Подземная нефтегазовая гидромеханика

.Таким образом, заданная характеристическая функция соответствует прямолинейно-параллельному потоку. Фильтрационное поле представлено ортогональной прямолинейной сеткой, изображенной на рис. 1.21.

Чтобы определить массовую скорость фильтрации, вычислим производную от F (z) no z:

Согласно формулам (1.41) и (1.42).

При А₁=0 - поток параллелен оси 0у, а при А₂=0 -параллелен оси 0х.

П. а) Пусть характеристическая функция задана в виде:

F(z) = A ln z, (1.46)

где А -- некоторое действительное число.

Рис. 1.22. Карта эквипотенциальных линий и линий тока

Представим комплексный аргумент z с помощью полярных коoординат так (см. рис. 1.22):

z = х +i y = r (cos и + i sin и) = re^iи, (1.47)

где г -- радиус - вектор точки; и -- полярный угол.

Подставляя значение z в (1.46) и отделяя действительную часть от мнимой, получим:

F(z) = A In (re^iи) = A In r + iAи.

Значит

j=Alnr; y=Aи. (1.48)

Приравнивая эти значения j и y постоянным, найдем уравнения эквипотенциальных линий и линий тока в следующем виде:

· для эквипотенциальных линий - r=const (1.49)

· для линии тока - и = const. (1.50)

Очевидно, эквипотенциальные линии будут концентрическими окружностями с центром в начале координат ( рис. 1.22). Линии тока - прямые, проходящие через начало координат.

В данном случае имеется плоско-радиальный (сходящийся или расходящийся) поток. Центр скважины (сток или источник) находится в начале координат.

Найдем массовую скорость фильтрации, для чего вычислим производную от функции F (1.46) по z:

.



Эта производная - комплексное переменное, модуль которого
равен массовой скорости и представляет собой множитель перед е^-iи.

Следовательно , (1.51)

т. е. массовая скорость фильтрации обратно пропорциональна расстоянию от скважины. (Точка г = 0 является особой точкой плоскости; здесь и функция F (z) уже не будет аналитической). Для плоско-радиального потока имеем:

, (1.52)

где М = const - массовый дебит; h - мощность пласта.

Приравнивая правые части (1.51) и (1.52), определим коэффициент А:

. (1.53)

Подставив это значение А в формулу (1.46), получим:

, (1.54)

где положительный дебит М соответствует случаю стока (эксплуатационной скважине), а отрицательный - случаю источника (нагнетательной скважине).

Таким образом, функция (1.54) характеризует плоско-радиальное движение жидкости или газа в однородном горизонтальном пласте неограниченной протяженности. Скважина предполагается гидродинамически совершенной.

II. b) Пусть характеристическая функция имеет вид:

, (1.55)

где а = а₁ + ia₂.

Это значит, что особая точка, в которой помещается точечный сток или точечный источник, сдвинута в направлении оси 0х на расстояние а₁., а в направлении оси-y на расстояние a₂ и, следовательно, центр поперечного сечения скважины находится не в начале координат, а в точке а = а₁ + ia₂.

Если представить комплексное переменное z - а - в полярных координатах, то получим:

, (1.56)

где г -- расстояние любой точки плоскости потока не до начала координат, а до особой точки а = а₁ + ia₂, в- которой помещается сток или источник; и-- полярный угол с вершиной в этой особой точке.

В соответствии с формулами (1.48) и (1.56)

(1.57)

Примечание. Потенциальная функция j определяется с точностью до произвольной постоянной С. С точностью до произвольной постоянной определяется также и функция тока y. В формулах (1.57), выражающих j и y, мы опустили произвольные постоянные. Если надо определить дебит, произвольные постоянные С следует учитывать в выражении j.

III. Пусть в основной плоскости течения имеется несколько точечных стоков и источников (несколько эксплуатационных и нагнетательных скважин).

Потенциальную функцию течения j и функцию тока y, поддерживаемых всеми стоками и источниками, можно определить по методу суперпозиции (раздел.1).

, (1.58)

. (1.59)

где М_j -- массовый дебит стока или источника за номером j; г_j- - расстояние любой точки плоскости потока до этого стока или источника; n -- число стоков и источников.

Характеристическая функция сложного потока, согласно формулам (1.34), (1.58, 1.59), определится уравнением:

, (1.60)

где F_j (z) - характеристическая функция, соответствующая стоку или источнику за номером j, находящемуся в точке а_j:

. (1.61)

Характеристическая функция течения при совместном действии источника и стока

Рис. 1.23. Схема расположения источника 0₁ и стока 0₂

В § 1.1.1.1 подробно исследовалось семейство изобар в случае потока от нагнетательной скважины к эксплуатационной. О линиях тока было замечено, что они образуют семейство окружностей, ортогональных изобарам. Уточним вопрос об особенностях семейства линий тока на основе метода теории функций комплексного переменного.

