Устанавливаем, что из встречаемых понятий к основным относится понятие числа; к понятиям, которые могут быть определены, но не определяются в соответствии с дидактическими принципами обучения, относится понятие операции; к определяемым понятиям относятся все остальные. Из них понятия формулы, уравнения, корня уравнения, понятие "решить уравнение", дроби, числителя и знаменателя определяются в 5 классе; понятия четного числа, положительного и отрицательного чисел в 6 классе; понятия выражения, значения выражения,, тождественного преобразования выражения, равносильных уравнений, квадрата двучлена - в 7 классе, а оставшиеся - в 8 классе. Знание места введения рассматриваемых понятий, равно как и математических предложений, позволяет учителю при необходимости воспроизвести в памяти их дословные формулировки.

Разбирая доказательство формулы корней квадратного уравнения, обращаем внимание на то, что индуктивно выявленный способ нахождения корней квадратного уравнения выделением квадрата двучлена, реализуется затем при решении квадратного уравнения в общем виде на дедуктивной основе. Непосредственным же применением полученной формулы выводится и формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Казалось бы, при решении квадратных уравнений по формуле не должно возникать каких-либо трудностей, тем более, что в учебнике даётся алгоритм его применения. Попытаемся, однако, решить уравнение: 18х²-90х+108=0, следуя указаниям, изложенным в учебнике. Тогда мы сразу же заметим, что напрашивающееся предварительное его упрощение (делением обеих частей квадратного уравнения на 18, т.е. его приведением к заранее оговоренному каноническому виду) не предусмотрено в объяснительном тексте учебника, хотя с подобными ситуациями учащиеся будут встречаться неоднократно. Вскрывая же такие пробелы, учитель, может своевременно вносить коррективы в процесс формирования соответствующих умений, в данном случае умений рационального решения квадратных уравнений по формуле.

2.Решаем все упражнения NN 533-555, включенные в п.21, и NN 641-647 из дополнительных упражнений, относящихся к нему. Затруднения у учителя могут возникнуть, пожалуй, лишь при решении последнего упражнения: доказать, что если уравнение сх²+bx+а=0, где и , имеет корни, то они обратны корням уравнения ах²+bх+с=0.

При его решении следует заметить, чти для обоих уравнений и

Корни первого уравнения равны:

и ,

а второго и .

Далее составляем и вычисляем произведение:

.

Аналогично , что и доказывает исходное утверждение.

Распределяем упражнения по блокам:

-подготовительные упражнения - №533, используемые для отработки умений вычислять дискриминант и устанавливать с его помощью число корней квадратного уравнения;

-упражнения для непосредственного применения выведенных формул - NN 534,535(а,б),536,539,540,541,641;

-решение квадратных уравнений по формуле, допускающих предварительное упрощение коэффициентов, и целых уравнений, приводимых к квадратным, - NN 535(б,г,д,е),542-547,550-552,642;

-применение выведенных формул в совокупности с ранее изученным материалом - NN 537, 538,-548, 549, 643-647;

-упражнения для повторения - NN 553-555. Более всего в пополнении нуждается блок подготовительных упражнений, в котором отсутствуют задания для отработки умений верно устанавливать значения многих выражений, входящих в формулу корней квадратного уравнения: b, -b, b², 2а, -4ас и т.д. В блоке упражнений для непосредственного применения выведенных формул последовательное нарастание сложности и трудности содержащихся в нём задач естественно продолжить решением квадратных уравнений с иррациональными коэффициентами. Практически не уделяется внимания на проведение самоконтроля в фабулах задач. Нет упражнений, фабулы которых содержали бы явную установку на предварительное упрощение коэффициентов квадратных уравнений в подходящих случаях перед их решением по формуле. Применение выведенных формул в совокупности с ранее изученным материалом можно продолжить и на примерах решения различными способами неполных квадратных уравнений с последующим их обсуждением. В упражнениях для повторения напрашивается подключение задач с использованием формул квадратов суммы и разности, применявшихся в объяснительном тексте изучаемого пункта. Почти все рассматриваемые задачи являются стандартными и обучающими. К поисковым можно отнести с определенными оговорками лишь упражнение № 647, а проблемные задачи вообще отсутствуют.

3.В соответствии с требованиями стандарта и программы выделяем материал пункта, подлежащий усвоению на обязательном уровне подготовки: знание формулы корней квадратного уравнения для общего случая и умения решать задачи типа №№ 533-536, 539-547; 641-643. Уровень возможностей дополняется знанием формулы корней с четным вторым коэффициентом и умениями решать задачи типа №№ 537,538,548-552,644-647.

Рассматриваем в учебно-методических пособиях /61,89, 107,158,161,221,279 и др./ характеристику содержания изучаемого материала и комментарии к нему и обращаем особое внимание на методику его изложения, применения и оформления записей. Так, чтобы облегчить усвоение учащимися вывода основной формулы корней квадратного уравнения, его можно провести параллельно с предварительно решённым квадратным уравнением с числовыми коэффициентами выделением квадрата двучлена. А перед применением формулы и оформлением записей сделать выбор из рекомендуемых двух основных подходов, суть которых можно пояснить на примере решения квадратного уравнения 6х²+х-2=0.

1 подход. Найдем дискриминант: .

Применим формулу корней квадратного уравнения: .

Отсюда .

Ответ: .

II подход. Здесь а=6, b=1, c=-2. По формуле корней квадратного уравнения находим: ,

откуда .

Ответ: .

Ознакамливаемся, подбираем, а при надобности составляем различные дополнительные системы заданий, приводимых ниже.

