Для того, чтобы четырёхугольник ABCD являлся параллелограммом (доказательство признака начинаем с его заключения), достаточно доказать, что AB||CD и AD||BC.

Для того, чтобы эти стороны четырёхугольника были параллельны, достаточно использовать один из признаков параллельности прямых: например, доказать равенство накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей.

Такие накрест лежащие углы можно получить, если провести диагональ AC (1 и 2, а также 3 и 4).

Для доказательства равенства этих углов достаточно доказать равенство треугольников ABC и CDA.

Для доказательства равенства этих треугольников достаточно использовать один из признаков равенства треугольников: например, по трём сторонам.

Но эти равенства выполняются: AC - общая сторона, AB=CD и AD=BC (по условию). Признак доказан.

На этом примере можно убедиться в том, что использование аналитического метода позволяет мотивировать выполнение дополнительных построений и всей последовательности рассуждений при проведении доказательств. Однако даже в рассмотренном аналитическом доказательстве последовательность рассуждений на отдельных этапах могла пойти по пути, не приводящему к цели. Поэтому более универсальным представляется использование аналитико-синтетических доказательств с использованием как цепочек выводов, идущих от условия, так и цепочек выводов, ведущих к заключению. Затем, после замыкания этих цепочек, прослеживается всё доказательство от условия до заключения /29/.

Данная методика может быть с успехом использована не только для вовлечения учащихся в совместную с учителем деятельность по отысканию доказательств, но и для самостоятельного "открытия" ими теорем.

"Открытие" теорем учащимися возможно и в ходе специально организованной деятельности. Так, приступая к изучению теоремы Виета, учитель сначала предлагает учащимся выполнить следующую систему заданий:

-вспомните, какие квадратные уравнения называют приведёнными и приведите примеры;

-запишите приведённое квадратное уравнение х² + рx + q=0 и найдите значение его дискриминанта;

-составьте формулы корней x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения;

-найдите сумму корней x₁ и x₂ и сделайте вывод;

- найдите произведение корней x₁ и x₂ и сделайте вывод.

Обобщая полученные результаты, учитель сообщает, что учащиеся "открыли" теорему Виета и разъясняет, почему она была так названа.

Наконец, доказательства вводимых математических предложений могут быть предложены учащимся для самостоятельного изучения. Предлагаемый при этом материал должен быть посильным для них, а при надобности учащиеся обязательно должны получать исчерпывающие разъяснения учителя по возникающим вопросам. Разумеется, ребят надо готовить к самостоятельному изучению доказательств математических предложений, но об этом мы уже говорили. В частности, если выделенные из доказательства теоремы Пифагора подзадачи, о которых шла речь, были заранее решены, то при самостоятельном изучении теоремы Пифагора по учебнику А.В.Погорелова основные трудности окажутся снятыми. В самом деле, учащимся в этом случае остаётся разобраться только в том, как находится сумма квадратов катетов.

Конечно же, мы отчасти затрагиваем здесь и вопросы, связанные с решением более общей проблемы - формирования готовности учащихся к самообразованию, что, в свою очередь, является темой для специального разговора.

Первичное осмысление учащимися нового материала в большей степени связано с осознанием определений вводимых понятий, формулировок математических предложений и осуществлённых доказательств.

Осознание учащимися определений математических понятий достигается главным образом в процессе формирования у них умений:

-выделять в определениях родовые (определяющие) понятия и видовые отличия (существенные свойства) определяемого понятия;

-устанавливать принадлежность рассматриваемого объекта к введённому понятию с помощью определения, т.е. выяснять, относится ли он к родовому понятию и обладает ли видовыми отличиями;

-в случае принадлежности объекта к введённому понятию устанавливать совокупность свойств, которыми он обладает по определению: она состоит из всех известных свойств родового понятия и видовых отличий.

Осмысление же учащимися математических предложений и доказательств достигается прежде всего в ходе овладения ими умений:

-устанавливать по предложенным формулировкам математических предложений их условия и заключения;

-выявлять идею (план) выполненного доказательства математического предложения;

-применять введённое математическое предложение в простейших случаях.

Управление деятельностью учащихся при изучении нового материала должно осуществляться и с учётом психолого-дидактических закономерностей /47/. Особое внимание при этом следует обратить на то, что при пассивном участии многое ускользает от внимания обучающегося. К более же полному, богатому восприятию приводит активная, мыслительная деятельность, которая по ходу ознакомления с материалом возрастает, если соблюдаются следующие условия:

-учащийся, ознакомляясь с материалом, одновременно выполняет конкретное задание, помогающее глубже понять данный материал;

-это задание направляет усилия учащегося на использование определённого приёма мыслительной деятельности (сравнения, конкретизации и т.п.);

-данный приём соответствует содержанию материала, и чем в большей мере, тем сильнее активизируется деятельность;

-учащийся обладает знаниями, необходимыми для выполнения задания, и навыками применения данного приема;

-материал не является чрезмерно лёгким.

В конечном счёте, надобно обеспечить "ориентировку" в новом материале /36, 264/, которая достигается фиксированием его основного содержания, подлежащего усвоению, и способов работы с ним. Данная система ориентиров ("ориентировочная основа действий") должна быть представлена в таком виде, чтобы ученик мог правильно воспользоваться ими с первого же раза, пусть даже поначалу и медленно. В этих целях употребляются краткие схематические записи, соответствующие образцы применения нового материала при решении задач и т.д.

