Неклассические перемещенные состояния света

Глава 1. Основные положения квантовой информатики с неклассическими состояниями света. Обзор литературы

Введение в предмет

Рассмотрим на качественном уровне основные положения квантовой механики. Согласно постулатам квантовой механики поведение квантовой системы описывается некоторым состоянием, поведение которой определяется двумя квантовыми правилами. Первое из этих правил определяет эволюцию квантовой системы с течением времени. И этот процесс является детерменировнным и описывается унитарными операторами (унитарными матрицами). Другое правило связано с измерением квантовых систем, и результат измерения может быть вероятностным. Квантовая система может эволюционировать в суперпозицию нескольких состояний под действием унитарного преобразования, что ведет к наблюдению новых не классических эффектов. Измерение квантовой системы может генерировать новые состояния, которые отличаются от начального состояния. Такое рассмотрение квантовых систем, отличающееся от классического, приводило к тому, что многие ученые не принимали аппарат квантовой механики. Так Эйнштейн по этому поводу сказал: “God does not play dice.” (Бог не играет в кости.). Если применить постулаты квантовой механики к макроскопическим объектам, то число странностей только увеличивается. Примером такого странного поведения квантовых объектов может служить Шредингеровский парадокс котов [1], который проистекает в случае применения правил квантовой механики к макроскопическим объектам. Согласно этому парадоксу возможно существование такого состояния “квантового” кота, который может быть одновременно и живым и мертвым.

Существуют и другие странные заключения, следующие из постулатов квантовой механики, например, не локальные квантовые корреляции или так называемые запутанные состояния. В свое время Эйнштейн, Подольский и Розен (Einstein, Podolsky, Rosen) оспорили тот факт, что квантовая механика является полной теорией. Положения квантовой теории ведут к нарушению принципа локального реализма, являющегося естественным с классической точки зрения. Данный спор вошел в историю физики под названием EPR аргумент [2]. Американский физик Bell [3] предложил неравенство, которое можно использовать, чтобы протестировать запутанные состояния на предмет нарушения локального реализма данными состояниями. Результаты экспериментальных тестов подтвердили, что Эйнштейн, Подольский и Розен были не правы.

В настоящее время идеи квантовой механики получили дальнейшее фундаментальное и инновационное развитие для возможных будущих технологий. Практическое применение квантовой механики связано с развитием квантовых компьютеров [4-7], протокола квантовой телепортации [8-10] и протоколов квантовой криптографии [11-13]. Основатели квантовой механики и мечтать не могли, что постулаты квантовой механики могут быть использованы для факторизации больших чисел [5] или в компьютерном поиске не отсортированной информации с большей скоростью, чем это возможно классическими методами [6]. Имеет место и обратное влияние теории информации на более глубокое понимание основ квантовой механики. Например, свойства квантовых систем детально исследуются в терминах квантовой запутанности, которая является полезным ресурсом для квантовой обработки информации. В настоящее время вопросы классификации квантовой информации являются важным направлением исследований в квантовой теории информации.

Ожидается, что квантовые технологии помогут преодолеть трудности, стоящие при разработке обычных классических компьютеров. Широко известен закон Мура --эмпирическое наблюдение, изначально сделанное Гордоном Муром, согласно которому (в современной формулировке) количество транзисторов, размещаемых на кристалле интегральной схемы, удваивается каждые 24 месяца [14]. И закон Мура исправно выполнялся на протяжении последних 30 лет. Но дальнейшее увеличение числа транзисторов ведет к уменьшению пространственных размеров компонент цифровых чипов. Дальнейшее уменьшение транзисторов может быть ограничено физическими законами. Поэтому развитие принципиально новых идей обработки информации становится особенно важным. Еще в 1982 году Фейнман отмечал [4], что определенные квантово-механические законы не могут быть эффективно просчитаны на классическом компьютере. Позднее идея Фейнмана была подтверждена, когда были открыты два алгоритма [5,6], которые могут выполняться быстрее на квантовом компьютере по сравнению с любым самым мощным классическим устройством. Основная причина, благодаря которой квантовый компьютер выполняет эти алгоритмы быстрее, это идея квантового параллелизма. К тому же все квантовые преобразования являются унитарными, то есть происходят без диссипации энергии в тепло, что является еще одним важным преимуществом квантовых компьютеров.

Квантовые криптографические протоколы [11-13] также основываются на постулатах квантовой механики.

