Подземная нефтегазовая гидромеханика

При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет соответствовать

Р=р², ж -- ж ^/=, ----- .

Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением

. (4.38)



a b

Рис. 4.9. Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и изменение давления с течением времени в фиксированных точках пласта (b)

При малых значениях r²/(4?^/t) можно заменить интегрально-показательную функцию логарифмической

.(4.39)

Формулы (4.38),(4.39) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации - имеют максимальную кривизну вблизи скважины (рис.4.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис.4.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r = r_c) после начала работы скважины.

Уравнение (4.39) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки кривой восстановления давления. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений.

Уравнение Лейбензона

Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа.

Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде

. (4.35)

Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид

. (4.36)

Обозначив р²=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации, получим уравнение Лейбензона:

. (4.37)

По внешнему виду уравнение (4.37) не отличается от уравнения пьезопроводности (4.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (4.37) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности упругой жидкости и аналитически решается приближенно.

Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р в b заменяется на некоторое постоянное : Лейбензон предложил замену на р_к (начальное давление в пласте); Чарный - на р_ср=р_min+0,7(p_max-p_min), где p_max и p_min - максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период.

При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет соответствовать

Р=р², ж -- ж ^/=, ----- .

Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением

. (4.38)

a b

Рис. 4.9. Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и изменение давления с течением времени в фиксированных точках пласта (b)

При малых значениях r²/(4?^/t) можно заменить интегрально-показательную функцию логарифмической

.(4.39)

Формулы (4.38),(4.39) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации - имеют максимальную кривизну вблизи скважины (рис.4.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис.4.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r = r_c) после начала работы скважины.

Уравнение (4.39) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки кривой восстановления давления. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений.



5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ

5.1 Связь с проблемой нефтегазоотдачи пластов

При добычи нефти происходит замещение её водой или газом, как при естественных режимах эксплуатации, так и при эксплуатации с поддержанием пластового давления. Разработка газовых и газоконденсатных месторождений также часто сопровождается вытеснением газа водой или при наличии нефтяной оторочки - нефтью.

Взаимодействие различных флюидов между собой и с пористой структурой пласта обуславливает капиллярные явления, неполное и неравномерное вытеснение, образование в продуктивном пласте зон совместного течения флюидов, т. е. многофазной фильтрации.

Жидкости и газы, насыщающие нефтегазоконденсатные пласты, представляют собой смеси углеводородных, а также неуглеводородных компонентов, некоторые из которых способны растворяться в углеводородных смесях. При определенных условиях залегания и режимах разработки нефтяных и нефтегазоконденсатных месторождений в пласте возникает многофазное течение сложной многокомпонентной смеси, при котором между движущимися с различными скоростями фазами осуществляется интенсивный массообмен. Переход отдельных компонентов из одной фазы в другую влечет за собой изменение составов и физических свойств фильтрующихся фаз. Такие процессы происходят, например, при движении газированной нефти при вытеснении её водой или газом, при разработке месторождений сложного компонентного состава, при вытеснении нефти оторочками активной примеси (полимерными и щелочными растворами; различными жидкими и газообразными растворителями, применяющимися для увеличения нефтегазоотдачи). Основой для расчета таких процессов служит теория многофазной многокомпонентной фильтрации.

5.2 Связь с проблемой нефтегазоотдачи пластов

При добычи нефти происходит замещение её водой или газом, как при естественных режимах эксплуатации, так и при эксплуатации с поддержанием пластового давления. Разработка газовых и газоконденсатных месторождений также часто сопровождается вытеснением газа водой или при наличии нефтяной оторочки - нефтью.

Взаимодействие различных флюидов между собой и с пористой структурой пласта обуславливает капиллярные явления, неполное и неравномерное вытеснение, образование в продуктивном пласте зон совместного течения флюидов, т. е. многофазной фильтрации.

Жидкости и газы, насыщающие нефтегазоконденсатные пласты, представляют собой смеси углеводородных, а также неуглеводородных компонентов, некоторые из которых способны растворяться в углеводородных смесях. При определенных условиях залегания и режимах разработки нефтяных и нефтегазоконденсатных месторождений в пласте возникает многофазное течение сложной многокомпонентной смеси, при котором между движущимися с различными скоростями фазами осуществляется интенсивный массообмен. Переход отдельных компонентов из одной фазы в другую влечет за собой изменение составов и физических свойств фильтрующихся фаз. Такие процессы происходят, например, при движении газированной нефти при вытеснении её водой или газом, при разработке месторождений сложного компонентного состава, при вытеснении нефти оторочками активной примеси (полимерными и щелочными растворами; различными жидкими и газообразными растворителями, применяющимися для увеличения нефтегазоотдачи). Основой для расчета таких процессов служит теория многофазной многокомпонентной фильтрации.