Безусловно, при изучении нового материала лишь начинают решаться вопросы, связанные с его усвоением, т.е. пониманием, запоминанием, умениями его применять. Дальнейшее же развитие эти процессы получают при закреплении изученного, что специально рассматривается нами вслед за изложенным.

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО

При закреплении изученного обеспечивается усвоение учащимися учебного материала на уровне, отвечающем программным требованиям.

Как известно /33,36,136,264 и др./, знания усваиваются только в ходе соответствующей собственной работы с ними. Поэтому при закреплении изученного особое внимание должно уделяться организации собственной деятельности учащихся в форме, позволяющей учителю проконтролировать её ход и получаемые результаты. Такие "материализованные" действия (подконтрольная работа) должны завершаться постепенным снятием внешнего контроля и переходом к выполнению этих действий в умственном плане.

Поясним сказанное на примере организации изучения правила округления натуральных чисел по следующей методике /29/.

Прежде всего замечаем, что правильное выполнение процесса округления предполагает осуществление таких операций:

а)отделяются цифры, стоящие за разрядом, до которого идёт округление;

б)устанавливается, находится ли первая отделённая цифра среди цифр 0,1,2,3,4 или среди цифр 5,6,7,8,9;

в)если это одна из цифр 0,1,2,3 или 4, то данное число заменяется таким числом, у которого неотделённые цифры сохраняются, а все отделённые цифры заменяются нулями;

если же это одна из цифр 5,6,7,8 или 9, то цифра, стоящая в разряде, до которого ведётся округление, увеличивается на 1, а все отделённые цифры заменяются нулями.

На этапе "ориентировки" краткая схематическая запись правила может быть дана в виде, поясняющем его применение при округлении чисел 2165 и 174827 до сотен:

а)21|65а)1748|27,

б)21|65 б)1748|27,

в)подчёркнута одна из цифр 5,6,7,8,9в)подчёркнута одна из цифр 0,1,2,3,4,

поэтому поэтому 1748|27174800.

Подконтрольная работа осуществляется по этим образцам, а на умственном этапе постепенно отказываются от вспомогательных записей: правильность работы контролируется по конечному результату.

В ходе закрепления, организуя подобным образом воспроизведение изученного и его повторение, можно обеспечить запоминание учебного материала и формирование умений применять его при решении задач.

Безусловно, в процессе обучения учащемуся приходится многое запоминать специально (произвольное запоминание). При этом он нередко должен ставить перед собой цель - запомнить точно, полно и по возможности прочно то, что намечено им самим или задано учителем. Разумеется, запоминание затрудняется, если материал плохо понят. То же самое наблюдается и в случае, когда усвоению подлежит материал относительно большого объёма. Облегчить же закрепление помогает использование возможностей непроизвольного запоминания, происходящего без специальной установки. Непроизвольно запоминается то, что интересует учащихся, действует на их чувства, с чем они активно оперируют, часто используют. Вообще говоря, успешное запоминание материала (произвольное или непроизвольное) возможно тогда, когда учащиеся выполняют над ним активную, мыслительную деятельность и эта деятельность способствует углубленному пониманию материала.

Используемую в этой связи систему приёмов проиллюстрируем на примере закрепления введённого определения понятия модуля числа:

- учащиеся воспроизводят определение модуля числа, а учитель сопровождает их ответы соответствующими примерами или контрпримерами, вскрывая в последнем случае характерные ошибки учащихся типа: "модуль отрицательного числа есть число положительное";

- учащимся предлагается применить (а значит, и сформулировать в ходе применения) определение модуля числа при нахождении значений, например, следующих выражений: -7, |2,5|, |0|;

- учащиеся воспроизводят это определение и применяют его для решения заданий, предлагаемых учителем;

- учащиеся составляют примеры на применение определения модуля числа и решают их письменно;

- учащиеся воспроизводят это определение и сопровождают его устным решением составленных ими примеров.

Иногда же оказывается полезным использование специальных приёмов, облегчающих запоминание учебного материала. Такие приёмы называют мнемоническими. Они применяются с привлечением мнемонических схем, фраз, опорных сигналов и т.д. Приведём, например, одну из мнемонических фраз, придуманных для запоминания первых шести цифр, используемых в записи числа : "Это я знаю и помню прекрасно". Подсчитывая количество букв каждого слова данной фразы, можно воспроизвести эту запись: =3,14159... .

Заучивая учебный материал, нельзя ограничиваться (как учителю, так и учащимся) лишь чтением его вслух или про себя. Надобно ещё письменно воспроизвести его по памяти, фиксируя план изложения, чертежи, доказательства и пр. При этом учебный материал запечатляется прочнее, поскольку нервы, ведущие от глаза к мозгу, в двадцать пять раз толще нервов, ведущих от уха к мозгу.

Процессом, противоположным запоминанию, является забывание. Оно биологически целесообразно для человеческого организма. Особенно интенсивно забывание происходит в первое время после заучивания. И хотя бессмысленный материал забывается значительно быстрее (за первые восемь часов после его проработки забывается больше, чем за последующие тридцать дней) связанного по смыслу, эта закономерность является общей.

Основным способом предотвращения забывания служат повторение изученного и включение его в постановку и решение новых задач. Повторение же в неизменном виде путём решения только однотипных задач малоэффективно. Это не значит, что в процессе закрепления следует отказываться от решения однотипных задач. Надобно только не злоупотреблять таким повторением, помня, что для осознания некоторой особенности оптимальное число однотипных упражнений равно трём /241/.

