Гальваномагитные эффекты и их применение в технике и технологиях

Следует отметить, что матричные элементы операторов рождения и уничтожения в базисе Фока не диагональны:

; , (6)

что выражает не только свойства неэрмитовости операторов и , но также передает основные закономерности квантовых переходов.

Электроны в магнитном поле. Если в отсутствии магнитного поля все состояния были расположены равномерно в плоскости k_x, k_y, то теперь энергия поперечного движения квантуется:

Е₊ =ћІ k₊І / 2m = ћщ_c (n +1/2),

а k_z меняется непрерывным образом. Так что в магнитном поле все электронные состояния расположены на семействе коаксиальных вдоль оси k_z цилиндров радиусом k₊. Эти цилиндры носят названия уровней Ландау.

На п-ном уровне Ландау располагаются те состояния, для которых энергия поперечного движения в отсутствие магниного поля лежала бы в интервале: ћщ_c n<E₊<ћщ_c (n + 1). Откуда

2eB n / ћ< k₊І< 2eB (n +1) / ћ.

На интервале импульсов (k_z, k_z + dk_z ) на каждом уровне Ландау находится число состояний:

dN = 4V [eB(n + 1) - eBn] dk_z /8рІћ = VeBdk_z /4рІћ

А соответствующая плотность равна:

n(E) = eB /рІћ dk_z/dE ,

где зависимость k_z от Е определяется соотношением

Е =ћІ k₊І / 2m + ћщ_c (n +1/2).

Очевидно, что п(Е) не зависит от номера уровня.

Вычисляя производную ? k_z /?Е, получаем:

n(E) = eB/рІћІ [m/2(E -E₊)]

при Е >E₊ и п(Е) = 0 при Е < E₊.

При Е = E₊, то есть когда происходит касание какого либо цилиндра -уровня Ландау и изоэнергетической поверхности с данной энергией Е, плотность состояний испытывает разрыв второго рода. Вклад остальных уровней Ландау в общую плотность уровней не имеет особенностей при этой энергии. Общий вид п(Е) изображен на рис.

Рис. График зависимости плотности электронных состояний от энергии

Для электрона в магнитном поле можно ввести также понятие циклотронной массы: m*=ћ/2р ?d k / v₊ , величина которой, как и период обращения вокруг силовой линии магнитного поля, зависит от сечения изоэнергетической поверхности. Одинаковы они для всех параллельных сечений только в случае эллипсоидальной изоэнергетической поверхности.

Многие физические характеристики металла, в частности, проводимость, зависят от плотности электронных состояний на поверхности Ферми. Поскольку поверхность Ферми представляет частный случай изо энергетической поверхности, то при Е_F = Е₊(n) должна иметь место особенность плотности состояний п(Е_F). Добиться этого можно меняя магнитное поле.

Из уравнения

ћІ k_FІ / 2m =ћeB (n +1/2) / m

следует:

1/B = 2e (n + Ѕ) / ћІ k_FІ

где S_e =р k_FІ площадь экстремального сечения поверхности Ферми плоскостью, перпендикулярной магнитной индукции. Особенности физических величин будут наблюдаться по 1/В с периодом:

?(1/B) = 2рe / ћS_e (E_F)

Поскольку при неравной нулю температуре край распределения Ферми размыт, то особенности физических величин также размываются, и вместо бесконечного разрыва появляется конечный максимум. К этому же результату приводят столкновения электронов с примесями, поэтому экспериментальное наблюдение осцилляции возможно только при низких температурах, когда kT <<ћщ_c, и в чистых образцах щ_cф >> 1, где ф-время свободного пробега электрона. Обычно эксперименты ставят при температурах жидкого гелия. При комнатных температурах наблюдается только усредненное по периоду ?(1/В) значение. С уменьшением В амплитуда осцилляций экспоненциально убывает из-за электронных столкновений и температурного размывания распределения Ферми. Проявление осцилляций магнитной восприимчивости носит название эффект де Гааза - ван Альфвена, аналогичные осцилляции сопротивления металла называют эффектом Шубникова - де Гааза.

