Динамично-устойчивое развитие предприятий на базе оптимизации размеров, структуры и эффективности воспроизводства капитала

Исследованию проблем обеспечения устойчивого и динамичного развития экономических объектов в различных трансформационных условиях посвящено большое количество работ российских и зарубежных ученых. Однако не все важные аспекты проблем воспроизводства основного капитала предприятий применительно к новым условиям экономики, определяемым курсом на инновационное развитие, исследованы в достаточной степени. Недостаточно рассмотрены вопросы кругооборота и оборота капитала с позиций инновационного воспроизводства основного капитала, его динамики с учетом новых составляющих, условий устойчивого и эффективного воспроизводства. Так же, не в полной мере раскрыты многие теоретические и методические аспекты размеров и формирования оптимальной структуры оборотного капитала предприятия с использованием более эффективных методов.

Данное исследование предлагает к рассмотрению теоретический анализ особенностей воспроизводства, как основного, так и оборотного капитала, методов и моделей эффективного управления капиталом в целях обеспечения динамично-устойчивого развития предприятий. В то же время работа имеет и практическую направленность. В практическом плане предложены концептуальные основы управления капиталом промышленных предприятий с точки зрения оптимизации его размеров и структуры в современных условиях.

Глава 1. Теоретические основы сущности капитала и динамично-устойчивого развития предприятий

оборотный капитал экономический воспроизводство

1.1 Системный подход в экономическом анализе

Аппарат исследования, наблюдения в экономике, как и в любой другой науке, представлен собственным кругом понятий (понятийным аппаратом), собственным инструментарием, собственной особой мерой всех объектов.

Метод, как приложение аппарата к объектам исследования, распадается на конкретные приемы - элементы метода: 1) наблюдение интересов лиц и объектов в статике и динамике; 2) классификация объектов - имущественных и отношений; 3) систематизация объектов в балансовой статике (имущества и отношений по поводу имущества); 4) наблюдение и регистрация динамики процессов производства, обмена и распределения благ-стоимостей; 5) аналитическое наблюдение процессов; 6) логические построения, выведение общностей - экономических закономерностей; 7) знаковая формализация взаимосвязей и взаимозависимостей между явлениями и элементами экономической системы; 8) экономическое моделирование (планирование, прогнозирование) и анализ, эксперимент [86, С. 7].

Известно, что научная теория должна развиваться несколькими путями: во-первых, опираясь на ранее выявленные истины, логически выводить новые закономерности, то есть строить научные гипотезы; во-вторых, в результате анализа эмпирических данных, эксперимента; в-третьих, критикуя неправильные теоретические положения или заблуждения. Все перечисленные направления тесно взаимосвязаны, равнозначны и равноценны.

В экономической жизни происходят постоянные изменения, которые должным образом отражаются в новых теориях и взглядах. Новые закономерности дают жизнь теориям, которые в какой-то степени либо отрицают уже сложившиеся взгляды, либо используют ранее наработанный материал в качестве базиса для дальнейших исследований. В настоящее время развитие экономического знания рассматривается как результат конкуренции научных идей, который ведет к росту альтернативных воззрений, и, следовательно, к применению различных методов исследования.

Эмпирический анализ является базовым для большинства наук. Начиная с исследования единичных событий, обобщая наработанный опыт, исследователь создает собственную гипотезу, рассматривая закономерности от частного и отдельного к более общему. Данный метод приближает экономическую науку к естественным, но в то же время делает исследование более специализированным. Современная экономика требует несколько иных подходов и методов.

Все шире применяются методологические принципы исследования, которые позволяют глубже понять экономическую систему как развивающийся и изменяющийся объект, ее единство и качественное разнообразие одновременно. Например, принцип методологического плюрализма позволяет рассмотреть различные экономические теории и концепции под углом зрения преодоления их соперничества и одновременного сохранения и использования, накопленных в них и выдержавших проверку временем, знаний. Принцип методологического релятивизма рассматривает ограниченность знания в каждый конкретный момент, что позволяет анализировать экономическую систему как складывающуюся целостность, акцентировать внимание на противоречивости и изменчивости данного процесса. Методологический принцип рефлексивности (отражения) позволяет отследить многообразные взаимодействия и взаимовлияния друг на друга всех хозяйствующих субъектов (как государственных, так и негосударственных), их реакции, формирование предпочтений и интересов, приспособление и т.п. Методологический принцип единства уровней (микро-, мезо-, макро-, мега) научного познания акцентирует внимание на сложных взаимосвязях между элементами разных экономических уровней [186, С. 5].

