Аналогічно для інших віток.

Вітка з вузлами 0 - 2.



IR5 = U2 I = U2 / R5.

Вітка з вузлами 0 - 3.

IR2 = Е2 + U3 I = (Е2 + U3) / R5.

Вітка з вузлами 1 - 2.

IR3 = -Е3 - Е1 - U2 + U1 I = (-Е3 - Е1 - U2 + U1) / R3.

Вітка з вузлами 2 - 3.

IR1 = - U2 + U3 I = (- U2 + U3) / R1.

Вітка з вузлами 1 - 3.

IR6 = - U1 + U3 I = (- U1 + U3) / R6.

Зауваження щодо аналогій з фізичними системами іншої природи.

Рівняння законів Кірхгофа є окремим випадком загального підходу до аналізу фізичних систем різноманітної природи. Цей підхід обумовлений наявністю аналогій між різнорідними фізичними системами - механічними, гідравлічними, пневматичними, тепловими, електричними. Так аналогом електричної напруги є тиск, температура, швидкість; аналогом електричного струму - механічні сили і потоки рідини, газу, теплоти. Подібні аналогії давно помічені і широко використовуються для аналізу об'єктів. На принципі аналогій основана дія аналогових обчислювальних машин (АОМ).

Аналогом першого закону Кірхгофа є рівняння рівноваги - рівняння потоків у вузлах з'єднання елементів. Аналогом другого закону Кірхгофа є рівняння сумісності - рівняння сумісності тисків, температур або швидкостей (переміщень) в будь-якому замкнутому контурі. Наприклад, для пружної механічної системи рівняння рівноваги повинні бути записані для проекцій сил на кожну координатну вісь і для обертальних моментів відносно кожної координатної осі, а рівняння сумісності деформацій виражають цілісність конструкції і уявляють собою рівність нулю сумарної деформації елементів вздовж будь-якого замкнутого контуру; для пневматичної і гідравлічної системи рівняння рівноваги - сума потоків в будь-якому вузлі системи дорівнює нулю, а рівняння сумісності - сума тисків вздовж будь-якого контуру дорівнює нулю; для теплової системи - сума теплових потоків у вузлі і сума температур вздовж контуру дорівнює нулю.

Встановлення аналогій обумовлює можливість викладання питань моделювання різних технічних об'єктів з єдиних позицій і дозволяє одні і ті ж математичні методи застосовувати для розв'язання задач з різним фізичним змістом (в різних галузях техніки розроблені методи, що мають хоч і різні назви, але однакову сутність).

Наприклад, метод вузлових напруг та метод контурних струмів для моделювання електричних систем і метод переміщень та метод сил в будівельній механіці.

Метод вузлових напруг і метод переміщень з формальної точки зору уявляють собою один і той же метод, який називають вузловим методом. Дійсно, і метод вузлових напруг, і метод переміщень ґрунтуються на використанні рівняння рівноваги; як основні величини, що характеризують стан об'єкту, вибрані змінні, що відносяться до вузлів еквівалентної схеми. Вузловий метод успішно використовується для моделювання гідравлічних систем і вважається одним з найбільш ефективним для отримання математичних моделей.

Контурний метод в теорії електричних кіл відомий як метод контурних струмів, а в будівельній механіці - як метод сил. Цей метод також використовується для отримання математичних моделей у вигляді системи алгебро-диференціальних рівнянь.

Метод еквівалентного генератора.

На практиці часто буває необхідним знайти величину струму тільки в одній з віток складного кола. В таких випадках найбільш ефективним є метод еквівалентного генератора.

Суть методу полягає в тому, що будь-яке складне коло уявляється еквівалентною схемою у вигляді активного двополюсника - одна ЕРС E і один резистор з опором R. Параметри цього активного двополюсника E і R визначаються в режимі холостого ходу, тобто при відключенні від клем реального кола вітки, в якій необхідно знайти струм. ЕРС Е активного двополюсника дорівнює напрузі холостого ходу на клемах реального кола, до яких повинна бути приєднана вітка, а значення внутрішнього опору R дорівнює опору кола між цими клемами при умові, що всі ЕРС в реальному колі дорівнюють нулю.

Оскільки активний двополюсник по суті є джерелом ЕРС, тобто генератором, то звідси і витікає відповідна назва методу.

На малюнку показане складне електричне активне (тобто містить джерела електроенергії) коло з винесеною віткою ab, в якій визначається струм, і поруч її еквівалентна схема.

Струм у вітці ab: Iн = Е /(R + Rн).

Напруга Uх. х = Е

еквівалентної схеми генератора визначається розрахунком кола при відключеному навантаженні Rн будь-яким з відомих методів розрахунку складних кіл або експериментально.

Опір R схеми визначається методом еквівалентних перетворень схеми до загального опору відносно клем a, b при відключеному навантаженні і заморочених внутрішніх ЕРС.



Приклад. Визначити струм у вітці ad зображеної схеми.

Вихідні дані:

Е1 = 12 В; Е2 = 20 В; R1 = 12 Ом; R2 = 35 Ом; R3 = 32 Ом; R4 = 6 Ом; R5 = 10 Ом; R6 = 15 Ом.

Розрахунок:

Визначаємо напругу холостого ходу вітки ad - Ux.x. Для цього виключаємо з схеми вітку з опором R1. Використовуючи метод контурних струмів, складаємо рівняння для контуру abca (Іabca) і bdcb (Іbdcb):

Звідки Іabca = -0,398 -0,4 A; Ibdcb = -0,379 -0,4 A і, отже І2 = - Іabca = 0,4 A; І5 = Ibdcb = -0,4 A.

Рівняння за другим законом Кірхгофа для контуру adca:

Е2 - Ux.x = I2R2 - I5R5 Ux.x = Е2 - I2R2 + I5R5 = -14 + 20 - 45 = 2 В.

Визначаємо R схеми. Для цього перетворюємо трикутник опорів abc в еквівалентну зірку. При закорочених ЕРС Е1 і Е2 схема матиме вид:



Лекція 4. Нелінійні опори та перехідні процеси.