Более эффективно повторение, выступающее как основа для решения разнообразных задач, осуществляемое путём реконструкции нового материала, противопоставления либо сравнения его с ранее известным. При этом различные виды повторения желательно рассредоточивать во времени, не ограничиваясь лишь его использованием сразу же после объяснения нового материала в качестве инструмента для ослабления процессов забывания.

По мере накопления знаний по изучаемой теме (курсу) возникает проблема осмысления и запоминания большого количества информации. В таких случаях предпочтение следует отдавать не рассредоточенному во времени, а концентрированному повторению с выходом на обобщение и систематизацию знаний. Оно подразумевает повторное рассмотрение изученного, его анализ, сравнение, классификацию в целях нахождения и выделения общих связей, приводящих знания в целостную систему. Порой этому посвящается учебное время всего урока, именуемого, как известно, уроком обобщающего повторения.

В частности, В.Ф.Шаталовым /301/ по каждому учебному предмету в течение года проводится от 4 до 6 уроков повторения по листам группового контроля. Приведём примерный перечень вопросов, включённых в лист группового контроля, который использовался после изучения обыкновенных дробей в VI классе.

1. Деление нуля и деление на нуль.

2. Законы сложения.

3. Коэффициент.

4. Законы умножения.

5. Построение диаграмм.

6. Построение графиков.

7. Основное свойство дроби.

8. Как привести дробь к новому знаменателю?

9. Что значит сократить дробь?

10. Отношение. Члены отношения.

11. Рациональные числа.

12. Периодические дроби.

13. Чистая периодическая дробь.

14. Смешанная периодическая дробь.

15. Как обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную?

16. Как обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную?

17. Какие обыкновенные дроби обращаются в десятичные?

18. Простые числа.

19. Составные числа.

20. Что значит разложить число на простые множители?

21. Как умножить дробь на дробь?

22. Взаимно обратные числа.

23. Как разделить дробь на дробь?

24. Пропорция.

25. Основное свойство пропорции.

26. Как найти крайний член пропорции?

27. Как найти средний член пропорции?

28. Степень.

29. Основание степени и показатель степени.

30. Как сложить дроби с разными знаменателями?

31. Наименьшее общее кратное нескольких чисел.

32. Наибольший общий делитель нескольких чисел.

33.Как найти наибольший общий делитель нескольких чисел?

34. Как найти наименьшее общее кратное нескольких чисел?

35. Длина окружности.

36. Площадь круга.

Учитель заранее, раздаёт ребятам данные листы, с вопросами, ответы на которые должны, знать все без исключения учащиеся. Они готовятся к ответам в малых группах, многократно проверяя друг друга в обстановке сотрудничества. Формула контроля достаточно строга: если ученик не может ответить на один из предложенных вопросов, то выше тройки, если даже он хорошо ответит на все остальные вопросы, ему не выставляется. Если же такое случается дважды, то дальнейший его опрос прекращается. В конечном счёте, повторяя и воспроизводя основные факты изученного, каждый ученик включается в процесс обобщения и систематизации знаний, что является эффективным средством их упрочения и закрепления.

Как уже отмечалось нами, на запоминание влияют особенности изучаемого материала: чем более осмысленной и значимой для учащегося является информация, тем лучше она запоминается. Однако и память разных людей отличается как преобладанием той или иной модальности (зрительной, слуховой, двигательной), так и уровнем своей организации. В этой связи выделяют различные подходы к организации механизмов усвоения, приобретения, запоминания и вызова из памяти, которые называют "стилями обучения" и "стилями преподавания" (см. например /137/). Отметим некоторые из них:

- аудиальный - предпочитает учиться посредством восприятия информации на слух;

- визуальный - учится главным образом посредством зрительного восприятия информации;

- кинестетический - учится в основном на своём деятельностном опыте;

- механический - склонен использовать при обучении развитую механическую память;

- импульсивный - учится чаще всего методом проб и ошибок, отличается быстрой реакцией;

- рефлексивный - требует времени на усвоение и отработку информации.

Описание стилей обучения и преподавания осуществляется по различным параметрам, в том числе и с учётом доминирования полушарий. Так, индивиды с доминированием правого полушария предпочитают целостные образы (гештальты), синтез, музыку и искусства. Индивиды же с доминирующим левым полушарием предпочитают детали, анализ, словесность и науки.

Зная особенности стилей, можно в каждом конкретном случае облегчить обучение ребёнку. Если это, в частности, учащийся с аудиальным стилем обучения, то благоприятными для него будут такие виды деятельности, как взаимодействие и ролевые игры. Для учащихся с визуальным стилем - работа с бумагой и ручкой, а для учащихся с кинестетическим стилем обучения - шумные помещения и взаимодействие.

С другой стороны, к примеру, несоответствие между стилем обучения учащегося и 1)стилем преподавания учителя, 2)ориентацией учебников и других средств обучения и (или) 3) учебным стилем его одноклассников может привести к "конфликту стилей". В результате, как правило, констатируется неспособность учащегося к усвоению материала, хотя на самом деле причиной тому могут служить не подходящие обучающемуся стили преподавания учителя, авторов учебников либо усреднённый стиль класса.