Правилом современного научного поиска является рассмотрение объектов и процессов как систем, т.е. во всей совокупности составляющих их компонентов, связей и отношений, включая отношения с окружающей средой. Системный метод используется для анализа любых систем, независимо от их характера и содержания, от их принадлежности к природе, обществу или искусственным техническим конструкциям.

Впервые идея системного подхода была сформулирована русским ученым А.А. Богдановым в 1912-1928 гг. в работе «Всеобщая организационная наука». Позже в середине 30-х гг. эта идея была возрождена Л. фон Берталанфи в работе «Общая теория систем». Системные исследования представляют собой совокупность научных и технических теорий, концепций и методов, в которых объект исследования или моделирования рассматривается как система.

Под социально-экономической системой можно понимать сложную вероятностную динамическую систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ. Она относится к классу кибернетических систем, т.е. систем управляемых.

Система - совокупность или комбинация взаимосвязанных элементов или частей, образующих комплексное единое целое и определенным образом взаимодействующих для решения заданной цели. Исследуемое множество элементов можно рассматривать как систему, если выявлены следующие четыре признака:

- целостность системы, т.е. принципиальная несводимость свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов;

- наличие цели и критерия исследования данного множества элементов;

- наличие более крупной, внешней по отношению к данной, системы, называемой «средой»;

- возможность выделения в данной системе взаимосвязанных частей (подсистем) [183, С.8].

Характеристиками системы являются упорядоченная целостность, стабилизация, самоорганизация и иерархия.

Упорядоченная целостность есть результат динамического взаимодействия составных частей (элементов) системы. Это основополагающая характеристика самой системы, так как последняя представляет собой иное качество, нежели просто сумма ее отдельных элементов. Поведение системы не может быть предсказано на основе наблюдения за ее изолированными частями.

Самостабилизирующаяся система достигает динамического баланса между своими внутренними, фиксированными ограничениями и внешними силами окружающей среды, которые пытаются возмутить ее устойчивое состояние. Самостабилизирующаяся система должна приспосабливаться к потоку возмущений из внешней среды, которые в определенный момент могут стать необходимым фактором развития.

Самоорганизующаяся система может реорганизовать свои внутренние ограничения, а не просто адаптироваться к потоку возмущения из внешней среды. Самоорганизация выражается в новых устойчивых состояниях, которые менее поддаются возмущениям, чем предыдущие. Самоорганизующиеся системы эволюционируют в более сложные и более жизнеспособные. Управляемая самоорганизация реализуется через системный комплекс непрерывных нововведений разных видов. Постоянный, управляемый инновационный процесс есть следствие, реакция системы на возмущения.

Теория систем представляет концептуальную основу для построения новой методологии, которая позволяет рассматривать систему и ее проблемы в терминах взаимосвязанной иерархии. Эта методология также предлагает средства для установления, упорядочения приоритетов и измерения интенсивности взаимодействия компонентов, описывающих структуры системы иерархии [136, С.9].

Основная задача концепции системного подхода состоит в том, чтобы, опираясь на понимание системы как комплекса взаимосвязанных элементов (частей), найти совокупность законов и принципов, объясняющих поведение, функционирование и развитие систем различных классов.

Понятие системы, как «совокупности взаимодействующих частей», впервые было применено в биологии для описания процессов обмена между живым организмом и окружающей средой (теория открытых систем Л. фон Берталанфи). С рождением кибернетики системное исследование получило развитие в трудах Н. Винера, У. Эшби, О. Ланге. Системный подход позволяет исследовать целое и целостность, и в тоже время рассмотреть отдельные элементы системы в их взаимосвязи и взаимозависимости. Большинство специалистов в области общей теории систем рассматривают ее как своеобразную метатеорию, обобщающую выработанные различными областями науки (включая системный анализ и системный подход) знания о системах; как теорию, которая занимается исследованием системных теорий, выступая в качестве науки о системах любых типов [137, С.17; 152, С. 72-73; 49, С.13; 197, С. 12.].

