Основы финансовых расчетов

Таким образом, нередко именно величина номинальной, а не реальной ставки процента является серьезным ограничителем возможностей использования заемных средств. Повышение номинальной ставки процента при неизменности реальной (что может иметь место при увеличении темпов роста среднего уровня цен на товары и услуги) выгодно лишь финансовым посредникам, особенно в тех случаях, когда на цели кредитования используются “бесплатные” для финансового посредника ресурсы, например, остатки на текущих счетах юридических или физических лиц, по которым банк не начисляет процентов либо они являются символическими.

Пусть устойчивый остаток средств на текущих счетах клиентов банка составляет 10 млрд. руб., и эта сумма может использоваться для кредитования. Для простоты предположим, что речь идет о кредитах на 1 год, погашаемых единовременным платежом. Пусть реальная ставка составляет 5% годовых, в неинфляционной экономике такой же будет и номинальная ставка. Тогда по итогам года заемщики вернут банку 10,5 млрд. руб., т.е. доход банка от кредитных операций составит 0,5 млрд. руб. Это номинальный доход, таким же будет и реальный (при неизменном уровне цен эти показатели совпадают).

Если же прирост среднего уровня цен за год составляет 10%, то для сохранения реальной ставки на уровне 5% номинальную необходимо установить равной (1,1Ч1,05 -1)Ч100% = 15,5%: взял 1000 рублей, через год вернул 1155 рублей - при росте цен на 10% на эти деньги можно купить ровно на 5% больше, чем год назад на 1000 руб. Каким теперь будет номинальный доход банка-кредитора? 10 млрд. руб. Ч0,155 - 1,55 млрд. руб. Для определения реального дохода необходимо разделить эту величину на 1,1, получим примерно 1,41 млрд. руб., т.е. вырос не только номинальный доход финансового посредника, но и реальный, причем почти в 3 раза. А если цены ежегодно удваиваются? Тогда соответствующая реальной ставке 5% номинальная составит 110%. Номинальный доход банка составит 11 млрд. руб., а реальный - 5,5 млрд. руб., т.е. будет в 11 раз больше, чем в неинфляционной экономике. Таким образом, повышение номинальных ставок процента за кредит даже при неизменности реальных ведет к перераспределению доходов в пользу финансовых посредников.

С позиций такого вывода можно считать современные условия, и тем более, условия 1990-х гг. в определенном смысле “тепличными” для российских банков. Высокие номинальные ставки обеспечивают относительно высокие не только номинальные, но и реальные доходы. В первой половине 90-х гг. чрезвычайно высокие реальные доходы российских банков позволяли выплачивать высокую заработную плату, превышающую заработную плату квалифицированных специалистов в других отраслях, не только менеджерам, но и рядовым сотрудникам. Высокий уровень реальных доходов позволял также легко переживать факты невозврата кредитов - представим, что в последнем случае, при инфляции в 100%, каждый пятый заемщик не вернул кредит и вместо ожидаемых 21 млрд. банк получил лишь 16,8 млрд. И в этом случае реальный доход банка останется большим, чем в условиях неинфляционной экономики при отсутствии фактов невозврата кредитов.

Снижение темпов роста уровня цен ведет к снижению номинальных ставок процента, а вместе с ними к снижению не только номинальных, но и реальных доходов банков, что сказывается и на их устойчивости, и на уровне оплаты своих служащих. Именно снижение номинальных ставок процента стало причиной первой волны банкротств российских коммерческих банков в середине 1990-х гг.

Следует отметить, что столь сильная зависимость реальных доходов банков от темпов инфляции и величины номинальной ставки процента за кредит имеет место, если источником кредитных ресурсов являются “бесплатные” или “почти бесплатные” для них деньги - остатки на вкладах до востребования и текущих счетах юридических лиц. Если же привлечение ресурсов идет на платной основе, т.е. путем мобилизации средств на срочных вкладах, то здесь такой сильной зависимости не будет. Предположим, что в качестве источника кредитования используются средства физических и юридических лиц, размещенные на срочных вкладах, для которых реальная ставка составляет 2%, в кредит эти средства выдаются исходя из реальной ставки 5%. Тогда, при общей величине кредитных ресурсов в 10 млрд. руб. в неинфляционной экономике номинальный и реальный доход банка составит 10000000000Ч0,05 - 10000000000Ч0,02 = 300000000 (руб.). При инфляции в 100% и неизменности реальных ставок по кредитам и депозитам номинальные ставки по ним составят соответственно 110 и 104%, номинальный доход банка составит 600000000 руб., а реальный - 600000000/2 = 300000000, т.е. не изменится. В реальности, конечно, и здесь будет иметь место рост реальных доходов банка, так как в инфляционной экономике склонность к открытию срочных вкладов намного больше, чем в неинфляционной, нет необходимости держать реальную ставку по депозитам положительной - хранение денег в банках даже в условиях отрицательной реальной ставки процента экономически целесообразно из-за отсутствия иной альтернативы.

У банков есть еще один источник кредитования - собственный капитал. Здесь, напротив, последствия высокой инфляции сказываются на реальных доходах негативно. Пусть 10 млрд. руб. - это собственные средства банка. В неинфляционной экономике при значении реальной ставки 5% номинальный и реальный доход составит 500 млн. руб. При инфляции в 100% и величине номинальной ставки в 110% номинальный доход банка достигнет 11 млрд. руб. Было 10 млрд. - стало 21 млрд., но цены выросли вдвое, т.е. в реальном выражении собственный капитал банка увеличился лишь на 5%. Если же учесть налогообложение банковской прибыли (формально 11 млрд. - это прибыль), то после уплаты налогов останется меньше 20 млрд. руб. - т.е. кредитуя за счет собственных средств в условиях высокой инфляции, банк будет просто “проедать” собственный капитал. Но собственный капитал в общих источниках кредитования не имеет большого удельного веса, тем более что значительная его часть имеет не денежную, а материально-вещественную форму, и поэтому негативные последствия инфляции в отношении возможности получения доходов от использования собственного капитала как источника кредитования не устраняют в целом сильную положительную зависимость реальных доходов от величины темпов роста цен и номинальной ставки процента.

