Збірник задач з фізики

(6)

з - ?

Т₂ - ?

де Q₁ - теплота, отримана від нагрівника; А - робота, яку виконало робоче тіло теплової машини.

Знаючи ККД циклу, можна за формулою Карно

визначити температуру холодильника Т₂:

Зробимо перевірку одиниць вимірювання:

З означення ККД (6), видно що

є величина безрозмірна, а тому справедливість розмірності другої формули очевидна.

Виконаємо обчислення:

.

Відповідь: ККД циклу теплової машини, яка працює по оборотному циклу Карно дорівнює 0,35, а температура холодильника 325 К.

Задача 6. Сила струму у провіднику опором 20 Ом зростає на 2 с за лінійним законом від нуля до 6 А. Визначити кількість теплоти, яка виділяється у провіднику за першу секунду.

Дано: R= 20 Ом I0 = 0 А Imax = 6 А t1 = 0 c t2 = 1 c	Розв'язання: Закон Джоуля-Ленца у вигляді слушний для постійного струму. Якщо сила струму змінюється з часом, то закон виконується для нескінченно малого інтервалу часу: , (7) де сила струму I є деякою функцією часу. Враховуючи лінійну зміну сили струму, можна записати:
Q = ?

(8)

де k - коефіцієнт пропорційності. Згідно з умовою задачі при t₁ = 0 c початковий струм I = І₀ , а при t₂ = 1 струм I = І_max . Підставляючи ці значення в формулу (8), отримаємо значення коефіцієнта пропорційності:

.(9)

Підставивши (9) в (8), а потім (7), отримаємо:

(10)

Проінтегруємо останній вираз (10):

(11)

Перевіримо одиниці вимірювання останньої формули:

.

Виконаємо обчислення за формулою (11):

.

Відповідь: Кількість теплоти, яка виділяється у провіднику за першу секунду проходження струму, дорівнює 240 Дж.

Задача 7. Довгим прямим тонким дротом тече електрострум силою 20 А. Визначити магнітну індукцію поля, створеного провідником у точці, віддаленій від нового на відстані 4 см.

Дано: I = 20 А R = 4 см = 0,04 м	Розв'язання: Для розв'язання задачі, треба скористатись законом Біо-Савара-Лапласа, який дозволяє розрахувати магнітне поле, створене провідником, по якому тече струм (див. рис.):
В - ?

Виберемо на провіднику зі струмом, елемент струму, довжиною . Напрямок вектора визначається за правилом правого гвинта і є дотичною до кола відповідного радіуса (див. рис.). Так як вектор індукції магнітного поля визначається векторним добутком та , то модуль цього вектора визначається за формулою:

,

де б - кут між векторами та . Виразимо та через кут б. З рис. Видно, що , а оскільки , то .

Отже,

.

Згідно з принципом суперпозиції, магнітне поле, яке створюється всім провідником, можна знайти за принципом суперпозиції, враховуючи що магнітне поле кожного елемента струму напрямлене однаково, можна записати:

;

.

Зробимо перевірку одиниць вимірювання:

.

Підставимо значення в кінцеву формулу:

Відповідь: Магнітна індукція поля, створеного провідником у точці, віддаленій від нового на відстані 4 см, дорівнює 0,1 мТл.

Задача 8. Електрон, подолавши прискорюючу різницю потенціалів 400 В, потрапив у однорідне магнітне поле напруженістю 1 кА/м. Визначити радіус кривини траєкторії електрона у магнітному полі. Вектор швидкості перпендикулярний до ліній поля.

Дано: U = 400 В Н= 1 кА/м = 1000 А/м	Розв'язання: Радіус кривини електрона визначається з наступних міркувань: на електрон, що рухається у магнітному полі, діє сила Лоренца: .
R - ?

Сила Лоренца перпендикулярна вектору швидкості і надає електрону нормальне прискорення (див. рис.). Згідно з другим законом Ньютона:

F = ma_n,



де m - маса електрона, a_n - його нормальне прискорення, отже:

,

де е - заряд електрона, R - радіус кривини траєкторії, - швидкість електрона, - кут між векторами і (згідно з умовою задачі =90, sinб=1) . Звідки

.(12)

Так як

,

то , де - кінетична енергія електрона.

Але кінетична енергія електрона, який подолав різницю потенціалів U визначається із закону збереження енергії:

Отже,

(13),

а індукція магнітного поля зв'язана з напруженістю за формулою:

(14).

Підставляючи (13) та (14) в (12), матимемо:

(15).

Перевіримо одиниці вимірювання для формули (15):

Підставивши числові дані отримуємо:

.

Відповідь: Радіус кривини траєкторії електрона у магнітному полі. 5,37 см.

Задача 9. Фокусна відстань об'єктива мікроскопа дорівнює 1 см, окуляра 3 см, відстань між ними 20 см. На якій відстані від об'єктива треба помістити предмет, щоб його зображення було віддалене від ока спостерігача на 20 см (відтань найкращого бачення)? Яке при цьому буде лінійне збільшення об'єкта?

Дано: fi = 1 см f2 = 3 см d = 20 см L = 20 см	Розв'язання: Розглядатимемо мікроскоп як оптичну систему з двох тонких лінз на скінченій відстані одна від одної (див. рис.). Тоді оптична сила мікроскопа буде: , де - оптична сила об'єктива Л1;

оптична сила окуляра Л₂.



Отже:

.

Координата першої головної площини Н системи дорівнює:

,

тобто перша головна площина міститься на відстані 1,25 см ліворуч від об'єктива (напрямок поширення світла на рис. обрано, як завжди, зліва направо).

Напрямок стрілок на рис. визначає напрямок відліку відрізків від відповідних головних площин і лінз.

Координата другої головної площини дорівнює:

,

тобто перша головна площина міститься на відстані 3,75 см праворуч від окуляра Л₂.

Оскільки загальна оптична сила , то мікроскоп є від'ємною розсіювальною оптичною системою. Це означає, що перша головна фокусна відстань , а друга головна фокусна відстань , тобто

та.

Перший головний фокус F лежить праворуч від першої головної площини H на відстані 3/16 см, а другий головний фокус - ліворуч від другої головної площини H на такій самій відстані.

З умови задачі зрозуміло, що зображення мало міститись у площині об'єктива Л₁, тобто відстань від другої головної площини до зображення дорівнює = - 23,75 см. Це може бути тільки тоді, коли

;

.

