Подземная нефтегазовая гидромеханика

Для простоты будем считать депрессию постоянной. Разделив переменные, получим

(2.21)

где s₀ -- положение границы раздела в момент времени t₀. Уравнение (2.20) можно интегрировать также и при других граничных условиях, когда депрессия переменна. В некоторых случаях точное интегрирование оказывается невыполнимым. Тогда применяют методы численного интегрирования.

Рассмотрим частные случаи, когда пористость и проницаемость постоянны. Эти частные случаи будут соответствовать тому или другому виду зависимости R(s).

2.1.6 Прямолинейное и плоско-радиальное движение границы раздела в пласте с постоянными мощностью, пористостью и проницаемостью

Рис. 2.6. Схема прямолинейного движения водонефтяного контакта



На рис. 2.6 показан план месторождения; прямая КП -- контур питания, на котором поддерживается давление р_к. В нефтяной части расположена прямолинейная батарея скважин. Перед батареей скважин изобары почти прямолинейны. Давление на одной из близких изобар обозначим через р_с. Рассмотрим движение между контуром питания и изобарой р_с. Решение получится из формул (2.19) и (2.21), где полагаем f (s) = f = const, k = const. Тогда

. (2.22)

Для нахождения закона движения подставим найденное выражение R(s) в формулу (2.21). Тогда получим (полагая t₀=0)

(2.23)

Таким образом, задаваясь положением границы раздела, из (2.23) можно найти соответствующее время.

В частности, чтобы найти время полного вытеснения нефти, нужно положить s=l.

Для контроля рассмотрим предельные наиболее простые случаи..

Рассмотрим случай одножидкостной системы. Для одножидкостной системы

м_н=м_в=м.



Из (2.23) получим

. (2.24)

Ту же задачу для одножидкостной системы можно решить более просто. Скорость фильтрации u будет постоянна и равна по закону Дарси

.

Скорость самих жидких частиц -- действительная скорость движения -- получится, если скорость фильтрации разделить на пористость:

.

Так как w= const, то путь s- s₀ будет пройден за время t:

,

что совпадает с (2.24).

Рассмотрим радиальное движение водонефтяного контакта в пласте постоянной мощности (рис. 2.7).



Рис.2.7. Схема плоско-радиального движения фодо-нефтяного контакта

s -- расстояние, пройденное вытесняющей жидкостью, отсчитываемое от контура питания.

Пусть жидкость притекает к действительной или воображаемой скважине радиусом г_с, на забое которой поддерживается давление р_с (рис. 2.7, а). В данном случае под «скважиной» подразумевается любая изобара круговой формы.Контур питания будем считать окружностью радиусом R_K с контурным давлением р_к.

Для этой задачи, как и для предыдущих, можно воспользоваться формулой (2.21).

Найдем зависимости f(s) и R(s) для нашего случая. В отличие от прошлой задачи f(s) будет величиной переменной и равной f(s)=2рrh, где h --мощность пласта.

Перейдем от переменной s к переменной г (г -- радиус перемещающегося контура нефтеносности в данный момент).

Из рис. 2.7, б видно, что s = R_K -г. В таком случае R (s) -- фильтрационное сопротивление --согласно формуле (2.19) можно представить в виде:

(2.25)

Это значение фильтрационного сопротивления подставим в общую формулу (2.21) для времени t. Полагая t = 0, получаем

(2.26)

где r₁ и r₂ -- радиусы начального и конечного положений водо-нефтяного контакта.

Из формулы (2.26) получаем

(2.27)

Из этой формулы можно найти время радиального перемещения водо-нефтяного контакта от начального положения r=r₁ до заданного г = г₂. Время прорыва в скважину получим, полагая г = г_с.



2.2 Характер движения водо-нефтяного контакта. Схемы предельно анизотропных пластов

Устойчивость движения границы раздела

В реальных условиях задача о движении границы раздела выглядит значительно сложнее, чем по указанным выше схемам, так как водо-нефтяной контакт совершает сложное пространственное движение.

В реальных условиях пласты наклонны. Граница раздела сначала горизонтальна и затем начинает деформироваться.

Рис.2.8. Схема наклонного пласта

Рассмотрим наклонный пласт, где первоначальная граница раздела воды и нефти была горизонтальной. Пласт вскрывается группой скважин (рис. 2.8).