Очевидно, что типы учебных предпочтений могут иметь пересечения. Поэтому и от умения преподавателя учитывать совокупность учебных стилей каждого из учеников зависит успешное усвоение ими программного материала. Причём, если при изучении нового материала следует пользоваться наиболее предпочитаемыми учащимися стилями обучения, то при его закреплении должны использоваться и менее предпочитаемые ими стили. Другими словами, учащихся приучают к разнообразный стилям обучения лишь после осмысления нового материала. Важная роль при этом отводится организации и проведению различных видов самостоятельных работ. Кстати, один из недостатков в методике проведения самостоятельных работ как раз и состоит в однообразии их видов, используемых учителем.

Под самостоятельной работой учащихся, мы понимаем такую работу, которая выполняется ими по заданию учителя, без его непосредственного участия (но под его руководством) в специально предоставленное для этого время. Для её выполнения учащиеся должны приложить определённые усилия, выражая в той или иной форме результаты своих действий. Трудно переоценить значение самостоятельной работы учащихся, поэтому как без неё невозможен процесс овладения знаниями на различных этапах урока: при изучении нового материала, его закреплении и т.д.

В теории и практике обучения наиболее распространены следующие подходы к классификации самостоятельных работ /24,72,89,196,273 и др./:

- по дидактическим целям;

- по уровню самостоятельности учащихся;

- по степени индивидуализации;

- по источнику и методу приобретения знаний;

- по форме выполнения;

- по месту выполнения.

Самостоятельные работы по своему дидактическому назначению можно разделить на обучающие и контролирующие. К вопросу о контролирующих самостоятельных работах мы вернёмся несколько позднее. Обучающие же работы предназначены для организации самостоятельной деятельности учащихся, ориентированной на усвоение знаний и выработку умений применять их. В этой связи обучающие самостоятельные работы в свою очередь подразделяют на работы по формированию знаний и работы по формированию умений.

Во всех случаях надо стремиться проводить обучающие работы в непринуждённой, деловой обстановке, чтобы ребята приучались вести себя раскрепощённо: не боялись задавать любые вопросы, были бы уверены, что за ошибки их никогда не накажут, а там, где требуется, помогут, покажут, повторно разъяснят непонятое и т.д. При проведении обучающих самостоятельных работ по усмотрению учителя можно воспользоваться и оценкой знаний и умений учащихся, но исключительно для их поощрения и только.

По степени самостоятельности учащихся выделяют:

- самостоятельные работы по образцу;

- реконструктивно-вариативные;

- частично-поисковые (эвристические);

- исследовательские (творческие) самостоятельные работы.

При выполнении самостоятельных работ по образцу учащиеся не выходят за рамки воспроизводящей деятельности, которая направлена на овладение основными знаниями, умениями, способами работы. Предлагаемые при этом задания выполняются по образцам и алгоритмам показанным учителем или подробно описанным в учебнике. Они играют важную роль при первичном закреплении изученного, ибо способствуют созданию условий для перехода учащихся к выполнению заданий, требующих более высокого уровня самостоятельности. Поэтому учитель должен уметь отбирать, вовремя предъявлять и требовать от учащихся их точного воспроизведения.

Самостоятельные работы реконструктивно-вариативного вида обычно содержат в себе задачи, по условиям которых учащимся приходится анализировать новые для них ситуации, переформулировать их, выбирать из известных способов наиболее рациональные. Они отличаются от работ по образцу тем, что при их выполнении необходимо преобразовать исходные данные, т.е. проявить более высокий уровень самостоятельности.

Так, после прямого использования формулы квадрата двучлена, в реконструктивно-вариативных самостоятельных работах могут быть предложены, в частности, следующие задания на заполнение пропусков:

(а + ...)² = (а² + 4а + 4);

(а + ...)² = (… + 4а + 4);

(а + ...)² = (а² + … + 4);

(а + ...)² = (… + … + 4);

(а + ...)² = (… + 4а +…)

Ещё более высокий уровень самостоятельности учащиеся проявляют при выполнении частично-поисковых (эвристических) работ, требующих переноса знаний и умений в необычные, нестандартные ситуации. Например, при решении следующей задачи, используемой при изучении свойств трапеции: "В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найти углы трапеции". В этой нестандартной ситуации в результате целенаправленного поиска осуществляется отбор и перенос именно тех знаний (о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, о свойствах равнобедренного треугольника, о сумме углов треугольника, об углах при основании равнобедренной трапеции), с помощью которых находятся искомые углы, равные 60°, 60^е, 120^е и 120°.

Высшая степень самостоятельности учащихся проявляется при выполнении исследовательских (творческих) самостоятельных работ. Здесь, пользуясь накопленными знаниями и умениями, выдвигая и проверяя собственные гипотезы и суждения, они учатся открывать для себя новые сведения об изучаемых объектах. В содержание такой работы при изучении свойств может быть включена следующая задача: "Каким свойством должна обладать трапеция, чтобы четырёхугольник, образованный отрезками, последовательно соединяющими середины её сторон, был ромбом?"

При её решении на основании анализа условия задачи учащиеся проявляют элементы творчества: выдвигают и проверяют гипотезу о том, что образованный четырёхугольник является параллелограммом, стороны которого равны половинам диагоналей трапеции. Это и позволяет потребовать того, чтобы данная трапеция была равнобедренной.

Классификация по степени индивидуализации включает общеклассные, групповые и индивидуальные самостоятельные работы. Их проводят, в той или иной мере учитывая индивидуальные особенности каждого ученика, в условиях органического соединения индивидуальной и коллективной деятельности учащихся.