Прямая зависимость реальных доходов финансовых институтов от темпов инфляции и величины номинальной ставки процента характерна не только для банков. В аналогичных “тепличных” условиях в периоды высокой инфляции находятся и страховые компании - страховые взносы определяются исходя их текущей рыночной стоимости имущества, а выплаты, при наступлении страховых случаев - исходя из прежней, более низкой стоимости.

Раздел 4. ЦЕННЫЕ БУМАГИ И ОЦЕНКА ИХ РЫНОЧНОЙ СТОИМОСТИ

Тема 11. Понятие и основные виды ценных бумаг

Ценные бумаги документы, удостоверяющие право владения или отношения займа между лицом, выпустившим эти документы и их владельцами. В ГК РФ ценные бумаги определяются как “документы, удостоверяющие с соблюдением установленной формы и обязательных реквизитов имущественные и обязательственные права, осуществление или передача которых возможны только при их предъявлении”.

К ценным бумагам относятся акции, облигации, казначейские обязательства, сберегательные и депозитные сертификаты, сберкнижки на предъявителя, векселя, чеки, коносаменты, долговые расписки, завещания, страховые полисы, опционы, фьючерсные контракты и т.д. Иногда в словарях к ценным бумагам относят и лотерейные билеты.

Облигации - наиболее известный гражданам России вид ценных бумаг. Они существовали и в советский период нашей истории, когда не было ни акций, ни векселей, ни многих других видов ценных бумаг.

Слово “облигация” происходит от латинского obligatio - обязательство. Это долговая ценная бумага, предоставляющая ее владельцу право получать по истечении определенного срока ее номинальную стоимость или какой-либо ее эквивалент. Как правило, облигация приносит доход. Облигации могут быть именными и на предъявителя, существовать как в документарной, так и в бездокументарной формах. Облигации, как вклады и кредиты, классифицируют по временному признаку - краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные.

Доход, приносимый облигацией, может выражаться либо в виде процентов, устанавливаемых к номинальной стоимости облигации и выплачиваемых владельцу через определенные промежутки времени (к таким облигациям обычно прикрепляются специальные отрывные талоны/купоны, которые отрезают при выплате процентов (отсюда выражение “стричь купоны”) либо в виде разницы между ценами покупки и погашения. Облигации также могут приносить доход в виде выигрыша (выигрышные облигации).

В рамках финансовой математики нас интересует прежде всего следующая классификация облигаций:

* дисконтные (чисто дисконтные) - обязательство заемщика (эмитента облигаций) выплатить владельцу облигации в указанный срок ее номинальную стоимость; весь доход образуется за счет разницы между ценой покупки т ценой продажи, такие облигации приобретаются по цене ниже номинала и их рыночная цена имеет тенденцию к росту вплоть до номинала по мере приближения даты погашения;

* купонные - предусматривающие помимо обязательства выплатить номинал облигации в момент ее погашения, промежуточные выплаты (купонные проценты). Такие облигации могут продаваться и покупаться с дисконтом (скидкой с номинала), если купонные проценты малы, либо, напротив, по цене выше номинала, если купонные проценты высоки;

* выигрышные - позволяющие владельцу получить не только номинал облигации, но и при удаче в тираже - выигрыш (денежный или в иной форме). Такие облигации выпускались государством в прошлом для реализации среди населения.

Как правило, облигации, выпущенные на определенный срок, могут постоянно продаваться и покупаться на так называемом вторичном рынке, даже если эмитент не берет на себя обязательство погашать свои облигации (пусть не по номиналу) до установленного срока. Но настоящий общероссийский рынок может существовать лишь для государственных облигаций и облигаций самых известных крупных корпораций, реже - для облигаций, эмитированных субъектами федерации (например, облигации правительства Москвы).

Подобно тому, как деньги могут быть наличными (в виде купюр и монет) и безналичными, так и облигации могут быть документарными и бездокументарными. Первые можно взять в руки, положить в карман и т.д., вторые - это просто записи на счетах. Бездокументарные облигации выпускаются в расчете на размещение среди юридических лиц, у них обычно достаточно крупный номинал. Облигации, рассчитанные на размещение среди населения, имеют обычно документарную форму и небольшой номинал.

Текущие цены облигаций могут определяться либо на аукционной основе (при торгах на биржах) либо определяться на не биржевом рынке исходя из соотношения спроса и предложения с учетом существующей ставки процента на денежном рынке либо просто устанавливаться по определенным правилам в одностороннем порядке продавцом (эмитентом) или посредником (например, Сбербанк, продававший и покупавший облигации для населения, сам устанавливал цены покупки и продажи).

Экзотический случай облигаций - вечные облигации (консоли), которые не имеют конкретного срока погашения. Это просто ценные бумаги, позволяющие ежепериодно получать определенный доход. В нашей российской практике таких облигаций нет.

Самые распространенные облигации - это облигации, не дающие владельцу никаких прав, кроме права получать процентный доход или курсовую разницу - разницу между ценой покупки и номиналом. В случае невыполнения эмитентом своих обязательств владельцы могут требовать их выполнения в судебном порядке. Следует отметить, что если речь идет о корпоративных облигациях, то в случае банкротства фирмы владельцы облигаций имеют приоритет перед владельцами других ценных бумаг - акций, сначала будут удовлетворены требования владельцев облигаций, а если после этого что-то останется, оно достанется акционерам.

