогерентных плоско поляризованных электромагнитных волн с взаимно перпендикулярными плоскостями колебаний вектора напряженности электрического поля. В случае естественного света интенсивность этих волн одинакова, а в случае частично поляризованного - разная.

Если пропустить частично поляризованный свет через поляризатор, то при вращении поляризатора вокруг направления луча интенсивность прошедшего света будет изменяться в пределах от максимального I_max до минимального I_min значений. Изменение интенсивности от одного из этих значений к другому будет совершаться при повороте поляризатора на угол, равный /2, т.е. за один полный оборот два раза будет достигаться максимальное и два раза минимальное значение интенсивности. Величина

P = (I_max - I_min)/( I_max + I_min) (3)

называется степенью поляризации. Для плоско поляризованного света I_min = 0 и Р=1; для естественного света I_max = I_min и Р = 0. Т.е. любой естественный луч света не поляризован. К эллиптически поляризованному свету понятие степени поляризации не применимо (у такого света колебания вектора напряженности электрического поля Е полностью упорядочены).

Пусть на поляризатор (см. рис.2) падает плоско поляризованный свет амплитуды а₀ и интенсивности I₀. Сквозь поляризатор пройдет составляющая колебания с амплитудой А = а₀ соs, где - угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью поляризатора. Следовательно, интенсивность прошедшего света I определяется выражением

I = I ₀ соs² . - закон Малюса. (4)

Поставим на пути естественного луча два поляризатора, плоскости которых образуют угол . Из первого поляризатора выйдет плоско поляризованный свет, интенсивность которого I₀ составляет половину интенсивности естественного света. Согласно закону Малюса из второго поляризатора выйдет свет интенсивности I ₀ соs². Т.о., интенсивность света, прошедшего через два поляризатора, равна

I = (I_естcos²)/2. (5)

Р₁ Р₂

Е ц

I_ест. I₀ I

Рис. 2. Прохождение света через два поляризатора.

Максимальная, интенсивность, равная (1/2)I_ест получается при =0 (поляризаторы параллельны). При = /2 интенсивность равна нулю - скрещенные поляризаторы света не пропускают.

В случае света, поляризованного по кругу, вращение поляризатора не сопровождается (как и в случае естественного света) изменением интенсивности света, прошедшего через поляризатор.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА ПРИ ОТРАЖЕНИИ И ПРЕЛОМЛЕНИИ. ЗАКОН БРЮСТЕРА. ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ. АНИЗОТРОПИЯ КРИСТАЛЛОВ

Вопросы:

1. Поляризация света при отражении и преломлении. Закон Брюстера.

2. Поляризация при двойном лучепреломлении. Анизотропия кристаллов.

1.Поляризация света при отражении и преломлении. Закон Брюстера

Пусть на границу раздела двух диэлектриков падает луч естественного света (например, из воздуха на поверхность стеклянной пластинки). Если угол падения света отличен от нуля, то отраженный и преломлённый лучи оказываются частично поляризованными. В отражённом луче преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения (на рис.1 эти колебания обозначены точками), в преломлённом луче - колебания, параллельные плоскости падения (на рис.1 они изображены двусторонними стрелками). Степень поляризации зависит от угла падения.

Рис.1.

Обозначим через Q_Бр угол, удовлетворяющий условию

tgQ_Бр = n₁₂, (1)

где n₁₂ - показатель преломления второй среды относительно первой. При угле падения Q= Q_Бр (на рис. Q_Бр =I_B) отраженный луч полностью поляризован (он содержит только колебания вектора напряженности электрического поля, перпендикулярные к плоскости падения). Степень поляризации преломленного луча при угле падения, равном углу Q_Бр, достигает наибольшего значения, однако этот луч остается поляризованный только частично.

Соотношение (1) носит название закона Брюстера, а угол Q_Бр называется углом Брюстера. При падении света под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны.