Сохраняя прежние обозначения и придерживаясь рис. 1.23, получим на основании формул (1.60) и (1.61) характеристическую функцию течения от нагнетательной скважины к эксплуатационной в виде

. (1.62)

где r₁ и r₂-- расстояния некоторой точки М до источника 0₁ и стока 0₂ соответственно, и₁ и и₂ - соответствующие полярные углы; М - модуль массового дебита стока и источника.

Отделяя в (1.62) действительную часть от мнимой, получим:

, (1.63)

Отсюда:

, (1.64)

Из (1.64) следует, что уравнение семейства изобар запишется в виде:

,

где С - постоянное.

Уравнение линий тока получается из второй формулы (1.64):

и₁- и₂=С^*, (1.65)

где С^* -- постоянное.

Рассмотрим уравнение (1.65). Выразим и₁ и и₂ через координаты точки М (х, у) в соответствии с рис. 1.3.

.

Подставив значения и₁ и и₂ в уравнение (1.65) и учитывая, что а₂-a₁=2a, будем иметь после несложных алгебраических преобразований:

, (1.66)



где С^** - новая постоянная.

Из (1.66) видно, что центры окружностей имеют координаты . Так как абсцисса центров окружностей не зависит от С^**, то она одинакова для всех окружностей и, следовательно, все окружности расположены на прямой , т. е. на прямой, параллельной оси 0у, делящей расстояние между стоком и источником пополам. Радиус окружностей

Рис. 1.24. Фильтрационное поле источника и стока

.

Отсюда абсциссы точек пересечения

т. е. линии тока проходят через сток и источник.

Таким образом, линии тока представляют собой окружности, проходящие через центры обеих скважин, и ортогональны окружностям - изобарам. Центры всех этих окружностей расположены на прямой (эквипотенциальной линии), делящей расстояние между скважинами пополам (рис. 1.24).

Характеристическая функция течения для кольцевой батареи скважин

Характеристическую функцию для n стоков представим в виде:

. (1.67)

Согласно формуле (1,61), можно записать, что

. (1.68)

Здесь а_j -- комплексное число, определяющее положение стока за номером j.

В соответствии с формулой (1.47) комплексное число а_j можно представить в тригонометрической форме, заменив в (1.47) z на а_j, r на а (радиус батареи). Тогда формулу (1.68) можно переписать для кольцевой батареи из n скважин в следующем виде:

(1.69)

где

Но целая рациональная функция вида х^п - 1 может быть представлена в виде

, (1.70)

Выражение, сходное с правой частью формулы (1.70) имеется под знаком логарифма в (1.69). Т.о. можно представить характеристическую функцию F (z) (1.69) в виде:

. (1.71)

Согласно формулам (1.42) и (1.71) находим модуль массовой скорости фильтрации :

, (1.72)

где z = re^i?; r₁, r₂, ..., г_n -- расстояния точки пласта от стоков O₁, О₂ , ...О_n-- соответственно.

В центре кольцевой батареи r = 0. Из (1.72) следует, что скорость фильтрации u здесь равна нулю. Таким образом, частица жидкости, находящаяся в точке, в которой изобара пересекает сама себя, неподвижна. Эти точки фильтрационного поля называются точками равновесия. При разработке залежей нефти в окрестностях таких точек образуются «застойные области». В условиях водонапорного режима пласта в этих застойных областях могут возникнуть «целики нефти».

Зная положения точек равновесия в пласте, можно находить рациональные приемы для своевременной ликвидации целиков нефти. Одним из таких приемов является изменение режима работы скважин, заставляющее нефть целика прийти в движение в нужном направлении.

Подсчет времени движения частицы несжимаемой жидкости вдоль линии тока

Для однородной несжимаемой жидкости в выражениях характеристической функции потока F (z), потенциальной функции ц и функции тока ш можно опустить постоянный множитель ? и вести расчеты применительно к объемному дебиту Q и скорости фильтрации u, а не к массовым дебиту М и скорости фильтрации ?u Таким образом, например, формулы (1.40) для проекции массовой скорости фильтрации на оси декартовых координат могут быть для несжимаемой жидкости применены к вычислению проекции скорости фильтрации на эти оси u_x и u_y:

. (1.73)

Формула (1.41) для несжимаемой жидкости запишется в виде:

. (1.74)

Но проекции скорости движения на оси координат равны dx/dt и dy/dt; следовательно, можно записать:



(1.75)

Исключаем из (1.73) u_x и u_y с помощью (1.75) и интегрируя получим уравнения движения частицы в направлении осей x и у :

(1.76)

Чтобы вывести формулу времени движения частицы жидкости вдоль линии тока подставим значения u_x и u_y из (1.75) в формулу (1.74):

(1.77)

где `z=x-iy - сопряженное с z комплексное переменное.

Разделяя переменные в (1.77) и интегрируя вдоль линии тока, получим формулу для подсчета времени движения частицы на длине кривой L:

. (1.78)

Стягивание контура нефтеносности к эксплуатационной кольцевой батарее

Имеется кольцевая батарея из n (n>2) эксплуатационных скважин, размещенных равномерно по окружности радиусом а. Контур питания удален от всех скважин на расстояние г_к, значительно превышающее а. Первоначально контур нефтеносности представляет собой окружность, концентричную по отношению к окружности -- батарее, и имеющую радиус г_н, причем г_н в несколько раз меньше г_н, но больше радиуса батареи а.