Відповідь: отже, предмет має міститись на відстані 0,19 см праворуч від першої головної площини H або на відстані = 1,25 - 0,19 = 1,06 см від об'єктива.

Лінійне збільшення мікроскопа дорівнює:

,

тобто зображення буде збільшене і обернене.

Задача 10. На скляний клин з малим кутом нормально до його грані падає паралельний пучок монохроматичного світла з довжиною хвилі 0,6 мкм. На 1 см клина спостерігається 10 інтерференційних смуг. Визначити кут клина.

Дано: л = 0,6 мкм = 0,6·10-6 м l = 1 см = 10-2 м n = 10	Розв'язання: Паралельний пучок світла, що падає нормально на клин, відбивається як від верхньої, так і від нижньої грані. Кут клина малий, а тому відбиті від граней промені когерентні і будуть інтерферувати (див. рис.)
б - ?

Темні інтерференційні смуги (смуги однакової товщини) будуть спостерігатися там, де оптична різниця ходу променів Д кратна непарній кількості півхвиль:

Д = (2k+1)л/2,(16)

де порядок інтерференційної смуги k = 0, 1 , 2…

Різниця ходу складається із різниці оптичних довжин шляхів відбитих променів і доданка л/2. Цей доданок зумовлений тим, що викликає додатково різницю ходу при відбиванні від оптично більш щільного середовища. Оскільки промені падають нормально, то різниця оптичних довжин шляхів становить 2nd_k , де n - показник заломлення матеріалу клина, а d_k - товщина клина у місці локалізації k-го інтерференційного мінімуму:

=2nd_k+л/2.(17)

Якщо k-ій смузі відповідає товщина клина d_k, то k+m-ій смузі - d_k+m . З рис. випливає, що коли m інтерференційних смуг вкладається на довжині l, то:

sinб (d_k+m -d_k)/l.(18)

Оскільки кут клина малий, то . З виразів (16) та (17) випливає, що:

(2k+1)л/2 = 2nd_k+л/2,

звідки:

d_k=, d_k+m = (19).

Підставляючи вирази (19) в (18) при умові sin Остаточно маємо:

Підстановка значень фізичних величин діє:

рад.

Відповідь. Кут клина становить б = 2·10-⁴ рад.

Задача 11. У результаті нагрівання абсолютно чорного тіла, довжина хвилі, яка відповідає максимуму спектральної густини енергетичної світності, змістилась з 2,7 мкм до 0,9 мкм. Визначити, в скільки разів змінилась енергетична світність тіла.

Дано: лmax1 = 2,7 мкм = 2,7·10-3м лmax2 = 0,9 мкм = 0,9·10-3м	Розв'язання: Згідно з законом Стефана-Больцмана відношення випромінюваностей абсолютно чорного тіла до і після нагрівання буде дорівнювати відношенню абсолютних температур у четвертому степені:

,

де T₁, T₂ - температури тіла до і після нагрівання.

Із закону зміщення Віна

випливає:

.

Остаточно маємо:

.

Підставимо значення:

.

Відповідь: Випромінюваність абсолютно чорного тіла збільшилась у 81 раз.

Задача 12. Визначити початкову активність радіоактивного препарата масою 0,2·10-⁹ кг, а також його активність через 6 годин.

Дано: m = 0,2·10-9 кг t = 6 год = 2,16 ·104 с = 10 хв = 600 с м = 24·10-3 кг/моль	Розв'язок: Активність радіоактивного препарата: визначається за формулою: . Згідно із законом радіоактивного розпаду: , отже, . (20)
A0 - ? A - ?

Початкову активність препарату отримаємо при t = 0:

(21)

Початкову кількість ядер знайдемо, знаючи його масу за формулою:

. (22)

Постійна радіоактивного розпаду зв'язана з періодом напіврозпаду за формулою:

. (23)

З урахуванням (23) та (22), формули (20) та (21) набувають вигляд:

,

Перевіримо розмірність:

Підставимо значення в останні формулу:

Відповідь. Початкова активність радіоактивного препарату масою 0,2·10-⁹ кг 5,13·10¹² Бк, а його активність через 6 годин дорівнює 81,3 Бк.

Модуль 1 «Механіка»

1.1 Короткий теоретичний довідник до модуля 1

Кінематичне рівняння поступального руху матеріальної точки визначається як:

,

де - радіус-вектор матеріальної точки, У декартовій системі координат:

.

Швидкість є похідною від радіус-вектора рухомої точки за часом: і завжди орієнтована по дотичній до траєкторії. Вектор швидкості в проекціях на осі координат осі має вигляд:

Абсолютне значення (модуль) швидкості визначається як:

.

Прискорення точки визначається за формулою:

.

Повне прискорення при криволінійному русі може бути розкладене на дві складові:

,

де - тангенціальне прискорення; - нормальне (доцентрове) прискорення. Модуль повного прискорення визначається за формулою: .

Кінематичне рівняння руху матеріальної точки по колу (обертального руху абсолютно твердого тіла (АТТ)):

,

де - кут повороту тіла навколо осі в момент часу t. Вектори кутової швидкості та кутового прискорення визначаються відповідно як:

.

Кутові та лінійні характеристиками обертання пов'язані співвідношеннями:

, , .

Закон динаміки поступального руху матеріальної точки (ІІ закон Ньютона) має вигляд:

,

де - імпульс (кількість руху) матеріальної точки масою m, - векторна сума сил, що діють на матеріальну точку. Для випадків, при яких маса , можна записати: , де - прискорення.

Сила пружності, що виникає під час деформації тіла вздовж осі ох, визначається за законом Гука: , де k - коефіцієнт пружності (у випадку з пружиною - жорсткість); х - абсолютна деформація. Гравітаційна сила F, яка діє між двома матеріальними точками, визначається законом всесвітнього тяжіння: , де г = 6,67•10-¹¹ Н•м²/кг² - гравітаційна постійна, m₁, m₂ - маси взаємодіючих тіл, r - відстань між ними. Сила тертя ковзання ; - коефіцієнт тертя; N - сила нормального тиску.

За законом збереження імпульсу сумарний імпульс замкненої системи, що складається з n матеріальних точок, залишається незмінним:

.