Рисунок 1.1



Рисунок 1.2

Протоколы квантовой криптографии дают возможность двум (или более) пользователям разделить между собой секретный код, таким образом, который невозможен в классической криптографии. А попытка злоумышленника не законно получить доступ к секретному коду и при этом не обнаружить своего присутствия противоречит законам квантового мира. Не локальные свойства квантовой механики позволяют наблюдать интересный эффект передачи квантовой информации, который вошел в науку под названием квантовая телепортация [8]. В протоколе квантовой телепортации неизвестная квантовая информация разрушается в том месте, где ее отправитель выполняет некоторое измерение и мгновенно возникает в точке получателя при условии, что изначально отправитель и получатель установили между собой квантовый канал связи (максимально запутанное состояние). Другая идея квантовой информатики, основанная на подобных идеях --- это протокол плотного кодирования информации [15]. Еще одно перспективное направление квантовой информатики --- это квантовая литография [16], которая позволяет преодолеть классический предел интерференционного разрешения. Данный протокол возможен благодаря именно особым запутанным состояниям света. Протоколы корректировки квантовых ошибок [17] (quantum error correction) необходимы для функционирования реальных квантовых компьютеров. Суммируя вышесказанное, на рисунке 1.1 показана структура квантовой информатики и основные идеи, которые положены в основу того или иного квантового протокола.

Реализация квантовых протоколов на практике --- это другое направление квантовой информатики (Рис. 1.2). Существует несколько подходов в практической реализации квантовых компьютеров: ядерный магнитный резонанс (nuclear resonance (NM)), ионные ловушки (ion trap), нейтральные атомы, полупроводники и оптические методы. В 1998 году Чуанг (Chuang) и соавторы сообщили о двух-кубитной реализации простого квантового алгоритма (Deutch-Jozsa алгоритм) с помощью NMR техники [18]. Стоит отметить работу [19], в которой Jones и Mosca реализовали двух-кубитное устройство, где кубитные состояния были реализованы на ядерных спинах атомов водорода. В работе [20] было реализовано устройство из семи кубитов с помощью NMR техники. Данное устройство может быть уже использовано в алгоритме Шора [5]. В настоящее время данную реализацию квантовой сети из семи кубитами можно признать лучшей. В работе [21] рассматривались вопросы построения квантового компьютера, основанного на силиконовых технологиях. Таким образом, согласно рисунку 1.2, предмет квантовой информатики может быть разделен на два больших подраздела. Развитие теории квантовой информации на основе использования модели абстрактных кубитов без привязки к той или иной физической системе и практическая реализация квантовых протоколов в различных физических системах с учетом особенностей этих систем

Вопрос выбора физической системы, которая бы наилучшим образом подходила для реализации того или иного протокола квантовой информатики, является актуальным и по важности не уступающим абстрактным идеям. Действительно, какой бы не была красивой теория, необходимо и практическая реализация тех или иных следствий, которые следуют из данной теории. Вполне возможно, что будущий квантовый компьютер будет реализован на основе нескольких физических систем. В этой связи возможности оптики представляются очень перспективными. Например, протоколы квантовой криптографии [11-13] могут быть реализованы только в оптических системах. За прошедшее время было осуществлено большое количество оптических экспериментов, которые демонстрируют не локальные свойства запутанных фотонных состояний. Из всего многообразия экспериментальных оптических работ выделим только “пионерские” работы [22-25], которые демонстрируют данные свойства фотонов как в лабораторных условиях на не больших расстояниях [22,23], так и на расстояниях до 10 км в оптических волокнах [24]. Так в частности, в работе [25] было показано, что можно манипулировать запутанностью между поляризациями двух фотонов в свободном пространстве, которые распространяются на расстоянии 600 метров друг от друга.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются вопросы реализации различных квантовых протоколов оптическими методами. Квантовые протоколы могут быть реализованы только неклассическими состояниями света. Классический свет --- это такой свет, свойства которого могут быть описаны в привычных классических представлениях. И наоборот, любой свет, свойства которого не могут быть описаны только с использованием классических представлений, является неклассическим. Примером классического света может служить вакуумное или когерентное состояния света. В качестве примера неклассического состояния света можно рассмотреть состояние одного фотона. Так в работе [26] было показано, что универсальный набор гейтов необходимых для функционирования квантового компьютера может реализован методами линейной оптики при условии, что предварительно было сгенерировано запутанное состояние из большого числа единичных фотонов. В настоящее время признано, что такой подход едва ли может быть реализован на практике. Более перспективным является метод, основанный на кластерных состояниях света [27]. Детали данных подходов к реализации квантовых компьютеров будут более подробно обсуждаться в следующей главе.

Главное отличие метода, который используется в настоящей диссертации, от других --- это использование дополнительной степени свободы фотонных состояний, а именно, амплитуды перемещения. Амплитуда перемещения может принимать произвольные значения, в том числе и очень большие, что даже позволяет отнести используемые базисные состояния к макроскопическим в случае выбора большого значения данного параметра. Выбор произвольной амплитуды перемещения дает возможность работать в произвольном базисе, что резко увеличивает возможности оптики как физической системы, в которой можно реализовать квантовые протоколы. Прежде чем перейти к изложению основного содержания диссертации, рассмотрим сжато некоторые аспекты квантовой информатики и квантовой оптики.

Понятие квантового кубита

Прежде чем начать говорить о реализации квантовых протоколов с неклассическими состояниями света, отметим основные положения квантовой механики и теории квантовой информатики. Изложение основ квантовой информатики лучше всего провести в сравнении с классической информатикой.

