Гальваномагитные эффекты и их применение в технике и технологиях

Предложенное Лафлином основное состояние имеет вид:

( 9)

где m- нечетное целое число, а z_j = x_j - iy_j - координата j-той частицы в комплексном представлении.

Хорст Штермер шутил, что весь его эффект укладывается в одно маленькое уравнение. Но, по замечанию Лафлина, это уравнение только потому такое простое, что Х.Штермеру и Д.Цуи посчастливилось сначала найти состояние н =1/3. Большинство других вакуумов с 30 нечетными знаменателями открытых в настоящее время не имеют таких простых прототипов, хотя все они могут быть адиабатически преобразованы друг в друга. Волновая функция (9) была изначально предложена Лафлином как вариационное основное состояние для некоторого модельного гамильтониана. Главная черта данной волновой функции заключается в том, что в термодинамическом пределе она описывает систему электронов с плотностью 1/(2рml²). В этом можно убедиться, заметив, что квадрат модуля волновой функции совпадает с функцией распределения классической однокомпонентной плазмы. Полагая, что

(10)

и выбирая в =1/m, чтобы аналогия стала более наглядной, получаем



. (11)

Это потенциальная энергия частиц с зарядом m, которые отталкиваются логарифмически (двумерный кулоновский потенциал) и притягиваются к началу координат с однородной плотностью заряда 1/(2рl²). Для локальной электронейтральности, необходимой в плазме, частицы должны иметь плотность с = 1/(2рml²). Можно показать, что при малых m это состояние не является кристаллическим, а представляет собой сильно коррелированную электронную жидкость, в которой расстояние между частицами меняется скачком (квантуется). Эта волновая функция позволяет также объяснить возникновение щели в спектре энергии электрона при некоторых дробных заполнениях уровня Ландау. Впервые это было показано Д. Холдейном и Э. Резайи численными расчетами.

В теории Лафлина электронная жидкость обладает еще одной особенностью, выделяющей ее в принципиально новый тип квантовых жидкостей. Элементарные возбуждения в ней имеют дробный заряд и являются композитными частицами. В сильных магнитных полях соответствующих дробному квантовому эффекту число квантов потока магнитного поля на единицу площади больше числа электронов в двумерной системе. Поэтому происходит захват электроном нескольких квантов магнитного потока с образованием композитных частиц. Хотя электроны являются фермионами, образованные на их основе композитные частицы, в зависимости от числа захваченных квантов, могут быть как фермионами, для четного числа m захваченных квантов, так и бозонами для нечетного m. (Каждый захваченный квант магнитного потока вносит в волновую функцию дополнительный перестановочный множитель). Поскольку внешнее магнитное поле включено в композитные частицы, то они находятся в условиях эффективного его отсутствия. Кванты потока действуют как невидимый щит, защищающий композитную частицу не только от внешнего поля, но и от действия других электронов. Таким образом, при переходе к композитным частицам, которые практически не взаимодействуют друг с другом, устраняется проблема межэлектронного взаимодействия. Поведение состояний композитных частиц радикально различается, в зависимости от того являются ли композитные частицы бозонами или фермионами.

Бозонами являются композитные частицы из электрона и нечетного числа квантов магнитного поля. Минимальным таким числом является 3, что соответствует заполнению нижнего уровня Ландау на н =1/3. Будучи бозонами и находясь в условиях нулевого магнитного поля, композитные частицы испытывают бозе-конденсацию в новое основное состояние с характерной для бозе-конденсата энергетической щелью. Это и есть искомая щель, которая необходима для возникновения квантования холловского сопротивления и обращения в нуль обычного сопротивления.

Когда магнитное поле превышает величину, соответствующую точному заполнению н=1/3, часть квантов магнитного потока не может быть захвачена какими-нибудь электронами, так как это потребовало бы изменение симметрии конденсированного состояния. В электронном слое такие кванты образуют вихри с дефицитом заряда 1/3 от заряда электрона. Что позволяет интерпретировать их как квазичастицы (дырки) с эффективным положительным зарядом + e/3. Можно провести аналогичное рассуждение для магнитного поля намного меньше, чем для н=1/3, тогда появятся квазиэлектроны с эффективным отрицательным зарядом -e/3. Квазичастицы могут свободно перемещаться по двумерной плоскости и являются переносчиками электрического тока. Образование плато в дробном квантовом эффекте Холла происходит, как и в целочисленном квантовом эффекте, вследствие флуктуаций потенциала и возникающей в результате этого локализации носителей. Только в дробном квантовом эффекте Холла носители - это не электроны, а причудливые квазичастицы с дробным зарядом.

Дробный квантовый эффект Холла при н=1/5, 1/7 и т.д. с квазичастицами имеющими заряд e/5, e/7 и т.д. объясняется точно также, как дробный квантовый эффект Холла при н=1/3, т.е. захватом 5, 7 и т.д. квантов потока на каждый электрон. Фактически даже такие состояния как н=2/3, 4/5, 6/7 и т.д. и н=1+1/3, н=1+1/5 и т.д. объясняются аналогично. Например, н=2/3 рассматривается как уровень Ландау на 1/3 заполненный «отсутствующими» электронами. Таким образом, все дроби, отвечающие фактору заполнения уровня Ландау вида н=p±1/q, часто называемые первыми дробями, поддаются рациональному объяснению.

