Подземная нефтегазовая гидромеханика

Время движения частицы упругой жидкости рассчитывается так же, как и для несжимаемой жидкости.

Анализ одномерных потоков при нелинейных законах фильтрации

В области нарушения верхней границы закона Дарси необходимо использовать степенной или двухчленный законы фильтрации. В целях общности рассмотрим фильтрацию при двухчленном законе для случая плоскорадиального течения

, (3.27)

где .

Несжимаемая жидкость в недеформируемом пласте

Выразим скорость фильтрации через дебит Q

u=Q / (2p rh)

и перепишем выражение (3.27) в виде

. (3.28)

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, в первом случае, по радиусу от r до R_к и по давлению от р до р_к , а, во втором случае, по радиусу от r_с до R_к и по давлению от р_с до р_к, получаем:

распределение давления в пласте

; (3.29)

дебит скважины

. (3.30)

Дебит находится как положительный корень квадратного уравнения (3.29). Из данного уравнения видно, что индикаторная линия - парабола. Кривая распределения давления (3.29) - гипербола и воронка депрессии - гипербола вращения. Крутизна воронки депрессии у стенки скважины будет больше, чем у чисто логарифмической кривой при течении по закону Дарси.

Идеальный газ в недеформируемом пласте

Найдём распределение давления в круговом пласте и выведем формулу притока газа к скважине. С этой целью выразим скорость через приведённый объёмный расход

. (3.30)

Подставим выражение (3.30) в (3.27) и, заменив плотность по уравнению состояния (3.14), получим:

. (3.31)

Разделив переменные и проинтегрировав в пределах р - р_с и r - r_c получим:

. (3.32)

Распределение давления по (3.32) отличается от распределения давления по закону Дарси наличием последнего члена, что диктует более резкое изменение давления в призабойной зоне.

Интегрируя уравнение(3.31) в пределах р_к - р_с и R_к - r_c, получаем выражение для притока при пренебрежении 1/R_к по сравнению с 1 / r_c

. (3.33)

или в общепринятом виде

. (3.34)

Уравнение (3.34) - основное уравнение, используемое при разработке газовых и газоконденсатных месторождений, так как определяет приток газа к скважине. Коэффициенты А и В определяют по данным исследования газовых скважин при установившихся режимах.

Однородная несжимаемая жидкость в деформируемом (трещиноватом) пласте

Для трещиноватой среды двухчленный закон записывается в виде

, (1.46)

где ; l_бл - средний линейный размер блока.

Умножим все члены (1.46) на плотность r и вынесем за скобки вязкость h. Тогда применительно к плоскорадиальному потоку получим:

, (3.35)

где.

После разделения переменных и интегрирования (3.35) в пределах r_c - r_к ; j_с - j_к получим

, (3.36)

Если в (3.36) подставим выражение для трещинной проницаемости и выразим массовый дебит через объёмный, то будем иметь окончательное выражение

. (3.37)

Как видно из (3.37), индикаторная кривая в этом случае определяется в результате сложения двух парабол - параболы четвёртого порядка, симметричной относительно оси, параллельной оси дебитов, и параболы второго порядка (относительно дебита Q) симметричной относительно оси, параллельной оси депрессий (?р_с) и отстоящей от последней на расстоянии, равном

.

Идеальный газ в деформируемом (трещиноватом) пласте

Из (3.37) при подстановке выражений для плотности, проницаемости и приведённого к стандартным условиям объёмного дебита можно получить следующее выражение:

(3.38)

3.3 Фильтрация в неоднородных средах

В продуктивных пластах в различных точках проницаемость неодинакова. При мелкомасштабном хаотичном изменении фильтрационных характеристик по пласту пласт считается в среднем однородно-проницаемым.

Пласт называется макронеоднородным, если его фильтрационные характеристики (проницаемость, пористость) значительно, скачкообразно отличаются в разных областях.

Различают следующие виды макронеоднородности:

а) Слоистая неоднородность (многослойный пласт), т.е. неоднородность по толщине пласта. Предполагается, что пропластки разделены непроницаемыми границами - гидравлически изолированы либо учитываются перетоки между слоями различной проницаемости - гидравлически сообщающиеся; поток в каждом пропластке - прямолинейно-параллельный или плоскорадиальный; в пределах каждого пропластка фильтрационные параметры постоянны, а на границе соседних они претерпевают скачок.

Если течение потенциально, то полный дебит пласта определяется как сумма дебитов всех пропластков. При практических расчетах указанный многослойный пласт можно заменить квазиоднородным с эффективной проницаемостью

, (3.39)

где k_i , h_i - проницаемость и эффективная толщина i-го пропластка, h- эффективная толщина всего пласта.

б) Зональная неоднородность - пласт по площади состоит из нескольких зон различных фильтрационных параметров, на границах которых данные параметры меняются скачкообразно.

