Подземная нефтегазовая гидромеханика

Ранее уже говорилось, что для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров. Таким образом, для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиться уравнениями баланса массы (неразрывности) и количества движения (импульса).

Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны из-за значительных перепадов давления, проявления дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефтегазоотдачи.

Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, а именно уравнений состояния флюидов и пористой среды. Кроме того, для получения однозначного решения необходимо задание граничных и начальных условий.

В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамики требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного и плоского течений удаётся получить аналитическое решение.

2.1 Уравнения течения для пористой среды

2.1.1 Общая система уравнений

Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

уравнение неразрывности

; (2.1)

уравнение движения в форме Дарси

, (2.2)

где р^*=р+zr`g, r u=dG/dt, G - расход массы жидкости в единицу времени через поверхность равного потенциала (массовый дебит).

В приведённой системе уравнений k=const, м=const, т.е. среда изотропна. Для анизотропной среды слоистой структуры систему координат направляют по главным осям пласта, т.е. ось z - перпендикулярна слоям, а x, y - по плоскости слоя. В такой среде чаще рассматривают фильтрацию в предельных случаях: k_z=0 и k_z=Ґ. При k_z=0 - нет перетока газа через слои, а при k_z=Ґ - dp / dz=0, т.е. давление в каждом поперечном сечении распределяется гидростатически, а компоненты скорости, параллельные х, у, распределены равномерно по поперечному сечению потока.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным). При установившимся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации и так далее) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Таким образом, для установившейся фильтрации и уравнение неразрывности примет вид

, (2.3)

где ;

(a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; в сферических координатах - угол ? определяет изменение меридианного угла, а угол ? - широтного.

Для несжимаемой жидкости (?=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

. (2.4)

2.1.2 Общая система уравнений

Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

уравнение неразрывности

; (2.1)



уравнение движения в форме Дарси

, (2.2)

где р^*=р+zr`g, r u=dG/dt, G - расход массы жидкости в единицу времени через поверхность равного потенциала (массовый дебит).

В приведённой системе уравнений k=const, м=const, т.е. среда изотропна. Для анизотропной среды слоистой структуры систему координат направляют по главным осям пласта, т.е. ось z - перпендикулярна слоям, а x, y - по плоскости слоя. В такой среде чаще рассматривают фильтрацию в предельных случаях: k_z=0 и k_z=Ґ. При k_z=0 - нет перетока газа через слои, а при k_z=Ґ - dp / dz=0, т.е. давление в каждом поперечном сечении распределяется гидростатически, а компоненты скорости, параллельные х, у, распределены равномерно по поперечному сечению потока.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным). При установившимся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации и так далее) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Таким образом, для установившейся фильтрации и уравнение неразрывности примет вид

, (2.3)

где ;

(a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; в сферических координатах - угол Q определяет изменение меридианного угла, а угол j - широтного.

Для несжимаемой жидкости (r=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

. (2.4)

2.1.3 Уравнения потенциального движения

Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция

. (2.5)

Равенство (2.5) можно переписать в виде

(2.6)

или, учитывая закон Дарси,

. (2.7)

Здесь r`u - вектор массовой скорости фильтрации; gradj - градиент потенциала j, направленный в сторону быстрейшего возрастания j,

;

(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; i, j, k , e_Q , e_j , e_r , e_z - единичные векторы по осям координат x, y, z , Q, j, r и z (цилиндрическая система ).

Уравнение (2.7) - это закон Дарси, записанный для потенциального течения.

Подставляя (2.7)в (2.1), получаем

, (2.8)

а для установившегося течения

. (2.9)

Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства:

сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;

произведение частного решения на константу - также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции - сложения фильтрационных течений.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

,

где (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.

2.2 Уравнения фильтрации для трещиновато-пористой среды

2.2.1 Общая система уравнений

В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать её характерные особенности :

моделирование связано с порами разных масштабов (среда 1 - роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен - пористые блоки; среда 2 - обычная пористая среда, образующая блоки);

между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.