Облигацию можно считать самой простейшей формой кредитного договора, предусматривающего погашение долга единовременным платежом. При наличии купонов можно считать, что имеет место иная форма обслуживания долга - регулярная уплата процентов и погашение основного долга единовременным платежом.

Векселя - это долговые расписки, но выполненные в соответствии с установленным законодательством требованием, т.е. на бланке, содержащем все необходимые атрибуты - наименование “вексель”, указание срока платежа, указание места, в котором должен быть совершен платеж, наименование того, кому платеж должен быть совершен, указание даты и места составления векселя, подпись того, кто выдает вексель (векселедателя). По своей экономической сути вексель - это аналог облигации, обязательство векселедателя (заемщика) выплатить в установленный срок векселедержателю (кредитору) установленную сумму денег (номинал векселя). Существенны лишь юридические различия между этими двумя видами ценных бумаг, обусловленные, в частности, различными требованиями законов о порядке выпуска и обращения, предъявления претензий.

Для выдачи векселя не нужно никаких разрешений и регистраций в комиссиях по ценным бумагам, достаточно лишь согласия принимающего вексель. Вексель это, как правило, краткосрочное обязательство. Вексель может быть выписан на любую сумму (облигации имеют обычно “круглые” номиналы). Векселя, в отличие от облигаций, не “печатаются” (эмитируются) крупными пакетами, а выдаются по мере потребности в ходе коммерческих операций. Типичная для векселей операция это учет их банками, обязательство векселедателя становится его обязательством перед банком. В случае неплатежеспособности векселедателя векселедержателю в соответствии с существующим вексельным правом необходимо своевременно оформить протест векселя у нотариуса и обратиться в суд, который рассматривает такие заявления в ускоренном порядке. Порядок предъявления иска к неплательщику по облигациям иной и определяется Гражданским кодексом РФ.

По формальным признакам облигация более надежная ценная бумага, чем вексель. Их эмиссия более контролируема, не может превышать установленного законами объема. Облигации выпускают обычно лишь крупные корпорации. А облигации органов власти во всех учебниках называются самыми надежными. Еще одна особенность таких облигаций это их высокая ликвидность, они известны во всей стране (или на всей территории субъекта федерации). Поэтому их доходность должна быть ниже, а цена (курс) выше, чем у векселей с тем же номиналом и сроком оплаты (погашения). Вероятность появления фальшивых облигаций меньше, чем фальшивых векселей.

Акции - это ценные бумаги, обладатели которых имеют следующие права: а) право на получение дивидендов; б) право на участие в управлении корпорацией путем голосования на собраниях; в) право на получение части имущества после ликвидации корпорации. Иногда владельца акций называют собственником (сособственником) предприятия, что юридически не соответствует действительности. Акционер не может при желании продать “приходящуюся на него часть предприятия” или взять ее себе, он может лишь продать акции, но никто не обязан их у него покупать.

Денежные обязательства по акциям (как в части получения дивидендов, так части и стоимости имущества при ликвидации АО) вторичны по сравнению с обязательствами по облигациям - их выполнение происходит лишь после того, как выполнены обязательства перед владельцами облигаций. В этом смысле акция - “менее ценная” бумага. Но у акций есть другое преимущество - при увеличении инфляции, приводящей к росту стоимости основных и оборотных фондов, цен на продукцию и номинальной массы прибыли увеличиваются и дивиденды - например, первоначально выплачиваемые в размере 20% от номинала, они могут достичь величины 50, 100, 200 и более процентов от номинала акцию. Не случайно иногда покупка акций представляется в качестве наилучшего варианта защиты своих сбережений приобретение акций. Но одновременно это и один из самых рискованных способов пытаться сохранить или увеличить сумму своих сбережений - колебания курсов акций могут быть намного более значительными, чем колебания курсов валют, а в периоды экономических кризисов курсы акций падают очень сильно, в то время как в таких странах как Россия, курсы иностранных валют увеличиваются, равно как и увеличиваются ставки процента по вкладам в национальной валюте. Это наглядно иллюстрирует динамика индекса ММВБ, отражающая средневзвешенную стоимость наиболее ликвидных акций крупных российских компаний. В сентябре 1997 г., когда начал рассчитываться этот индекс, его значение было принято равным 100. В октябре 1998 г. он опустился до 18,53, т.е. цены российских акций в среднем за год с небольшим упали более, чем в 5 раз. Максимума значение индекса ММВБ достигло в декабре 2007 г. - 1970 (т.е. вложивший свои средства в акции осенью 1998 г. мог увеличить за 9 лет свой капитал более чем в 100 раз). В 2008 г. минимальный уровень индекса ММВБ составил 556, к середине сентября 2013 г. он увеличился до 1441.

Наиболее распространенные виды акций - обыкновенные и привилегированные. Обыкновенные акции представляют все основные права, упомянутые выше в определении акции. Привилегированные акции, как правило, не дают права участвовать путем голосования в управлении фирмой. Привилегии заключаются, в наших российских условиях, в первоочередном получении дивидендов в размере не ниже, чем по обыкновенным акциям и, в случае ликвидации фирмы, в преимущественном получении остатков (стоимости остатков) имущества. В других странах привилегированными акциями могут быть такие, по которым гарантирован определенный доход (в процентах от номинальной стоимости), и в этом плане они по своей сути близки к облигациям.

Как правило, акции, как и облигации, имеют номинальную стоимость, но эта номинальная стоимость - лишь расчетная величина, пропорционально которой выплачиваются доходы (дивиденды) - никто и никогда не обязан уплатить владельцу акции ее номинальную стоимость. Возможны и безноминальные акции.