Будем считать, что скважины находятся в нефтяной части пласта. При отборе нефти граница раздела вода -- нефть будет перемещаться, занимая последовательно положения A_QB₀, A₁B₁, А₂В₂,,..

Если площадь водо-нефтяного контакта мала, то можно принять схему поршневого вытеснения, считая контакт вертикальным. Если же площадь контакта велика, то это предположение становится слишком грубым. Точного решения задачи о пространственном движении границы раздела не имеется.

Как указывалось выше, основная трудность точного решения задачи заключается в том, что при движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде в общем случае происходит преломление линий тока.

Рассмотрим движение в однородно-анизотропном пласте, когда составляющие проницаемости k_х и k_у в двух взаимно-перпендикулярных направлениях по напластованию и перпендикулярно напластованию различны.

Схема послойного движения соответствует течению в однородно-анизотропном пласте, у которого проницаемость k_v в направлении, перпендикулярном напластованию, равна нулю. Можно рассмотреть другой крайний случай, считая эту составляющую проницаемости k_y равной бесконечности. Таким образом, могут быть установлены пределы, между которыми заключено истинное движение водо-нефтяного контакта.

Предположение k_y = ? эквивалентно предпосылке о гидростатическом распределении давления в каждом поперечном сечении фильтрационного потока.

Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости движения границы раздела (рис. 2.7). Скорости фильтрации каждой жидкости согласно закону Дарси определяются в общем случае формулами

(2.28)

Вследствие неровностей на границе раздела частицы первой -- вытесняющей -- жидкости (воды) попадают в область, занятую второй --вытесняемой --жидкостью (нефтью), причем их дальнейшее движение может ускориться или, наоборот, замедлиться. В первом случае движение границы раздела будет неустойчиво, во втором устойчиво. Критерии устойчивости можно установить следующим образом. Обозначим (u₁)₂ скорость частицы первой жидкости, попавшей в поток второй жидкости с градиентом давления ; (k₁)₂ --проницаемость для первой жидкости в зоне движения второй.

Согласно закону Дарси для (u₁)₂ имеем

(2.29)

Скорость же u₂ основных частиц второй жидкости, соприкасающихся с проникшими туда частицами первой жидкости, согласно второму уравнению (2.28) равна

(2.30)

Из (2.29) и (2.30) получаем связь между (u₁)₂ и u_2:

, (2.31)

откуда

(2.32)

Об устойчивости движения можно судить по разности Дu=(u₁)₂-u₂:



(2.33)

При Дu?0 движение устойчиво, при Дu>0 движение неустойчиво.

Проникновение первой жидкости в зону движения второй будет происходить вдоль подошвы или вдоль кровли пласта. В этом случае dz/ds - есть синус угла а наклона пласта к горизонту: dz/ds = sin б.

Величина u₂ может быть определена по заданному дебиту отбираемой второй жидкости.

Таким образом, условие устойчивости (2.33) можно представить в виде:

(2.34)

Величина (k₁)₂ близка к проницаемости так называемой переходной зоны -- зоны, оставленной второй жидкостью и занятой первой. Обычно (k₁)₂ значительно меньше k₂. В первом приближении можно считать (k₁)₂ ?k₂= k.

Из уравнения (2.34) следует, что при очень малых скоростях u₂ и при г₁> г₂, б>0 движение устойчиво, так как Дu<0, даже если велико. Поэтому, когда водо-нефтяной контакт далек от эксплуатационных скважин и скорость u₂ мала, граница раздела движется устойчиво. С приближением водо-нефтяного контакта и с увеличением u₂ согласно (2.34) Дu увеличивается. Когда Дu>0, движение неустойчиво и язык подошвенной воды будет двигаться гораздо быстрее.

Можно показать, что неустойчивое движение будет происходить по расчетной схеме k_y = ?.

Рассмотрим для этого движение граничных точек А и В (рис. 2.8) вдоль кровли и подошвы наклонного пласта. Последовательные положения этих точек обозначены A_Q, A₁, ..., B_Q, B₁, ... Для простоты проницаемость k и мощность пласта h полагаем постоянными, а движение прямолинейно-поступательным с расходом q на единицу ширины. Поперечное сечение пласта в точке А проходит, только через водоносную часть пласта, причем скорости частиц воды в этом сечении А можно считать равномерно распределенными. Аналогично в сечении В в нефтеносной части пласта скорости частиц нефти также будем считать равномерно распределенными.