Радіус-вектор центра мас системи матеріальних точок визначається як

,

де m - сума мас усіх точок (маса системи); m_i i - маса і радіус-вектор і-ї матеріальної точки системи.

Рух тіл змінної маси визначається рівнянням Мещерського:

,

де - реактивна сила, - швидкість витоку газів. Швидкість ракети в кінці стадії розгону визначається за формулою Ціолковського:

,

де х - кінцева швидкість ракети, m₀/m - відношення мас ракети на старті та наприкінці розгону.

Закон динаміки обертального руху АТТ:

,

де - момент сили відносно осі,

- момент імпульсу тіла,

- момент інерції тіла відносно осі, m_i - елементарні маса,

- її відстань від осі обертання. У

випадку закон динаміки обертального руху має вигляд: , Закон збереження моменту імпульсу:

справедливий для замкнених систем.

Момент інерції тіл різної форми: стрижня довжиною l та масою m відносно осі, що проходить через центр мас перпендикулярно до стрижня: ; диска радіусом R відносно осі, що проходить через центр диска і перпендикулярної до його площини: ; кулі радіусом R відносно осі, що проходить через його центр:

.

Умова рівноваги твердого тіла: векторна сума всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, а також усіх моментів цих сил, рівна нулеві:

Зміна енергії тіла визначається роботою сили

,

де - переміщення тіла. Потужність - робота, що виконується за одиницю часу:

.

За законом збереження механічної енергії в замкнених консервативних системах тіл повна механічна енергія зберігається з часом:

.

Кінетична енергія поступального руху тіла:

.

Кінетична енергія обертального руху тіла:

Потенціальна енергія пружно деформованої пружини

;

k - жорсткість пружини; х - абсолютна деформація. Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок:

.

Течія ідеальної рідини описується рівнянням Бернуллі:

,

де - густина рідини; х - швидкість рідини в певному перерізі труби; h - висота, на якій розміщено переріз; р - статичний тиск рідини для обраного перерізу. Рівняння нерозривності течії має вигляд: , де S - площа перерізу в будь-якому місці труби, - швидкість руху рідини в цьому перерізі.

За формулою Пуазейля об'єм в'язкої рідини, що протікає трубкою: , де R - радіус трубки; р - різниця тисків на кінцях трубки; l - її довжина; - коефіцієнт динамічної в'язкості, t - час. Сила в'язкого тертя, що діє на сферичне тіло в потоці рідини (газу) визначається формулою Стокса: , де R - радіус кульки; - її швидкість.

Лоренцове скорочення довжини тіла визначається як: , l₀ - довжина тіла в нерухомій (лабораторній) системі відліку, в=х/с; с = 3•10⁸ м/с - швидкість світла у вакуумі. Інтервал часу між подіями, виміряний у рухомій системі відліку визначається як: , _о -час, виміряний у нерухомій (лабораторній) системі відліку. Релятивістський закон додавання швидкостей має вигляд:

,

та - відповідно швидкість тіла відносно нерухомої та рухомої системи відліку; u - швидкість рухомої системи відліку відносно нерухомої.

Релятивістський імпульс:

,

 де m₀ - маса спокою тіла. Релятивістська маса тіла:

.

Повна енергія тіла в релятивістській механіці: . Енергія спокою тіла: . Кінетична енергія тіла: . Зв'язок між повною енергією W та імпульсом р в релятивістській механіці: .

1.2 Задачі до модуля 1

1.1. Рівняння руху матеріальної точки вздовж осі ох має вигляд x = A+Bt+Ct³, де A=2 м, B = 1 м/с, C = 0,5 м/с³. Знайти координату х, швидкість х та прискорення а точки в момент часу 2 с.

1.2. Вздовж прямої лінії рухаються дві матеріальні точки згідно з рівняннями: x₁ = A₁+B₁t+C₁t³ та x₂ = A₂+B₂t+C₂t³, де B₁ = 1 м/с, C₁ = 0,04 м/с³, B₂ = 2 м/с, C₂ = 0,01 м/с³. В який момент часу швидкості цих точок будуть однаковими? Знайти прискорення цих точок в момент часу 3 с.

1.3. Точка рухається вздовж прямої згідно з рівнянням x = At+Вt³, де А=6 м/с, В = - 0,125 м/с³. Визначити середню швидкість точки в інтервалі часу від 2 c до 6 с.

1.4. Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху має вигляд x = At+Вt³, де А = 3 м/с, В = 0,06 м/с³. Знайти швидкість х та прискорення а точки в моменти часу 0 та 3 с. Які середні значення швидкості ‹х› та прискорення ‹а› за перші 3 с руху?

1.5. Дві матеріальні точки рухаються згідно з рівняннями: x₁ = A₁t+B₁t²+C₁t³ та x₂ = A₂t + B₂t² + C₂t³, де А₁=4 м/с, B₁ = -5,6 м/с², C₁=1,6 м/с³, А₂ = 2 м/с, B₂ = - 2 м/с², C₂ = 1 м/с³. В який момент часу t прискорення обох точок будуть однаковими? Знайти відповідно швидкості х₁ та х₂ точок у цей момент.

1.6. Катер пройшов першу половину шляху із середньою швидкістю в 2 рази більшою, ніж другу. Середня швидкість на всьому шляху становила 4,0 км/год. Яка середня швидкість катеру на першій та другій половинах шляху?

1.7. Човен рухається під кутом 60° до берега зі швидкістю 2,0 м/с. Швидкість річки 0,5 м/с. Визначити швидкість руху човна відносно річки.

1.8. Тіло вільно падає з висоти 270 м. Поділити цю висоту на три частини h₁, h₂, h₃ так, щоб на проходження кожної із них затрачався один і той же час.

1.9. Рух точки заданий рівнянням х = 12t - 2t² (х виражено в метрах, t в секундах). Визначити середню швидкість руху точки в інтервалі часу від 1,0 с до 4,0 с.

1.10. Прямолінійний рух описується рівнянням х = 1+3t - 2t² (х виражено в метрах, t в секундах). Де знаходилась точка в початковий момент часу? Як змінюється її швидкість із часом? Коли точка опиниться на початку системи координат?

1.11. З даху падають краплі води. Проміжок часу між відривами крапель 0,1 с. На якій відстані одна від одної через час 1,0 с після початку падіння першої краплі будуть знаходитися наступні три?