Фермионные состояния композитных частиц с захватом четного числа квантов (простейшее из них н=1/2, в котором при половинном заполнении нижнего уровня Ландау магнитное поле содержит в два раза больше квантов потока на единицу площади, нежели носителей, а электрон захватывает два кванта потока) не могут испытывать бозе-конденсации. Композитные фермионы последовательно заполняют энергетические состояния, Однако, поскольку магнитное поле включено в них, то их движение происходит как при B=0 (по прямолинейным траекториям вместо ларморовых окружностей). При этом композитные фермионы характеризуются не массой электрона, а эффективной массой зависящей от величины магнитного поля и динамики взаимодействия электронов. Красивая картина возникает, когда один из квантов потока смещен относительно электрона, что является естественным следствием принципа Паули. В этом случае на двумерной электронной плоскости появятся электрические диполи.

Обобщение теории Р.Лафлина на более сложные композитные квазичастицы дает следующее выражение для их заряда ep/(2mp±1), где p,m=1,2,3... Существование некоторой части этих состояний подтверждено экспериментами Х.Штермера, Д.Цуи, А.Госсарда с сотрудниками. Фазовая диаграмма дробного квантового эффекта Холла предложена С.Кивелсоном, Д.-Ч. Ли и Ш. Чжаном. Необычная ферми-поверхность при половинном ее заполнении и объяснение этого эффекта в терминах композитных фермионов дано П. Гальпериным, П. Ли и Н.Ридом.

Концепция Р. Лафлина является наиболее распространенной, но существуют и другие теоретические подходы. Так, Д. Джейн показал, что последовательность основных состояний в дробном квантовом эффекте Холла может быть сконструирована другим способом, который совсем не использует понятие квазичастиц. Интерпретация дробного квантового эффекта Холла на основе Вигнеровского плоского (магнитного) кристалла с гексагональной плотной упаковкой в последнее время активно развивается В.П. Быковым [5]. Определенные успехи в описании данного эффекта удалось получить также с помощью метода обобщенных когерентных состояний [7] (подробнее мы остановимся на этом в следующей главе).

По мнению С.В. Иорданского [80] построение теории дробного квантового эффекта Холла возможно на основе топологических текстур, устойчивых относительно конечных деформаций. Топологическая классификация многочастичных волновых функций является довольно сложной математической проблемой и, по-видимому, простое и эффективное определение топологических классов отсутствует. Однако имеется хорошо разработанный пример топологической классификации возбуждений в двумерном электронном газе в сильном магнитном поле при заполнении н = 1. Данные возбуждения носят название скирмонов. Электронные спиноры в лагранжиане взимодействия допускают каноническое преобразование:

Ш > ч, ш( r) = U (r) ч (r), ш⁺(r) = ч⁺(r) U⁺ (r)

где U матрица поворота, зависящая от трех углов Эйлера U_x(б) U_y(в) U_z(г), после которого лагранжиан взаимодействующих электронов принимает вид:

(для упрощения используется система единиц

H = l_H =1, ћ =1/2. где :

у_l - матрицы Паули, V(r - r?) -кулоновское взаимодействие. Удобно принять б = г, поскольку угол г играет вспомогательную роль, однако его наличие существенно в связи с отсутствием особенностей у матрицы U. Спиноры ш и ш⁺ являются полевыми операторами электронного поля и удовлетворяют правилам коммутации для ферми-операторов. Легко проверить, что ч и ч⁺ будут удовлетворять тем же правилам коммутации, то есть каноническое преобразование сохраняет коммутационные соотношения.

Новый лагранжиан формально эквивалентен исходному с Щ ? 0. Поэтому среди электронных состояний для этого лагранжиана есть и состояния, соответствующие Щ? 0, так как всегда можно совершить обратное преобразование. Однако можно попытаться найти какие-то новые состояния характерные для Щ ? 0. Такая программа вполне может быть реализована при условии, что U мало меняется на расстояниях порядка магнитной длины l_H и все Щ ^l малы. На больших расстояниях в = 0, так что матрица U только поворачивает спиноры вокруг оси z, за которую принято направление спинов в однородном ферромагнетике, сообщая им нетривиальную фазу.

Искомое электронное состояние с операторами ч и ч⁺ можно получить по теории возмущений по Щ из однородного ферромагнитного состояния для операторов ч. Нетривиальным топологическим требованием будет существование топологического числа:

определяемого вихревым числом оборотов угла б (r) при обходе бесконечно удаленного контура. Именно это обстоятельство (К ? 0) определяет топологический класс волновой функции и невозможность деформации волновой функции в тривиальное ферромагнитное состояние, когда спиноры ш имеют всюду одинаковое направление. Таким образом, Щ с разными К характеризуют топологически различные классы волновых многочастичных

функций. Отсутствие особенностей у Щ гарантируется условием в = р в точке особенности полярного угла б(r). Такой подход предложен в работе [77], вычисления физических величин были проведены в [78], результаты находятся в согласии с полученными ранее другим способом [75, 76]. Величина rot Щ^z играет роль дополнительного эффективного магнитного поля, причем это поле является свойством коллективной волновой функции, но не отдельного электрона. Программа вычисления различных физических величин: электронной плотности, энергии, спиновой плотности и других, може быть в принципе проведена до любого порядка по градиентам матрицы U.