Тогда из уравнения (2.31), в котором полагаем (k₁)₂=k₂= k, г₁= г_в; г₂= г_н (г_в, г_н - объемный вес соответственно воды и нефти), , считая жидкости несжимаемыми, получим.

Для точки А

откуда

(2.35)

где -- отношение вязкости нефти м_Н к вязкости воды м_В. Для точки В

откуда

(2.36)

При г_в=г_н уравнения (2.35) и (2.36) совпадают с уравнениями, полученными другим путем А. М. Пирвердяном. Расчетная схема А. М. Пирвердяна соответствует условию k_y = ?.

Для радиального движения мжеь быть получен аналогичный результат.

Таким образом, согласно (2.35) и (2.36)при неустойчивом движении границы раздела скорости граничных точек А и В (рис. 2.7) вдоль кровли и подошвы пласта не совпадают со средней скоростью движения q/mh, где m -- пористость. Точка А вдоль кровли при г_В= г_H движется в м₀ раз медленнее, точка же В вдоль подошвы в м₀ раз быстрее.

При неустойчивом движении, когда темп вытеснения достаточен, различие объемных весов Дг=г_В-г_Н мало сказывается на этом результате. Более существенным фактором оказывается неполнота вытеснения, обусловленная фазовыми проницаемостями вытесняющей и вытесняемой жидкостей.

Устойчивое движение с достаточной точностью можно рассчитывать по схеме послойного движения частиц параллельно кровле и подошве пласта или по схеме жестких трубок тока.

2.3 Конус подошвенной воды. Условия равновесия и прорыва подошвенной воды или верхнего газа в скважину

В тех случаях, когда площадь водо-нефтяного контакта оченъ велика, с самого начала эксплуатации скважины оказываются в нефтяном пласте с подошвенной водой (рис. 2.9). Это имеет место в пологопадающих пластах с очень малым углом наклона к горизонту.

При отборе нефти поверхность водо-нефтяного контакта деформируется и принимает вид холма. Такой водяной холм называется конусом подошвенной воды.

Если повысить депрессию и отбор нефти, то вода прорвется в скважину и скважина будет давать нефть вместе с водой.

Точной теории водяного конуса до сего времени не имеется ввиду чрезвычайной сложности задачи.

Рис. 2.9. Схема коусообразования

Приближенная теория, позволяющая рассчитать предельный безводный дебит и форму конуса, была предложена Маскетом, а также И.А. Чарным.

Изложим физическую сторону явления и метод расчета, позволяющий определить пределы, между которыми заключен максимально возможный безводный дебит нефтяной скважины.

Расчеты показывают, что безводный дебит в однородных маломощных пластах очень мал. Тем не менее даже в этих маломощных пластах скважины дают иногда довольно большой нефтяной дебит без воды, хотя известно, что под .ними имеется подошвенная вода. Это обстоятельство объясняется наличием непроницаемых или малопроницаемых пропластков, которые затрудняют вертикальное движение воды.

Рассмотрим задачу о притоке нефти к несовершенной скважине при устойчивом неподвижном конусе подошвенной воды.

Пласт будем считать изотропным, а кровлю, подошву и первоначальный водораздел - горизонтальными. Предположим, что водяной конус неподвижен и устойчив и к скважине притекает чистая нефть.

Направим оси координат так, как показано на рис. 2.9

Обозначим нефтеносную мощность через h, глубину вскрытия -- b, радиус скважины -- г_с.

В точной постановке требуется решить уравнение Лапласа для потенциала ДФ = 0 при следующих граничных условиях: кровля пласта непроницаема; поверхность водо-нефтяного контакта, форма которой неизвестна и сама подлежит определению, также непроницаема для нефти. Основная сложность такой задачи заключается в том, что форма границы раздела воды и нефти, т. е. форма конуса, неизвестна. Таким образом, помимо трудностей, связанных с решением уравнения Лапласа, неизвестна область, в которой это решение должно быть найдено.

Предварительно выясним условия, при которых частицы воды на вершине конуса будут неподвижны.

Предположим, что распределение давления в любой точке пласта известно, т. е. известна функция р = р (г, z).