1.12. Автомобіль, рухаючись рівноприскорено, через час 10 с після початку руху досягнув швидкості 36 км/год. Визначити прискорення, з яким рухався автомобіль. Який шлях він при цьому пройшов? Який шлях автомобіль пройшов за останню секунду?

1.13. Перший автомобіль рухається рівномірно зі швидкістю 57,6 км/год. У момент проходження ним пункту А із цього пункту починає рухатися другий автомобіль у тому ж напрямку з постійним прискоренням 2,0 м/с². Через який час другий автомобіль наздожене перший? На якій відстані від пункту А це відбудеться? Яка буде швидкість другого автомобіля в цей момент?

1.14. Мотоцикліст за перші 2 год проїхав шлях 90 км, а наступні 3 год рухався зі швидкістю 50 км/год. Яка середня швидкість на всьому шляху?

1.15. Першу чверть шляху потяг пройшов зі швидкістю 60 км/год. Середня швидкість на всьому шляху дорівнювала 40 км/год. З якою швидкістю потяг пройшов решту шляху?

1.16. Автомобіль проходить першу половину шляху з середньою швидкістю 70 км/год, а іншу - з середньою швидкістю 30 км/год. Визначити середню швидкість на всьому шляху.

1.17. Швидкість автомобіля за 20 с зменшилася від 20 м/с до 10 м/с. З яким середнім прискоренням рухався автомобіль?

1.18. Тіло, рухаючись рівноприскорено зі стану спокою, проходить за четверту секунду від початку руху шлях 7,0 м. Який шлях пройде тіло за 10 с? Яку швидкість воно набуде на цей момент часу?

1.19. Літак для зльоту має набути швидкість 250 км/год. Скільки часу триває розгін, якщо ця швидкість досягається в кінці злітної смуги довжиною 1 км? Яке прискорення літака? Яка середня швидкість літака на цій ділянці? Рух літака вважати рівноприскореним.

1.20. При якій швидкості літаки можуть приземлитися на смузі аеродрому довжиною 800 м при гальмуванні з прискоренням 2,7 м/с²?

1.21. Тіло, що вільно падає зі стану спокою, у кінці першої половини шляху досягає швидкості 20 м/с. Яка швидкість тіла у момент падіння? Який час воно падає і з якої висоти?

1.22. Автомобіль проходить першу третину шляху зі швидкістю х₁, а частину шляху, що залишилась - зі швидкістю 50 км/год. Визначити середню швидкість на першому відрізку шляху, якщо середня швидкість на всьому шляху 37,5 км/год.

1.23. У круту прірву упав камінь. Людина, яка стоїть у тому місці, звідки впав камінь, почула звук його падіння через 6,0 с. Знайти глибину прірви. Швидкість звуку у повітрі 340 м/с.

1.24. З гелікоптера викинули без початкової швидкості два вантажі, причому другий на 1,0 с пізніше першого. Визначити відстань між вантажами через 2,0 с та 40 с після початку руху першого вантажу. Опором повітря знехтувати.

1.25. Тіло падало з деякої висоти і останні 196 м пройшло за час 4,0 с. Який час і з якої висоти воно падає?

1.26. З яким прискоренням рухається тіло, якщо за восьму секунду після початку руху воно пройшло шлях 30 м? Знайти шлях за п'ятнадцяту секунду падіння.

1.27. Тіло рухається зі швидкістю 10 м/с і прискоренням -2,0 м/с². Визначити, який шлях тіло пройде за 6,0 с та 8,0 c.

1.28. У початковий момент часу потяг мав швидкість 10 м/с, а в момент часу 5,0 с - швидкість 18 км/год. Визначити прискорення поїзду та його середню швидкість.

1.29. Першу половину часу свого руху автомобіль мав швидкість 80 км/год, а другу половину - 40 км/год. Яка середня швидкість руху автомобіля?

1.30. Пароплав рухається по річці від пункту А до пункту В зі швидкістю 16 км/год, а в зворотному напрямку - 10 км/год. Знайти середні швидкості пароплава і течії річки.

1.31. Швидкість течії річки 1 м/с, швидкість човна відносно води 2 м/с. Знайти швидкість човна відносно берега в трьох випадках: він пливе за течією, проти течії та під кутом 90° до течії.

1.32. Літак летить відносно повітря зі швидкістю 800 км/год. Із заходу на схід дме вітер зі швидкістю 15 м/с. З якою швидкістю літак буде рухатися відносно землі і під яким кутом до меридіану треба тримати курс, щоб він рухався на південь, північ, захід і схід?

1.33. Літак летить з пункту А до пункту В, розташованому на відстані 300 км на схід. Визначити тривалість польоту за відсутності вітру; якщо вітер дме з півдня на північ та із заходу на схід. Швидкість вітру 20 м/с. Швидкість літака відносно повітря 600 км/год.

1.34. Човен рухається перпендикулярно до берега зі швидкістю 7,2 км/год. Течія відносить його на 150 м вниз по річці. Знайти швидкість течії річки та час, необхідний човну, щоб досягнути протилежного берега річки. Ширина річки 0,5 км.

1.35. Вертикально кинуте вгору тіло повернулось на землю через 3 с. Якою була початкова швидкість? На яку висоту піднялось тіло? Опір повітря не враховувати.

1.36. Камінь підкинули вгору на висоту 10 м. Через який час він упаде на землю? На яку висоту підніметься камінь, якщо початкову швидкість каменя збільшити удвічі? Опір повітря не враховувати.

1.37. З аеростата, що знаходиться на висоті 300 м, упав камінь. Через який час камінь досягне землі, якщо: аеростат піднімався зі швидкістю 5 м/с; аеростат опускався зі швидкістю 5 м/с.

1.38. Накреслити графік залежності висоти h та швидкості х від часу t для тіла, кинутого вертикально вгору з початковою швидкістю 9,8 м/с. Побудувати графік для інтервалу часу від 0 до 2 с, тобто 0 ? t ? 2 с через кожні Дt = 0,2 с. Опором повітря знехтувати.

1.39. Тіло падає вертикально вниз з висоти 19,6 м зі стану спокою. Який шлях пройде тіло за час 0,1 с на початку і в кінці свого руху. Опором повітря знехтувати.

1.40. Тіло падає вертикально вниз з висоти 19,6 м зі стану спокою. За який час тіло пройде перший та останній метр свого шляху. Опором повітря знехтувати.

