Основы финансовых расчетов

Этот пример наглядно иллюстрирует возможную высокую экономическую эффективность концентрации (объединения) денежных средств. В подтверждение этого тезиса можно было бы приводить массу примеров. Такую зависимость могут чувствовать бедные люди, покупающие в складчину товар мелким оптом (по более низкой цене, чем в рознице) в тех случаях, когда индивидуальные оптовые закупки невозможны просто из-за нехватки денег. Простейшим примером является и депозитная политика банков - объединенный миллион может принести большие проценты, чем несколько вкладов на меньшие суммы. 400 млн. руб. в графе “ремонт и строительство школ” областного бюджета намного более ценны, чем эти же миллионы, распределенные, например, по бюджетам 40 административных районов.

Тема 16. Задачи выбора оптимального соотношения собственных и заемных средств

Экономический эффект концентрации финансовых ресурсов бесспорен. Но по различным серьезным причинам далеко не всегда этот путь решения многих проблем доступен. Очевидная альтернатива - использовать кредит (банковский или собирая деньги взаймы под проценты у знакомых). Можно ли в условиях, описанных выше, решить жилищную проблему за счет банковского кредита, т.е. взять заем в размере полной или частичной стоимости квартиры и затем постепенно погашать его?

Заем в размере полной стоимости квартиры, по-видимому, будет недоступен, поскольку при ежемесячных темпах прироста цен более 3% месячная ставка процента за кредит будет более 3%, следовательно, за первый месяц пользования кредитом придется заплатить только в качестве процентов более 60000 руб. (а это невозможно для имеющего возможность платить изначально лишь по 50000 руб.). Следовательно, необходимо в целях приобретения жилья использование как собственных, так и заемных средств. Добавление к собственным средствам заемных - это тоже разновидность концентрации финансовых ресурсов и эффект от этой концентрации может оказаться большим, чем потери от неизбежности уплаты процентов.

Целесообразность привлечения заемных средств имеет место не только в условиях постоянного роста цен и невозможности сохранения покупательной способности сбережений. Положительный эффект заимствования может иметь место в тех случаях, когда, например, приобретение собственного жилья приносит заемщику помимо необходимости уплаты процентов, еще и экономическую выгоду - в частности, прекращение выплаты арендной платы за пользование чужой собственностью или, например, - возможность получить вследствие наличия прописки высокооплачиваемую работу.

Пример 16.1.

Молодая семья хочет приобрести собственную квартиру ценой 2000000 руб. В настоящее время она проживает в арендованной и платит хозяину ежемесячно 12000 руб. (эта сумма не включает платы за коммунальные услуги). Заработная плата молодоженов составляет 40000 руб., из которых 10000 руб. необходимы им на текущие расходы, 18000 руб. они могут откладывать (остальные 12000 руб. плата за аренду жилья). Для простоты постановки задачи предположим, что деньги накапливаются в наличной форме (не открывается счет в банке и не начисляются проценты). Можно дождаться, когда накопится сумма в 2000000 руб. (на это потребуется более 111 месяцев) и только тогда приобрести собственную квартиру. Но можно недостающие для приобретения жилья деньги занять в банке исходя из расчетной ставки 24% годовых и после покупки квартиры все свободные деньги (а теперь их будет уже не 18000, а 30000 руб. в месяц) отдавать банку для погашения кредита. Выгодно ли молодоженам прибегнуть к банковскому кредиту, и если выгодно, то когда лучше всего это сделать (после накопления какой суммы собственных средств), чтобы минимизировать срок, когда квартира будет в их полной собственности (не останется задолженности перед банком)?

Очевидно, что при имеющихся доходах семья не может приобрести жилье сразу, полностью оплатив его за счет банковского кредита уже за первый месяц набегут проценты в сумме 40000 руб., а отдавать семья сможет не более 30000 руб., т.е. долг перед банком будет увеличиваться (на практике банк просто не даст такой кредит). Следовательно, необходимо иметь при оплате квартиры и собственную часть денег. Введем в качестве искомой переменной t - количество месяцев, в течение которых семья накапливает собственные деньги. Имеющим на руках 18000t руб., для покупки квартиры необходим кредит в размере (2000000 -18000t) руб. За сколько месяцев его можно погасить, отдавая банку ежемесячно 30000 руб.? Обозначим это количество месяцев как n. Тогда (2000000 - 18000t) = (такое соотношение будет иметь место при погашении кредита равными суммами и использовании актуарного метода). В правой части уравнения геометрическая прогрессия, используя формулу суммы ее членов, после упрощений получаем: (2000000 - 18000t) = .