Математические диктанты, содержание которых составляют задачи типа:

1) Запишите приведенное квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный члены равны -2.

2) Составьте неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен -5, а свободный член равен 7.

3) Вычислите дискриминант квадратного уравнения 3х²-8х-3=0.

4) При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?

5) Проверить, являются ли числа 2 и 3 корнями квадратного уравнения х²+х-6=0?

Игровые упражнения, игры и, в частности, "Молчанка".

В данной игре при решении конкретного квадратного уравнения учитель - одна из соревнующихся сторон - выключается из процесса их устного обоснования. Вся деятельность в плане разъяснения каждого предпринимаемого шага, таким образом, перекладывается на учащихся, предельно сосредотачивающихся на взаимном контроле: нужно внимательно слушать товарищей и постоянно проверять верность их ответов. Они высказываются по жесту учителя. Если ученик верно и аргументировано изложил некоторую фразу, то учитель молча на доске, а учащиеся в тетрадях, одновременно с ним, делают соответствующие записи. В противном случае - никаких записей не делается и слово предоставляется другому ученику.

Победителем признаются учащиеся, если при выполнении правил игры решение уравнения будет доведено до конца, а если нет - то учитель.

Различные виды тестов:

-на заполнение пропусков в истинном утверждении, в формулировке определения;

-на определение истинности или ложности утверждения, правильности формулировки определения;

-с выбором верного ответа, который предлагается вместе с несколькими другими;

-на установление соответствия между условием и заключением утверждения, между условием задания и его решением и др.

Этот перечень по мере необходимости можно продолжить .

Значимость изучаемого материала, существенно расширяющего аппарат уравнений и систематически используемого в курсах математики и смежных дисциплин, усиливается применением соответствующих упражнений, например, из сборника "Задания для проведения письменного экзамена по математике в IX классе". Это упражнения 1.205,1.216-1.220,2.101- 2.103, 2.522, которые наряду с остальными не должны выпадать из поля зрения учителя и учащихся на всем протяжении обучения в основной школе. Из их числа дополнительно подбираем и задания для повторения ранее пройденного материала.

Углубления внутрипредметных и межпредметных связей можно достичь, уделив, к примеру, больше внимания рещению уравнения х²+х-1=0, ибо к нему сводится задача золотого сечения отрезка, длина которого принимается равной 1.

Тогда . Полезно знать и другие удобные в применении приближенные значения найденного решения: .

Обусловлено это тем, что золотое сечение или близкие ему пропорциональные отношения положены в основу композиционного построения многих творений природы, произведений мирового искусства и пр.

Выясняем, какие квадратные уравнения и сводящиеся к ним предлагаются для решения в самостоятельных и контрольных работах из дидактических материалов с учетом конкретных условий вносим в их содержание необходимые коррективы.

5.Содержание изучаемого пункта учебника позволяет, в основном, реализовывать образовательные цели урока, поэтому оно нуждается также в насыщении материалом для решения задач воспитания и развития.

В этих целях желательны, например, испытания получаемых результатов при решении квадратных уравнений не только с помощью готовых образцов (ответов), но и составленных. Иначе говоря, при отсутствии ответов к упражнениям целесообразно воспользоваться подходящими приемами самоконтроля для проверки получаемых результатов с последующим обсуждением способов проведения контролирующих действий и выбором наиболее надежных из них. Все это способствует воспитанию ответственности учащихся за результаты своего учебного труда.

Из других примеров обратим внимание на усиление интереса к изучаемому материалу через привлечение исторических сведений и старинных задач. В этой связи можно поставить, например, перед учащимися следующие проблемы:

- Кем и когда был введен в употребление термин "квадратное уравнение"?

- Кому впервые удалось сформулировать общее правило решения квадратных уравнений?

- Как бы вы решили уравнение

?

Кто является автором этой задачи?

6.Главное в содержании рассматриваемого материала связано с формулой корней для общего случая квадратного уравнения. Ведущая идея, реализуемая при ее выводе, кроется в используемом способе решения квадратных уравнений - выделении квадрата двучлена. Основными же формируемыми умениями являются правильное применение этой формулы и проверка получаемых результатов.

7. Подбираем материал для вовлечения в посильную самостоятельную деятельность различных категорий учащихся, в особенности, наиболее подготовленных и слабоуспевающих.

Для активизации помощи слабоуспевающим можно использовать карточки - консультации. Их применение позволяет привлечь необходимые теоретические сведения и образцы выполнения поэтапных действий при формировании умений на уровне обязательной подготовки. В данном случае - умений решать квадратные уравнения по формуле. Приведем примерное содержания таких карточек.

Карточка 1 Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где х-переменная, а,b и с - некоторые числа, причем .

Числа а,b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом и с- свободным членом.

I.Дополнить таблицу, находя коэффициенты квадратного уравнения

Квадратное уравнение	Коэффициенты квадратного уравнения
	a	b	c
2x2-x+7=0	2	-1	7
x2-5x-7=0

II.Дополнить таблицу, составляя квадратное уравнение по заданным коэффициентам

Коэффициенты квадратного уравнения	Квадратное уравнение
a	b	c
2	-5	3	2х2-5х-3=0
5	-8	3

Карточка 2 Дискриминант

Выражение b²-4ac, где а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения ах²+bх+с=0, называется дискриминантом и обозначается буквой D, т.е. D =b²-4ac.

I.Дополнить таблицу, находя значения выражений.

Квадратное уравнение	Выражения, составленные с помощью коэффициентов квадратного уравнения
	b	-b	a	2a	ac
2x2-5x-3=0	-5	5	2
5x2-8x+3=0

II.Дополнить таблицу, вычисляя значение дискриминанта.