Акции, как и облигации, могут быть именными и на предъявителя. Последние пока российским законодательством запрещены. Именные акции могут не иметь вещной формы, владелец их имеет в таком случае сертификат акций, имя его и количество его акций занесены в реестр акционерного общества. Именные акции также можно передавать (продавать) другим лицам, но при этом необходима либо передаточная надпись на сертификате и занесение нового обладателя акций в реестр общества. Определенные ограничения на продажу (передачу) предусмотрены лишь для акционеров так называемых закрытых акционерных обществ - акции ЗАО сначала должны быть предложены другим его членам.

Другие виды ценных бумаг.

Сберегательный сертификат - документ, удостоверяющий сумму вклада, внесенного в банк, и права вкладчика на получение по истечении определенного срока суммы вклада и обусловленных в сертификате процентов в банке, выдавшем сертификат, или в любом филиале этого банка. Наращенная сумма и дата окончания срока сертификата непосредственно указываются на его лицевой стороне. Сертификаты могут быть предъявительскими и именными. Именные сертификаты не подлежат передаче третьим лицам. При требовании денег раньше срока выплачивается пониженный процент (принятый для вкладов до востребования).

Для юридических лиц аналогичный документ получил название депозитный сертификат. Депозитные сертификаты могут быть выкуплены до наступления срока платежа только путем продажи на вторичном рынке, т.е. уступки сертификата третьему лицу. По сравнению с обычным срочным вкладом (юридического лица) это позволяет вкладчику возможность затребовать свои средства досрочно без уплаты пеней.

Чек - ценная бумага, содержащая ничем не обусловленное распоряжение чекодателя банку произвести платеж указанной в нем суммы чекодержателю. Банк имеет право не оплатить чек только, если он неправильно или небрежно оформлен или выписан на счет, на котором указанная на чеке сумма отсутствует. Факт неоплаты чека удостоверяется в порядке, аналогичном протесту векселя. При принятии чека банком и совершении платежа (или выдачи наличных денег) чек аннулируется. Просроченные чеки банки не обязаны оплачивать.

Сберегательные книжки на предъявителя во многих словарях и книгах также относят к ценным бумагам.

Закладная - документ о залоге должником недвижимого имущества, дающий кредитору право продажи этого имущества с торгов при неуплате долга в срок. Это именная ценная бумага. Помимо права на получение денег (части денег) после продажи имущества, владелец закладной имеет право залога на указанное имущество.. Механизм оформления и обращения закладных существенно сложнее, чем, например, векселей и многих других ценных бумаг. Закладная выдается первоначальному залогодержателю органами государственной регистрации.

Коносамент (транспортная накладная) - документ, выдаваемый агентом транспортного предприятия грузоотправителю, удостоверяющий принятие груза к перевозке и содержащая обязательство перевозчика выдать груз в пункте назначения держателю этого документа. Передача коносамента равносильна передаче груза.

Складское свидетельство (простое) - документ, удостоверяющий договоренность между сторонами о факте передачи товара на хранение. Складское свидетельство подтверждает право собственности, и передача его другому лицу рассматривается как переход права собственности на товар. Складские свидетельства считаются хорошим обеспечением обязательств заемщика. Складские свидетельства выдаются товарным складом на предъявителя. Их можно продавать, покупать, обменивать, сдавать в залог.

Двойное складское свидетельство - документ, выдаваемый товарным складом в подтверждение принятия товара. Состоит из двух частей - складского свидетельства и залогового свидетельства (варранта), которые обе являются ценными бумагами и могут быть отделены друг от друга. Имеющий обе части документа распоряжается хранящимся товаром в полном объеме. Держатель только собственно складского свидетельства вправе распоряжаться товаром, но не может взять его со склада до погашения кредита, выданного по варранту. Держатель только варранта имеет право залога на товар в размере выданного кредита и процентов по нему. Товарный склад выдает товар только в обмен на обе части документа вместе.

Перечисленные выше ценные бумаги, равно как и акции, облигации и векселя - это так называемые первичные ценные бумаги. Они основаны на активах, в число которых не входят сами ценные бумаги. Наряду с ними существуют вторичные и производные ценные бумаги - это соответственно ценные бумаги на сами ценные бумаги и контракты на совершение сделок с ценными бумагами.

Среди последних можно назвать варранты на ценные бумаги, депозитарные расписки, опционы, фьючерсы.

Варрант на покупку ценных бумаг - документ, дающий держателю право купить по фиксированной цене определенное количество ценных бумаг, например, пакета акций по номиналу до их выпуска в обращение. Цена варранта, или премия, выплачивается сразу при его приобретении, сами же ценные бумаги оплачиваются непосредственно при их получении. От покупки ценных бумаг можно отказаться, но при этом премия плательщику не возвращается.

Депозитарная расписка - свидетельство на право собственности на обыкновенные акции, депонированные у депозитария (лица, которому передаются ценные бумаги для хранения без перехода к нему права собственности). Депозитарная расписка - это, как правило, именная, свободно обращающаяся ценная бумага. Считается, что механизм депозитарных расписок повышает ликвидность акций и улучшает информированность участников фондового рынка.

Опцион - ценная бумага, дающая их владельцу право купить или продать в течение установленного срока определенное количество акций, других ценных бумаг или какой-либо валюты по фиксированной цене. Обязательства по опциону принимает на себя его продавец и эти обязательства могут быть двух видов - обязательство купить у владельца опциона (опцион “пут”) или обязательство продать владельцу опциона (опцион “колл”). Решение о том, воспользоваться правом покупки или продажи или нет, принимает владелец опциона. Первоначальный доход продавца опциона - цена опциона (премия), он сохраняется за ним, даже если владелец опциона не воспользуется своим правом покупки или продажи ценных бумаг.

Фьючерс (фьючерсный контракт) - документ, дающий право на покупку или продажу товаров, валюты или ценных бумаг через определенный срок по согласованной цене. В отличие от опциона, владелец которого выбирает время для реализации своих прав или вообще отказывается от их реализации, обязательства по фьючерсному контракту подлежат выполнению в строго определенное время.