Согласно уравнению неразрывности, массовый дебит постоянен и равен:

при прямолинейно-параллельном потоке

; (3.40)



при плоскорадиальном потоке

, (3.41)

где В - ширина пласта; l_i , r_i - протяженность i- й зоны или её внешний радиус (r₀=r_c); , i=1,...,n; n - число зон.

При замене зонально-неоднородного пласта - квазиоднородным следует использовать средние эффективные проницаемости:

при прямолинейно-параллельном потоке

; (3.42)

при плоскорадиальном потоке

, (3.43)

где L, R_к - расстояние от галереи до контура и радиус контура.

В практике важное значение имеет случай притока к скважине при наличии вокруг забоя кольцевой зоны с проницаемостью, отличной от проницаемости пласта (торпедирование или кислотная обработка, установка гравийного фильтра, глинизация или парафинизация призабойной зоны и т.д.). При данной задаче надо установить влияние различия проницаемостей кольцевой призабойной зоны и остальной части пласта на продуктивность скважины. С этой целью сравним дебит скважины в неоднородном пласте с двумя областями (n = 2 в формуле 3.41) проницаемости с дебитом скважины в однородном пласте (n = 1).

Расчеты показывают:

Недопустимость постановки прогноза на будущий дебит, исходя только из данных о проницаемости призабойной зоны пласта, а следует использовать квазиоднородное приближение (формула 3.43).

Ухудшение проницаемости призабойной зоны сильнее влияет на дебит, чем увеличение проницаемости в этой зоне. Если произойдёт заметное ухудшение проницаемости даже в небольшой области пласта, примыкающей к скважине, то дебит скважины резко снизится.

В случае фильтрации по закону Дарси увеличивать проницаемость призабойной зоны более, чем в 20 раз не имеет смысла, т.к. дальнейшее увеличение проницаемости практически не ведёт к росту дебита (при условии сохранения типа коллектора, н.п. в случае проведения кислотной обработки известняков образуются глубокие каналы растворения).

Нарушение в пластовых условиях закона Дарси усиливает положительное влияние увеличенной проницаемости призабойной зоны на производительность скважины.

3.4 Приток к несовершенным скважинам

3.4.1 Виды несовершенств скважин. Приведённый радиус. Добавочное фильтрационное сопротивление

Гидродинамическое несовершенство скважины проявляется в том, что в призабойной зоне пласта с конечной мощностью отсутствует радиальность потока по причине, обусловленной конструкцией забоя или фильтра.



а b

Рис. 3.12. Схема притока к несовершенной скважине:

а - по степени вскрытия; b - по характеру вскрытия

Различают два вида несовершенства скважин - несовершенство по степени вскрытия и несовершенство по характеру вскрытия.

Несовершенная скважина по степени вскрытия - это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а частично (рис.3.12,а).

Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта (рис. 3.12,b).

На практике чаще всего встречаются скважины несовершенные как по степени, так и по характеру вскрытия пласта.

Дебит G несовершенной скважины чаще всего меньше дебита G_с совершенной, действующей в тех же условиях, что и данная несовершенная скважина. В некоторых случаях (при торпедной или кумулятивной перфорации, когда глубина прострела достаточно велика) может наблюдаться обратная картина. Отношение данных дебитов ? характеризует степень несовершенства скважины и называется параметром несовершенства

. (3.44)

Параметр несовершенства зависит от:

относительного вскрытия пласта , (3.45)

где h_вс - глубина погружения скважины в пласт , h - толщина пласта;

плотности перфорации (числа отверстий, приходящихся на 1м фильтра), размеров и формы отверстий;

глубины прострела.

При расчете несовершенных скважин нередко используют понятие приведенного радиуса несовершенной скважины

, (3.46)

где r_C - радиус совершенной скважины, С - коэффициент несовершенства.

Приведенный радиус - это радиус такой совершенной скважины, дебит которой равняется дебиту данной несовершенной скважины при тех же условиях эксплуатации.

Таким образом, вначале находятся приведённые радиусы r_пр и дальнейший расчет несовершенных скважин ведется как для совершенных скважин радиуса r_пр.

Таким образом, дебит несовершенной скважины можно определить, если известен параметр несовершенства ? или приведённый радиус r_пр , а также известна соответствующая формула дебита совершенной скважины. Влияние несовершенства скважины на приток при существовании закона фильтрации Дарси можно учесть величиной коэффициента С, основываясь на электрической аналогии. Согласно данной аналогии различие в дебитах совершенной G_c и несовершенной G скважин объясняется наличием добавочного фильтрационного сопротивления несовершенной скважины величиной С/2?h, т.е. дебит несовершенной скважины можно представить в виде:

. (3.47)

Учитывая (3.44), получаем зависимость между коэффициентом ? и и величиной С:

. (3.48)

Влияние различного вида несовершенства скважины на приток изучалось как теоретически, так и экспериментально.

3.4.2 Виды несовершенств скважин. Приведённый радиус. Добавочное фильтрационное сопротивление

Гидродинамическое несовершенство скважины проявляется в том, что в призабойной зоне пласта с конечной мощностью отсутствует радиальность потока по причине, обусловленной конструкцией забоя или фильтра.

