-как перемножить два числа с разными знаками?

-привести пример на умножение двух чисел с разными знаками и решить его;

-как перемножить два числа с одинаковыми знаками?

-привести пример на умножение двух чисел с одинаковыми знаками и решить его.

С учетом работы в течение всего урока комментируются и оцениваются ответы учащихся Ивановой, Петрова, Калиновой, Нечаева, Васильевой, Михайлова, Степанова и Ильиной.

7. Резервные задания.

На случай досрочного выполнения всем классом рассмотренных выше заданий и обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся планируется использовать также №№ 1120, 1122 и 1126.

В рассмотренном конспекте описание хода урока дано в произвольной форме. Другой подход к оформлению конспекта урока математики связан с выделением деятельности учителя и учащихся. Его специфику раскроем на примере оформления конспекта урока алгебры в VII классе по применению различных способов разложения многочлена на множители с использованием учебника Ш.А.Алимова, Ю.М.Колягина и др.

Урок - практикум.

Тема: "Применение нескольких способов разложения многочлена на множители".

Цели: - воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при разложении многочленов на множители;

- развивать навыки самоконтроля;

- сформировать умения разлагать многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, группировкой и применением формул сокращенного умножения.

Оборудование: кодоскоп, таблицы и формулами сокращенного умножения, раздаточный материал.

Структура урока:

1. Сообщение темы и цели практикума (2 мин) .

2.Проверка домашнего задания (3 мин) .

3 .Актуализация опорных знаний и умений учащихся (5 мин).

4. Инструктирование по выполнению заданий практикума (3 мин).

5.Выполнение заданий в группах (25 мин).

6.Проверка и обсуждение полученных результатов (5 мин).

7.Постановка домашнего задания (2 мин).

8.Резервные задания.

Ход урока.

Основное содержание учебного материала	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1.Сообщение темы и цели практикума.
	После проверки готовности класса к уроку соообщает, что сегодня проводится заключительный урок по разложению многочлена на множители с использованием нескольких способов.Ставится задача: научиться разлагать многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, группировкой и применением формул сокращенного умножения .	Записывают тему урока
2.Проверка домашнего задания.
Кодопозитив с образцами решений № 396(2,3) и № 397(2,3) из домашнего задания.	Включает кодоскоп, проверяет, как выполнено учащимися домашнее задание. Наблюдает за работой учащихся, дает пояснения, выясняет, как проконтролировать, например, правильность предложенного решения задания № 396(3), к которому нет ответа в учебнике.	Сверяют свои решения с образцами, вносят дополнения и исправления . Обращаются за необходимыми пояснениями к учителю, находят способ проверки полученного результата (х-у)(1-х-у) в № 396(3) обратным действием: умножением многочленов.
Кодопозитив с проверкой конечного результата №396(3): (х-у)(1-х-у)=х-х2-ху-у+ух+у2=х-у-х2+у2.	Сменяет кодопозитив, отвечает на вопросы учащихся, подводит итоги выполнения домашнего задания, выключает кодоскоп	Оформляют проверку решения №396(3)
3.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
	Предлагает Никифорову составить пример на разложение многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки. Вызывает Кузьмину для составления и решения примера на разложение многочлена с применением какой-нибудь формулы сокращенного умножения. Для составления и решения примера на разложение многочлена на множители способом группировки вызывает Столбову. Возвращаясь к решению примера №396(3), выясняет вместе с учащимися, какие способы применялись в этом случае для разложения многочлена на множители.	Никифоров составляет пример, решает его у доски, остальные записывают вместе с ним в тетрадях: а2-ав=а(а-в). Кузьмина составляет его, решает, остальные контролируют ее ответ и записывают: 4х2-0,25=(2х+0,5)(2х-0,5). Столбова и остальные учащиеся записывают: 2х+у+4х2-у2 = =(2х+у)+(2х+у)(2х-у) = =(2х+у)(1+2х-у). Учащиеся отвечают на вопросы учителя.
4.Инструктирование по выполнению заданий практикума.
Таблица с инструкцией. При разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок: 1)вынести общий множитель за скобки (если он есть); 2)попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращённого умножения; 3)попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели); 4)проверить полученный результат умножением множителей (многочленов)	Напоминает, как пользоваться инструкцией на примере разложения на множители многочлена xз-3x+2. Отмечает, что попытки реализовать первые два этапа не приводят к успеху. На третьем этапе надо проявить терпение и настойчивость, чтобы отыскать подходящую группировку.	Читают инструкцию, отвечают на вопросы учителя.
Кодопозитив: х3-3х2+2=х3-4х+х+2= =х(х2-4)+(х+2)= =х(х+2)(х-2)+(х+2)= =(х+2)(х(х-2)+1)= =(х+2)(х2-2х+1)= =(х+2)(х-1)2. Проверка: (х+2)(х-1)2= =(х+2)(х2-2х+1)= =х3-2х2+х+2х2-4х+2= =х3-3х+2.	Включает кодоскоп и проверяет специфику реализации третьего и четвёртого этапов. Отмечает, что теперь сами учащиеся должны проявить подобные умения при выполнении заданий практикума. Передает задания каждой группе из 4-5 человек и двойные листы с копиркой для оформления решений каждым учеником. Выключает кодоскоп.	Слушают разъяснения учителя, разбираются в предложенном решении. Готовятся к выполнению практической работы.
5.Выполнение заданий в группах
Раздаточный материал с заданиями для групп. Содержание одного из вариантов задания: 1.Разложить на множители: а)5-5а2 б)3m2+6m+3 в)4y2-(y-c)2 г)x3-x2y-xy2+y3 2.Вычислить:	Управляет самостоятельной работой учащихся.	Выполняют задания с использованием таблиц с инструкцией и с формулами сокращённого умножения.
6.Проверка и обсуждение полученных результатов.
Кодопозитив с ответами к заданиям. Ответы к рассмотренному варианту задания: 1.а)5(1+а)(1-а) б)3(m+1)2 в)(3y-c)(y+c) г)(x+y)(x-y)2 2.	Собирает копии решений и готовит учащихся к проверке выполненной работы. Включает кодоскоп и напоминает, что отметка за работу равна числу верно выполненных заданий. Проверяет работы с помощью консультантов из каждой группы и с учетом самооценок подводит итоги работы. Выключает кодоскоп и собирает раздаточный материал.	Копии решений сдают учителю. Осуществляют самопроверку и самооценку заданий. Получают разъяснения по возникающим при этом вопросам.
7.Постановка домашнего задания.
Параграфы 19-23, №№ 399, 410, 412.	Даёт пояснения по домашнему заданию. Сообщает, что следующий урок будет уроком обзорного повторения по изученной теме "Разложение многочленов на множители" и подготовки к контрольной работе.
8.Резервные задания.
№№ 398, 400, 405, 416, 417.	Использует для реализации дифференцированного подхода к обучению.