Экспериментально наблюдаемые осцилляции играют важную роль, так как это практически единственный метод получения информации о виде поверхности Ферми, а не только о плотности электронных состояний. Как правило, в металле со сложной поверхностью Ферми имеется несколько экстремальных сечений в заданном направлении магнитного поля. Каждое из них дает вклад в осцилляции. Таким образом, в эксперименте наблюдается несколько осцилляций с различными периодами. Дешифруя зависимость сопротивления от 1/В, находят все значения S_e. Изменяя направление поля относительно кристаллографических осей монокристаллического образца, исследуют различные экстремальные сечения поверхности Ферми. На основании полученных данных восстанавливают вид поверхности Ферми и сравнивают с теоретически рассчитанным.

Квантование энергии электрона в магнитном поле. Энергия электрона в сильном магнитном поле определяется выражением:

E =(h/2р )щ (k + Ѕ), k = 0. 1, 2,

которое описывает энергию квантового гармонического осциллятора с частотой колебания щ, совпадающей с классической циклической частотой обращения электрона вокруг силовой линии магнитного поля щ_c.

В квантовом случае сохраняется, в принципе, и другой результат классической механики: каждый электрон локализован в пространстве и занимает некоторую площадь двумерного канала. Характерным размером, определяющим область, внутри которой находится электрон, является теперь не классический радиус орбиты электрона r, а так называемая магнитная длина:

l = (h/2рeB) ^1/2 . (6)

Площадь, занимаемая электроном, при этом равна просто рl².

Таким образом, в квантовом случае энергия электронов пробегает дискретный ряд значений (квантуется) и электроны занимают эквидистантные (расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга) энергетические уровни. Эти уровни называются уровнями Ландау. Число электронов, которое может разместиться на каждом уровне Ландау, может быть легко подсчитано из простых соображений. Дело в том, что электроны являются Ферми-частицами и поэтому два электрона, находящихся на одном уровне энергии и имеющие одинаковый спин, не могут располагаться в одном и том же месте в плоскости канала. В противном случае будет нарушено незыблемое для Ферми-частиц правило (принцип Паули): два фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии.

Будем для простоты считать, что площадь двумерного металла является единичной. Tогда число электронов на каждом уровне Ландау есть просто отношение площади канала к площади рl², занимаемой одним электроном. Отсюда:

n_e=1/ рl² = 2eB/h.

Если выбрать численное значение индукции магнитного поля B = 10² Тл то получается, что на каждом уровне Ландау может разместиться примерно 10¹² электронов на каждый квадратный сантиметр площади канала.

Полученный результат нуждается в некоторой коррекции. В сильном магнитном поле каждый уровень Ландау расщепляется на два спиновых подуровня, на каждом из которых может разместиться в два раза меньше электронов, чем мы только что подсчитали. А именно:

. (7)

Это расщепление уровней достаточно велико, так что спиновые подуровни совершенно не перекрываются. Учет спинового расщепления уровней Ландау не дает ничего принципиально нового при рассмотрении квантового эффекта Холла, поэтому мы в дальнейшем будем говорить об уровнях Ландау, хотя на самом деле речь всегда будет идти о подуровне с определенной ориентацией спина.