1.41. Тіло, що вільно падає, в останню секунду свого падіння проходить половину всього шляху. Визначити, з якої висоти падає тіло та тривалість його падіння.

1.42. Тіло А кинуто вертикально вверх з початковою швидкістю х₁, тіло В падає вниз з висоти h з початковою швидкістю х₂. Знайти залежність відстані між тілами А і В від часу, якщо відомо, що тіла почали рухатись одночасно.

1.43. Відстань між двома станціями метрополітену 1,5 км. Першу половину цієї відстані потяг проходить рівноприскорено, другу - рівносповільнено з тим самим прискоренням. Максимальна швидкість потяга 50 км/год. Знайти прискорення та час руху потяга між станціями.

1.44. Потяг рухається зі швидкістю 36 км/год. Якщо вимкнути тягу, потяг, рухаючись рівносповільнено, зупиниться через 20 с. Знайти прискорення гальмування потяга та визначити, на якій відстані до зупинки треба вимкнути тягу.

1.45. Швидкість потяга, що рухається рівносповільнено, при гальмуванні зменшується протягом 1 хв від 40 км/год до 28 км/год. Знайти прискорення гальмування потяга та відстань, що проходить потяг за час гальмування.

1.46. Вагон рухається рівносповільнено з прискоренням 0,5 м/с²; його початкова швидкість 54 км/год. Через який час і на якій відстані від початку руху вагон зупиниться?

1.47. Тіло А, яке має початкову швидкість х?₀, рухається з постійним прискоренням а_1. Одночасно з тілом А починає рухатись тіло В з початковою швидкістю х?₀ та з постійним від'ємним прискоренням а₂. Через який час після початку руху обидва тіла будуть мати однакову за величиною швидкість?

1.48. Тіло А починає рухатись з початковою швидкістю 2 м/с та з постійним прискоренням. Через 10 c після початку руху тіла А з цієї ж точки починає рухатись тіло В з початковою швидкістю 12 м/с і з тим же прискоренням. Визначити найменше прискорення, при якому тіло В зможе наздогнати тіло А.

1.49. Залежність пройденого тілом шляху S від часу t описується рівнянням S = At - Bt² + Ct³, де А= 2 м/с, В = 3 м/с² та С = 4 м/с³. Знайти залежність швидкості та прискорення від часу; відстань, пройдену тілом; швидкість та прискорення тіла через 2 с після початку руху. Побудувати графіки шляху, швидкості та прискорення для 0 ? t ? 3 с через 0,5 с.

1.50. Залежність пройденого тілом шляху від часу задається рівнянням S = A - Bt+Ct², де А = 6 м, В = 3 м/с та С = 2 м/с². Знайти середні швидкості та прискорення тіла в інтервалі 1...4 с. Побудувати графіки шляху, швидкості та прискорення для 0? t ? 5 через 1 с.

1.51. Залежність пройденого шляху від часу описується рівнянням S = A+Bt+Ct²+Dt³, де С = 0,14 м/с² та D = 0,01 м/с³. Через який час після початку руху прискорення тіла буде рівне 1 м/с². Чому дорівнює середнє прискорення тіла за цей проміжок часу?

1.52. У скільки разів нормальне прискорення точки, що лежить на ободі колеса, більше її тангенціального прискорення для моменту, коли вектор повного прискорення цієї точки складає кут 30° з вектором її лінійної швидкості?

1.53. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом ц = A+Bt+Ct², де A = 10 рад, В = 20 рад/с; С = -2 рад/с². Знайти повне прискорення точки, що знаходиться на відстані 0,1 м від осі обертання для моменту часу 4 c.

1.54. Точка обертається по колу з радіусом 1,2 м. Рівняння руху точки ц = At + Bt³, де А = 0,5 рад/с; В = 0,2 рад/с³. Визначити тангенціальне а_ф, нормальне a_n та повне а прискорення точки в момент часу 4 с.

1.55. Визначити повне прискорення в момент 3 с точки, що знаходиться на ободі колеса радіусом 0,5 м, що обертається за законом ц = At+Bt³, де А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с².

1.56. Точка обертається по колу радіусом 8 м. У деякий момент часу нормальне прискорення точки 4 м/с², вектор повного прискорення утворює у цей момент з вектором нормального прискорення кут 60°. Знайти швидкість та тангенціальне прискорення точки.

1.57. Диск радіусом 0,2 м обертається за законом ц = A+Bt+Ct², де А = 3 рад, В = -1 рад/с; С = 0,1 рад/с². Визначити тангенціальне, нормальне та повне прискорення точок на ободі диска для моменту часу 10 c.

1.58. Точка рухається по колу радіусом 4 м. Закон її руху визначається рівнянням x = A + Bt², де A = 8 м, В = -2 м/с². Знайти момент часу, коли нормальне прискорення точки 9 м/с², швидкість, тангенціальне та повне прискорення точки в цей момент часу.

1.59. Тіло кинуто зі швидкістю 100 м/с під кутом 60° до горизонту. Знайти значення та напрямок швидкості тіла через 5 с після початку руху. Опором повітря знехтувати.

1.60. Ракета рухається рівносповільнено по дузі кола радіусом 10 км та проходить шлях 16 км, маючи швидкість в початковій точці 900 м/с та в кінцевій 100 м/с. Визначити прискорення ракети на початку та у кінці шляху.

1.61. Колесо радіусом 10 см обертається так, що залежність лінійної швидкості точок на ободі колеса, від часу має вигляд: х = At+Bt², де A = 3 см/с², B = 1 см/с³. Знайти кут між вектором повного прискорення та радіусом колеса в момент часу 2 с.

1.62. Визначити обумовлену обертанням Землі навколо своєї осі швидкість та доцентрове прискорення точок поверхні Землі на широті Києва (50°). Радіус Землі вважати 6370 км.

1.63. Тіло рухається рівносповільнено по закругленій частині шляху з радіусом кривизни 100 м за законом S = A+Bt+Ct², де A =50 м; B = 26 м/с; C = -1,5 м/с². Знайти швидкість тіла, його тангенціальне, нормальне та повне прискорення через 2 с після початку руху.

1.64. В який момент часу у тіла, кинутого горизонтально з початковою швидкістю 19,6 м/с, тангенціальне прискорення дорівнюватиме нормальному?