При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q_1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.

Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем:

. (2.10)

Для жидкости в пористых блоках

. (2.11)

Здесь q_1,2 - масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма (размерность МL^-3T^-1, где М - размерность массы, L - расстояния и Т - времени).

Будем полагать, что q_1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред

q_1,2=Q (j₂ - j₁), (2.12)

где Q - коэффициент переноса, размерности L^-2.

Для чисто трещиноватого пласта считаем q_1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р₁=р₂=р получаем

(2.13)



Для чисто трещинного пласта

. (2.14)

2.2.2 Общая система уравнений

В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать её характерные особенности :

моделирование связано с порами разных масштабов (среда 1 - роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен - пористые блоки; среда 2 - обычная пористая среда, образующая блоки);

между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.

При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q_1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.

Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем:

. (2.10)

Для жидкости в пористых блоках



. (2.11)

Здесь q_1,2 - масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма (размерность МL^-3T^-1, где М - размерность массы, L - расстояния и Т - времени).

Будем полагать, что q_1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред

q_1,2=Q (j₂ - j₁), (2.12)

где Q - коэффициент переноса, размерности L^-2.

Для чисто трещиноватого пласта считаем q_1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р₁=р₂=р получаем

(2.13)

Для чисто трещинного пласта

. (2.14)

2.3 Начальные и граничные условия

Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для потенциала.

2.3.1 Начальные условия

j = j_о(x,y,z) при t = 0, (2.15)

если при t = 0 пласт не возмущён, то j = j_о = const.

2.3.2 Граничные условия

Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).

А) Внешняя граница Г

1)постоянный потенциал

j(Г,t)=j_к=const, (2.16)

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы через границу

G = Fr`u = const, т.е. используя уравнение (2.7)

(2.17)

3) переменный поток массы через границу

(2.18)

4) замкнутая внешняя граница

(2.19)

5) бесконечный пласт

lim_x®Ґ j(Г,t) = j_к = const. (2.20)

В) Внутренняя граница

1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса r_c

j(r_c , t)=j_c=const ; (2.21)

2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси)

; (2.22)

3) переменный потенциал на забое

j(r_c ,t)=f₂(t) при r=r_c; (2.23)

4) переменный массовый дебит

; (2.24)

5) неработающая скважина

(2.25)

Основные граничные условия - А1, А5 и В1, В2.

2.3.2 Начальные условия

j = j_о(x,y,z) при t = 0, (2.15)

если при t = 0 пласт не возмущён, то j = j_о = const.

2.3.3 Граничные условия

Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).

А) Внешняя граница Г

1)постоянный потенциал

j(Г,t)=j_к=const, (2.16)

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы через границу

G = Fr`u = const, т.е. используя уравнение (2.7)

(2.17)

3) переменный поток массы через границу



(2.18)

4) замкнутая внешняя граница

(2.19)

5) бесконечный пласт

lim_x®Ґ j(Г,t) = j_к = const. (2.20)

В) Внутренняя граница

1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса r_c

j(r_c , t)=j_c=const ; (2.21)

2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси)

; (2.22)

3) переменный потенциал на забое

j(r_c ,t)=f₂(t) при r=r_c; (2.23)

4) переменный массовый дебит

; (2.24)

5) неработающая скважина

(2.25)

Основные граничные условия - А1, А5 и В1, В2.

2.3.4 Граничные условия

Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).

А) Внешняя граница Г

1)постоянный потенциал

--j(Г,t)=j_к=const, (2.16)

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы через границу

G = Fr`u = const, т.е. используя уравнение (2.7)

(2.17)

3) переменный поток массы через границу



(2.18)

4) замкнутая внешняя граница

(2.19)

5) бесконечный пласт

lim_x®Ґ--j(Г,t) = j_к = const. (2.20)

В) Внутренняя граница

1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса r_c

j(r_c , t)=j_c=const ; (2.21)

2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси)

; (2.22)

3) переменный потенциал на забое

j(r_c ,t)=f₂(t) при r=r_c; (2.23)

4) переменный массовый дебит

; (2.24)

5) неработающая скважина

(2.25)

Основные граничные условия - А1, А5 и В1, В2.