Локализация. Самая очевидная вещь, которую может произвести беспорядок-это вызвать локализацию Андерсона [20]. Когда идеализированный металл с невзаимодействующими электронами помещается в достаточно сильный случайный потенциал, локализация вызывает переход в диэлектрическое состояние. Это означает, что все собственные значения одноэлектронного гамильтониана ниже некоторой энергии имеют конечную протяженность в пространстве, так что заполняющие их электроны ничего не вносят в проводимость на нулевой частоте. В реальных металлах, где электроны взаимодействуют, существует подобный же переход металл-диэлектрик и считается, что эти два состояния вещества можно адиабатически перевести в их невзаимодействующие аналоги, хотя сам переход, возможно, происходит по-другому. Уже во времена открытия квантового эффекта Холла существовала обширная литература по локализации в двумерных квантовых системах, и было известно, что в отсутствии магнитного поля эффекты локализации настолько сильны, что при нулевой температуре может существовать только диэлектрическое состояние [21-24]. Поэтому вполне можно было предположить, что квантовый эффект Холла, будучи неожиданно возникающим явлением, как и андерсоновский диэлектрик, может быть полностью понят исключительно в терминах одноэлектронной квантовой механики.

Рассмотрим теперь проводимость и эффект Холла двумерного металла в квантующем магнитном поле.

Из определения холловского сопротивления следует, что величина R_H пропорциональна B и график зависимости R_H(B) должен иметь вид прямой линии, выходящей из начала координат, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен 1/en. Для нормального трехмерного металла при комнатной температуре и не слишком высоких значениях магнитного поля (1-5 Тл) экспериментальные результаты вполне хорошо соответствуют описанной выше классической картине поведения холловского сопротивления. Экспериментальные результаты в области сильных полей, представленные на рис. 3, радикально отличаются от этой простой зависимости. Эксперименты проводились К. фон Клитцингом в двумерной МДП-структуре при температуре 1 К. Очевидно, что в этих условиях классическое рассмотрение неприменимо и нужно учитывать квантование движения электронов. Холловское сопротивление обнаруживает ряд ярко выраженных ступенек. Значение сопротивления для этих ступенек строго определяется выражением R_H = h/(нe²), где н = 1,2,3..., на рисунке видны ступеньки со второй по десятую. Константа h/e² примерно равна 25 кОм.

Рис. Зависимость холловского сопротивления от величины приложенного магнитного поля. Кривая с острыми пиками - это зависимость омического сопротивления образца от магнитного поля. Как следует из графика, сопротивление каждый раз обращается в нуль, когда квантовый эффект Холла выходит на плато

Величина Холловского сопротивления оказывается настолько стабильной (не зависящей от параметров образца и температуры), что это позволяет использовать ее в качестве национального стандарта электрического сопротивления в целом ряде развитых стран мира. Наиболее употребительным названием единицы электрического сопротивления является Клитцинг.

Клаус фон Клитцинг, немецкий физик, родился 28.06.1943 года в оккупированной части Польши в г. Шрода. Среднее образование получил в Артланд-гимназии г. Квахенбрюна, что позволило ему специализироваться по физике в Техническом университете Брауншвейга, куда он поступил в 1962 году. Докторскую диссертацию защитил в 1969 году по методам определения времени жизни носителей тока в антимониде индия. Преподавал физику в Вюрцбурге, Гренобле, Мюнхене, с 1980 года профессор. С 1985 года директор Института физики твердого тела Макса Планка в Штутгарте. В 1980 году открыл квантовый эффект Холла. Нобелевская премия по физике (1985), премии Вальтера Шоттки Германского физического общества (1981) и Хьюлетта Паккарда Европейского физического общества (1982).

В представлении Шведской королевской академии отмечалось, что работы Клитцинга «открыли для исследований новую область, необычайно важную не только для теории, но и для приложений... Мы имеем здесь дело с новым явлением в квантовой физике, причем явлением, характерные особенности которого поняты лишь частично».

Зависимость холловского и омического сопротивлений от магнитного поля в квантовом эффекте Холла определяется следующими факторами. Будем считать, что полное число электронов в двумерном токовом слое фиксировано и напряжение на затворе постоянно. В этом случае максимальная энергия E_F, которую имеют электроны проводимости в кристалле (энергия Ферми), практически не зависит от магнитного поля. Если (h/2р)щ << E_F, то расстояние между уровнями Ландау (h/2р)щ прямо пропорционально B и будет линейно уменьшаться при уменьшении B.

