Основы финансовых расчетов

= 384311,28N (руб.)

Различия между полученными результатами весьма значительны. Таким образом, одной средней продолжительности предстоящей жизни недостаточно для определения современной стоимости будущих пенсионных выплат. Для получения наиболее близкого к реальному показателю современной стоимости необходимы так называемые погодовые коэффициенты дожития, т.е. информация о том, сколько процентов из будущих получателей пенсий проживет не менее года (т.е. успеет получить первую выплату), сколько процентов из них проживет не менее двух лет (успеет получить и вторую выплату) и т.д. Тогда формула современной стоимости будущих выплат будет иметь следующий вид:

, где , , , и т.д.

- вероятность для достигшего, например, 60-летнего возраста, прожить еще не менее года, - вероятность для достигших возраста 61 год прожить еще не менее года и т.п. Фактически это неизвестная информация, как и информация о средней продолжительности предстоящей жизни для новорожденных, публикуемая статистикой. Показатели являются условными - расчеты на будущее делаются в предположении, что сохранятся современные, отчетные, показатели умирающих в каждой возрастной группе.

Количество слагаемых внутри скобок, конечно, не будет определяться возрастом самого старого человека страны - заключительная ее часть в силу своей несущественности будет просто исключена из практической формулы.

Раздел 5. ДИВЕРСИФИКАЦИЯ ФИНАНСОВЫХ ВЛОЖЕНИЙ. ЛОТЕРЕИ И ИГРЫ

Тема 13. Понятие диверсификации. Цели диверсификации. Примеры расчета эффектов диверсификации

Диверсификация в переводе с латинского означает “разнообразие”. Применительно к банковским вкладам это означает открытие не одного, а двух или нескольких счетов, в двух или нескольких банках. Применительно к любым вложениям денежных средств с целью обеспечения их сохранности (покупательной способности) или получения дохода - это выбор двух или нескольких направлений их использования.

В прошлом, когда достаточно массовыми были факты банкротства банков и других финансовых институтов, привлекающих средства населения, основным советом для вкладчиков был совет размещать свои сбережения в нескольких банках с тем, чтобы избежать возможности потери сразу всех своих денег. Но снижение риска потерь лишь одна из целей диверсификации. Есть и другие.

Первая повышение степени ликвидности хранимых в банке средств, т.е. возможности использования части сбережений без значительных потерь потенциальных процентов. Такая проблема актуальна для тех, кто хранит свои деньги на срочных вкладах, желая получить достаточно большие проценты или просто сберечь накопления от инфляции. Для срочных вкладов часто существует правило неделимости - вклад можно закрыть лишь целиком, нельзя снять с него часть хранимых средств (кроме набежавших процентов). По этой причине 10 вкладов по 100000 руб. предпочтительнее одного вклада в 1 млн. руб. (имеющему 1 млн. не запрещается открыть 10 таких вкладов одновременно в одном банке), особенно если расчетные ставки процента одинаковы - при необходимости досрочно воспользоваться частью денег придется пожертвовать лишь частью повышенных процентов, закрыв, например, лишь один или два вклада. Максимума ликвидности можно добиться, если вклады открывались не одновременно, а постепенно, по мере появления временно свободных средств - тогда при необходимости закрыть один из вкладов можно выбрать тот, для которого только что или недавно закончился очередной срок.

Но большинство наших граждан, конечно, так себя не ведет кто-то просто не понимает, что он может потерять при том или ином варианте хранения денег, если придется досрочно воспользоваться частью из них, кто-то уверен, что в течение срока договора ему не понадобятся эти деньги, большинство же просто не желает терять лишнего времени на открытие вкладов. Конечно, достаточно состоятельные люди, как правило, имеют не один банковский вклад, но до максимума ликвидность хранимых средств не доводят.

Вторая причина диверсификации желание максимизировать темпы роста своих сбережений. Обычной практикой банков является выплата больших процентов по более крупным вкладам. Но для таких вкладов либо велика нижняя граница на размер дополнительных взносов, либо они вообще не предусмотрены договором. И чтобы новые сбережения быстрее выросли до величины суммы, необходимой для дополнительного взноса, или для открытия еще одного крупного вклада, они тоже должны находиться на банковском счете - другом срочном вкладе, пусть и под более низкие проценты. Таким образом, у человека, осуществляющего накопление средств в течение длительного времени, должно быть несколько видов вкладов - в этом случае темпы роста его сбережений будут максимальными. В реальной практике вкладчики почти никогда не доводят свою политику накопления сбережений до оптимальной, либо жалея свое время, либо считая, что выигрыш будет незначительным.

Можно назвать и иные причины диверсификации вкладов, не имеющие отношения ни к обеспечению ликвидности, ни к максимизации темпов роста сбережений. Например, желание скрыть истинный размер своих сбережений, не только от “ближних”, но и от “дальних” людей. Считается, что при открытии одного вклада, например, в 10 млн. руб. вероятность того, что об этом сумме узнают, больше, чем при открытии нескольких вкладов в разных банках. Дополнительные вклады могут быть полезными для осуществляющих регулярные поездки в другие города. Они могут появиться и в принудительном порядке, когда руководство предприятия вводит систему перечисления зарплаты на банковский счет.

Но самой главной причиной диверсификации обычно считают стремление понизить риск потери сбережений или значительной их части. Именно об этом идет обычно речь в учебниках по финансовой математике (финансовому менеджменту, финансовому анализу), когда рассматриваются проблемы вложения финансовых ресурсов. В данном случае речь идет уже не о нескольких счетах в одном банке, а о размещении средств в разных банках. Чтобы оценить последствия диверсификации вкладов, вычислить какие-то математические характеристики для всей совокупности сбережений, придется вспомнить элементы теории вероятностей.