5.3 Основные характеристики многофазной фильтрации

Углеводородные системы могут быть гомо- и гетерогенными. В гомогенной системе все её части имеют одинаковые физические и химические свойства. Составляющие гомогенной системы (называемые компонентами) “размазаны” по пространству и взаимодействуют на молекулярном уровне. Для гетерогенной системы физические и химические свойства в разных точках различны. Гетерогенные системы состоят из фаз. Фаза - это часть системы, которая является гомогенной и отделена от других фаз отчетливыми границами. Взаимодействие между фазами происходит на поверхностях раздела. Смесь воды, нефти и газа в пласте - типичный пример гетерогенной среды.

Главными характеристиками движения многофазной среды являются насыщенность и скорость фильтрации каждой фазы.

Насыщенностью s_i порового пространства i -й фазой называется доля объема пор DV_i , занятая этой фазой в элементарном объеме:

, i=1,2,…, n , (5.1)

где n - число фаз.

Очевидно, что

. (5.2)



Таким образом, в n-фазной системе имеется (n-1) независимая насыщенность. В частности, при исследовании фильтрации смеси двух фаз используется лишь насыщенность s₁ наиболее смачивающей, вытесняющей фазы, которую будем в дальнейшем обозначать просто s. . Тогда из (5.2) имеем s₂=1--s. Движение каждой из фаз характеризуется вектором скорости фильтрации u_i данной фазы, который (по аналогии со скоростью фильтрации однородной жидкости) определяется как вектор, проекция которого на некоторое направление L равна отношению объемного расхода Q_i данной фазы к площадке W_i , перпендикулярной к указанному направлению:

, i = 1,….n. (5.3)

Площадка W_i пересекает как твердую, так и подвижные фазы. При изучении сложных фильтрационных процессов возникает необходимость в построении моделей многофазных (гетерогенных) систем, в которых каждая фаза, в свою очередь, моделируется многокомпонентной гомогенной смесью. При этом между компонентами возможны химические реакции, переход компонентов из одной фазы в другую, процессы адсорбции, диффузии и др. При совместном течении двух фаз в пористой среде, по крайней мере, одна из них образует систему, граничащую со скелетом; породы и частично с другой жидкостью. Из-за избирательного смачивания твердой породы одной из жидкостей площадь контакта каждой из фаз со скелетом пористой среды значительно превышает площадь контакта фаз между собой. Это позволяет предположить, что каждая фаза движется по занятым ею поровым каналам под действием своего давления независимо от других фаз, т. е. так, как если бы она была ограничена только твердыми стенками. При этом, естественно, сопротивление, испытываемое каждой фазой при совместном течении, отлично от того, которое было бы при фильтрации только одной из них. Опыты показывают, что расход каждой фазы растет с увеличением насыщенности и градиента давления. Закон фильтрации каждой из фаз при учете силы тяжести по аналогии с законом Дарси можно записать в следующем виде:

. (5.4)

Рис.5.1. Зависимость относительных проницаемостей k_i от насыщенности s

Здесь k -- абсолютная проницаемость пласта, определяемая по данным о фильтрации однородной жидкости; m_i - коэффициент динамической вязкости фаз; p_i - давление в фазах; r_i - плотность фаз; g - вектор ускорения свободного падения; k_i(s) - относительные фазовые проницаемости, определяемые экспериментально; s_i - насыщенность одной из фаз.

Понятие относительной фазовой проницаемости k_i(s), играет важную роль при изучении совместного течения нескольких жидкостей в пористой среде. Обычно считается, что относительные проницаемости являются однозначными функциями насыщенностей и не зависят от скорости фильтрации и отношения вязкостей движущихся фаз. На рис. 5.1. приведены типовые кривые относительных фазовых проницаемостей для двухфазной смеси ( пунктир на рисунке относится к случаю, когда первая фаза является газом).

На этом графике показаны безразмерные относительные фазовые проницаемости k ₁ и k ₂; s_А - связанная компонента первой, более смачивающей фазы (для воды обычно около 20%).

Характерная несимметричная форма кривых относительной проницаемости объясняется тем, что при одной и той же насыщенности более смачивающая фаза занимает преимущественно мелкие поры и относительная проницаемость у неё меньше. При малых насыщенностях часть каждой из фаз находится в несвязном состоянии в виде изолированных мелких капель или целиков и не участвует в движении. Поэтому, начиная с некоторой насыщенности, каждая фаза полностью переходит в несвязное состояние и её относительная проницаемость становится равной нулю, т.е. k₁(s)=0 при s<s_A, k₂(s)=0 при s>1-s_A. Движение этой фазы может происходить только, если s > s_А. Для второй фазы связанная компонента равна 1- s_A. При рассмотрении совместной фильтрации двух несмешивающих жидкостей приходится различать вытесняющую и вытесняемые фазы, т.к. относительные проницаемости различны в зависимости от того, какая из фаз (более или менее смачиваемая) первоначально заполняла пористую среду, т.е. существует гистерезис относительных проницаемостей.