4.1 Нелінійні опори в колах постійного струму

4.1.1 Основні поняття

В лінійних опорах залежність струму I, що протікає через лінійний опір R від величини прикладеної напруги U лінійна. Вольт-амперна характеристика I(U) уявляє собою пряму лінію, що проходить через початок координат.

В сучасних схемах автоматики, в радіотехнічних пристроях широко застосовуються також нелінійні опори. Відміна нелінійного опору є залежність його величини від протікаючого по ньому струму або від прикладеної до нього напруги U.

Приклад - лампа розжарювання, оскільки опір нитки розжарювання залежить від температури і, відповідно, від протікаючого струму.

Більш яскраво виражений нелінійний характер у спеціальній лампі - баретера. Ця лампа уявляє собою сталеву нитку, по якій проходить струм, розміщену в скляному балоні, заповненому воднем.

Вольт-амперна характеристика баретера має вигляд > і показує, що при зміні прикладеної напруги від U1 до U2 струм в колі баретера майже не змінюється. Ця властивість баретера використовується для стабілізації струму в електричному колі при умові непостійності напруги джерела живлення.

Графічний метод розрахунку простих кіл з нелінійними опорами.

При розрахунку таких кіл використовують графоаналітичні методи, що ґрунтуються на застосуванні законів Кірхгофа і заданих вольт-амперних характеристиках (ВАХ).

Коло з двома послідовними нелінійними опорами.

По всьому колу протікає один і той же струм І. Загальна напруга U дорівнює сумі напруг U1 і U2.

Будується результуюча ВАХ (3) шляхом сумування абсцис ВАХ (1) і ВАХ (2) при одних і тих же значеннях струму. Далі, користуючись графіком (3), можна для будь-якого значення U' знайти струм в колі І'. Цей струм визначить напруги U'1 і U'2 на кожному з нелінійних опорів.

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Аналогічно розраховується послідовне коло з більшим числом опорів.

Якщо коло складається з двох опорів, то можна не будувати результуючу ВАХ. Замість ВАХ одного з опорів будують її дзеркальне відображення відносно вертикалі. Початок координат цієї кривої переноситься в точку U'. Точка перетину обох ВАХ визначає величину струму в колі І' і напруги U'1 і U'2 на кожному з нелінійних опорів.

4.1.2 Коло з двома паралельними нелінійними опорами

При паралельному з'єднані струм в нерозгалуженій частині дорівнює сумі струмів в окремих вітках. Тому при побудові результуючої ВАХ сумують ординати графіків, які відповідають одним і тим же значенням напруги.

Змішане з'єднання нелінійних опорів

Послідовність побудови результуючої ВАХ і визначення електричних параметрів режиму:

Паралельне з'єднання нелінійних опорів замінюють одним еквівалентним нелінійним опором з ВАХ, побудованою шляхом сумуванням ВАХ окремих вихідних опорів по вертикалі (1).

Для отриманого послідовного кола будують результуючу ВАХ, як суму ВАХ-х характеристик по горизонталі (2).

Для заданого значення U' визначають струм І в нерозгалуженій частині кола (3).

За отриманим значенням струму визначаються напруги на нерозгалуженій U3 і розгалуженій частині U1,2 кола як на двох послідовно з'єднаних ділянках кола (4).

За отриманою напругою на розгалуженій ділянці кола визначаються струми у вітках I1 і І2 (5).

Ця послідовність проілюстрована на прикладі наведеної схеми:

Приклад розрахунку схеми стабілізації струму.

Умова: для стабілізації струму Інав на рівні 0,75 А в навантажені з опором Rн = 10 Ом використовується баретер з наведеною ВАХ:

Середнє значення струму баретера на прямолінійній дільниці Ібар = 1 А. Напруга початку стабілізації Uп.с. = 10 В, кінця: Uк.с. = 18 В, напруга джерела: 25 5 В.

Треба скласти схему і провести розрахунок параметрів її елементів. Визначити межі зміни струму в опорі навантаження при вказаному діапазоні зміни напруги джерела.

Розрахунок.

Оскільки струм в опорі навантаження менший за струм стабілізації баретера, необхідно паралельно навантаженню включити опір R1, через який повинен протікати надлишковий струм І1 = Ібар - Інав = 1 - 0,75 = 0,25 А.

Величина опору:

Напруга на опорі навантаження

Uнав = ІнавRн = 0,7510 = 7,5 В.

В схему потрібно включити послідовно з навантаженням і опором R1 опір R2 для поглинання надлишкової напруги. Величину цього опору визначаємо для режиму Uдж = 25 В, і напрузі на баретері, що дорівнює середній напрузі стабілізації

Отже остаточно схема стабілізації матиме вид:

Для такої схеми

U2 = IбарR2 = Uдж - Uср - Uнав = 25 - 14 - 7,5 = 3,5 В. Звідки:

Сума лінійних опорів кола:

Для визначення меж коливань струму в опорі навантаження тут зручно побудувати віддзеркалену ВАХ сумарного лінійного опору R. Ця ВАХ - пряма лінія.

З креслення визначається Іmax = 1,03 A, Imin = 0,97 A.

Шукане відхилення струму в колі від середнього значення складає при відносній зміні напруги джерела живлення .

Перехідні процеси в електричних колах

Закони комутації

Процеси, що виникають в різних фізичних системах (електричних, механічних, теплових, ін.) при переході від одного сталого стану (стаціонарного режиму) до іншого називають перехідними (або несталими) процесами.

В електричному колі перехідний процес виникає: при зміні режиму його роботи - вмиканні або вимиканні кола; при зміні параметрів R, L або C.

Дії, що викликають перехідні процеси в електричних колах, отримали назву - комутації.

Кожному стану кола (в загальному випадку кола, що має індуктивність L і ємність C) відповідають певні запаси енергії магнітного поля



і електричного поля

.

Ці запаси енергії, пов'язані з елементами електричного кола, неоднакові при різних станах і режимах роботи кола.