Данный пример дает способ нахождения изолированных топологических возбуждений. Можно, однако, расширить эту конструкцию для рассмотрения текстуры многочастичной волновой функции, соответствующей конечной плотности топологического числа К на плоскости. Рассмотрение произвольных текстур подобного рода вызывает большие математические трудности и, по-видимому, не имеет прямого отношения к классификации основных состояний. Поэтому мы предположим, что эти текстуры являются почти периодическими, так что поле среднего спина будет также периодическим. Рассмотрим элементарную ячейку. Будем считать, что на границе элементарной ячейки вектор среднего спина имеет постоянное значение и его направление совпадает с осью z в спиновом пространстве. Тогда угол в можно считать периодической функцией на плоскости, принимающей значение в=0 на границах элементарных ячеек. Что касается угла б, то он имеет вихревую особенность в некоторой внутренней точке элементарной ячейки, в которой в = р, что устраняет особенности Щ (r). Можно считать, б = ?б _i( r), где суммирование происходит по всем элементарным ячейкам, и б _i( r) - полярный угол с центром внутри ячейки i. Таким образом, каждая ячейка характеризуется одним и тем же топологическим числом К. дающим целое число квантов эффективного магнитного поля, имеющего среднее по площади образца Н _эф = К /у, где у - площадьэлементарной ячейки. Если принять в качестве основного приближения ферромагнитные спиноры ч и ч⁺, то средний спин s(r)будет давать К-кратное отображение любой элементарной ячейки на сферу направлений. Формально сумма по всем ячейкам б = ?б _i(r) является периодической функцией, однако она расходится. В выражение для Щ входит только cos б и sin б, так что достаточно сходимости по mod 2р. С.В. Иорданский принимает без доказательства, что либо такая сходимость существует, либо Щ^x,y могут быть регуляризованы периодическим образом.

Предложенная конструкция вихрей имеющих конечную энергию и без особенностей в коре (регулярные Щ^l ) не является единственной. Например, при отсутствии свободных спинов (большая величина g-фактора) можно рассмотреть два уровня размерного квантования (для движения в направлении перпендикулярном двумерной плоскости) и ввести соответствующий изоспин, после чего аналогичная конструкция получается для изоспина, но только с другими постоянными. Вычисление энергии электронов в таких текстурах при размерах ячейки порядка магнитной длины, когда отсутствует возможность градиентного разложения по Щ, является достаточно сложной проблемой. Однако может быть проведена классификация электронных состояний с целью выделения некоторых специальных значений плотности, соответствующих возможности существования основных состояний, отделенных щелью от возбужденных. Задача о вычислении щели может рассматриваться численно после классификации основных состояний.

Фактически имеется система взаимодействующих электронов, находящихся в периодическом магнитном поле (сумма внешнего магнитного поля и периодического магнитного поля вихрей в элементарных ячейках) с ненулевым средним значением. Группа преобразований для такой системы состоит из магнитных трансляций, дающих проективное представление группы обычных трансляций. Для невзаимодействующих электронов регулярный зонный спектр имеется только в случае рационального числа квантов потока. Иррациональное число квантов потока, или рациональные числа с большими несократимыми числителями и знаменателями _p^qц_o приводят к чрезвычайно нерегулярной структуре сразрешенными и запрещенными зонами густо расположенными в некоторой области энергий. Предположение о сохранении этих особенностей спектра отвечает духу теории ферми- жидкости. Если ограничится простейшими дробями когда поток эффективного через элементарную ячейку Ну + Кц_o = ц_o / l, где l целое, площадь элементарной ячейки у = (1 - K l) ц_o /lH. Полное число состояний на единицу площади, соответствующей одному электрону на элементарную ячейку, дает плотность электронов с = Hl /(1 - K l) ц_o, и должно отвечать полному заполнению зон, получающемуся из S/у состояний без магнитного поля (S-площадь образца), но в периодическом потенциале с периодом, задаваемым элементарной ячейкой. Эта первоначальная зона разбивается на l подзон, каждая из которых l - кратно (нечетные l) или l/2-кратно (четные l) вырождены; доля числа состояний в каждой подзоне 1/l² (нечетные l ) или 2/l² (четные l). Однако полное число состояний во всех подзонах остается S/у. Можно предположить, что эти состояния будут отделены наибольшей щелью от состояний с более высокой энергией. Структура внутренних запрещенных зон мало существенна, поскольку все нижние состояния уже заняты. Отметим, что четность или нечетность число К не играет роли, так как в отличие от модели композитных фермионов коммутационные соотношения для спиноров ч и ч⁺ сохраняются. Выделение каких-то особых специфических чисел квантов потока вихревого поля может быть связано с энергией основного состояния. Если предположить, К = -2 наиболее выгодно энергетически и соответствует наибольшим щелям, то мы получим правило Джейна с = Н l / ц_o (1 + 2l), причем заполнение половины состояний уровня Ландау во внешнем поле с = Н/2ц_o соотвествует исчезающему эффективному магнитному полю (на элементарную ячейку приходится нуль квантов потока). Таким образом, воспроизводится основное утверждение теории композитных фермионов. Однако величина щели, свойства элементарных зарядовых возбуждений, вычисление проводимости, а также рассмотрение различных К и l остаются полностью открытыми вопросами и подход к этим проблемам в теории С.В. Иорданского пока не ясен.

