Гальваномагитные эффекты и их применение в технике и технологиях

Фермионные состояния композитных частиц с захватом четного числа квантов (простейшее из них н=1/2, в котором при половинном заполнении нижнего уровня Ландау магнитное поле содержит в два раза больше квантов потока на единицу площади, нежели носителей, а электрон захватывает два кванта потока) не могут испытывать бозе-конденсации. Композитные фермионы последовательно заполняют энергетические состояния, Однако, поскольку магнитное поле включено в них, то их движение происходит как при B=0 (по прямолинейным траекториям вместо ларморовых окружностей). При этом композитные фермионы характеризуются не массой электрона, а эффективной массой зависящей от величины магнитного поля и динамики взаимодействия электронов.

Вигнеровский кристалл. Последовательная и исчерпывающая интерпретация дробного квантового эффекта Холла все еще остается проблемой, хотя некоторые концепции были предложены еще в 1983 г. Поскольку дробный квантовый эффект Холла наблюдается в ультра сильных магнитных полях, когда область локализации электрона становится малой, а плотность электронов большой, то главной причиной эффекта является взаимодействие электронов. На этой основе Р. Лафлину удалось сконструировать волновую функцию взаимодействующих электронов и показать, что она описывает сильно коррелированную электронную жидкость, расстояние между частицами квантуется, а спектр энергий в расчете на одну частицу испытывает скачек при некоторых дробных значениях заполнения уровня Ландау. После присуждения Р. Лафлину Нобелевской премии его концепция электронной жидкости стала практически общепризнанной и другие возможные механизмы дробного квантового эффекта Холла практически перестали привлекать внимание исследователей.

Квантовая жидкость Р. Лафлина характеризуется только «ближним порядком», но, не исключено, что в сверхсильных магнитных полях электронная система становится полностью упорядоченной, образуя вигнеровский кристалл. Новые аргументы в пользу этого приведены В.П. Быковым [6]: «Когда число состояний в двумерном электронном газа совпадает с числом состояний Ландау, в образце происходит электронная конденсация (или кристаллизация), т.е. образуется своего рода электронное твердое тело, которое сдвинуть в поперечном направлении довольно трудно, из-за чего на зависимости холловского напряжения появляется плато. При увеличении магнитного поля состояния Ландау уменьшаются по размеру и между ними появляется свободное пространство. Из-за теплового движения эта структура разрушается и снова проявляется обычный эффект Холла. Однако при втрое большем магнитном поле между этими состояниями может поместиться еще одно состояние Ландау. Легко понять, что полное число состояний в этом случае утраивается и оказывается, что снова возникает возможность образования электронного кристалла. Поскольку число электронов осталось прежним, а число состояний утроилось, то теперь уже каждое состояние заполнено лишь на одну треть. Заряд такого маленького состояния Ландау составляет одну треть элементарного электронного заряда. Соответственно, при втрое большем магнитном поле на зависимости холловского напряжения от магнитного поля снова появляется плато».

В качестве решетки Браве электронного кристалла принята гексагональная решетка. Однако, по-видимому, не могут быть исключены из рассмотрения и другие типы двумерных решеток Браве. В отличие от трехмерного случая известно пять таких решеток:

косоугольная - параллелограмм ab, /2; точечная группа симметрии 2;

квадратная - квадрат a=b, /2; точечная группа симметрии 4mn;

гексагональгая - ромб a=b, =2/3; точечная группа симметрии 6mn;

примитивная прямоугольная - прямоугольник ab, =/2; точечная группа симметрии 2mn;

центрированная прямоугольная - прямоугольник ab, /2; точечная группа симметрии 2mn.

Минимальной энергией будет обладать структура с плотнейшей упаковкой, при которой наиболее экономно используется пространство, т.е. на долю пустот между ларморовыми орбитами электронов остается минимальная площадь. Как и для обычных, для вигнеровских кристаллов подобная форма упорядочения является следствием ненаправленности связей и низкой температуры. Легко вычислить, что коэффициент заполнения площади равен:

/4 sin (39)

Уменьшение размеров ларморовых орбит электронов с ростом магнитного поля приводит к скольжению слоев в поперечном направлении и квантовый эффект трансформируется в классический. Одновременно слои ларморовых орбит сближаются друг с другом, скольжение прекращается и вновь восстанавливается квантовый эффект Холла. Угол при этом уменьшается на или примерно 5 градусов. Таким образом, можно получить наблюдаемые в эксперименте значения =1/3, 1/5, 2/5, 2/7,

Критическим для данной модели является появление особенностей энергии электронной системы для различных значений . Вычисление этой энергии будет сделано в следующих работах.