Рассмотрим, наконец, разновидность конспекта урока, отличающегося тем, что при его описании выделяется система вопросов и ответов на них, раскрывающих содержание урока. Специфику оформления такого конспекта покажем на примере разработки урока геометрии в VIII классе по изучению свойств прямоугольника с использованием учебника А.В.Погорелова.

Комбинированный урок.

Тема: "Прямоугольник".

Цели: - развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений;

- формирование знаний о прямоугольнике и умений применять его определение и свойства на уровне обязательной подготовки;

- воспитание уважительного отношения к сверстникам.

Оборудование: переносные доски с готовыми чертежами, каркасные модели четырехугольников.

Структура урока:

1.Ознакомление с темой урока, постановка его целей (2 мин).

2.Проверка домашнего задания (6 мин).

3.Систематизация знаний и умений по пройденному материалу с использованием упражнений на готовых чертежах (8 мин).

4.Определение понятия прямоугольника и доказательство его свойств (12 мин).

5.Первичное закрепление изученного (12 мин).

6.Постановка домашнего задания (3 мин).

7.Подведение итогов урока (2 мин).

8.Резерв: дифференцированные задания.

Ход урока.

1. Ознакомление с темой урока, постановка его целей.

Вместе с дежурными учитель проверяет готовность класса к уроку, после чего напоминает учащимся, что на этом занятии продолжается изучение темы "Четырехугольники". Сообщает, что сегодня будем рассматривать один из частных видов параллелограмма, его определение и свойства, начнем учиться их применять при решении задач.

2.Проверка домашнего задания.

Семенова и Кустов вызываются для решения задач №№ 14, 20 параграфа 6 из домашнего задания. В это время, пока они оформляют решения задач на доске, учитель заслушивает консультантов о выполнении остальными учащимися домашнего задания, отвечает на вопросы учащихся по домашнему заданию и осуществляет устную проверку знаний по изученному материалу о четырехугольниках постановкой вопросов типа:

-Какая фигура называется четырехугольником?

-Какие стороны четырехугольника называются противолежащими?

-Что такое параллелограмм?

-Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма?

Семенова и Кустов переходят к объяснению решений своих задач. Остальные учащиеся вместе с учителем контролируют их ответы, оформление записей, корректируют и дополняют записи в своих тетрадях. По инициативе учителя учащиеся привлекаются к постановке дополнительных вопросов отвечавшим.

Медведев: - Ну вот ты знаешь, что такое диагонали четырехугольника?

Учитель добивается от Медведева уважительного обращения к Семеновой.

Медведев: - Скажи, пожалуйста, что такое диагонали четырехугольника?

Семенова: -Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются его диагоналями.

Учитель подтверждает правильность ее ответа, оценивает ее знания, затем знания Кустова и подводит итоги выполнения классом домашнего задания.

3. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу.

Для подготовки учащихся к усвоению нового материала повторяются и систематизируются их знания и умения в процессе устного решения упражнений на готовых чертежах. Выставляется переносная доска с первой Группой задач.

Учитель: - Кто готов решить какую-нибудь из предложенных задач?

Осокина разъясняет решение первой задачи:

-У треугольников АВС и DBC AC=CD и AB=BD по условию, а ВС - общая сторона. Поэтому они равны по трем сторонам.

Ветрова решает вторую задачу:

-У треугольников DEC и DKC равны стороны DE и DK и углы EDC и CDK, а сторона DC - общая. Поэтому они равны по двум сторонам и углу между ними.

А решение третьей задачи объясняет Борисов:



У прямоугольных треугольников ОРК и МРК равны катеты ОР и ЕМ, а катет КР - общий. Поэтому они равны по двум сторонам и углу между ними (или по двум катетам, если этот признак равенства прямоугольных треугольников был сформулирован в процессе обучения).

Выставляется другая переносная доска с готовыми чертежами.

Учитель: - Есть ли желающие решить какую-нибудь из этих трех задач?

Федоров решает первую задачу:

-У четырехугольника ABCD диагонали пересекаются в точке О и делятся ею пополам, поэтому этот четырехугольник - параллелограмм по теореме 6.1.

Девятова объясняет решение второй задачи:

-Треугольники АВС и ADC равны по трем сторонам, отсюда углы ВСА и CAD равны. Поэтому прямые ВС и AD параллельны по признаку параллельности прямых, а значит параллельны и стороны ВС и AD. Аналогично параллельны стороны АВ и CD. Тогда четырехугольник ABCD является параллелограммом по определению.