Из последующих экспериментальных исследований квантового эффекта Холла следует отметить работы группы М. Резникова (Технический университет Хайфа), в которых на многослойные гетероструктуры накладывались квантовые ворота, состоящие из электродов с отрицательным потенциалом. Магнитный электронный кристалл или форма с ближним порядком не может пройти сквозь эти ворота и разрушается, так что дальше электронная плазма идет просто как обычный хаотический ток. Шумы обычных токов измерялись давно, и известно, что они пропорциональны как самому току, так и заряду элементарного носителя тока. В обычных металлах таким зарядом является элементарный электронный заряд. В экспериментах израильской группы зависимость шумов тока от величины рассеянного тока хорошо описывалась кривыми, соответствующими заряду носителей e/3 и e/5. В измерениях дробового шума, проведенных Л. Саминадийяром и независимо Р. Де Пиччиотто заряд квазичастиц определялся по флуктуациям утечки тока через узкую часть холловского образца. Эти эксперименты интересны еще и тем, что туннелирование происходит между краями образца, а на краях спектр не имеет щели, как в объеме, но соответствует бесщелевой киральной жидкости Латинджера. Носители в этом странном одномерном металле имеют заряд e/3, унаследованный от объема, но физически существенно отличаются от объемных квазичастиц, и даже могут быть интерпретированы как совсем другое явление.

Попытки экспериментального обнаружения скирмионов предприняты в ряде проектов. Однако очень высокие сопротивления двумерных структур при низких температурах в сильных магнитных полях являются существенным препятствием при выполнении магнитотранспортных исследований. Эта проблема в некоторой степени устранена в работах В.Т. Долгополова и С.И. Дорожкина (ИФТТ РАН, емкостные измерения) и З.Д. Квона (ИФП СО РАН, измерение флуктуаций сопротивления микромоста). И.В. Кукушкиным (ИФТТ РАН) проведено сопоставление результатов транспортных и оптических исследований в режиме квантового эффекта Холла. Исследования выполнены в магнитных полях до 16 Тл и температурах до 30 мК на одиночных гетеропереходах GaAs/AlGaAs. Изучено влияние локализации композитных фермионов, температуры и флуктуаций случайного потенциала. Установлено, что резкое изменение кинетики люминесценции при критической температуре в очень чистых образцах, указывающее на вигнеровскую кристаллизацию двумерных электронов, в менее чистых структурах при переходе металл - диэлектрик не сопровождается критическими явлениями. Показано, что холловская проводимость может быть определена в экспериментах по неупругому рассеянию света из разности магнитоплазменной и циклотронной энергий. Обнаружено квантование измеренной таким образом холловской проводимости в режимах дробного и целочисленного квантового эффекта Холла, в том числе и при полуцелом заполнении нижайшего уровня Ландау. Разработан новый метод прямого определения спиновой поляризации двумерных электронов, основанный на анализе степени циркулярной поляризации люминесценции, разрешенной во времени. Показано, что в сильных магнитных полях В > 4 Тл скирмионные возбуждения отсутствуют. В слабых магнитных полях В < 3 Тл обнаружены состояния, неполяризованные по спину (2/3, 4/3), поляризованные полностью (1/3, 5/3) и поляризованные частично (2/5, 3/5). Измерена также спиновая поляризация в состояниях 1/2, 1/4 и 3/2. Для компенсации зеемановского расщепления предложен и реализован метод, основанный на оптической ориентации спинов ядер. Показано, что при возбуждении циркулярно поляризованным светом может быть достигнута сильная ориентация спинов ядер как вдоль, так и против направления внешнего магнитного поля. При этом энергия сверхтонкого взаимодействия между спинами 2D электронов и ядер может быть сравнима с электронной зеемановской энергией. Это позволило усилить скирмионные эффекты.

Дальнейшие исследования квантового эффекта Холла показали, что в веществах, соответствующих определенным критериям, он может возникать и без магнитного поля: движение электронов в этих веществах на околосветовых скоростях приведет к возникновению собственного магнитного поля. Группа Захида Хасана (Принстонский университет) обнаружила именно такой эффект в кристаллах висмут-сурьма Bi_1-xSb_x. Для наблюдения за поведением электронов в кристалле исследователи облучали его рентгеновскими фотонами. Это открытие, подтверждающее недавние предсказания, имеет большое теоретическое значение, а также, по мнению авторов, может пригодиться для разработки квантовых и "спинтронных" вычислительных устройств.

Теория дробного квантового эффекта Холла еще далека от своего завершения и сейчас, пожалуй, ясны только общие контуры этой новой теории. Возможно, что этот эффект есть первый случай экспериментального наблюдения квазичастиц с дробным электрическим зарядом. По крайней мере, именно такой ортодоксальной точки зрения придерживается Р. Лафлин. Прав Лафлин или нет - покажет будущее, но уже и сейчас совершенно ясно, что эти два эффекта положили конец представлениям о том, что фундаментальные открытия в физике связаны только с физикой высоких энергий, ускорителями и элементарными частицами.