Эффект Шубникова - де Гааза представляет собой осцилляции статического электрического сопротивления с металлов, зависящие от обратной величины магнитного поля 1/Н, наблюдаемая при низких температурах. Эффект открыт Л.Шубниковым и В. де Гаазом в 1930 году на монокристаллах висмута (рис. ).

Рис. Квантовые осцилляции сопротивления монокристаллов висмута в магнитном поле

Осцилляции с как функция 1/Н имеют период ? (1/Н) ~ 10 ^-4 - 10 ^-7 э, который не зависит от поля Н и температуры Т, но зависит от ориентации магнитного поля относительно кристаллографических осей кристалла. При высоких температурах Т амплитуда осцилляций убывает с ростом температуры экспоненциально. Обычные интервалы температур и магнитных полей, при которых наблюдается эффект Шубникова - де Гааза, составляют 1 -10 К и 10 ³ - 10 ⁴ э.

ШУБНИКОВ Лев Васильевич (29.09 1901 - 10.11.1937) -- советский физик-экспериментатор, доктор физико-математических наук. В 1926 году окончил Ленинградский политехнический институт (1926) и был послан в научную командировку в Голландию, где работал в Лейденском ун-те у В. де Гааза. В 1931 - 37 годах руководитель криогенной лаборатории Харьковского физико-технического института, также профессор Харьковского университета (1934 - 37 годы). Арестован 5.08.1937. Расстрелян.

Работы посвящены физике твердого тела и физике низких температур. Разработал метод выращивания монокристаллов из расплава (метод Обреимова - Шубникова). Совместно с де Гаазом открыл (1930) осцилляции электрического сопротивления висмута в магнитном поле при температуре жидкого гелия (эффект Шубникова -- де Гааза). Является пионером советской физики низких температур. В Харькове Шубниковым успешно была освоена криогенная техника, установлены гелиевые и водородные ожижители, положено начало широким исследованиям в области сверхпроводимости, низкотемпературного магнетизма, физики криогенных жидкостей. В 1931 году им был получен жидкий водород, в 1932 году -- жидкий гелий, проведены первые в нашей стране работы по изучению физических свойств ожиженных газов, в частности измерена (1934) вязкость жидкого азота, кислорода, окиси углерода, аргона, метана, этилена. В 1934 году совместно с Ю.Н. Рябининым (практически одновременно с В. Мейсснером и Р. Оксенфельдом) непосредственно показал, что в сверхпроводящем состоянии магнитная индукция металла равна нулю. Установил (1934 - 37) основные особенности поведения однородных сверхпроводящих сплавов в магнитном поле, открыл существование у них двух критических магнитных полей и так называемой фазы Шубникова (по сути при этом были экспериментально открыты сверхпроводники второго рода). В 1936 году получил первое доказательство гипотезы Сильсби о природе разрушения сверхпроводимости током. Первый наблюдал (1935) антиферромагнетизм. В 1936 году совместно с Б. Г. Лазаревым измерил ядерный магнитный момент твердого водорода. Создал школу физиков (Л.Ф. Верещагин, Н.Е. Алексеевский, Б.Г. Лазарев, В.И. Хоткевич, Н.С. Руденко, Ю.Н. Рябинин, О.Н. Трапезникова, С.С. Шалыт и др.).

Вандер Иоханес де ГААЗ (Хааз) (Wander Johannes de Haas) (21.03.1878 - 26.04.1960) -- нидерландский физик, член Нидер ландской АН (1922). Родился в Лисе. В 1895-1917 годах работал в Лейдене, Берлине, Потсдаме, в Тейлоровском музее в Гарлеме, в 1917 -- 22 годах -- профессор Высшей технической школы в Делфте, в 1922 -- 24 годах-- Гронингенского ун-та, в 1924 -- 48 годах -- профессор Лейденского ун-та и директор криогенной лаборатории им. Г. Камерлинг-Оннеса.