Решение третьей задачи поясняется Жигуновым:

-У четырехугольника ABCD противолежащие стороны ВС и AD равны по условию и параллельны, так как прямые ВС и AD параллельны по признаку параллельности прямых. Поэтому этот четырехугольник - параллелограмм по задаче 18 параграфа 6.

Учитель подчеркивает, что повторенный материал будет использован также при изучении одного из известных им четырехугольников и записывает вместе с учащимися тему урока: "Прямоугольник".

4. Определение понятия прямоугольника и доказательство его свойств.

Для введения определения понятия прямоугольника рассматриваются следующие три каркасные модели четырехугольников:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учитель: - Найдите по виду этих четырехугольников их общие свойства.

Ветрова: - У каждого из них противолежащие стороны параллельны, поэтому все они являются параллелограммами.

Учитель: - А как еще называют средний из этих параллелограммов?

Федоров: - Прямоугольником.

Учитель: - Чем отличается прямоугольник от двух других параллелограммов?

Осокина: - У него все углы прямые.

Учитель диктует, а учащиеся записывают определение прямоугольника:

-Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Учитель: - Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Борисов, какими?

Борисов: - У прямоугольника противолежащие стороны равны и диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Учитель: - Верно. Но прямоугольник имеет еще особое свойство, которое формулируется в виде теоремы 6.4: диагонали прямоугольника равны.

Для доказательства теоремы 6.4 на доске изображается прямоугольник ABCD и его диагонали:

Учитель повторяет формулировку теоремы и предлагает Девятовой продиктовать, что нам дано и что нужно доказать.

Девятова затрудняется ответить.

Тогда учитель начинает переводить формулировку теоремы из категоричной формы в условную:

-Сформулируем теорему в другом виде, а именно: если ABCD - прямоугольник, то ..., Девятова, продолжи.

Девятова: - ... его диагонали равны.

Учитель: - Девятова, а теперь сможешь определить, что нам дано и что нужно доказать?

Девятова: - Да. ABCD - прямоугольник, а АС и BD - его диагонали. Надо доказать, что диагонали АС и BD равны.

Доказательство проводится с использованием метода восходящего анализа.

Учитель: - Нам надо доказать равенство диагоналей АС и BD. Для этого сначала выясним, являются ли они, например, сторонами треугольников BAD и CDA?

Онищенко подтверждает этот факт.

Учитель: - Для того, чтобы доказать равенство диагоналей, достаточно доказать равенство, например, каких фигур?

Лобова: - Треугольников BAD и CDA.

Учитель: - Для того, чтобы доказать равенство треугольников BAD и CDA, что достаточно установить?

Николаев: - Что они прямоугольные, катет AD - общий, а катеты АВ и CD равны как противолежащие стороны прямоугольника.

Учитель: - Итак, треугольники BAD и CDA равны по двум катетам, а из их равенства следует и равенство гипотенуз. Гипотенузы же есть диагонали прямоугольника . Теорема доказана.

Записи на доске при этом оформляются в следующем виде:

Дано: ABCD - прямоугольник,

АС и BD - диагонали

Доказать: AC = BD

Доказательство:

Треугольники BAD и CDA - прямоугольные. Катет AD - общий. Катеты АВ и CD равны как противолежащие стороны прямоугольника.

Треугольники BAD и CDA равны по двум катетам, отсюда следует равенство их гипотенуз: AC=BD.

5. Первичное закрепление изученного.

Для закрепления изученного учащимся предлагается сначала прочитать содержание пункта 54 учебника. Затем учитель отвечает на возникшие у ребят вопросы и предлагает записать результат решенной в учебнике задачи 24 в виде признака прямоугольника:

-Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

Далее решаются задачи 25 и 26, для чего последовательно вызываются Николаев и Лобова. Результат решения задачи 26 записывается в виде еще одного признака прямоугольника:

-Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

С помощью дополнительных вопросов к отвечавшим учащимся повторяются и закрепляются изученные определение, свойства и признаки прямоугольника.

6. Постановка домашнего задания.

На дом задается изучить содержание пункта 54 и решить задачи 27,28 параграфа 6. Обращается внимание на то, что они должны знать определение, свойства и признаки прямоугольника и уметь доказывать теорему 6.4.

Учащимся дается возможность ознакомиться с условиями задач 27 и 28, а также выяснить вопросы, связанные с выполнением домашнего задания.

7. Подведение итогов урока.

Итоги урока подводятся оценкой знаний отвечавших учеников и ответами на вопросы типа:

-Что такое прямоугольник?

-Какими свойствами параллелограмма обладает прямоугольник?

-Какое свойство прямоугольника доказывается в теореме 6.4?

-Сформулируйте признаки прямоугольника.

8. Резервные задания.

После выполнения программы отмеченных выше этапов урока и при наличии времени могут быть использованы следующие дифференцированные задания:

-постройте прямоугольник по двум смежным сторонам;

-постройте прямоугольник по стороне и диагонали;

-постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями;

-постройте прямоугольник по заданным серединам всех его сторон;

-постройте прямоугольник, если заданы точка пересечения его диагоналей и две соседние вершины.

В заключение напомним, что жестких требований к степени полноты описания конспекта урока не предъявляется. Тем не менее, как это следует из реалий и потребностей практики обучения математике, желательно не пренебрегать следующими рекомендациями.

Студенты-практиканты должны составлять конспект каждого урока, обращая особое внимание на подробное освещение содержания изучаемого материала, формулирование вопросов и ответов на них, описание решений всех задач, образцов оформления используемых записей, деятельности учителя и учащихся.

Начинающие учителя могут разрабатывать конспекты не к каждому уроку, но систематически, ограничиваясь в остальных случаях составлением планов уроков.

Более опытные учителя математики, как правило, используют в своей работе планы уроков. Конспекты же предстоящих уроков составляются ими в особых случаях: при проведении открытых уроков или по наиболее трудным вопросам программы.