Сумма относительных проницаемостей для каждого фиксированного значения s меньше 1:

, 0<s<1.

Это означает, что присутствие связанной смачивающей фазы мало влияет на течение не смачивающей жидкости, тогда как присутствие остаточной не смачивающей фазы значительно "стесняет" движение смачивающей фазы.

Рис.5.2. Диаграмма для определения границ преобладания потоков различных фаз при трехфазном течении

Введенные выше понятия можно обобщить на случай совместного движения трех несмешивающихся флюидов: нефти, газа и воды. Если обозначить эти флюиды индексами "н", "г" и "в", то можно ввести относительные проницаемости, точно так же, как это было сделано для двух жидкостей. При этом фазовые проницаемости являются уже функциями двух независимых насыщенностей и определяются из треугольных диаграмм (рис.5.2).

На треугольной диаграмме показаны границы преобладания фаз. Из диаграммы видно, что при газонасыщенности более 35 % поток состоит только из газа, более тёмная область показывает на наличие всех фаз. По диаграмме можно определить, какие компоненты движутся в пласте при данном соотношении величин насыщенности пор фазами.

Характер зависимостей определяется различной степенью смачивания твердых зерен породы фазами, причем оказывается, что относительная проницаемость зависит только от водонасыщенности - наиболее проницаемой фазы - воды, и почти не зависит от нефте- и газонасыщенности. На основании экспериментов можно считать, что относительная фазовая проницаемость в многофазном потоке почти не зависит от вязкости жидкости, ее плотности, внутрижидкостного натяжения, градиента давления.

Характерные особенности многофазной фильтрации связаны также с влиянием поверхностного натяжения. Давления в фазах р₁ и р₂ не равны друг другу из-за капиллярных эффектов, приводящих к скачку давления на границе раздела фаз:

р₂-р₁=р_к , (5.5)

где р_к - капиллярное давление (или капиллярный скачок).

Большее давление будет на стороне жидкости, не смачивающей твердые зерна породы.

Предположим, что капиллярное давление при совместном течении жидкостей совпадает с капиллярным давлением в равновесном состоянии для того же значения насыщенности и при одном и том же направлении её изменения (увеличении или уменьшении). Поэтому капиллярное давление можно представить в виде известной экспериментальной функции насыщенности (рис. 5.3):

, (5.6)



Рис. 5.3. Зависимость функции Леверетта от насыщенности:

1 - кривая вытеснения; 2 - кривая пропитки; А - остаточная насыщенность вытесняемой жидкости

где a_п - коэффициент межфазного поверхностного натяжения; q - статический краевой угол смачивания между жидкостями и породой; m - пористость; J(s) -- безразмерная функция Леверетта.

Процессы многофазной фильтрации идут по-разному в зависимости от характерного времени фильтрационного процесса и от размеров области течения. Капиллярные силы создают в пористой среде перепад давления, величина которого ограничена и не зависит от размеров области фильтрации. Вместе с тем перепад внешнего давления, создающего фильтрационный поток между двумя точками, пропорционален скорости фильтрации и расстоянию между этими точками. Если размеры области малы, то при достаточно малых скоростях фильтрации капиллярные силы могут превзойти внешний перепад давления. Напротив, если рассматривается движение в очень большой области (например, в целой нефтяной или газовой залежи), то влияние капиллярных сил на распределение давления незначительно и их действие проявляется в локальных процессах перераспределения фаз. Взаимное торможение фаз, благодаря которому относительные фазовые проницаемости не равны соответствующим насыщенностям, обусловлено, прежде всего, капиллярными эффектами. В тех случаях, когда можно пренебречь капиллярным скачком р_к(s), капиллярность косвенно учитывается самим видом опытных кривых относительных проницаемостей k_i(s).

Таким образом, при описании многофазной фильтрации увеличивается число параметров, подлежащих определению. Наряду с неизвестными давлениями p_i в фазах и скоростями фильтрации фаз u_i появляются новые неизвестные - насыщенности s_i и концентрации отдельных компонентов.

5.4 Исходные уравнения многофазной фильтрации

Будем для простоты рассматривать совместное изотермическое течение двух фаз в однородной пористой среде без фазовых переходов и химических реакций. Система уравнений, описывающая совместную фильтрацию фаз, строится на основе уравнений неразрывности для каждой фазы, уравнений движения (закона фильтрации) и соответствующих замыкающих соотношений.

Уравнения неразрывности.