Общеклассные самостоятельные работы бывают фронтальными: когда все учащиеся класса выполняют одни и те же задания. Нередко со всеми учащимися класса проводятся двух и более вариантные самостоятельные работы, идентичные по содержанию. Ныне же всё большее применение получают дифференцированные самостоятельные работы, соответствующие разному уровню подготовленности учащихся одного и того же класса. Обычно в практике обучения, используются до восьми вариантов разноуровневых заданий. Наряду с усложнением содержания дифференциация самостоятельных работ осуществляется и по пути увеличения числа задач, предлагаемых для более подготовленных учащихся. Тем не менее, при реализации каждого из этих подходов приходится преодолевать определённые трудности, связанные как с проверкой большого числа вариантов самостоятельной работы, так и с организацией обсуждения результатов её выполнения.

Решению поставленных проблем способствует /55,138,241 и др./ использование самостоятельных работ, в которых дифференцирована лишь помощь, оказываемая учащимся. Основу такой работы составляют одни и те же задания. Варьируется только система указаний для групп учащихся с различным уровнем подготовленности. Приведём пример различных вариантов подобного задания.

Вариант 1.Не выполняя действий, сравните значения выражений: и 65337 - 27937.

Вариант 2.Не выполняя действий, сравните значения выражений: (653-284)37 и 65337 - 27937.

Указание. Приведите первое выражение к виду второго и сравните их.

Вариант 3. Не выполняя действий, сравните значения выражений: (653--284)37 и 653-3727937.

Указание. Приведите первое выражение у виду второго и сравните каждый член первого выражения с соответствующим ему членом второго.

Вариант 4. Не выполняя действий, сравните значения выражений: (653 - 284)37 и 653-37 279-37.

Указание: 1) раскройте скобки в первом выражении; 2) сравните первые члены обоих выражений; 3) сравните вторые члены выражений; 4) сделайте вывод.

Развитию сотрудничества способствует проведение групповых самостоятельных работ. Для этого класс разбивается на группы по 4-6 учащихся (оптимальным считается состав группы в пять человек). Их возглавляют консультанты (ассистенты), назначаемые учителем или избираемые самими учащимися. Составы групп бывают одинаковыми или смешанными по уровню подготовленности учащихся. Задания же, выполняемые в группах, могут быть как общими, так и дифференцированными.

Индивидуальные самостоятельные работы выполняются отдельными учениками по собственной инициативе либо по заданию учителя. Они чаще всего используются для развития индивидуальных склонностей и способностей учащихся, расширения и углубления знаний у наиболее подготовленных из них, преодоления неуспеваемости или отставания в обучении. Другими словами, при проведении таких работ учитываются индивидуальные особенности и интересы учащихся.

Самые разнообразные виды самостоятельных работ содержит классификация по источнику и методу приобретения знаний. Перечислим наиболее распространённые из них:

- работа с книгой (учебником, справочной литературой и т.д.);

- решение и составление задач;

- лабораторные и практические работы;

- подготовка докладов, рефератов и т.д.

По форме выполнения различают устные и письменные самостоятельные работы, а по месту выполнения - классные и домашние.

Успешному выполнению учащимися самостоятельной работы способствуют чёткие указания учителя о её цели, содержании, способах выполнения, формах выражения получаемых результатов. Они могут быть представлены, и в виде памяток, в которых даются рекомендации по работе с математическим текстом, решению задач, выполнению лабораторных и практических работ, написанию докладов, рефератов и т.д. Нельзя при этом пускать на самотёк процесс формирования письменной и устной речи учащихся. При выполнении как устных, так и письменных самостоятельных работ учащихся следует систематически приучать полно, ясно, аргументировано излагать свои мысли.

Содержание, форма, продолжительность самостоятельной работы, проводимой в классе, должны отвечать поставленным целям урока. Нередко она занимает лишь несколько минут (например, в V-VI классах, для проведения устного счёта), а порой может длиться в течение всего урока (в частности, в старших классах, при выполнении лабораторных работ). Что же касается домашней самостоятельной работы учащихся, то особенности её организации мы рассмотрим отдельно.

КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ

Составными частями совместной деятельности учителя и учащихся по освоению программного материала, как и любой другой полноценной деятельности, являются ориентировочная, исполнительная и контролирующая. В контролирующей части устанавливается обратная связь в системе "учитель - ученик", позволяющая регулярно получать информацию, используемую для определения качества усвоения учащимися учебного материала, своевременного диагностированная и корректирования их знаний и умений. Иначе говоря, в ходе контроля выявляются и оцениваются знания и умения учащихся, что даёт возможность получать и накоплять сведения, необходимые для успешного управления их обучением, воспитанием и развитием.

Различают в этой связи три типа контроля: внешний контроль учителя за деятельностью учащихся, взаимный контроль учащихся и самоконтроль. Внешний контроль приучает обучающихся добросовестно и систематически выполнять учебную работу, вызывает стремление сделать её лучше, а при целенаправленной работе учителя способствует развитию взаимоконтроля и самоконтроля. Значимость функций взаимоконтроля предопределяется более ответственным отношением учащихся к оценке деятельности одноклассников, нежели своей. При проведении же самоконтроля осознаётся правильность своих действий, что выражается в его направленности на предупреждение или обнаружение уже совершённых ошибок.

Последнее представляется особенно важным в процессе обучения и не должно выпадать из поля зрения учителя. Вот почему процесс усвоения знаний и умений, проходящий, как мы уже отмечали, через этапы ориентировки, материализации и снятия материализации, следует рассматривать и с точки зрения постепенного перехода от внешнего контроля к самоконтролю.