Бит --- это основная единица классической информации. Бит может принимать два значения или или . Бит --- это наименьшее количество информации. Классический бит может быть реализован в простейших физических системах. Так электрический сигнал, который принимает два значения: сигнал включен (значение бита ) и сигнал выключен (значение бита ). может служить моделью классического бита. Классическая теория информации затрагивает вопросы кодирования и раскодирования информации наиболее эффективными методами, проблемы защиты и передачи классической информации, представимой последовательностью битов. Шэннон (Shannon) в своей пионерской работе впервые [28] детально затронул вопросы сжатия и передачи классической информации.

Для описания квантовых объектов используется аппарат квантовой механики. В квантовой механике вводятся два фундаментальных понятия: наблюдаемые и состояние квантового объекта. Используется эрмитовый оператор (Hermitian operator), называемый наблюдаемой, для каждой измеряемой величины. Состояние физической системы представляется вектором состояний в некотором Гильбертовом пространстве состояний, которое может быть как конечным, так и бесконечным. Квантовая механика в отличии от классической физики допускает существование линейной комбинации или, тоже самое, линейной суперпозиции (linear superposition) двух или более различных состояний из Гильбертового пространства состояний. Классического аналога линейной суперпозиции состояний не существует. Такая квантовая суперпозиция состояний кардинально отличается от статистической смеси различных состояний.

Рассмотрим квантовую частицу, обозначаемую буквой , и примем, что обозначает состояние частицы в точке с координатой и --- это состояние той же частицы в точке . Правила квантовой механики допускают существование суперпозиционного состояния частицы , которое может быть записано как

, (1.2.1)

где множитель --- нормировочный множитель и --- локальный фазовый множитель. Данный факт можно схематически отображен на рисунке 1.3. Если мы измеряем координату частицы , то мы “реально найдем” где находится частица. Согласно измерительному постулату квантовой механики состояние (1.2.1) разрушается в процессе измерения, и частица может быть найдена с вероятностью либо в точке с координатой либо в точке с координатой после измерения. Если быть более точным, то компоненты и на рисунке 1.3 --- это собственные локализованные состояния, подобно Гауссовым волновым пакетам. В то же время классическая частица может находиться только в одной из двух потенциальных ям, она не может преодолеть энергетический барьер в силу нарушения закона сохранения энергии. Квантовая частица может находиться в суперпозиционном состоянии, до тех пор, пока не будет выполнено квантовое измерение в случае если процессами декогерентности можно пренебречь. Стоит отметить тот факт, что уравнение (1.2.1) не означает, что частица либо находится в потенциальной яме, локализованной вблизи координаты с некоторой вероятностью, либо в потенциальной яме, локализованной вблизи координаты с другой вероятностью (так называемая статическая смесь двух состояний). Выражение (1.2.1) также не означает и то, что частица находится в какой-либо промежуточной точке между точками и .

Рисунок 1.3

Схематическое изображение двух Гауссовых волновых пакетов в двойной потенциальной яме. Классическая частица может находиться только в одной из двух потенциальных ям или в левой яме (a) или в правой яме (б), в то время как квантовая частица может находиться в суперпозиционном состоянии (c), которой соответствует одновременному нахождению частицы одновременно в двух потенциальных ямах.

Стоит говорить, что частица находится в точках и одновременно в один и тот же момент времени, т.е. частица как бы размазана в пространстве. Тем не менее данный факт невозможно проверить экспериментально прямыми измерениями в силу разрушения суперпозиционного состояния в процессе измерения. Другая замечательная особенность суперпозиционного состояния (1.2.1) заключается в том, что интерференция между состояниями и может влиять на распределение вероятностей нахождения частицы. Проявление интерференционных эффектов возникает в случае изменения фазы .

Существуют и другие парадоксальные примеры демонстрации странности принципа линейной суперпозиции (1.2.1). Например, Шредингеровский парадокс котов [1] показывает каким странным было бы описание природы, когда принцип линейной суперпозиции применить к макроскопическим объектам. Упрощенный мысленный эксперимент с двумя щелями (double split) объясняет интерференционный эффект одной квантовой частицы, находящейся в суперпозиционном состоянии [29]. Парадокс Хади (Hardy) показывает какой абсурдный результат может выдать квантовая суперпозиция, если применить ее для описания взаимодействия между материей и анти-материей [30]. Эти примеры показывают, что квантовая суперпозиция двух состояний, скажем и , может давать не обычный экспериментальный результат (квантовая интерференция), который никогда не может быть получен просто при использовании или состояния или или в случае применения классической смеси состояний и . Эти эффекты (в частности, интерференционные биения в мысленном эксперименте с двумя щелями [29]) исчезают, когда производится попытка проследить пути развития квантового состояния. До сих пор существуют дебаты по происхождению этих странностей в квантовой механике [31,32], включая определенные экспериментальные усилия, чтобы закрыть эти дебаты [33,34]. Тем не менее, обсуждение данных вопросов квантовой механики выходит за рамки целей данной диссертации.