Это давление в разных точках будет разное. Самое меньшее давление будет на стенке скважины.

Выделим на вершине конуса, т. е. в точке, лежащей на оси скважины (r=0) элементарный вертикальный цилиндрик пористой среды площадью df, высотой dz, заполненный водой, и рассмотрим силы, которые на него действуют (рис. 2.9, б), предполагая, что этот цилиндрик попал в нефтяную часть.

Пусть давление на верхнюю грань будет р (0, z) = р, давление на нижнюю грань р'. Очевидно,

Составим уравнение равновесия для частицы воды. Сила, которая влечет эту частицу вверх, равняется

где m-- пористость. При этом нужно учесть, что жидкость занимает не всю площадь df, а только ее часть mdf. Вниз частицу воды влечет ее собственный . вес, равный г_b mdfdz, где г_b -- объемный вес воды.

Вопрос, будет ли частица воды увлечена вверх или не будет, решается сопоставлением этих двух сил.

Условие устойчивости частицы воды, таким образом, имеет вид

или

(2.37)

Условие (2.37) можно выразить, перейдя от давления к потенциалу Ф:

причем знак плюс относится к случаю, когда ось z направлена вертикально вверх, а минус, когда она направлена вертикально вниз. Для наших условий, когда ось z направлена вниз:

(2.38)

где k -- проницаемость; м -- вязкость нефти; г_Н -- удельный вес нефти. Из формулы (2.38) находим

(2.39)

после чего условие устойчивости конуса (2.37) принимает вид:

или

(2.40)

где Дг=г_В-г_Н - разность объемных весов воды и нефти.

Используем условие, что вода неподвижна, и, следовательно, давление в ней распределено гидростатически по закону Паскаля. Обозначим высоту конуса у, тогда у = h -- z.

Рассмотрим две точки (рис2.9, а): вершину конуса (точка А) с давлением р и точку пересечения оси скважины с первоначально невозмущенной поверхностью раздела (точка А'). Давление в точке А' согласно закону Паскаля равно

.



Пусть на некотором расстоянии от скважины R₀ мощность нефтяного пласта равна h и известно давление р₀ на границе раздела. Тогда, так как вода неподвижна

(2.41)

Выражая давление через потенциал Ф нефтяной части пласта согласно формуле (2.39), получаем

где Ф₀-- потенциал точки с давлением р₀.

Тогда при учете (2.39) уравнение (2.41) можно представить в виде:

или, учитывая выражение для Дг и рис. 2.9

(2.42)

Из формулы (2.42) получаем

(2.43)

т. е. вдоль границы раздела текущей нефти и неподвижной воды потенциал изменяется линейно в зависимости от высоты.

На рис2.10 приведены кривые распределения потенциала вдоль оси скважины и вдоль цилиндрической поверхности R₀. Величина потенциала отложена вправо, как показано на рис. 2.10. Вдоль поверхности R₀ потенциал будем считать постоянным: Ф = Ф₀ (прямая KN).

Уравнение (2.43) изображается прямой линией KL, наклоненной к вертикали под углом в, с угловым коэффициентом, равным tg в = kДг/м.. Где-то на этой прямой лежит потенциал вершины конуса. Если бы была известна высота подъема конуса, то сразу можно было бы найти этот потенциал.

Рис. 2.10. Распределение потенциала вдоль стенки скважины, её продолжения и поверхности водяного конуса

Теперь посмотрим, какой вид будет иметь распределение потенциала в нефтяной части пласта.

Наименьшее давление, а следовательно, и наименьший потенциал будут на стенках скважины, причем вдоль стенок скважины потенциал считается распределенным равномерно, так как на стенке скважины давление можно , считать гидростатическим. Обозначим потенциал на стенке скважины Ф_с. , Ниже забоя скважины потенциал будет возрастать.

Нетрудно показать, что потенциал вдоль оси будет возрастать так, как показано на рис. 2.10., т. е. выпуклостью вправо.

Действительно, вертикальная составляющая скорости фильтрации определяется формулой w_z=-?Ф/?z.

Вершина конуса по условию неподвижна. Следовательно, скорость нефти на этой вершине обращается в нуль, откуда вытекает, что касательная в этой точке должна быть вертикальной.