Для зміни енергії кола на кінцеву величину потрібний деякий час, тому що раптова стрибкоподібна зміна енергії W повинна викликати споживання або викид потужності

,

що фізично неможливо. В зв'язку з цим раптова зміна струму іL в котушці і напруги иС на конденсаторі неможливі. Це означає, що перехід від одного сталого стану до іншого здійснюється не миттєво, а на протязі деякого часу.

В порівнянні з іншими фізичними системами перехідні процеси в електричних колах протікають зазвичай дуже швидко і закінчуються на протязі частки секунди.

Принцип, за яким струм в колі з індуктивністю не може змінюватись стрибком і в початковий момент перехідного процесу (t = 0) зберігає своє попереднє значення, називається першим законом комутації.

Аналогічний принцип, за яким напруга на клемах конденсатора не може миттєво змінитись на кінцеву величину і в момент часу t = 0 зберігає попереднє значення, називають другим законом комутації.

Загальні принципи аналізу перехідних процесів

Математичний аналіз перехідних процесів в електричних колах базується на тому, що закони Кірхгофа застосовні як до сталих, так і до несталих режимів. Використовуючи закони Кірхгофа для замкнутих контурів і вузлових точок, можна отримати для перехідного процесу лінійні диференціальні рівняння. За цими рівняннями визначають значення струмів і напруг в будь-який момент часу процесу, що розглядається. Значення постійних інтегрування знаходять з граничних умов, що визначаються законами комутації.

Для спрощення розв'язання диференційних рівнянь і полегшення їх аналізу перехідні процеси прийнято розглядати як результат накладання двох режимів - примусового і вільного. Відповідно з цим дійсний (фактичний) струм в колі і уявляється як сума двох складових: примусового струму іпр, який встановлюється в колі після закінчення перехідного процесу, і вільного струму івіл, що протікає в колі тільки під час перехідного процесу і = івіл + іпр.

Вільний струм поступово вщухає і при режимі, що встановився (t = ) стає рівним нулю. Тоді і| t = = іпр.

Оперуючи в розрахунках примусовою і вільною складовими, необхідно пам'ятати, що реально існуючими величинами є не окремі складові, а результуючі струми (або напруги).

Приклад № 1. При замиканні вимикача в колі (а), що включає R і L, починається перехідний процес. Диференціальне рівняння, складене для цього кола за другим законом Кірхгофа для миттєвих значень має вид:

.

Рішення рівняння дає значення миттєвих значень струму і в залежності від часу t і має вид

,

де визначається співвідношенням R і L. Побудований за цим виразом графік представлений на малюнку (б).

Приклад № 2. Диференціальне рівняння, складене для утвореного при замиканні вимикача кола (в) за другим законом Кірхгофа для миттєвих значень, має вид:

.

Рішення рівняння має вид

.

Побудований за цим виразом графік представлений на малюнку (г).

Лекція 5. Основні поняття змінного струму

5.1 Змінний струм

Передмова

Спочатку електроенергетика розвивалась на базі невеликих електростанцій постійного струму, що працювали на привозному паливі. Кожна з станцій обслуговувала невеликий регіон або одне підприємство. Вартість виробництва електроенергії на цих станціях була високою.

Централізація виробництва електроенергії постійного струму була неможливою через складності передачі електроенергії на великі відстані, пов'язані з великими втратами при низькій напрузі передачі. Економічне централізоване виробництво електроенергії потребувало застосування різних напруг для генераторів, ЛЕП і електроприймачів, у зв'язку з чим виникла необхідність в перетворенні електроенергії однієї напруги в електроенергію іншої напруги. Ця проблема була вирішена введеним електроустановок змінного струму. Можливість трансформації змінного струму дозволила для кожного елемента електроустановки мати свою , найбільш відповідну умовам, напругу.

Перші установки змінного струму для технічних цілей були створені російським вченим Яблочковим в 70-х роках ХІХ-го сторіччя.

Сучасна електроенергетика побудована на використанні змінного струму і лише в деяких випадках використовується постійний струм. Електричні машини ( генератори, двигуни) мають високі техніко-економічні показники, надійні в роботі і зручні в експлуатації.

Основні поняття

Змінними називаються ЕРС, напруги і струми, які періодично змінюються в часі.

В сучасному електроустаткуванні найбільше застосування отримали змінні струми, величина (і напрямок) яких змінюються за синусоїдальним законом - синусоїдальні струми. (Ще одна різновидність змінних струмів - пульсуючі, в яких періодично змінюється тільки величина). Зручність використання синусоїдальних струмів пояснюється тим, що при синусоїдальному характері ЕРС напруги і струми також будуть синусоїдальними. При несинусоїдальних струмах в генераторах, двигунах і інших пристроях виникають додаткові втрати енергії.

Значення змінних величин - ЕРС, напруг, струмів, потужностей - в будь-який момент часу t називаються миттєвими і позначаються буквами е, u, i, p.

Основні співвідношення між електричними величинами, що були встановлені для кіл постійного струму, залишаються справедливими і для миттєвих значень:

,

але при застосуванні 2-го закону Кірхгофа в сумі ЕРС треба враховувати не тільки ЕРС джерел, а й ЕРС самоіндукції і взаємоіндукції, що виникають, а в суму напруг включати напругу на конденсаторах.

Для синусоїдальних струмів миттєве значення визначається виразом i = Im sin(t +), де Im - найбільше миттєве значення періодично змінюваних величин, яке називається амплітудним значенням. Позначаються Im, Um, Em.

Час Т, за який струм (напруга, ЕРС) здійснює повний цикл своїх змін називають періодом змінного струму (напруги, ЕРС), а число періодів за секунду - його циклічною частотою f = 1/T. Одиниця частоти - Гц. Частота дорівнює 1 Гц, якщо повний цикл зміни струму здійснюється за 1 секунду.