2.4 Замыкающие соотношения

Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей r, m, k, м от давления.

2.4.1 Зависимость плотности от давления или уравнения состояния

Различают жидкости:

а) Несжимаемую ---r=соnst. (2.26)

в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах за счёт расширения объёма нефти и воды при снижении давления

, (2.27)

где b_с - коэффициент объёмного расширения,



,

V_с - объём жидкости; b_с= (7-30)10^-10 Па^-1- для нефти и (2,7-5)10^-10Па^-1 для пластовой воды.

с) Сжимаемую - газ, имеющую место при разработке газовых и газоконденсатных залежей. До р_пл < 9 МПа и D р < 1 МПа можно использовать уравнение состояния совершенного газа

р=r R T, (2.28)

где R - газовая постоянная, Т - температура.

Совершенный газ - это газ, молекулы которого не имеют объёма и не взаимодействуют между собой.

При изотермическом процессе (Т= const ) используют соотношение

. (2.29)

Если р_пл > 9 МПа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа

р=zr R T, (2.30)

где z - коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении.

2.5 Замыкающие соотношения

Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей r, m, k, м от давления.

Зависимость плотности от давления или уравнения состояния

Различают жидкости:

а) Несжимаемую - r=соnst. (2.26)

в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах за счёт расширения объёма нефти и воды при снижении давления

, (2.27)

где b_с - коэффициент объёмного расширения,

,

V_с - объём жидкости; b_с= (7-30)10^-10 Па^-1- для нефти и (2,7-5)10^-10Па^-1 для пластовой воды.

с) Сжимаемую - газ, имеющую место при разработке газовых и газоконденсатных залежей. До р_пл < 9 МПа и D р < 1 МПа можно использовать уравнение состояния совершенного газа

р=r R T, (2.28)



где R - газовая постоянная, Т - температура.

Совершенный газ - это газ, молекулы которого не имеют объёма и не взаимодействуют между собой.

При изотермическом процессе (Т= const ) используют соотношение

. (2.29)

Если р_пл > 9 МПа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа

р=zr R T, (2.30)

где z - коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении.

Зависимость вязкости от давления

До давления меньше давления насыщения вязкость можно принимать не зависящей от давления, а при больших значениях давления

. (2.31)

Зависимость пористости от давления

Пористость связана, в первую очередь, с давлением между частицами пористой среды - эффективным давлением s_эф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается, что

s_эф + р_пл = р_горн = const. (2.32)



Здесь р_пл - поровое давление; р_горн= r_горн g H -горное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности r_горн; Н - глубина залегания пласта.

При разработке р_пл падает и, согласно (2.32), растёт s_эф. Увеличение s_эф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что

, (2.33)

где b_т - коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 - 2)10^-10Па^-1.

Зависимость проницаемости от давления

В связи с уменьшением пористости при увеличении давления, также по аналогичному закону уменьшается проницаемость

. (2.34)

При D р < 10 Мпа показатель в (2.27, 2.33 -2.34) меньше 1 и, следовательно, данные экспоненциальные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получаем

, (2.36)

где j - общее обозначение выше приведённых параметров.



3. Установившаяся ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ одномерная фильтрация

При данных условиях

¶--/--¶--t=0 и Dj=0. (3.1)

3.1 Виды одномерных потоков

Одномерным называется поток, в котором параметры являются функцией только одной пространственной координаты, направленной по линии тока. К одномерным потокам относятся:

прямолинейно-параллельный:

плоско-радиальный;

радиально-сферический.

3.2 Виды одномерных потоков

Одномерным называется поток, в котором параметры являются функцией только одной пространственной координаты, направленной по линии тока. К одномерным потокам относятся:

прямолинейно-параллельный:

плоско-радиальный;

радиально-сферический.