Мы ищем такое решение, при котором t + n min. Из последнего уравнения устанавливается связь между n и t. Удобнее выразить t через n (t = ) . Поэтому экстремум находится фактически для функции от одной переменной (). Вычисляем ее производную и приравняем к нулю. После упрощений получаем уравнение: 1,02ⁿ - ln1,02 = 0 .= 1,650219. Отсюда n = log_1,02 1,650219, или n = = 25,29503.

Вычисляем t = 78,27612, и размер кредита равен 2000000 - 18000Ч78,276 = 591032 (руб.).

Но получено дробное решение, а зарплату семья может получать лишь раз в месяц, и для перехода к целочисленному необходимо проверить два ближайших значения t: t = 78 и t = 79. Если семья накопила 18000Ч78 = 1404000 (руб.), то она берет кредит в размере 594000 руб. Если накопила 18000Ч79 = 1422000 (руб.), то она берет кредит в размере 578000 руб. Посчитаем, через сколько месяцев она рассчитается с кредитором в первом и во втором случаях. При размере кредита в 594000 руб. на его погашение уйдет 25,46 месяцев (26 месяцев, но размер последнего платежа будет меньше 30000). При размере кредита в 578000 руб. на его погашение уйдет 24,58 месяца (25 месяцев). И в том и в другом случае на полное решение жилищной проблемы уйдет 104 месяца. Для выбора наилучшего решения в этом случае можно использовать вспомогательный критерий - в каком случае размер заключительного платежа будет меньшим. В нашем конкретном случае лучше брать кредит в размере 594000 руб.

Как изменилось бы полученное оптимальное решение, если стоимость квартиры составит не 2, а 1,5 млн. руб.? А если она будет 2,5 или 3 млн. руб.? Очевидно лишь, что чем дороже квартира, тем больше времени уйдет на полное решение жилищной проблемы. А как изменится оптимальный размер кредита? Для ответа на этот вопрос попробуем задать стоимость квартиры не конкретным числом, а параметром. Пусть она равна G. Тогда через t месяцев берется кредит в размере (G - 18000t). G - 18000t = = 1500000Ч(1. Отсюда

Даже не вычисляя производную видим, что значение G на нее никак не влияет. Следовательно, оптимальное значение n и величины кредита не зависит от стоимости квартиры. Это утверждение не распространяется, естественно, на тот случай, когда рассчитанный рассмотренным выше способом размер кредита окажется больше стоимости квартиры - тогда он просто определяется ее стоимостью и берется сразу, период накопления собственных средств отсутствует.

Изменится ли оптимальный размер кредита при иных, больших или меньших значениях ежемесячного дохода семьи? Пусть размер суммарного ежемесячного дохода составляет не 40000, а 50000 руб. Тогда 2000000 - 28000t = = t + n = + n

Вычисляем производную этой функции, приравниваем ее к нулю и далее находим n = 17,51066: Далее определяем t = 50,498. Оптимальное целочисленное значение t равно 50 или 51, а размер кредита - 600000 или 572000 руб. В данном случае оба решения оказываются оптимальными.

Оптимальный размер кредита при повышении ежемесячного дохода семьи изменился, но причиной тому является то, что при накоплениях по 28000 руб. в месяц невозможно было выйти на те же самые суммы собственных средств, какие получались при накоплениях по 18000 руб. ежемесячно. Можно провести еще много экспериментов, меняя размеры ежемесячных сбережений, и прийти к выводу о том, что оптимальный размер кредита никогда не превысит 600000 рублей. Отчего же зависит эта величина? Легко обнаружить, что произведение месячной ставки процента (0,02) на максимально возможную величину кредита составляет ровно 12000 рублей и совпадает с величиной платы за арендуемую квартиру. Иначе - оптимальный размер кредита определяется соотношением между полученной при приобретении собственного жилья экономической выгодой (в рассмотренном выше примере - 12000 руб. в месяц) и тем ущербом, который возникает из-за необходимости ежемесячно выплачивать проценты банку (а размер процентов максимален в первом платеже).