Пусть есть 1 млн. руб., которые можно разместить на одном срочном вкладе, либо распределить поровну между двумя, тремя и даже десятью банками. Пусть ставка процента для всех вкладов на сумму от 100000 руб. и выше во всех банках одинакова и составляет 10% годовых. И пусть известна вероятность банкротства каждого из банков в течение года - 5%. И пусть вероятность банкротства банка означает потерю всех вложенных в него средств.

Если все деньги находятся на одном счете, то возможны лишь 2 исхода: а) потеря всех сбережений (вероятность - 0,05); б) получение максимального результата - 1,1 млн. руб. (вероятность - 0,95).

При размещении их поровну в двух банках (по 500 тыс. руб.) вероятность потери всех сбережений резко сокращается - до = 0,0025. Но снижается и вероятность получения максимального результата - до = 0,9025. Появляется еще и возможность потери половины ожидаемого максимума: 1 - 0,9025 - 0,0025 = 0,095.

Но в любом случае неизменным остается математическое ожидание результата хранения денег в банке: 1100000Ч0,95 + 0Ч0,05 = 1100000Ч0,9025 + 550000Ч0,095 + 0Ч0,0025 = 1045000 (руб.). Оно сохраниться таким и при размещении денег в трех, четырех и т.д., десяти банках.

При максимальной в условиях рассматриваемого примера диверсификации, т.е. при размещении средств в 10 банках, вероятность потерять все приближается к нулю, но зато и вероятность получить максимальный результат заметно снижается - до = 0,5987.

Итак, негативное последствие диверсификации - снижение вероятности получения максимального результата или даже снижение самой величины этого максимального результата, если для более мелких вкладов предусмотрены более низкие ставки процента. Какая из стратегий оптимальна - однозначного ответа быть не может. Это зависит и от характера человека (степени склонности его к риску) и от тех последствий, которыми чреваты потеря всех или большей части сбережений.

Если же предположить, что банкротство банка не означает потери всех сбережений - например, существует система страхования вкладов, которая гарантирует возврат вкладчику суммы вклада в полном объеме, если он не превышает определенной величины,. в каждом из обанкротившихся банков, то эффективность диверсификации существенно возрастает. Более того, при увеличении числа банков растет и математическое ожидание результата.

Пример 13.1. Расчет возможных результатов при различной степени диверсификации вкладов.

Рассчитайте значения математических ожиданий результатов при рассмотренных выше предпосылках, если банкротство банка означает возврат лишь 100 тыс. руб., в случае, если деньги размещены а) в одном банке; б) в равных долях в двух банках; в) в равных долях в трех банках

При выборе лишь одного банка математическое ожидание результата равно 1100000Ч0,95 + 100000Ч0,05 = 1050000. При выборе двух банков - 1100000Ч0,9025 + (550000+100000)Ч0,095 + (100000+100000)Ч0,0025 = 1055000. При выборе трех банков - 1100000Ч + (733334 + 100000)ЧЧ 0,05Ч3 + (366667 + 200000)Ч0,95ЧЧ 3 + (100000 +100000 +100000)Ч = 1060000.

В реальности вероятности банкротства каждого из банков неизвестны. Доступна может быть лишь информация о прошлом, т.е. о том, какая часть банков обанкротилась в прошлом, позапрошлом и т.д. годах. Но из этого вовсе не следует, что такая же часть банков прекратит свое существование в следующем году и тем более не следует, что вероятность банкротства будет одинаковой для всех существовавших на начало года банков. Тем не менее, даже в условиях, когда эти вероятности неизвестны (известно лишь, что они положительны), достоверными остаются следующие качественные выводы:

* диверсификация вкладов (в части выбора не одного, а двух или нескольких банков) понижает вероятность получения максимального результата;

* диверсификация вкладов повышает вероятность потери части сбережений;

* диверсификация вкладов понижает вероятность потери всех сбережений.

Если бы мы взяли пример с большим числом банков, то второй вывод можно было бы детализировать следующим образом:

* диверсификация вкладов повышает вероятность потери малой части сбережений;

* диверсификация вкладов понижает вероятность потери большей части сбережений.

В реальной практике эффект межбанковской диверсификации вкладов понижается из-за специфики этой отрасли экономики - наличия положительной связи между фактом банкротства одного банка и вероятностями банкротства других. И чем сильнее эта связь, тем ниже эффект диверсификации. В остальных отраслях эта связь, как правило, отрицательная.

Диверсификация финансовых вложений позволяет обеспечить достижение еще одной из возможных целей - снижения уровня риска до определенного заданного уровня.

Пример 13.2.

Пусть количество банков неограниченно. Ставка процента по вкладам на год во всех из них составляет 18% и не зависит от размера вклада. Вероятность банкротства каждого из банков составляет 0,05, и банкротство означает потерю всех вложенных в него денег. У вкладчика есть 1 млн. руб. Пусть главным критерием для него является снижение риска потери собственных средств, т.е. он хочет повысить вероятность получить через год сумму, не меньшую чем он внес в банки.. Какое количество банков он должен выбрать для открытия счетов, чтобы вероятность получить через год в сумме 1 млн. руб. и ли более составляла не менее 98%?

Если все деньги в одном банке, то вероятность благоприятного исхода составляет только 95%. Увеличивая количество банков до 2-х, 3-х и далее, обнаруживаем, что вначале диверсификация приводит к снижению вероятности вернуть хотя бы 1 млн. руб. так как банкротство хотя бы одного из банков приводит к тому, что наращенные суммы в остальных в сумме оказываются менее 1 млн. руб. Следовательно, необходимо определить такое минимальное число банков, чтобы банкротство одного из них не лишало вкладчика возможности достичь поставленной цели. Это число банков находится из неравенства . Минимальное целое значение n, при котором выполняется это неравенство, составляет 7. Вычислим суммарную вероятность того, что не обанкротится ни один банк, либо обанкротится лишь один из них: = 0,955619. Далее ищем минимальное число банков, при котором даже банкротство двух из них не лишает вкладчика возможности достичь своей цели. Оно находится из неравенства , откуда минимальное целое значение n составляет 14. Определяем вероятность благоприятного исхода (отсутствия банкротства либо банкротства не более двух банков): = 0,969946. Следующий шаг - решение неравенства , откуда находим n = 20, т.е. если банков 20 или более, вкладчика устраивает банкротство даже 3 банков.