Общую схему процесса формирования самоконтроля можно таким образом представить в следующем виде:

Внешний контроль Взаимоконтроль

Самоконтроль

Детализация этой схемы с учётом специфики формирования самоконтроля в процессе обучения математике приводится на следующей странице.

При обучении самоконтролю особое внимание следует уделить ознакомлению и овладению учащимися приёмами проведения контролирующих действий. Определённые трудности здесь связаны с тем, что в процессе преподавания математики используется большое число таких приёмов. Для лучшей ориентации в них можно воспользоваться проведённой нами классификацией приёмов самоконтроля, включающей:

- сверху с образцом (ответом);

- повторное решение задачи;

- решение обратной задачи;

- проверку полученных результатов по условию задачи;

- решение задачи различными способами;

- моделирование;

- примерную оценку искомых результатов;

- проверку на частном случае;

- испытание получаемых результатов по косвенным параметрам.

Осуществлённая классификация базируется на принципе выделения специфики контролирующих действий. Это способствует, в частности, установлению роли образцов, используемых при проведении контролирующих действий. В самом деле, при получении некоторого результата и при наличии готового образца (ответа) можно путём сверки (применяя первый приём самоконтроля) выяснить, приемлем (правилен) полученный результат или нет. Если же образец для сверки не задан, то используя подходящий приём самоконтроля из какого-то другого класса (то ли при повторном решении, при проверке на частном случае и т.д.) в конечном счёте составляется образец и с его помощью выполняется проверка. Тем самым вскрывается ключевое звено в проведении самоконтроля - сверка с готовым или составленным образцом. И если, к примеру, уже в 5 классе часть учащихся перестаёт осуществлять сверку с образцом даже в тех случаях, когда выполняемое задание имеет ответ, то можно констатировать: работа по формированию самоконтроля, а значит, в определённой степени, и по осмыслению учащимися изучаемого материала пущена учителем на самотёк.

Между тем, как показали наши исследования, первоначальное обучение различным видам проверок, относящихся ко всем отмеченным классам приёмов самоконтроля, желательно осуществить именно в 5-6 классах. Важно заметить, что данное требование находится в полном соответствии с возрастными возможностями младших подростков. По этой же причине их умения проводить самоконтроль полезно довести до уровня, характеризующегося систематическим выполнением контролирующих действий даже в условиях отсутствия установки на самоконтроль. Тогда эффективное развитие самоконтроля подростков, а далее и старшеклассников на такой основе становится вполне реальным.

В общем, контроль должен быть целенаправленным, объективным, всесторонним, регулярным и индивидуальным. Его результаты выражаются в оценке, характеризующейся установлением степени соответствия знаний и умений учащихся программным требованиям. Это соответствие может иметь цифровую или другую символическую форму выражения и фиксации оценки, именуемой отметкой.

Заметим, что в процессе обучения могут использоваться различные шкалы отметок. Следует, однако, иметь в виду, что при обязательной итоговой аттестации выпускников IX и XI классов общеобразовательных учреждений (документы по итоговой аттестации ежегодно публикуются в "Вестнике образования" МО РФ) их знания и умения оцениваются в соответствии с действующими нормами оценок /219,с.73-75/.

В них оценку устных ответов учащихся рекомендуется осуществлять следующим образом.

Ответ оценивается отметкой "5" (отлично), если ученик:

- полно раскрыл содержание материала в объёме, предусмотренном программой и учебником;

- изложил материал грамотным языком в определённой логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;

- правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

- показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;

- продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;

- отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.

Возможны одна-две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой "4" (хорошо), если он удовлетворяет в основном требованиям на отметку "5", но при этом имеет один из недостатков:

- в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;

-допущены один-два недочёта при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию учителя;

-допущены ошибка или более двух недочётов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Отметка "3" (удовлетворительно) ставится в следующих случаях:

- неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала;

- имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

- ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

- при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка "2" (неудовлетворительно) ставится в следующих случаях:

- не раскрыто основное содержание учебного материала;

- обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

- допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Напомним, что погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел основными знаниями, умениями, указанными в программе.

К недочётам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в программе основными. Недочётами также считаются: погрешности, которые не привели к искажению смысла полученного учеником задания или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа.

Граница между ошибками и недочётами является в некоторой степени условной. При одних обстоятельствах допущенная учащимися погрешность может рассматриваться учителем как ошибка, а в другое время и при других обстоятельствах - как недочёт.

При оценке письменных контрольных работ учащихся отметка "5" ставится, если:

- работа выполнена полностью;

- в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка "4" ставится, если:

- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

- допущена одна ошибка или два-три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка "3" ставится, если допущены более одной ошибки или более двух-трёх недочётов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка "2" ставится, если допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Что касается отметки "1" (плохо), то при итоговой аттестации (при оценке устных ответов выпускников и их письменных работ) она не используется.

Кроме того, учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии учащегося; за решение более сложной или ответ на более сложный вопрос, предложенные учащемуся дополнительно после выполнения им заданий.

С другой стороны, в соответствии с Законом Российской Федерации "Об образовании" образовательное учреждение самостоятельно в выборе системы оценок, формы, порядка и периодичности промежуточной аттестации обучающихся. В этой связи весьма существенным представляется выделение основных подходов к оценке знаний и умений учащихся, а именно: по ошибкам, по "производительности" и комбинированного.