Системный подход можно представить в совокупности принципов, которым необходимо следовать и которые отражают как содержание, так и особенность системного подхода. Их часто считают ядром методологии. Известно около двух десятков таких принципов, но наиболее распространенными и известными являются следующие.

1. Принцип целостности, который заключается в выделении объекта исследования целостным образованием, т.е. ограничении его от других явлений, от среды.

2. Принцип совместимости элементов целого. Целое только тогда может существовать в качестве целого, когда совместимы между собой составляющие его элементы.

3. Принцип функционально-структурного строения целого. Этот принцип заключается в том, что при исследовании систем управления необходимо анализировать и определять функциональное строение системы, т.е. видеть не только элементы и их связи, но и функциональное содержание каждого из этих элементов.

4. Принцип развития. Любая система, которая является объектом исследования, находится на определенном уровне и этапе развития. Все ее характеристики определяются особенностями уровня и этапа развития.

5. Принцип лабиализации функций. Оценивая развитие системы, нельзя исключать возможность изменения ее общих функций, приобретения новых функций целостности, при относительной стабильности внутренних, т.е. их состава и структуры.

6. Принцип полифункциональности. В системе управления могут быть функции полифункционального назначения. Это функции, соединенные по определенному признаку, для получения какого-либо специального эффекта.

7. принцип интерактивности. Любое исследование является процессом, предполагающим определенную последовательность операций, использования методов оценки результатов предварительных, промежуточных и конечных.

8. Принцип вероятностных оценок. В связи с тем, что многие связи и отношения имеют объективно вероятностный характер, исследование управления должно быть ориентировано на вероятностные оценки. Это означает широкое использование методов статистического анализа, методик расчета вероятности, нормативных оценок, гибкого моделирования и пр.

9. Принцип вариантности. Этот принцип вытекает из принципа вероятности. Сочетание вероятностей дает различные варианты отражения и понимания действительности. Каждый из таких вариантов может и должен быть в фокусе внимания исследования [28].

Следует отметить, что принципы системности будут эффективны только тогда, когда они сами учитываются и используются системно, во всей своей взаимосвязи и взаимозависимости, поскольку использование приведенных принципов без учета их связи, субординации и комплексности не дает системности исследования. Общий принцип системности гласит: максимальная эффективность функционирования частей системы не приводит к максимальной эффективности системы в целом [53].

Наука о системах особое внимание уделяет исследованию целого и целостного в противовес поэлементному, редукционистскому подходу. метод редукционизма появился и обосновался в естественных науках. Суть его состоит в том, что сложное явление нужно разделить на элементы. Изучив их свойства и взаимодействия, затем определить и черты всей системы в целом. То есть из свойств частей выводятся свойства целого. Естественные науки на этом пути пришли к выдающимся достижениям.

В дальнейшем было доказано, что в системе свойства целого не есть сумма свойств ее элементов, что ее свойства не выводятся логически. Система потому и система, что она есть нечто большее, чем сумма входящих в нее элементов. Из системы не всегда можно выделить какой-то элемент, часть, объект. Его можно изучить только во взаимодействии с другими элементами. Эти взаимодействия несут в себе информацию об элементах системы. Если нет взаимодействий, то нет и информации. В других случаях один и тот же объект участвует в разных системах, вступая с ними во взаимодействия. Поэтому он представляется по-разному.

Множество систем, существующих в мире, можно классифицировать в зависимости от ряда признаков: происхождению, объективности существования, взаимодействию с окружающей средой, действию во времени, обусловленности действия, степени сложности. Системы могут быть классифицированы также в зависимости от конкретных целей и решаемых задач, а также проводимых исследований, возникающих на практике в конкретных ситуациях.

Обычно системы классифицируют по следующим критериям: степени сложности, ее детерминированности, характеру взаимодействия со средой.

По степени сложности выделяют простые, сложные, сверхсложные системы. К простым относятся системы, имеющие простую структуру и легко поддающиеся математическому описанию. Сложными являются системы, имеющие много внутренних связей и сложное математическое описание. Сверхсложными принято называть системы, сущность взаимосвязей которых не вполне понятна. Такие системы не поддаются математическому описанию.