Подсчет времени движения частиц контура нефтеносности по линиям тока проведем по формуле (1.78). При этом характеристическую функцию течения определяем по формуле (1.71):

, (1.79)

где Q -- объемный дебит одной из скважин.

Таким образом

. (1.80)

Величины z и ?z запишем в полярной системе координат:

. (1.81)

Тогда из (1.80) и (1.81) следует, что

. (1.82)

Рассматриваем движение частиц только вдоль прямых линий тока -- главной и нейтральной (см. рис. 1.9). По всем главным линиям тока частицы контура нефтеносности движутся с одинаковой скоростью, по всем нейтральным линиям тока характер движения этих частиц также один и тот же. Поэтому достаточно найти время продвижения двух частиц контура: одной, которая движется по любой из главных линий тока, и другой, движущейся по любой из нейтральных линий.

Направим полярную ось из центра батареи вдоль одной из главных линий тока и будем искать время движения частицы контура нефтеносности вдоль полярной оси.

Из всех частиц контура нефтеносности, движущихся по нейтральным линиям тока, выберем ту, которая движется по нейтральной линии, ближайшей к полярной оси.

Так как для главных и нейтральных линий тока q =const, можно на основании второй формулы (1.81) определить dz следующим образом:

. (1.83)

Подставляя значения dF/dz из (1.82) и dz из (1.83) в формулу (1.78), получим:

, (1.84)

где г^/ -- полярный радиус частицы.

Уравнение полярной оси имеет вид q=0. Подставляя это значение q в уравнение (1.84), получим формулу для вычисления времени движения частицы контура нефтеносности по главной линии тока:

, (1.85)

Уравнение нейтральной линии тока q=p/n. Подставим это значение--q в (1.78) и заметим, что . Тогда уравнение движения частицы контура нефтеносности по нейтральной линии тока представится в виде

, (1.86)

Из частиц контура нефтеносности раньше всех других достигнут скважин те, которые движутся по главным линиям тока, т.к. их пути -- наикратчайшие. Когда частица контура, движущаяся по главной линии тока, подойдет к скважине, последняя начнет обводняться. В этот момент времени t_о, в уравнении (1.85) надо считать, что. После интегрирования правой части (1.85), получим:

. (1.87)

Определим точку нейтральной линии тока, в которой будет находиться частица контура нефтеносности в момент начала обводнения скважин t_о для этого раскроем интеграл правой части (1.86) и напишем это равенство для момента t_о:

. (1.88)

Местоположение частицы контура нефтеносности на нейтральной линии тока в момент прорыва воды в скважины можно определить, приравняв правые части формул (1.87) и (1.88) и решив затем полученное уравнение n-степени относительно г'

. (1.89)

Исследуя уравнение (1.89), В. Н. Щелкачев установил, что величина г'/а возрастает с увеличением отношения r_н/a; следовательно, чем больше величина радиуса первоначального контура нефтеносности, тем больше отставание точек контура нефтеносности, движущихся по нейтральной линии тока, от точек контура, движущихся по главной линии тока.

При величине радиуса контура нефтеносности г_н более, чем в два раза превышающей радиус батареи а можно пренебрегать тем членом уравнения (1.89), который содержит множитель а/г_н. Тогда уравнение (1.89) принимает более простой вид:

. (1.90)

При n= 3 уравнение (1.90) сводится к кубическому уравнению, у которого левая часть раскладывается на множители. К кубическому уравнению сводится (1.90) и при n = 6. Если n = 4, получим биквадратное уравнение, если n=8 -- уравнение четвертой степени.



Рис.1.25. Контур нефтеносности в момент прорыва воды в скважины кольцевой батареи

На рис. 1.25 контуры нефтеносности вычерчены для трех и восьми скважин в момент прорыва в них воды. Чем больше скважин в батарее, тем меньше отставание частиц контура нефтеносности от тех, которые движутся по главной линии тока т. е. тем равномернее стягивается контур.

Исследования при помощи формул (1.85) и (1.86) позволяют утверждать, что формы контура нефтеносности, которая первоначально была в виде окружности, искажается лишь в ближайшей окрестности скважин. При анализе явления стягивания контура к скважинам кольцевой батареи допустимо применить «галереизацию», т. е. кольцевую батарею заменить равнодебитной кольцевой галереей

Время безводной эксплуатации батареи t_б определяется формулой (1.87). Из этой же формулы легко определить: 1) общий объем добытой нефти за время безводной эксплуатации, 2) объем оставшейся в пласте нефти к начальному моменту обводнения скважин и 3) площадь, занятую оставшейся в пласте нефтью.