Квадратное уравнение	Выражения
	b2	4ac	D
2x2-5x-3=0	(-5)2=25		25-(-24)=49
5x2-8x+3=0

Карточка 3

Решение квадратных уравнений по формуле

Формула корней квадратного уравнения ах²+bх+с=0, где имеет вид , где .

Дополнить таблицу, решая квадратное уравнение.

Квадратное уравнение	Найти D	Сравнить значение D с 0	Найти корни квадратного уравнения
ах2+bх+с=0		D>0
		D=0
		D<0	корней нет
2x2-5x-3=0		D>0
5x2-8x+3=0

Для наиболее подготовленных учащихся в карточки-задания включаются задачи повышенной трудности, олимпиадного характера, задачи вступительных экзаменов в вузы и т.п.

Наряду с индивидуальными можно использовать дифференцированные задания для групповых форм организации деятельности учащихся: самостоятельных работ, лабораторных и практических занятий и т.д.

8.Отобранный выше материал распределяем между тремя уроками, предусмотренными разработанным ранее тематическим планированием на решение квадратных уравнений по формуле. Проверяем соответствие объема содержания каждого урока отводимому на его проведение времени с тем, чтобы не допустить их перегрузки. Выделяем задания для работы в классе и дома, на случай возможного появления резерва времени на уроке и т.д.

ВЫБОР МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

В системе действий учителя при разработке урока вслед за определением его целей и содержания важное место отводится выбору методов обучения, коими называют способы упорядоченной взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на достижение поставленных образовательных, воспитательных и развивающих целей. Составными компонентами методов являются приемы обучения, с помощью которых решаются конкретные задачи, ведущие к достижению основной цели.

В педагогической деятельности многих поколений накоплено и продолжает пополняться большое число приемов и методов обучения. Для их осмысления, обобщения и систематизации осуществляются различные классификации методов обучения /11,23,47,59,154,158,189,227,287 и др./. Отметим классификации, получившие в теории и, практике обучения наибольшее распространение.

При классификаций по источникам знаний выделяют словесные (рассказ, беседа, лекция и т.д.), наглядные (иллюстрации, демонстрации и т.д..) и практические методы обучения (упражнения, лабораторные и практические работы и т.д.).

По характеру познавательной деятельности учащихся при усвоении различных видов содержания образования методы подразделяют на объяснительно-иллюстративные (информационно-рецептивные), репродуктивные, проблемного изложения, частично-поисковые (эвристические) и исследовательские. Перечисленные методы делили, на репродуктивные (объяснительно-иллюстративный и репродуктивный), связанные с усвоением учеником готовых знаний и воспроизведением известных ему способов деятельности, и продуктивные (эвристический и исследовательский) , отличающиеся тем, что ученик добывает субъективно новые знания в результате творческой деятельности. Проблемное изложение относили к промежуточной группе, ибо оно в равной мере предполагает как усвоение готовой информации, так и элементы творческой деятельности. В дальнейшем, дабы придать большую четкость рассмотренной классификации, стали выделять две группы методов: репродуктивную и проблемно-поисковую. Они включают наряду со всеми отмеченными выше методами и наблюдение, работу с учебником, программированное обучение и т.д.

Содержание методов обучения может раскрываться характером деятельности учителя и деятельности учащихся, т.е. определенным сочетанием следующих методов преподавания с соответствующими методами учения:

- информационно-сообщающего и исполнительского;

- объяснительного и репродуктивного;

- стимулирующего и частично-поискового;

- побуждающего и поискового;

- инструктивного и практического.

Использование дидактических целей и задач занятий и соответствующих им видов деятельности учителя и учащихся в качестве основы классификации позволяет также выделить следующие методы обучения:

-коммуникативный, применяемый при усвоении готовых знаний с привлечением таких видов деятельности, как изложение учителем нового материала, в том числе проблемное изложение, восприятие его учащимися; беседа по содержанию нового учебного материала, в том числе эвристическая или проблемно-поисковая; работа с текстом учебника, в том числе самостоятельное изучение учащимися текста; оценка работы;

-познавательный - при восприятии, осмыслении и запоминании учащимися нового материала с привлечением наблюдения, моделирования, изучения иллюстраций, восприятия, анализа и обобщения демонстрируемых материалов ;

-преобразовательный - при усвоении учащимися и творческом применении навыков и умений в процессе выполнения упражнений, проблемных заданий, познавательных и количественных задач, практической деятельности и т.п.;

-систематизирующий - при обобщении и систематизации широкого круга знаний, умений и навыков в ходе обобщающего изложения учителем знаний по нескольким связанным между собой разделам программы, изучаемым ныне и изученных ранее, в том числе и из других курсов и предметов; обобщающая беседа по тем же материалам; составление систематизирующих таблиц;

-контрольный - при выявлении качества усвоения знаний, навыков и умений и их коррекция в процессе выполнения учащимися по заданию учителя контрольных

письменных работ, контрольного устного опроса учащихся, выполнения практических заданий.

Осуществление классификации на основе целостного подхода к методам обучения, учитывающего разностороннее назначение методов, выявленных педагогической наукой к данному периоду, позволяет выделить такие группы:

-методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности, включающие словесные, наглядные и практические методы (аспект передачи и восприятия учебной информации); индуктивные и дедуктивные методы (логический аспект); репродуктивные и проблемно-поисковые методы (аспект мышления); методы самостоятельной работы и работы под руководством преподавателя (аспект управления учением);

-методы стимулирования и мотивации учения, включающие методы стимулирования и мотивации интереса к учению, долга и ответственности;

-методы контроля и самоконтроля в обучении, включающие методы устного, письменного и лабораторно-практического контроля и самоконтроля.