Фундаментальный принцип квантовой суперпозиции позволяет ввести единицу квантовой информации. Квантовый бит (кубит qubit) --- основной элемент в квантовой информатике определяется как произвольная суперпозиция двух базисных состояний в двух-уровневой физической системе, одно из которых определяет логический ноль , а другое определяет логическую единицу .

Схематическое изображение классического бита и квантового кубита. В то время как классический бит принимает одно из двух возможных значений, или или , (один из возможных полюсов), квантовый бит (кубит) может занимать любое положение на сфере Блоха. Положение точки на сфере Блоха соответствует суперпозиции двух состояний. В общем случае, кубит может также расположен и внутри сферы Блоха, что соответствует смешанному состоянию кубита.

Как уже было упомянуто выше, квантовая единица информации (кубит) не представляет собой статистическую смесь и , не некое значение между этими двумя величинами. Кубит с произвольными волновыми амплитудами и определяется в двухмерном Гильбертовом пространстве с двумя базисными состояниями

(1.2.2)

как

. (1.2.3)

Волновые амплитуды кубита (1.2.3) удовлетворяют условию , и величины , соответствуют вероятностям, того что кубит будем измерен либо в состоянии либо в состоянии , соответственно. Стоит отметить, что базис (1.2.2) может быть трансформирован с помощью унитарного преобразования. Например, можно выбрать два других ортонормированных базисных состояния и и записать выражение для кубита уже в другом базисе.

Наиболее общая форма оператора плотности (матрицы плотности) для кубита может быть записана как

, (1.2.4)

где --- вектор в трехмерном пространстве и --- оператор Паули (раздел 2.1). Так как рассматриваются только физические состояния , то данное условие накладывает на матрицу плотности условие . Любой произвольный кубит определяется вектором внутри шара с единичным радиусом, как это показано на рисунке 1.4. Такой шар называется сферой Блоха. Если кубит находится в чистом состоянии, тогда соответствующая точка, определяющая данный кубит, находится на поверхности шара. Если кубит изначально создан в смешанном состоянии (не чистое состояние), то определяющая его точка будет находиться уже внутри сферы Блоха.

Можно подумать, что можно получить больше информации, закодированной в кубите, по сравнению с классическим битом, поскольку кубит может существовать в безграничном числе суперпозиций. На самом деле это не так, благодаря измерительному постулату квантовой механики. Согласно данному постулату невозможно измерить квантовое состояние, не разрушая его. Поэтому невозможно получить информацию из кубита, не разрушив его в процессе измерения. В то же время процесс измерения не влияет на состояние классического бита. Таким образом, процесс измерения разрушает кубит и оставляет его либо в состоянии или , и последующие преобразования возможны только уже с классическим битом (не с кубитом).

По той же самой причине, не известный кубит не может быть полностью скопирован, факт который известен как теорема о невозможности клонирования кубитов (no cloning theorem) [35]. Квантовый детерминизм утверждает, что чистое квантовое состояние эволюционирует в другое чистое квантовое состояние посредством унитарного преобразования как [36]. Тем не менее, правила квантовый механики допускают эволюцию чистого состояния в смешанное (не чистое) состояние благодаря взаимодействию с окружающей средой, как это показано на рисунке 1.5.

Если рассмотреть физическую систему, состоящую из микроскопического объекта, взаимодействующего с окружающей средой, то может случиться так, что данная система (объект + окружающая среда) будет находиться в чистом квантовом состоянии (рисунок 1.5). Тем не менее, изучаемое микроскопическое состояние будет уже в смешанном состоянии (после взятия следа матрицы, описывающей полное состояние системы). Зурек (Zurek) объяснил появление классического мира из законов квантовой механики на основе того, что квантовый объект взаимодействует с окружающей средой [37]. В матричном представлении матрицы плотности квантовой системы, не диагональные корреляционные члены становятся все меньше и меньше по амплитуде с течением времени, до тех пор пока матрица не станет полностью диагональной (классической). В случае кубитов, данное обстоятельство вызывает потерю информации о локальной фазе кубита. Данный процесс, называемый в научной литературе декогерентностью, проявляется еще сильнее с увеличением размеров объекта. Так Зурек показал, что для типичных макроскопических объектов, типичное время декогерентности (время, за которое система трансформируется в смешанное состояние) составляет порядка [37]. Данный порядок временной величины объясняет тот факт, что мы не испытываем квантовых эффектов в повседневной жизни. Трудности в реализации на практике Шредингеровского парадокса котов [1] также определяются эффектом декогерентности.

Рисунок 1.5

Схематическое изображение (a) унитарной эволюции квантовой системы, изначально описываемой состоянием и (b) процесс декогерентности системы, взаимодействующей со средой. Система теряет свою когерентность и превращается в смешанное состояние, которое описывается матрицей плотности .