В Європі промисловою частотою є частота 50 Гц. В США, Канаді, Японії - 60 Гц. Вибір промислової частоти обумовлений техніко-економічними міркуваннями - при меншій частоті помітне мерехтіння світла в освітлювальних приладах, а при більших - виникає додатковий опір при передачі енергії на великі відстані.

Синусоїдальний характер змінного струму обумовлений характером змінної ЕРС, що утворюється в статорі генератора. Ротор обертається з кутовою швидкістю

= / t.

Якщо покласти

= 2,

а це буде за

t = Т,

тобто струм здійснить повний цикл своїх змін, то

= 2 / Т = 2 f.

Ця величина називається круговою частотою.

Размещено на http: //www. allbest. ru/



Від спостерігача залежить з якого моменту почати спостереження за зміною струму. Тому у виразі

i = Im sin(t +)

присутня величина , яка називається початковою фазою, і яка визначає відставання моменту початку спостереження від початку поточного періоду. Якщо

= 0, то i = Im sin t.

Між двома синусоїдальними величинами, що мають різні 1 і 2, існує зсув фаз

= 2 - 1.

Ця величина більш цікава, тому що при дослідженні двох sin-них величин завжди початкову фазу однієї можна взяти нульовою, тоді початкова фаза іншої становитиме і вже не залежатиме від суб'єктивного вибору початку спостереження.

Діюче (ефективне, середньоквадратичне) значення.

Для його визначення виходять з теплової дії струму.

Діюче значення змінного струму дорівнює значенню еквівалентного постійного струму, який утворює на незмінному опорі стільки ж теплоти, як і змінний струм.

Кількість теплоти, що виділяє змінний струм і за елементарний час t:

dQ = i2R dt,

а за час, що дорівнює Т:

.

При постійному струмі:

Оскільки за визначенням то

звідки

оскільки то:

або .

Отже діюче значення змінного синусоїдального струму менше його амплітудного значення в раз.

Діючі значення позначаються I, U, E.

Аналогічно можна довести, що

.

Діюче значення вказується на шкалах вимірювальних приладів. Тому, якщо амперметр, що вимірює силу змінного струму показує 10 А, то амплітудне значення складає Іm = 14,1 A.

Середнє значення змінного струму.

Середнє арифметичне значення для всіх миттєвих значень додатної півхвилі називається середнім значенням синусоїдального струму за півперіод.

.

Аналогічно визначаються Uср та Еср.

Середнє значення використовується при аналізі роботи спрямовувачів, електричних машин, тощо.

Отже для аналізу синусоїдального струму необхідно знати для електричних величин амплітудне (Іm, Um, Em) або діюче (І, U, E) значення, частоту коливань

Т : = 2f, f = 1/T і початкову фазу ш.

5.2 Зображення синусоїдальних величин векторами

Векторна діаграма

Ми познайомились з двома (із багатьох) способами зображення синусоїдальних величин - аналітичний і графічний (у вигляді графіка зміни миттєвих значень в часі).

Для розрахунків кіл змінного струму ще використовується зображення синусоїдальних величин за допомогою векторів, що обертаються.

Нехай маємо струм

i = Im sin(t +).

Для того, щоб зобразити його вектором, що обертається візьмемо прямокутну систему координат хОу. Із початку координат О під кутом проведемо вектор Im, довжина якого в масштабі відповідає Im . Якщо вектор Im обертати проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю = 2f, то його проекція на вісь ординат Оу буде змінюватись за синусоїдальним законом , тобто відображати миттєве значення струму і.

Сукупність векторів, що зображують на одному кресленні кілька синусоїдальних величин однієї частоти має назву векторна діаграма.

Вектори, що зображені на такій діаграмі мають однакову кутову частоту . Тому при обертанні їх взаємне розміщення не змінюється. І тому при побудові векторних діаграм один вектор можна направити довільно (наприклад, вздовж Ох), а інші розташовувати по відношенню до першого під різними кутами, рівними відповідним кутам зсуву фаз і осі координат не креслити.

В більшості випадків векторні діаграми кіл змінного струму призначені для визначення співвідношень між діючими значеннями напруг і струмів. Тому діаграми звичайно будують не для амплітудних значень, а для діючих, що обумовлює лише зменшення довжини векторів в разів.

Якщо векторну діаграму будують в тій же послідовності, в якій обходять електричне коло, вона називається потенціальною (або топографічною). Зручно напрям обходу приймати протилежним прийнятому напрямку струму. Потенціальна діаграма дозволяє визначити напругу між будь-якими точками кола, оскільки кожна точка діаграми відповідає певній точці кола. Для визначення треба з'єднати дві точки діаграми відрізком і надати йому відповідний напрямок.

При побудові потенціальної діаграми один з векторів приймають за вихідний і розташовують вздовж горизонтальної осі в додатному напрямку, вважаючи, що початкова фаза відповідної йому величині дорівнює нулю. Інші вектори будують відносно цього вектора з урахуванням фазового струму. Зручно для послідовного кола за вихідний приймати вектор струму, а для паралельного - напруги.

Отже розглянуті три способи зображення синусоїдальних величин:

Графіком зміни миттєвих значень в часі

За допомогою тригонометричних функцій

i = Im sin(t +)

u = Um sin(t +).

e = Em sin(t +).

Векторами, що обертаються і векторними діаграмами.

5.3 Елементи кіл змінного струму

Синусоїдальні кола, крім джерел, можуть включати такі елементи:

Резистор - активний опір R;

Котушка індуктивності - індуктивність L;

Конденсатор - ємність C.

Активний опір на змінному струмі.

При підключенні до активного опору напруги u = Um sin t струм, згідно закону Ома:

.

Як видно, струм і напруга, змінюючись синусоїдально, співпадають за фазою. Векторна діаграма має вид:

- закон Ома для активного опору.

Потужність в різні моменти часу не є сталою -

p = ui = Um Im·sin (2·t).

Графік зміни миттєвих значень потужності має вигляд:

Значення потужності додатні, тобто в активному навантаженні весь час відбувається необратний процес перетворення електричної енергії в теплову.