До сих пор мы рассматривали лишь общие методы обучения, не учитывающие специфики отдельных учебных предметов. Перейдем теперь к специальным методам, отражающим основные способы познания, используемые в математике. Их подразделяют на:

-эмпирические методы познания: наблюдение, опыт, измерение и др.;

-логические методы познания: анализ, синтез, индукция, дедукция, сравнение, аналогия, абстрагирование, конкретизация, классификация и др.;

-математические методы познания; метод математического моделирования, аксиоматический метод.

Отмеченные выше общие и специальные методы относят к традиционным методам обучения. По мере развития теории и практики обучения появляются новые - нетрадиционные методы, в том числе методы, разрабатываемые учителями-новаторами Зивом Б.Г., Карнацевич Л. С., Карпом А.П., Окуневым А.А., Рыжиком В.И., Хазанкиным Р.Г., Шаталовым В.Ф., Щетининым М.П. и др. Большее признание из них в современной практике обучения получили методы /29,83,100,177,184, 190,231, 300,309,311 и др./, реализующие следующие идеи:

-крупных блоков, позволяющих увеличить объем изучаемого материала при снижении нагрузок на учащихся;

-опоры, являющейся средством развития памяти, логики, пространственного воображения и т.д.;

-бесконфликтности учения, с применением открытого учета знаний учащихся, относительной свободой выбора задачного материала учащимися и т.д.;

-самоанализа, с систематическим применением взаимо- и самоконтроля учащихся;

-личностного подхода, снимая чувство страха у учащихся, вселяя уверенность в свои силы, оценивая каждого ученика на каждом уроке и т.д.

Проведенный обзор наиболее распространенных классификаций методов обучения позволяет убедиться в необходимости вычленения общей структуры системы методов обучения математике, которая помогла бы учителю целенаправленно отбирать различные методы обучения при конструировании урока. В целом, с нашей точки зрения, она может быть представлена при определенной условности с помощью следующей схемы:

Методы обучения математике

Традиционные Нетрадиционные

Общие Специальные

Заметим, что выделением традиционных и нетрадиционных, общих и специальных методов не противопоставляются одни методы обучения другим. Наоборот, создаваемое целостное представление о многочисленных методах обучения способствует не только равноправному отношению к ним, но и содействует регулярному приобщению учителя ко всему комплексу источников информации о них: дидактике, методике преподавания математики, опыту учителей общеобразовательных учреждений. Очевидность этого положения вытекает из того, что общие методы разрабатываются дидактикой и адаптируются к обучению математике, специальные методы - методикой преподавания математики, а нетрадиционные методы зарождаются, как правило, в практике обучения.

Таким образом, различные методы обучения, взаимодополняющие друг друга, характеризуют с разных сторон одно и то же взаимодействие учителя и учащихся. Поэтому выбор и целесообразное сочетание методов обучения являются сложной педагогической проблемой, которая может быть разрешена учителем на разных уровнях: интуитивном, проб и ошибок, осознанном и обоснованном.

Обоснование выбора и сочетания методов обучения при разработке урока должно осуществляться путем установления их соответствия поставленным образовательным, воспитательным и развивающим целям, отобранному содержанию учебного материала, возможностям учащихся и учителя, имеющимся условиям и отведенному времени на изучение учебного материала. При этом используются знания о возможностях различных методов обучения, условиях эффективности их применения, алгоритмах их выбора /11,47,59,158 и др./. .

Например, основанный на известных в дидактике и методике условиях применимости различных методов обучения, выбор и сочетание их по одному из перечисленных параметров, связанному, в частности, с изучением достаточно сложного материала, может быть таким:

-из общих методов предпочтение отдается репродуктивному методу обучения;

-из специальных - анализу;

-из нетрадиционных - использованию идей опоры.

Этот выбор представляет собой сочетание методов обучения готовым знаниям с методами обучения деятельности по приобретению новых знаний, т.е. познавательной деятельности.

Если же присовокупить сюда методы обучения, отобранные к предстоящему уроку и по другим параметрам, то становится совершенно очевидной невозможность применения в процессе преподавания одного только метода в чистом виде, а тем более универсального метода обучения.

Итак, всякий раз на каждом конкретном уроке методы обучения в целом конструируются учителем, причем, чем в большем числе аспектов обосновывается им выбор методов обучения, тем более эффективно их применение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ УРОКА

На завершающем этапе разработки урока определяется его структура, являющаяся совокупностью различных вариантов взаимодействий между элементами (компонентами, этапами) урока, возникающая в процессе обучения и обеспечивающая его целенаправленную действенность .

Наиболее общей, как мы уже отмечали, является дидактическая структура урока, включающая актуализацию прежних знаний и способов действий; формирование новых знаний и способов действий; применение, т.е. формирование умений.

Разукрупнение компонентов общей дидактической структуры урока приводит к конкретизации его этапов, которые относят к методической подструктуре урока. В этой связи в практике обучения чаще всего выделяют следующие этапы урока:

- постановка цели урока;

- проверка домашнего задания;

- повторение пройденного;

- объяснение нового материала;

- закрепление изученного;

- обобщение и систематизация новых знаний;

- контроль знаний и умений учащихся;

- постановка домашнего задания.