Эффект декогерентности является наиболее значимым препятствием в разработке протоколов квантовой информации. К сожалению невозможно полностью изолировать квантовую систему от окружающей среды. Поэтому были разработаны разные протоколы такие как квантовые корректирующие коды [17], протоколы очищения запутанности [38], чтобы преодолеть влияние эффектов декогерентности на кубиты и запутанные квантовые каналы необходимые для квантовой обработки информации

Существуют разнообразные физические системы (атомные, оптические), которые могут быть использованы для квантовой обработки информации. В принципе, любая двухуровневая система (двухуровневый атом, состояние поляризации фотона, спин электрона) может быть рассмотрена в качестве физической системы, которая может быть использована для осуществления квантовых протоколов. Поэтому существует проблема выбора той или иной физической системы. Но это накладывает следующие обязательства при выборе физической системы. Система должна быть легко контролируемой, компактной и сопротивляться как можно дольше эффектам декогерентности.

Оптические кубиты имеют ряд замечательных свойств, которые делают их серьезными кандидатами для выполнения протоколов квантовой информации оптическими методами. Например, подавляющее большинство операций, используемых для оптической обработки информации, могут быть реализованы при комнатной температуре. Время когерентности фотонов более чем достаточное, чтобы осуществить соответствующие унитарные преобразования. Фотоны распространяются со скоростью света, что особенно важно в протоколах квантовой криптографии и квантовой коммуникации. Фотоны практически не подвергаются эффектам декогерентности при своем распространении в свободном пространстве. Декогерентность возникает при взаимодействии света со средой. Данные обстоятельства позволяют считать методы линейной оптики наиболее реалистическими при реализации многих протоколов квантовой информатики [26].

Квантовая запутанность

Квантовая запутанность --- одно из самых глубоких и странных свойств квантовой механики. Термин квантовая запутанность впервые был введен Шредингером в его работе [38]

“When two systems, of which we know be their respective representatives, enter into temporary interaction due to known forces between them, and when after a time of mutual influence the systems separate again, then they can no longer be described in the same way as before, viz. by endowing each of them with a representative of its own. I would not call that one but rather the characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical lines of thought. By the interaction the two representatives have become entangled.”

Как следует из данной выдержки из статьи Шредингера, запутанные системы могут возникать в результате взаимодействия квантовых систем, таких как, например, взаимодействия двух спиновых частиц при условии, что общий спин в данной системе сохраняется. В тоже время запутанное состояние легко теряет запутанность, когда изучаемая система взаимодействует с окружающей средой. Особенности генерации запутанных состояний и потеря когерентности этим состоянием отражены на рисунке 1.6.

Рассмотрим состояние двух частиц (в двух раздельных точках), каждая из которых определяется в двух-мерном Гильбертовом пространстве состояний (1.2.2), которое является тензорным произведением этих пространств и

. (1.3.1)

Можно легко проверить тот факт, что состояние (1.3.1) невозможно представить как прямое тензорное произведение двух состояний и . В общем случае можно сказать, что квантовое состояние является запутанным в пространстве , когда оно не может быть представлено как тензорное произведение двух произвольных состояний

, (1.3.2)

где и ---- векторные состояния, определяемые в и , соответственно.

Данное определение запутанности обобщается также и на смешанные состояния. Любое двух-модовое состояние двух пространственно-разделенных частиц является запутанным (не разделимым), когда оно не может быть записано в виде выпуклой комбинации произведений операторов плотности

, (1.3.3)

Рисунок 1.6

Схематическое изображение процесса формирования запутанного состояния двух пространственно-разделенных частиц и (a-c) благодаря некоторому взаимодействию (d) и процесса потери запутанности в результате взаимодействия запутанного состояния двух частиц и с окружающей средой .

где , --- матрицы плотности частиц и в Гильбертовых пространствах и , соответственно, и --- соответствующие вероятности. Если исходное состояние можно записать в виде (1.3.3), то такое состояние является не запутанным (разделимым). Соответственно можно утверждать, что любое состояние, которое невозможно записать в виде (1.3.3) является запутанным (не разделимым). В связи с введением определения запутанных состояний (от противного), стоит ввести и меру этой запутанности. Данный вопрос является сложным даже с математической точки зрения поэтому упомянем только те работы, в которых обсуждались вопросы меры запутанности для запутанных состояний [40-48].

Когерентное состояние

В предыдущем разделе была сжато рассмотрена теория абстрактных кубитов без привязки их к той или иной физической системе. Как уже говорилось в разделе 1.1, такое рассмотрение является не полным. Для полного описания требуется применить абстрактный аппарат квантовой информатики к кубитам той или иной физической природы. Рассмотрим оптические кубиты, которые формируются из когерентных состояний. Когерентное состояние света определяется как [49,50]

, (1.4.1)

где --- фоковское состояние, состоящее из фотонов (фотонное состояние) [49] и --- в общем случае, комплексное произвольное число. Когерентное состояние обладает рядом интересных свойств. Когерентное состояние является собственным состоянием оператора уничтожения с собственным значением

. (1.4.2)

Когерентные состояния формируют переполненный набор состояний в безразмерном Гильбертовом пространстве

, (1.4.3)

где --- единичный оператор и . Поэтому, любое состояние может быть представлено комбинацией когерентных состояний. Когерентное состояние ---- это состояние с минимальной неопределенностью, которое имеет одинаковые квадратурные дисперсии в любом направлении на фазовой плоскости

, , (1.4.4)

где , , и .