Глава 5. Когерентные состояния в эффекте Холла

Для описания квантовых состояний поля наряду с состояниями с определенным числом частиц (состояниями Фока) и состояниями с определенной фазой весьма эффективно используются такие когерентные состояния, свойства которых в пределе больших амплитуд аналогичны свойствам классических электромагнитных волн. Когерентные состояния нормированы, но не ортогональны, и образуют сверхполную систему. Тем самым, произвольное состояние, в том числе и состояние с определенным числом частиц, может быть представлено в виде 2-мерного интеграла по когерентным состояниям. Данное представление удобно тем, что в нем можно переходить к классическому пределу, все время оставаясь в квантовой области, ибо когерентные состояния минимизируют соотношение неопределенностей. Когерентные состояния можно также определить и как собственные состояния оператора уничтожения. Бозонные операторы рождения и уничтожения вместе с оператором числа частиц образуют трехпараметрическую алгебру Ли, которой соответствует группа Гейзенберга - Вейля W(1). Таким образом, когерентные состояния можно получить действием на вакуум оператора конечных (экспоненциальных) преобразований данной группы. Метод когерентных состояний особенно эффективен, когда группа Гейзенберга - Вейля является группой динамической симметрии гамильтониана. Когерентные состояния хорошо подходят для описания систем взаимодействующих частиц, у которых возбужденные состояния низкой энергии являются бозонными модами и имеют большие числа заполнения. Когерентные были предложены в 1928 году Э.Шредингером для описания нерасплывающихся волновых пакетов волн де Бройля. Однако эти работы не были оценены и незаслуженно забыты, так что в конце 60-х годов Р.Глаубер был вынужден вновь открывать эти состояния. Разработка Р.Глаубером теории квантовой когерентности и создание на этой основе квантовой оптики была удостоена Нобелевской премии по физике 2005 года.

Когерентные состояния гармонического осциллятора. Состояния квантового поля излучения, свойства которых в пределе больших амплитуд аналогичны свойствам классической электромагнитной волны, носят название когерентных состояний и обозначаются через [7,8]. Когерентные состояния важны также и потому, что лазер, работающий при значительном превышении порога, генерирует излучение, находящиеся в когерентном возбужденном состоянии.

Когерентные состояния являются промежуточными состояниями между состояниями Фока и состояниями с определенной фазой , в том смысле, что их амплитуда и фаза точно не определены, однако произведение неопределенностей данных величин минимально и обе они имеют распределение с наименьшим квадратичным отклонением. Соответственно, говорят, что когерентные состояния минимизируют соотношение неопределенностей. В волновой механике состоянием наиболее соответствующим классической частице является не расплывающийся волновой пакет. Таким образом, когерентное состояние можно определить как суперпозицию состояний с определенной амплитудой:

. (1)

В данном выражении является комплексным числом и, следовательно, когерентные состояния образуют двумерный континуум соответственно действительной и мнимой частям .

Легко проверить, что когерентные состояния нормированы:



. (2)

Однако когерентные состояния не ортогональны:

(3)

Вместе с тем, интеграл перекрытия экспоненциально убывает при больших расстояниях между и , и они приближаются к ортогональным. Когерентных состояний больше, чем состояний с определенным числом частиц, количество тех и других бесконечно, но первые образуют двумерный континуум, тогда как вторые только дискретное (счетное) множество. Тем самым набор когерентных состояний является переполненным, а их не ортогональность проистекает от этой переполненности.

Когерентные состояния являются собственными состояниями оператора уничтожения, что легко показать на основе соотношения (1).

(4)

Соотношения (4) и (1) равносильны и представляют собой два способа определения когерентных состояний. Комплексная величина не является наблюдаемой (оператор уничтожения неэрмитов и не может быть сопоставлен наблюдаемой величине). Вместе с тем когерентные состояния не являются собственными состояниями оператора рождения, ибо для него собственным состоянием является , т.е.



. (5)

Среднее число частиц в когерентном состоянии также может быть выражено через :

. (6)

Отсюда можно найти средне квадратичное отклонение и относительную неопределенность числа фотонов в когерентном состоянии

; (7)

Эта неопределенность уменьшается с ростом возбуждения моды и стремится к нулю при .

Распределение по числу частиц в когерентном состоянии представляет собой распределение Пуассона . Так что когерентное состояние можно графически изобразить в виде толстой синусоиды, толщина которой убывает с ростом среднего числа частиц.

Соотношение (1) выражает когерентные состояния через состояния с определенным числом частиц. Возможен и обратный переход - выразить состояние с определенным числом частиц через двумерный интеграл по комплексной плоскости :

(8)

Интегральный характер представления связан с переполненностью когерентных состояний. Аналогичное разложение допускает и произвольное состояние :

, (9)

, .

Данное представление удобно тем, что в нем можно переходить к классическому пределу, все время, оставаясь в квантовой области.

Соотношение позволяет дать еще одно определение когерентного состояния:

. (10)

Оператор можно рассматривать как оператор образования когерентного состояния из вакуумного, т.е. как оператор смещения (деформации) вакуума. Кроме того, оператор можно представить в виде произведения

(11)

или преобразовать к симметричному виду:

(12)

Последнее соотношение позволяет определить обратный оператор преобразующий когерентное состояние в вакуумное:

. (13)

Если с помощью операторов деформации произвести преобразование подобия под операторами рождения и уничтожения то преобразованные операторы будут действовать на когерентные состояния аналогично действию операторов рождения и уничтожения на вакуум . Тем самым вакуум также является когерентным состоянием, но только из виртуальных фотонов.

Систему когерентных состояний можно связать с так называемой группой Гейзенберга-Вейля. Операторы рождения и уничтожения вместе с единичным оператором образуют замкнутое множество относительно операции коммутации - алгебру Ли.

; (14)

Данная алгебра соответствует группе Гейзенберга-Вейля и обозначается . Операторы рождения и уничтожения являются операторами бесконечно малых преобразований данной группы (генераторами группы). Операторы конечных преобразований группы Гейзенберга-Вейля можно определить дополняя операторы деформации вакуума фазовым множителем . Сами операторы группу не образуют, ибо . Закон умножения для операторов конечных преобразований группы Гейзенберга-Вейля имеет вид:



. (15)

Групповые операторы действуют в гильбертовом пространстве и образуют унитарное неприводимое представление группы Гейзенберга-Вейля. Согласно теореме фон Неймана любые два представления группы удовлетворяющие условию , унитарно эквивалентны, т.е. существует такой унитарный оператор , который переводит одно из них в другое . Иными словами группа Гейзенберга-Вейля допускает только одно унитарное представление.