Работы посвящены физике низких температур и сверхпроводимости. Исследовал эффекты при низких температурах, сверхпроводимость магнетиков, достиг рекордно низкой температуры 0,0002 К. В 1915 году совместно с А.Эйнштейном экспериментально обнаружил и теоретически объяснил явление, заключающееся в том, что тело при намагничивании вдоль некоторой оси приобретает около нее вращательный импульс, пропорциональный намагниченности (эффект Эйнштейна -- де Гааза). В 1930 году вместе с Л.В. Шубниковым открыл при низких температурах зависимость электрического сопротивления висмута от обратной величины магнитного поля (эффект Шубникова -- де Гааза), а в 1931 году с П. Ван Альфеном -- зависимость магнитной восприимчивости металлов от напряженности магнитного поля (эффект де Гааза -- ван Альфена). Медаль Б. Румфорда (1934).

Эффект Шубникова - де Газа имеет чисто квантовую природу, он является следствием диамагнитног квантования энергетических уровней электронов проводимости в постоянном магнитном поле (квантование Ландау) и того, что k Т<< Е_F электроны проводимости образуют вырожденный электронный газ. Осцилляции сопротивления обусловлены тем, что при плавном изменении магнитного поля число энергетических уровней ниже уровня Ферми и распределение электронов по состояниям меняются скачкообразно.

Квантовые осцилляции характерны и имеют общее происхождение для всех термодинамических и кинетических величин, в частности для диамагнитных моментов и восприимчивости (эффект де Гааза - ван Альфвена). При абсолютном нуле температуры электроны проводимости заполняют все уровни энергии вплоть до энергии Ферми Е_F, причем электронные свойства проводника определяются только электронами с энергией Е = Е_F (Ферми поверхность). Условие квазиклассического магнитного квантования уровней в постоянном магнитном поле: ?Е = ћщ_с = eћH/cm?, где ?Е - расстояние между энергетическими уровнями при заданной проекции р_Н квазиимпульса р на направление магнитного поля (р_Н = const), m? - эффективная масса. Так как, m?= (1/2р) ?S/?E, где S (E, р_Н)-площадь сечения изоэнергетической поверхности Е(р) = const плоскостью р_Н = const, то условие квантования можно записать в виде S (E, р_Н )= n (ehH/c), где n>>1 целое число. Отсюда следует, что энергетический спектр электронов проводимости в магнитном поле остается непрерывным: для любого Е найдется ряд значений р_Н, удовлетворяющих данному соотношению. В общем случае данное уравнение имеет решение для всех n ? целой части cS/ehH. Однако степень вырождения состояния с данным Е меняется скачком на единицу при прохождении значений Е₁,Е₂,…Е_i. Можно показать, что это приводит к особенности при Е = Е_i для плотности состояний n(E), которая испытывает изломы с вертикальной производной. Точки Е_i соответствуют минимальным по проекции квазиимпульса р_Н значениям Е при заданном n, то есть могут быть определены из условия (?S/? р_Н)_n =0. Но, поскольку (?S/? р_Н)_n = -(?S/? р_Н)/ (?S/?Е), так что при Е = Е_i, либо ?S/? р_Н =0 и площадь S при данном Е_i эстремальна по проекции квазиимпульса р_Н, либо ?S/?Е>? и m?>? то есть формально особые точки. Это соответствует сечениям с самопересечением. В частности сечениям, переходным от замкнутых к открытым.

Для всех квантовых эффектов в металлах и полупроводниках в магнитном поле существенны все ветви до n_F = cS (E_F, p_m)/ehH, p_m-значение p_Н при котором S (E_F, p_Н) либо экстремальна, либо имеет место самопересечение кривой Е (р) = E_F , а р_Н =const, в простейшем случае p_m =0. С ростом магнитного поля Н увеличивается расстояние между ветвями, поскольку увеличивается ?S , причем при плавном изменении Н число ветвей то есть n_F скачком изменяется на единицу. При появлении новых ветвей спектра (то есть при изменении n_F на единицу) естественно ожидать особенностей всех физических величин. При этом, по смыслу квазиклассического приближения n_F >>1, сама физическая величина мало меняется (существенен лишь номер ветви и величина участка, остающаяся от последней ветви). Следовательно, естественно ожидать периодического изменения всех физических величин с периодом (1/Н) определяющимся соотношением: [cS (E_o , p_m )/eh] •?(1/H) = ? n_F =1, то есть:

?(1/Н) = eh / c S (E_F, p_m)

По величине n_F можно оценить относительные амплитуды осцилляций для данной зоны Бриллюэна. Вклад в классическую часть проводимости дают все электроны, а в квантовую часть - электроны с | p_H - p|, соответствующим ? n = 1. Для экстремального S это соответствует относительному числу электронов, а следовательно, и относительной амплитуде осцилляций проводимости, пропорциональной числу электронов n_F ^-1/2.