а b

Рис. 3.12. Схема притока к несовершенной скважине:

а - по степени вскрытия; b - по характеру вскрытия

Различают два вида несовершенства скважин - несовершенство по степени вскрытия и несовершенство по характеру вскрытия.

Несовершенная скважина по степени вскрытия - это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а частично (рис.3.12,а).

Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта (рис. 3.12,b).

На практике чаще всего встречаются скважины несовершенные как по степени, так и по характеру вскрытия пласта.

Дебит G несовершенной скважины чаще всего меньше дебита G_с совершенной, действующей в тех же условиях, что и данная несовершенная скважина. В некоторых случаях (при торпедной или кумулятивной перфорации, когда глубина прострела достаточно велика) может наблюдаться обратная картина. Отношение данных дебитов ? характеризует степень несовершенства скважины и называется параметром несовершенства

. (3.44)

Параметр несовершенства зависит от:

относительного вскрытия пласта , (3.45)



где h_вс - глубина погружения скважины в пласт , h - толщина пласта;

плотности перфорации (числа отверстий, приходящихся на 1м фильтра), размеров и формы отверстий;

глубины прострела.

При расчете несовершенных скважин нередко используют понятие приведенного радиуса несовершенной скважины

, (3.46)

где r_C - радиус совершенной скважины, С - коэффициент несовершенства.

Приведенный радиус - это радиус такой совершенной скважины, дебит которой равняется дебиту данной несовершенной скважины при тех же условиях эксплуатации.

Таким образом, вначале находятся приведённые радиусы r_пр и дальнейший расчет несовершенных скважин ведется как для совершенных скважин радиуса r_пр.

Таким образом, дебит несовершенной скважины можно определить, если известен параметр несовершенства ? или приведённый радиус r_пр , а также известна соответствующая формула дебита совершенной скважины. Влияние несовершенства скважины на приток при существовании закона фильтрации Дарси можно учесть величиной коэффициента С, основываясь на электрической аналогии. Согласно данной аналогии различие в дебитах совершенной G_c и несовершенной G скважин объясняется наличием добавочного фильтрационного сопротивления несовершенной скважины величиной С/2ph, т.е. дебит несовершенной скважины можно представить в виде:



. (3.47)

Учитывая (3.44), получаем зависимость между коэффициентом ? и и величиной С:

. (3.48)

Влияние различного вида несовершенства скважины на приток изучалось как теоретически, так и экспериментально.

3.4.3 Экспериментальные и теоретические исследования притока жидкости к гидродинамически несовершенной скважине

Течение по закону Дарси

Несовершенная скважина по степени вскрытия изучалась В.И. Щуровым путём электролитического моделирования, который построил опытные диаграммы зависимости С от параметра a=h/D ( h - мощность пласта, D- диаметр скважины) и относительного вскрытия пласта `h=h_вс/h ( h_вс - толщина вскрытия ). Таким же методом исследовалась несовершенная по характеру вскрытия скважина Щуровым и независимо от него И.М. Доуэллом и Маскетом, а также Р.А. Ховардом и М.С. Ватсоном. В результате получены зависимости коэффициента несовершенства от плотности перфорации (числа отверстий на 1 метр) и глубины прострела, которые показали значительную зависимость дебита от плотности перфорации только до значений 16-20 отверстий на 1 метр. Для случая фильтрации газа Е.М. Минским и П.П. Марковым доказана сильная нелинейная зависимость коэффициентов фильтрации от относительного вскрытия пласта.

Для несовершенной по степени вскрытия на основе метода суперпозиции и отображения стоков Маскетом получена зависимость для дебита

, (3.49)

где f - функция относительного вскрытия (рис.3.12).

Если глубина вскрытия не слишком мала, то формула Маскета даёт хорошие результаты, а так как она проще остальных формул, то ею обычно и пользуются для скважин, несовершенных по степени вскрытия, но совершенных по характеру вскрытия.

Рис. 3.12. График функции относительного вскрытия

Если толщина пласта много больше радиуса скважины, то для расчета дебитов несовершенной по степени вскрытия скважины можно пользоваться более простой формулой Н.К.Гиринского:

. (3.50)

Из зависимости (3.49) видно, что коэффициент несовершенства по степени вскрытия С можно выразить соотношением:

(3.51)

и он добавляется к фильтрационному сопротивлению совершенной скважины.

Если скважины ещё и несовершенны по характеру вскрытия, то коэффициент С увеличивается на величину сопротивления фильтра

, (3.52)

где D - диаметр фильтрового отверстия в см; n - число отверстий на 1м перфорированной части.

Течение реального газа по двухчленному закону

В большинстве случаев дебит газовых скважин не следует закону Дарси так же, как в некоторых случаях для нефтяных и водяных скважин.

Вблизи фильтрационных отверстий при приближении к стенке скважины скорость фильтрации становится настолько большой, что число Рейнольдса превосходит критическое. Квадраты скоростей становятся настолько большими, что ими пренебрегать уже нельзя.