Описание одномерных потоков

1.Прямолинейно-параллельный поток. Траектории всех частиц жидкости - параллельные прямые, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока равны между собой, поверхности равных потенциалов (эквипотенциальные поверхности) и поверхности равных скоростей (изотахи) являются плоскими поверхностями, перпендикулярными траекториям. Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока идентичны, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат - ось х.

Рис. 3.1. Схема прямолинейно-параллельного течения

Примеры

а) Пласт (рис.3.1) имеет в плане полосообразную форму шириной B и длиной L, толщина пласта h постоянна, граничный контур непроницаем и непроницаемы кровля и подошва пласта. Батарея эксплуатационных скважин расположена параллельно начальному контуру нефтеносности. Приближение тем больше, чем меньше расстояние между скважинами и если заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой - галереей, то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно-параллельным.

б) Поток между круговыми батареями нагнетательных и эксплуатационных скважин в случае больших радиусов батарей (угол схождения векторов скорости бесконечно мал). При этом толщина пласта постоянна, а его кровля и подошва непроницаемы.

в) в лабораторных условиях при течении через цилиндрический керн или прямую трубу постоянного сечения, заполненную пористой средой или трещинной средой.

2.Плоскорадиальный поток. Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру скважины, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока параллельны и равны между собой; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют цилиндрические окружности с осью, совпадающей с осью скважины. Схемы линий тока в любой горизонтальной плоскости потока будут идентичными и для характеристики потока достаточно рассмотреть движение жидкости в одной горизонтальной плоскости.

a b

Рис. 3.2. Схема плоско-радиального течения: a - горизонтальное сечение; b -вертикальное сечение

Примеры

а) Горизонтальный пласт постоянной толщины (h) и неограниченной протяженности, подошва и кровля пласта непроницаемы. Пласт вскрыт единственной гидродинамически совершенной скважиной (рис.3.2), т.е. вскрыт на всю толщину и забой полностью открыт. Для эксплуатационной скважины поток - радиально-сходящий, а для нагнетательной - радиально-расходящий. Плоскорадиальным потоком будет занята вся зона от стенки скважины до контура питания.

б) Гидродинамически несовершенная скважина (скважина с перфорированным забоем - несовершенство по характеру вскрытия или не полностью вскрывшая пласт - несовершенство по степени вскрытия) - вблизи скважины линии тока искривляются и поток можно считать плоскорадиальным только при некотором удалении от скважины.

в) Круговая батарея эксплуатационных скважин - поток плоскорадиален на некотором удалении, т.к. жидкость движется как бы к укрупнённой скважине радиуса, равного радиусу окружности батареи.

3. Радиально-сферический поток. Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру полусферического забоя; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют сферические поверхности. Скорость фильтрации в любой точке потока является функцией только расстояния этой точки от центра забоя. Следовательно, этот вид фильтрационного потока также является одномерным.

Рис. 3.3. Схема радиально-сферического течения

Такой поток может реализовываться, когда скважина вскрывает только плоскую горизонтальную, непроницаемую кровлю пласта (рис.3.3). Пласт при этом должен быть неограниченной толщины, а забой иметь полусферическую форму. Приближение к данному виду потока тем лучше, чем глубина вскрытия меньше толщины пласта.

Описанные три вида одномерного потока играют большую роль при решении многих задач нефтегазопромысловой практики. Они лежат в основе ряда исследований закономерностей течения жидкости в пласте, в зависимости от принятой системы разработки или от конструктивных особенностей скважин. Естественно, моделируя каждый из трёх видов одномерного потока, мы прибегаем к некоторой схематизации реальных пластов и течений жидкости. Тем не менее, рассмотренные схемы не только воспроизводят, хотя и приближенно простейшие случаи течения жидкости в реальном пласте, но и помогают изучать более сложные виды потоков пластовой жидкости в тех случаях, в которых сложный фильтрационный поток удобно представить себе состоящим из простейших видов потока.