Экономические системы являются сложными, нелинейными системами. И подход к ним как к простым системам, о которых можно получить достаточно исчерпывающую информацию, неприменим. Лауреат Нобелевской премии И. Пригожин, занимающийся именно такими системами с точки зрения математики и математического моделирования, пишет о необходимости четко разграничивать системы разного типа в анализе: «Именно простые системы являются тем частным случаем, в котором становится достижимым идеал исчерпывающего описания. Знание закона эволюции простых систем позволяет располагать всей полнотой информации о них, т.е. по любому мгновенному состоянию системы однозначно предсказывать ее будущее и восстанавливать прошлое… Предельный переход от нашего знания к идеальному описанию, подразумевающему бесконечную точность, не составлял особого труда и не мог привести к каким-либо неожиданностям. Ныне же при рассмотрении неустойчивых динамических систем проблема предельного перехода приобретает решающее значение: только бесконечно точное описание, подразумевающее, что все знаки бесконечного десятичного разложения чисел, задающих мгновенное состояние системы, известны, могло бы позволить отказаться от рассмотрения поведения системы в терминах случайности и восстановить идеал детерминистического динамического закона» [123, С. 4].

Применительно к экономическим явлениям следует иметь в виду то, что требуется их описание вербальное, математическое и графическое. Невозможно экономические явления, относящиеся к системам высшей категории сложности, познать только при помощи одного языка. Математические методы являются инструментом количественного и символического нахождения алгоритмов функционирования экономических систем. Поэтому неправильно чрезмерно опираться на один из подходов. Кроме того, не существует убедительных математических моделей для целого ряда экономических явлений.

По второму критерию системы делятся на детерминированные и вероятностные. Если в процессе взаимодействий последовательность событий задана однозначно, то такие системы называют детерминированными. В вероятностных системах последовательность событий строго не детерминирована, носит вероятностный характер.

По характеру взаимодействия со средой разделяют два основных типа систем: закрытые и открытые. Закрытая система имеет фиксированные границы и может функционировать относительно независимо от окружающей среды. Открытая же система, наоборот, не может функционировать без взаимодействия с внешней средой. Она не является самообеспечивающейся, кроме того, такая система имеет способность приспосабливаться, ибо для продолжения функционирования необходимо адекватно реагировать на изменения окружающей среды.

Сравнивая системы, существующие в природе (естественные системы) и системы, созданные человеком, мы можем заметить, что их существенное отличие, в первую очередь, заключается в реакции на внешние изменения.

Для первого вида систем свойственны такие характеристики, как устойчивость относительно внешних воздействий, самообновляемость, возможность к самоусложнению, росту, развитию, согласованность всех составных частей.

Для второго вида систем характерно резкое ухудшение функционирования даже при сравнительно небольших изменениях внешних воздействий или ошибках в управлении. Для благополучного функционирования этих систем необходимо заимствование опыта построения организации, накопленного природой, и использование его в экономической деятельности с учетом множества различных, разнообразных по величине и направления действия факторов внешней и внутренней сред производственной системы. На современном уровне знания это предмет синергетики.

Одна из задач синергетики - выяснение законов возникновения, построения, упорядоченности организации. В отличие от кибернетики, в этом случае акцент делается не на процесс управления и обмена информацией, а на принципы возникновения, построения организации, ее развития и самоусложнения.

Одним из важнейших параметров любой системы следует считать ее назначение (функциональность). При таком подходе главное внимание при исследовании систем должно быть обращено на ту функцию, ради которой система создается.

Функциональным системам должны соответствовать функциональные структуры, которые характеризуются своими элементами. В целях диссертационного исследования наиболее важную роль играет «экономическая система».

Экономическая система является функциональной системой общества, в которой осуществляются производство, распределение, обмен и потребление многообразных благ и услуг. Она необычайно сложна по составу элементов и структуре и включает разнообразные технические, биологические, производственные системы, которые сами по себе также очень сложны. Отличительной особенностью экономической системы является участие в ней человека как пользователя и ресурса труда, носителя и преобразователя информации. В то же время человек стоит над экономической системой, определяя цель ее функционирования, задает цель каждой из подсистем экономической системы.

Экономическая система - это динамическая система, в рамках которой возможно появление новых структур и звеньев, могут изменяться внешние и внутренние условия и параметры, трансформироваться взаимосвязи и взаимоотношения структур и элементов системы.