Выбор структуры конкретного урока зависит от многих условий: его целей, содержания изучаемого материала, используемых методов, приемов и средств обучения, возможностей учителя и учащихся, места урока по теме, условий работы в данном классе. Поэтому осуществление этого сложного процесса вызывает серьезные затруднения у начинающих учителей. Для их преодоления нами систематизировано структурное строение основных типов уроков, в совокупности охватывающих все главные структурные элементы современных уроков математики /151/. Напомним их перечень:

- урок ознакомления с новым материалом;

- урок закрепления изученного;

- урок применения знаний и умений;

- урок обобщения и систематизации знаний;

- урок проверки и коррекции знаний и умений;

- комбинированный урок;

- урок - лекция;

- урок - семинар;

- урок - зачет;

- урок - практикум;

- урок - экскурсия;

- урок - дискуссия;

- урок - консультация;

- интегрированный урок;

- театрализованный урок;

- урок - соревнование;

- урок с дидактической игрой;

- урок - деловая игра;

- урок - ролевая игра.

Прежде всего следует научиться реализовывать предлагаемые в первой главе данной книги- структуры уроков всех основных типов в практике обучения. В дальнейшем, по мере накопления опыта работы, номенклатура структурных элементов этих уроков может варьироваться как по составу, так и по их сочетанию. Это способствует созданию достаточной базы для творческой разработки структуры уроков различных типов и видов с учетом всех отмеченных условий.

Еще раз подчеркнем: предлагаемая последовательность основных действий по непосредственной разработке урока - это лишь основа целенаправленной творческой деятельности учителя по конструированию уроков. На этом пути нет предела совершенствованию, ибо условия проведения различных уроков постоянно изменяются.

Рассмотрим в этой связи основные идеи шести различных уроков по теме "Функция у=ах² и ее график", разработанные известным учителем и методистом из Санкт-Петербурга А.А.Окуневым /177/. Они различаются по целям, по виду работ учащихся,, по форме подачи материала и т.д.

Вариант 1. На уроке предусматривается использование репродуктивного метода обучения. Методом беседы учитель при помощи серии вопросов помогает учащимся понять способ построения графиков функций у = х² и . Пробуждается познавательная активность учащихся в тот момент, когда ребята анализируют построенные графики, ищут сходство и различия их свойств. В меньшей степени используется метод контроля, а самостоятельная деятельность учащихся ограничивается либо показом учителя, либо демонстрацией решений, выполняемых учениками у доски. Устная работа в начале урока больше связывается с повторением, нежели с последующим материалом, хотя и может содержать ряд примеров, требующих от ребят инициативы и некоторых элементов творчества.

Вариант 2. В первой части урока планируется устное решение творческих задач, направленных на активизацию мысли ребят. Они ставятся в условия, в которых вынуждены постоянно анализировать, сравнивать, делать выводы. Эта часть урока как бы приведет в систему все знания, необходимые для изучения нового материала. Необычность заданий и доступный уровень сложности создадут условия для мотивационной основы творческой деятельности. Все это позволит сконцентрировать внимание класса на рассматриваемой проблеме.

Графики функций и строятся учащимися самостоятельно, хотя эта работа для них по сути новая, но подготовлена разбором этапов построения графика функции у=х². Задания составляются так, чтобы заинтриговать ребят, как бы вызывать их на "дуэль", предлагая проверить прочность полученных знаний, смекалку, наблюдательность. Мотивация через задачи вкрапливается в каждый момент урока. Спланированный таким образом урок должен пройти на одном дыхании и для учителя, и для учеников. И, не беда, если кто-то из ребят не справится с заданием самостоятельно, не поймет решения какого-то примера, так как эта же идея будет положена в основу целого цикла упражнений. Практический результат учитель может получить и на следующих уроках. Здесь же важен сам процесс размышления, поиска ответа, т.е. работа в интеллектуальном плане.

Вариант 3. На начальном этапе урока планируется включить ребят в созерцательную деятельность - им предлагается рассмотреть три заготовленных графика функций вида у=ах², где а>0. По графикам выявляются их общие свойства. Так как работа носит коллективный характер, то совсем не страшно ошибиться при ответах на вопросы учителя. Здесь можно проявить свою наблюдательность сильным и средним ученикам и успокоить слабых, как бы говоря им: "Не бойтесь, сегодня вы наверняка все поймете, только постарайтесь вглядеться в рисунки, вы это умеете делать".

На втором этапе - построения графиков вида у=ах² и работы с ними - задания усложняются, но после их разбора с опорой на чертеж каждый может убедиться, что вполне мог сделать их самостоятельно. На уроке постоянно требуется от детей вглядываться в то, что изображено либо на доске, либо в тетрадях, но именно эта работа незаметно для ребят позволяет им получить необходимые знания. Этот вариант предполагает активную самостоятельную исследовательскую деятельность ребят на уроке. Для учителя приготовлена роль дирижера.

Вариант 4. Обсуждается вопрос, как решить систему уравнений

Выясняется, что метод подстановки приводит к квадратному уравнению, которое учащиеся еще не умеют решать. Предлагается подумать о поиске рещения ее, хотя бы приближенного. Вспоминают графический способ, но тут же замечают, что график функции у=х² не умеют построить. Ученики сталкиваются с определенной проблемой и ищут путь ее решения. Таким образом учащиеся подводятся к практической необходимости изучения новой темы и умения строить график функции у=ах². Полученные результаты также применяются для решения систем, подобных использованной в начале урока. Домашнее задание связывается с организацией самостоятельной работы с текстом учебника и проверкой осознанности действий учащихся при применении полученных знаний.