3.3 Исследование одномерных течений

Задача исследования

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

Задача исследования

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

Решение общего дифференциального уравнения установившегося потенциального одномерного потока.

Показатель формы потока

При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки от:

галереи (для прямолинейно- параллельного потока);

центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоскорадиального потока);

центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

В случае одномерного потока пласт представляется укрупнённой трубкой тока, а из условия неразрывности потока (уравнение 2.3) следует, что при установившейся одномерной фильтрации массовый расход G через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r=const, в трубке тока будет один и тот же. Таким образом

r u= G /F( r ), (3.2)

где F=F( r ) - площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r. Отметим, в данном случае средняя скорость фильтрации на некоторой эквипотенциальной поверхности совпадает со скоростью фильтрации в любой точке этой поверхности.

Определим величину площади F для различных видов одномерных потоков:

прямолинейно-параллельный поток - F( r )=Bh;

плоскорадиальный поток - F( r ) =2p h r;

радиально-сферический поток - F( r ) = 2p r².

Обратившись к уравнению (2.7) следует отметить, что положительный массовый дебит будет в тех случаях, когда r отсчитывается от стока, т.е. галерея или скважина - эксплуатационная. Приравнивая правые части (2.7) и (3.2), получаем общее дифференциальное уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока:

, (3.3)

где А и j имеют следующие значения:

прямолинейно-параллельный поток - A = Bh, j = 0;

плоскорадиальный поток - A =2p h, j = 1;

радиально-сферический поток - A = 2p, j = 2.

Параметр j получил название показателя формы потока, т.к. характеризует вид одномерного течения.

Разделив в (3.3) переменные и проинтегрировав, получим:

, (3.4)

где С - произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.

Из формулы (3.4) следует, что она верна при значениях j=0;2. При j=1 (плоскорадиальный поток) интегрирование (3.3) даёт

. (3.5)

Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, т.е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи.

Известны: постоянный массовый дебит G и значение потенциала j на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины (G = G₀ = const, j = j _к при r = r_к ).

Подставляя данные значения в (3.4), получаем:

. (3.6)



Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита G = G₀ = const.

2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на границе пласта с областью питания (на контуре питания). Т.о. j = j _с при r = r_c ; j = j _к при r = R_к . Подставляя в равенство (3.4) один раз значения R_к и j _к, а другой раз значения j _с и r_c, и исключая из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G или объёмный дебит Q:

(3.7)

где значения А и j приведены выше.

Исключая из (3.6) величину G / A, при помощи формулы (3.7) получаем:

. (3.8)

По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит неизвестен.

В случае плоскорадиального потока (j = 1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:



(3.9)

(3.10)

Таким образом, формулы (3.9), (3.10) действительны только для плоскорадиального потенциального потока любой жидкости. Для других видов одномерного движения имеем формулы (3.7), (3.8). Распределение градиента потенциала описывается зависимостью (3.3).

Потенциальные функции

В предыдущем разделе были получены соотношения, определяющие массовый дебит (3.7, 3.9), распределения потенциала (3.8, 3.10) и градиента потенциала (3.3). В то же время для задач исследования необходимо определение объёмного дебита, давления и скорости фильтрации. В связи с этим, определим выражения потенциальной функции

(2.5)

для случаев флюидов (табл.3.1) различной физической природы (жидкость или газ), а также различных типов коллекторов (пористые или трещиноватые).