1.65. Визначити швидкість тіла через 3,0 с після того, як його кинули горизонтально зі швидкістю 10 м/с.

1.66. Тіло кинуто під кутом 60° до горизонту з початковою швидкістю 10 м/с. Визначити момент часу, коли швидкість напрямлена під кутом 45° до горизонту.

1.67. Камінь кинули зі швидкістю 12 м/с під кутом 60° до горизонту. Визначити радіус кривизни його траєкторії у верхній точці та в момент падіння на землю.

1.68. З обриву у горизонтальному напрямку кидають камінь зі швидкістю 20 м/с. Визначити точку траєкторії, радіус кривизни якої у сім разів більший радіуса кривизни у верхній точці.

1.69. З гелікоптера, що летить на висоті 125 м зі швидкістю 300 км/год скинули вантаж. На якій висоті його швидкість буде напрямлена під кутом 45° до горизонту? Опором повітря знехтувати.

1.70. З вежі висотою 25 м горизонтально кинули камінь зі швидкістю 15 м/с. Знайти час руху каменя та на якій відстані від основи вежі він впаде на землю; з якою швидкістю він впаде на землю; який кут утворює траєкторія каменя до горизонту в точці його падіння на землю? Опором повітря знехтувати.

1.71. Кинутий горизонтально камінь впав на землю через 0,5 с на відстані 5 м по горизонталі від місця кидання. З якої висоти був кинутий камінь? Яку початкову швидкість він мав? З якою швидкістю він упав на землю? Який кут утворює траєкторія каменя до горизонту в точці його падіння на землю? Опором повітря знехтувати.

1.72. Кинутий горизонтально м'яч вдаряється об стіну, що знаходиться на відстані 5 м від місця кидання. Висота місця зіткнення м'яча зі стінкою на 1 м менше висоти, з якої кинуто м'яч. З якої швидкістю кинуто м'яч? Під яким кутом м'яч підлітає до поверхні стінки? Опором повітря знехтувати.

1.73. Камінь кинуто у горизонтальному напрямку. Через 0,5 с після початку руху швидкість каменя стала в 1,5 рази більше його початкової швидкості. Знайти початкову швидкість каменя. Опором повітря знехтувати.

1.74. Камінь кинуто горизонтально зі швидкістю 10 м/с. Знайти радіус кривизни траєкторії каменя через 3 с після початку руху. Опором повітря знехтувати.

1.75. М'яч кинули зі швидкістю 10 м/с під кутом 40° до горизонту. Знайти: на яку висоту підніметься м'яч, на якій відстані від місця кидання м'яч упаде на землю, скільки часу він буде у русі. Опором повітря знехтувати.

1.76. На спортивних змаганнях у Києві спортсмен штовхнув ядро на відстань 16 м 20 см. На яку відстань полетить таке ж ядро у Ташкенті при таких же умовах (при такій же початковій швидкості, напрямленій під таким же кутом до горизонту)? Прискорення сили тяжіння у Києві 981,2 см/с², в Ташкенті 980,3 см/с².

1.77. Тіло кинуто зі швидкістю 10 м/с під кутом до горизонту. Тривалість польоту 2,2 с. Знайти найбільшу висоту підняття цього тіла. Опором повітря знехтувати.

1.78. Кинутий зі швидкістю 12 м/с під кутом 45° до горизонту камінь упав на землю на відстані S від місця кидання. З якої висоти треба кинути камінь у горизонтальному напрямку, щоб при тій же початковій швидкості він упав на теж саме місце?

1.79. Тіло кинуто зі швидкістю 14,7 м/с під кутом 30° до горизонту. Знайти нормальне та тангенціальне прискорення тіла через 1,25 с після початку руху. Опором повітря знехтувати.

1.80. Тіло кинуто зі швидкістю 10 м/с під кутом 45° до горизонту. Знайти радіус кривизни траєкторії тіла через 1 с після початку руху. Опором повітря знехтувати.

1.81. Тіло кинуто під кутом до горизонту. Знайти величину початкової швидкості та кута, якщо відомо, що найбільша висота підйому тіла 3 м та радіус кривизни траєкторії тіла у верхній точці траєкторії 3 м. Опором повітря знехтувати.

1.82. З вежі висотою 25 м кинули камінь зі швидкістю 15 м/с під кутом 30° до горизонту. Визначити: скільки часу камінь буде у русі; на якій відстані від основи вежі він впаде на землю; з якою швидкістю він впаде на землю; який кут утворить траєкторія каменя з горизонтом у точці його падіння на землю. Опором повітря знехтувати.

1.83. Хлопчик кидає м'яч зі швидкістю 10 м/с під кутом 45° до горизонту. М'яч ударяється об стіну, яка знаходиться на відстані 3 м від хлопчика. Визначити, коли м'яч ударяється об стіну (при підйомі м'яча чи при його опусканні), на якій висоті це трапиться (відраховуючи від висоти, з якої кинуто м'яч) та швидкість м'яча у момент удару. Опором повітря знехтувати.

1.84. Знайти кутову швидкість добового обертання Землі, годинникової та хвилинної стрілки на годиннику, штучного супутника Землі, який обертається по коловій орбіті з періодом обертання 88 хв, лінійну швидкість руху цього штучного супутника, якщо відомо, що його орбіта розміщена на відстані 200 км від поверхні Землі.

1.85. З якою швидкістю має рухатись літак на екваторі зі сходу на захід, щоб пасажирам цього літака Сонце здавалось нерухомим на небі?

1.86. Два диски розташовані на осі на відстані 0,5 м один від одного, обертаються з частотою 1600 об/хв. Куля, яка летить вздовж осі, пробиває обидва диски, при цьому отвір від кулі у другому диску зміщений відносно отвору у першому диску на кут 12°. Знайти швидкість кулі.

1.87. Знайти радіус колеса, що обертається, якщо відомо, що лінійна швидкість точки, що лежить на ободі, у 2,5 рази більша за лінійну швидкість точки, що лежить на 5 см ближче до осі.

1.88. Колесо, обертаючись рівноприскорено, досягло кутової швидкості 20 рад/с через 10 обертів після початку обертання. Знайти кутове прискорення колеса.