Действительно, общий объем добытой жидкости за время безводной эксплуатации скважин Qnt_о подсчитывается по формуле (1.87) следующим образом:



. (1.91)

Объем оставшейся в пласте нефти определится по формуле:

. (1.92)

Наконец, площадь щ_н, занятая оставшейся в пласте нефтью в момент прорыва воды в скважины, находим по формуле:

. (1.93)

Если сравнить площадь оставшейся в пласте нефти щ_н с площадью круга, ограниченного кольцевой батареей скважин pа², получим значения отношения щ_н/pа², приведенные в таблице для а = 0,4 г_н и 0,1г_н.

Из таблицы видно, что при большом числе скважин в батарее нефтеносная площадь щ_н не зависит от величины отношения а/г_н.

Относительное количество нефти, остающейся в пласте к моменту начала обводнения скважин кольцевой батареей

а/гн.	Число скважин
	4	8	?
	Относительная величина площади щн/?а2
0,4	1,84	1,33	1
0,1	1,99	1,33	1

1.3 Метод комформного отображения

Ранее была установлена связь между теорией функций комплексного переменного и теорией плоских фильтрационных потоков.

Эта связь позволяет каждую функцию F (z) комплексного переменного z = х +iy трактовать, как поле некоторого плоского движения.

Теперь заменим переменное и введем новое комплексное переменное , связанное со старым переменным z соотношением z = z (т), где z (т) произвольная аналитическая функция.

Первое движение происходило на плоскости комплексного переменного z и характеризовалось комплексным потенциалом F (z). Подставляя вместо z = z (т), получаем

, (1.94)

где F₁ --новая функция.

Полученная из F функция F₁ определяет некоторый плоский фильтрационный поток на плоскости т. Получив решение первого потока F, можно путем преобразования (1.94) исследовать поток .F₁ (т).

Иными словами, задаваясь той или иной преобразующей функцией z = z (т), из одного потока F (z) плоскости z можно получить бесчисленное множество других потоков на плоскости т. Таким образом, функция z=z(т) реализует конформное отображение плоскости z на плоскость т.

Для решения задач интерференции скважин в качестве исходного потока удобно взять течение к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте, являющееся вместе с тем течением между равнодебитными источником и стоком.

Применение метода конформного отображения позволяет получить решения ряда задач интерференции скважин значительно быстрее, нежели методами, основанными на прямой суперпозиции источников и стоков.

Метод конформных отображений в настоящее время широко применяется во многих физических и технических задачах. При помощи этого метода удается решить ряд плоских задач напорной и безнапорной фильтраций.

1.3.1 Вывод некоторых формул для притока к скважинам при помощи конформного отображения

Предположим, что на плоскости комплексного переменного z = х + iy дано некоторое течение с комплексным потенциалом F (z). Введем новое комплексное переменное , связанное со старым переменным z зависимостью z=z(т) или т=т(z). Отделяя в функции z=z(т)действительную часть от мнимой, получаем

,

откуда x=x(о,з), y=y(о,з),

о= о(x,y), з= з(x,y). (1.95)

Уравнения (1.95) устанавливают соответствие между точками плоскостей т и z. В зависимости от того, однозначна или многозначна преобразующая функция z=z(т), каждой точке плоскости т соответствует одна или несколько точек плоскости z.

Точно так же каждой линии одной плоскости соответствует одна или несколько линий на другой плоскости. Таким образом, линиям тока и эквипотенциалям, т. е. сетке течения одной плоскости, будет соответствовать вполне определенная сетка течения на другой плоскости. При этом, сами значения потенциала скорости Ф и функции тока Ш будут одинаковыми на соответствующих друг другу линиях обеих плоскостей.

Производная dz/dт, есть также некоторая функция комплексного переменного, вполне определенная в соответствующих друг другу точках обеих плоскостей z и т. Это означает по самому определению производной, что предел отношения

не зависит от закона стремления к нулю отрезков До и Дз. Отсюда следует, что в каждой точке плоскости т и соответствующей (или соответствующих) ей точке плоскости z отношение соответствующих бесконечно малых отрезков dz и dт, постоянно. Но из каждой точки плоскости т можно провести бесконечное множество отрезков dт₁, dт₂, ... Им будут соответствовать на плоскости z бесконечно малые отрезки dт₁, dт₂, ..., также исходящие из точки плоскости z, соответствующей рассматриваемой точке плоскости т .

Так как в каждой точке есть вполне определённая величина, то

(1.96)

Из (1.96) следует пропорция

.

Аргумент дроби равен разности аргументов числителя и знаменателя. Но argdz₁ -- это угол между направлениями элемента dz_l и осью х.

Таким образом,

arg dz_l -- arg dz₂ = arg dт₁ -- arg dт₂,



т. е. углы между отрезками dz₁, dz₂ и отрезками dт₁, dт₂ равны.

Поэтому преобразование z(т) или т (z) называется конформным, так как оно сохраняет подобие бесконечно малых элементов в соответствующих точках.

Приток к скважине. Пусть на плоскости z имеется скважина радиусом г_с.