Таблица 3.1

№	Вид коллектора	Характеристики	Вид флюида	Характеристики	Потенциал
1	Недеформируемый (пористый) пласт	k=const	Несжимаемая жидкость	?=const; м=const
2	Трещиноватый (деформируемый) пласт	смотри 2*, ?* ? 0,01.10-5 -0,006.10-5 м2/н.	Несжимаемая жидкость	?=const; м =const
3	Недеформируемый (пористый) пласт	k=const	Упругая жидкость	; м =const;
4	Недеформируемый (пористый) пласт	k=const	Совершенный газ	? = ?cт р/ рст - изотермическое течение; м =const
5	Недеформируемый (пористый) пласт	k=const	Реальный газ	р=z? R T - общий случай; м =const; - изотермическое течение	, где ; для средних м и z

2^* -

Анализ основных видов одномерного течения по закону Дарси

Для практического исследования фильтрационных потоков необходимо знать распределение не абстрактной функции - потенциала, а конкретных физических параметров - давления, скорости, закона движения и т.д. Следовательно, необходим переход от зависимостей (3.3, 3.7-3.10) к зависимостям, определяющим выше перечисленные параметры при использовании, приведенных в разделе 3.2.3. выражений для потенциальной функции.

Течение несжимаемой жидкости через недеформируемый (пористый) пласт

· прямолинейно-параллельное (j=0, А=Вh, F=A),

· радиально-сферическое (j=2, А=2р, F=2рr²):

; ,

где;

· плоско-радиальное (F=2рhr):

; ,

где ;

Средневзвешенное давление ;

Уравнение движения - интегрируем по времени от 0 до t и по расстоянию от R₀ до r, где R₀ - начальное положение частицы флюида.

Таблица 3.2

закон фильтрации вид течения	прямолинейно-параллельное	плоско-радиальное	радиально-сферическое
Распределение давления			, где
Градиент давления
Уравнение притока
Уравнение движения
средневзвешенное давление	, т.к.	, т.к.	, т.к.

При выводе соотношения для средневзвешенного давления в случае плоско-радиального течения интеграл не берется в конечном виде. Поэтому подинтегральное выражение приводится к виду и раскладывается в ряд Тейлора. Беря первые два члена ряда, а именно, 1 -х/2 получаем выражение, которое можно интегрировать по частям. После пренебрежения членами с r²_c получаем выше приведенное соотношение.

Уравнение притока в случае плоско-радиального течения получило название соотношения Дюпюи.

Рис. 3.4. Индикаторная диаграмма в случае плоскорадиального течения несжимаемой жидкости в недеформируемом пласте по закону Дарси

Анализ:

Плоско-радиальное течение.

Дебит не зависит от r, а только от депрессии ? р_к. График зависимости Q от ? р_к (рис.3.4) называется индикаторной диаграммой, а сама зависимость - индикаторной. Отношение дебита к депрессии называется коэффициентом продуктивности скважины

(3.11)

Рис. 3.6. Распределение давления по радиусу

Рис. 3.5. Зависимость градиента давления и скорости от расстояния до центра скважины

2. Градиент давления и, следовательно, скорость u обратно пропорциональны расстоянию (рис.3.5) и образуют гиперболу с резким возрастанием значений при приближении к забою.

3. Графиком зависимости р=р(r) является логарифмическая кривая (рис.3.6), вращением которой вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая воронкой депрессии. Отсюда, основное влияние на дебит оказывает состояние призабойной зоны, что и обеспечивает эффективность методов интенсификации притока.

4. Изобары - концентрические, цилиндрические поверхности, ортогональные траекториям.

5. Дебит слабо зависит от величины радиуса контура r_к для достаточно больших значений r_к /r_c, т.к. r_к /r_c входят в формулу под знаком логарифма.

Течение совершенного газа через недеформируемый пласт

· прямолинейно-параллельное (j=0, А=Вh, F=A),

· радиально-сферическое (j=2, А=2р, F=2рr²):

; ,

где;

· плоско-радиальное (F=2рhr):

; ,

где ;

· средневзвешенное давление ;

· уравнение движения - интегрируем по времени от 0 до t и по расстоянию от R₀ до r, где R₀ - начальное положение частицы флюида.

Таблица 3.3

№	1	2	3
закон фильтрации вид течения	прямолинейно-параллельное	плоско-радиальное	радиально-сферическое
Распределение давления Р=р2			, где
Градиент давления
Уравнение притока
Уравнение движения	, т.к. ;

При выводе средневзвешенного давления для плоско-радиального течения интеграл не берется в конечном виде. Поэтому подинтегральное выражение приводится к виду и раскладывается в ряд Тейлора. Беря первые два члена ряда 1 -х/2 получаем выражение, которое можно интегрировать по частям. после пренебрежения членами с r²_c получаем выше приведенное соотношение.