Итак, оптимальный размер кредита находится из неравенства: 12000 ? 0.02ЧA, (A - размер кредита), т.е. кредит необходимо брать как только размер собственных накоплений достигает такой величины, что это неравенство выполняется. Если оно выполняется как строгое, то оптимальное решение единственное, если как не строгое - то оптимальных решений два, кредит можно брать сразу или месяцем позже.

Знание этой особенности оптимального решения позволяет заметно облегчить решение задачи выбора наилучшего соотношения собственных и заемных средств. Можно избежать необходимости выражать t через n и вычисления производных. Проиллюстрируем упрощенный метод решения на другом примере. Пусть размер платы за арендуемую квартиру - 10000 руб. в месяц, расчетная ставка процента за кредит - 18% годовых, цена квартиры - 1500000 руб., размер ежемесячных сбережений семьи при проживании в арендуемой квартире - 15000 руб. Из неравенства 10000 ? 0,015Q находим Q = 666666,67 (руб.). Следовательно, необходимо накопить не менее 833333,33 руб. Впервые это будет иметь место через 56 месяцев - 15000Ч56 = 840000 (руб.). Отсюда практический оптимальный размер кредита - 660000 руб. Остается лишь определить срок, за который будет погашен кредит. n = 33,86, т.е. кредит будет погашен через 34 месяца. Размер заключительного платежа можно определить из следующего линейного уравнения: 646973,86 = 13026,14 x = 21610,32.

На практике размер заключительного платежа в примерном графике погашения долга вряд ли будет отличаться от остальных - размеры всех 34 платежей будут одинаковыми и такими, чтобы их стоимость на момент получения кредита составила ровно 660000 руб. В частности, для теоретического примерного графика величина ежемесячного платежа определится из уравнения: 660000 = .

Накопление денег в наличной форме - экономически нецелесообразное поведение. Какими бы низкими не были банковские проценты по вкладам, их наличие уменьшает сроки накопления тех или иных сумм.

Пример 16.2.

В условия примера 16.2 внесено одно изменение - деньги накапливаются в банке, на срочном вкладе, разрешающем внесение дополнительных взносов, с ежемесячным начислением и капитализацией процентов. Размер расчетной ставки - 12% годовых. Выгодно ли и в этом случае взять кредит, и если да, то после накопления какой суммы собственных средств?

Очевидно, что при накоплении средств на срочном вкладе общий срок полного решения жилищной проблемы сократится. Так, при накоплении наличными потребуется 112 месяцев, чтобы приобрести квартиру стоимостью 2 млн. руб. При накоплении на срочном вкладе срок, необходимый для того, чтобы сумма вклада вместе с причисленными банком процентами составила не менее 2 млн. руб., находится путем решения уравнения

x = = 75,09

Срок, по истечении которого на срочном вкладе накопится не менее 2 млн. руб., составляет 76 месяцев (если начальная точка отсчета - момент внесения на банковский счет первых 18000 руб., иначе - 77 месяцев).

Примечание. Приведенная выше запись уравнения предполагает, что последние 18000 руб. не вносились на счет. Возможна, конечно, ситуация, когда необходимая сумма достигается без добавления суммы сбережений за последний месяц, но общий срок от этого не изменится - хотя последние 18000 руб. и не потребовались для достижения суммы в 2 млн. руб., но предшествующие им и внесенные на счет должны были находиться там не менее месяца.

Определим, выгодно ли и в этих условиях использовать кредит банка. И здесь можно использовать “лобовой” путь решения, обозначив, например, как t - число месяцев накопления собственных средств, n - число месяцев, в течение которых гасится кредит, выразить одну переменную через другую и исследовать на наличие экстремальной точки функцию от одной переменной. Но намного проще использовать более простой способ, сопоставляя имеющие место в момент взятия кредита экономическую выгоду и ущерб, который теперь будет иметь две составляющие - проценты за кредит и проценты, потерянные из-за закрытия срочного вклада.