Определяем вероятность банкротства не более 3 банков: 0,984098.

Итак, размещение 1 млн. руб. по 20 банкам (по 50000 руб. в каждом) позволяет вкладчику с вероятностью не менее 98% получить сумму не менее 1 млн. руб. При необходимости можно было бы еще более приблизить этот показатель к 100%. Поскольку математическое ожидание результата превышает 1 млн. руб., то увеличение масштабов диверсификации приводит к увеличению вероятности попадания в окрестности математического ожидания и эту вероятность можно сколь угодно близко приблизить к 1,

Общей закономерностью является то, что вложения денег в финансовые институты, предлагающие наиболее высокие ставки процента, при прочих равных условиях, являются самыми рискованными. Это справедливо не только по отношению к банковским вкладам. В этом случае выбор оптимального направления вложения средств может быть определен однозначно лишь при использовании какого либо одного из простых критериев.

Пример 13.3.

Пусть размер ставки процента связан с вероятностью банкротства следующим образом: если банк вообще не платит процентов, то вероятность его банкротства равна нулю, если он платит 1% годовых, то вероятность его банкротства равна 0,5%, если он платит 2% годовых, то вероятность его банкротства равна 1% и т.д., при ставке процента 100% годовых вероятность банкротства банка - 50%., а при ставке 200% банкротство гарантировано (вероятность его - 100%). Банкротство означает потерю всех вложенных в банк денег. Какой банк следует выбрать для хранения денежных средств по критерию максимизации величины математического ожидания результата?

Можно непосредственно вычислить 200 математических ожиданий и выбрать максимальный результат. Но в данной задаче экстремальная точка легко находится аналитическим путем - максимальное значение математического ожидания результата будет для банков со ставкой 50% годовых, и составит оно 112,5% от суммы внесенных в банк средств. Необходимая для вычисления такого результата функция имеет следующий вид:

, где A - первоначальная сумма вклада.

Максимального значения она достигает при r = 0,5, т.е. наилучшее математическое ожидание имеет место при хранении денег в банке, выплачивающем 50% годовых с вероятностью его банкротства 0,25.

Во многих случаях количество и значения возможных результатов не могут быть описаны набором дискретных значений, они могут, принимать любые значения в рамках известных интервалов. В простых случаях, как, например, при равных вероятностях достижения разных результатов, ответы на интересующие вопросы могут быть найдены графическим путем.

Пример 13.4. Определение вероятности получения результата графическим способом.

Сделаны финансовые вложения в два рискованных мероприятия. По первому из них можно с равной вероятностью получить любую сумму в интервале от 1 млн. до 5 млн. рублей, по второму - также с равной вероятностью можно получить любую сумму в интервале от 3 млн. до 10 млн. руб. Таким образом, суммарный результат от этих финансовых вложений может составить от 4 млн. до 15 млн. рублей. Определите графическим методом, какова вероятность того, что суммарный результат от этих финансовых вложений составит не менее 11 млн. рублей.

Нарисуем прямоугольник с координатами вершин (1,3), (1,10), (5,10), (5,3). Вся его площадь - это множество всевозможных исходов, для каждой точки значение абсциссы - это сумма, полученная в результате первого мероприятия, значение ординаты - сумма, полученная в результате второго мероприятия. Из условия задачи следует, что вероятности попадания в любую точку прямоугольника одинаковы. Сумма координат каждой точки - это суммарный финансовый результат по двум мероприятиям. Нас интересует вероятность того, что x + y ? 11 (млн. руб.). Проведем прямую линию x + y = 11, разделяющую прямоугольник на 2 части. Отнесем площадь той части прямоугольника, которая находится выше этой линии, к площади всего прямоугольника и получим искомую вероятность, равную 8/28 = 0,2857.

Рассмотренные выше примеры носят иллюстративный характер. В реальности обычно отсутствует информация не только о вероятностях банкротства банков, и тем более по каждой из их групп (крупных, малых, средних), но и плотностях распределения вероятностей достижения разных результатов для любых иных вложений денежных средств. Поэтому получаемые выводы справедливы с точностью до качества, но, тем не менее, имеют практическую ценность.

Но есть и такие из сферы деятельности, где известны точные значения вероятностей получения тех или иных исходов и количественных результатов. Это прежде всего лотереи и разнообразные игры.

Тема 14. Виды лотерей и расчет вероятностей выигрыша. Оценка финансовых результатов проведения игр

Лотереи, азартные игры, тотализаторы были широко распространены во все времена.

Лотерея (от фр. lot - жребий) - одна из форм добровольного привлечения денежных средств населения посредством продажи лотерейных билетов. Часть вырученных от продажи средств разыгрывается в виде вещевых или денежных выигрышей. По своей сути лотерея не отличается от многих азартных игр, но формально к таковым не относится.

Лотерейный билет - фактически ценная бумага на предъявителя, но их особенности в учебниках и разделах по ценным бумагам не рассматриваются по-видимому, потому, что лотерейные билеты не являются объектом продаж и покупок на фондовом рынке и на операциях по покупке лотерейных билетов и последующих получениях по некоторым из них выигрышей нельзя получать какого-либо систематического дохода

Самые простые лотереи отличаются полной случайностью выигрыша, и приобретающий лотерейные билеты не может оказать никакого влияния ни на вероятность выигрыша, ни на его величину. К таковым относятся, например, билеты, имеющие уже проставленные на них номера и серии. Какие номера и серии выиграют - определяется в ходе проведения тиража, до начала которого известны лишь количество билетов, которые выиграют, и если размеры выигрышей могут быть разными, то и на сколько билетов придутся те или иные выигрышные суммы.