Объяснение постоянных изменений экономической жизни только как переход от одного состояния равновесия к другому, как это делают большинство современных экономических теорий, включая теории экономического роста, с нашей точки зрения, представляется не совсем верным. Правильнее было бы говорить об эволюции экономических систем и их развитии как частном случае позитивного движения - устойчивости, а не о росте и стремлении к равновесию.

1.2 Содержание понятий динамичное и устойчивое развитие экономических объектов и систем

Одной из главных задач в процессе развития любой системы является обеспечение её устойчивого состояния.

«Устойчивость» - образовано от корня слова «устой», что значит «прочно укоренившаяся традиция, основополагающее начало, основа чего-либо» [145, С, 129.].

Многие из используемых терминов стали результатом искаженного перевода с английского языка. В частности, stability, в переводе с английского «стабильность, устойчивость» - синонимы, в технических, математических науках (математической статистике, кибернетике, динамике, механике и др.), а в экономических дисциплинах наибольшее распространение получил термин «устойчивость». В связи с тем, что в последние десятилетия происходит все большая интеграция всех наук, в трудах российских экономистов вместо терминов «стабильность», «стабильный рост», «стабильное развитие» стали использоваться термины «устойчивость», «устойчивый рост», «устойчивое развитие».

В математической энциклопедии утверждается, что «устойчивость» - термин, не имеющий четко определенного содержания. Однако она определяет понятие устойчивости применительно к движению и к геометрическим или иным объектам, зависящим от параметров.

1. Устойчивость применительно к движению - характер поведения системы на бесконечном промежутке времени. Этот характер движения выражается следующим образом:

а)как свойство движущейся системы в том или ином смысле мало отклоняться от некоторого движения при малых возмущениях начального положения системы (устойчивость по Ляпунову);

б)как свойство системы сохранять некоторые черты фазового портрета при малых, возмущениях закона движения (грубая система) - структурная устойчивость, понятие введено А.А. Андроновым и Н.С. Понтрягиным;

в)как свойство системы в процессе движения оставаться в ограниченной области фазового пространства (устойчивость по Лагранжу);

г)как свойство системы в процессе движения сколь угодно поздно возвращаться как угодно близко к своему начальному положению (устойчивость по Пуассону).

2. Устойчивость применительно к геометрическим или иным объектам, зависящим от параметров, - непрерывная зависимость этих объектов от параметров [99, С.560-562.].

Однако, все эти значения термина «устойчивость» не исчерпывают его содержания.

Наиболее употребительно понятие устойчивости в физике, в которой основным рассматриваются устойчивость движения, устойчивость равновесия и устойчивость упругих систем.

«…Если при достаточно малых начальных возмущениях какая-нибудь из характеристик во все последующее время мало отличается от того значения, которое она должна иметь в невозмущенном движении, то движение системы по отношению к этой характеристике называется устойчивым». Теория устойчивости движения имеет важное практическое значение для многих областей техники, т.к. устойчивым движением должны обладать различного рода двигатели автомобили, самолёты, ракеты и др.» [35, С.129-132].

«Равновесие механической системы устойчиво, если при малом возмущении (смещении, толчке) точки системы во все последующее время мало отклоняются от их равновесных положений…» [там же].

«Устойчивость упругих систем, свойство упругих систем возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений их из этого состояния».

«Устойчивость системы автоматического управления (САУ), способность САУ нормально функционировать и противостоять различным неизбежным возмущениям (воздействиям)» [там же].

Также выделяют устойчивость решения дифференциальных уравнений, устойчивость основания, устойчивость сооружения, термодинамическую устойчивость, устойчивость транспортных машин, устойчивость электрической системы, устойчивость в теории игр, экономическую устойчивость и др.

О динамической системе говорят в том случае, если можно указать такой набор величин, называемых динамическими переменными и характеризующих состояние системы, что их значения в любой момент времени получаются из исходного набора по определенному правилу [172].

Классификацию динамических систем принято осуществишь в зависимости от вида дифференциальных уравнений, описывающих динамическую систему, и от характера возможных движений в динамической системе.

1. По виду дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы, - линейные и нелинейные динамические системы.

2. По наличию или отсутствию в дифференциальных уравнениях, описывающих динамические системы в явном виде времени t -- автономные и неавтономные системы.