На плоскости т ей будет соответствовать скважина радиусом ?_с. При этом, так как радиусы скважин обеих плоскостей можно считать очень малыми по сравнению с размерами областей течения, то на основании формулы (1.96)

. (1.97)

Покажем теперь, что при конформном отображении дебиты скважин -- стоков или источников -- сохраняются на обеих плоскостях. Для этого окружим скважину на плоскости z произвольным замкнутым контуром l, которому на плоскости т будет соответствовать также замкнутый контур л. Пусть dn и dl -- элементы нормали и касательной для контура l на плоскости z и соответственно dv и d л -- для контура л на плоскости т.

Тогда абсолютная величина дебита | Q | скважины на плоскости z выразится интегралом по замкнутому контуру

, (1.98)

так как составляющая скорости фильтрации по нормали к контуру.

Но по смыслу конформного преобразования, сохраняющего подобие бесконечно малых элементов в соответствующих точках обеих плоскостей, согласно формуле (1.96) имеем

. (1.99)

Подставляя эти выражения в формулу (1.98) и сокращая на , получаем

. (1.100)

В правой части формулы (1.100) согласно формуле (1.98) стоит абсолютная величина дебита скважины на плоскости т, равная абсолютному значению дебита скважины на плоскости z.

Переход от плоско-параллельного к плоско-радиальному потоку методом комформных отображений. За исходный поток примем простейший вид плоско-параллельного течения

. (1.101)

Пусть А -- положительная и действительная постоянная. Отделяя действительную и мнимую части, получаем

,

откуда

. (1.102)

Таким образом, эквипотенциали ц = Ах = const являются семейством прямых, параллельных оси у (рис. 1.26.), а линии тока ш = Ау = const -- прямыми, параллельными оси х.

Проекции скорости фильтрации u, v равны

. (1.103)

Рис. 1.26. Соответствие между эквипотенциалями и линиями тока

Таким образом, характеристическая функция течения F (z) = Az определяет плоско-параллельное течение в сторону отрицательной оси х с постоянной во всех точках скоростью и =- А.

Сделаем теперь замену переменного

, (1.104)

где .

Здесь r, и -- полярные координаты на плоскости т.

Тогда

, (1.105)

откуда, сравнивая действительные и мнимые части, получим

. (1.106)

Прямым линиям х = const плоскости z соответствуют на плоскости т кривые lnr=const, r= const, т. е. окружности с центром в начале координат, а прямым у=const --лучи и = const плоскости т (рис. 1.26.).

Следовательно, сетке течения ц = Ах = const, ш = Ay = const на плоскости z соответствует на плоскости т сетка течения r = const и и = const, т. е. при А >0 приток к точечному стоку в начале координат с дебитом q = 2 pА.

Рассмотрим задачу о притоке к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания и решим ее при помощи конформного отображения.

Возьмем за исходный поток приток к точечному стоку на плоскости т:

, (1.107)

где С -- произвольная константа.

Пусть на плоскости z в точке х = 0, у = а находится скважина малого радиуса г_с, причем ось х является одной эквипотенциалью ц=ц_к, а окружность малого радиуса г_с -- другой эквипотенциалью ц=ц_с (рис. 1.27). На плоскости z мы имеем приток к скважине в полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания.

Если удастся найти преобразование т = т (z) или обратное z =z (т), которое реализует конформное отображение верхней полуплоскости z в круг r = r_к плоскости т, а точку z_c = ia плоскости z, где расположен центр скважины радиусом г_с, в начало координат т = 0 плоскости т, то задача будет решена.

Рис. 1.27.Соответствие между плоскостями z и т в за даче о притоке в скважину

В нашем случае искомое преобразование имеет вид:

. (1.108)



Действительно, полагая z=ia, из формулы (1.108) получаем т= 0, т. е. центру скважины на плоскости z соответствует начало координат т= 0 на плоскости т.

Точки вещественной оси х плоскости z переходят в точки окружности r = r_к плоскости т. Действительно, полагая в формуле (1.108) z = х -- любому вещественному числу, имеем

.(1.109)

откуда следует .

Таким образом, действительная ось z = х перешла в окружность с_н плоскости т, а точка верхней полуплоскости z = ia в начало координат т = 0. Отсюда ясно, что формула (1.108) и есть нужное нам преобразование. Радиусы скважин обеих плоскостей согласно формуле (1.97) связаны соотношением

.

Отсюда согласно (1.108) получаем

. (1.110)



Для комплексного потенциала на плоскости z получаем

(1.111)

где С' -- новая константа, равная

. (1.112)

Для дебита, согласно формуле Дюпюи, имеем

.

Подставляя сюда с_с из формулы (1.110), получим

. (1.113)



2. ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Задача о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде является в точной постановке одной из наиболее сложных в теории фильтрации.

Первые исследования ее, возникшие в связи с вопросом о стягивании контура нефтеносности при водонапорном режиме течения, принадлежат Л. С. Лейбензону. Дальнейшее развитие эта задача получила в работах М. Маскета, В. Н. Щелкачева, П. Я. Полубариновой-Кочиной и других.