Уравнение притока реального газа по двухчленному закону фильтрации к совершенной скважине записывается в виде, аналогично идеальному

, (3.53)

но здесь А и В являются функциями р и Т

. (3.54)

Приток к несовершенной скважине учитывается так же как и при фильтрации по закону Дарси, т.е. введением приведённого радиуса скважины в формулу дебита.

Рис.3.13. Схема притока к скважине несовершенной по степени и характеру вскрытия

При нарушении закона Дарси для скважины несовершенной по степени и характеру вскрытия для расчета притока проще всего использовать следующую схему. Круговой пласт делится на три области (рис. 3.13). Первая имеет радиус R₁ » (2-3) r_c. Здесь из-за больших скоростей вблизи перфорации происходит нарушение закона Дарси и проявляется в основном несовершенство по характеру вскрытия. Вторая область - кольцевая с R₁< r< R₂ и R₂»h. Здесь линии тока искривляются из-за несовершенства по степени вскрытия, и фильтрация происходит тоже по двухчленному закону. В третьей области (R₂< r< R_к) действует закон Дарси и течение плоскорадиально.

Для третьей области

. (3.55)

Во второй области толщина пласта переменна и изменяется по линейному закону от h_вс при r = R₁ до h при r = R₂ (h_вс - глубина вскрытия), т.е. h(r) = a--+--br, где a и b определяются из условий h(r) = h_вс при r = R₁;h(r) = h при r = R₂. Чтобы получить закон движения в этой области, надо проинтегрировать уравнение (3.31), предварительно подставив вместо постоянной толщины h переменную h(r) и учтя реальные свойства газа:

, (3.56)

где

С₂ - вычисляется приближенно в области h_вс>> R₁.

В первой области фильтрация происходит по двухчленному закону и плоскорадиальное течение нарушается из-за перфорационных отверстий. Уравнение притока имеет вид (3.56), но несовершенство учитывается коэффициентами С₃ и С₄, а R₂ заменяется на R₁ и R₁ - на r_c.

Коэффициент С₃ определяется по графикам Щурова, а для определения С₄ используется приближенная формула:

,



где N- суммарное число отверстий; R₀- глубина проникновения перфорационной пули в пласт.

Складывая почленно (3.55), (3.56) и уравнение притока для первой области, получим уравнение притока для несовершенной скважины:

, (3.57)

где

3.5 Влияние радиуса скважины на её производительность

Определим дебит в двух крайних случаях: по закону Дарси - 1-е слагаемое в формуле (3.33) и по закону Краснопольского развитого нелинейного течения - 2-е слагаемое. То же самое сделаем и в случае радиально-сферического течения. Если примем радиус одной скважины r_с, а другой - r_c^/ = xr_c и, соответственно, дебиты G и G^/, а их отношение обозначим через у = G/G^/, то получим следующие формулы для вычисления предельных значений у

Из таблицы видно, что при сохранении закона Дарси в плоскорадиальном потоке влияние радиуса скважины на дебит невелико (необходимо увеличение радиуса в 10 раз, чтобы дебит вырос на 20%). Если же фильтрация нелинейна, то влияние r_c на G усиливается. Для сферически-радиального потока дебит скважины зависит от радиуса в большей степени, особенно при нелинейном законе фильтрации. При торпедировании забоя, гидравлическом разрыве пласта и других способах воздействия на призабойную зону, образуются и расширяются трещины, что способствует нарушению закона Дарси и, следовательно, усилению влияния радиуса скважины на приток к ней жидкости.

Закон	Тип потока
фильтрации	плоскорадиальный	радиально-сферический
Дарси		у=х
Краснопольского



4. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

4.1 Упругая жидкость

4.1.1 Понятия об упругом режиме пласта

При разработке нефтегазовых месторождений часто возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском или остановкой скважин, с изменением темпов отбора флюидов из скважин. Характер этих процессов проявляется в перераспределении пластового давления, в изменениях во времени скоростей фильтрации, дебитов скважин и т.д. Особенности данных процессов зависят от упругих свойств пластов и жидкостей, т.е. основная форма пластовой энергии - энергия упругой деформации жидкостей и материала пласта.

Упругий режим характеризуется двумя особенностями:

неустановившимися процессами перераспределения давления в пласте;

изменением упругого запаса жидкости в пласте.

При упругом режиме движение возникает в призабойной зоне в начале эксплуатации скважины за счет использования потенциальной энергии упругой деформации пласта и жидкости и только через некоторое время оно распространяется на более отдалённые области.

При снижении пластового давления объём сжатой жидкости увеличивается, а объём порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта. Всё это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину.

В ряде случаев приток жидкости поддерживается за счет напора воды, поступающей извне. Такой режим называется упруговодонапорным.

Если залежи нефти ограничены либо зонами выклинивания, либо экранами, то режим называется замкнуто-упругим. В начальной стадии разработки такой залежи до тех пор, пока пластовое давление не снизилось ниже давления насыщения, имеет место замкнуто-упругий режим фильтрации.