Оценивание знаний и умений учащихся по ошибкам осуществляется в зависимости от количества и характера погрешностей, допущенных ими. Оценки по "производительности" формируются с учётом объёма верно выполненной работы. При комбинированном же подходе учитываются как ошибки, так и объём выполненной работы.

В приведённых выше рекомендациях по оценке знаний и умений учащихся реализован комбинированный подход. Тем не менее, в них достаточно чётко просматриваются критерии оценки знаний и умений учащихся по ошибкам. Ну а возможные критерии оценок в зависимости от объема выполненной работы описаны в рекомендациях /304/, сведённых в следующей таблице:

Объём	менее	от 50%	от 70%	от 90%
выполненной	50%	до 70%	до 90%	до 100%
работы				включительно
Отметка	2	3	4	5

Кстати, этот подход был частично реализован в одном из вариантов примерных норм оценки знаний и умений учащихся по математике /215/. В них, в частности, отмечается, что при условии безупречного выполнения всех заданий выставляется отметка "5". Если выполнена часть работы, то ставится другая отметка, число баллов которой соответствует выполненной части работы с учётом сложности. При этом отметка снижается на один балл за ошибку и на треть балла за недочёт и выставляется ближайшая к полученному результату отметка. Повышение отметки возможно в тех же случаях, о которых говорилось выше.

Рассмотренные подходы могут реализовываться не только при компоновке пятибалльной, но и других шкал отметок. И всё же, выбирая ту или иную систему оценок для промежуточной аттестации, форму и порядок её проведения, образовательное учреждение обязано зафиксировать их в своём уставе.

Итак, при проведении промежуточной аттестации действия учителя регламентируются уставом своего образовательного учреждения, а в ходе итоговой аттестации - соответствующими документами Министерства образования Российской Федераций.

Среди методов контроля выделяют устный, письменный и лабораторный. Они могут осуществляться путём индивидуальной, групповой и фронтальной проверок.

В практике обучения применяются такие методы устного контроля, как опрос, игровые контролирующие задания, тестовый опрос, устные контрольные работы и т.д. Методы письменного контроля, предполагают проведение контролирующих самостоятельных работ, диктантов, контрольных работ, письменных работ программированного типа, тестов, зачётов и т.д., Методы лабораторного контроля позволяют не только проверить умения учащихся применять знания при решении практических задач, но и умения пользоваться таблицами, приборами, инструментами и другими средствами в ходе практических и лабораторных работ.

До сих пор речь шла лишь о безмашинных методах контроля. При машинном контроле используются различные средства проверки: от устройств для индивидуального контроля до классов автоматизированного контроля и компьютеров. Их применение в учебном процессе способствует предъявлению одинаковых (стандартизированных) требований ко всем учащимся. Это обеспечивает высокую степень объективности проверки, но не позволяет в полной мере учесть индивидуальные психологические особенности учащихся (особенности мышления, учебных умений и др.). Вот почему в процессе обучения надобно разумно сочетать методы машинного и безмашинного контроля.

Вообще говоря, существенное влияние на учебный процесс оказывает и то, как организован контроль на уроках. Оно крайне негативно, когда имеет место несвоевременность или отсутствие оценок результатов опроса учащихся на уроке, допускается сопоставление достоинств и недостатков учащихся различного уровня подготовленности, оценки и отметки используются как средство для угроз и наказаний учащихся, проверка знаний и умений ассоциируется с наименее выраженными стилями обучения детей.

В позитивном плане особенно значимы объективные, своевременные и содержательные оценки учителем деятельности учащихся, сравнение успеваемости ученика с его прежними достижениями, убеждённость и вера учителя в способности и возможности каждого ребёнка, привлечение учащихся к проведению само- и взаимопроверок, проверки знаний и умений, осуществляемые на основе предпочитаемых детьми стилей обучения.

Поиск путей совершенствования контроля в этом русле продолжается. Так, в последние годы, при проведении итоговой аттестации девятиклассникам и одиннадцатиклассникам предоставлены право на ошибку и возможность выбора на письменных экзаменах по математике. Они выражены в основном принципе проверки экзаменационных работ: оцениваются любые пять заданий из шести предлагаемых. При таком подходе ученику даётся дополнительный шанс получить ту отметку, которую он действительно заслуживает. Заметим, что ещё до принятия такого решения его целесообразность была обоснована и результатами проведённых нами исследований. Причём не только в ходе итоговой, но и промежуточной аттестации. Кстати, в издательстве "Просвещение" в текущем году выходят "Задания на развитие самоконтроля учащихся" автора этих строк, включающие и подобным образом составленную "систему контрольных работ по математике для V-VI классов.

Другой аспект рассматриваемой проблемы связан с разработкой способов организации контроля, позволяющих сделать его более открытым, полным, а при надобности и отсроченным во времени. Заслуживает внимания практика использования В.Ф. Шаталовым в этих целях ведомостей открытого учёта знаний /301/. В них заносятся все отметки, получаемые каждым учеником за все виды работ.

Ведомость постоянно на виду и напоминает, какой именно материал кем-то усвоен плохо или недостаточно. A учащиеся знают, что любая нежелательная отметка в этой ведомости, кроме отметки за контрольную работу, может быть исправлена. Поэтому эти отметки, за исключением "пятёрок", выставляются простым карандашом.