Для нашего случая это значит, что если при B = 7 Тл электроны размещались на первом и втором уровнях Ландау, то при B = 5 Тл электроны разместятся уже на трех уровнях Ландау. Иначе говоря, при уменьшении магнитного поля уровни Ландау поочередно пересекают уровень Ферми. При уменьшении магнитного поля полное число электронов не изменяется, а количество электронов, которые могут разместиться на одном уровне Ландау, уменьшается (это число одинаково для всех уровней Ландау, лежащих ниже уровня Ферми) в соответствии с формулой (7). Поэтому теперь для размещения всех электронов потребовалось занять следующий уровень энергии. Ясно, что если под уровнем Ферми находится точно н полностью заполненных уровней Ландау, то n = нn_e и если подставить значение n_e из формулы (7), то получаем плотности электронов выражение n = нeB/h, которое позволяет объяснить численное значение величины R_H в квантовом эффекте Холла.

Действительно, поскольку B = nh/ нe и R_H = RB имеем, что

(8)

выражается только через фундаментальные константы, не зависит от характерных параметров образца и находится в полном соответствии с экспериментально полученным результатом.

Обратимся теперь к поведению омического сопротивления. Необходимо заметить, что при измерении квантового эффекта Холла по образцу пропускается некоторый фиксированный ток, а измеряемыми величинами являются продольная и поперечная разности потенциалов. Омическим сопротивлением называется отношение продольной разности потенциалов к силе тока, пропускаемой через образец.

Делались многочисленные попытки выяснить численное значение сопротивления образца в режиме квантового эффекта Холла и зависимость его от температуры. При наиболее низких температурах минимальное значение сопротивления R_H < 10^-7 Ом, причем оно очень сильно падает с понижением температуры. Таким образом, эксперимент не исключает нулевое значение омического сопротивления. Однако следует признать, что в настоящее время, видимо, не существует до конца непротиворечивой теории, описывающей протекание тока в образце в режиме квантового эффекта Холла. Можно лишь утверждать, что важную роль в формировании токовых состояний играют примеси. С одной стороны они приводят к уширению уровней Ландау, а с другой вызывают локализацию электронных состояний. На рис. 4 приведен схематический график зависимости плотности состояний электронов N(E) от энергии.

Рис. Зависимости плотности состояний электронов от энергии при наличии примесей

Напомним, что выражение N(E)dE по определению имеет смысл числа разрешенных состояний в интервале энергии от E до E+dE. На этом рисунке пики соответствуют уширенным уровням Ландау, затененные области - локализованным, а светлые области вблизи экстремальных значений N(E) - токовым состояниям электронов проводимости.

Как только уровень Ферми за счет движения уровней Ландау по мере роста магнитного поля попадает в область делокализованных электронов, омическое сопротивление сразу обращается в нуль и остается таковым, пока уровень Ферми не попадет в область локализованных состояний. По существу эта простая идея может объяснить всю совокупность экспериментальных фактов для целочисленного квантового эффекта Холла, хотя, как уже отмечалось, при более детальном рассмотрении остается целый ряд не до конца понятных вопросов о природе холловского сопротивления.

Дробный квантовый эффект Холла

Дробный квантовый эффект Холла был открыт в 1982 г Цуи, Штермером и Госсардом. Ими было обнаружено, что, если высококачественный образец с малым количеством примесей поместить при очень низкой температуре (порядка 0.1 К) в магнитное поле напряженностью 15-20 Тл, то возникают холловские плато и глубокие провалы продольного сопротивления при дробных заполнениях самого нижнего уровня Ландау (н = 1/3, н = 2/3), подобно тому, как это имело место при целых числах заполнения. Нобелевская премия по физике 1998 года была присуждена только Штермеру и Цуи. Арт Госсард, получавший сверхчистые полупроводниковые материалы для исследований, Нобелевским комитетом был обделен. Возможно потому, что Нобелевская премия не может присуждаться более чем трем исследователям. Роберт Лафлин в своей Нобелевской премии по этому поводу сказал: «Вместе со своими коллегами я сожалею о том, что Арт Госсард не смог разделить с нами эту премию, поскольку все в физике твердого тела понимают, что материалы - это душа нашей науки, и никакой серьезный интеллектуальный прогресс без них невозможен».