Если вытеснение жидкости из пласта происходит не под действием преобладающего влияния упругости пласта и жидкости, то упруговодонапорный режим переходит в жестко-водонапорный режим. При этом режиме влияние упругости пласта и жидкости на фильтрационный поток хотя и не прекращается, но заметно не проявляется.

Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта k, и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости m и коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.

4.2 Упругая жидкость

Понятия об упругом режиме пласта

При разработке нефтегазовых месторождений часто возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском или остановкой скважин, с изменением темпов отбора флюидов из скважин. Характер этих процессов проявляется в перераспределении пластового давления, в изменениях во времени скоростей фильтрации, дебитов скважин и т.д. Особенности данных процессов зависят от упругих свойств пластов и жидкостей, т.е. основная форма пластовой энергии - энергия упругой деформации жидкостей и материала пласта.

Упругий режим характеризуется двумя особенностями:

неустановившимися процессами перераспределения давления в пласте;

изменением упругого запаса жидкости в пласте.

При упругом режиме движение возникает в призабойной зоне в начале эксплуатации скважины за счет использования потенциальной энергии упругой деформации пласта и жидкости и только через некоторое время оно распространяется на более отдалённые области.

При снижении пластового давления объём сжатой жидкости увеличивается, а объём порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта. Всё это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину.

В ряде случаев приток жидкости поддерживается за счет напора воды, поступающей извне. Такой режим называется упруговодонапорным.

Если залежи нефти ограничены либо зонами выклинивания, либо экранами, то режим называется замкнуто-упругим. В начальной стадии разработки такой залежи до тех пор, пока пластовое давление не снизилось ниже давления насыщения, имеет место замкнуто-упругий режим фильтрации.

Если вытеснение жидкости из пласта происходит не под действием преобладающего влияния упругости пласта и жидкости, то упруговодонапорный режим переходит в жестко-водонапорный режим. При этом режиме влияние упругости пласта и жидкости на фильтрационный поток хотя и не прекращается, но заметно не проявляется.

Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта k, и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости m и коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.

Понятия об упругом режиме пласта

При разработке нефтегазовых месторождений часто возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском или остановкой скважин, с изменением темпов отбора флюидов из скважин. Характер этих процессов проявляется в перераспределении пластового давления, в изменениях во времени скоростей фильтрации, дебитов скважин и т.д. Особенности данных процессов зависят от упругих свойств пластов и жидкостей, т.е. основная форма пластовой энергии - энергия упругой деформации жидкостей и материала пласта.

Упругий режим характеризуется двумя особенностями:

неустановившимися процессами перераспределения давления в пласте;

изменением упругого запаса жидкости в пласте.

При упругом режиме движение возникает в призабойной зоне в начале эксплуатации скважины за счет использования потенциальной энергии упругой деформации пласта и жидкости и только через некоторое время оно распространяется на более отдалённые области.

При снижении пластового давления объём сжатой жидкости увеличивается, а объём порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта. Всё это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину.

В ряде случаев приток жидкости поддерживается за счет напора воды, поступающей извне. Такой режим называется упруговодонапорным.

Если залежи нефти ограничены либо зонами выклинивания, либо экранами, то режим называется замкнуто-упругим. В начальной стадии разработки такой залежи до тех пор, пока пластовое давление не снизилось ниже давления насыщения, имеет место замкнуто-упругий режим фильтрации.

Если вытеснение жидкости из пласта происходит не под действием преобладающего влияния упругости пласта и жидкости, то упруговодонапорный режим переходит в жестко-водонапорный режим. При этом режиме влияние упругости пласта и жидкости на фильтрационный поток хотя и не прекращается, но заметно не проявляется.

Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта k, и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости m и коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.

Основные параметры теории упругого режима

Важнейшими параметрами теории упругого режима являются коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.

Коэффициент объёмной упругости жидкости b_ж характеризует податливость жидкости изменению её объёма и показывает, на какую часть первоначального объёма изменяется объём жидкости при изменении давления на единицу

, (4.1)

где t_ж - объём жидкости; знак минус указывает на то, что объём t_ж увеличивается с уменьшением давления; b_ж нефти находится в пределах (7-30)10^-10м²/н; b_ж воды находится в пределах (2,7-5)10^-10м²/н.

Коэффициент объёмной упругости пласта определяется по формуле

, (4.2)

где t_п - объём пласта; m - пористость; b_С слабо и сильно сцементированных горных пород находится в пределах (0,3-2)10^-10м²/н.

Большое значение в практике добычи нефти и подсчета её запасов имеет величина упругого запаса выделенной области пласта, соответствующая заданному падению давления. По Щелкачеву упругий запас - это количество жидкости, высвобождающейся в процессе отбора из некоторой области пласта при снижении пластового давления до заданной величины, если высвобождение происходит за счет объёмного расширения жидкости и уменьшения порового пространства пласта.