В слабых полях, когда столкновения существенно размывают уровни Ландау ћщ<< ћф, где ф - среднее время между столкновениями, и для не слишком низких температур ћщ << k Т, изменение n_F на единицу существенно только для тех электронов, которые успевают совершить между столкновениями хотя бы один оборот вокруг силовой линии магнитного поля, то есть проявить периодичность своего движения. Число электронов, проходящих без столкновения время 2фб / щ_с, где б ~1, пропорционально exp [-2рб / фщ_c], то есть амплитуда осцилляций будет в слабых полях экспоненциально мала. Точный расчет дает б = р. Если Т ? 0, то распределение электронов размыто по области энергий дE ~ k Т вблизи E_F, и характерное время жизни ф определяется из соотношения ћ/ф ~ k Т, то есть амплитуда осцилляций ~exp [ -2р ²k T /ћщ_c], что совпадает с результатами точного расчета.

Период осцилляций в эффекте Шубникова- де Газа позволяет определить площади экстремальных сечений и сечений с самопересечением Ферми поверхности, а зависимость амплитуды от температуры Т - эффективную массу m*. Хотя измерение эффективной массы данным способом недостаточно надежно, ибо амплитуда осцилляций чувствительна к искажениям кристаллической решетки - ее блочности, мозаичности и тому подобное.

Эффект Шубникова - де Гааза, как и все квантовые осцилляции, хорошо наблюдается для аномально мало заполненных электронных групп, с числом электронов порядка 10 ^-6 - 10 ^-4 на атом и с малыми эффективными массами m* ~ 0,1 - 0,01 массы свободного электрона, для которых период осцилляций и область температур, где эффект не слишком мал, удобны для эксперимента. Хотя такие электронные группы имеют многие металлы, но только висмут, мышьяк и сурьма обладают только такими электронными группами.

Из последних исследований следует упомянуть работы П.Д. Григорьева (ИТФ РАН), в которых развита теория даумерных и квазидвумерных систем с сильной анизотропией. Данный цикл работ посвящен изучению квазидвумерных и двумерных металлов в магнитном поле. П.Д. Григорьевым предложена количественная теория эффекта Шубникова - де Гааза в квазидвумерных анизотропных металлах, когда интеграл перескока между слоями сравним по величине с циклотронной энергией [61]. Показана разница двух подходов: вычисления по диаграммной технике и из уравнения Больцмана. В пределе сильного затухания высших гармоник получено аналитическое выражение для проводимости, которое включает как аномальный сдвиг фазы биений, так и медленные осцилляции. Выделены расхождения со стандартной теорией эффекта Шубникова - де Гааза. Показана также необходимость учета влияния дальних примесей малого радиуса действия на свойства двумерного электронного газа в магнитном поле. Вычислена плотность состояний двумерного электронного газа в магнитном поле в самосогласованном приближении с учетом многократного рассеяния на точечных примесях. Показано, что если учитывать пространственное распределение точечных примесей, то даже при малой концентрации они приводят к полному снятию вырождения уровней Ландау. Объяснен аномальный сдвиг фазы биений магнитных квантовых осцилляций проводимости, наблюдающийся в квазидвумерных органических металлах [59]. Показано, что этот эффект является общим для квазидвумерных соединений. В этой же работе экспериментально изучена зависимость этого сдвига фазы как функция магнитного поля в слоистом органическом металле. Измерения проводились в Институте Низких температур им. В. Мейсснера (Гархинг, Германия). Полученные экспериментальные данные подтверждают правильность теории.

Впервые объяснены медленные осцилляции проводимости, наблюдающийся в нескольких сильноанизотропных органических металлах [60]. Этот эффект является общим для квазидвумерных соединений. Исследованы свойства и область параметров, при которых такие осцилляции наблюдаются. В этой же работе впервые проведено детальное экпериментальное исследование этого эффекта. Например, измерена частота медленных осцилляций как функция угла наклона магнитного поля. Она оказалась такой же, как и углавая зависимость интеграла перескока между слоями, что подтверждает правильность предложенной теории. Исследованы возможные применения этого эффекта. В частности, из сравнения фактора Дингла для медленных и быстрых квантовых осцилляций определено соотношение различных типов примесей в образце.