Вариант 5. Класс делится на две группы. Ученикам сообщается, что сегодня будем строить график функции у=ах², где а>0. График этой функции называется параболой. Коэффициент а может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Одна группа будет исследовать свойства этой функции при положительных значениях а, другая - при отрицательных по заданному плану. После этого представители каждой группы рассказывают о результатах своих исследований. При этом выясняется, какие свойства исследуемых функций совпадают и в чём их отличие. Далее требуется привести пример функции, которая была бы отлична от функции у=ах², т.е. задана другой формулой, но обладала с ней некоторыми заданными общими свойствами и т.д. Тем самым, в основу урока закладывается использование игровых элементов. Ребята учатся самостоятельно исследовать некоторую ситуацию, слушать товарищей, анализировать их точку зрения на решение аналогичной проблемы, сравнивать полученные результаты. Формируется умение работать в коллективе.

Вариант 6. Ученикам сообщается, что перед ними стоит задача построить график функции у=ах², а>0. Выясняются особенности, которыми должен обладать график, анализируя формулу у=ах². При этом график функции через систему вопросов учителя как бы постепенно мысленно рисуется каждым учеником и постоянно корректируется после ответа на новый вопрос учителя. Далее вывешивается десять графиков, имеющих сходные и отличные от графика функции у=ах² свойства, из которых только один является параболой с вершиной в начале координат. Из них подбирается наиболее подходящий на роль графика функции у=х². Но эта работа выполняется не хаотично, а по четкому плану. Перечисляются шесть обязательных требований к графику квадратичной функции. Именно они дают возможность выполнить так часто встречаемое в процессе изучения курса математики действие подведения под понятие. Значение его огромно, так как без правильного выполнения этой операции просто невозможно применять на практике ни одно заученное определение. Здесь же эту операцию ученики повторят десять раз. Кроме того планируется обучение умению делать прикидки, по некоторым параметрам из большого набора объектов выбирать достойные изучения.

Раскрывая основные идеи приведенных уроков, мы невольно сталкиваемся с проблемой оформления результатов разработки урока математики, но это уже относится к содержанию следующей главы.

ГЛАВА 4. ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАЗРАБОТКИ УРОКА МАТЕМАТИКИ

В результате разработки урока математики определяются его тема, цели, тип, содержание, методы и средства обучения, последовательность и продолжительность его этапов, намечаемые для проверки знаний и умений и организации других видов учебной деятельности учащиеся. Все эти сведения оформляются в виде плана или конспекта урока, являющихся обязательным документом учителя при его проведении.

ПОНЯТИЯ О ПЛАНЕ И КОНСПЕКТЕ УРОКА

Разнообразие схем планов и конспектов уроков математики, встречаемых в методической литературе, обусловлено отсутствием их унифицированной формы. Этим стимулируется творческая деятельность учителя не только при разработке урока, но и при оформлении получаемых в ходе его подготовки результатов. Тем не менее, при составлении плана или конспекта урока математики следует считаться с выработанными в практике обучения требованиями, предъявляемыми к их содержанию. Они касаются перечня сведений, включаемых в план или конспект урока. Мы рекомендуем при этом придерживаться следующей схемы:

1.Дата проведения урока, предмет, класс, общеобразовательное учреждение, номер и тип урока.

В зависимости от условий эта группа требований фиксируется полностью или частично. Если, к примеру, разработка урока готовится для органов управления образованием города или района, то все эти сведения должны быть явно обозначены. В других ситуациях, например, при обмене опытом с коллегами по работе, в этом разделе может быть зафиксирован порой только тип урока, хотя все остальные сведения косвенно определяются содержанием плана или конспекта урока.

2.Тема урока.

Названия тем уроков уточнялись при составлении тематического планирования учебного материала. Они согласовываются с программой и учебником, которым пользуются учитель и учащиеся в процессе обучения математике в конкретном классе.

3.Образовательные, воспитательные и развивающие цели урока.

Процедура их отбора, постановки и формулирования подробно рассматривались нами при описании процесса непосредственной разработки урока математики.

4.Перечень наглядных пособий, технических средств обучения, учебного оборудования, раздаточных материалов, методической литературы и т.д., используемых на уроке.

Подбор средств обучения начинается еще на предварительной стадии разработки урока. Обусловлено это, как отмечалось ранее, необходимостью тщательной их подготовки и создания организационно-педагогических условий для их применения.

5.Структура урока, его содержание, методы обучения, примерная продолжительность каждого этапа урока, намечаемые для проверки знаний и умений и организации других видов учебной деятельности учащиеся.

В рабочих планах и конспектах уроков у опытных учителей математики фиксируются, как правило, лишь основные этапы урока его содержание. Все же отмеченные компоненты этой части описываются при проведении ими открытых уроков. Начинающими учителями эти требования должны выполняться при подготовке каждого урока математики .

6. Описание хода урока.

В этой части воспроизводится "живая картина урока" . Степень полноты ее описания может быть различной: от стремления подробно воспроизвести все происходящее на уроке до схематического, позволяющего представить в общих чертах деятельность учителя и учащихся на протяжении всего урока.

При воспроизведении хода урока должны быть раскрыты содержание изучаемого материала, специфика использования средств и методов обучения, соблюдена последовательность освещения каждого этапа урока в соответствии с предложенной его структурой. Все это отображается через описание взаимной деятельности учителя и учащихся по достижению поставленных целей урока.

Следует уделить внимание при этом раскрытию сути используемого на уроке учебного материала; описанию содержания применяемых кодопозитивов, плакатов, раздаточных материалов и других средств обучения; постановке вопросов и выявлению четких и верных ответов на них. Последнее вообще может быть положено во многих случаях в основу описания хода урока математики. В этой связи уместно напомнить /51,97,253 и др./, что наименее эффективными в практике обучения являются "общие вопросы". Их отличают неопределенность, неконкретность в формулировках или многозначность в толковании. Приведем примеры "общих вопросов":

- Все поняли?

- Все решили задачу?