Когерентное состояние --- это пример классического света. Хотя если быть точнее, то можно сказать, что когерентное состояние находится на границе между классическими и неклассическими состояниями. Классическая частица представляется точкой на фазовой плоскости в координатах и . В квантовой механике представление квантовых состояний точками на фазовой плоскости невозможно из-за принципа неопределенности, так как произведение квадратурных компонент произвольного света (принцип неопределенности [36]). Когерентное состояние --- это одно из немногих состояний, для которого причем (minimum point-like state in the quantum phase space). По данной причине когерентное состояние может быть представлено как круг определенного радиуса на фазовой плоскости. Выходное излучение лазера очень хорошо аппроксимируется когерентным состоянием.

Когерентный кубит

Рассмотрим два когерентных состояния и . Два когерентных состояния с прямо противоположными амплитудами не ортогональны друг другу, но их скалярное произведение экспоненциально стремится к нулю с увеличением . Для примера приведем следующие значения. Если , тогда . В силу малости величины скалярного произведения можно считать, что когерентные состояния и асимптотически ортогональны друг другу, особенно с увеличением амплитуды . Поэтому можно ввести следующие базисные состояния для когерентного кубита по аналогии с базисом (1.2.2)

, . (1.5.1)

Тогда когерентный кубит представляется следующей суперпозицией

, (1.5.2)

где нормировочный множитель определяется из условия

Рисунок 1.7

Идея Шредингеровского парадокса котов, как это было предложено Шредингером [1]. Согласно постулатам квантовой механики возможно такое суперпозиционное состояние живого и мертвого котов (кот одновременно является и мертвым и живым), что противоречит обычным человеческим представлениям.

. (1.5.3)

Поскольку когерентное состояние является классическим состоянием (более подробно об этом будет изложено в Главе 3), то состояние (1.5.2) можно рассматривать оптическим аналогом кота Шредингера в случае и большой амплитуды когерентных компонент , например, в случае .

На рисунке 1.7 показана идея Шредингера с котами, то как он представлял сам себе [1]. В воображаемом эксперименте использовались пистолет и яд, чтобы реализовать суперпозицию мертвого и живого кота. На последующих рисунках (1.8-1.11) показано, то как выглядит идея Шредингера для оптических состояний. На данных рисунках используется зависимость функции Вигнера (Wigner function) [51] от координат квантового осциллятора и . Более подробно детали функций Вигнера излагаются в Главе 3. Интересно проследить эволюцию функций Вигнера от когерентных состояний к их суперпозиции. Так на рисунках 1.8 и 1.9 показаны функции Вигнера когерентных состояний с амплитудами и , соответственно. Визуально наблюдаются по одному пику (холму) для таких состояний. Рассмотрим функцию Вигнера статистической смеси двух когерентных состояний на Рис. (1.10). Наблюдаются уже два разделенных (и различимых) друг от друга пика или холма, которые расположены симметрично вдоль координаты для данного классического состояния света. Для того чтобы иметь дело с оптическим аналогом котов Шредингера (неклассический свет), к статической смеси когерентных состояний (Рис. (1.10)) нужно добавить интерференционный член, как это показано на рисунке 1.11. Так на рисунке 1.11 показана зависимость суперпозиции когерентных состояний с амплитудами и от и . Как видно из данного графика, интерференционная картина (чередование максимумов и минимумов) наблюдается вдоль оси помимо двух различимых пиков (холмов) вдоль оси также как и в случае статистической смеси когерентных состояний (Рис (1.10)). Другими словами, чистое суперпозиция несет в себе как свойства статистической смеси, так и добавляет свои интерференционные биения.

Несмотря на то, что два когерентных состояния и не ортогональны друг другу (асимптотически ортогональны при больших значениях ), они могут быть использованы, чтобы построить ортогональные базисные состояния. Рассмотрим следующие базисные состояния

Рисунок 1.8

Функция Вигнера когерентного состояния с амплитудой на фазовой плоскости в координатах (координата) и (импульс).



Рисунок 1.9

Функция Вигнера когерентного состояния с амплитудой на фазовой плоскости в координатах (координата) и (импульс).

Рисунок 1.10

Функция Вигнера смеси когерентных состояний с амплитудами и на фазовой плоскости в координатах (координата) и (импульс).

Рисунок 1.11

Функция Вигнера суперпозиции когерентных состояний на фазовой плоскости в координатах (координата) и (импульс). Данное состояние является оптическим аналогом котов Шредингера [1].