К оси скважины подтекают струйки. Поэтому скорость вдоль оси скважины монотонно возрастает от нуля до какого-то максимума на забое. Таким образом, |?Ф/?z | вдоль оси z скважины монотонно возрастает и кривая распределения потенциала Ф = Ф (0, z) должна быть обращена выпуклостью вправо, как показано на рис. 2.10.

Очевидно, высота конуса определяется положением точки пересечения прямой KL и кривой Ф = Ф (0, z).

Точный вид распределения потенциала при наличии конуса обводнения неизвестен. Поэтому нужно исходить из каких-то других предпосылок, которые позволят оценить хотя бы приближенно величину подъема конуса и наиболее интересную для практики величину -- предельного безводного дебита.

Рис. 2.11. Приток жидкости с образованием неподвижного устойчивого конуса подошвенной воды

Рассмотрим приток жидкости с образованием неподвижного устойчивого конуса подошвенной воды (рис. 2.11,а). Для этого проведем две цилиндрические поверхности, соосные со скважиной: первую некоторым радиусом г_о (в частности, это может быть радиус скважины); вторую радиусом R₀. Направим ось z вниз и на произвольном расстоянии г (г_о < г R₀.) опишем цилиндрическую поверхность вокруг скважины. Заметим, что высота цилиндрической поверхности h будет переменной величиной: h = h (г).

Найдем расход нефти через эту цилиндрическую поверхность. Для этого выделим бесконечно малый элемент поверхности -- цилиндр -- высотой dz и радиусом г и найдем элементарный расход через его боковую поверхность. Расход находится путем умножения радиальной составляющей скорости фильтрации u_r на площадь боковой поверхности 2?rdz и интегрирования произведения по z в пределах от нуля до h:

. (2.44)

Радиальная составляющая скорости фильтрации u_r в нашем случае будет направлена в сторону уменьшения г и, следовательно, отрицательна, причем . Для вычисления расхода надо определить абсолютное значение скорости.

Так как потенциал возрастает с увеличением г (скважина является стоком), то, учитывая направление скорости, можно записать , формула (2.44) для скважины-стока примет следующий вид:



(2.45)

При помощи формулы дифференцирования определенного интеграла по параметру получим следующее выражение для дебита:

Разделим переменные в последнем уравнении

и проинтегрируем полученное выражение в пределах от r=r₀ до r=R₀. Учитывая, что первый член правой части после интегрирования в этих пределах обратится в разность интегралов, получаем

. (2.46)

Последнюю формулу можно интерпретировать графически следующим образом.

Возьмем оси координат Ф и z, как показано на рис. 2.11, б, и построим графики функций Ф(го, z), Ф(Ro, z) распределения потенциала вдоль боковых поверхностей r₀ и R₀(кривые QP и MN).

Первый интеграл в (2.46) равен площади OMNO₂O. Второй интеграл равен площади OQPO₁O, третий интеграл -- площади O₁PNO₂O₁, причем согласно формуле (2.43) Ф (h, r) изображается прямой NP.

Таким образом, правая часть уравнения (2.46) равна, как видно из рис. 2.11, б, заштрихованной площади S.

Сопоставим теперь с движением при наличии конуса напорное равнодебитное движение нефти в пласте постоянной мощности h (R₀) = h₀, когда подошва пласта горизонтальна и непроницаема и на боковой поверхности R₀ поддерживается прежнее распределение потенциала. Это второе движение будем называть невозмущенным, а первое при наличии конуса -- возмущенным. Невозмущенное движение происходит в расширенной по сравнению с возмущенным области, так как стеснение потока, вызываемое конусом, отсутствует. Отсюда следует, что при одинаковых дебита и одинаковых распределениях потенциала на внешней боковой поверхности потенциал любой точки пласта при возмущенном движении будет меньше, чем потенциал той же точки при невозмущенном. Следовательно, распределение потенциала вдоль поверхности г_с ври невозмущенном движении будет характеризоваться пунктирной кривой A'B'C'D', лежащей правее кривой ABC (рис. 2.12), соответствующей возмущенному движению. Согласно формуле (2.46) S равно площади AВCDEA.

Рис. 2.12. Распределение потенциала в случаях возмущенного и невозмущенного движений

Невозмущенное движение представляет собой напорный приток к несовершенной скважине при горизонтальных и непроницаемых кровле и подошве.