Фьючерсные сделки заключаются обычно не с целью покупки или продажи, а для страхования или для получения прибыли от изменения цен, возникающих к сроку исполнения контракта. Техника заключения (продажи, покупки) фьючерсных контрактов не так проста, как при текущих сделках с валютой или ценными бумагами. Сделки заключаются только на биржах, а стороны, заключившие контракт, вносят на счет биржи гарантийные взносы. Особенность фьючерсных контрактов от прочих также заключается в том, что по ним идет непрерывный (ежедневный) поток платежей. При повышении рыночной цены на товар (валюту, ценные бумаги) выигрыш получает покупатель фьючерсного контракта, при обратном движении цены - продавец. Фьючерсный контракт можно перепродать, его стоимость на рынке будет повышаться при росте цены предмета сделки и понижаться при ее падении.

Продавец и покупатель фьючерсного контракта, заключив сделку, далее перестают быть контрагентами и имеют дело не друг с другом, а с биржей.

Тема 12. Стоимость ценных бумаг и формулы ее определения

При выведении формулы цены облигации в теории используется принцип равенства их доходности доходности от обычного банковского кредитования. Так, если, например, годовая эффективная ставка процента на рынке ссудного капитала (ставка процента за кредит) составляет 20%, то давший кому-то взаймы 100 рублей на год должен получить 120 руб. Покупка облигации - это тоже заем, но иначе оформленный, и он тоже должен принести инвестору (кредитору) 20% через год. Сколько же будет стоить дисконтная облигация номиналом 1000 руб., погашаемая через год, в момент ее выпуска? Теоретическая формула определения ее цены очень простая и следует из уравнения: 1,2x = 1000, т.е. x = 1000/1,2 = 833,33 руб.

Общая теоретическая формула рыночной цены чисто дисконтной облигации, погашаемой через время t в самом простом случае будет выглядеть следующим образом:

,

где P - цена облигации, N - ее номинальная стоимость, r(t) - действующая рыночная ставка процента по кредитам, предоставляемым на время t. Если же для любых временных интервалов действует одна и та же годовая эффективная ставка процента R, то формулу определения рыночной цены облигации можно записать так:

,

где t - время (в годах), оставшееся до погашения облигации.

Реально складывающиеся цены на облигации могут отличаться от получаемых по таким формулам из-за различной степени надежности облигаций, особенностей налогообложения и просто из-за конкретной конъюнктуры - соотношения спроса и предложения в конкретный день проведения торгов.

Пример 12.1. Расчет доходности дисконтной облигации в пересчете на годовую эффективную ставку.

Номинал облигации - 500000 руб. До ее погашения осталось 2 месяца. Рыночная цена составляет 485125 руб. Чему равно значение годовой эффективной ставки процента на данном фондовом рынке?

Задачу можно решить двумя способами. Вычислим величину эффективной ставки за двухмесячный период, а точнее, соответствующий множитель наращения: = 1,030662 и перейдем от него к годовому множителю наращения: 1,030662= 1,198664, т.е. искомая годовая эффективная ставка составляет 19,87%.

Можно составить уравнение, где искомой величиной будет годовая эффективная ставка процента: 485125Ч(1+R)= 500000 и получить такой же результат: R = 0,1987.

Для купонных облигаций формула определения их “нормальной” рыночной цены также определятся по принципу “современная стоимость облигации равна сумме всех будущих поступлений (с поправкой на время)”:

,

где - временной интервал между моментом получения дохода по i-му купону в размере q и приобретением облигации.

Пример 12.2. Расчет стоимости купонной облигации.

Определите стартовую рыночную цену купонной облигации (всего 4 купона) номиналом 1 млн. руб., погашаемой через 1 год, по которой по истечении каждых трех месяцев выплачивается доход в размере 6% от номинала. Годовая эффективная ставка процента на денежном рынке составляет 15%.

Приводим все будущие доходы к тому моменту времени, для которого определяется стоимость облигации:

x = = 1089658,31

Если у простой дисконтной облигации рыночная стоимость до момента погашения всегда меньше номинала, то у купонной она может превышать номинал в том случае, когда велики купонные доходы.

Выигрышные облигации обычно не являются объектом торговли на фондовых рынках. Они выпускаются в основном для населения. Но если бы встал вопрос об определении их “нормальной” рыночной цены, то ее следовало бы определять как математическое ожидание будущего результата с поправкой на время до получения этого результата. Напомним, что математическое ожидание - это сумма произведений возможных количественных результатов на вероятности их получения. Так, если облигация имеет номинал в 100000 руб., вероятность выигрыша - 0,1 (10%), т.е. выигрывает каждая десятая облигация, а размер выигрыша, который получает обладатель выигравшей облигации дополнительно к ее номиналу после тиража и погашения составляет 200000 руб. (обладатели невыигравших облигаций получают лишь их номинал), и до момента получения выигрышей и номинальных стоимостей облигаций осталось полгода, то в случае когда годовая эффективная ставка составляет 15%, рыночная цена такой облигации составит = 111900,577 (руб.).

Определить рыночную стоимость такой облигации могут и незнакомые с теорией вероятностей, воспользовавшись правилом “цена одной облигации равна цене всего пакета облигаций, разделенной на количество облигаций”. Для обладателя всего пакета неопределенность отсутствует и все будущие доходы однозначно определены. Так, если облигаций всего 1000 штук, то их владелец получит через полгода 100Ч300000 + 900Ч100000 = 120000000 руб. Современная стоимость этой суммы составляет 120000000 : = 111900577 (руб.). После деления на общее число облигаций получаем тот же результат, что и через расчет математического ожидания.