1.89. Колесо, обертаючись рівносповільнено, при гальмуванні зменшило свою частоту за 1 хв з 300 об/хв до 180 об/хв. Знайти кутове прискорення колеса та число обертів, яке зробило колесо за цей час.

1.90. Вентилятор обертається з частотою 900 об/хв. Після виключення вентилятор, обертаючись рівносповільнено, зробив до зупинки 75 обертів. Скільки часу пройшло з моменту виключення вентилятора до повної його зупинки?

1.91. Вал обертається з частотою 180 об/хв. З деякого моменту часу вал гальмується та обертається рівносповільнено з кутовим прискоренням 3 рад/с². Через який час вал зупиниться? Скільки обертів він зробить до зупинки?

1.92. Точка рухається по колу радіусом 20 см з постійним тангенціальним прискоренням 5 см/с². Через який час після початку руху нормальне прискорення точки буде рівне тангенціальному? Буде вдвічі його більше?

1.93. Точка рухається по колу радіусом 10 см з постійним тангенціальним прискоренням. Знайти тангенціальне прискорення точки, якщо відомо, що до кінця п'ятого оберту після початку руху швидкість точки дорівнювала 50 см/с.

1.94. Визначити швидкість та повне прискорення точки в момент часу 2 с, якщо вона рухається по колу радіусом 1 м за законом ц = Аt+Bt³, де А = 8 м/с, В = 0,1 м/с³, ц - кут повороту радіуса-вектора.

1.95. Точка рухається по колу радіусом 10 см з постійним тангенціальним прискоренням. Знайти нормальне прискорення точки через 20 с після початку руху, якщо відомо, що на кінець п'ятого оберту лінійна швидкість точки 10 м/с.

1.96. У першому наближенні можна вважати, що електрон в атомі водню рухається по коловій орбіті з постійною швидкістю. Знайти кутову швидкість електрона навколо ядра та його нормальне прискорення. Радіус орбіти прийняти рівним 0,5•10-¹⁰ м, швидкість електрона на цій орбіті 2,2•10⁶ м/с.

1.97. Колесо радіусом 10 см обертається з постійним кутовим прискоренням 3,14 рад/с². Для точок на ободі колеса на кінець першої секунди після початку руху знайти кутову швидкість, лінійну швидкість, тангенціальне прискорення, нормальне прискорення, повне прискорення та кут, що складає напрямок повного прискорення з радіусом колеса.

1.98. Точка рухається по колу так, що залежність шляху від часу S = A+Bt+Ct², де B = -2 м/с та С = 1 м/с². Знайти лінійну швидкість точки, її тангенціальне, нормальне та повне прискорення через 3 с після початку руху, якщо відомо, що нормальне прискорення точки в момент часу 2 с дорівнює 0,5 м/с².

1.99. Знайти кутове прискорення колеса, якщо відомо, що через 2 с після початку рівноприскореного руху вектор повного прискорення точки на ободі становить 60° з напрямком її лінійної швидкості.

1.100. Колесо обертається з постійним кутовим прискоренням 2 рад/с². Через 0,5 с після початку руху повне прискорення колеса дорівнювало 13,6 см/с². Знайти радіус колеса.

1.101. Колесо радіусом 0,1 м обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу ц = А+ Вt+Ct³ , де В = 2 рад/с і С = 1 рад/с³. Для точок, що лежать на ободі колеса, через 2 с після початку руху знайти такі величини: кутову та лінійну швидкості, кутове, тангенціальне та нормальне прискорення.

1.102. Колесо радіусом 5 см обертається так, що залежність кута повороту радіуса від часу визначається ц = A + Bt + Ct³ де C = 1 рад/c³. Для точок, що лежать на ободі колеса, знайти зміну тангенціального прискорення за кожну секунду руху.

1.103. Колесо радіусом 10 см обертається так, що залежність лінійної швидкості точок, що лежать на ободі колеса, від часу визначається х = At + Bt² , де А = 3 см/с² та В = 1 см/с³. Знайти кут між вектором повного прискорення і радіусом колеса в моменти часу 2 c після початку руху.

1.104. Колесо обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу визначається ц = Вt + Ct² + Dt³, де B = 1 рад/с; С = 1 рад/с² та D = 1 рад/с³. Знайти радіус колеса, якщо відомо, що до кінця другої секунди руху нормальне прискорення точок, що лежать на ободі колеса, дорівнює 3,46•10² м/с².

1.105. Чому дорівнює вага космонавта при зльоті ракети вертикально вгору з прискоренням 5g? Маса космонавта 80 кг.

1.106. На нитці, що витримує натяг 10 Н, піднімають вантаж масою 0,5 кг зі стану спокою вертикально вгору. Вважаючи рух рівноприскореним та силу опору 1 Н, знайти найбільшу висоту, на яку можна підняти вантаж за 1 с так, щоб нитка не обірвалась.

1.107. Із трубки з діаметром внутрішнього каналу 2 см зі швидкістю 5 м/с витікає струмінь води та вдаряється під кутом 45° об поверхню горизонтальної пластини. Потім струмінь тече по пластині зі швидкістю 0,5 м/с. З якою силою струмінь води діє на пластину? Який кут з поверхнею пластини утворить ця сила?

1.108. У ліфті, що рухається прискорено, на пружинних терезах висить вантаж масою 0,1 кг. При цьому показник терезів становить 1,1 H. Знайти прискорення ліфта.

1.109. Тіло масою 0,5 кг рухається прямолінійно, причому залежність пройденого тілом шляху від часу визначається S = A - Bt + Ct² - Dt³ , де С = 5 м/с² і D = 1 м/с³. Знайти силу, що діє на тіло наприкінці першої секунди руху.

1.110. До нитки підвішений вантаж масою 1 кг. Знайти натяг нитки, якщо нитку з вантажем піднімати з прискоренням 5 м/с²; опускати з прискоренням 5 м/с².

1.111. Сталевий дріт деякого діаметра витримує вантаж до 4400 Н. З яким найбільшим прискоренням можна піднімати вантаж 3900 Н, підвішений на цьому дроті, щоб він при цьому не розірвався?

1.112. Маса ліфта з пасажирами 800 кг. Знайти, з яким прискоренням і в якому напрямку рухається ліфт, якщо відомо, що натяг троса, що утримує ліфт, у першому випадку 12000 Н, у другому - 6000 Н.