Из рис. 2.12 следует, что точка С^/ пересечения прямой DC
с кривой A'B'C'D' лежит ниже точки С, соответствующей ординате точки практически совпадающей с вершиной конуса. Кроме того, так как возмущенное и невозмущенное движения равнодебитны, площади ABCDEA и A'B'C'D'DEA' равны согласно формуле (2.46), откуда следует, что площадь ленточки АВСС'В'А'А равна площади треугольника DC'D'D.

Предположим, что при сохранении потенциала Ф(R₀, z) дебит скважины начал увеличиваться. Это достигается соответствующим уменьшением забойного потенциала на стенке скважины, т. е. уменьшением Ф_с (r_c, z). Условие устойчивости водяного конуса согласно формуле (2.40) имеет вид:

.

Ввиду малости радиуса скважины по сравнению с h и R₀ можно считать предыдущее условие эквивалентным неравенству

. (2.47)

Угол b показан на рис. 2.12.

Отсюда следует, что перед началом прорыва воды распределение потенциала в нефтяной части Ф (0, z) ниже дна скважины будет изображаться кривой СВ (рис. 2.12), касательная к которой в вершине конуса составит с вертикалью угол

Граница раздела воды и нефти при этом будет заканчиваться острием (точкой возврата) (рис. 2.13, а).

Распределение потенциала вдоль оси скважины при равнодебитном невозмущенном движении с тем же потенциалом Ф(R₀, z) согласно предыдущему будет происходить при больших потенциалах и графически изображаться пунктирной кривой B'B"C'D', лежащей правее кривой В С. При этом, так как площадь треугольника DC'D'D должна быть равна площади ленты В'В"С'СВ (верхняя часть ленты не показана) то площадь треугольника DC'D'D будет больше площади сегмента В"С'СВ".

Рис. 2.13. Граница раздел нефть - вода

2.4 Совместный приток нефти и подошвенной воды к несовершенной скважине

Предположим, что вода и нефть совместно притекают к скважине радиусом г_с, вскрывшей горизонтальный пласт мощностью h на глубину b. На расстоянии R₀ от оси скважины распределение давления считается гидростатическим.

Пусть при отсутствии движения мощности, занятые водой и нефтью, соответственно равны h₁ и h₂. Движение считается установившимся и следующим закону Дарси, а жидкости несжимаемыми. На расстоянии r от скважины проведем цилиндрическую поверхность, соосную со скважиной. Пусть в первой области (водяной) высота этой поверхности у= у (r) (рис. 2.14).

Расходы воды и нефти через эту поверхность соответственно равны при оси z, направленной вверх, и горизонтальных кровле и подошве

Рис. 2.14.Совместный приток воды и нефти к несовершенной скважине

(2.48)

где p₁(r,z), k₁, m₁, p₂(r,z), k₂, m₂ - давления, проницаемости и вязкости, соответственно, в водяной и нефтяной частях.

Пользуясь формулой дифференцирования определенного интеграла по параметру, получим другие выражения для Q_l и Q₂:

(2.49)

где

Интегралы Р₁ (r) и Р₂ (r) -- силы, действующие вдоль вертикали, рассчитанные на единицу длины периметра 2?r.

Интегрируя (2.49) в пределах г = г_с и r = R₀, получаем

Откуда

(2.50)

где результирующие силы в сечениях r=R₀ и r=r_c.

Давления на границе раздела р₁(r,у) и р₂ (г, у) отличаются только на величину капиллярного скачка д:

(2.51)

Тогда согласно рис. 2.14



(2.52)

Пренебрегая эффектом капиллярности получаем

(2.53)

Возьмем на границе раздела произвольную линию тока, начинающуюся на поверхности r = R₀ (область питания) и заканчивающуюся в скважине.

Скорости фильтрации первой и второй жидкостей вдоль этой линии тока обозначим u₁ и u₂. Тогда согласно закону Дарси будем иметь

(2.54)

где г₁ , г₂ -- объемный вес соответственно первой и второй жидкостей; ds -- элемент линии тока.