Приобретение лотерейного билета можно считать игрой с отрицательной суммой - все покупатели билетов заплатят за них больше, чем получат обладатели счастливых билетов. Выигрышный фонд может составлять 70, 60, 50 или даже менее процентов от общей выручки от реализации лотерейных билетов. Что необходимо знать для определения теоретической рыночной цены лотерейного билета? Только суммарную номинальную цену всех лотерейных билетов и размер выигрышного фонда. Так, если реализованы лотерейные билеты на сумму 5 млн. руб., а выигрышный фонд составляет 3 млн. руб., то рыночная цена таких билетов буквально накануне тиража будет составлять 60% от номинала (если тиража еще надо ждать, то, естественно, меньше). Купивший все лотерейные билеты действительно получит за них 3 млн. руб., если же на руках у человека лишь несколько лотерейных билетов, то 60% от номинала - это просто математическое ожидание той суммы, которую он может получить после проведения тиража.

Для потенциального покупателя лотерейных билетов практический интерес могут представлять ответы на вопросы типа следующих: какова вероятность выигрыша одного или нескольких (хотя бы одного из нескольких) лотерейных билетов, какова вероятность получить выигрыш в том или ином размере, если размеры выигрышей могут быть разными. Ответы на них можно дать лишь в случае, если для данного вида лотерейных билетов известны: общее количество билетов, процент выигрывающих те или иные суммы. Знающие теорию вероятностей легко могут получить необходимые ответы.

Возможности оптимизации поведения игрока в подобных лотереях крайне ограничены.

Пример 14.1. Сравнение вероятностей выигрыша в разных лотереях.

Пусть продаются лотереи двух номиналов - по 100 рублей и по 10 рублей. “Дорогих” билетов всего 200 и из них выиграют лишь два, “дешевых” - 2000 и из них выиграют тоже лишь два билета. Размеры выигрыша одинаковы. Одинакова ли будет вероятность выиграть у купившего 1 “дорогой” билет и у купившего 10 “дешевых”?

Для имеющего 1 дорогой билет вероятность выигрыша составляет 0,01. Для имеющего 10 дешевых билетов вероятность выигрыша определяется вычитанием из 1 вероятности противоположного события, т.е. того, что не выиграет ни один из билетов (можно, конечно, найти результат, вычисляя вероятности всех возможных удачных исходов и затем их сложить, но этот путь намного более трудоемок):

- при расчетах с высокой степенью точности окажется, что в этом случае вероятность выигрыша (одного или двух билетов) чуть меньше 0,1.

В некоторых видах лотерей нельзя повлиять на вероятность выигрыша, но можно повлиять на размер выигрыша в том случае, если повезет. Это может иметь место в том случае, когда играющий сам заполняет лотерейный билет, например, выбирает несколько номеров из большого их числа. Затем итоги тиража скажут, совпал или в какой степени совпал выбор покупателя с выбором “тиражной машины”. К таким лотереям относятся различные “Лото”, в том числе и очень популярные в прошлом “Спортлото”. На карточке с номерами от 1 до 36 необходимо было зачеркнуть любые пять номеров и отослать по указанному адресу (бросить в специальный ящик), вторая половина - копия, оставалась у заполнившего карточку. Выигрывали те, кто угадал все пять, четыре из пяти или три номера (первые получали самые крупные выигрыши, последние - самые мелкие). Размер выигрыша при том или ином исходе заранее был не определен и зависел от того, сколько человек угадали пять, четыре или три номера. Чем больше было угадавших, тем меньшим оказывался размер выигрыша.

Лотерея типа “Спортлото” характеризуется полной случайностью выигрыша, т.е. вероятности выпадания в ходе тиража любой комбинации чисел одинаковы. Несмотря на это купившие карточки иногда долго думают при их заполнении. Можно ли изменить в результате раздумий или анализа известной информации о данной лотерее изменить - вероятность выигрыша, его размер, математическое ожидание?

Можно, если обладать информацией о том, какого рода комбинации или какие числа выбираются чаще, а какие реже всего. И тогда, заполнив карточку редкой комбинацией чисел, игрок, не изменяя вероятности выигрыша, обеспечивает большую его величину. Если же такой информации нет, то в распоряжении игрока остается лишь логика. Есть большие основания полагать, что чаще выбираются номера с наиболее распространенными и любимыми видами спорта в России - следовательно, надо выбрать предположительно реже всего выбираемые остальными номера. Есть основания полагать, что редко кто зачеркивает пять номеров подряд просто потому что никогда раньше в числе выигравшей комбинации чисел не было пяти подряд (а вероятность того, что выпадут подряд пять чисел точно такая же, как и вероятность выпадения любой другой конкретной комбинации чисел. И т.д.

Таким образом, для игр типа “Лото” можно улучшить потенциальные результаты игры - увеличить размер потенциального выигрыша и, естественно, математическое ожидание. Но этого скорее всего будет недостаточно, чтобы сделать для себя игру в “Спортлото” приносящей в среднем больше доходов, чем расходов - математическое ожидание результата окажется меньше цены лотерейного билета.

Перед участниками и организаторами игр стоят более интересные проблемы, чем перед организаторами лотерей и покупателями лотерейных билетов. Какова вероятность выигрыша, каковы ожидаемые результаты при систематической игре и выбранной стратегии, каковы ожидаемые финансовые результаты в среднем на игру у ее организаторов, честная ли это игра или велика вероятность, что могут обмануть, как сделать игру более привлекательной для потенциальных игроков и т.д. Одни вопросы важны лишь для игроков, другие лишь для организаторов, а некоторые - и для тех, и для других.

В отличие от лотерей, среди азартных игр достаточно много “игр с нулевой суммой” - суммарный проигрыш одних игроков равняется суммарному выигрышу других. Этим свойством обычно отличаются игры, где нет организаторов, которые на доходы от играющих должны жить сами, содержать помещения, оплачивать обслуживающий персонал, приобретать оборудование и необходимые материалы. При наличии организаторов суммарное сальдо выигрышей и проигрышей игроков должно быть отрицательным.