Потужність оцінюють за середнім значенням за період. Позначають активну потужність - Р (її миттєве значення - р).

Індуктивність на змінному струмі.

Котушка індуктивності.

Будь-яка зміна струму і в колі з котушкою індуктивності викликає зміну магнітного потоку Ф, створеного цим струмом. Змінний магнітний потік пронизує всі витки котушки індуктивності і в свою чергу викликає в ній появу ЕРС відповідно закону електромагнітної індукції.

.

ЕРС, обумовлену зміною власного магнітного потоку, називають ЕРС самоіндукції і позначають еL.

Добуток wФ, позначений , прийнято називати потокозчепленням.

При відсутності феромагнітних матеріалів (наприклад, сталевого осердя) потокозчеплення пропорційне протікаючому струму і:

= Li .

Коефіцієнт L, значення якого залежить від числа витків, а також від розмірів і конфігурації електричного кола, називають індуктивністю. Одиниця виміру індуктивності - Генрі (Гн).

Враховуючи визначення потокозчеплення через індуктивність, вираз для ЕРС самоіндукції можна записати у вигляді:

.

Цей вираз свідчить, що при збільшенні струму еL направлена протилежно струму, а при зменшенні струму ЕРС еL співпадає за напрямком із струмом. Отже ЕРС самоіндукції протидіє як збільшенню, так і зменшенню струму. Ця протидія тим більше, чим більша індуктивність L кола.

Таким чином, індуктивність L характеризує здатність кола протидіяти змінам електричного струму, що протікає в колі.

5.4 Котушка індуктивності на змінному струмі

При проходженні змінного синусоїдального струму ЕРС самоіндукції повинна повністю урівноважувати прикладену напругу, тобто

звідки

[], де .

Зсув фаз (-90), що з'явився, показує, що струм в котушці індуктивності відстає від прикладеної напруги і зсунутий на -90 або -/2 відносно напруги.

Добуток L має розмірність опору (Ом) і має назву реактивним опором індуктивності, або індуктивним опором (позначається ХL), а вираз

є закон Ома для індуктивності.

ХL = L = 2fL.

Векторні діаграми ідеальних котушок можуть мати вид:

Миттєва потужність:

pL = ui = Um·sin t Im sin (t - 90) =

Отже потужність змінюється за синусоїдальним законом з подвійною частотою 2. Амплітудне значення миттєвої потужності:

В додатний півперіод індуктивність споживає енергію від мережі і накопичує її у вигляді енергії магнітного поля.

У від'ємний півперіод індуктивність стає джерелом електричної енергії і віддає в мережу накопичену енергію магнітного поля.

Отже в ідеальній котушці здійснюється періодичний обмін енергією між зовнішнім джерелом і магнітним полем. Середня (активна) потужність дорівнює нулю.

Для кількісної оцінки інтенсивності обміну електричною енергією між джерелом і індуктивним навантаженням введене поняття реактивної потужності

QL = UI = I 2 XL.

5.5 Конденсатор на змінному струмі.

Ємність

Основною технічною характеристикою конденсатора є його електроємність С (ще його номінальна (робоча напруга)). Ємність вимірюється в фарадах (Ф) або мікрофарадах (мкФ).

Ємність залежить від розміру, форми, властивостей діелектрика:

[Ф], де

а - абсолютна діелектрична проникливість середовища між пластинами конденсатора [Ф/м];

S - площа однієї пластини [м2];

d - відстань між пластинами [м].

Ємність С і напруга U між пластинами визначають величину його заряду -

q = CU.

Коли напруга і заряд збільшується конденсатор заряджається, в колі виникає зарядний струм. Коли напруга і заряд зменшуються, в колі відповідно виникає струм розряду. Отже при змінній напрузі в колі з конденсатором проходить струм, рівний швидкості зміни заряду на пластинах конденсатора:

I = dq / dt = Cdu / dt.

 Конденсатор на змінному струмі

При підключенні до конденсатора змінної синусоїдальної напруги u = Um sin t в колі з конденсатором виникає струм

де .

Останній вираз є виразом закону Ома для кола з ємністю. В аргументі синусу (+90) свідчить, що в колі з ємністю струм випереджає за фазою напругу на 90.

Струм досягає максимального значення в ті моменти часу, коли напруга дорівнює нулю. При максимальній напрузі струм припиняється (=0).

Можливі векторні діаграми:

Значення 1/(С) має розмірність опору (Ом) і називається реактивним опором ємності або ємнісним опором (позначається ХС)

.

Якщо ємність конденсатора виразити в мікрофарадах, то реактивний ємкісний опір

.

Для постійного струму, коли f = 0, ХС = .

Потужність, що споживає конденсатор, визначається аналогічно потужності індуктивності. Отже в конденсаторі здійснюється періодичний обмін енергією між зовнішнім джерелом і електричним полем. Середня (активна) потужність дорівнює нулю.

Для кількісної оцінки інтенсивності обміну електричною енергією між джерелом і конденсатором введене поняття реактивної потужності QС = UI = I2 XС.

Символічний метод

Вже можна передбачити, що при розрахунках кіл змінного струму необхідно буде використовувати складні перетворення з величинами, до яких входять тригонометричні функції, або виконувати графічні дії над векторами.

Найбільш ефективний метод розрахунку кіл змінного струму є символічний метод, оснований на зображенні електричних величин (струм, напруга, ЕРС, опори, провідності, потужності) комплексними числами. В цьому випадку для розрахунку кіл змінного струму можна використовувати закони Кірхгофа і всі методи розрахунку складних кіл постійного струму.

Нагадування про комплексні числа

Форми запису комплексних чисел

В алгебраїчній формі комплексне число Z є сума дійсного числа a і уявного числа jb, тобто

Z = a + jb.

Уявне число jb є добуток уявної одиниці і коефіцієнта при ній b.

Для зображення комплексного числа в графічній формі в прямокутній системі координат по горизонтальній осі відкладаються дійсні частини комплексного числа а, а по вертикальній осі - уявні частини jb. Комплексне число на такій комплексній площині зображується:

точкою з координатами А(a; jb);

вектором ОА, що починається в початку координат О, а закінчується в точці А з координатами (a; jb).