Интегрируя (2.54) вдоль линии тока в пределах от области питания s = s₀ до скважины s = s_c, получаем

(2.55)

(2.56)



где р₀, p_c, y₀, y_c -- давления и ординаты на границе раздела в сечениях s = s₀, s = s_c (рис. 2.14). Правую часть формулы (2.55) можно представить так:

где Др -- депрессия; Дг -- разность объемных весов:

Таким образом, интегралы (2.55) и (2.56) запишутся в виде

(2.57)

При совместном притоке воды и нефти после прорыва водяного конуса депрессия Др обычно намного превосходит член , который можно назвать архимедовой составляющей. Очевидно (рис. 2.14), . Обычно депрессия Др измеряется атмосферами или десятками атмосфер, а член при h₂ порядка 10 м будет иметь значение порядка 0,3 am.

Таким образом, в большинстве случаев, особенно при форсированном отборе, величиной можно пренебречь по сравнению с Др. Тогда вместо (2.57) получим

(2.58)

Формула (2.58) сохраняет силу, если под s₀ и s_c подразумевать любые две точки вдоль рассматриваемой линии тока.

Отсюда следует равенство подынтегральных функций

(2.59)

Из (2.59) следует важный вывод: так как поверхность раздела является поверхностью тока, то при фиксированных значениях p₀ и р_с сетка течения, т. е. распределение эквипотенциален и линий тока, для двухжидкостной системы такая же точно, как и для одножидкостной. Таким образом, когда архимедова составляющая мала по сравнению с депрессией, распределение потенциала при фиксированных значениях p₀ и р_с для совместного притока двух жидкостей с различными физическими константами точно такое же, как при движении однородной жидкости. Это обстоятельство позволяет найти результирующую силу Р (г_с) по известным p₀ и р_с, степени и характеру несовершенства скважины. Для этого найдем дебит Q однородной жидкости с вязкостью ? в однородном пласте проницаемости k мощностью h = h₁ + h₂ (рис. 2.14). Согласно уравнению (2.53) и обобщенной формуле Дюпюи для притока к несовершенной скважине получим

, (2.60)

где С -- фильтрационное сопротивление, обусловленное несовершенством скважины по величине и характеру вскрытия. При R₀>h, что обычно и имеет место, величина С не зависит от радиуса R₀ и определяется исключительно конструкцией скважины.

Таким образом, из (2.60), полагая Р (R₀) = р₀ h, имеем



(2.61)

В сечении r = R₀ -- области питания -- давления и скорости можно считать равномерно распределенными. Отсюда следует пропорция:

(2.62)

Уравнения (2.53), (2.61) и (2.60) позволяют найти Q₁, Q₂, если p_Q и р_с известны. Из (2.53) и (2.60) получаем

, (2.63)

, (2.64)

где - приведённый радиус.

Таким образом, для расчета дебитов при совместном притоке двух жидкостей дебит каждой жидкости следует рассчитывать, как для совершенной скважины радиусом г_с в пласте мощностью h₁ и h₂, причем приведенный радиус r'₀ должен быть предварительно определен из условий движения однородной жидкости в пласте мощностью h = h₁ + h₂.

Предыдущее решение легко обобщается на случай совместного течения двух жидкостей в однородно-анизотропном пласте проницаемостью k_r по горизонтали (вдоль напластования) и проницаемостью k_z по вертикали (перпендикулярно напластованию).

В этом случае при расчете дебитов по формулам (2.48) вместо k₁ и k₂ должны быть подставлены горизонтальные составляющие проницаемости (k_r)₁ и (k_r)₂.

Различие в проницаемостях k_r и k_z скажется только на величине приведенного радиуса г_с, который в условиях однородно-анизотропного пласта будет иметь другое значение, нежели для однородно-изотропного.



ЛИТЕРАТУРА

1. Басниев В.С. и др. Подземная гидравлика. - М.: Недра,1986.-300с.

2. Пыхачев Г.Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. - М.: Недра,1973.- 359с.

Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. - М.: Изд-во нефтяной и горно-топливной лит-ры, 1963. - 396с.

Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. - М.: Недра, 1984.- 211с.

Евдокимова В.А., Кочина И.Н. Сборник задач по подземной гидравлике.- М.: Недра,1973.- 166 с.

Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 736 с.

7. Костюченко С.В., Ямпольский В.З. Мониторинг и моделирование нефтяных залежей. Томск: Изд-во НТЛ, 2000.-240с.

Размещено на Allbest.ru

...