Автономная динамическая система n-го порядка определяется уравнением состояния вида:

x = f(x), x(t0) = x0

где x = dx/dt, x(t)<=R0

- вектор состояния системы в момент времени t. Решение системы уравнений (1) с начальным условием х0 в момент времени t = 0 называется траекторией. Движение точки по траектории в n-мерном фазовом пространстве переменных называется фазовой траекторией.

Уравнения вида (1) описывают собственные колебания динамической системы.

Неавтономная динамическая система n-го порядка определяется уравнением состояния с зависящей от времени правой частью вида:

x = f(x,t), x(t0) = x0(2)

Уравнения вида (2) отображают вынужденные движения, зависящие от изменяющихся во времени внешних воздействий.

3. По характеру возможных движений в системе - консервативные и не консервативные динамические системы.

В консервативных системах сохраняется вложенный в них запас энергии, фазовый объем системы остается постоянным. К консервативным системам относятся, в частности, рассматриваемые в классической механике гамильтоновы системы, в которых потери энергии на трение за характерные для системы интервалы времени малы и ими можно пренебречь [172].

Неконсервативные динамические системы делятся, в свою очередь, на активные и диссипативные.

Активные системы характеризуются возможностью увеличения средней за период энергии за счет внешних источников энергии. Изменение фазового объема в таких системах определяется количеством поступающей извне энергии.

В диссипативных системах происходит рассеяние первоначальной энергии системы, что приводит к постоянному уменьшению фазового объема системы с течением времени. В конечном итоге образуются одни или несколько видов аттракторов - подмножеств фазового пространства, обладающих обычно нулевым фазовым объемом [172]. С точки зрения динамики это означает, что режим, возникающий в системе, с течением времени становиться независящим от начального состояния (при вариации начальных условии в некоторых конечных пределах).

В качестве простых примеров аттракторов можно привести состояние равновесия и состояние устойчивого предельного цикла.

Положение равновесия x0 автономной системы представляет собой постоянное решение уравнения (1) фi(x0)=x0 всех t. Такому положению равновесия соответствует точка, в которой исчезает векторное поле, и, за исключением нескольких аномальных случаев [172], выполнение равенства f(x) = 0 означает, что точка х представляет собой положение равновесия.

Функция фе(х*,t0) называется периодическим решением, если для всех t и некоторого минимального периода Т > 0 выполняется равенство:

фе(х*,t0)= фе+T (х*,t0) (3)

Изолированное периодическое решение для автономной системы называется предельным циклом. Предельный цикл представляет собой самоподдерживающееся колебание и не может возникать в линейных системах.

Квазипериодическим называется такое решение, которое может быть представлено в виде суммы периодических функций. Квазипериодическое колебание представляет собой сумму периодических колебаний, частота каждого из которых образуется путем сложения и вычитания базисных частот, выбираемых из некоторого конечною множества [172].

Наряду с вышеперечисленными видами движения в нелинейных динамических системах существует особый вид колебаний - динамический хаос. Хаотические режимы характеризуются нерегулярным, похожим на случайный процесс, изменением динамических переменных во времени. Обязательным свойством хаотических систем является высокая чувствительность к вариациям начальных условий. Это означает, что если заданы две различные начальные точки, располагаемые относительно друг друга на сколь угодно близком расстоянии, то траектории, исходящие из этих точек, будут расходиться (с некоторой скоростью, определяемой характеристиками системы) до тех пор, пока они не перестанут быть коррелированными (в соответствии с каким-либо практическим критерием корреляции).

В диссипативных системах хаос ассоциируется с наличием в фазовом пространстве странных аттракторов - сложно устроенных фрактальных множеств, притягивающих к себе все траектории из некоторой прилегающей области [172].

В трехмерном фазовом пространстве «странное» поведение траекторий можно представить, например, следующим образом; они разбегаются по спиралям на плоскости, а возвращаются на нее после выхода в пространство. Так как поведение таких систем в сильной степени зависит от начальных условий, то, несмотря на детерминированность описания, нет возможности предсказать эволюцию системы. Причина этого - в наличии скоплений бесконечно большого количества траекторий в очень малых областях фазового пространства. Поэтому сколь угодно малой флуктуации достаточно для того, чтобы система совершила перескок с одной траектории на другую, которая с течением времени отойдет от первоначальной траектории на значительное расстояние. Таким образом, сколь угодно малые («микроскопические») флуктуационные воздействия на систему будут порождать «макроскопическую» стохастичность процесса [172].