Щоб записати комплексне число в показовій формі треба знати його модуль і аргумент. Модуль є довжина вектора ОА на комплексній площині

.

Аргумент - це кут між напрямком дійсної осі і вектором ОА. Ясно

b/a = tg , звідки = arctg b/a.

При визначенні треба мати на увазі, що обчислювальні засоби дають значення arctg b/a в межах 0 90. Тому отримане значення треба відкоригувати згідно таблиці:

а	b	чверть
+	+	І	arctg b/a
-	+	ІІ	180 - arctg b/a
-	-	ІІІ	180 + arctg b/a
+	-	IV	- arctg b/a

Комплексне число в показовій формі є добуток модуля і множника е j, тобто

Z = |Z| е j.

Тригонометрична форма. При розв'язанні задач комплексним методом виникає потреба перейти від показової форми до алгебраїчної. Вихідними є модуль і аргумент. Треба визначити дійсну і уявну частини і представити число в алгебраїчній формі.

З трикутника a = |Z|cos , b =|Z|sin .

В комплексній формі Z = a + jb = |Z|cos + j|Z|sin

Отриманий запис є тригонометричною формою комплексного числа.

Дії над комплексними числами

Для «+» і «-» зручніше використовувати алгебраїчну форму:

Z1 Z2 = a1 + jb1 a2 + jb2 = (a1 a2) + j(b1 b2)

Для «» і «:» зручніше використовувати показову форму:

Z1 Z2 = |Z1| e j |Z2| e j = |Z1||Z2| e j( + );

Z1 / Z2 = |Z1| e j / |Z2| e j = |Z1| / |Z2| e j( - ) ,

але можна і алгебраїчну:

Z1 Z2 = (a1 a2 - b1 b2) + j(a1 b2 + b1 a2); .

Два комплексних числа називаються спряженими, якщо відрізняються тільки знаками уявної частини (в алгебраїчній формі), або знаками аргументів (в показовій формі), наприклад:

a + jb та a - jb;

|Z| e j та |Z| e -j .

Уявлення параметрів електричного змінного струму через комплексні числа

Повертаючись до електричних величин можна провести аналогію між векторами, що обертаються і комплексними векторами. Ця аналогія дозволяє синусоїдальні величини відображувати комплексними числами. Комплексні значення струмів, напруг і ЕРС прийнято позначати .

Згадаймо вже знайомі кола з активним опором, індуктивністю і ємністю:

Побудуємо для цих кіл векторні діаграми, але вже на комплексній площині, вважаючи, що розташування вектора величини з нульовою початковою фазою співпадає з дійсною додатною піввіссю.

В усіх випадках вектор напруги направлений по осі дійсних чисел. Тому комплекс напруги

,

де U - модуль комплексу напруги, а 0 - його початкова фаза. Комплекс струму:

у першому випадку -

у другому випадку -

у третьому випадку -

Отже комплексне зображення синусоїдальних величин визначає її діюче (амплітудне) значення і зсув фаз відносно вихідної величини, початкова фаза якої вважається рівною нулю.

Лекція 6. Аналіз кіл синусоїдального струму.

6.1 Розрахунок кіл синусоїдального струму.

Закони Кірхгофа

Розрахунок кіл синусоїдального змінного струму оснований на використанні законів Кірхгофа, які справедливі для миттєвих, амплітудних та діючих значень:

для миттєвих значень - суми алгебраїчні.

Розглянемо кола:

В обох випадках вектор струму направлений по осі дійсних чисел. Комплекс напруги на клемах кола :

для випадку а) , де Ua і jUL - дійсна і уявна частини; U і - модуль і початкова фаза комплексу напруги.

для випадку б) .

В загальному виразі комплексу напруги “+” перед уявною частиною свідчить, що навантаження має індуктивний характер, “-“ - характер навантаження ємкісний.

Розглянемо електричне коло, що складається з трьох елементів:

, де , а аргумент .

> 0, якщо UL > UC

< 0, якщо UL < UC.

Опір і провідність в комплексній формі.

З розглянутих трикутників напруг (наприклад, а) і б))

=

= .

Це відношення є законом Ома. Величина- повний опір кола і позначається Z.

. Тобто I = U / Z.

Активний, реактивний і повний опір пов'язані між собою як сторони трикутника.

Ці трикутники можна побудувати на комплексній площині і тоді опори можна виразити комплексними числами:

= R + jX = R + j(XL - XC), де .

Аналогічно визначаються провідності:

.

При записі повної провідності в показовій формі:

модуль комплексу опору -

; аргумент - .

Активна, реактивна і повна потужність.

Якщо сторони трикутника напруг помножити на струм І, то отримаємо трикутник потужностей:

Активна потужність - P = UaI = UI cos [вт];

Реактивна потужність - Q = UL / CI = UI sin [вар];

Повна потужність - S = UI [ва].

6.2 Розрахунок складних кіл змінного струму

Формули законів Ома і Кірхгофа для кіл змінного струму в комплексній формі мають таку ж структуру, як і для кіл постійного струму. Тому методи розрахунку лінійних кіл постійного струму, що були вже розглянуті (метод безпосереднього використання законів Кірхгофа, метод суперпозиції, метод контурних струмів, метод вузлових потенціалів, метод еквівалентного генератора), можна застосовувати для розрахунку складних лінійних кіл синусоїдального змінного струму. В цьому випадку всі ЕРС, напруги, струми, опори і провідності ділянок кола визначаються так же , як і в колах постійного струму, але в комплексній формі.

Значення cos .

Електроприймачі змінного струму є або пристроями, що споживають тільки активну потужність (лампи розжарювання, електронагрівальні прилади - печі, праски), або пристрої, що споживають як активну, так і реактивну потужність (зокрема двигуни змінного струму).