Обозначая упругий запас через Dt_з , получаем по определению

Dt_з = b_жt_0жDр + b_сt₀Dр, (4.3)

где t_0ж - объём жидкости, насыщающей элемент объёма пласта ?₀ при начальном давлении р₀; Dр - изменение давления.

Так как t_0ж = m₀t₀, то

Dt_з=b^*t₀Dр. (4.4)

Здесь b^* = m₀b_ж +b_с - коэффициент упругоёмкости пласта, показывающий долю объема жидкости от выделенного элемента объема пласта, высвобождающейся из элемента пласта при снижении давления на единицу.

Вскрытие пласта и изменение режима работы скважины вызывает возмущение в пласте. От источника возмущения оно передаётся во все стороны пласта с какой-то скоростью. Скорость распространения изменения пластового давления характеризуется коэффициентом пьезопроводности пласта

. (4.5)

Здесь L, T -размерности длины и времени.

Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости (уравнение пьезопроводности)

Считаем, что течение происходит по закону Дарси. Уравнение состояния упругой жидкости в линеаризованной постановке, которое получим из соотношения (2.27) разложением экспоненты в ряд Тейлора, имеет вид

, (4.8)

а также изменение пористости в зависимости от давления, согласно (4.2), запишется в виде

. (4.9)

Из (4.8) и (4.9), при пренебрежении членом, содержащим произведение b_жb_с,имеем следующее дифференциальное уравнение

. (4.10)

В то же время из общего уравнения фильтрации (2.8) .

Подставляя в выражение для потенциала соотношение для плотности (4.8) и считая м=const, k=const, после интегрирования данного выражения при пренебрежении членом, содержащим (р-р₀)², получим с учетом (2.8)

. (4.11)

Уравнение типа (4.11) известно под названием уравнения теплопроводности, а в теории фильтрации называется уравнением пьезопроводности. По аналогии с уравнением теплопроводности коэффициент ж характеризует быстроту распределения давления в пласте и носит название коэффициент пьезопроводности. Само уравнение (4.11) позволяет определить поле давления при нестационарных процессах в пласте с упругим режимом.

Приток к скважине в пласте неограниченных размеров

Вывод основного уравнения упругого режима

Считаем пласт упругим, горизонтальным и большой протяженности и в нём имеется одна скважина, тогда движение жидкости в пласте можно считать плоскорадиальным к точечному стоку (эксплуатационная скважина) или от точечного источника (нагнетательная скважина).

Рассмотрим процесс перераспределения давления при неустановившемся, плоском радиальном движении жидкости. Для этого запишем уравнение пьезопроводности в цилиндрической системе координат

. (4.12)

Предположим, что возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t = t^/ . Для этого случая решение уравнения (4.12) имеет вид

, (4.13)

где А и С - некоторые постоянные.

Найдём значения постоянных. Для этого будем считать, что в момент времени t = t^/ давление в пласте было р = р_к = const. Тогда при r > 0 и при t = t^/ второй член правой части обращается в неопределённость типа Ґ/Ґ и определяется по правилу Лопиталя, что даёт С = р_к. Таким образом,

. (4.14)

Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением (4.4) для определения объёма высвобождающейся жидкости для случая кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной h и шириной dr, а также учтем падение давления Dр = p₀ - p по (4.14):

dt_з = b^*Dрdt₀ = . (4.15)

После интегрирования (4.15) в пределах от 0 до Ґ получим объём жидкости t₃ , выделившейся из всего пласта и, следовательно, определим коэффициент А:

. (4.16)

Таким образом в случае скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно, изменение давления во времени определяется соотношением:

. (4.17)

Если скважина была введена в некоторый момент времени и действовала непрерывно с постоянным дебитом Q = Q₀ в течение времени dt^/, то за этот промежуток времени через сток выделяется из пласта объём dt₂ = Qdt^/ и, следовательно, из (4.17) следует

. (4.18)

Интеграл правой части носит название интегрально-показательной функции

и с учетом данного обозначения решение для изменения давления запишется в виде

. (4.19)

Формула (4.19) является основной формулой теории упругого режима пласта.

Рис. 4.1. График интегрально - показательной функции

Интегрально-показательная функция имеет вид (рис.4.1) и обладает следующими свойствами:

-Ei(-u) изменяется от 0 до Ґ при изменении аргумента от 0 до Ґ;

функция -Ei(-u) представляется в виде сходящегося ряда

(4.20)

Для малых значений u<1 можно принять

, (4.21)

с погрешностью, не превышающей 0,25% при u < 0,01; 5,7% - при

u < 0,1

. (4.22)

С учетом соотношения (4.21) основное уравнение (4.19) перепишется в виде, которое более известно под названием уравнение кривой восстановления давления (КВД)

. (4.23)



Полученную зависимость можно использовать при числе Фурье с погрешностью, не превышающей 0,6%. Практически это означает, что уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (4.23), будут иметь погрешность не превышающую 0,6%. Формулу (4.23) можно использовать и для расчета падения давления в конечном пласте, а именно, погрешность расчета давления при этом не превышает 1%, если r_к > 1000r_c и fo < 3,4.10⁵ или Fo < 0,34.