Кроме того, каждому учителю желательно приучиться всякий раз после весьма удачно проведенного урока найти время и в тот же день оформить как можно более подробный его конспект. Это поможет собрать по крупинкам собственные находки в педагогической деятельности для систематизации своего опыта работы и совершенствования процесса преподавания математики.

ГЛАВА 5. ПРОВЕДЕНИЕ УРОКА МАТЕМАТИКИ

При проведении урока безусловно следует учитывать особенности его организации. Возникающие при этом вопросы сгруппированы нами по рубрикам, которые представлены в такой последовательности: начало урока, изучение нового материала, закрепление изученного, контроль знаний и умений, постановка домашнего задания и концовка урока.

НАЧАЛО УРОКА

Всякое начало трудно, в том числе и начало урока. Ведь с первых его минут должны создаваться необходимые условия для успешной совместной деятельности учителя и учащихся по достижению намеченных целей. Возникающие при этом проблемы многоплановы и связаны, главным образом, с разрешением следующих вопросов:

- организационных,

- содержательных,

- этических.

Необходимость решения организационных вопросов возникает перед учителем сразу же после звонка на урок, когда, он ещё только входит в класс. Первый из них - взаимное приветствие учителя и учащихся. Оно может быть исчерпано выполнением следующих действий.

Приветствуя входящего учителя, все учащиеся класса должны встать лицом к учителю и успокоиться. Завершиться эта процедура может таким ответным приветствием учителя: "Здравствуйте, садитесь".

Если процедура приветствия не сразу даётся учащимся, то изменить ситуацию к лучшему за один-два урока, как правило, не удаётся. Здесь надобно проявить терпение и настойчивость, добиваясь от учащихся уравновешенного и быстрого выполнения всех указанных действий, включая их посадку за рабочие места после ответного приветствия учителя.

Впрочем, определённые навыки в этом плане у учащихся есть, ибо ещё в начальной школе с ними отрабатывалась процедура взаимного приветствия. Это следует использовать учителю с самого первого урока. Да и впоследствии, когда учащиеся освоят данную процедуру, каждый новый урок учитель должен начинать с уважительного и неформального приветствия учащихся. В противном случае неизбежна адекватная ответная реакция учащихся, от которых, в конечном счёте, придётся заново добиваться приемлемого выполнения процедуры приветствия.

Другой организационный аспект начала урока связан с проверкой состояния кабинета, учебного оборудования, рабочих мест и с проверкой отсутствующих. В этой связи каждый ученик должен быть приучен своевременно - до начала урока приводить своё рабочее место в порядок: выложить на стол нужные тетради, книги, другие учебные принадлежности и убрать с него всё лишнее, если оно есть.

Учащиеся должны быть готовы и к выполнению обязанностей дежурных, от которых следует добиваться того, чтобы учебное помещение, к началу каждого урока было проветрено и убрано, классная доска вымыта, находились на своём месте чистая влажная тряпка и мел, на стол учителю был положен список отсутствующих и дежурных и др.

Если такого рода работу с учащимися учитель пустит на самотёк или она будет носить эпизодический характер, то уроки, в конечном счёте, будут начинаться в грязном и душном, классе, с шумного поиска тех, кто сегодня дежурит, с "чтения им морали" и требований навести порядок, с долгого выяснения отсутствующих и т.д.

А если подобное происходит изо дня в день, из года в год? Ясно, что выбор здесь следует сделать в пользу безусловного, последовательного и систематического решения учителем поставленных вопросов, вне зависимости от его стажа.

Остановимся ещё на одном вопросе, касающемся опозданий на урок. Прежде всего сам учитель не должен их допускать, показывая учащимся пример организованности. Что же касается учащихся, то на уроке, пожалуй, не следует специально тратить время на выяснение причин опозданий и принятие каких-либо мер. В таких случаях лучше молча и без заминок позволить опоздавшим занять свои места, сводя к минимуму возможность срыва рабочей обстановки в классе. Однако ни один случай опоздания учащихся не должен проходить бесследно для них. Работу же по профилактике этого явления следует вести, в основном, во внеурочное время совместно с классным руководителем и родителями.

В практике обучения начало урока порой проходит как бы без решения организационных вопросов: учащиеся сразу же включаются в урок, поддерживая инициативы учителя и сосредоточиваясь на осваиваемом материале. В действительности же за этим стоит длительная и кропотливая работа учителя по выработке у учащихся соответствующих навыков организации своей деятельности на уроке и, в частности, на первых его минутах.

Но и в таких классах бывает необходимым специально привлечь внимание учащихся к предстоящей учебной работе. Для этого иногда достаточно лишь обратиться к ним со словами: "Внимание, начинаем работу". Когда же учащиеся сильно возбуждены, то подобные обращения оказываются, как правило, малоэффективными. Такое случается после контрольных работ, выяснения личных отношений в классе и т.д. Здесь уместно начать урок с предварительной содержательной работы с использованием интересных и посильных заданий, составленных на изучаемом материале. И тогда сам процесс их выполнения, особенно письменных заданий, помогает постепенно снять напряжение и возбуждение и естественным образом включить учащихся в урок. Нередко при этом проводится в той или иной степени и проверка выполнения учащимися домашнего задания, особенности организации которой будут рассмотрены нами специально.

Процесс постановки и решения содержательных вопросов, в начале урока может осуществляться несколькими способами. Их различают в зависимости от того, кем отбираются , разрабатываются и подаются задания:

- только учителем;

- учащимися вместе с учителем;

- самими учащимися.