Задача о движении в пористой среде границы раздела двух жидкостей с различными физическими свойствами -- вязкостью и плотностью -- встречается не только в вопросах эксплуатации нефтяных месторождений, но и в случае водонапорного режима газовых месторождений, когда газ притекает к скважинам под напором краевой воды, ряда технологических процессов, где одна жидкость замещает другую в пористой среде и т. д.

В общем случае строгое гидродинамическое решение, пригодное для практических расчетов, отсутствует. Исследованы лишь отдельные, частные случаи, а также разработан, ряд приближенных методов.

Рассмотрим задачу о движении жидкой частицы вдоль линии тока при установившемся течении, т. е. для одножидкостной системы при постоянных значениях контурных потенциалов.

На границе раздела двух сред происходит преломление линий тока. Пусть (рис. 2.1) кривая PQ является границей раздела двух жидкостей с вязкостями м₁, м₂ (м₁<м₂).



Рис. 2.1. График скоростей жидких частиц на границе раздела двух жидкостей

Рассмотрим произвольную точку М границы PQ и проведем через нее касательную к PQ и нормаль . Найдем проекции скоростей фильтрации частиц первой и второй жидкостей, находящихся в этот момент в точке М, на и .

Согласно неразрывности течения элементарные расходы обеих жидкостей через произвольный элемент границы раздела должны быть равны. Отсюда следует, что и нормальные проекции обеих скоростей равны, т. е. u_1n = u_2n. Давление в пласте в точке М также должно быть одинаково для обеих жидкостей, так как при малых дозвуковых скоростях нет разрыва давления в сплошном потоке. Касательные компоненты скоростей обеих жидкостей, согласно закону Дарси без учета сил тяжести, запишутся в виде

.

Проницаемость k считаем постоянной. Но м₁, м₂ различны, следовательно, u_1ф ? u_2ф, и если м₁< м ₂, то u_1ф > u_2ф . Отсюда следует, что и результирующие векторы скоростей и точки М для частиц каждой жидкости будут различны и, следовательно, линии тока AМ и ВМ, проходящие через точку М в каждой из жидкостей, будут иметь излом в точке М. В общем случае граница раздела не является в процессе течения эквипотенциалью, хотя в начальный момент и может быть таковой.

Точное решение задачи о продвижении границы раздела, когда м₁? м₂, -- в общем случае не радиального и непрямолинейного течения -- математически затруднено. Поэтому вместо точных решений приходится искать приближенные.

2.1 Приближенные решения задачи о продвижении границы раздела

Сделаем некоторые допущения в математической постановке такого рода задач, исходя из физической природы вытеснения одной жидкости другой из пористой среды.

Вследствие неравномерного распределения размеров поровых каналов действительные скорости частиц жидкости распределены неравномерно. Поэтому в рассматриваемых ниже задачах определяются расчетные средние действительные скорости частиц в сечениях элементарных трубок тока, связанные со скоростью фильтрации соотношением , где m -- пористость. По этим скоростям и будет производиться в дальнейшем расчет движения отмеченных частиц, границы раздела двух жидкостей и т. д. При этом будут получаться принципиально правильные результаты для интегральных характеристик -- расходов и средних скоростей. Истинные же скорости частиц могут отличаться от этих средних.

Жидкости предполагаются несмешивающимися, взаимно нерастворимыми и химически не реагирующими одна с другой и с пористой средой. Вытеснение одной жидкости предполагается происходящим полностью -- так называемое «поршневое» вытеснение. Это также является идеализацией, так как в действительности полного вытеснения не происходит.

2.1.1 Уравнения движения отмеченных частиц в потоке однородной жидкости

Рассмотрим уравнения движения отмеченных частиц в потоке однородной жидкости.

Пусть дана однородная жидкость, потенциал движения которой ц(х, у, z, t) известен.

Истинная скорость движения частицы , скорость фильтрации где ds -- элемент траектории.

Тогда уравнения движения могут быть записаны в виде

(2.1)

Функции f₁, f₂, f₃ известны, поскольку потенциал ц(х, у, z, t) считается заданным.

Интегрируя систему (2.1), получаем закон движения или траекторию жидкой частицы в виде x = x(t), y = y(t), z = z(t).

2.1.2 Задача о движении жидкой линии или жидкой поверхности

Эта задача более общая, чем предыдущая.

Пусть надо найти уравнение жидкой поверхности F (x, у, z, t) = 0 при начальном условии

F(x, у, z, 0) = f(x, y, z), (2. 2}

где f(x, y, z),-- известная функция.

Проекции перемещения жидкой частицы за время дt будут

где u,v,w -- проекции скорости фильтрации на оси х, y, z.

Требуя, чтобы эти частицы остались на жидкой поверхности, имеем

Развертывая это соотношение в ряд Тейлора и удерживая члены с первой степенью дt, получим

откуда, так как F (х, у, z, t) = 0 по условию, устремляя дt к нулю, .получаем

(2.3)



или, заменяя скорости через производные потенциала,

(2.4)

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка (2.3) представляет собой соотношение Кельвина,, выполняющееся на всякой поверхности F (х, у, z, t) = 0, движущейся вместе с жидкостью, т. е. на любой жидкой поверхности.