Рис. 4.2. Пьезометрические кривые при пуске скважины в бесконечном пласте с постоянным дебитом

Рассмотрим пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса r_c c постоянным дебитом Q₀ (рис.4.2). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (4.23), а дифференцируя её по координате r, найдём градиент давления

.



Из этой формулы следует, что градиент давления для значений r, удовлетворяющих неравенству r²<<0,03^.4 ж t, практически не зависит от времени и определяется по той же формуле, что для установившейся плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости. Для указанных значений r пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (рис.4.2). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.

Анализ основной формулы теории упругого режима

Основная формула (4.19) или (4.23) строго говоря справедлива лишь для точечного стока, т.е. при r_с=0. Практические расчеты показывают, что ей можно пользоваться даже для укрупнённых скважин (r_с?1км) и нельзя использовать только в первые доли секунды после пуска скважины. Если скважина укрупнённая, то формула (4.23) может дать большую погрешность лишь вблизи от её стенки (контура). Чем дальше отстоит от этого контура точка, в которой определяется давление, и чем больше времени прошло с момента пуска укрупнённой скважины, тем меньше погрешность.

Анализ формулы (4.23) показывает, что вскоре после пуска скважины вокруг неё начинает непрерывно увеличиваться область пласта (рис.4.2), в которой для каждого момента времени давление распределяется так, как и при установившемся движении, т.е. давление оказывается квазиустановившимся и пьезометрические кривые будут кривыми логарифмического типа.

Из (4.23) следует, что градиент давления, расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом r и скорость фильтрации определяются соотношениями:

(4.24)

Из данных соотношений следует, что стационарная скорость достигается очень быстро на небольших расстояниях от скважины, так как значение коэффициента пьезопроводности велико.

Приток к скважине в пласте конечных размеров в условиях упруго-водонапорного и замкнуто- упругого режима

Круглый горизонтальный пласт с открытой внешней границей.

Постоянный дебит. Пусть пласт имеет внешнюю границу радиусом r_к, через которую может поступать вода при истощении упругого запаса. В центре пласта имеется скважина радиусом r_с, которая мгновенно запускается в эксплуатацию с постоянным дебитом Q₀. Перед пуском скважины давление в пласте было р_к.

Для определения давления используем полученную ранее зависимость для неограниченного пласта

, (4.19)

и формулу Дюпюи

(4.25)

для установившегося плоскорадиального потока. В результате совместного решения данных зависимостей получим следующую приближённую формулу

, (4.26)

где р_у - установившееся давление в любой точке пласта или в реагирующей бездействующей скважине (давление р_у соответствует времени t = Ґ или Fo = Ґ).

a b

Рис. 4.3. . Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей: а - с постоянным дебитом; b - с постоянным забойным давлением р_с

Изменение пьезометрической кривой в различные моменты времени после пуска скважины с постоянным дебитом в пласте с круговым контуром питания показано на рис.4.3а.

Постоянное забойное давление. На рис 4.3b изображена в различные моменты времени пьезометрическая кривая после пуска возмущающей скважины с постоянным забойным давлением, на рис.4.4 - изменение дебита скважины с течением времени.



Рис. 4.4. Изменение дебита скважины с течением времени при постоянном забойном давлении р_с

Круглый горизонтальный пласт с закрытой внешней границей

Рис. 4.5. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном дебите

Постоянный дебит. Будем считать дебит скважины постоянным. Пьезометрические кривые падения давления для разных моментов времени показаны на рис. 4.5. С некоторого момента смещение во времени пьезометрической кривой для закрытого пласта происходит так, что все точки её опускаются на одно и тоже расстояние ?, т.е. во всех точках пласта давление падает с одной скоростью.

Из рассмотрения рис. 4.3, 4.5. видно, что в условиях упругого режима процесс перераспределения давления, а значит, и процесс взаимодействия скважин развивается постепенно, если же и наблюдается аномально быстрое взаимодействие скважин, то это можно объяснить неоднородностью пластов и их анизотропией.

Кроме того, при пуске или остановке скважины давление вначале меняется быстро, а затем темп изменения давления замедляется.

Если скважина действовала с постоянным дебитом при установившимся потоке и в некоторый момент времени она останавливается, то начинается процесс восстановления давления. Уровень жидкости в скважине начинает подниматься.

Для расчета используются полученные выше формулы для возмущающей скважины, но вместо данных понижения давления в пласте надо подставить данные повышения давления после остановки скважины.

Постоянное забойное давление. Объемный дебит возмущающей скважины определяется по формуле

(4.27)

а объем жидкости ?_ж, добытой из скважины (в пластовых условиях) за время t с момента пуска скважины равен

.