В практике обучения предварительная содержательная работа на уроке организуется чаще всего только учителем. Она направлена главным образом на подготовку учащихся к усвоению нового материала, применению имеющихся знаний, овладению определёнными умениями. С этой целью в начале урока используются устный счёт, математические диктанты, игровые задания, задания на поиск закономерностей, на обнаружение типичных ошибок учащихся и их предупреждение, на выбор рациональных способов решения задач, комментированное чтение текста учебника и т.д. При этом не следует останавливать свой выбор только на каком-то одном или нескольких видах заданий. Постоянное стремление разнообразить набор используемых заданий привносит элементы неожиданности и новизны, а значит способствует проявлению у учащихся интереса к уроку с первых его минут.

Рассмотрим пример организации такого начала урока в VI классе, на котором предстоит отработка умений складывать числа с разными знаками. Ранее уже было введено правило сложения чисел с разными знаками, поэтому перед учителем прежде всего стоит задача выяснить, знают и понимают ли это правило учащиеся? И начать урок поэтому можно с решения следующих заданий, подготовленных учителем.

1. Раскрывается одно из "крыльев" доски с таблицей:

2	-3	4		-12
-5	3		-2	- 8
-7	6	-5	4

Перед учащимися ставится задача: найти правило, по которому составлена таблица, и вписать пропущенные числа.

Выясняется, что числа верхней и нижней колонок есть слагаемые, а средней - их сумма. Учитель требует обосновать это предположение, в ходе чего проверяется знание и понимание учащимися правила сложения двух чисел с разными знаками на конкретных примерах. При заполнении же таблицы рассмотренные действия повторяются несколько раз разными учениками.

Необычность упражнения захватывает ребят, и они, как правило, требуют новых аналогичных заданий, которые можно несколько видоизменить.

2.Раскрывается второе "крыло" доски с другой таблицей:

	-6	3
5	7	-2
-4		11
-8	-6	14
-5	12

Задание остаётся прежним, хотя здесь надобно выяснить, что уже числа средней и правой колонок есть слагаемые, а левой - их сумма. И вновь следует многократное воспроизведение формулировки правила сложения чисел с разными знаками и его осмысление на конкретных примерах.

Наконец предлагается последнее задание.

3.Демонстрируется таблица

2	-3	-5
-4	7	11
9	8	-17

и сообщается, что в ходе её заполнения была допущена ошибка при написании одного из чисел. Требуется установить правило, по которому составлена таблица, и исключить это число.

Учащиеся должны сначала обнаружить, что числа правой и левой колонок данной таблицы являются слагаемыми, а средней - их суммой. Затем проверить с помощью установленного правила правильность заполнения колонок таблицы и исключить число 8. Кстати, допущенная ошибка является типичной для учащихся и связана с потерей знака суммы. На это также следует обратить внимание учеников, выясняя вместе с ними причины появления подобных ошибок.

Совершенствовать управление предварительной содержательной работой на уроке возможно путём привлечения учащихся к её организации. И дело здесь кроется не только в достижении предсказуемости действий части учащихся, но и в том реальном содействии в организации начала урока, которое они в состоянии оказать. Для этого следует приобщать учащихся к составлению математических кроссвордов и использованию лучших из них в начале урока, изготовлению таблиц для решения задач по готовым чертежам, к "защите" решений домашних задач учащимися, предварительно отобранными на предыдущем уроке, и др.

Приведём пример подобной организации начала урока. Так, при изучении в VIII классе свойств параллелограмма с использованием учебника геометрии А.В.Погорелова, учителем может быть намечено явное использование признаков параллелограмма. Два из них сформулированы в виде теоремы 6.1 и задачи 18 параграфа 6, решение которой приведено в учебнике. Третий же может быть сначала предложен учителем в виде задачи для домашней работы:

- доказать, что четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны, является параллелограммом.

При этом выявляются один или несколько учеников, которым на следующем уроке надо будет "защищать" решение данной задачи. На перемене до начала урока они оформляют на доске свои решения. Остальные ученики выступают в роли "оппонентов"; они следят за правильностью ответов и участвуют в оценке знаний отвечающих. Если задача решалась несколькими способами, например, с использованием определения параллелограмма или результатов задачи 18 параграфа 6, то выбирается ещё и лучшее решение. Полученный результат записывается всеми учащимися в тетради под диктовку учителя в виде ещё одного признака параллелограмма:

- если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то он является параллелограммом.

В дальнейшем же этот признак параллелограмма наряду с двумя другими будет неоднократно с успехом использоваться при решении различных задач и, в частности, задачи 36 параграфа 6.

А теперь представьте себе, что начинается, скажем, урок алгебры в IX классе, на котором изучаются последовательности. На доске записано следующее задание.

Восстановите пропущенный шестой член последовательности

1081, 1082, 1084, 1088, 1096, ?, 1108, 1109, 1111, 1115, 1123,...

Оно составлено учащимися специально для учителя. Всем не терпится узнать, как же начнётся урок, если самому учителю будет сначала предложено решить это задание? Учитель же должен быть готовым поддержать этот настрой учащихся и особенно в том случае, когда подобное происходит в классе впервые. Тогда не только начало, но и, как правило, весь урок удаётся провести, образно говоря, "на одном дыхании".

Если описанная ситуация стала реальностью на уроке, да ещё и по инициативе самих учащихся, то можно поздравить их вместе с учителем: приобщение учащихся к организации начала урока побудило их к самостоятельному отбору, разработке и постановке соответствующих заданий. Иначе говоря, учащиеся, в конечном счёте, сумели проявить способность к самоорганизации для более эффективного использования учебного времени.

Возвращаясь к задаче, подготовленной учащимися для учителя, заметим, что, хотя она и составлена на изучаемом материале, для её решения следует проявить смекалку. Действительно, здесь надо догадаться, что каждый член данной последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену остатка от его деления на число 9. Вот почему шестой член этой последовательности равен 1103.