Рассмотрим несколько нелинейных динамических систем с хаотическим поведением, описывающих различные процессы в радиоэлектронике.

Динамическая система Лоренца [172] является одной из наиболее изученных нелинейных динамических систем с хаотическим поведением. Впервые она была получена австрийским ученым Лоренцом как результат упрощения гидродинамических уравнений конвекции Рэлея-Бинара.

В радиоэлектронике сходными уравнениями описываются, в частности, процессы происходящие в активной среде квантового генератора [172].

Процесс генерации в квантовом генераторе описывается уравнениями Максвелла, которые в одномодовом приближении (когда возбуждается один тип собственных колебаний резонатора квантового генератора) сводятся к уравнению осциллятора с затуханием, возбуждаемого поляризацией активной среды [172].

В настоящее время не существует строгих аналитических методов решения нелинейных систем с динамическим хаосом. Изучение свойств и особенностей хаотических колебаний в динамических системах потребовало привлечения для их анализа ряда самостоятельных дисциплин и методов, таких, как теория нелинейных колебаний, теория динамических систем, теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и бифуркаций (бифуркация - качественное изменение движения), статистическая теория.

Буквально «бифуркация» означает «раздвоение». В этом смысле оно употребляется, например, в анатомии («бифуркация бронха») и означает раздвоение трубчатого органа на 2 ветви одинакового калибра, отходящие в стороны под одинаковыми углами [35, С.129-132].

Бифуркация рек - разделение реки и её долины на 2 ветви, которые в дальнейшем не сливаются, впадают в различные бассейны.

В математике этот термин употребляется в более широком смысле - для обозначения качественных изменений рассматриваемых объектов при изменении параметров, от которых эти объекты зависят. Более точных общих формулировок здесь дать нельзя, потому что рассматриваемые объекты и интересующие исследователей свойства этих объектов могут быть самыми различными. Точные формулировки относятся к тем или иным конкретным задачам.

По мнению политолога Т. Полянникова в теории нелинейной динамики термин «бифуркация» несет большую содержательную нагрузку: он означает момент в эволюции системы, когда ее устойчивое, предсказуемое развитие заканчивается и она вступает в период поиска нового направления развития. Другими словами, бифуркация - это период неопределенности, когда жить по-старому уже нельзя, а как жить по-новому еще непонятно. При этом перед системой, так или иначе, возникают несколько альтернативных сценариев развития, или образов будущего [119].

Понятие «точка бифуркации» описывает локальное поведение траектории динамической системы. При определённых условиях зависимость решения уравнения от параметра может стать неоднозначной; в этом случае данное значение параметра есть точка бифуркации (или ветвления) этого решения. Поскольку график имеет форму вилки (англ. - fork), само явление называется «бифуркацией». Ветвление решений уравнения (т. е. траекторий в фазовом пространстве) интерпретируют как неединственность (альтернативность, многовариантность) путей эволюции динамической системы. Множество, состоящее из точек бифуркации, называется катастрофическим [71]. Классификация неустойчивостей устанавливается в теории катастроф французского математика Р. Тома и В.И. Арнольда [19]. В социально-гуманитарных исследованиях понятие «катастрофа» используют в метафорическом, нематематизированном смысле.

Уже давно известны многочисленные примеры резкого изменения поведения различных систем, когда одно стационарное состояние сменяется другим или исчезает стационарный режим. Общий математический подход к исследованию резких качественных изменений изначально отсутствовал, однако импульсы, идущие от механики и физики побудили к рассмотрению конкретных задач такого рода и нахождению путей их анализа. Решение каждой задачи составляло самостоятельную проблему. За два века был накоплен огромный опыт исследования резкого изменения в различных физических системах, тесно связанный с формированием понятий устойчивости и неустойчивости равновесия. Современное понятие структурной устойчивости функции тесно связано с одним из аспектов задач на экстремум, который долгое время оставался в не поля зрения математиков и физиков. При рассмотрении функций вида 1) y=x2, 2) y=x3, 3) y=x4 видно, что все они имеют нулевую первую производную в начале координат x=0 - критическая точка. Первая и третья функции имеют в критической точке минимальное значение, а вторая точку перегиба, и в традиционных рамках задач на экстремум это различие представляется наиболее важным. Если слегка «пошевелить» рассматриваемые функции, введя слабые возмущения: 1) y=x2-еx, 2) y=x3-еx, 3) y=x4-еx2, где е может быть сколь угодно малым по величине (рисунки 1, 2, 3).