- Что мы можем сказать об этом уравнении?

- Что это у нас за треугольники?

При такой постановке вопросов учащимся непонятно, что от них требуют. К примеру, на последний вопрос могут быть даны такие ответы:

- это треугольники АВС и МОК;

- это треугольники, у которых есть равные углы;

- это равные треугольники.

Каждый из этих ответов может быть правильным, но неясно, какой цели хочет достигнуть учитель поставленным вопросом. Поэтому при составлении вопросов надобно добиваться определенности в их формулировках. В частности, если уж речь будет идти о равенстве треугольников, то так и надо ставить- вопрос: "Равны ли данные треугольники?". А в случае необходимости можно уточнить ответ следующим вопросом: "Почему?".

После формулировки вопроса может быть указано, кто будет отвечать на него. Такой вопрос называют ненаправленным. Если же сначала указывается отвечающий, а затем формулируется вопрос, то его называют направленным. Обратим, к примеру, некоторые приведенные выше "общие вопросы" в направленные:

- Коля, ты решил задачу?

- Петя, а ты все понял?

Использование направленных вопросов более эффективно, нежели ненаправленных, ибо их применение вызывает естественный интерес: ответит ли вызванный? Вследствие чего и сам, ответ, и реакция учителя, как правило, выслушиваются классом. Ненаправленные вопросы, хотя и позволяют детям сначала подумать, а затем сравнить звучащий ответ со своим вариантом, тем не менее приводят зачастую к мысли: лишь бы спросили не меня! Затем наступает облегчение и отвечающего могут уже и не слушать. Практика же показывает, что лучшее соотношение - примерно на два направленных вопроса использовать один ненаправленный /51/.

Итак, при составлении вопросов к предстоящему уроку математики следует избегать общих формулировок, добиваясь их определенности. Направленные же и ненаправленные вопросы надобно сочетать с учетом степени их эффективности при использовании в учебном процессе.

Подводя итоги, определимся теперь с содержанием плана и конспекта урока математики. Для этого сначала каждому из шести рассмотренных разделов, являющихся составными компонентами разработки урока, дадим следующие наименования:

1. Тип урока.

2. Тема.

3. Цели.

4. Оборудование.

5. Структура урока.

6. Ход урока.

Первые пять из них включаются в содержание плана урока. Более подробный план, дополненный описанием хода урока, называют конспектом урока. Таким образом, конспект урока включает план и описание хода урока. Вот почему конспект урока именуют еще планом-конспектом.

ОФОРМЛЕНИЕ ПЛАНА И КОНСПЕКТА УРОКА

Определившись с последовательностью изложения материалов, включаемых в планы и конспекты уроков математики, перейдем теперь к вопросам, связанным с их оформлением. В конечном счете, они сводятся к представлению наиболее типичных образцов оформления планов и конспектов уроков математики, разрабатываемых в практике обучения. Если при этом говорить об оформлении только планов уроков, то в принятой Нами схеме они будут отличаться лишь степенью подробности их описания. Что же касается конспектов, то возможные вариации при их оформлении в большей степени касаются воспроизведения хода урока. Здесь следует обратить внимание на следующие три формы его описания: произвольную; с выделением деятельности учителя и учащихся; с выделением системы вопросов и ответов на них, раскрывающих содержание урока.

Отмеченные положения реализуются в приводимых ниже образцах планов и конспектов уроков математики.

Вначале приведем один из возможных вариантов плана урока математики в VI классе по изучению правил умножения положительных и отрицательных чисел с использованием учебника Н.Я.Виленкина и др.

План

урока ознакомления с новым материалом.

Тема: "Умножение положительных и отрицательных чисел"

Цели:

-формирование знаний о правилах умножения положительных и отрицательных чисел и умений применять их в простейших случаях;

- развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

- воспитывать ответственное отношение к учебному труду.

Оборудование: модель термометра, плакат с изображением рисунка 89 из учебника, таблицы для устного счета.

Структура урока:

1. Постановка цели урока (2 мин).

2. Подготовка к изучению нового материала повторением, а также проверкой умений находить модуль данного числа и отыскивать числа с одинаковыми и разными знаками из предлагаемого набора (фронтальный опрос; 3 мин).

3. Ознакомление с новым материалом( 25 мин ):

а)решение задачи № 1104 и аналогичной ей на изменение температуры (опросить Иванова, Петрову, Калинову, Нечаева);

б)анализ полученных результатов, выявление закономерностей и формулировка правил умножения двух чисел с разными знаками и двух отрицательных чисел (с подключением к ответам остальных учащихся класса);

в) самостоятельное ознакомление учащихся с содержанием пункта 35 учебника, выделение сведений, о которых не говорилось учителем, ответы на вопросы учащихся;

г) обобщение правил умножения двух положительных и двух отрицательных чисел.

4.Первичное осмысление и заучивание рассмотренных правил через их применение в простейших случаях и решение №№ 1102, 1103, 1105, 1106 (опросить Васильеву, Михайлова, Степанова, Ильину; 10 мин)

5.Постановка домашнего задания; изучить пункт 35 учебника, выучить наизусть правила умножения чисел с одинаковыми и разными знаками, решить №№ 1127,1130 (2 мин ).

6.Подведение итогов урока проверкой знания и понимания формулировок правил умножения чисел с одинаковыми и разными знаками и оценкой ответов учащихся(фронтальный опрос; 3 мир).

7. Резерв: №№ 1120, 1122 и 1126.

Рассмотрим теперь конспект этого же урока, в котором, напомним, детализируются основные положения его плана, последовательно раскрывая, в том числе, содержание, организацию и течение урока.