Конечно, на первых порах ученики будут, скорее всего, составлять задания, лишь незначительно отличающиеся от тех, которые используются учителем в начале урока. Но их постоянно в этом плане следует поддерживать и поощрять, чтобы способствовать развитию процесса самоорганизации учащихся с первых минут урока. Тогда можно надеяться, что учащиеся научатся глубже разрабатывать идеи, заложенные в предлагаемых учителем в начале урока заданий, приобщаться к чтению дополнительной учебной литературы и т.д. И не надо здесь бояться того, что они, возможно, сумеют предложить учителю задачу, которую он сразу не решит. В таких случаях ребята смогут показать её решение и заработать отличную отметку. Конечно, желательно, чтобы учитель как можно реже оказывался в подобной роли, но для этого ему надобно быть в постоянном творческом поиске.

Таким образом, при комплексной реализации отмеченных способов организации содержательной работы на первых минутах урока становится невозможным всякий раз начинать урок одними и теми же действиями. В этой связи уместно напомнить, что ребята "устают от однообразия организации их деятельности на уроке, а новое начало позволит избежать этого, даже если вся остальная часть урока построена традиционно" /178, с.19/.

Успеху урока способствует также создание с первых его минут благоприятного эмоционального настроя учащихся, что связано, главным образом, с решением этических вопросов. Предлагаемые в этой связи рекомендации являются результатом изучения, анализа и обобщения накопленного опыта решения данной проблемы /86,184,295,312 и др./. Они сводятся к соблюдению учителем следующих положений, невыполнение которых к тому же лишает его морального права предъявлять равнозначные требования к учащимся.

Внешний вид учителя должен привлекать своей опрятностью, чистотой, подтянутостью. Здесь недопустимы крайности: небрежное отношение к своей внешности или чрезмерное внимание к ней.

Деловой настрой учителя, его увлечённость выполняемой работой, умение начинать и проводить урок с хорошим настроением высоко ценятся учениками. Нельзя переносить на урок свои неприятности, проявлять несдержанность, грубость, придирчивость, откровенную злость, равнодушие к работе и т.д. Состоявшемуся учителю в этом плане присущи прежде всего естественность, уравновешенность и приветливость.

Учитель должен следить за грамотностью своей речи, избавляться от неправильного произношения звуков и слов, при высказывании основных мыслей добиваться краткости, чёткости и логичности, очищать речь от слов-паразитов, вроде "ну", "короче", "так сказать" и т.д. Так как учащихся одинаково раздражают и монотонно-тихая и громкая речь учителя в течение всего урока, то следует варьировать силу своего голоса и его тон в соответствии с изменяющейся обстановкой в классе.

К учащимся следует относиться уважительно, знать каждого из них по фамилии и имени, не допускать обращений типа: "Ну-ка ты, мальчик, ответь на этот вопрос". Быть требовательным, но справедливым, доброжелательным, но не располагающим к панибратству. Быть выдержанным, уметь терпеливо выслушивать и исправлять любые ошибки учащихся. Убеждать и переубеждать, но не поучать и не унижать человеческого достоинства учащихся. В каждом своём поступке исходить из желания помочь учащимся учиться.

Умение решать все поставленные выше вопросы в начале урока оказывает существенное влияние на дальнейший его ход: оно предопределяет необходимый темп урока, эмоциональный настрой, плодотворную деятельность учителя и учащихся в течение всего урока и т.д.

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Ключевым элементом в структуре урока является изучение нового материале. С опорой на него или во взаимосвязи с ним решаются на уроках остальные вопросы; будь то закрепление, контроль и т.д. В процессе обучения математике оно сводится чаще всего к изучению математических понятий, предложений и доказательств. Можно при этом выделить три основных этапа: подготовку к восприятию, введение и первичное осмысление нового материала.

Этап подготовки к восприятию нового материала во многом связан с формированием опорных знаний. Этого, однако, может оказаться недостаточно для обеспечения готовности учащихся к получению новых знаний. Подобное чаще всего наблюдается в тех случаях, когда в процессе преподавания не уделяется должного внимания мотивировке изучения нового или актуализации опорных знаний. Рассмотрим в этой связи на конкретных примерах некоторые способы решения данной проблемы.

1.Подготовка к изучению, например, понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников через выявление их существенных признаков и актуализацию опорных знаний может быть осуществлена в процессе предварительного решения следующей системы упражнений после рассмотрения теоремы о сумме углов треугольника:

- какой угол называется острым, прямым, тупым?

- изобразите какой-нибудь острый, прямой и тупой углы;

- если один из углов треугольника прямой, то чему равна сумма двух других углов?

-верно ли, что, если один из углов треугольника прямой, то два других угла будут острыми?

-если один из углов треугольника тупой, то будет ли сумма двух других углов меньше 90°?

-почему два угла треугольника будут острыми, если третий угол тупой?

-если все углы треугольника равны, то чему равен каждый из них?

-могут ли быть все утлы треугольника острыми?

-изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол тупой;

-изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол прямой;

-изобразите какой-нибудь треугольник, у которого все углы острые;

- как бы вы назвали каждый из трёх изображённых треугольников?

При подготовке к изучению других определяемых понятий возможно также использование практических примеров, показывающих целесообразность их изучения, соответствующих наглядных пособий, кратких исторических справок и т.п. Ну а перед введением основных понятий желательно мотивировать факт невозможности определения всех математических понятий. Действительно, определяя некоторое математическое понятие, мы сводим его к более общему, которое в свою очередь при определении сводится к ещё более общему понятию и т.д. Но этот процесс не может быть бесконечным. Таким образом, мы придём к понятиям, не сводимым к другим, которые в математике принято называть основными или неопределяемыми.