первой фазы ; (5.7)

второй фазы . (5.8)

Если вытесняемая и вытесняющая фазы - слабосжимаемые упругие жидкости, то влиянием сжимаемости на распределение насыщенности можно пренебречь, так как время перераспределения давления за счет сжимаемости жидкостей, по крайней мере, на два порядка меньше, чем время вытеснения. Отсюда следует, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале процесса вытеснения. В некоторых случаях можно считать несжимаемым и газ в пластовых условиях.

Если жидкости и пористую среду можно предполагать несжимаемыми, то уравнения (5.7) и (5.8) упрощаются

, . (5.9)

Уравнения движения для многофазной фильтрации. При записи закона фильтрации предполагаем, что в любой точке каждая из фаз находится в термодинамическо равновесном состоянии. Тогда для течения двухфазной смеси можно ввести в рассмотрение относительные проницаемости k_i(s) и капиллярное давление р_к (s), зависящее только от насыщенности.

Кроме этого, рассматриваем только однонаправленные процессы фильтрации, не учитывая гистерезисных явлений. Тогда выполняется закон фильтрации (5.4):

, (5.10)

а связь между давлениями в фазах определяется равенствами (5.5) и (5.6):

. (5.11)

Для замыкания полученной системы уравнений необходимо задать дополнительные соотношения, рассмотренные в разделе 1 и связывающие параметры фаз и пористой среды с давлением.

Постановка и решение задач на основе полной системы уравнений фильтрации неоднородных жидкостей затруднительны ввиду сложности самих уравнений, а также формулировки краевых условий, в частности, разрыва капиллярных сил на границах пористой среды (так называемых концевых эффектов), роль которых недостаточно изучена.

Анализ одномерных двухфазных потоков позволяет выявить основные эффекты и характерные особенности совместной фильтрации жидкостей.

5.5 Потенциальное движение газированной жидкости

Газированная жидкость представляет собой смесь жидкой и газовой фаз. Газ находится не только в свободном состоянии; часть его растворена в жидком компоненте смеси. В пластовой нефти обычно содержится природный газ. Если давление в пласте выше давления насыщения нефти газом, то весь газ растворяется в нефти, а нефть называется не донасыщенной. Задача об одномерном потоке такой нефти относится к ранее описанным гомогенным задачам. Если же пластовое давление ниже давления насыщения, то в процессе движения нефти в пласте из нее выделяется газ, находившийся в растворенном состоянии, и образуется движущаяся смесь нефти и свободного газа. По мере продвижения смеси в направлении снижения давления из капельно-жидкого раствора (жидкого компонента смеси), выделяется все новая масса газа. Выделяющийся из раствора газ присоединяется к движущемуся свободному газу, вследствие чего увеличивается часть порового пространства, занимаемого газом. Свободный газ становится все более подвижным и фазовая проницаемость породы для газа растет, а фазовая проницаемость для жидкой фазы уменьшается.

Вследствие этого расчеты параметров такого газо-жидкостного потока проводят на основе многофазной модели течения. Так формулу (3.3), выражающую массовую скорость фильтрации в одномерном потоке любой жидкости, можно применительно к капельно-жидкой фазе газированной жидкости записать следующим образом

, (5.12)

где G_ж - массовый дебит жидкой фазы; - функция, определяемая для жидкой фазы; k_ж - фазовая проницаемость жидкой фазы.

Массовый дебит газового компонента смеси G_г находится как сумма массового дебита газа, движущегося в свободном состоянии G_гс, и массового дебита газа, движущегося в растворенном состоянии G_гр. Используя формулу (3.3) для свободного газа смеси, получим:

, (5.13)

где -- функция, в которой величины м_гс и r_гс относятся к газу; k_гс -- фазовая проницаемость свободного газа.

Для газа, находящегося в растворе, найдем

, (5.14)

где у_м(р) = G_гр/G_ж - массовая растворимость газа в жидкости, т. е. количество массы газа, растворенное в единице массы жидкости при давлении р.

Суммируя почленно равенства (5.13) и (5.14), получим:

, (5.15)

Для газированной жидкости пользуются при расчетах величиной объемного газового фактора Г, который представляет собой отношение объемного газового дебита Q_г, приведенного к давлению к 1 ат, к объемному дебиту жидкого компонента Q_ж, приведенному к тем же условиям. Поскольку, массовый дебит на всех изобарических поверхностях в данном одномерном установившемся потоке один и тот же, сохраняется постоянным вдоль всего потока и газовый фактор Г.

Учитывая, что

,

где r_г0 и r_ж0 - значения плотности газа и жидкого компонента, соответственно, с помощью формул (5.13) и (5.15) получим:

, (5.16)

где объемная растворимость газа в жидкости

.

Если газ однороден, то в широких пределах (примерно от 1 до 100 ат) объемная растворимость пропорциональна давлению, т. е.