Для определения финансовых результатов организаторов игр даже в достаточно простых, на первый взгляд, случаях, недостаточно одной математики. Нередко возникает потребность в дополнительной информации, получить которую можно часто лишь на основании практического опыта. Например, пусть организована примитивная игра следующего содержания. В темном стакане стоят две палочки, одинаковые сверху, но разные внизу, в невидимой их части - одна имеет белый, другая - черный цвет. Организатор предлагает игроку “поставить на кон” 100 руб. и выбрать любую из палочек. Если игрок вытянет палочку с белым концом, то он забирает свои 100 руб. и получает дополнительно от организатора еще 100 руб. Если вытянет палочку с черным концом - теряет свои 100 руб. Может ли организатор такой игры при большом количестве игр иметь какой-либо доход?

Знакомые с теорией вероятности наверняка ответят “нет”, так как математическое ожидание результата равно нулю. Но если организатор игры не просто случайным образом бросает палочки в стакан, а по своему усмотрению ставит одну из них справа, а другую слева, то математическое ожидание результата для него может быть положительным, если оказывается, что, например, в 52% случаев игроки вытягивают палочку, находящуюся от них справа, а в 48% случаев - находящуюся от них слева. Он будет всегда (или чаще) ставить палочку с белым концом так, чтобы она находилась слева от игрока.

Аналогичную проблему невозможности заранее определить средний за день доход можно проиллюстрировать на примере казино с примитивной рулеткой.

Пример 14.2.

Пусть в казино имеется простейшая рулетка, состоящая из трех секторов. Можно сделать ставку на один из секторов, и если стрелка остановится на выбранном секторе, игрок получает выигрыш, в 2 раза превышающий размер ставки (в противном случае он не получает ничего). Определите математическое ожидание результата для посетителя такого казино, пришедшего с 1500 рублями, если он играет по схеме:

а) делает (независимо от результатов) всего 3 ставки по 500 руб.

б) делает ставки по 500 руб., и в случае выигрыша больше не играет.

в) делает ставку в 100 руб., в случае неудачи играет еще, удваивая ставку (соответственно до 200, 400 и 800 руб.), в случае удачи больше не играет.

Очевидно, что в любом случае математическое ожидание результата будет отрицательным, но его можно варьировать, изменяя стратегию поведения. Проще всего найти математическое ожидание результата в случае а) - здесь возможны лишь 4 исхода: не повезло 3 раза подряд (итог: -1500 руб.); повезло лишь в одной из игр (итог: -500 руб.); повезло в двух играх (итог: +500 руб.); повезло во всех трех играх (итог: +1500 руб.). Осталось найти вероятности этих исходов и сумму их произведений на финансовые результаты посещения казино:

= -500 (руб.)

При реализации второй стратегии поведения возможны следующие исходы: не повезло 3 раза подряд (итог: -1500 руб.); повезло в 1-й игре (итог: +500 руб.); повезло во 2-й игре (итог: 0 руб.); повезло в 3-й игре (итог: -500 руб.). Считаем математическое ожидание результата посещения казино:

-351,85 (руб.)

Здесь математическое ожидание результата лучше (для игрока), что подтверждает правильность правила “выиграл - уходи”.

Так же определяется и итог третьей стратегии поведения, но слагаемых в формуле расчета математического ожидания будет не 4, а 5:

- 216,05 (руб.)

Третья стратегия поведения оказывается оптимальной среди рассмотренных. И хотя математическое ожидание результата здесь тоже отрицательное, реализующий третью стратегию имеет возможность (при заданном стартовом капитале) максимизировать число посещений казино, а если бы у него было не 1500 руб., а миллионы, то уход из казино с выигрышем был для него практически гарантирован, т.е. проигрыш, компенсирующий для казино все предшествующие выигрыши игрока был бы почти невероятным событием, происходящим раз в несколько лет, что для коммерческого заведения недопустимо. Поэтому максимальные размеры ставок (или максимальные размеры выигрышей) ограничены.

Таким образом, для определения среднего за день дохода казино недостаточно знать лишь средний размер ставки и количество игр, необходима еще и информация о характере игроков, посещающих это заведение.

Раздел 6. ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

Тема 15. Инвестиционный проект в широком и узком смысле слова. Бухгалтерские и дисконтные показатели оценки

Инвестиционным проектом в широком смысле слова можно называть любое вложение денежных средств с целью получения дохода. На практике под инвестиционными проектами подразумевают обычно долговременные вложения (таковыми не будут, например, закупка товаров оптом с целью последующей реализации в розницу - в таких случаях проблема соизмерения затрат и результатов во времени практически не стоит).

При оценке целесообразности реализации какого-либо инвестиционного проекта или в целях выбора из двух или нескольких проектов одного наилучшего неявно предполагается, что имеющиеся у потенциального инвестора денежные средства могут приносить ему доход сами по себе вследствие наличия возможности отдать их кому-либо в пользование, и эта возможность - получить известную заранее цену за пользование деньгами практически гарантирована. И в этой связи на первый план выходит не просто сопоставление номинальных денежных сумм (затрат и результатов), а сопоставление с учетом временного фактора.

Среди важнейших характеристик, используемых для оценки (сравнительной оценки) инвестиционных проектов в финансовой математике выделяют следующие четыре.