Все нобелевские лауреаты по физике 1998 года работают в американских университетах. Они близки по возрасту. Лафлин родился в 1950 г, Штермер - в 1949 г, Цуи - в 1939 г. Коренным американцем является только родившийся в Калифорнии Лафлин. Штермер родился и учился в Германии, а Цуи родился в Китае, но учился уже в Чикаго. Видимо, проблема «утечки мозгов» существует не только в России.

Хорст Штёрмер (Horst L.Stеrmer) родился в 1949 году во Франкфурте-на-Майне. Ученую степень по физике получил в Штутгартском университете в 1977 году. В 1992 - 1997 годах возглавлял отдел физических исследований Лаборатории "Bell labs", а в 1998 году стал заместителем директора Лаборатории "Bell labs" в составе компании "Lucent Technologies" и профессором Колумбийского университета (Нью-Йорк).

Дэниел Цуи (Daniel C.Tsui), родившийся в 1939 году в китайской провинции Хэнань, учился в Чикагском университете и теперь гражданин США. В 1969 году в Чикагском университете защитил диссертацию по физике полупроводников. С 1982 года - профессор Принстонского университета.

Открытие дробного квантового эффекта Холла. В начале октября 1981 года сотрудники Bell Labs Хорст Штермер и Даниэль Цуи привезли новый образец из модулировано легированного GaAs/AlGaAs в Магнитную лабораторию Френсиса Ьиттера в МТИ, Кембридж. Этот образец вырастил Арт Госсарт, также сотрудник Bell Labs и его ассистент Вили Вигман. Занимаясь модулированным легированием более двух лет, они накопили солидный опыт и сумели впервые изготовить образец с низкой электронной плотностью n=1,23·10 ^-11 см^-3 и чрезвычайно высокой подвижностью м=9000 см² В^-1 с^-1. На рис. 5 представлена фотография этого знаменитого образца. Штермер и Цуи надеялись, используя сверхсильные магнитные поля, создаваемые в Магнитной лаборатории МТИ, достичь существенно квантового предела в эффекте Холла, когда нижний уровень Ландау окажется только частично заполненным. Они намеревались исследовать этот режим на предмет обнаружения вигнеровского кристалла из упорядоченных электронов в двух измерениях. Образование такой упорядоченной электронной структуры было предсказано теоретически, но ее еще никто не наблюдал.

Проводя 7 октября измерения эффекта Холла при температуре жидкого гелия (4,2 К) исследователи получил на линейной зависимости холловского сопротивления RН от индукции магнитного поля В ряд особенностей. Отклонения при малых полях указывают на возникновение целочисленного квантового эффекта Холла. Зная электронную плотность и высоту ступенек сопротивления RН=h/ie2, где i=1,2,3...., можно с уверенностью идентифицировать эти особенности как целочисленный квантовый эффект Холла.

Рис. Фотография образца гетероструктуры GaAs/AlGaAs, на котором 7 октября 1982 был открыт дробны квантовый эффект Холла. Черная область (в действительности она зеркальная, но в ней отражается черная фотокамера) - поверхность, под которой находится двумерный токовый слой. Серые области - выемки, сделанные для того, чтобы ток протекал через центральную часть образца. Белые пятна неправильной формы - контакты из индия, к которым присоединены золотые провода. Размер образца 6 х 1,5 мм