Метод когерентных состояний эффективно применяется не только для описания квантовых состояний электромагнитного поля, но и также многих других физических систем, особенно, если группа Гейзенберга-Вейля является группой динамической симметрии гамильтониана. Когерентные состояния хорошо подходят для систем взаимодействующих частиц, у которых возбужденные состояния низкой энергии являются бозонными модами и имеют большие числа заполнения. В связи с этим когерентные состояния получили широкое применение не только в квантовой оптике, но и в других областях физики, например, в теории сверхтекучести. Этими состояниями пользуются также для описания спиновых волн в ферромагнетике, мягкофотонных состояний в нелинейной теории поля.

Однако группа Гейзенберга-Вейля не является универсальной и во многих задачах появляются другие группы динамической симметрии. В этом случае может быть образована система обобщенных когерентных состояний, которая получится действием оператора унитарного неприводимого представления группы на фиксированный вектор пространства, в котором действуют . В частности, для группы трехмерных вращений SO(3) в качестве фиксированного элемента можно выбрать состояние с минимальной (максимальной) проекцией момента на выделенное направление. Действуя на эти состояния операторами конечных вращений можно получить систему спиновых когерентных состояний, с помощью которой удается корректно описать фазовый переход системы молекул в сверхизлучательное состояние, когда интенсивность излучения пропорциональна квадрату числа молекул в системе.

Когерентные состояния движения электрона в электрическом и магнитном полях. Рассмотрим когерентные состояния движения электрона в однородном постоянном магнитном и переменном электрическом полях. Вектор потенциал можно выбрать в виде , что соответствует магнитному полю параллельному оси z, а электрическому полю параллельному оси y. Гамильтониан рассматриваемой задачи (без учета спина) имеет вид:

(16)

Где x, y - обычные канонические координаты, , - сопряженные им импульсы, - циклотронная частота.

Введем операторы:

(17)

Где функции a и b представляют собой решение уравнений движения:



; (18)

Операторы и коммутируют с оператором и, следовательно, являются интегралами движения.

Кроме того, операторы и удовлетворяют Бозе-коммутационным соотношениям:

; (19)

Тем самым, операторы и образуют полный набор операторов уничтожения рассматриваемой квантовой системы.

Когерентные состояния можно построить как собственные состояния определенного полного набора бозонных операторов, являющихся интегралами движения квантовой системы:

; (20)

Данные когерентные состояния удовлетворяют условию нормировки и не ортогональны, образуя тем самым сверхполную систему, которая в дальнейшем будет использована в качестве базиса для расчета бесстолкновительного тока и термо-ЭДС.

Недиагональная компонента тензора электропроводности в методе когерентных состояний. Метод когерентных состояний получил широкое распространение в различных областях физики [4]. С помощью данного метода не только строят когерентные состояния для заданных систем, но и проводят непосредственные расчеты целого ряда эффектов. Ранее была построена система когерентных состояний для движения свободного электрона в однородном постоянном магнитном и переменном электрических полях, представляющая собой собственные состояния бозонных операторов уничтожения и .

Недиагональная компонента электропроводности определяется соотношением

(21)

где - плотность электронов, , - соответствующие компоненты плотности тока и скорости, - матрица плотности. Напряженность электрического поля постоянна.

Исходя из известного квантово механического выражения для оператора скорости , получаем:

(22)

Полагая для операторов уничтожения a=b=0 при E=0, имеем

(23)

(24)

Индекс “0“ означает, что величины взяты при E = 0.

Соотношение (9) означает, что операторы и связаны унитарным преобразованием

, где (25)

Тем самым все расчеты можно вести в базисе когерентных состояний , являющихся собственными функциями операторов и . Гамильтониан при этом принимает вид:

(26)

Так как гамильтониан от времени не зависит, то соответствующая матрица плотности имеет вид:

,

где - статистическая сумма.

Оператор , определенный соотношением (25) переводит матрицу плотности при в соответствующую матрицу плотности при , . Тогда для имеем

(27)

Оператор может быть представлен в виде интеграла по комплексным плоскостям и , а так же в виде интеграл по . Полагая электронный газ в проводнике идеальным и занимающий конечный объем в виде параллелепипеда с размерами , получаем интеграл по комплексной плоскости в виде . Тогда используя соотношение (23) , получаем для недиагональной компоненты тензора электропроводности следующее выражение:



(28)

что совпадает с классическими результатами расчетов этой величины.

Квантовый эффект Холла. В сильных магнитных полях , удовлетворяющих условию и (-циклотронная частота, -время релаксации) классическое описание явлений переноса неприменимо и требуется квантовомеханический подход. Особенно радикальное отличие [1] от классической теории имеет место для двумерных систем в нанометровых МОП- и гетероструктурах в которых возникают токовые слои.

Если магнитное поле ориентировано перпендикулярно электронному слою (в параллельных слою магнитных полях не происходит качественного изменения энергетического спектра и плотности состояний) классическое движение частиц по окружности можно представить в виде суперпозиции двух гармонических колебаний, что в квантовомеханическом подходе соответствует системе эквидистантных дискретных уровней Ландау с энергией .