Конспект урока ознакомления с новым материалом.

Тема: "Умножение положительных и отрицательных чисел".

Цели: - формирование знаний о правилах умножения положительных и отрицательных чисел и умений применять их в простейших случаях;

- развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

- воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Оборудование: модель термометра, плакат с изображением рисунка 89 из учебника, таблицы для устного счета.

Структура урока:

1. Постановка цели урока (2 мин).

2. Подготовка к изучению нового материала (3 мин).

3. Ознакомление с новым материалом (25 мин).

4. Первичное осмысление и применение изученного (10 мин).

5. Постановка домашнего задания (2 мин).

6. Подведение итогов урока (3 мин).

7. Резервные задания.

Ход урока.

1. Постановка цели урока.

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.

Отмечается, что изучение положительных и отрицательных чисел и действий над ними продолжается. Уточняется, что учащиеся могут пока лишь складывать и вычитать положительные и отрицательные числа. Сегодня же будет рассматриваться вопрос о том, как умножать положительные и отрицательные числа. Записывается тема урока: "Умножение положительных и отрицательных чисел".

2. Подготовка к изучению нового материала. В ходе фронтального опроса учащиеся приводят примеры положительных и отрицательных чисел, находят их модули, формулируют правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел, приводят соответствующие им примеры.

Внимание учащихся акцентируется на нахождении модуля данного числа и отыскании чисел с одинаковыми и разными знаками, потому как эти сведения будут непосредственно использованы при умножении положительных и отрицательных чисел. Достигается это решением заданий следующего вида:

а) назовите модуль каждого из чисел: -5; 12; -0, 7; ; 3,6;

б) выберите из предложенного выше набора чисел какие-нибудь два числа с одинаковыми и два числа с разными знаками.

3. Ознакомление с новым материалом.

Прежде чем сформулировать правила умножения положительных и отрицательных чисел, решаются задачи № 1104 и аналогичные ей на изменение температуры. Условия последних четырёх задач записываются на доске.

Задача 1. Температура воздуха повышается каждый день на 2°. Сейчас термометр показывает 0°. Какую температуру воздуха будет показывать термометр через 3 дня?

Задача 2. Температура воздуха понижается каждый день на 2⁰. Сейчас термометр показывает 0°. Какую температуру воздуха покажет термометр через 3 дня?

Задача 3. Температура воздуха повышалась каждый день на 2°. Сейчас термометр показывает 0°. Какую температуру воздуха показывал термометр 3 дня назад?

Задача 4. Температура воздуха понижается каждый день на 2°. Сейчас термометр показывает 0°. Какую температуру воздуха показывал термометр 3 дня назад?

С помощью плаката с изображением рисунка 89 из учебника задачу 1104(а,б) решает Иванов, а № 1104 (в,г) - Петрова. Решения записываются в следующем виде:

С использованием модели термометра Калинова решает задачи 1 и 2, а Нечаев - задачи 3 и 4. Записываются их решения:

.

Обсудив вместе с остальными учащимися полученные результаты, сравнив их и выявив закономерности в определении знака произведения и его модуля, переходим к формулировке правил умножения двух чисел с разными знаками и двух отрицательных чисел.

Подключаем зрительные анализаторы в процесс восприятия учащимися содержания введенных правил умножения через их самостоятельное ознакомление с объяснительным текстом пункта 35 учебника.

Выделяем сведения из учебника, которые не рассматривались на уроке: задачи на расход ткани и зависимость, связанную с изменением знака произведения при изменении знака одного из множителей. Отвечая на вопросы учащихся, выясняем, как умножать отрицательное число на нуль, и обращаем внимание на правила чтения произведений, в которые входят отрицательные числа.

Объяснение нового материала завершается обобщением изученного и формулировкой правил умножения чисел с разными и одинаковыми знаками. Они записываются учащимися в тетради.

Правило 1. Произведение двух чисел с разными знаками есть отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей.

Правило 2. Произведение двух чисел с одинаковыми знаками есть положительное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей.

Подобный подход к формулировке правил умножения положительных и отрицательных чисел не только дополняет учебник ранее изученным материалом, но и в большей степени способствует предупреждению типичных ошибок учащихся, связанных с потерей знака произведения. Мотивируется это тем, что в приводимых в учебнике правилах либо не говорится явно о знаке произведения, либо сначала говорится о модуле произведения, а затем о его знаке, что нарушает последовательность написания результата умножения чисел.

4. Первичное осмысление и применение изученного. Оно начинается с устных вычислений произведений с пояснениями, используя следующие таблицы для устного счета.

Образец ответа в данном случае может быть таким:

произведение минус трех и пяти равно минус пятнадцати, потому что при умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, а его модуль равен произведению модулей сомножителей, то есть трех и пяти.

Далее опрашиваются Васильев, Михайлов, Степанов и Ильина. Они решают соответственно №№ 1102, 1103, 1105, 1106. При этом добиваемся правильных и полных записей их решений учащимися. Например, образцы записей при решении № 1105 могут быть такими:

5. Постановка домашнего задания.

На дом задается прочитать объяснительный текст пункта 35 учебника, выучить наизусть правила 1 и 2, записанные в тетрадях, решить №№ 1127, 1130. Учащиеся предупреждаются, что на следующем уроке с помощью математического диктанта будет проверяться знание каждым учеником заданных правил, их понимание и умение применять в простейших случаях. Учащимся предоставляется возможность познакомиться с содержанием домашнего задания и получить необходимые пояснения.

6. Подведение итогов урока. Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

-какое действие с положительными и отрицательными числами мы рассматривали на уроке?

-как прочитать запись ?

...