Экспериментальное исследование фазовой диаграммы состояний с волной зарядовой плотности в магнитном поле на примере сильно анизотропного органического металла показало [63], что кроме уже известного перехода в волну зарядовой плотности со смещенным вектором нестинга имеется последовательность фазовых переходов в наклонном магнитном поле. Мы объясняем эту последовательность переходов. Различные фазы соответствуют разным квантованным значениям вектора нестинга. Такая последовательность переходов возникает при неидеальном нестинге (аналогичное квантование вектора нестинга наблюдается в Field induced spin-density waves). В отличие от волн спиновой плотности в нашем случае важную роль еще играет зеемановское спиновое расщепление, которое в слоистом металле сравнимо или больше щели в спектре электронов.

Полученные результаты находят применеие для описания слоистых органических металлов, гетероструктур, интеркалированных графитов и различных границ раздела двух сред, где были обнаружены многочисленные новые явления. Часть этих явлений впервые объяснена в данном цикле работ.

Таким образом, эффект Шубникова - де Гааза и целочисленный квантовый эффект Холла близки по своей сущности. И тот и другой наблюдаются в сверхсильных магнитных полях и наиболее ярко проявляются в двумерных электронных системах, хотя могут иметь место и в трехмерных. Главное отличие заключается в том, что эффект Шубникова - де Газа обычно считается присущим металлам, тогда как квантовый эффект Холла наблюдается в полупроводниковых структурах. Но на самом деле это непринципиально, так как и для того и для другого эффекта главным условием является низкая плотность носителей Так что, целочисленный квантовый эффект Холла можно рассматривать как «гигантский» (наподобие тому как существует «гигантский резонанс» в фотоядерных реакциях) эффект Шубникова - де Гааза. Эффекты в некотором смысле дополняют друга: в эффекте Шубникова - де Гааза измеряются осцилляции продольного сопротивления, но не затрагивается поперечное, тогда как в квантовом эффекте Холла основное внимание исследователей сосредоточено на поперечном сопротивлении, а поведение продольного сопротивления, как уже ранее отмечалось во многом остается неясным.

За последние двадцать лет ХХ века в физике твердого тела сделаны грандиозные открытия, в ряду которых обнаружение высокотемпературной сверхпроводимости, создание туннельного и атомного силового микроскопа, квантовый эффект Холла. Все это позволяет сказать, что передний край современной физики вновь переместился из области элементарных частиц в область физики конденсированных сред и что именно здесь, где тесно переплетены такие фундаментальные проблемы как существование частиц с дробным зарядом с чисто прикладными, например, созданием стандарта электрического сопротивления, можно ожидать новых открытий.

Воспроизведенная на обложке картина известного физика член-корреспондента АН СССР Д.И. Блохинцева «Красный конь» символизирует, как заметил однажды Дмитрий Иванович одному из авторов, неожиданность, непредсказуемость и изменчивость физики.

Литература

1. Лафлин Р.Б. Дробное квантование. УФН Т.170, №3, с.292, (2000).

2. К. фон Клитцинг. Квантованный эффект Холла. УФН, Т.150,№1, с.107 (1986)

3. Штермер Х. Дробный квантовый эффект Холла. УФН, т. 170, №3, с.304 (2000)

4. Брандт Н.Б., Чудинов С.М. Эффект Шубникова - де Гааза и его применение для исследования энергетических спектров металлов, полуметаллов и полупроводников. УФН. Т. 138, № 7, с. 874 (1982).

5. Боголюбов Н.Н, Ширков Д.В. Квантовые поля. - М.:Наука, 1980, 280

6. Боголюбов Н.Н, Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. - М.:Наука, 1976, 480 с.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика.// Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика, часть 2.-М.: Наука, 1978, 448 с. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика.-М.: Наука, 1979, 528 с.

8. Блохинцев Д.И. основы квантовой механики. - М.:Наука, 1976, 468 с.

9. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. - М.:Наука, 1976, 426 с.

10. Ясюкевич Ю.В., Душутин Н.К. Когерентные состояния электрона в электрическом и магнитном полях. Вестник ИГУ, 2004.с.182-183.

11. Ясюкевич Ю.В., Душутин Н.К. Недиагональная компонента тензора электропроводности в методе когерентных состояний. Вестник ИГУ, 2005.с.184-186.

12. Ясюкевич Ю.В., Душутин Н.К. Квантовый эффект Холла. Вестник ИГУ, 2006. с.188-190.