Рыночная стоимость консоли (вечной облигации) также определяется как сумма всех будущих доходов с поправкой на время, и если цена денег (годовая эффективная ставка) предполагается стабильной, то она находится как сумма членов бесконечной геометрической прогрессии. Так, за год до получения первого дохода цена консоли составит

,

т.е. определяется делением ежегодного дохода на годовую эффективную ставку процента (в сотых долях).

Если в перспективе ожидается понижение ставки процента, то цена консоли превысит рассчитанную по такой формуле величину, при ожиданиях повышения ставки процента - будет более низкой.

Расчет стоимости векселя осуществляется точно так же как и для чисто дисконтной облигации - в математическом смысле это идентичные ценные бумаги. Вексель номиналом в 100000 руб., срок платежа по которому наступит через 3 месяца, будет стоить столько же, сколько и дисконтная облигация с таким же номиналом, погашаемая через 3 месяца, если игнорировать отличия, которые могут быть связаны с разной степенью надежности этих ценных бумаг.

Однако применительно к векселям существует своя терминология. Все рассматриваемые ранее проценты - это декурсивные проценты, или проценты, рассчитываемые декурсивным методом. Величина декурсивных процентов показывает насколько наращенная сумма больше суммы вклада (основного долга). Размер декурсивных процентов неограничен сверху, он находится в экспоненциальной зависимости от срока (хранения вклада, займа) и величины годовой эффективной ставки. Но наряду с декурсивными существуют антисипативные проценты, показывающие насколько сумма основного вклада (займа) меньше наращенной суммы. При одном и том же множителе наращения за период количественные значения декурсивных и антисипативных процентов различны, причем последние всегда меньше. Это различие легко обнаруживается на примере известных многим дисконтных карт. Если, например, обладатель дисконтной карты покупает товар на 10% дешевле других покупателей (вместо 100 руб. платит 90), то применительно к обычным покупателям обнаружим, что они покупают товары на не на 10, а на 11,1% дороже, чем обладатели дисконтных карт.

Для малых величин множителя наращения различия между значениями декурсивных и антисипативных процентов невелики. Для больших величин множителя наращения они могут различаться в разы. Так, если множитель наращения равен 2, то значение декурсивных процентов за период составляет 100%, а значение антисипативных процентов - 50%.

Величину антисипативных процентов за период называют иначе дисконтом (скидкой) или учетной ставкой. По отношению к векселям традиционно используются не обычные декурсивные, а антисипативные проценты. Это обусловлено, по видимому, тем, что в обычных кредитных и депозитных операциях известна первоначальная сумма (вклада, займа), а наращенную нужно рассчитать, то для векселей уже известна наращенная сумма (это их номинал) и необходимо найти меньшую, первоначальную, что удобно определять через скидку с номинала.

Эта особенность векселей часто обусловливает необходимость перевода антисипативных процентов в декурсивные, чтобы рассчитать их доходность в более понятной терминологии темпов прироста средств, вложенных в векселя.

Пример 12.3. Расчет величины дисконта при заданном сроке оплаты.

С каким дисконтом банк должен учесть вексель, срок оплаты которого - через 2 месяца, чтобы доходность этой операции была такой же, как и у кредитов, выдаваемых на 2 месяца исходя из расчетной ставки 30% годовых?

Одинаковая доходность означает, что суммы, потраченные на учет векселей и на выдачу кредитов должны через 2 месяца возрасти в одно и то же количество раз. Взявшие кредит на 2 месяца вернут банку суммы, превышающие сумму займа в 1,05 раза (30% годовых соответствуют 5% за период в 2 месяца). Следовательно, и за учитываемый вексель банк должен заплатить в 1,05 раза меньше его номинала. Если принять номинал за 100%, то цена векселя в момент учета составит = 95,238%, т.е. дисконт (скидка) с номинала будет равна 100% - 95,238% = 4,762%.

Пример 12.4. Определение доходности операции по учету векселя при заданном дисконте и сроке оплаты.

Банк учитывает векселя со сроком оплаты через 3 месяца с дисконтом 5%. Какова доходность этой операции в пересчете на годовую эффективную ставку декурсивных процентов?

Рассчитаем множитель наращения за трехмесячный период и возведем результат в степень 4 (количество таких периодов в году). Получим годовой множитель наращения. Вычтя из него 1 и умножив остаток на 100% получим искомую величину:

22,8%

Кроме декурсивных и антисипативных процентов, в литературе встречается и иная их классификация.

При расчете процентов могут применяться две временные базы: 360 дней или 365 (366) дней. Если в качестве временной базы используются 360 дней, то такие проценты называют обыкновенными или коммерческими (ordinary interest). При использовании действительной продолжительности года рассчитывают точные проценты (exact interest).

На практике возможны и применяются три варианта расчета простых процентов.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. В документах он обозначается как 365/365 или ACT/ACT. Этот метод применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (метод 365/360, или ACT/360). Этот метод распространен, например, во Франции, в Бельгии, в Швейцарии. Фактически здесь используется банковский год, меньший календарного. Очевидно, что, например, 20% годовых по методу 365/360 дадут за один и тот же период времени несколько больший результат, чем 20% по методу 365/365.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (метод 360/360). Этот метод применяется обычно при промежуточных расчетах, когда не требуется большой точности.

Пусть ссуда в 1 млн. руб. выдана 20.01 до 05.10. включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник, если это а) точные проценты; б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды?

а) точные проценты с точным числом дней ссуды: 1000000(1+258/365*0,18) = 1127233 руб.

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды: 1000000(1+258/360*0,18) = 1129000 руб.

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды: 1000000(1+255/360*0,18) = 1127500 руб.