В результате такого возмущения в случае (1) никаких принципиальных изменений не происходит: сохраняется единственная критическая точка, которая лишь смешается на малую величину x0=е/2, причём значение функции в этой точке (единственный минимум) изменяется на величину y0=-е2/4 (рисунок 1).

Рисунок 1 Смещение кривой в первом случае

Во втором и третьем случае ситуация совсем иная. Вторая функция для которой начало координат было точкой перегиба, приобретает две экстремальные точки x1,2=±vе/3, одна из которых соответствует минимуму, а другая - максимуму (рисунок 2).

При этом начало координат становится точкой максимума, а в двух новых критических точках, сколь угодно близких к точке x=0, функция принимает критические значения. Построение математической модели любого процесса связано с пренебрежением малыми членами. В первом случае это вполне оправдано: учёт малого отклонения функции от квадратной параболы приводит не к качественным, а к малым количественным изменениям. Во втором и третьем случаях поведение при учёте малых поправочных членов качественно иное. Таким образом, функции y=x3 и y=x4, несмотря на то, что вторая из них имеет экстремум, а первая нет, объединяет общее свойство, которое, не прибегая к строгим определениям, называют структурной неустойчивостью. Этот термин отражает то, что при малом изменении структуры функции её поведение в окрестности критической точки резко изменяется. Наоборот функция y=x2 структурно устойчива.

Рисунок 2 Смещение кривой во втором случае

Функция y=x4, имевшая единственный минимум в начале координат, в результате малого «шевеления» имеет уже три критические точки (рисунок 3).

Рисунок 3 Смещение кривой в третьем случае

Свойство структурной устойчивости (неустойчивости) функции не было включено в арсенал математических понятий вплоть до 30-х годов XX века, когда оно впервые было сформулировано А.А. Андроновым [15]. Через несколько десятилетий понятие о структурной устойчивости стало одним из ключевых для теории катастроф.

Можно предположить, что структурно неустойчивые в критических точках функции непригодны для описания реальности. Но, как правило, функции, возникающие в физических приложениях, содержат некоторые параметры, значения которых могут изменяться в определённом диапазоне (подобно параметру е). В таких случаях говорят о семействе функций зависящих от параметра.

Может случиться, что при изменении последнего с неизбежностью достигается значение (в нашем примере е = 0), соответствующее структурно неустойчивой критической точке, которая тем самым приобретает вполне реальный смысл. Более того, именно эта точка, будучи одной из реализаций семейства критических точек, является наиболее важной, поскольку с ней связаны качественные изменения в поведении системы (подобные описанным выше).

Анализ семейств функций в связи с задачами на минимум и максимум также не стал предметом общематематических построений ни в XVIII, ни в первой половине XIX века. Только великий французский математик А. Пуанкаре увидел в таком анализе общематематическую проблему. В связи с его формулировкой этой проблемы возникло понятие «бифуркация», также ставшее позднее одним из ключевых в теории катастроф. Напомним, что термин «бифуркация» буквально означает «раздвоение», но обычно применяется в более широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят [19]. В примере с семейством y=x4-еx2 значение параметра е = 0 соответствует также точке бифуркации, поскольку при переходе е от отрицательных значений к положительным единственное устойчивое стационарное состояние х=0, становясь неустойчивым, дополняется парой устойчивых состояний x=±?е/2. В примере же с семейством функций y=x3-еx, при отрицательных е стационарные состояния вообще отсутствуют, а в точке е=0 происходит рождение пары таких состояний, одно из которых устойчиво, а второе неустойчиво. В обоих случаях значения е=0 соответствуют точкам бифуркации, хотя и различных типов.

Общая задача исследования точек бифуркации как математическая проблема состоит в их классификации и анализе поведения семейств функций вблизи структурно неустойчивых критических точек. Понятие бифуркации позволяет глубже проникнуть в сущность структурной неустойчивости, выявляя ее следствия.