, (1.5.4)

, (1.5.5)

где и ---- нормировочные множители

. (1.5.6)

Можно показать, что данные состояния формируют ортогональный базис в двухуровневой модели

, (1.5.7)

. (1.5.8)

Таким образом, можно определить двухмерное Гильбертово пространство состояний, в котором Шредингеровские состояния котов, именно, и являются базисными. Состояние включает в себя только четные фотонные состояния, в то время как состояние содержит не четные фотонные состояния

, (1.5.9)

. (1.5.10)

Фотонный оператор четности

(1.5.11)

применяется, чтобы распознать какое из двух базисных состояний используется. Среднее число фотонов для состояний и

, (1.5.12)

, (1.5.13)

где --- оператор числа фотонов. Когда стремится к нулю, не четное состояние стремится однофотонному состоянию , в то время как четное состояние приближается к вакуумному состоянию . Тем не менее, как бы не было малым значение , всегда существует не нулевая вероятность обнаружить фотонные состояния отличные от вакуумного в случае использования идеальных фотодетекторов при детектировании данных состояний.

Запутанные когерентные состояния

Запутанные когерентные состояния определяются как [52]

, (1.6.1)

, (1.6.2)

где и --- когерентные состояния с амплитудами и , соответственно, --- относительный фазовый сдвиг и , --- соответствующие нормировочные множители

, (1.6.3)

. (1.6.4)

Запутанные когерентные состояния (1.6.1, 1.6.2) являются достаточно сложными для практического применения в квантовых протоколах. Поэтому вводится аналог Белловских состояний

, (1.6.5)

, (1.6.6)

составленный из когерентных состояний

, (1.6.7)

. (1.6.8)

Данные состояния ортогональны друг другу за исключением

. (1.6.9)

По этой причине состояния (1.6.7, 1.6.8) не могут быть признаны Белловскими состояниями, как они определены выражениями (1.6.5, 1.6.6). Когерентные запутанные состояния (1.6.7, 1.6.8) являются квази-Белловскими состояниями. Соответственно, можно говорить только говорить о выполнении квази полного набора Белловских измерений для когерентных запутанных состояний (1.6.7, 1.6.8). Тем не менее, данные состояния являются наилучшим приближением полного набора Белловских состояний, построенных из когерентных состояний. Особенно это становится заметно в случае растущего значения амплитуды когерентных состояний. Действительно, скалярное произведение двух состояний и (1.6.9) достаточно быстро стремится к нулю, когда значение величины растет.

В настоящей главе были введены понятия когерентного кубита (1.5.2) и запутанных когерентных состояний (1.6.7, 1.6.8) (квантовые каналы связи), которые используются в квантовых протоколах с когерентными состояниями. Интересно отметить, что как уже было отмечено когерентное состояние является классическим (находящимся на границе между классическими и неклассическими состояниями), в то время как уже когерентный кубит (1.5.2) и запутанные когерентные состояния (1.6.7, 1.6.8) становятся уже неклассическими. В настоящее время существуют предложения использовать данные состояния для квантовой телепортации когерентного кубита [53-55], для построения квантовых компьютеров [56-58] и в протоколах очищения квантовой запутанности [56,59]. Отметим, что данные протоколы могут быть реализованы с помощью линейных оптических элементов таких как пучковый делитель, оптическая пластика с разностью оптического хода , и лавинных фотодиодов. Так, например, все четыре Белловских когерентных состояния (1.6.7, 1.6.8) могут быть реализованы из когерентного кубита с равными амплитудами с помощью пучкового делителя. Действительно, предположим, что имеются следующие когерентные кубиты

, (1.7.1)

где --- нормировочные множители данных когерентных кубитов. Можно показать, что запутанные когерентные состояния (1.6.7, 1.6.8) могут быть сгенерированы из этих кубитов, если пропустить их через балансный пучковый делитель и использовать сдвиг фаз на в одной из мод.

Проблема в реализации квантовых протоколов с когерентными состояниями состоит в том, как сгенерировать либо состояния (1.7.1) либо состояния (1.5.4, 1.5.5) , другими словами, как реализовать гейт Адамара для базисных когерентных состояний света. Для того чтобы реализовать суперпозиции когерентных состояний требуются уже нелинейные среда, а именно, среды с Керровской нелинейностью [52]. Но Керровская нелинейность, например, в оптических волокнах [60] принимает очень маленькие значения. И для того чтобы преобразовать изначально когерентное состояние в суперпозицию требуется очень длинное волокно (порядка 1500 км). Но зарождающаяся суперпозиция когерентных состояний испытывает и обратный эффект декогерентности по мере распространения по волокну, как это было показано в разделе 1.2. В результате, на выходе из волокна генерируется статистическая смесь когерентных состояний (Рис. 1.10) [60], которая бесполезна для протоколов квантовой информатики.