Уровни Ландау сильно вырождены: состояния отличающиеся положением центра электронной орбиты имеют одну и ту же энергию. Кратность вырождения на единицу площади двумерной структуры (с учетом спина электрона) равна . Дискретному электронному спектру соответствует плотность состояний в виде совокупности резких пиков - в идеальном случае - функции:

(29)

и слетеровский детерминант из орбиталей



(30)

где , -магнитная длина, используемая в качестве основной единицы масштаба.

В реальных структурах за счет рассеяния носителей и неоднородного потенциала заряженных примесей - функции размываются в пики конечной ширины и высоты. Кроме того, в случайном потенциале неоднородностей состояния вблизи краев зоны локализуются. (При большой амплитуде неоднородностей может произойти переход в непроводящее состояние, так называемый переход Андерсона).

Если структура имеет форму диска, то магнитный поток через его площадь квантуется. Операторы рождения и уничтожения при отличном от нуля можно получить из соответствующих величин при преобразованием сдвига на - число [2], а орбитали (30) преобразуются к виду:

(31)

где .

Когда магнитный поток возрастает от нуля до орбитали сдвигаются и в результате одно состояние из каждого уровня Ландау переносится с левого края структуры на правый. Тем самым, от одного края образца к другому переходит столько электронов, сколько заполненных уровней Ландау имеется в системе. Если разность потенциалов между двумя краями структуры равна , то ток равен:

(32)

что соответствует целочисленному квантовому эффекту Холла.

Экспериментально наблюдаемые плато проводимости обусловлены тем, что потенциал неоднородностей, локализуя часть электронов, изменяет также свойства делокализованных электронов. Скорость Холловского дрейфа возрастает, компенсируя уменьшение концентрации носителей, и проводимость остается неизменной. Однако, количественные расчеты этих качественных соображений в настоящее время еще не завершены.

Квантовые эффекты в макроструктурах (квантовый эффект Холла целочисленный и дробный) наиболее резко проявляются, когда заполнен только первый уровень Ландау, т.е. в основном состоянии гармонического осциллятора. Из всех состояний Фока только основное состояние является так же когерентным состоянием (переходы между ним и другими когерентными состояниями осуществляются с помощью операторов конечных преобразований группы Гейзенберга - Вейля). Как известно, когерентные состояния наиболее близки к классическим, в том смысле, что для когерентных состояний соотношение неопределенностей минимизируется (Описание классического эффекта Холла в методе когерентных состояний приведено в [3]).

W_? - когерентные состояния в квантовом эффекте Холла.

Определенные успехи в описании квантового эффекта Холла удалось получить, используя в качестве собственных состояний для него W_? -когерентные состояния [3,5]. С помощью данного метода не только строят когерентные состояния для заданных систем, но и проводят непосредственные расчеты целого ряда эффектов.

W_?-алгебру можно сконструировать непосредственно из трансляционной симметрии системы (2+1)-мерных фермионов в магнитном поле. Эта бесконечномерная алгебра реализуется как алгебра унитарных преобразований, сохраняющих нижний уровень Ландау и число частиц, Можно также сделать это по иному. Введем генератор трансляций для j-той моды:

C ^j_оо* = exp (о b_j⁺ +о* b_j), (33)

где о и о* комплексные переменные, b_j и b_j⁺ - операторы уничтожения и рождения. Используя формулы Бейкера-Хаусдорфа для распутывания экспонент, находим:

[C ^j_оо* , C ^j_зз* ] = 2 C ^j_{о+з,о*+з*} sinh (оз* - о*з)/2 =-2 C ^j_{о+з,о*+з*} sin (о_xз_y - о_yз_x) (34)

В случае о_x = 2рp₁/k, о_y = 2рp₂/k, з_x = 2рq₁/k, з_y = 2рq₂/k, имеем соотношения: о = 2р(p₁+p₂)/k =2рp/k, о*=2рp*/k, з=2рq/k, з*=2рq*/k. Таким образом, соотношение (19) преобразуется к виду:

[C ^j_pp* , C ^j_qq* ] = -2 i C ^j_p+q,p*+q* sin 2р(p₁q₂-p₂q₁)/k (35)

Что полностью совпадает с алгеброй Файри-Флетчера-Джакоша для j-той моды. Для более наглядного представления свойств W_?- симметрии построим соответствующие ей когерентные состояния. Введем первоначально вакуумное состояние¦0›_j, которое удовлетворяет обычным соотношениям:

a_j¦0›_j =0, b_j¦0›_j =0 (36)



Действуя на¦0›_j оператором сдвига C^j_оо*, мы получаем W_?-когерентное состояние для j-той Фурье моды в виде:

C^j_оо*,¦0›_j =ехр (-|о| ²/2) exp ( о b_j⁺)¦0›_j = ? ехр (-|о| ²/2) оⁿ /vn_j!| n_j›=¦о›_j, здесь |n_j› = (b_j⁺)ⁿ /vn_j!| 0›_j

Данное когерентное состояние является собственным состоянием оператора уничтожения j -той моды b_j : b_j¦о›_j=о¦о›_j.

Для оператора рождения j -той моды b_j⁺ имеем: b_j⁺¦о›_j=(?_о + о/2)¦о›_j.