Формулы определения “нормальных” рыночных цен акций могут использоваться лишь при достаточно жестких предпосылках. Первая - должны быть известны будущие доходы - дивиденды. Но закон запрещает акционерным обществам заранее устанавливать и объявлять будущие дивиденды, поэтому ориентиром для их оценки могут быть лишь ретроспективные данные. Второе - формальная цена акции может быть рассчитана лишь с позиций мелкого акционера, для которого дивиденды - это единственная цель приобретения акций. Однако акции имеют и другую потребительную стоимость, особенно для крупных акционеров и спекулянтов на фондовых рынках, извлекающих доход из колебаний курсов акций. И эта потребительная стоимость не может быть оценена количественно. Нельзя определять “истинную” цену акции и как часть рыночной стоимости той части имущества общества, которая приходится на одну акцию - получить эту часть можно лишь после ликвидации общества и распродажи и распределения между акционерами всех активов, но, как правило, акционерные общества создаются не на конкретный, а на неопределенный срок, а распродажа активов происходит лишь в случае банкротства общества (и не всех, а лишь оставшихся после погашения его долгов).

Если оставаться в рамках названных выше жестких предпосылок, то цена акции определяется как современная стоимость всех будущих дивидендов, а если дивиденды предполагаются постоянными, то формула ее цены совпадает с приведенной выше для консоли.

Пример 12.5. Расчет рыночной стоимости акций

Определите формальную минимальную и максимальную рыночные стоимости акции, по которой ежегодно выплачиваются дивиденды в размере 100 руб. Годовая эффективная ставка процента на соответствующем денежном рынке - 18%.

Для инвесторов, вкладывающих свои деньги в акции с целью получения дивидендов, цена акции определяется как сумма всех будущих доходов, приведенных к моменту покупки акции. Поэтому она должна зависеть от того, когда можно будет получить первый дивиденд. Минимальной будет цена акции для того момента времени, когда до получения первого дохода необходимо ждать целый год, максимальной - когда первый доход можно получить сразу.

= = 555,56 (руб.) - по формуле суммы членов бесконечной геометрической прогрессии. Максимальная цена превысит минимальную на 100 руб.

Для многих других видов ценных бумаг связь их рыночных цен со ставкой процента и сроками выполнения обязательств такова же, как для облигаций, векселей и акций. Цена депозитного сертификата определяется как величина наращенной суммы (вклада вместе с процентами) на множитель наращения, используемый на денежном рынке для временных интервалов, равных периоду до получения этой наращенной суммы. Так же определялась бы и цена сберегательных сертификатов, если бы эти документы обращались на денежном рынке. Стоимость депозитарной расписки - это сумма стоимостей всего пакета акций, принятых на хранение.

Чеки, коносаменты и складские свидетельства не имеют рыночных цен как таковых. “Цена” чека всегда одна и та же и не зависит от ставки процента - она равна той сумме, на которую чек выписан. Цены коносаментов и складских свидетельств определяются стоимостью стоящих за ними товаров.

Тема 13. Понятие ренты. Виды рент и определение их стоимости

В литературе по финансовой математике значительное место уделяется такой категории, как рента. В хозяйственной практике и в быту она используется крайне редко, так как там, где имеет место рента по определению, она применяется под другими названиями, отражающими источник ее происхождения.

Рента - поток платежей, все члены которого - положительные числа, а временные интервалы между платежами одинаковы. Примеры - получение купонных процентов по облигациям, платежи по потребительскому кредиту, погашаемому равными выплатами, выплата в рассрочку страховых премий. Другое название ренты - аннуитет - изначально применялось лишь к ежегодным выплатам (annual - ежегодный), сейчас же оно распространяется и на выплаты с иной периодичностью.

Параметры ренты: член ренты - размер отдельного платежа; период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами; срок ренты - время от начала первого периода до конца последнего.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые и p-срочные (p - количество выплат в году). Эти виды рент называют дискретными. Иногда в финансовой практике встречаются последовательности столь частых платежей, что их можно считать непрерывными.

Постоянные ренты - ренты с одинаковыми размерами членов ренты.

Переменные ренты - ренты с изменяющимися размерами членов ренты, подчиняющимися какому-либо закону (например, арифметической или геометрической прогрессии).

Верные ренты - ренты, подлежащие безусловной уплате.

Условные ренты - выплата ставится в зависимость от наступления некоторого события, число ее членов заранее неизвестно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты - последовательные платежи в имущественном и личном страховании. Пример страхового аннуитета - пожизненная пенсия.

Ограниченные ренты - ренты с конечным числом членов

Вечные, или бесконечные ренты (перпетуитеты) - например, выплата процентов по консолям.

Ренты делятся на немедленные и отложенные (отсроченные) по соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты. Пример отсроченной ренты - погашение долга в рассрочку после какого-то льготного периода.

Обыкновенные ренты (ренты постнумерандо) - платежи осуществляются в конце периодов ренты. Ренты пренумерандо - платежи осуществляются в начале периодов ренты.

Наращенная сумма ренты - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами. Наращенная сумма может рассчитываться лишь для ограниченных рент, так как для вечных она будет равна бесконечности. Наращенная сумма ренты - сумма всех ее членов с начисленными к концу срока процентами.

Современная стоимость ренты - сумма всех членов ренты, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени. Современная стоимость ренты ограничена как для конечных рент, так и, в большинстве случаев, и для бесконечных.

Конверсия ренты - изменение условий, предусмотренных при выплате ренты. Простейший виды конверсии - выкуп ренты (замена ренты разовым платежом). Консолидация рент - объединение нескольких рент с разными характеристиками в одну.

Пример 13.1. Расчет современной стоимости и наращенной суммы ренты.

Определите современную стоимость и наращенную сумму обыкновенной немедленной ограниченной ренты, все члены которой равны 100000 рублей, если период ренты равен 1 году, а срок ренты - 10 годам при предположении, что годовая эффективная ставка процента на денежном рынке в течение всего срока будет равна 8%.