Активна потужність, що споживається двигуном, перетворюється ним в корисну механічну роботу і частково розсіюється у вигляді тепла.

Разом з необратним перетворенням електроенергії в інші види енергії тут одночасно проходить обратний процес обміну енергією між змінним магнітним полем і джерелом живлення.

Якщо б двигун отримував від джерела тільки активну потужність Р, тобто працював би з cos = 1, то споживав би струм I = P / U. В дійсності двигун змінного струму є для джерела як активним, так і реактивним навантаженням, тобто працює з індуктивним cos . В зв'язку з цим двигун при тій же активній потужності Р і, відповідно, при тій же корисній механічній роботі споживає з мережі струм більшої величини

.

Зниження cos призводить:

до підвищення втрат електроенергії (I 2Rt) в проводах лінії;

до завищення необхідної потужності (S = UI) джерела живлення.

Так, наприклад, якщо двигун працює з cos = 0,7, то втрати енергії в лінії збільшується пропорційно (1/ cos ) 2, тобто в 2 рази, а потужність джерела повинна бути більшою майже в 1,5 рази в порівняння з роботою при cos = 1.

Якщо паралельно двигуну включити конденсатор такої ємності, щоб реактивна складова загального струму стала рівною нулю, то загальний cos кола буде дорівнювати 1. У випадку повної компенсації конденсатор цілком покриває потреби двигуна в реактивній потужності і із мережі буде споживатись тільки активна потужність Р.

Для усвідомлення значення cos звернемось до основних характеристик генератора: номінальні напруга Uном, струм Iном, потужність Sном = Uном Iном. Uном = 1200 В, Iном = 200 А. Тоді Sном = Uном Iном = 1200200 = 240 кВА. Будемо приєднувати навантаження з різними cos .

Для активного навантаження cos = 1, активна потужність генератора Р = Uном Iном = 240 квт, тобто дорівнює повній потужності.

Для навантаження з cos = 0,5 активна потужність генератора Р = Uном Iном cos = 12002000,5 = 120 квт, тобто знижується в 2 рази. Не зважаючи на це по генератору і проводах проходить той же струм 200 А. Тобто генератор працює з повною потужністю. Активна потужність генератора зменшилась за рахунок збільшення реактивної потужності, що без користі завантажує генератор і лінію електропередачі.

До підключення конденсатора Q = Ptg.

З конденсатором Q к = Ptg к.

Реактивна потужність, яку повинен сприйняти конденсатор

QС = Q - Q к = Р(tg - tg к). З іншого боку .

Звідки:

.

Для повної компенсації реактивної потужності ( к = 0) необхідний конденсатор ємкістю.

Лекція 7. Електричні коливання

7.1 Аналіз електричного стану розгалужених кіл

Коливальний контур.

В електричному колі, що складаються з L і C при певних умовах можуть виникнути коливання. Коливальний процес в колі - це періодичний обмін енергією між електричним і магнітним полем. Таке коло має назву коливальний контур.

Розглянемо такий ідеальний (R = 0) коливальний контур.

Конденсатор ємністю С, попередньо заряджений від зовнішнього джерела до напруги UC. Енергія електричного поля конденсатора складає

.

До зарядженого конденсатора приєднується ідеальна котушка з індуктивністю L. Оскільки конденсатор через котушку почне розряджатись в колі виникне струм і.

Енергія електричного поля конденсатора перетворюється на енергію магнітного поля котушки

.

В той момент, коли конденсатор повністю розрядиться і його напруга впаде до нуля, струм в колі досягне максимального значення Іm. ЕРС самоіндукції eL котушки в цей час діє зустрічно струму, гальмуючи його збільшення. В другій чверті періоду напруга UC збільшується і конденсатор заряджається за рахунок накопиченої енергії котушки при тому ж напрямку струму, який зменшується до нуля і який в цей час підтримується ЕРС самоіндукції eL, що змінила свій напрямок. Процес повторюється, але при зворотному напрямку струму.

Отже в ідеальному колі буде безперервно відтворюватись перезаряд конденсатора через котушку індуктивності - утворяться вільні коливання.

В реальному коливальному контурі, де є активний опір (R 0), де є теплові втрати енергії - коливання в контурі будуть затухаючими.

Математичний аналіз показує, що при замиканні зарядженого конденсатору на ідеальну котушку в колі, що утворюється, виникає змінний синусоїдальний струм i = Im sin 0t. Частота цього струму визначається параметрами L і C контуру

Величину f0 прийнято називати власною частотою коливального контуру.

Як відзначалось, в дійсності контур має активний опір, що призводить до втрат енергії. Електромагнітний коливальний процес, що відбувається в контурі за рахунок початкового запасу енергії, поступово вщухає і повністю припиняється, коли весь запас енергії розсіється в оточуюче середовище у вигляді тепла.

Щоб підтримувати невщухаючі коливання енергії між електричним і магнітним полями, тобто отримати в контурі синусоїдальний струм з незмінною амплітудою, потрібно підводити до контуру енергію, що компенсує теплові втрати. Передача контуру цієї енергії повинна проводитись періодично - в такт з власними коливаннями контуру. Це означає, що на протязі кожного періоду до контуру необхідно підвести кількість енергії, що втрачається ним у вигляді тепла.

Це можна здійснити, якщо в коло коливального контуру включити джерело змінного струму з частотою f, рівною частоті f0 коливального контуру.

По аналогії з механічною системою, де збіг частоти вимушених коливань з частотою власних коливань механічної системи має назву резонанс, процес, що протікає в електричному коливальному контурі також має назву резонанс.

Одними з ознак резонансу в електричному колі, що має L і C, є збіг за фазою напруги u і струму і джерела, що живить це коло, а також та обставина, що повний опір кола складає тільки активний опір.

Розрізняють:

резонанс напруг, коли джерело, котушка і конденсатор утворюють послідовне коло.

резонанс струмів, коли котушка і конденсатор включені паралельно по відношенню до джерела змінного струму.

Резонанс напруг.