Пусть Q - оптимальный размер накопленных в банке средств, после достижения которого принимается решение о займе недостающих (2000000 - Q). Экономическая выгода - 12000 руб., сэкономленных на арендной плате. Ущерб - проценты банку в размере 0,02Ч(2000000 - Q) и проценты, потерянные вследствие закрытия срочного вклада (0,01Q). Составим неравенство для определения значения Q: 12000 ? 0,01Q + 0,02(2000000 - Q). Оно справедливо только для значений Q ? 2800000 (т.е. размер кредита будет отрицательный) -. не имеющих смысла в рассматриваемой задаче, если же выразить t через n, то получим t < 0.. Иначе - если есть возможность накапливать деньги в банке на указанных условиях, прибегать к заимствованию средств нецелесообразно - это лишь удлинит общий срок решения проблемы. Но если бы ставка процента по срочному вкладу составляла, например, всего 6% годовых, то оптимальный размер собственных накоплений был бы меньше 2 млн. руб. - кредит, хотя и небольшой, в этом случае целесообразен.

А если бы в условиях примера 16.2 стоимость квартиры была иной - например, не 2 млн., а 3 млн. руб.? Тогда соотношение между выгодой и ущербом было бы следующим: 12000 ? 0,01Q + 0,02(3000000 - Q), откуда размер кредита составит 4,8 млн. руб. Результат тот же самый - кредит брать невыгодно. Уменьшим стоимость квартиры до 1 млн. руб. - тогда получим Q = 800000, а оптимальный размер кредита - 200 тыс. руб. А если бы стоимость квартиры составляла 1,1 млн. руб.? Тогда получим Q = 1000000, и оптимальный размер займа - 100 тыс. руб.

Таким образом, при накоплении собственных средств в банке оптимальный размер кредита становится зависимым от стоимости квартиры, и это обусловлено тем, что величина ущерба в этом случае является функцией не только от размера кредита, но и от величины накопленных собственных средств. При стоимости жилья до 600 тыс. руб. накопление собственных средств вообще нецелесообразно - кредит выгодно брать сразу в полном объеме стоимости жилья, так как проценты даже за первый месяц не превышают экономии на арендной плате. Далее при повышении стоимости жилья оптимальный размер кредита уменьшается - экономия остается неизменной, а ущерб все возрастает. При превышении стоимости жилья величины в 1,2 млн. руб. кредит становится нецелесообразен.

Метод сопоставления ущерба и экономической выгоды можно использовать и в более сложной ситуации - в частности, когда стоимость жилья не остается неизменной, а постоянно увеличивается по какому-либо закону.

Пример 16.3.

Определите целесообразность использования банковского кредита в условиях, когда рыночная стоимость квартиры ежемесячно возрастает на 10000 руб. по отношению к первоначальному значению в 2000000 руб. (т.е. изменяется по линейному закону). Пусть накопление собственных средств осуществляется в наличной форме (не на банковском счете). Остальные условия остаются такими же, как в примере 16.1.

Пусть t - количество месяцев накопления собственных средств, следовательно 18000t - общий объем накопленных средств. Стоимость квартиры через t месяцев составит 2000000+10000t. Отсюда, потребный размер займа - 2000000 + 10000t - 18000t. Экономическая выгода при приобретении квартиры составляет 12000 + 10000 = 22000 (руб.). 10000 руб. - это экономия на рыночной стоимости при приобретении квартиры на 1 месяц раньше. Ущерб составляет 2% от размера кредита. Составляем неравенство 22000 ? 0.02Ч(2000000 - 8000t), откуда находим t = 112,5 (113). Следовательно, необходимо накопить 18000Ч113 = 2034000 (руб.), к этому моменту квартира уже стоит 2000000 + 113Ч10000 = 3130000 (руб.), следовательно, необходим кредит в размере 1096000 руб. Проценты за первый месяц обслуживания долга составят 0,02Ч1096000 = 21920 (руб.), что немного меньше экономической выгоды. Если бы решение взять кредит было принято месяцем раньше (после накопления 2016000 руб.), то необходимый размер кредита составил 1104000 руб., и проценты за первый месяц (22080 руб.) превысили бы выигрыш от того, что сэкономлено на арендной плате и более низкой стоимости квартиры.