Требование найти решение уравнения (2. 3), удовлетворяющее условию (2.2), представляет собой задачу Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая уравнению (2.3), имеет вид:

(2.5)

причем и, v, w --известные функции координат и времени, так как потенциал скорости ц задан.

2.1.3 Расчет скорости вытеснения одной жидкости другой из недеформируемых трубок тока

В общем случае -- непрямолинейного и нерадиального течений -- линии тока на границе раздела двух жидкостей испытывают преломление. Построим систему трубок тока в областях, занятых движущимися жидкостями. На границе раздела каждая трубка тока будет иметь излом, перемещающийся вместе с этой границей по мере вытеснения одной жидкости другой. Таким образом, весь процесс течения можно рассматривать как вытеснение одной жидкости другой из системы деформируемых трубок тока, сечения которых изменяются в зависимости от времени.

Предположим, что за все время движения остается неизменной картина линий тока, существовавшая в начальный момент t = 0. Тогда задача сводится к расчету времени вытеснения одной жидкости другой из системы трубок переменного по длине сечения, когда все эти трубки являются уже жесткими, недеформируемыми.

Рис. 2.2. Трубка тока переменного сечения

Рассмотрим какую-либо трубку тока переменного сечения (рис. 2.2). Пусть площадь ее поперечного сечения есть функция .длины s, отсчитываемой вдоль оси. Будем считать, что скорости фильтрации во всех точках сечения f= f(s) одинаковы.

Массовыми силами для простоты будем пренебрегать. Кроме того учет гравитационного эффекта, т. е. различия плотностей, не вносит никаких принципиальных затруднений, и дает небольшую поправку. Из закона Дарси для расхода q, считая жидкости несжимаемыми, имеем

(2.6)

Предположим, что известны давления р₁ и р₂ в сечениях s = s₁ и s = s₂. Выразим q через p₁ и р₂. Для этого из (2.6) найдем

откуда, интегрируя и замечая, что q не зависит от s, получаем

(2.7)

Если проницаемость k переменна, то вместо (2.7) будем иметь

(2.8)

Формулы (2.7) и (2.8) выражают закон Дарси для трубки переменного сечения с равномерным распределением скоростей в поперечных сечениях.

Рассмотрим теперь жесткую трубку переменного сечения длиной l, в которой одна жидкость вытесняет другую. Обозначим вытесняющую жидкость индексом 1, а вытесняемую --индексом 2. Этими же индексами будем обозначать в дальнейшем величины, связанные с вытесняющей или вытесняемой жидкостью. Пусть в одном сечении трубки, занятом вытесняющей жидкостью, давление равно р_к (контур питания), а в другом, отстоящем от первого на расстоянии s =l, занятом вытесняемой жидкостью, равно р_с (скважина).

Предположим, что закон изменения площади f поперечного сечения трубки по длине известен:

(2.9)

Схема контакта двух жидкостей в трубе тока

Пусть первая жидкость занимает в данный момент длину трубки s, а вторая l-s (рис. 2.3). Найдем в этом положении скорость перемещения границы раздела. Обозначая давление в граничном сечении через p_1-2 и считая проницаемость k постоянной,, согласно (2.7) получим

. (2.10)

Рассмотрим теперь течение, которое будет в той же трубке, когда она вся будет заполнена только одной жидкостью, например второй вытесняемой, при тех же контурных давлениях р_к и р_с. Давление в этом же сечении s обозначим через р_2-2, скорость u_2-2. Тогда

. (2.11)

Подынтегральные функции в (2.10) и (2.11) одинаковы, так как трубка тока недеформируема. Тогда, разделив (2.10) на (2.11), найдем



или

(2.12)

где

. (2.13)

Формула (2.12) является искомой. Она позволяет связать скорость u_1-2 двухжидкостной системы со скоростью u_2-2 одножидкостной.

Рис. 2.4. Схема линии тока при прорыве к скважине при различном соотношении вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей.

Таким образом, если одножидкостный поток известен, по формуле (2.12) можно найти скорости в любой точке. Отметим, что этот вывод применим и к пространственным потокам.

Очевидно, формула (2.12) будет строго верна для прямолинейного и радиального течений, когда деформаций трубок тока вследствие преломления на границе не происходит. Если траектории частиц в моножидкостной и двухжидкостной системах различны (вязкости жидкостей отличаются), то данная формула дает заниженные или завышенные результаты. В случае существования траекторий общих для обеих жидкостей из геометрических соображений можно судить, в какую сторону делается ошибка при пользовании формулой (2.12).

Пусть вытесняемая жидкость под напором вытесняющей поступает к линейной батарее скважин (рис. 2.4); Т -- контур питания, MN -- граница раздела в данный момент, AS -- прямолинейная осевая линия тока, проходящая через какую-либо скважину S. Рассмотрим примерный вид линии тока в обеих областях, проведенной через точку А', весьма близкую к А. Давления на контурах питания и скважин будем считать неизменными во всех рассматриваемых ниже случаях.