АНАЛИЗ

Плоско-радиальное течение

· Распределение давления

Рис. 3.7. Распределение давления при плоскорадиальном течении в недеформируемом пласте:

1 - газ;

2 - несжимаемая жидкость

Если сравнить распределения давления в случае потока газа с соответствующим распределением для однородной несжимаемой жидкости (рис. 3.7), то увидим, что для газа давление вблизи стенок скважины изменяется более резко, чем для несжимаемой жидкости. Пьезометрическая кривая для газа имеет, следовательно, более пологий характер на большем своём протяжении, чем кривая несжимаемой жидкости; однако у неё более резкий изгиб у стенки скважины, чем у кривой несжимаемой жидкости.

Рис. 3.8. Индикаторная зависимость при фильтрации газа по закону Дарси

Уравнение притока (уравнение индикаторной линии)

Индикаторная зависимость для газа описывает параболическую зависимость дебита Q_ст от депрессии ?р_к (рис.3.8) и линейную зависимость дебита от разницы квадратов пластового и забойного давлений в отличие от индикаторной зависимости для несжимаемой жидкости, где устанавливается линейная связь дебита с депрессией.

Уравнение притока устанавливает линейную связь между дебитом и разностью квадратов контурного и забойного давлений, поэтому для простоты исследований индикаторная диаграмма при фильтрации идеального газа по закону Дарси строится в координатах Q_ст -(р_к²-р_с²). В этом случае имеем прямую (рис.3.9), проходящую через начало координат с угловым коэффициентом

Рис. 3.9. Индикаторная зависимость при фильтрации газа по закону Дарси в переменных Q - ?p²

. (3.12)

Запишем уравнение притока в координатах Q_ст - (р_к-р_с). Так как Q_cт=a(р_к²-р_с²), а разность квадратов р_к² - р_с² = 2р_кDр_с - (Dр_с)², где (Dр_с= р_к - р_с ), то



.

Таким образом, для случая фильтрации совершенного газа по закону Дарси, имеем параболу с осью, параллельной оси дебитов (рис.3.8). Ветвь параболы, изображенная пунктиром, физического смысла не имеет.

Распределение градиента давления

Градиент давления вблизи забоя резко возрастает как за счёт уменьшения r, так и за счёт падения давления р, вызванного сжимаемостью газа.

Изменение скорости фильтрации получим из закона Дарси

. (3.13)

Из (3.13) видно, что скорость фильтрации слабо меняется вдали от скважины и резко возрастает в призабойной зоне.

Реальный газ и недеформируемый пласт

Следует использовать при давлении р_пл>10МПа и депрессии на пласт р_с/р_к<0.9.

Как и в предыдущем случае, полагаем k=const. Уравнение состояния реального газа имеет вид

р = zr R T . (2.30)

или для изотермического течения газа

, (3.14)

Потенциальная функция имеет вид

, (3.15)

где `z = (z<sub>c</sub>+z<sub>к</sub>) / 2;--`м = (м_c+м_к) / 2; z_с =z(p_с), м_с =м (p_с), z_к =z(p_к), м_к =м (p_к ).

Подставив в (3.9) выражение потенциала (3.15) и перейдя от массового дебита к объёмному, приведённому к стандартным условиям,

Q_ст = G/r_cm, получим уравнение притока:

. (3.16)

Полученное выражение для дебита реального газа отличается от выражения для совершенного газа среднепластовыми множителями `h и `z. Если сравнить расчётные значения, то можно заметить, что дебиты реального газа ниже дебитов совершенного при тех же условиях. Для тяжелых углеводородов дебит природного газа может составлять всего лишь 72% дебита совершенного.