После определения оптимального размера кредита остается лишь рассчитать срок, по истечении которого этот кредит может быть погашен.

Если бы ежемесячный прирост стоимости жилья составлял не менее 18000 руб., то задача приобретения такой квартиры для этой семьи стала неразрешимой.

Линейный закон изменения стоимости жилья - это достаточно серьезное допущение. В инфляционной экономике более логично ожидать того, что абсолютные приросты стоимости от периода к периоду будут иметь тенденцию к увеличению. Модифицируем пример 16.3 - предположим, что стоимость жилья ежемесячно возрастает на 0,5% (на 10000 руб. она увеличится в течение первого месяца, а затем прирост будет все больше и больше). За t месяцев будет накоплено 18000t руб. Стоимость жилья к этому времени составит . Необходимый размер кредита: . Сопоставим экономическую выгоду и ущерб:

Для малых значений t это неравенство не выполняется. Необходимо найти такое значение t, при котором оно становится верным.

После упрощений получаем эквивалентное неравенство:

Подбором на компьютере легко находим, что минимальное значение t, при котором оно выполняется, равно 114. Следовательно, необходимо накопить 18000Ч114 = 2052000 (руб.). К этому времени стоимость квартиры составит 3531515 руб. (2000000Ч). Размер кредита - 1479515 руб. Срок погашения при ежемесячных выплатах по 30000 руб. составит = 216,8 (217 месяцев).

Тема 17. Задачи выбора оптимальной продолжительности производственного (торгового) цикла

Во всех рассмотренных выше примерах важнейшим фактором, определяющим возможности использования заемных средств и оптимальные размеры займа, является величина ставки банковского процента. Снижение ее вдвое (при прочих неизменных условиях) привело бы к увеличению вдвое оптимальных размеров кредита. Но такая простая зависимость имеет место далеко не всегда. В качестве одного из примеров рассмотрим задачу выбора оптимальной продолжительности торгового цикла (оптимального размера закупаемой партии товара).

Пример 17.1.

Фирма осуществляет торговлю товаром по цене 1200 руб. за штуку. Ежедневный объем продаж - 100 единиц. Закупка товара осуществляется только на заемные средства, которые берутся под 0,1% в день (проценты простые). Ссуду можно брать любую и на любой срок, а условия возврата следующие - основной долг вместе с процентами возвращается единовременно по окончании срока кредитования. Закупка товара осуществляется на оптовой базе, оптовая цена единицы товара равна 1000 руб. С целью стимулирования закупок более крупными партиями база берет дополнительно за обслуживание 20 тыс. руб.

Определите оптимальную стратегию закупок товара фирмой, т.е. такую, при которой среднесуточный чистый доход фирмы будет максимальным. Количество закупаемых единиц товара должно быть кратно 100. Задачу решить, предполагая, что срок кредита равен продолжительности торгового цикла, т.е. по возвращении одного займа сразу же берется следующий для закупки очередной партии.

Обозначим искомую переменную t - количество дней распродажи каждой партии товара (можно использовать и другую переменную - n - количество закупаемых на базе единиц товара, но в этом случае используемые формулы будут немного более громоздкими). Запишем формулу определения чистого дохода от реализации одной партии товара:

1200Ч100Чt - (1000Ч100Чt + 20000)Ч(1 + 0,001Чt) - валовая выручка от реализации за вычетом расходом по приобретению партии товара вместе с набежавшими процентами.

Требуется максимизировать чистый доход в расчете на один день торговли, т.е. найти максимум функции

После раскрытия скобок, приведения подобных членов и деления на t получим:

. Вычислим производную этой функции и приравняем ее к нулю:

, откуда находим t = 14,14. Для нахождения оптимального целочисленного решения необходимо посчитать значение среднесуточного чистого дохода для t = 14 и t = 15. Максимальным оно будет при t = 14 и составит 17151,43 (руб.).

Как изменится оптимальное поведение фирмы, если суточная ставка процента понизится вдвое (до 0,05%)? Выполнив преобразования, аналогичные приведенным выше, найдем новое оптимальное значение t = 20. Таким образом, понижение ставки процента позволяет фирме перейти на более длинную и менее затратную (реже придется тратить по 20000 руб.) технологию.