у(р) =aр, (5.17)

где a - объемный козффиииент растворимости, постоянный для данных жидкости и газа. Формула (5.17) выражает закон Генри растворимости газа в жидкости.

Особенности фазовой проницаемости. По кривым рис. 5.4 можно судить об особенностях фильтрации газированной жидкости. Рассмотрим случай несцементированных песчаников (эксперименты Р Викова и М. Ботсета в 1936г.) Так, при s = 80--90% k_ж/k = 48 - 70%; это означает, что присутствие в порах пласта от 10 до 20% свободного газа значительно снижает фазовую проницаемость для жидкой фазы. Фазовая же проницаемость для газовой фазы близка к нулю. Если s = 50% или ниже, то фазовая проницаемость для жидкой фазы k_ж/k = 8% или меньше.

Рис. 5.4. Сравнение кривых зависимости относительной фазовой проницаемости от насыщенности s



------------ несцементированные песчаники,

-- -- -- -- известняки,

-- ^. -- ^. -- сцементированные песчаники

При s Ј 20% k_ж/k = 0, т. е. жидкость не движется, а проницаемость для газа почти такая же, как если бы жидкости совсем не было. Если s > 90% , то установившееся движение газированной жидкости невозможно. Насыщенность s » 90% называется равновесной насыщенностью

В процессе разработки нефтяного месторождения при добыче попутного газа можно наблюдать по мере снижения пластового давления явление прекращения отдачи пластом нефти, а скважина дает чистый газ. Причиной этого может оказаться снижение насыщенности s до столь малой величины (sЈ20%), что фазовая проницаемость для нефти обращается в нуль. В результате нефть, оставшаяся в пласте, не движется.

Позднее М. Ботсет опытным путем нашел зависимость фазовой проницаемости для компонентов газожидкостной смеси от насыщенности s при движении в сцементированных песках, А. Балнес и Р. Фитинг - при движении в известняках и доломитах. На рис. 5.4 показаны кривые для всех трех случаев.

Решение задачи об одномерном потенциальном течении газированной жидкости строится по расчетной схеме, аналогичной схеме расчета гомогенной жидкости. Следует прежде всего найти при помощи уравнения состояния выражения в функции давления р, а затем использовать готовые формулы, беря соответствующие граничные условия.

В формуле газового фактора (5.16) функции y_г(р) и y_ж(р) надо определять в соответствии с формулой . Тогда формула (5.16) примет вид:



, (5.18)

В практических расчетах по технологии нефтедобычи учитывается величина объемного коэффициента нефти, зависящего от давления р.

Объемный коэффициент нефти b(р) характеризует изменение объема нефти вследствие изменений давления и количества растворенного газа. Величина b(р) есть отношение удельных объемов нефти в пластовых и атмосферных условиях.

Согласно данному определению

.

Заменяя в формуле (5.18) отношение функцией ?(s) получим:

, (5.19)

Рис. 5.5 Кривые зависимости коэффициента растворимости газа в нефти и объёмного коэффициента нефти от давления

При постоянном газовом факторе Г уравнение (5.19), выражая зависимость между давлением р и насыщенностью s, служит уравнением состояния газированной жидкости. Функции м_ж(р), м_г(p), b(р) и у(р) определяются по экспериментальным данным. На рис. 5.5 представлены зависимости растворимости у(р) и объемного коэффициента нефти b(р) от давления--b(р).

Уравнение (5.19) решается относительно насыщенности s и полученное значение s подставляется в `k^*_ж(s) = k_ж/k или k^*_r (s) = k_r/k, смотря по тому, движение какой фазы изучается - жидкой или газовой. Если значение s подставить, например, в k^*_ж(s), будем иметь следующий вид потенциальной функции j (р):

(5.19)

где s (р) -- найденное из (5.19) значение s в функции р.

Потенциальную функцию j(р) можно определить путем численного интегрирования.

Построим расчетную схему исходя из приближенного вычисления j(р). Удобно представить подынтегральную функцию в правой части равенства (5.19) в виде одночленной степенной.

Пусть

(5.20)

где D и е -- постоянные.

Чтобы найти постоянные D и е, обратимся к граничным условиям и поступим следующим образом. Подставим в (5.20) последовательно значения р_к и р₀, а также соответствующие им значения k^*_ж(s), r_ж(р) и м_ж(р). Получим систему уравнений с неизвестными D и е.

Рис.5.6. Зависимость между относительной проницаемостью для жидкости и функцией Y(s)

1- сцементированные пески; 2 - несцементированные пески

Значения k^*_ж(s)найдем из уравнения (5.19), определив предварительно Y(s). Зависимость между k^*_ж(s) и Y(s) показана кривыми рис. 5.6, построенными по эмпирическим формулам.