W_?- когерентное состояние удовлетворяет также условию полноты:

р ^-1? d²о¦о› ‹о¦= 1 (37)

Весьма важным свойство W_?- когерентных состояний является их неортогональность:

‹з|о›_j = ?з*ⁿо^m /vn!m! exp (-|о|²-|з|²)/2 ‹n|m› = exp(-|о|²-|з|²-2з*о)/2,

так что интеграл перекрытия равен exp(-Ѕ|з - о|²), и для больших величин |з-о| состояния |о› и |з› становятся практически ортогональными. Иными словами степень перекрытия волновых функций данных состояний определяется внутренним произведением в j-той моде ‹з|о›_j. Данные свойства весьма важны для конструирования квазичастиц в дробном квантовом эффекте Холла.

Аналогичным образом можно построить когерентные состояния симметрии W_? Ч W_?, которая включает все Фурье моды j:

|z,z*› = exp{z₁a₁⁺+z₂a₂⁺ ...+z_ja_j⁺...+z₁*b₁⁺+z₂*b₂⁺...+z_j*b_j⁺+...}|0›

Выбирем гауссову меру d²м=d²z exp{-?|z_j|²} в Гильбертовом пространстве H. Основное состояние |0› определяется соотношениями (36). Если учесть, что z_j и z_j* в формализме когерентных состояний являются независимыми переменными, то тогда для состояний |z,z*› справедливы следующие свойства:

a_j |z,z*› = z_j |z,z*›; a_j⁺|z,z*› = ?_z |z,z*›; ‹ z,z*| a_j= ?_z ‹ z,z*|; ‹ z,z*| a_j⁺= z_j*‹z,z*|

b_j |z,z*› = z_j |z,z*›; b_j⁺|z,z*› = ?_z |z,z*›; ‹ z,z*| b_j= ?_z ‹ z,z*|; ‹ z,z*| b_j⁺= z_j*‹z,z*|

Отсюда как частные случаи можно получить все когерентные состояния Мианга [5].

Основное состояние дробного квантового эффекта Холла описывается волновой функцией Лафлина:

Ш(z_i-z_j) =? (z_i-z_k) ^m exp[ - ?_j^N¦z_j¦²/4l²] (38)

где m=1/н- целое число, а z_j = z_i - iy_j - координата j-той частицы в комплексном представлении, l-магнитная длина. При этом система электронов представляет своеобразную жидкость с сильной корреляцией. Другой особенностью электронной жидкости, выделяющей ее в принципиально новый тип квантовых жидкостей, является то, что элементарные возбуждения в ней имеют дробный заряд и являются композитными частицами. В сильных магнитных полях соответствующих дробному квантовому эффекту число квантов потока магнитного поля на единицу площади больше числа электронов в двумерной системе. Поэтому происходит захват электроном нескольких квантов магнитного потока с образованием композитных частиц. Хотя электроны являются фермионами, образованные на их основе композитные частицы, в зависимости от числа захваченных квантов, могут быть как фермионами, для четного числа m захваченных квантов, так и бозонами для нечетного m. Поскольку внешнее магнитное поле включено в композитные частицы, то они находятся в условиях эффективного его отсутствия. Кванты потока защищают композитную частицу не только от внешнего поля, но и от действия других электронов. Таким образом, при переходе к композитным частицам, которые практически не взаимодействуют друг с другом, устраняется проблема межэлектронного взаимодействия. Поведение состояний композитных частиц радикально различается, в зависимости от того являются ли композитные частицы бозонами или фермионами.

Бозонами являются композитные частицы из электрона и нечетного числа квантов магнитного поля. Минимальным таким числом является 3, что соответствует заполнению нижнего уровня Ландау на н =1/3. Будучи бозонами и находясь в условиях нулевого магнитного поля, композитные частицы испытывают бозе-конденсацию в новое основное состояние с характерной для бозе-конденсата энергетической щелью. Когда магнитное поле превышает величину, соответствующую точному заполнению н=1/3, часть квантов магнитного потока не может быть захвачена какими-нибудь электронами, так как это потребовало бы изменение симметрии конденсированного состояния. В электронном слое такие кванты образуют вихри с дефицитом заряда 1/3 от заряда электрона. Что позволяет интерпретировать их как квазичастицы (дырки) с эффективным положительным зарядом + e/3. Можно провести аналогичное рассуждение для магнитного поля намного меньше, чем для н=1/3, тогда появятся квазиэлектроны с эффективным отрицательным зарядом -e/3. Квазичастицы могут свободно перемещаться по двумерной плоскости и являются переносчиками электрического тока. Образование плато в дробном квантовом эффекте Холла происходит, как и в целочисленном квантовом эффекте, вследствие флуктуаций потенциала и возникающей в результате этого локализации носителей. Только в дробном квантовом эффекте Холла носители - это не электроны, а причудливые квазичастицы с дробным зарядом. Дробный квантовый эффект Холла при н=1/5, 1/7 и т.д. с квазичастицами имеющими заряд e/5, e/7 и т.д. объясняется точно также, как дробный квантовый эффект Холла при н=1/3, т.е. захватом 5, 7 и т.д. квантов потока на каждый электрон. Фактически даже такие состояния как н=2/3, 4/5, 6/7 и т.д. и н=1+1/3, н=1+1/5 и т.д. объясняются аналогично. Например, н=2/3 рассматривается как уровень Ландау на 1/3 заполненный «отсутствующими» электронами. Таким образом, все дроби, отвечающие фактору заполнения уровня Ландау вида н=p±1/q, часто называемые первыми дробями, поддаются рациональному объяснению.

...