Выбор оптимальной продолжительности торгового цикла зависит не только от величины расчетной ставки процента, но и от способа погашения долга.

Изменим в рассмотренном выше примере условия возврата кредита - пусть возврат осуществляется не единовременным платежом, а путем ежедневной выплаты -й части основного долга и процентов за используемую сумму в течение прошедших суток. Как изменится в этом случае оптимальное решение задачи?

Проценты при таком способе погашения кредита будут меньше, следовательно, среднесуточный доход фирмы вырастет, даже если значение t оставить равным 14. Но удешевление кредита может привести и к изменению объема закупаемой партии товара. Рассчитаем суммарную величину процентов за кредит, взятый на t дней. 100000t + 20000 - это размер займа. Проценты за первые сутки пользования им составят 0,001Ч(100000t + 20000) = 100t +20. Проценты за 2-е сутки будут меньше - , так как -я часть долга уже возвращена кредитору. Проценты за последние сутки пользования кредитом составят . Итого суммарные проценты составят .

Запишем формулу расчета среднесуточного чистого дохода фирмы:

После упрощений получаем: 19940 - . Приравняв к нулю производную этой функции, находим t = 20,005 - в таких случаях оптимальное целочисленное решение определяется однозначно: t = 20.

Еще более возрастут среднесуточный доход фирмы и оптимальный размер закупаемой партии товара, если в погашение долга фирма будет отдавать всю дневную выручку. Желающие могут убедиться в этом, выполнив необходимые алгебраические преобразования.

Как для первой, так и для второй формы погашения кредита можно вывести универсальную формулу, позволяющую определить зависимости между отдельными параметрами и оптимальной продолжительностью торгового цикла.

Пусть w - розничная цена единицы продаваемого товара, s - оптовая его цена, C - единовременные(не зависимые от размера закупаемой партии товара) затраты, p - суточная ставка процента, q - ежедневный объем реализации, t - искомая продолжительность торгового цикла. Пусть расчет с кредитором осуществляется единовременным платежом по окончании распродажи очередной партии товара.

Запишем формулу расчета чистого дохода торговой фирмы в расчете на один день торговли: - от выручки от реализации в течение t дней вычитаем затраты на приобретение партии товара плюс проценты за прошедшие дни.

Для того, чтобы определить оптимальное значение t, необходимо взять для записанной в таком виде функции частную производную (по t), что удобнее делать после раскрытия скобок и приведения подобных членов:

= (*)

Вычислим частную производную и приравняем ее к нулю для нахождения экстремальной точки этой функции, которая в данном случае будет точкой максимума.

= 0, откуда t = ,

что позволяет сделать следующие выводы:

- розничная цена не оказывает влияния на оптимальное значение t (ее изменение влияет лишь на величину среднесуточного чистого дохода);

- повышение оптовой цены (при прочих неизменных параметрах) приводит к уменьшению оптимального значения t (и сокращению чистого дохода);

- увеличения ставки процента приводит к уменьшению оптимального значения t (и сокращению чистого дохода);

- увеличение ежедневного объема реализации уменьшает оптимальное значение t (но увеличивает величину чистого дохода);

- увеличение величины единовременных затрат ведет к увеличению оптимального значения t (но уменьшает величину чистого дохода).

Для функции (*) можно взять частные производные и по другим параметрам, что позволяет получить математическое обоснование только что сформулированным утверждениям. Так, частная производная по q будет иметь вид w - s - spt, что позволяет утверждать, что при заданной продолжительности торгового цикла и неизменных остальных параметрах увеличение ежедневных объемов реализации может приводить не только к увеличению среднесуточного чистого дохода, но и к уменьшению, если ставка процента за кредит велика. Частная производная по w равна q, т.е. всегда положительна, что подтверждает тривиальный вывод о том, что увеличение цены при неизменности остальных параметров всегда приводит к увеличению среднесуточного чистого дохода. Частная производная по C всегда отрицательна () - рост этих затрат всегда снижает величину дохода. Всегда отрицательны частные производные по s и по p.

Специфика торговли состоит прежде всего в очень больших возможностях варьирования продолжительностью торгового цикла. Во многих других отраслях такие возможности очень ограничены (а иногда их просто нет, как в сельском хозяйстве). Поэтому многие отрасли нашей экономики не могли адаптироваться к высоким ставкам процента, имевшим место в первые годы рыночных реформ, что делало для них использование заемных средств практически невозможным.