Предположим, что вязкости обеих жидкостей равны, т. е. система одножидкостная. Тогда на границе раздела не будет преломления линий тока и линия тока, проходящая через А', будет изображаться плавной кривой A'B'S. Пусть теперь м₁? м ₂; тогда линия тока, проходящая через А', будет иметь излом на границе раздела. Если м₁< м ₂, то из закона преломления следует, что линия тока будет иметь вид ломаной A'CS, т. е. приблизится к прямой AS. Формула (2.12) соответствует условию неизменности линии A'B'S, чего в действительности не происходит. Таким образом, во второй зоне при м₁< м ₂ в окрестности прямой AS происходит сгущение линий тока по сравнению с картиной линий тока при м₁=м ₂. Заставляя теперь точку А' стремиться к А, приходим к выводу, что скорость точки В границы раздела, лежащем на прямолинейной траектории AS, в действительности будет несколько больше той величины, которая получится по формуле (2.12), так как сгущение линий тока соответствует увеличению скоростей. Следовательно, эта формула для движения по прямой AS дает при м₁< м ₂ несколько заниженное значение скорости против действительной.

Рассуждая совершенно аналогичным образом, мы придем к заключению, что при м₁> м ₂ линия тока будет иметь вид A'DS и в этом случае для точки В по формуле (2.12) получится значение скорости, большее действительного. Таким же образом можно показать, что для точки К формула (2.12) будет давать обратные результаты, нежели для точки В, т. е. преувеличенные значения скорости при м₁< м ₂ и преуменьшенные при м₁>м₂.

Из этих соображений оказывается возможным установить, в какую сторону мы ошибаемся, пользуясь формулой (2.12).

2.1.4 Вытеснение нефти водой из трубки тока переменного сечения

С задачей о вытеснении нефти водой приходится встречаться при проектировании разработки нефтяных месторождений, когда нужно учесть стягивание контура нефтеносности, а также при расчетах деформации водо-нефтяного контакта. Аналогичные вопросы возникают и при эксплуатации газовых месторождений с краевой или подошвенной водой.

Чтобы охватить по возможности все многообразие частных случаев, рассмотрим следующую задачу. Трубка переменного сечения заполнена пористой средой, в которой одна жидкость вытесняет другую, например вода вытесняет нефть (рис. 2.3). Пусть в одном сечении трубки, рассматриваемом как контур питания в водяной части, известно давление р_к; в другом сечении трубки -- в нефтяной части, рассматриваемом как скважины, известно давление р_с. Требуется рассчитать продвижение границы раздела, предполагая, что эта граница является некоторой поверхностью.

В действительности граница раздела вследствие капиллярности и других причин будет размыта, но мы будем предполагать, что она четко очерчена и вытеснение одной жидкости другой происходит «поршневым» образом.

Заметим, что если во втором сечении (в скважинах) будет задан отбор жидкости, то движение границы раздела определяется из простых геометрических соображений, так как объем, образованный движением границы раздела, будет равен объему отобранной жидкости.

Прежде чем рассматривать двухжидкостную систему, решим задачу о движении однородной жидкости в трубке переменного сечения f=f(s).

2.1.5 Схема движения в трубке тока переменного сечения

Рассмотрим трубку переменного сечения, где в одном сечении давление p₁ а в другом p₂ (рис. 2.5). Для упрощения задачи будем пренебрегать эффектом силы тяжести. Плотности обеих жидкостей считаются одинаковыми.

Решение задачи получается непосредственно из закона Дарси. Скорость фильтрации w равна

Объемный расход соответственно равен

(2.14)

Знаменатель последней формулы можно назвать фильтрационным сопротивлением и обозначить его через R:

(2.15)

В таком случае формула (2.14) будет записана в виде, аналогичном закону Ома.

(2.16)

Этой формулой воспользуемся для решения задачи движения двух жидкостей, когда одна вытесняет другую.

Очевидно, формулу (2.15) можно применить в отдельности к каждой из областей, занятых водой и нефтью, но для этого надо знать давление р на границе раздела.

Это давление, вообще говоря, переменная величина.

Расход каждой жидкости, воды или нефти, можно следующим образом:

. (2.17)

где м_в, м_н -- соответственно вязкость воды и нефти; l -- вся длина трубки.

Чтобы избавиться от неизвестного промежуточного давления р, сложим числитель и знаменатель по правилу производных пропорций. Тогда р сократится, и получим

. (2.18)



Последняя формула представляет собой не что иное, как закон Ома для последовательного соединения двух проводников (сопротивления складываются).

Рассмотрим более подробно знаменатель этого выражения. Он является переменной величиной, так как зависит от s.

Обозначим

(2.19)

Тогда

(2.20)

Теперь рассмотрим движение границы раздела.

Пусть за время dt граница раздела перейдет длину ds. Тогда из объема f(s)ds уйдет количество нефти, равное объему пор в этом элементе; ушедшее количество нефти заместится равным количеством воды: m f (s)ds = Qdt, откуда, учитывая формулу (2.20), получаем

...