2.В ходе подготовки учащихся к восприятию аксиом - математических предложений, описывающих свойства неопределяемых (основных) понятий и потому принимаемых без доказательств, - нельзя упустить главного. Оно отражается и в значении греческого слова аксиос, от которого произошло слово аксиома: это утверждение, не вызывающее сомнений. Иначе говоря, к восприятию содержания аксиом - будь то аксиомы арифметики, алгебры или геометрии - учащиеся должны быть подготовлены заранее. В том числе и через многократное выполнение разнообразных упражнений: рассмотрение и обсуждение частных случаев, моделей и т.д.

Подвести учащихся к восприятию формулировок теорем можно в ходе организованной совместно с ними деятельности по выдвижению гипотез. В частности, перед изучением теоремы о сумме внутренних углов треугольника заготавливаются несколько бумажных моделей различных треугольников. Вырезав ножницами все "углы" какого-нибудь треугольника, складываем затем их так, как показано на рисунке: .

Далее замечаем, что они образуют примерно развёрнутый угол. Проделав такие же действия с другими треугольниками, замечаем, что этот факт, видимо, не случаен. Теперь остаётся вместе с учениками составить и уточнить гипотезу: быть может, сумма углов любого треугольника равна 180°.

Предварить изучение других математических предложений - следствий, свойств, признаков, формул и т.д. - возможно также (наряду с отмеченными выше способами) через целенаправленное формирование вспомогательных навыков. Так, к моменту изучения формулы разности квадратов двух выражений все учащиеся должны научиться находить, читать и записывать:

- сумму двух данных выражений;

- их разность;

- произведение суммы двух выражений и их разности;

- квадраты данных выражений;

- разность квадратов двух выражений;

- разность квадратов двух выражений и квадрат разности двух выражений. Достигается это путём планомерного выполнения на нескольких уроках подряд соответствующих упражнений до формирования у учащихся устойчивых навыков по распознаванию, чтению и записи отмеченных выражений.

3.Чтобы подготовить учащихся к восприятию доказательств математических предложений, желательно, там где это возможно, предварительно рассмотреть реализацию идеи доказательства на частных случаях. К примеру, перед доказательством предложения о том, что графиком квадратичной функции у=ах²+bх+с является парабола, можно сначала решить задачу на построение графика функции у=3x²-6x+5. В ходе её решения выделением полного квадрата исходная формула приводится к виду у=3(x - 1)² + 2, откуда следует, что графиком функции у=3x² - 6х + 5 является парабола. Затем эта же идея реализуется в общем виде при обосновании рассматриваемого предложения.

Облегчить изучение доказательств может и предварительное выделение из них подзадач, решение которых рассматривается заранее. Так, перед изучением доказательства теоремы Пифагора по учебнику А.В.Погорелова можно выделить и предварительно решить следующие подзадачи.

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом С, a CD - его высота. Доказать, что:

а) АС²=АВ * АD;

б) ВС²=АВ * BD;

в) CD²=AD * DB.

Рассматриваемые в этих подзадачах соотношения (они связаны с понятием среднего геометрического, которое при надобности можно ввести для использования в явном виде) не только облегчат восприятие доказательства теоремы Пифагора, но и с успехом могут быть применены при решении задач.

Не менее важно готовить учащихся к выбору тех или иных дополнительных построений, используемых при доказательствах теорем. Возвратимся в этой связи к примеру об использовании бумажных моделей при подготовке к изучению теоремы о сумме углов треугольника. Если заготовить заранее два равных треугольника, то один из них можно будет использовать для демонстрации, а другой - для вырезания необходимых элементов. Вместе с учащимися выясняем, что можно было бы вырезать только два "угла" треугольника, а потом сложить их с оставшимся. Каждый из двух вырезанных "углов" совмещается сначала с соответствующим углом демонстрационного треугольника, чтобы убедиться в их равенстве. Затем три угла складываются так, как показано на рисунке:

В этом случае, наряду с выдвижением гипотезы о сумме углов треугольника, обращается внимание ещё и на то, что образовавшаяся прямая при одной из вершин треугольника оказывается параллельной противолежащей стороне. Впоследствии же такое дополнительное построение может быть использовано при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Среди различных способов ознакомления с новым материалом выделим следующие три: новый материал может быть объяснен самим учителем, в ходе совместной деятельности с учащимися либо отработан учащимися самостоятельно. Выбор каждого из этих способов зависит прежде всего от того, каким временем располагает учитель на уроке для изложения нового, степени готовности учащихся к его восприятию и содержания вводимых понятий, предложений и доказательств. Последнее рассмотрим подробнее на приводимых ниже примерах.

1.Изучение новых понятий, связано, как правило, с введением соответствующих определений, терминов, а порой и символов, их обозначающих. Вместе с тем важно уделить особое внимание выявлению в определениях (вне зависимости от способа определения понятий) определяющего (родового) понятия и существенных свойств (видовых отличий) определяемого понятия. Без этого не только осмысление, но и дальнейшее использование вводимых понятий становится проблематичным. Последовательность же реализации рассмотренных этапов введения математических понятий может быть различной.

Так, выполнение приведённой выше системы упражнений по подготовке к изучению видов треугольников в зависимости от величины их углов можно завершить введением соответствующих терминов и констатацией следующих положений:

- в каждом случае мы рассматривали треугольники (устанавливается определяющее понятие);

- в остроугольном треугольнике все углы острые, в прямоугольном - один из его углов прямой, в тупоугольном - один из его углов тупой (устанавливаются существенные признаки определяемого понятия).

Тогда последующее формулирование определений понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников не вызывает затруднений у учащихся. В таких случаях можно предложить учащимся самостоятельно изучить соответствующий материал по учебнику.