Приведенный чистый доход - разница между приведенными к какому-то моменту времени суммарными результатами от реализации проекта и суммарными затратами, приведенными к этому же моменту времени. В качестве временной точки приведения обычно используется начальная - время начала реализации проекта или время принятия решения о его реализации. Общая формула расчета величины чистого приведенного дохода определяется по формуле , если приведение всех затрат и результатов осуществляется к году, предшествующему первому году реализации проекта (- результаты - доход, прибыль - полученные в i-м периоде (году): - затраты, обусловленные реализацией проекта в i-м периоде (году); r - эффективная ставка процента - в сотых долях - на доступном инвестору денежном рынке). Если приведение затрат и результатов осуществляется к первому году реализации проекта, то в качестве начального значения индекса i используется 0. Если начало реализации проекта отстоит от момента принятия решения на t периодов (лет), то в качестве начального индекса может использоваться значение i = t. Это обусловлено тем, что ценность денег сегодняшнего дня более понятна, нежели ценность такой же номинальной суммы через какое-то количество периодов.

В расчетах приведенных затрат и результатов в качестве временного интервала обычно используется год, и лишь при высокой инфляции целесообразны более короткие интервалы.

Пример 15.1. Расчет показателей эффективности инвестиционного проекта

Рассчитайте для следующего проекта показатели приведенного чистого дохода, индекс доходности и внутреннюю ставку доходности.:

1 год 2 год 3 год 4 год 5 год

Затраты 200 150 50 - -

Результаты - 50 150 300 350

Годовая эффективная ставка процента составляет 12%. Данные приведены в тысячах рублей. В качестве временной точки приведения использовать первый год реализации проекта.

Обычный, бухгалтерский, доход определяется как разница между суммарными результатами и затратами и составляет для этого проекта 450. Чистый приведенный доход будет меньшим (если осуществляется наиболее естественное приведение всех затрат и результатов к начальной временной точке). Вычислим величину чистого приведенного дохода:

= 226,4 (тыс. руб.)

Положительная величина чистого приведенного дохода означает, что вложение средств в данный проект обеспечит за время его реализации больший доход (больший прирост капитала), чем обычные доступные инвестору операции на денежном рынке. Положительность (или отрицательность) значения чистого приведенного дохода не зависит от того, к какому моменту времени приводятся все результаты и затраты. Будет изменяться только номинальная величина - в рассмотренном примере она уменьшится, если все суммы приводить к году, предшествующему началу реализации проекта, и увеличится, если их приводить, например, к последнему году реализации проекта (в последнем случае в записанной выше формуле вместо операций деления будут операции умножения).

Индекс доходности - отношение суммарных приведенных результатов к суммарным приведенным затратам, или отношение современной стоимости номинальных доходов к современной стоимости номинальных затрат (если приведение осуществляется к моменту принятия решения или оценки проекта). Значение индекса доходности не зависит от того, к какой временной точке приводятся все денежные суммы, это относительный показатель. Если индекс доходности больше единицы, проект обеспечивает инвестору за все время его реализации больший доход (прирост капитала), чем обычные операции на денежном рынке. При положительной величине чистого приведенного дохода индекс доходности всегда больше единицы. Индекс доходности всегда меньше, чем рассчитанное без учета фактора времени соотношение результатов и затрат.

Для рассмотренного выше проекта индекс доходности составляет

= 1,6057, в то время как без учета фактора времени соотношение затрат и результатов составит 850 : 400 = 2,15.

Внутренняя норма доходности - такая эффективная ставка процента, при которой суммарные приведенные результаты совпадут с суммарными приведенными затратами. Для данного проекта она находится из уравнения:

Подбором параметра r определяется его значение - 0,3636, т.е. 36,36%.

Если чистый приведенный доход положителен (и, соответственно, индекс доходности больше единицы), внутренняя норма доходности выше ставки процента на денежном рынке. Внутренняя норма доходности показывает, каким темпом мог бы расти капитал инвестора, если бы все его деньги (в том числе и доходы от реализации проекта) вкладывались в подобные (с такой же внутренней нормой доходности) проекты.

Дисконтный срок окупаемости - такой период времени, по истечении которого суммарные полученные с начала реализации проекта приведенные результаты впервые сравнялись или превысили суммарные за этот же период приведенные затраты. Количественное значение дисконтного срока окупаемости не зависит от того, к какой временной точке приводятся все денежные суммы. Дисконтный срок окупаемости всегда больше так называемого бухгалтерского, при исчислении которого соизмерения денежных сумм во времени не производится. Для рассмотренного выше проекта все затраты окупятся в 4-м году реализации проекта.

При наличии бухгалтерского срока окупаемости дисконтный может отсутствовать.

Пример 15.2. Расчет дисконтного срока окупаемости проекта

Рассчитайте дисконтный срок окупаемости проекта, требующего 10 млн. руб. затрат в текущем году и обеспечивающем в последующем году и далее ежегодно по 1 млн. руб. прибыли для инвестора если годовая эффективная ставка процента на денежном рынке равна а) 12,5%; б) 8%.

Бухгалтерский срок окупаемости не связан со ставкой процента и равен 10 годам. Дисконтный срок окупаемости при значении ставки 12,5% отсутствует, так как

10 ? при любом положительном значении t. Отсутствие или наличие его можно было установить сразу, использовав формулу суммы членов бесконечной геометрической прогрессии - . При значении ставки 8% сумма членов бесконечной геометрической прогрессии превышает 10, следовательно, дисконтный срок окупаемости существует. Для его нахождения необходимо нарастающим итогом складывать ежегодные приведенные результаты и затраты (последние - со знаком минус) до тех пор пока впервые их сумма не станет положительной. Для рассмотренного простейшего случая (единовременные затраты и регулярные одинаковые результаты) значение дисконтного срока окупаемости можно найти, составив уравнение с использованием формулы суммы членов конечной геометрической прогрессии:

10 = , откуда t = 20,9, т.е. срок окупаемости такого проекта равен 21 году.

Как интерпретировать этот результат? Инвестор мог, например, открыть срочный вклад на год (с пролонгацией) под 8% годовых, а мог бы истратить эти деньги на проект, и начиная с первого года полученные доходы вносить в банк на такие же вклады. В течение 20 лет оказывалось бы, что наращенная сумма по первому вкладу еще превышает суммарные наращенные суммы с доходов от проекта, а после 21-го года соотношение изменилось бы на противоположное.