Степень поляризации и интенсивность отраженного и преломленного лучей при различных углах падения можно получить с помощью формул Френеля, которые выводятся из уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Степень поляризации преломленного луча можно значительно увеличить, если использовать многократное преломление его на границах раздела нескольких пластинок диэлектрика, сложенных в стопу.

2.Поляризация при двойном лучепреломлении. Анизотропия кристаллов. При прохождении естественного света через все прозрачные кристаллы (за исключением кристаллов, принадлежащих к кубической системе, которые оптически изотропны) наблюдается явление, получившее название двойного лучепреломления. Это явление заключается в том, что упавший на кристалл луч естественного света разделяется внутри кристалла на два линейно поляризованных луча одинаковой интенсивности, распространяющиеся с разными скоростями и в различных направлениях.

а) б)

Рис.2.

Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, подразделяются на одноосные и двуосные. У одноосных кристаллов один из преломленных лучей подчиняется обычному закону преломления. Он лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности, восстановленной в точке падения. Этот луч называется обыкновенным и обозначается буквой о. Для другого луча, который называется необыкновенным и обозначается буквой е, отношение синусов угла падения и угла преломления, не остается постоянным при изменении угла падения. Кроме того, необыкновенный луч не лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности. Даже при нормальном падении света на кристалл необыкновенный луч отклоняется от нормали, рис.2б. Примерами одноосных кристаллов могут служить исландский шпат, кварц и турмалин, а двуосных кристаллов - слюда, гипс. У двуосных кристаллов оба луча необыкновенные - показатели преломления для них зависят от направления распространения света в кристалле. У одноосных кристаллов имеется направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь и с одинаковой скоростью. У двуосных кристаллов имеется два таких направления. Такие направления в кристалле называются оптической осью кристалла. Оптическая ось - это определенное направление в кристалле и любая прямая, параллельная данному направлению, является оптической осью.

Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно пользуются главным сечением, проходящим через световой луч.

Обыкновенный и необыкновенный лучи полностью поляризованы во взаимно перпендикулярных, направлениях (рис.2). Плоскость колебаний вектора напряженности электрического поля Е световой волны обыкновенного луча перпендикуляра к главному сечению кристалла. В необыкновенном луче колебания вектора Е совершаются в плоскости, совпадающей с главным сечением. По выходе из кристалла оба луча отличаются друг от друга только направлением поляризации.

В некоторых кристаллах один из лучей поглощается сильнее другого. Это явление называется дихроизмом. Сильным дихроизмом для видимого света обладает турмалин, в котором обыкновенный луч практически полностью поглощается на длине около 1мм. В кристаллах сульфата йодистого хинина один из лучей поглощается на пути примерно в 0,1мм. Это свойство используется для изготовления поляроидов, представляющих собой целлулоидную пленку, в которую введено большое количество одинаково ориентированных кристаллов сульфата йодистого хинина.

Явление двойного лучепреломления объясняется анизотропией кристаллов. В кристаллах некубической системы диэлектрическая проницаемость оказывается зависящей от направления. В одноосных кристаллах в направлении оптической оси и в направлениях, перпендикулярных к ней имеет различные значения и . В других направлениях имеет промежуточные значения. Поскольку показатель преломления вещества n = , следовательно, из анизотропии вытекает, что электромагнитным волнам с различными направлениями колебаний вектора Е соответствуют разные значения n. Значит, скорость световых волн зависит от направления колебаний светового вектора Е.

Одноосные кристаллы характеризуются показателями преломления обыкновенного луча n₀ = c/V₀ и необыкновенного луча n_e = с/V_е. В зависимости от того, какая из скоростей V₀ или V_е больше, различают положительные и отрицательные одноосные кристаллы. У положительных кристаллов V_е меньше V₀, значит n_e n₀.

Ход обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле можно определить с помощью принципа Гюйгенса.

ИСКУССТВЕННОЕ ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ. ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ

Вопросы:

1. Искусственное двойное лучепреломление.

...