Ставка процента на денежном рынке будет однозначно определять оптимальную продолжительность торгового цикла и в том случае, когда фирма не находится в условиях необходимости приобретения товара лишь за заемные средства. Пусть фирма имеет и собственный капитал в размере D. Тогда в условиях примера 17.1. ей нужен заем лишь в объеме 1000Ч100t + 20000 - D, а максимизируемая функция примет следующий вид:

Полученное оптимальное значение t окажется точно таким же, как и в примере 17.1. Оно не изменится и в том случае, когда значение D окажется превышающим сумму, необходимую для приобретения товара в расчете на t дней торговли. Как интерпретировать такой результат, и почему не увеличиваются объемы закупаемой партии с тем, чтобы реже оплачивать расходы по обслуживанию базой?

Поскольку формула для расчета оптимального значения t осталась неизменной, то при больших значениях D величина займа становится отрицательной, и начисляемые проценты увеличивают среднесуточный доход фирмы. Это соответствует ситуации, когда все свободные (не потраченные на покупку товара) деньги фирмы могут приносить ей доход, исходя из той же ставки процента. Таким образом, ставка процента ограничивает оптимальный размер закупаемой партии товара не только потому, что необходимо платить за заемные средства, но и потому что собственные деньги также могут приносить процентные доходы.

Пример 17.2

Пусть в условиях примера 17.1 возврат долга вместе с процентами осуществляется единовременным платежом, но не по окончании распродажи очередной партии товара, а раньше - как только накопленная выручка позволит это сделать.

Такая постановка проблемы требует введения двух искомых переменных: t - продолжительности торгового цикла и n - срока кредитования. Выручка за n дней (1200Ч100n) должна быть достаточна для того, чтобы рассчитаться за кредит в объеме 1000Ч100t +20000 - через n дней вместе с процентами необходимо отдать (1000Ч100t +20000)Ч(1+0,001n).

Максимизируемая функция среднесуточного чистого дохода будет следующей:

Из уравнения 1200Ч100n = (1000Ч100t+20000)Ч(1+0,001n) выразим n через t:

n =

После подстановки функция среднесуточного чистого дохода становится функцией от одной переменной:

Можно попробовать вычислить производную этой функции и приравнять ее к нулю, но намного проще подобрать такое значение t, при котором функция достигает максимума, на компьютере - при значении t = 15 значение среднесуточного чистого дохода составит 17366,64 (руб.). Остается определить n - срок, по истечении которого может быть погашен кредит: n = = 12,83 (13 дней). Выручки за 13 дней достаточно для оплаты приобретенных в кредит товаров в расчете на реализацию в течение 15 дней (с учетом условно-постоянных затрат)

Естественно, что максимальной величины среднесуточный чистый доход торговой фирмы будет иметь место в том случае, когда кредит погашается не единовременно, а частями, причем максимально возможными суммами - перечислением кредитору всей дневной выручки до тех пор, пока долг не будет полностью погашен.

Пример 17.2.

Найти в условиях примера 17.1 оптимальную продолжительность торгового цикла, если расчет с кредитором будет осуществляться аннуитетными платежами - каждый день в размере ежедневной выручки торговой фирмы.

Пусть t - искомая продолжительность торгового цикла, а n - срок обслуживания долга.

Тогда 1000Ч100t +20000 = =

а функция среднесуточного дохода имеет следующий вид:

Можно искать аналитическое решение - выразить t через n и записать формулу расчета среднесуточного чистого дохода уже как функцию от одной переменной.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ

Арифметическая прогрессия

Определение:

Формула суммы n первых членов:

Геометрическая прогрессия

Определение: . Формула n-го члена:

Формула суммы n первых членов:

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии (при |q| < 1):

Квадратное уравнение

Формула корней квадратного уравнения:

Логарифмы

Определение: ; a > 0, a ? 1

Формулы преобразований:

; ;

; (формула перехода к новому основанию)

Производные

Определение: ;

Формулы дифференцирования:

, где C - константа;

; ; ; ;

; ; ; ;

Размещено на Allbest.ru