Розглянемо коло:



Як відзначалось, при резонансі струм і напруга співпадають за фазою, тобто = 0 і повний опір кола дорівнює його активному опору

Ця рівність буде мати місце, коли

XL = XC,

тобто реактивний опір кола дорівнює

0: Х = XL - XC = 0, де XL = L = 2fL і XC = 1/(С) = 1/(2fC), тобто: 2fL = 1/(2fC). Звідки:

.

XL = XC ,

а це може бути, коли частота підведеної напруги дорівнює частоті, що визначена останньою формулою, в колі виникає резонанс напруг.

З виразу закону Ома для послідовного кола



випливає, що струм в колі при резонансі дорівнює напрузі, поділеній на активний опір

I=U/R.

Отже струм в колі може виявитись значно більшим за струм, який би мав бути при відсутності резонансу.

При резонансі напруга на індуктивності дорівнює напрузі на ємності

IXL = IXC = UL = UC.

При великих значеннях XL і XC відносно R ці напруги можуть в багато разів перевищувати напругу живлення. Підвищення напруги (перенапруга) на окремих ділянках кола, якщо воно заздалегідь не враховане, є небезпечним для цілісності ізоляції електричної установки.

Резонанс в колі при послідовному з'єднані споживачів має назву резонанс напруг.

Напруга на активному опорі при резонансі дорівнює напрузі, що прикладена до кола

UR = IR = U.

Векторна діаграма при резонансі (на малюнку діаграма б)) ілюструє той факт, що струм співпадає за фазою з напругою і що напруга на активному опорі дорівнює напрузі живлення.

Реактивна потужність при резонансі дорівнює нулю

Q = QL - QC = ULI - UCI = 0, оскільки UL = UC.

Повна потужність дорівнює активній потужності

, оскільки Q = 0.

Коефіцієнт потужності дорівнює одиниці

сos = P/S = R/Z = 1.

Оскільки резонанс напруг виникає, коли індуктивний опір послідовного кола дорівнює ємнісному, а їх значення визначаються відповідно індуктивністю, ємністю кола і частотою живлення

XL = 2fL і XC = 1/(2fC)

то резонанс може бути досягнутий або шляхом підбору параметрів кола при заданій частоті живлення, або шляхом підбору частоти живлення при заданих параметрах кола.

В інтервалі частот

f = 0 fрез

навантаження має активно-ємнісний характер, струм випереджає за фазою напругу живлення.

В інтервалі частот

f = fрез

навантаження має активно-індуктивний характер, струм відстає за фазою від напруги живлення.

Найбільше значення напруги на ємності отримується при частоті трохи меншій за резонансну, а на індуктивності - на частоті трохи більшій за резонансну.

В ряді областей електротехніки резонанс напруг знаходить корисне застосування. Коливальні контури, наприклад, є обов'язковою частиною радіотехнічних пристроїв. Зокрема, настройка радіоприймача полягає в тому, щоб шляхом зміни ємності С або індуктивності L досягнути збігу частоти коливального контуру в приймачі з частотою генераторів радіостанції.

Резонанс струмів.

Резонанс струмів може виникнути в паралельному колі, одна з віток якого включає L і R, а інша C і R.

Резонансом струмів називають такий стан кола, коли струм в нерозгалуженій частині кола (І) співпадає за фазою з напругою, реактивна потужність дорівнює нулю і коло споживає тільки активну потужність.

Як це видно з векторної діаграми (б), загальний струм в колі співпадає за фазою з напругою, якщо реактивні складові струмів у вітках з індуктивністю і ємністю рівні за модулем

|Ір1| = |Ір2|.

Реактивна складова загального струму кола, що дорівнює різниці реактивних складових струмів, в цьому випадку дорівнює нулю Ір1 - Ір2 = 0.

Загальний струм кола має тільки активну складову, що дорівнює сумі активних складових струмів у вітках

І = Іа = Іа1 + Іа2.

Виразивши реактивні складові струмів через напруги і реактивні опори отримаємо

або UbL = UbC,

де bL і bC відповідні реактивні провідності.

Звідки bL = bC.

Отже, при резонансі струмів реактивна провідність вітки з індуктивністю дорівнює реактивній провідності вітки із ємністю.

Виразивши bL і bC через опори відповідних віток можна визначити резонансну частоту контуру:

.Звідки: .

В ідеальному випадку, коли

R1 = R2 = 0: .

При резонансі струмів коефіцієнт потужності дорівнює одиниці cos =1.

Повна потужність дорівнює активній потужності

S = P.

Реактивна потужність дорівнює нулю

Q = QL - QC = 0.

Енергетичні співвідношення в колі при резонансі струмів аналогічні процесам, що проходять при резонансі напруг.

Реактивна енергія діє всередині кола. В одну частину періоду енергія магнітного поля індуктивності переходить в енергію електричного поля ємності, в наступну частину періоду енергія електричного поля ємності переходить в енергію магнітного поля індуктивності. Обміну реактивною енергією між споживачами кола і джерелом живлення нема. Струм в проводах, що з'єднують коло з джерелом, обумовлений тільки активною потужністю.

Для резонансу струмів характерно, що загальний струм в нерозгалуженій частині кола при певному збігу параметрів кола може бути значно меншим струмів в кожній з віток. Для ідеального кола (R1 = R2 =0) загальний струм дорівнює нулю, а струми віток з ємністю і індуктивністю існують: вони рівні за модулем і зсунуті за фазою на 180.

Резонанс в колі при паралельному з'єднанні споживачів називається резонансом струмів.

Резонанс струмів може бути отриманий шляхом підбору параметрів при заданій частоті джерела живлення або шляхом підбору частоти джерела живлення при заданих параметрах кола.

Лекція 8. Трифазні кола

8.1 Трифазна система ЕРС

Передмова

Широке впровадження змінного струму в промислові електроенергетичні установки почалось після 1891 року, коли російським вченим Доліво-Добровольським була розроблена, а потім практично освоєна система трифазного струму.

Трифазні кола є окремим випадком багатофазних систем змінного струму.

...