13. Ясюкевич Ю.В., Душутин Н.К.Дробный квантовый эффект Холла. Вестник ИГУ, 2007.с.146-148.

14. Ясюкевич Ю.В., Душутин Н.К. W_? - когерентные состояния в квантовом эффекте Холла. Вестник ИГУ, 2008. с.172-174.

15. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.:Наука, 1979, 354 с.

16. S.Iso, D. Karabali, B.Sakita, Phys. Lett., 1992, B296:143;

17. I.I.Kogan, Mod. Phys. Lett., 1992, A7: 3717;

18. Y.S. Myung, Mod. Phys. Lett., 1994, A9: 549;

19. Y.S. Myung, INJE-TP/96-1; hep-th/9602133 v1.

20. В.П.Быков. Дробный заряд - новая тенденция в электронике. УФН. Т.176, №9, с.1009-1012, (2006).

21. Р.Лоудон. Квантовая теория света. - М.; Мир, 1976. 488 с.

22. Н.К.Душутин, Ю.В.Ясюкевич. Теория излучения. - Иркутск; Изд-во Иркут. ун-та, 2008. 181 с..

23. Я.А.Федотов. Основы физики полупроводниковых приборов, [2 изд.], М., 1970;

24. Кремниевые планарные транзисторы, под ред. Я. А. Федотова, М., 1973;

25. З и С. М., Физика полупроводниковых приборов, пер. с англ., М., 1973.

26. Е.А.Онищенко. Полупроводниковые гетероструктуры: от классических к низкоразмерным, или "конструктор" от Нобелевского лауреата. http://www.ioffe.rssi.ru/journals/ftp.html.ru

27. Ж.И.Алферов, Р.Ф.Казаринов. Авторское свидетельство N 181737, заявка N 950840 с приоритетом от 30 марта 1963 г.;

28. H.Kroemer. Proc. IEEE, v.51, 1782 (1963).

29. Ж.И. Алферов. ФТП, т.1, 436 (1967). Ж.И. Алферов. ФТП, т.32, 3 (1998)

30. Ж.И. Алферов, В.М. Андреев, Д.З. Гарбузов, Ю.В. Жиляев, Е.П. Морозов, Е.Л. Портной, В.Г. Трофим. ФТП, т.4, 1826 (1970).

31. L.Esaki, R.Tsu. IBM J.Res.Dev., v.14, 61 (1970).

32. Ч.Пул, Ф.Оуэнс. Нанотехнологии. Техносфера. М: 2006.

33. Абрикосов А.А. Введение в теорию нормальных металлов. М.: Наука, 1972, 542 с.

34. Морозов А.И. Физика твердого тела. Фононы. М.: Изд-во МИРЭА, 1998, 95 с. Морозов А.И. Физика твердого тела. Электроны. М.: Изд-во МИРЭА, 1998, 89 с.

35. Anderson P.W. Phys. 112 1900 (1958)

36. Abrahams E., Anderson P.W. Phys. Rev. Lett. 42 673 (1979)

37. Dolan G.J., Osheroff D.D. Phys. Rev. Lett. 43 721 (1979)

38. Bishop D.J., Tsui D., Dynes R. Phys. Rev. Lett. 44 1153 (1980)

39. Bergman G. Phys. Rev. Lett. 48 1046 (1982)

40. range R.E. Phys. Rev. B 23 4802 (1981)

41. Laughlin R.B. Phys. Rev. B 23 5632 (1981)

42. Trugman S.A. Phys. Rev. B 27 7539 (1983)

43. Levine H., Libbi S.B., Pruisken A.M. Phys. Rev. Lett. 51 1915 (1983)

44. Laughlin R.B. Phys. Rev. Lett. 52 2034 (1984)

45. Khmelnitskii D.E. Phys. Lett. A 106 182 (1984)

46. Glotzman I. et.al. Phys. Rev. Lett. 74 594 (1995)

47. Tsui D., Stormer H.L., Gossard A.C. Phys. Rev. Lett. 48 1559 (1982)

48. Laughlin R.B. Phys. Rev. B 27 3383 (1983)

49. Jain J.K. Phys. Rev. Lett. 63 199 (1989)

50. Haldane F.D.M. Phys. Rev. Lett. 51 605 (1983)

51. Laughlin R.B. Phys. Rev. B 27 3383 (1983)

52. Cailot J.M. et al. J. Stat. Phys. 28 325 (1982)

Размещено на Allbest.ru