Из полученных двух уравнений вида (5.20) находим е:

, (5.21)

где м_к , м_с , r_к , r_с , k^*_к и k^*_с граничные значения м_ж(р), ?_ж(р) и k^*_ж(s), соответствующие давлениям р_к и р_с .

Величина D легко определяется из (5.20).

В результате подстановки подынтегральной функции в равенство (5.19) найдем потенциальную функцию j(р). Подставляя затем граничные значения j(р), например, в уравнение получим формулу массового дебита жидкой фазы смеси:

(5.22)

Для газированной жидкости е заключено в следующем интервале значений: 0 <е < 1

е характеризует степень отклонения закономерностей фильтрации от тех, какие присущи однородной несжимаемой жидкости; для однородной жидкости е = 0 (е может быть назван показателем «несовершенства» жидкости).

Описанная расчетная схема позволяет избежать комплекса вспомогательных расчетов с численным интегрированием. Расчет дебита газированной жидкости можно упростить, сведя расчетные формулы к простейшему виду.

Расчетные формулы для дебита по закону Дарси имеют наиболее простой вид, когда жидкость однородна и несжимаема. Такова, например, формула Дюпюи для объемного дебита Q. Придадим формуле для объемного дебита жидкой фазы газированной смеси в плоско-радиальном потоке вид формулы Дюпюи, сохранив в ней неизменным множитель р_к - р_с..

Пусть k, r_ж и м_ж - постоянны. Тогда из (5.19):

(5.23)

где Ф (р_к) и Ф (p_c) -- граничные значения интеграла вида . Вычитая почленно равенства (5.23) и применяя известную теорему о среднем в интегральном исчислении, получим:

, (5.24)

где k'_m -- некоторое среднее значение функции k_ж(р) в интервале изменения р от р_с до р_к.

Подставляя полученное значение j_к-j_с в формулу (3.9) и разделяя на постоянное r_ж, найдем, что:

. (5.24)

Имеем явное сходство с формулой Дюпюи.

Таким образом, при расчете дебита жидкого компонента газированной жидкости можно использовать формулы для определения G или Q для однородной несжимаемой жидкости, если заменить в них проницаемость пласта k некоторым средним значением фазовой проницаемости k _ж. Другими словами - определить дебит газированной жидкости можно, заменив газированную жидкость воображаемой однородной несжимаемой жидкостью, движущейся в пласте с коэффициентом проницаемости k'_ж, меньшим k.

Среднее значение проницаемости k'_ж определяется с помощью формулы (5.19), по которой вычисляется Y(s), соответствующее некоторому среднему давлению р_ср. Это давление можно принять равным среднему арифметическому от р_к и р_с при небольшом изменении по пласту насыщенности s. Взяв вычисленное Y(s), находим k'_ж по графику на рис. 5.5.

Хотя формулы Дюпюи и (5.24) сходны между собой, это сходство чисто внешнее. В действительности при движении однородной несжимаемой жидкости в пласте с проницаемостью k мы на основании формулы Дюпюи можем утверждать, что дебит пропорционален депрессии Dр_с = р_к - р_с, независимо от величины давления р_к или р_с. Для газированной жидкости дебит зависит не только от депрессии Dр_с, но и от величины давления р_к или р_с. В этом легко убедиться, если вспомнить, что средняя фазовая проницаемость k'_ж обусловлена значениями граничных давлений р_к и р_с.

Некоторые исследователи рекомендуют приближенные постоянные значения k'_ж. Так, И. А. Чарный для несцементированных песков рекомендовал принимать величину k'_ж = 0,65 k. М. М. Глоговский и М. Д. Розенберг рекомендуют для тех случаев, когда насыщенность s_k близка к единице, вычислять k'_ж следующим образом:

,

если

.

Следует отметить, что в действительности величина средней фазовой проницаемости зависит от целого ряда параметров для жидкости, газа и пласта.

Некоторые выводы

1. Если на основе выше приведенных соотношений рассмотреть соотношение дебитов скважин с газированной нефтью и однородной несжимаемой, то видно, что дебит газированной жидкости при прочих равных условиях всегда меньше дебита однородной несжимаемой жидкости. С повышением газового фактора при неизменяющейся депрессии Dр_с дебит жидкой фазы уменьшается, а дебит газа увеличивается; при этом показатель е растет, хотя и непропорционально G.

2. Пусть при одинаковой депрессии и одинаковом газовом факторе скважины работают при разных пластовых давлениях. Оказывается, при данной депрессии Dр_с и газовом факторе Г более высокий дебит будет при более высоком пластовом давлении. Это объясняется тем, что при более высоких давлениях меньшее количество пластового газа находится в свободном состоянии, чем при более низких давлениях, значит, повышается фазовая проницаемость жидкости.