После появления последней ступеньки i=1 при В= 5 Тл. (Около 7 см на исходной миллиметровке исследователей. Любопытно, что эта знаменитая миллиметровка использовалась не один раз. И на ее фотографиях отчетливо видны надписи относящиеся к предшествовавшим экспериментам). При любых полях превышающих это значение, электроны должны находиться на самом нижнем уровне Ландау, заполняя только некоторую долю н его полной емкости. При охлаждении образца до 1,5 К особенности целочисленного квантового эффекта Холла становятся более ярко выраженными, превращаясь в плоские плато. Необычная особенность возникает при В=15 Тл: график холловского сопротивления отклоняется от первоначальной прямой, демонстрируя поведение аналогичное тому, которое наблюдается при в целочисленном квантовом эффекте Холла при более высокой температуре 4,2 К.. Эта особенность оказалась для Штермера и Цуи полной неожиданностью. Все выглядело так, как будто в сильных полях вдали от плато R_Н появляется минимум магнитосопротивления, обычно сопутствующий плато.

Рис. Первые опубликованные результаты по дробному квантовому эффекту Холла. Особенности при н=1,2,3… обусловлены целочисленным квантовым эффектом Холла. Особенность при н= 1/3 соответствует дробному квантовому эффекту Холла

Целочисленный квантовый эффект Холла, будучи проявлением полного заполнения уровней Ландау, не мог иметь к этому никакого отношения, так как при полях выше В = 5 Тл нижний уровень Ландау заполнен лишь частично. Более того, холловское сопротивление в окрестности этого изменения наклона существенно превышало максимально возможное для целочисленного квантового эффекта Холла значение R_Н=h/e²= 25 кОм. Даниэль Цуи в шутку измерил большим и указательным пальцем расстояние между точкой В=0 и последней ступенькой целочисленного квантового эффекта Холла (примерно 7 см) и определил положение новой особенности в этих «единицах». Получив тройку, он воскликнул: «Кварки!» (прим. авт., по-русски). Казалось бы шутя, он своей остро отточенной интуицией уловил самую суть полученных результатов.

Если следовать мысленному эксперименту Лафлина и принять, что холловское сопротивление является мерой заряда частицы, то плато выше в три раза, чем последнее в целочисленном квантовом эффекте Холла, означает возникновение заряда e/3. Очевидно, что низкотемпературный, низкоэнергетический эксперимент, никоим образом не связанный с физикой элементарных частиц (миллиэлектронвольты, а не мегаэлектронвольты) не мог породить никаких настоящих кварков. Но, как оказалось, предположение о наблюдении неких композитных частиц с дробным зарядом было правильным. В статье Цуи, Штермера и Госсарта, опубликованной в марте 1982 года в Phys. Rev.Lett, наряду с рассуждениями о вигнеровской кристаллизации, было замечание и о дробном заряде.

Рис. Холловское и омическое сопротивления в режиме дробного квантового эффекта Холла

Здесь по оси абсцисс отложено магнитное поле в единицах Тесла, а по оси ординат значения холловского и омического сопротивлений. Стрелками отмечено значение магнитного поля, при котором омическое сопротивление минимально. На рисунке хорошо видно плато холловского сопротивления при дробном значении числа заполнения н = 1/3 уровня Ландау.

Последовательная и исчерпывающая интерпретация дробного квантового эффекта Холла все еще остается проблемой, хотя идеи, позволяющие понять природу этого эффекта, были высказаны Р. Лафлиным еще в 1983 г. Сразу было ясно, что эффект обусловлен взаимодействием электронов между собой, поскольку он наблюдается только в ультрасильных магнитных полях, когда область локализации электрона в магнитном поле является малой, а их плотность становится высокой. Наличие холловского плато при н = 1/3, например, говорит о том, что энергия электронной системы в расчете на одну частицу должна испытать скачок, когда заполнится точно 1/3 уровня Ландау. Иначе говоря, в спектре энергии электронов при заполнении уровня на 1/3 должна быть щель. Если бы такую щель удалось обнаружить, то дальнейшая интерпретация дробного квантового эффекта Холла практически не отличалась от интерпретации целочисленного аналога.