Расчет современной стоимости такой ренты определяется точно так же, как и стоимость безноминальной купонной облигации, включающей 10 купонов, позволяющих с периодичностью раз в год получать доход в размере 100000 руб.:

671008,14 (руб.).

671008,14 руб. - это сумма, наличие которой при открытии срочного вклада на 8 лет с ежегодной капитализацией процентов при ставке 8% годовых и позволяющем совершать расходные операции, обеспечивает вкладчику возможность в течение 10 лет снимать ежегодно по 100000 руб. По истечении 10-летнего срока и снятия последних 100000 руб. остаток вклада становится равным нулю: ((671008,14Ч1,08 - 100000)Ч1,08 - 100000)Ч1,08 и т.д. - после десятого вычитания 100000 руб. получаем значение, равное нулю.

Наращенная сумма ренты определяется по формуле

= 1448656,25 (руб.)

Такая сумма оказалась бы на срочном вкладе с ежегодной капитализацией процентов при расчетной ставке 8%, если он открыт в конце первого года на сумму 100000 руб., а затем в конце каждого очередного года на него вносились дополнительные взносы в таком же размере. Одновременно наращенная сумма ренты - это ее современная стоимость, умноженная на .

Таким образом, рассмотренная десятилетняя рента может быть конвертирована - заменена единовременным эквивалентным платежом - либо в сумме 671008,14 руб. в самом начале десятилетнего срока, либо в сумме 1448656,25 руб. в конце этого срока.

Если бы рассмотренная в примере 13.1 рента была не обыкновенной, а пренумерандо, то ее современная стоимость была бы больше в 1,08 раза:

724688,79

В 1,08 раза возросла бы в этом случае и наращенная сумма ренты.

Пример 13.2. Расчет современной стоимости вечной ренты.

Определите современную стоимость обыкновенной вечной ренты, все члены которой равны 50000 руб., если период ренты равен 3 месяцам, а годовая эффективная ставка на денежном рынке равна 6%.

Результат находится с помощью формулы суммы членов бесконечной геометрической прогрессии: = = 3407422,94 (руб.)

Подобные расчеты справедливы лишь при достаточно жестких предпосылках детерминированности и неизменности ставки процента. Реальные цены (современные стоимости) документов, дающих право регулярного получения какого-либо дохода, определяются, как правило, в условиях, когда стабильность ставки процента маловероятна, более того, ее конкретные значения на перспективу неизвестны. В качестве среднегодовой ставки процента для долгосрочного периода может использоваться аналогичный показатель для ретроспективного периода.

В реальной практике, и особенно в современной российской, вечных рент, конечно, быть не может. Но, если бы они и были, то их современная стоимость ненамного отличалась бы от современной стоимости долговременных рент. Пусть, например, годовая эффективная ставка процента составляет 5%. Насколько будут различаться между собой современные стоимости пятидесятилетней и вечной рент? Для определения относительных различий размер платежа не имеет значения, и его можно условно принять за единицу. Тогда стоимость обыкновенной вечной ренты составит = 20. Ненамного меньшей будет стоимость пятидесятилетней ренты - 18,26.

Помимо ограниченных и вечных рент существуют и ренты с неизвестным количеством членов. Примером такой может быть пожизненная рента, например, пенсия по старости. Продолжительность предстоящей жизни для каждого конкретного получателя такой ренты неизвестна. Однако в условиях наличия очень большого числа получателей такой ренты можно считать среднюю продолжительность их предстоящей жизни ограниченной в достаточно узких пределах. Но достаточно ли этой информации, чтобы определить современную стоимость будущих пенсионных выплат? Рассмотрим эту проблему в упрощенном виде.

Пусть организован специальный частный пенсионный фонд, в который вносят единовременные крупные взносы люди, достигшие пенсионного возраста, - в обмен на право пожизненно получать ежегодный доход. Предполагается, что внесенные будущими пенсионерами суммы будут инвестированы фондом, и остаток этих сумм будет ежегодно возрастать, например, на 5%. Как определить современную стоимость ежегодных платежей, чтобы этот пенсионный фонд мог успешно работать? Ясно, что современная стоимость будущих платежей должна быть меньше сумм, внесенных будущими пенсионерами, иначе фонд не будет иметь источника покрытия своих издержек. Насколько меньше - это другой вопрос, сначала нужно определить базу для расчетов.

На первый взгляд может показаться, что в качестве достаточной для расчета современной стоимости будущих выплат информации является средняя продолжительность предстоящей жизни. Пусть известно, что достигшие пенсионного возраста люди в среднем проживут еще 15 лет. Какова может быть в этом случае современная стоимость ежегодных выплат будущим пенсионерам, например, в размере 50000 рублей в условиях, когда эти выплаты являются обыкновенной рентой, т.е. первый платеж - через год после внесения единовременного взноса, второй - через два года и т.д.? В качестве простой формулы расчета напрашивается прежде всего следующая:

= 518982,90N (руб.), где N - число пенсионеров, внесших в данном году единовременные взносы.

Полученный результат можно интерпретировать как ту часть единовременного взноса, которая будет с учетом начисленных на нее процентов впоследствии возвращена пенсионеру. Так, если взнос будет определен в размере 700000 руб., можно утверждать, что около 26% средств будущих пенсионеров будут истрачены фондом “на себя”.

Буквальная трактовка полученной таким простым образом величины современной стоимости будущих выплат означает, что каждый из пенсионеров проживет ровно 15 лет. Но средняя продолжительность предстоящей жизни будет равна 15 годам и в том случае, когда, например, половина пенсионеров не проживет и года, и, следовательно, не успеет получить ни одного платежа, а другая половина проживет 30 лет (и успеет получить 30 платежей). Какова будет современная стоимость будущих платежей в этом гипотетическом случае?

...