Так как для обеспечения притока нефти к забою скважин необходимо создание депрессии Dр = р_к - р_с, причем с ростом депрессии дебит скважин увеличивается, то для повышения добычи более эффективным средством является увеличение депрессии за счет повышения пластового (контурного) давления р_к, но не путем снижения забойного давления р_с.

Из сказанного также можно сделать вывод о незначительной эффективности интенсификации добычи нефти путем создания на скважинах вакуума.

Отмеченный факт подчеркивает большое значение своевременно принятых мер по поддержанию или повышению пластового давления в первых же стадиях разработки нефтяных месторождений.

3. Зависимость дебита жидкости и газа от депрессии, в отличие от однородной жидкости, не является линейной, хотя фильтрация каждой из фаз газированной жидкости принимается следующей линейному закону фильтрации. Таким образом, искривление индикаторной линии при фильтрации газированной жидкости еще не означает наличия отклонений от линейного закона фильтрации.

Индикаторная кривая для реальной газированной нефти имеет меньший наклон, чем кривая для идеальной газированной жидкости. Это указывает на то, что для реальной жидкости существуют добавочные сопротивления при фильтрации, не учтенные в идеальной жидкости.

4. Рассмотрение нестационарной фильтрации газированной жидкости показывает, что начальный период (первые месяцы) неустановившейся радиальной фильтрации газированной жидкости в условиях режима растворенного газа характеризуется высокими дебитами жидкости и газа. Величина дебита жидкости быстро уменьшается с течением времени. Темп падения дебита газа меньше, чем темп падения дебита жидкости.

В дальнейшем темп падения дебита жидкости резко уменьшается и наступает период относительно стабильной добычи, но абсолютная величина дебита жидкости невелика (уменьшается на порядок). Темп падения дебита газа в этот период времени уменьшается гораздо медленнее, чем темп падения дебита жидкости. Газовый фактор сначала резко возрастает, достигая в скором времени максимума, затем постепенно уменьшается.

5.5 Фильтрация водонефтяной смеси и многофазной жидкости

фильтрация нефть газ скважина

Искусственное заводнение нефтеносных пластов, осуществляемое нагнетанием воды в пласт, приводит к необходимости изучать движение смеси воды и нефти в пласте. Движения водонефтяной смеси в пласте наблюдается также при наличии в пласте природной воды. Сюда относится связанная (реликтовая) вода; подошвенная вода, занимающая нижнюю часть пласта; краевая или контурная вода, первоначально располагающаяся за контуром нефтеносности и в последующем вытесняющая нефть к скважинам.

Породы, из которых сложены продуктивные пласты, могут быть нефтесмачиваемыми (гидрофобными) и водосмачиваемыми (гидрофильными). Наиболее распространены водосмачиваемые породы; в них реликтовая вода как бы прилипает к стенкам поровых каналов. Высокая насыщенность реликтовой водой и служит вероятным признаком водосмачиваемости пород, тогда как нефтесмачиваемость проявляется в низкой насыщенности реликтовой водой. Отделение той или иной жидкости (нефти, воды) в сетке поровых каналов обусловлено насыщенностью и характеристикой смачиваемости.

Рис. 5.7. Зависимость относительных фазовых проницаемостей для нефти и воды от водонасыщенности s при разных значениях параметра a (по Леверетту)

Результатом опытов Леверетта явились кривые, представленные на рис. 5.7. По оси абсцисс отложены значения водонасыщенности s в процентах, по оси ординат - относительная фазовая проницаемость для воды и нефти в процентах. Каждая кривая отвечает определенному значению параметра a = pДL/dДp, где p - давление вытеснения в см рт. ст., ДL - длина колонки песка в см, d - средний диаметр поровых каналов в см и Дp -перепад давления в см рт. ст. Параметр a пропорционален капиллярным силам, противодействующим прохождению отдельных капель нефти через поры песка.

Для одномерного потенциального движения несжимаемой водонефтяной массы без учета массовых сил и фазовых превращений можно записать следующее равенство:

где u-- суммарная скорость фильтрации смеси,

(5.25)

Здесь k_в и k_н - фазовые проницаемости воды и нефти соответственно; м_в и м_н -- коэффициенты вязкости воды и нефти. Расчеты, относящиеся к одномерному потоку смеси воды и нефти, выполняются по ранее рассмотренным формулам однородной жидкости.

При движении газированной жидкости в пластах содержатся обычно три фазы компонента смеси: нефть, газ и вода. В таком случае имеем поток многофазной жидкости.

На основании экспериментов можно считать, что относительная фазовая проницаемость в многофазном потоке почти не зависит от вязкости жидкости, ее плотности, внутрижидкостного натяжения, градиента давления и пористости среды. Тем не менее эффект поверхностного натяжения все же наблюдается.