Несколько иной подход характеризуется тем, что учитель сразу показывает учащимся возможный способ построения определяемого объекта и знакомит их с термином, его обозначающим. После этого формулирование определения нового понятия можно будет провести совместно с учениками. Например, изобразив угол АОВ и построив полупрямые ОС и OD, являющиеся продолжениями сторон данного утла, учитель затем сообщает, что углы АОВ и СOD называют вертикальными.

Далее учащимся предлагается попробовать сформулировать определение вертикальных углов. Ход обсуждения предлагаемых определений сводится к тому, чтобы заметить: мы имеем дело с двумя углами (определяющее понятие), стороны одного из которых являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла (существенный признак определяемого понятия). Отметим также, что выбору определения вертикальных углов способствует и избранный вначале способ построения определяемого объекта.

Иной путь связан с введением нового понятия самим учителем, скажем, в целях экономии времени. Проиллюстрируем его на примере введения понятия линейной функции:

-учитель сразу формулирует определение нового понятия (линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у=kx+b, где x-независимая переменная, k и b -некоторые числа);

-мотивирует обозначение его соответствующим термином, а там где требуется это, то и символом (сообщает, что термин "линейная" связан с графиком функции y=kx + b, который будет рассмотрен позднее);

-выделяет в определении определяющее понятие (функция) и существенные свойства определяемого понятия (которую можно задать формулой y=kx + b, где х - независимая переменная, k и b - некоторые числа);

-конкретными примерами (у=2х - 3, у=-х, у=8) иллюстрирует введённое понятие.

2.При любом способе введения математических предложений учащимся должны быть тщательно разъяснены их формулировки. Особые трудности здесь возникают в тех случаях, когда этап подготовки к их изучению не был эффективно использован. В самом деле, может ли быть успешным введение, например, аксиом принадлежности, если к моменту их изучения учащиеся допускают, в частности, такое изображение точки А, лежащей на прямой а:

Иначе говоря, не понимая смысла понятий и отношений, используемых в формулировках математических предложений, учащиеся не в состоянии уяснить их содержания в целом. Последнее же сводится к установлению по данным формулировкам математических предложений их условий и заключений. Так, если речь идёт о теореме, то это сводится к выделению и уяснению по её формулировке того, что "дано" и что "требуется доказать". К тому же и переход к доказательству теоремы, как правило, осуществляется лишь после выделения её условия и заключения.

Казалось бы, выделение условия и заключения теоремы по её формулировке не должно вызывать затруднений у учащихся. На самом же деле они не всегда в состоянии отделить их, особенно в тех случаях, когда формулировка теоремы дана в категоричной форме. Рассмотрим пример такой формулировки теоремы: вертикальные углы равны. Пытаясь выяснить здесь у учащихся, что "дано" и что "требуется доказать", мы можем порой поставить их в весьма затруднительное положение. Тогда каким же видится выход из подобных ситуаций? Он кроется в переформулировке теоремы из категоричной формы в условную. В рассматриваемом случае, переходя к условной формулировке теоремы, имеем: если два угла - вертикальные, то они равны. Здесь уже отмеченные трудности удаётся преодолеть благодаря появлению в условной формулировке теоремы явных ориентиров: её условие заключено между союзами "если" и "то", а заключение - за союзом "то".

Конечно же вводить в употребление термины "категоричная" и "условная" формулировки теорем не следует. Однако умениями переводить формулировки теорем из категоричной в условную и наоборот надо владеть не только в рассматриваемом случае. Это могло бы понадобиться, в частности, и при выдвижении гипотез перед введением теорем, да и при "открытии" теорем, о чём речь будет идти ниже.

3.Объяснение учителем доказательств математических предложений не должно сводиться лишь к более подробному изложению соответствующего текста учебника. В противном случае возможно крайне нежелательное смещение акцентов в обучении: тогда оно содействует формальному заучиванию учащимися текстов доказательств без должного развития умений рассуждать и доказывать.

Осмысленному восприятию способствует первоначальное выделение идеи (плана) доказательства с последующим переходом к её детализации. К примеру, выяснив условие и заключение одного из признаков параллелограмма (если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм), можно сначала наметить идею доказательства:

установить, что AD||BC и AB||CD с помощью одного из признаков параллельности прямых. Для реализации же намеченного плана в четырёхугольнике ABCD проводим диагональ АС. Она разделяет его на два треугольника АВС и CDA. Эти треугольники равны по трём сторонам, а из их равенства следует равенство углов:

1=2 и 3=4.

Используя же признак параллельности прямых (на основании равенства накрест лежащих углов), заключаем, что AB||CD и АD||ВС. Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, он является параллелограммом.

Правда, и при этом ряд вопросов остаётся открытым. Как научиться, например, догадываться и проводить нужные дополнительные построения, выявлять идею или находить само доказательство? Заметим, что эти недостатки являются типичными для синтетического доказательства математического предложения (доказательства, ведущегося в направлении от его условия к заключению), пример которого мы только что рассмотрели. В этой связи уместно напомнить, что при изложении теории в учебниках используются, в основном, синтетические доказательства. Это обусловлено их достоинствами - исчерпывающей полнотой и краткостью. Применяя же в обучении только синтетические доказательства, мы обрекаем учащихся на пассивное наблюдение за ходом их проведения, так как выбираемая в ходе проводимого доказательства последовательность рассуждений становится им понятной, как правило, лишь после его завершения. Вот почему в рассмотренном примере перед проведением синтетического доказательства учащиеся были сначала ознакомлены с идеей, которую они будут затем реализовывать.

Другой путь решения, этой проблемы связан с использованием аналитического доказательства математического предложения - (доказательства, ведущегося в направлении от его заключения к условию). Рассмотрим пример аналитического доказательства того же самого признака параллелограмма.

...