Течение несжимаемой жидкости в трещиноватом (деформируемом) пласте

Для данных условий

(3.17)

и основные зависимости имеют вид:

распределение давления

(3.18)

градиент давления

(3.19)

объёмный дебит

, (3.20)

где знаки перед выражением в правой части зависят от того, является ли скважина эксплуатационной или нагнетательной;

скорость фильтрации

. (3.21)

При малых депрессиях на пласт из-за малости b^* можно считать, что

и тогда зависимость для давления (3.18) переходит в вид, аналогичный распределению давления в недеформируемом пласте.

При b^*=0, т.е. для недеформируемого трещиноватого пласта, после раскрытия неопределённости в формуле (3.20) получаем формулу Дюпюи.

Рис. 3.10. Кривые распределения давления:

1- недеформируемый пласт 2 - трещиноватый пласт

Анализ:

1. В общем случае воронка депрессии для деформируемого пласта более крутая, чем для недеформируемого, пористого (рис. 3.10). Указанный характер графиков подтверждает, что в деформируемом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные фильтрационные сопротивления, вызывающие резкое понижение давления на сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим b^*.

2. Из формулы для объёмного дебита (3.20) следует, что индикаторная кривая - парабола четвёртого порядка с координатами вершины:

. (3.21)

Рис. 3.11. Вид индикаторной кривой при фильтрации несжимаемой жидкости в трещиноватом пласте

Парабола проходит через начало координат, симметрична относительно оси, параллельной оси дебитов; вторая ветвь смысла не имеет (рис.3.11). Однако если учесть реальные пластовые условия (полного смыкания трещин не происходит, т.к. не учитываются факторы, связанные с изменением характеристик течения из-за изменения раскрытия трещин в направлении потока), то можно говорить только о приближённом выполнении экстремальных условий (3.21).

Комплексный параметр b^* можно определить или графоаналитически или непосредственно из (3.21), взяв по индикаторной кривой два известных значения дебита Q₁ и Q₂ при двух значениях депрессии Dр_с1 , Dр_с2 , т.е. из соотношения

. (3.22)

По найденному b^* можно из уравнения (3.21) определить проницаемость k⁰_т.

Потенциальное движение упругой жидкости через недеформируемый пласт

При данном виде течения

. (3.23)

Подобно тому, как в случае однородной несжимаемой жидкости существует линейная зависимость между потенциалом j и давлением р, так в установившимся потоке малосжимаемой жидкости существует линейная зависимость между j и плотностью r . Это означает, что для упругой жидкости зависимость между r и координатой r выражается точно теми же формулами, какими выражается зависимость между р и r при однородной несжимаемой жидкости. Чтобы найти зависимость для давления подставим в уравнения, связывающие переменные r и r, значения r, r_к и r_с, определяемые уравнением состояния (2.27). Тогда для плоскорадиального течения имеем

. (3.24)

Если взять приближенное линейное уравнение состояния, то придём к тем же зависимостям между р и r , что и при однородной несжимаемой жидкости.

Массовый дебит для упругой жидкости определяется из (3.5) при подстановке j из (3.23)

. (3.25)

Приближенная формула массового дебита получается при использовании линейного уравнения состояния

. (3.26)

Разделив G на плотность r, найдем объёмный дебит Q , приведённый к тому давлению, которому соответствует плотность r. Так, приводя объёмный дебит к стандартному давлению в 0,1013 МПа, делим G на r_ст . В этом случае формула (3.26) будет совпадать с формулой Дюпюи, справедливой для несжимаемой жидкости.

Пренебрегать сжимаемостью жидкости в установившемся потоке можно только при условии достаточно малой величины коэффициента b_ж и не очень большого перепада давления D р_с = р_к - р_с. В этом случае можно, как для несжимаемой жидкости, считать постоянным вдоль потока не только массовый дебит, но и объёмный. В противном случае, вдоль потока: постоянен только массовый дебит; массовая скорость фильтрации изменяется по тому же закону, что скорость фильтрации для несжимаемой жидкости.

...