В то время как вязкость существенно не влияет на относительную проницаемость, отношение величин вязкости жидких фаз, присутствующих одновременно в потоке, значительно влияет на состав текущей смеси.



5.6 Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей

Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде. Основные допущения этой теории состоят в следующем:

- жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми);

- жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда - недеформируемой; фазовые переходы отсутствуют; коэффициенты вязкости фаз постоянны;

- относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности;

- гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы).

Полная система уравнений. Основываясь на этих допущениях, выведем полную систему уравнений двухфазной фильтрации в однородной пористой среде с учетом капиллярных и гравитационных сил.

В случае прямолинейно-параллельного течения вдоль оси х (рис.5.8 уравнения неразрывности (5.9) для фаз имеют вид

Рис. 5.8. Схема одномерной двухфазной фильтрации с учетом силы тяжести



, . (5.26)

Обобщенный закон Дарси (5.10) сводится к уравнениям

,

. (5.27)

Здесь a - угол наклона оси х к горизонту (рис. 5.8); r₁ и r₂ - плотности фаз.

Неизвестные характеристики течения s, u₁, u₂, p₁ и p₂ зависят от координаты х и времени t.

Уравнения (5.26), (5.27) с учетом дополнительных соотношений образуют замкнутую систему для случаев линейного течения, являющуюся основой для решения задач вытеснения одной жидкости другой. Характерной особенностью данной системы является то, что её можно свести к одному уравнению для насыщенности.

Знание распределения насыщенности в пласте позволяет проанализировать эффективность вытеснения нефти или газа несмешивающейся с ними жидкостью.

, (5.28)

где u=u₁+u₂; Dr=r₂-r₁;

- функция Баклея - Леверетта или функция распределения потоков фаз; (5.29)

,

Уравнение (5.28) представляет собой сложное нелинейное уравнение параболического типа второго порядка и точное решение получено лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев.

Начальные и граничные условия. При решении конкретных задач для уравнения изменения насыщенности должны быть сформулированы соответствующие граничные и начальные условия. В качестве начального условия задаются значения неизвестной функции s в зависимости от пространственных координат при t = 0. Можно считать, что при t = 0 насыщенность всюду постоянна (например, s = s_*).

В случае вытеснения нефти водой естественно задать на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея) расход закачиваемой воды и равенство нулю скорости фильтрации нефти; из последнего условия вытекает , что k₂ = 0, следовательно, на этой поверхности s = s_*.

На выходе из пласта возможно два варианта граничных условий.

1. Можно пренебречь градиентом капиллярного давления по сравнению с градиентом давления в фазах, т. е. считать, что при x = L, откуда следует, что

при x = L. (5.30)

Экспериментально установлено, что вода не вытекает из гидрофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока её насыщенность не достигнет значения s*. В момент достижения значения ?* вода прорывается из пласта с сохранением на выходе этого значения насыщенности. Это явление получило название концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному нелинейному граничному условию на выходе.

Указанное выше дифференциальное уравнение второго порядка для насыщенности можно упростить путем учета только одного вида сил (гравитационных или капиллярных) и получить, соответственно, две различные модели:

Модель Рапопорта - Лиса. Для прямолинейно-параллельного вытеснения уравнение для насыщенности без учета силы тяжести было впервые получено в 1953 г. американскими исследователями Л. Рапопортом и В. Лисом. Поэтому модели двухфазной фильтрации с учетом капиллярных эффектов называют обычно моделями Рапопорта--Лиса.

Дифференциальное уравнение для насыщенности в данной модели - параболического типа.

Модель Баклея - Леверетта. Без учета капиллярных сил двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении.

Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил известны как задачи (модель) Баклея - Леверетта. Задачи вытеснения такого типа в одномерной постановке изучены достаточно полно.

Уравнение насыщенности задач данного типа принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка.

5.6.1 Задача Баклея - Леверетта и ее обобщения

В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением процесс вытеснения допускает простое математическое описание.

Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея - Леверетта.

Рис. 5.9. Вид функции Баклея-Леверетта и её производной

В рассматриваемом случае важное значение имеет так называемая функция Баклея - Леверетта или функция распределения потоков фаз f(s), которая имеет простой физический смысл. Действительно, данная функция представляет собой отношение скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости, и равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз. Таким образом, функция Баклея - Лаверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения газоконденсатонасыщенности по пласту. Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции f(s) в направлении увеличения полноты вытеснения.

Вид кривых функции f(s) и ее производной f^/(s) показан на рис.5.9. С ростом насыщенности f(s) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерной особенностью графика f(s) является наличие точки перегиба s_п , участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f^//(s) соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея - Леверетта.

...