Дисконтный срок окупаемости - важнейшая характеристика инвестиционного проекта, а на его значение решающее воздействие оказывает ставка процента на денежном рынке. При больших значениях ставки процента инвесторы не склонны к долговременным вложениям, предпочитают вкладывать деньги в проекты с быстрой отдачей (в производства с коротким производственным циклом). Самым главным становится не соотношение номинальных результатов и затрат, а временной лаг между затратами и результатами.

Сами по себе позитивные значения перечисленных четырех показателей свидетельствуют лишь о том, что проект принесет больший доход, чем легко доступные операции на денежном рынке. Можно ли их использовать для выбора лучшего из двух или нескольких проектов?

Однозначный выбор лучшего проекта возможен лишь при достаточно жестких условиях - равной продолжительности срока их реализации и одинаковых (примерно одинаковых) суммах средств, необходимых для реализации проекта. Так, если возможно реализовать лишь один из проектов - первый требует 50 млн. руб., второй - 200 млн., причем у первого выше внутренняя норма доходности, меньше срок окупаемости, больше индекс доходности, то для инвестора, имеющего 200 млн. руб. это не означает, что для него предпочтительнее первый проект. А куда девать оставшиеся 150 млн.? Возможно, для них не найдется третьего хорошего проекта, и они будут приносить лишь обычный банковский процент. Далее, если один из проектов рассчитан на 3 года и имеет очень высокую внутреннюю норму доходности, а второй - на 10 лет, но внутренняя норма доходности ниже (но все равно существенно превышает ставку процента на денежном рынке), то инвестор может предпочесть второй проект просто потому, что не уверен, что после реализации первого ему “подвернется” какой-либо еще проект с высокой нормой доходности.

Некоторые проблемы, встающие перед человеком или другим субъектом экономической деятельности, было бы слишком громко называть оценкой или выбором инвестиционных проектов, однако методика выбора оптимального решения остается примерно такой же. Иногда требуется сопоставление приведенных затрат и результатов, иногда достаточно сравнить лишь приведенные затраты.

Пример 15.3. Выбор по критерию минимума суммарных приведенных затрат.

Оцените целесообразность замены лампочек накаливания так называемыми экономичными, если мощность обычной лампочки - 75 вТ, ее цена - 8 руб., срок службы - 1 год, а мощность экономичной лампочки, дающей такое же освещение - 15 вТ, цена - 200 руб., срок службы - 3 года. Время горения в течение суток - 5 часов, тариф на электроэнергию - 1 руб. за 1 кВт/час. Годовая эффективная ставка процента на денежном рынке - 6%.

Грубая оценка может быть сделана сопоставлением приведенных к первому году затрат за все 3 года. Рассчитаем вначале затраты на “обслуживание” обыкновенной лампочки. За 1825 часов ее горения в одном году придется заплатить 1825Ч0,075Ч1 = 137 (руб.), вместе с затратами на покупку лампочки это составит 145 руб. Такими же будут расходы во втором и третьем году. Экономичная лампочка в первом году потребует 200 + 137/5 = 227,4 (руб.), а в последующие 2 года - по 27,4 руб. Суммарные номинальные затраты за три года для экономичной лампочки меньше, меньше будут и приведенные к первому году затраты:

Более того, эта лампочка окупится полностью уже на втором году эксплуатации.

Изменится ли оптимальный выбор, если в течение суток лампочки горят всего по 1 часу, и следовательно, обыкновенная прослужит 5 лет, а экономичная - 15? Здесь окажется, что предпочтительнее уже обыкновенная лампочка - слишком велики потери потенциальных процентов, которые можно было получить с потраченных на приобретение экономичной лампочки денег.

Критерий приведенных затрат можно использовать и для нахождения оптимального варианта среди очень большого их числа, причем в отдельных случаях это можно делать не перебором, а аналитическими методами, определяя экстремальные точки разных функций.

Пример 7.4.

Семья потребляет ежедневно не портящихся продуктов и других товаров с коротким сроком службы на сумму 100 руб. (по розничным ценам). Эти же товары можно приобретать на мелкооптовом рынке по цене на 10% ниже. Но на поездку на рынок необходимо потратить 50 руб. Стоит ли приобретать эти товары на оптовом рынке, и если стоит, то какова оптимальная частота поездок, если все свободные денежные средства семьи приносят им доход исходя из годовой эффективной ставки 10%?

Целесообразность поездок очевидна сразу, 50 руб. окупятся уже за 6 дней. А оптимальный режим поездок определяется по критерию минимума приведенных затрат на приобретение этих товаров за всю бесконечную жизнь семьи (или достаточно продолжительную). Приведенные ко дню первой поездки затраты составят

… =

где x - то количество дней, в расчете на которое приобретаются товары на рынке.

Подбором на компьютере находится значение x, при котором последнее выражение достигает минимума: x = 65. При этом само значение приведенных затрат составляет 350568 (руб.), а совершаемые 1 раз в 65 дней траты - 5900 руб. При уменьшении величины ставки процента значение x возрастает, при увеличении - напротив, уменьшается. Иначе - повышение ставки процента стимулирует переход к более коротким и более затратным технологиям (чаще придется тратить по 50 руб. на поездку).

Каков смысл полученного значения суммарных приведенных затрат? Это та первоначальная сумма денег, которой достаточно, чтобы “на вечные времена” семья обеспечивала себя продуктами, что возможно лишь тогда, когда сумма, находящаяся на счете под 10% годовых, не уменьшается, т.е. после расходования 5900 руб. за последующие 65 дней восстанавливается до первоначальной величины за счет набегающих по вкладу процентов (ежедневно сумма остатка вклада увеличивается в раза. Выполняется соотношение: [350568 -(50 + 90Ч65)]Ч = 350568.