При больших параметрах Фурье fo объем Q_ж оказывается равным упругому запасу жидкости в закрытом пласте

t_ж »--tb^*(р_к-р_с). (4.28)



Рис. 4.6. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном забойном давлении	Рис. 4.7. Изменение дебита Q (кр.1) скважины и суммар-ной добычи Qcp (кр.2) с течением времени t

На рис. 4.6 показана пьезометрическая кривая для нескольких моментов времени в закрытом пласте, а на рис. 4.7 изображены две кривые: одна из них характеризует падение дебита скважины с постоянным забойным давлением (кр. 1); другая - рост суммарной добычи жидкости t_ж (кр.2).

Периодически работающая скважина

В неограниченном пласте останавливается скважина, эксплуатирующаяся с постоянным дебитом Q в течении времени Т, сравнимого со временем проведения исследований. Понижение давления ?р^/ в момент времени Т можно найти по формуле

(4.23).

С момента остановки давление в ней и окружающей области пласта повышается, т.е. с данного момента в одном и том же месте пласта как бы действуют совместно и непрерывно эксплуатационная (сток) и нагнетательная (источник) скважины. При этом источник имеет тот же дебит Q. Обозначим повышение давления за счет работы источника через ?р^//. Таким образом, начиная с момента времени Т, на основании формулы (4.23) имеем:

, (4.29)

.

Результирующее понижение давления ?р в любой точке пласта находится по методу суперпозиции

. (4.30)

Обозначая через р_с давление на забое скважины после её остановки, получаем

. (4.31)

Зависимость (4.31) используется при гидродинамических исследованиях скважин, работающих не продолжительное время, методом построения кривой восстановления давления.

Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин нестационарными методами

Различают две группы гидродинамических методов: при установившихся и неустановившихся режимах. Первые связаны с теорией одномерного потенциального течения, а вторые - с теорией упругого режима. После пуска или остановки скважины происходит перераспределение давления, которое можно снять и получить кривую восстановления (КВД) или стабилизации (КСД) давления. На форму данных кривых влияют коллекторские свойства, что дает возможность определения таких параметров как проницаемость и пьезопроводность.

Наиболее распространен метод определения коллекторских свойств по данным о восстановлении забойного давления (КВД) в остановленных скважинах в полулогарифмических координатах (?р, lnt) на основе зависимости (4.23), записанной относительно забоя скважины в виде

(4.32)

Уравнение (4.32) можно рассматривать как уравнение изменения забойного давления после остановки скважины, работающей до этого с постоянным дебитом Q.

Рис. 4.8. Кривая КВД

Уравнение (4.32) представляет собой прямую (рис. 4.8) в координатах Dр_с-lnt, а коэффициент i определяется как тангенс угла её наклона ? к оси времени и коэффициент А - как отрезок оси давления, отсекаемый продолжением прямой.

По известным коэффициентам можно определить коллекторские свойства пласта:

по коэффициенту i определяют гидропроводность пласта

. (4.33)

Если известна вязкость жидкости в пластовых условиях m и толщина пласта h, то из последней формулы находится коэффициент проницаемости пласта:

. (4.34)

По известному угловому коэффициенту i = tgj и радиусу r_c скважины из коэффициента А можно определить коэффициент пьезопроводности пласта ж.

Область применения указанных приемов интерпретации результатов исследования нефтяных скважин ограничивается условиями, при которых справедлива формула (4.32), а именно: скважина рассматривается как сток постоянной интенсивности в бесконечном, однородном пласте , и возможна мгновенная остановка притока флюида в скважину.

В случае ограниченного пласта, когда изменение давления, вызванное закрытием скважины, доходит до его границы, КВД начинает искажаться, а через достаточно большое время выходит на горизонтальную асимптоту, соответствующую стационарному распределению давления. Поэтому длина прямолинейного участка на кривой КВД ограничена.

Кроме того, в реальных условиях скважину нельзя остановить мгновенно. После её закрытия на устье приток флюида из пласта продолжается ещё некоторое время из-за упругости жидкостей и газов, заполняющих скважину. Время выхода на асимптоту должно, очевидно, превышать время дополнительного притока. Поэтому возможны условия, при которых прямолинейный участок на КВД появляется через значительный промежуток времени, либо даже вообще отсутствует.

На форму КВД сказывается также несовершенство скважины и возможное нарушение закона Дарси у стенок скважины. В этом случае необходимо решение более сложного уравнения пьезопроводности с нелинейными членами и использование приближенных методов расчета коллекторских свойств.

Неустановившееся фильтрация газа в пористой среде

Уравнение Лейбензона

Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа.

Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде

. (4.35)

Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид

. (4.36)

Обозначив р²=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации, получим уравнение Лейбензона:



. (4.37)

По внешнему виду уравнение (4.37) не отличается от уравнения пьезопроводности (4.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (4.37) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности упругой жидкости и аналитически решается приближенно.

Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р в b заменяется на некоторое постоянное : Лейбензон предложил замену на р_к (начальное давление в пласте); Чарный - на р_ср=р_min+0,7(p_max-p_min), где p_max и p_min - максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период.

...