Сложнее обстоит дело с выбором условий и сроков переноса отметок из ведомости открытого учёта знаний в журнал. Нам представляется, что этот выбор каждый учитель должен сделать, исходя из собственных методических воззрений и особенностей коллектива обучающихся. В нашей практике действенным оказался еженедельный перенос (или дважды в месяц) отметок из ведомости в журнал. Если же ученик имел, к примеру, пропуски занятий и не успел в течение недели (или двух недель) ликвидировать соответствующие пробелы в знаниях, то в журнале за этот период клеточка для отметки остаётся пустой. Учащиеся заинтересованы в том, чтобы по возможности не откладывать ликвидацию таких задолженностей, поскольку при их наличии отметка за четверть или полугодие не выставляется. Тем самым ребята приучаются к систематическому и полному контролю, что, в конечном счёте, благотворно сказывается на качестве их знаний.

Остановимся также на некоторых проблемах организации тестирования. Оно в последнее время всё более широко внедряется в процесс обучения математике и, как известно, применяется для оперативной оценки знаний учащихся. Вместе с тем, с помощью тестов фиксируется только результат, но не ход их выполнения, а у учащихся есть возможность угадывания ответа. Потому при проверке знаний и умений учащихся нельзя ограничиваться лишь тестовым контролем, равно как и любым другим способом проверки, помня о необходимости их сочетания,

В практике обучения математике наибольшее распространение получили тесты:

- на установление истинности (ложности) утверждения;

- с выбором верного ответа из нескольких заданных;

- на заполнение пропусков в истинном предложении;

- с перекрёстным выбором, на установление соответствия между заданными элементами множеств;

- на установление правильной последовательности элементов заданного множества.

При организации контроля для повышения надёжности получаемых результатов их следует варьировать совместно с другими видами тестов. Вместе с тем, учитывая проблемы стилей обучения, всё ж таки чаще следует использовать тесты, с которыми учащиеся справляются лучше.

В ряде случаев определённые трудности у учителей связаны с оцениванием результатов тестирования: когда выбор системы оценок в применяемых тестах предлагается самим учителям, при реконструкции тестов либо при их составлении. Прежде всего отметим, что формирование той или иной шкалы оценки результатов тестирования осуществляется только с учётом объёма правильно выполненной работы. Если при этом используется двухбалльная шкала (сдал - не сдал, зачтено - не зачтено и т.д.), то можно считать справившимися с тестом тех, кто верно выполнил не менее 70% работы /16/.

При пятибалльной системе оценок (а также четырехбалльной, исключающей применение "единицы" в качестве отметки) дело обстоит несколько сложнее. Причиной тому служит вариативность систем оценок, используемых в различных тестах. В них по отношению к ранее рассмотренным нами нормам оценок, зависящим только от объёма выполненной работы, наблюдается порой тенденция к повышению требований к уровню математической подготовки учащихся. Эти различия неизбежны в условиях дифференциации обучения, ориентированной в соответствии с программными требованиями на подготовку как учащихся, не предполагающих использовать математику непосредственно в своей будущей профессии, так и выбравших для себя те области деятельности, в которых математика играет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерностей окружающего мира. В первом случае или в слабых классах можно воспользоваться уже упомянутыми нормами оценок. В классах же с углубленным изучением математики или в сильных классах требования к шкале оценок могут быть, как показывают наши исследования, повышены до следующих границ:

Объём	до	от 60%	от 75%	от 95%
выполненной	60%	до 75%	до 95%	до 100%
работы				включительно
Отметка	2	3	4	5

Перейдём теперь к вопросу о способах определения объёма выполненной работы. Он может быть выявлен вычислением процентного отношения числа верно решённых заданий к общему числу заданий теста. Если, к примеру, тест состоит из пяти заданий, то, пользуясь любой из двух рассмотренных шкал оценок, устанавливаем: отметка "5" выставляется в случае, если верно решены все задания, "4" - четыре задания, "3" - три задания и "2" -только два задания.

Более точное измерение объёма выполненной работы достигается во многих случаях с помощью оценивания в баллах каждого задания и теста в целом. Сразу же отметим, что оценка всех заданий одинаковым числом баллов вновь приводит нас к способу определения объёма выполненной работа по количеству верно решённых заданий.

Оценить в баллах каждое задание можно по числу существенных операций, ведущих к его решению и отражающих цель проверочной работы. Приведём соответствующие примеры из теста, предлагаемого для использования при изучении темы '"Смежные и вертикальные углы" /101/.

1. Чему равен один из вертикальных углов, если другой равен 58°? (Оценивается в 1 балл) .

2. Найдите смежные углы, если один из них на 30° меньше другого (оценивается в 2 балла).

3. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них равен 72° (оценивается в 3 балла).

На этапе овладения знаниями и умениями оценивание заданий в баллах может осуществляться и в зависимости от их сложности и трудности, во многом определяемыми затратами времени на их выполнение. Иллюстрацией тому служат примеры оценивания заданий из теста на заполнение пропусков в истинном предложении, рекомендуемого для применения в ходе изучения темы "Квадратные корни" /5/.

Бесконечные десятичные непериодические дроби называют ... числами (оценивается в 1 балл).

…(<,>) (оценивается в 2 балла).

= ... (оценивается в 3 балла).

Полученные данные иной раз сводятся в оценочную таблицу теста, которая, в частности, может быть такой:

Номер задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Балл	1	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	5

Суммируя же все баллы и баллы, набранные учеником, находим затем объём выполненной работы в процентах. Наконец, пользуясь рассмотренными критериями, составляем для подобного теста возможные варианты систем оценок:

...