Поэтому первоначально была высказана идея, что электроны, стремясь разойтись как можно дальше друг от друга, упорядочатся в некоторую правильную структуру, так называемый, Вигнеровский кристалл. Но оказалось, что не все так просто. Однако тщательные вычисления энергии электронной системы в расчете на один электрон в модели Вигнеровского кристалла не обнаружили ни каких аномалий при дробных числах заполнения уровня Ландау.

Иную теорию дробного квантового эффекта Холла предложил Роберт Лафлин.

Роберт Лафлин (Robert B.Laughlin) родился 1ноября1950 года в г. Визалия, США. Степень бакалавра физики в Университете Беркли в Калифорнии. докторскую диссертацию по физике защитил в 1979 года в Массачусетсском технологическом институте. С 1989 года - профессор физики в Стэнфордском университете (Калифорния). В период с 2004 по 2006 год работал президентом Корейского института науки и техники в Дежеоне, в Южной Корее.

Электроны и кванты потока. С точки зрения классической механики двумерные электроны ведут себя как заряженные биллиардные шары на столе, рис. а. Они отличаются по своей предыстории и за каждым из них можно проследить. С квантовомеханической точки зрения электроны размазаны по всему столу. Они принципиально неразличимы, и можно говорить только о вероятности нахождения электрона (любого) в каком-то определенном месте. В идеальных двумерных системах (на рисунке обозначены как 2DES) эта вероятность абсолютно однородна по всей плоскости. Электроны ведут себя как бесструктурная жидкость (рис. б). Но это не означает, что движение электронов некоррелировано. Эти одинаково заряженные носители стремятся избегать друг друга как в классической (рис. в), так и квантовой жидкости (рис. б). Этим определяется вероятность обнаружить один электрон в каком-то месте при условии, что другой электрон находится в другом месте, однако, это нельзя представить столь же наглядно как на рис. в.

Рис. Схематическое изображение двумерной электронной системы (2DES) в различных приближениях. Черные точки представляют электроны. Стрелки кванты потока ц магнитного поля В

Пронизывающее систему магнитное поле В создает вихри (крошечные «водовороты» в электронном море), по одному на каждый квант магнитного поля ц_о = h/e(рис. г.). Представление о водоворотах в данном случае довольно хорошо отражает действительность, поскольку при обходе вокруг центра вихря происходит изменение фазы волновой функции. Плотность электронов равна нулю в центре вихря и выходит на среднее значение внешней зарядовой плотности на его границе. Размер вихря приблизительно равен площади S содержащей один квант магнитного потока B S = ц_о. Поэтому можно полагать, что каждый вихрь несет в себе один квант потока. Вихри также однородно размазаны по плоскости, как и электроны и вероятность найти в определенной точке вихрь, также как и электрон, остается полностью однородной (рис. д.). Хотя картина электронов и вихрей довольно наивна, но, тем не мене, она представляет довольно таки неплохой способ рассмотрения электрон - электронных корреляций в присутствии магнитного поля.

Электрон и вихрь представляют собой, в некотором смысле, объекты противоположного типа: первый есть сгусток заряда, а второй - его отсутствие. Энергия системы электронов и вихрей зависит от их относительного расположения, при этом наиболее энергетически выгодна ситуация, когда вихрь располагается непосредственно на электроне. Середина водоворота вытесняет из себя все соседние заряды и удерживает их на расстоянии, уменьшая тем самым взаимное отталкивание. При этом следует помнить, что с многочастичной точки зрения каждый электрон представляет собой часть совокупности электронов, которые создают вихри, окружающие все другие электроны.