1.113. До нитки підвішена гиря. Якщо піднімати її з прискоренням 2 м/с², то натяг нитки буде вдвічі меншим за натяг, при якому нитка розірветься. З яким максимальним прискоренням треба піднімати цю гирю, щоб нитка не розірвалась?

1.114. Автомобіль вагою 10⁴ Н зупиняється при гальмуванні за 5 с, пройшовши при цьому рівносповільнено відстань 25 м. Знайти початкову швидкість руху автомобіля і силу гальмування.

1.115. Потяг масою 5•10⁵ кг, рухаючись рівносповільнено, зменшив свою швидкість протягом 1 хв від 40 км/год до 28 км/год. Знайти силу гальмування.

1.116. Вагон вагою 10⁶ Н рухається з початковою швидкістю 54 км/год. Визначити середню силу, що діє на вагон, якщо відомо, що він зупиняється протягом 1 хв; 40 с; 10 с; 1 с.

1.117. Яку силу необхідно прикласти до вагона, що стоїть на рейках, щоб вагон почав рухатись рівноприкорено і за час 30 с пройшов шлях 11 м? Маса вагона 16 т. Під час руху на вагон діє сила тертя, що дорівнює 0,05 ваги вагона.

1.118. Потяг вагою якого 4,9•10⁶ Н, після припинення дії тяги паровоза під дією сили тертя 9,8•10⁴ Н зупиняється через 1 хв. З якою швидкістю рухався потяг?

1.119. Вагон масою 10⁵ кг рухається рівносповільнено з прискоренням 0,3 м/с². Початкова швидкість вагона 54 км/год. Яка сила гальмування діє на вагон? Через який час вагон зупиниться? Яку відстань вагон пройде до зупинки?

1.120. Тіло масою 0,5 кг рухається прямолінійно, причому залежність пройденого тілом шляху від часу має вигляд: S = А - Bt + Ct² + Dt³, де C = 5 м/с² і D = 1 м/с³. Знайти силу, що діє на тіло наприкінці першої секунди руху.

1.121. Під дією постійної сили 10 Н тіло рухається прямолінійно так, що залежність пройденої відстані від часу має вигляд: S = А - Bt + Ct³ . Знайти масу тіла, якщо С = 1 м/с³ .

1.122. Тіло масою 0,5 кг рухається так, що залежність пройденого шляху від часу руху має вигляд: S = Asin(щt), де A = 5 см і щ = р рад/с. Знайти силу, що діє на тіло через 1/6 с після початку руху.

1.123. Молекула масою 4,65•10-²⁶ кг, що летить нормально до стінки посудини зі швидкістю 600 м/с, ударяється об стіну і пружно відбивається від неї. Знайти імпульс сили, отриманий стінкою за час удару.

1.124. Кулька масою 0,1 кг, падаючи вертикально вниз з деякої висоти, стикається з похилою площиною і пружно відскакує від неї. Кут нахилу площини до горизонту 30°. Імпульс сили, отриманий площиною під час удару 1,73 Н•с. Скільки часу пройде від моменту удару кульки об площину до моменту, коли вона буде перебувати в найвищій точці траєкторії?

1.125. Струмінь води перерізом 6 см² вдаряється об стіну під кутом 60° до нормалі й пружно відскакує від неї без втрати швидкості. Знайти силу, що діє на стінку, якщо відомо, що швидкість течії води в струмені 12 м/с.

1.126. Трамвай рушає з місця з постійним прискоренням 0,8 м/с² . Через 12 с після початку руху двигун трамвая вимикається й трамвай рухається до зупинки рівносповільнено. На всьому шляху руху трамвая коефіцієнт тертя 0,01. Знайти найбільшу швидкість руху трамвая, загальну тривалість руху, прискорення гальмування трамвая, загальну відстань, пройдену трамваєм.

1.127. Вага автомобіля 9,8•10³ Н. Під час руху на автомобіль діє сила тертя, що дорівнює 0,1 його ваги. Чому має дорінювати сила тяги двигуна автомобіля, щоб автомобіль рухався: а) рівномірно; б) з прискоренням 2 м/с² ?

1.128. Який кут з горизонтом становить поверхня бензину в баці автомобіля, що рухається горизонтально з постійним прискоренням 2 м/с²?

1.129. До стелі трамвайного вагона на нитці підвішена куля. Вагон гальмується і його швидкість рівномірно змінюється за 3 с від 18 км/год до 6 км/год. На який кут відхилиться при цьому нитка з кулею?

1.130. Залізничний вагон гальмується і його швидкість рівномірно змінюється за 3,3 с від 47,5 км/год до 30 км/год. При якому граничному значенні коефіцієнта тертя між валізою й полицею валіза при гальмуванні починає ковзати по полиці?

1.131. Канат лежить на столі так, що частина його звисає зі стола і починає ковзати тоді, коли довжина частини, що звисає, становить 15% всієї його довжини. Чому дорівнює коефіцієнт тертя каната по столу?

1.132. Автомобіль має масу 1 т. Під час руху на автомобіль діє сила тертя, що дорівнює 0,1 його ваги. Знайти силу тяги двигуна автомобіля при русі його з постійною швидкістю в гору та з гори. Гора має нахил в 1 м на кожні 25 м шляху.

1.133. Кинутий по поверхні льоду зі швидкістю 2,44 м/с камінь масою 1,05 кг під дією сили тертя зупиняється через 10 с. Знайти силу тертя, вважаючи її постійною.

1.134. Знайти силу тяги двигуна автомобіля, що рухається в гору з прискоренням 1 м/с². Нахил гори 1 м на кожні 25 м шляху. Вага автомобіля 9,8•10³ Н. Коефіцієнт тертя 0,1.

1.135. Тіло лежить на похилій площині, що складає з горизонтом кут 4°. При якому граничному значенні коефіцієнта тертя тіло починає ковзати вниз по похилій площині? З яким прискоренням воно буде ковзати по площині, якщо коефіцієнт тертя 0,03? Скільки часу буде потрібно для проходження при цих умовах 100 м шляху? Яку швидкість тіло матиме наприкінці цих 100 м?

1.136. Тіло ковзає вниз по похилій площині, що складає з горизонтом кут 45°. Пройшовши відстань 36,4 см, тіло набуває швидкості 2 м/с. Чому дорівнює коефіцієнт тертя тіла об площину?

...