Зависимость оптимального решения от величины ставки процента на доступном денежном рынке объясняет тот факт, что одинаково обученные люди будут выбирать разные решения просто потому, что имеют доступ к разным финансовым рынкам. Многие слышали поговорку “я не настолько богат, чтобы покупать дешевые вещи”. У нее могут быть разные объяснения, и одно из них можно предложить с позиций финансовой математики.

Пусть есть возможность либо купить костюм за 2000 руб., который прослужит лишь один год, либо за 5500 руб., который прослужит 3 года (потребительские качества и внешний вид у них совершенно одинаковы). Какое решение должен принять человек, который имеет возможность купить любой из них? Оптимальное с финансовой точки зрения решение зависит от ставки процента на денежном рынке. Если бы она была нулевой или очень низкой, то предпочтительнее более дорогой костюм, если бы она была высокой, оказалось бы, что предпочтительнее более дешевый - сэкономленные деньги принесут за последующие 2 года такие проценты, что еще что-то и останется после приобретения третьего костюма. Если для бедного человека доступна лишь возможность хранить деньги на счете под 3% годовых, то ему выгоднее дорогой костюм, иначе, имея изначально 5500 руб., и выбрав дешевый костюм, он обнаружит, что остатка вместе с процентами не хватит на приобретение третьего дешевого костюма: [(5500 - 2000)Ч1,03 - 2000]Ч1,03 < 2000. если богатый имеет возможность получать ежегодно 10%, то для него предпочтительнее дешевые костюмы, так как [(5500 - 2000)Ч1,1 - 2000]Ч1,1 > 2000.

Приведенные примеры иллюстрирует тот факт, что проблемы оптимизации решений намного более актуальны для богатых людей (или фирм с большими денежными ресурсами), нежели для бедных. Проблема выбора стоит лишь перед тем, у кого есть по крайней мере 5500 руб. Иначе решение однозначно - вынужден покупать дешевый костюм (принимать не оптимальное по финансовому критерию решение) просто потому, что на дорогой денег не хватает. Или: отказываемся от поездок на мелкооптовый рынок просто потому, что это разумно только когда есть возможность закупить товаров сразу на 600 или более рублей. Если такой возможности нет (или это делать просто рискованно), и тем более нет возможности для закупок оптимальной партии товаров, то нет и проблемы выбора.

Раздел 7. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Для реальной экономики справедливо следующее кажущееся странным с позиций обычной математики неравенство: 1000000 (руб.) > 100000Ч10 (руб.) >10000Ч100 (руб.), т.е. 1 миллион, сконцентрированный в одном месте, дает больше возможностей, чем эта же сумма, но находящаяся в разных местах (у разных субъектов экономической деятельности). Эту закономерность можно назвать эффектом концентрации финансовых ресурсов.

Проиллюстрируем этот тезис на простом бытовом примере. Пусть у человека есть потребность приобрести однокомнатную квартиру общей площадью 40 м², цена которой 2000000 руб. Продажи в рассрочку нет и необходимо иметь всю сумму сразу. Его зарплата высока и позволяет ежемесячно откладывать 50000 руб., что достаточно для оплаты стоимости 1 м². Но ситуация осложняется тем, что цены на жилье растут (пусть растет таким же темпов и зарплата), и возможности сохранить покупательную способность сбережений нет ставка банковского процента такова, что сбережения обесцениваются в реальном выражении ежемесячно на 3%. Через сколько месяцев можно накопить сумму, достаточную для покупки квартиры?

Пусть накопления осуществляются в течение m месяцев. Тогда на последнюю зарплату можно купить 1 м², жилой площади, на предшествующую 0,971 м², на полученную еще одним месяцем ранее 0,97²1 м² и т.д. Всего за m месяцев вы сможете накопить сумму, достаточную для оплаты стоимости (1+0,97+0,97²+0,97³+ . . . + 0,97^m) квадратных метров жилья.

Легко видеть, что не существует такого m, при котором эта сумма может достичь величины 40. Ряд в скобках представляет собой геометрическую прогрессию, и даже при m сумма членов этого ряда приблизится лишь к [(1/(1-0,97) = 33,3], т.е. ни за какую длинную жизнь при описанных условиях невозможно накопить даже на 34 м².

В подобном положении оказались некоторые граждане нашей страны в первые годы рыночных реформ, после кризиса 1998 г. и даже в относительно благополучном 2004 г., когда цены на жилье подскочили очень сильно. Денег раньше хватало лишь на 70% от цены квартиры, теперь их стало больше, но этого составляет лишь 60% новой ее цены.

Что же делать? Необходима концентрация финансовых ресурсов. Если таких нуждающихся в квартирах наберется 40 человек, то их объединенные деньги позволят уже через 40 месяцев полностью решить для всех жилищную проблему (а для большинства из них - намного раньше). Если нет 40 человек, достаточно и меньшего числа - даже двое, объединившись, уже смогут решить проблему, но для этого потребуются длительные сроки. Такой способ решения проблемы можно условно назвать “коммунистическим”. Сложности его применения в реальности очевидны, и в настоящее время он является исключением из правил. Такое исключение может иметь место, например, в рамках большой дружной семьи - “сначала купим квартиру старшему сыну, затем среднему и т.д.”, либо путем создания специальных кооперативов по совместному приобретению жилья (но в последнем случае возникает много трудноразрешимых правовых проблем и возможны серьезные конфликты). Как правило, каждая семья решает жилищную проблему индивидуально.

А если бы не было роста цен? Целесообразно ли и в этом случае объединение финансовых ресурсов? С чисто экономической точки зрения - да. При индивидуальном накоплении средств каждому придется ждать 40 месяцев, при коллективном кто-то уже через месяц будет в квартире, и лишь кому-то одному (для кого, например, жребий окажется самым неудачным) придется по-прежнему ждать те же 40 месяцев. Никто не проигрывает, а 39 человек из 40 выигрывают.

...