Принцип Паули запрещает двум электронам находиться в одном и том же положении, отсюда вытекает, что каждый электрон должен быть окружен одним вихрем. При полном заполнении нижнего уровня Ландау, когда число электронов равно числу квантов потока, расположение электронов и вихрей полностью определяется принципом Паули: один вихрь на один электрон без вариантов. Это и есть условие возникновения целочисленного квантового эффекта Холла (рис.) с н=1. Его нетрудно обобщить на н=1,2,3…, если включить в рассмотрение большее число уровней Ландау и учесть наличие спина у электрона. Иными словами, наличие многих электронов учитывается в целочисленном квантовом эффекте Холла тривиальным образом - они заполняют пустые состояния. Когда число вихрей отличается от числа электронов, возникают новые возможности.

Рис. Схематическое изображение электрон-вихревого притяжения в двумерной электронной системе в присутствии электромагнитного поля. В случае полностью заполненного уровня Ландау, н = 1, число электронов равно числу вихрей, и принцип Паули заставляет вихри «садиться» на электроны

Когда магнитное поле превышает величину, соответствующую целочисленному квантовому эффекту Холла с н=1, оно порождает больше квантов потока и их становится больше, чем электронов. Принцип Паули выполняется при размещении по одному вихрю на каждом электроне (рис. а), но при этом остаются неиспользованные вихри.

Рис. Схематическое изображение электрон-вихревого притяжения при дробном заполнении уровня Ландау н =1/3. Теперь вихрей в три раза больше, чем электронов. Принцип Паули удовлетворяется при размещении по одному вихрю на каждый электрон (а). Размещение трех вихрей на каждом электроне уменьшает межэлектронное (кулоновское) отталкивание. Размещение вихрей на электронах можно рассматривать как захват квантов магнитного потока, в результате чего электроны превращаются в композитные частицы (в)

Электростатическая кулоновская энергия электронной системы могла бы значительно уменьшиться при размещении более одного вихря на каждом электроне (рис. б). Большее количество вихрей на электроне образует более мощный водоворот, оттесняя соседние электроны дальше и уменьшая, тем самым, энергию кулоновского отталкивания. Это основной механизм электрон-электроных корреляций в двумерной электронной системе в магнитном поле.

Квантовая жидкость Лафлина. Композитные частицы. Состояние дробного квантового эффекта Холла не может быть адиабатически преобразовано в какое либо состояние невзаимодействующих электронов. По этому поводу Р.Лафлин [4] сказал, что «всегда удивлялся тому, насколько это утверждение расстраивает людей, но при правильном определении состояния материи и полном понимании целочисленного квантового эффекта Холла к другому заключению прийти невозможно. Иначе холловская проводимость с необходимостью квантовалась бы на целые числа, так как она сохраняется при адиабатическом преобразовании и равна целому числу в невзаимодействующей системе из-за калибровочной инвариантности и дискретности заряда электрона. Поэтому состояние, отвечающее дробному эффекту Холла представляет собой что-то беспрецендентное - это новое состояние материи.

Внешне все выглядит, однако, почти так же, как в целочисленном эффекте, почти во всех деталях. Существует плато. Холловская проводимость на плато - это просто число, умноженное на eІ/h. Параллельное сопротивление на плато равно нулю. Отклонения от точного квантования из-за конечности температуры либо имеют активационную природу, либо подчиняются моттовскому закону для прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка, в зависимости от температуры. Единственное качественное различие между двумя эффектами - это сама холловская проводимость.

С учетом этих фактов самое простое и очевидное объяснение, а в действительности и единственно возможное, состоит в том, что, новое состояние может быть преобразовано во что-то подобное заполненному уровню Ландау, но только с возбуждениями несущими дробный заряд. Адиабатическое увеличение потока на квант, которое переводит гамильтониан в себя, должно переносить целое число этих объектов через образец. Локализация этих объектов должна объяснять появление плато. Все соображения о точности квантования должны работать, как и прежде. Как это обычно бывает с непредсказуемыми явлениями, именно эксперименты, а не теории скажут нам, так это или нет. Теории могут помочь нам лучше понять эксперимент, в особенности, если обеспечат нам хороший модельный вакуум, но главное основание этих выводов состоит в том, что эксперименты не оставляют нам альтернативы».