Было предложение использовать среды с гигантской Керровской нелинейностью [62] на основе эффекта электромагнитной прозрачности, чтобы сгенерировать суперпозиции когерентных состояний большой амплитуды [63]. Но такая суперпозиция генерируется в другом частотном диапазоне и не может быть использована в квантовых протоколах. Интересно отметить с теоретической точки зрения предложение в работе [64] как сгенерировать суперпозицию когерентных состояний большой амплитуды из суперпозиции с маленькой амплитудой посредством постепенного увеличения ее амплитуды методом гомодинного измерения в вспомогательной моде пучкового делителя. Данное предложение также едва ли возможно реализовать на практике в силу своей сложности.

Поэтому на первый план выходит развитие новых методов для реализации квантовых гейтов для различных базисных состояний, включая и когерентные состояния. Настоящая работа посвящена решению данных проблем. 2 глава настоящей диссертации посвящена рассмотрению общего подхода к решению подобного рода проблем на основе представления состояний. Подробно рассматривается вопрос реализации преобразования Адамара в различных экспериментальных интерпретациях. Полный набор одно-кубитовых преобразований строится с помощью гейта Адамара. Понятие не классичности света вводится в главе 3. Аппарат функций Вигнера используется для расчета построения гейта Адамара для произвольных Гауссовых состояний света. Выводится представление двух-модового сжатого вакуума, чтобы использовать его для выполнения матрицы Адамара для двух двух-мерных Гильбертовых пространств. Другие квантовые протоколы с неклассическими состояниями света также рассматриваются в данной главе. Глава 4 посвящена развитию общей теории квантового параметрического превращения с учетом истощения накачки. Полная теория позволяет применить ее результаты к обсуждению некоторых интересных квантовых протоколов. В 5 главе анализируется новый протокол супер плотного кодирования, основанный на использовании запутанных перемещенных состояний света. Новый протокол квантовой криптографии с использованием когерентного света и перемещенного единичного фотона рассмотрен в 6 главе.

Глава 2. Одно-кубитовые преобразования неклассических состояний света

Одно-кубитовые преобразования базисных состояний

Обсуждение квантовых протоколов начинается с рассмотрения унитарных операций на базисных состояниях кубитов. Квантовый компьютер состоит из блоков. Рассмотрим произвольное двухмерное Гильбертово пространство состояний, компьютерный базисный набор которого состоит из двух состояний and . Тогда любой кубит из этого Гильбертова пространства является линейной комбинацией базисных состояний с соответствующими волновыми амплитудами. Согласно основной теоремы квантовой информатики [65], одно-кубитовые вращения совместно с двух-кубитовыми преобразованиями такими как controlled-NOT или controlled-Z являются универсальными блоками для построения всех унитарных операций для произвольного числа кубитов (много-кубитов). Известно, что три эрмитовые матрицы Паули [35] генерируют три унитарные матрицы. которые совместно с единичной матрицей образуют базис для построения произвольной унитарной матрицы размера . Любая унитарная матрица размера преобразует начальный кубит в конечный, что соответствует некоторому повороту вектора, описывающего входной кубит на единичной сфере Блоха, как это показано на рисунке 1.4. Данные унитарные базисные матрицы определяются как экспоненциальные функции от матриц Паули

, (2.1.1)

, (2.1.2)

, (2.1.3)

где матрицы Паули определяются как

, (2.1.4)

, (2.1.5)

, (2.1.6)

и --- углы вращения вокруг соответствующих пространственных осей , и [65].

Можно показать, что следующие матрицы и , которые отвечают за повороты на угол and , соответственно, вокруг оси , и матрица (2.1.3) могут быть использованы, чтобы построить произвольное унитарное преобразование вместо унитарных матриц , , and (2.1.1-2.1.3),. Данный факт следует из следующих тождеств [65]

, (2.1.7)

. (2.1.8)

Существует и другой способ выразить унитарные матрицы (2.1.1-2.1.3) с помощью преобразования Адамара (тоже самое логический элемент гейт Адамара или затвор (вентиль) Адамара (Hadamard gate)), матрицы размера , которая определяется как

. (2.1.9)

Тогда унитарные матрицы и могут быть реализованы при помощи матрицы Адамара как

, (2.1.10)

(2.1.11)

Матрицы и (2.1.1, 2.1.2) можно построить с помощью матрицы Адамара и матриц и , используя следующие соотношения

, (2.1.12)

. (2.1.13)

Из выражений (2.1.12) и (2.1.13) следует, что произвольная унитарная матрица размера может быть построена с помощью преобразования Адамара, матрицы , которая соответствует вращению вокруг оси на произвольный угол , и в частности, матриц и , которые соответствуют поворотам вокруг этой же оси на углы и , соответственно. Существуют и другие возможности определить произвольную унитарную матрицу размера , которые в настоящем разделе уже не рассматриваются.

Итак, было показано, что произвольное унитарное одно-кубитовое преобразование (матрица) может быть построено по крайней мере тремя различными способами. Так, унитарные матрицы (2.1.1-2.1.3) могут быть использованы для построения одно-кубитовых преобразований. Другой метод основывается на использовании трех матриц , и . И третья возможность связана с матрицей с произвольным углом вращения и гейтом Адамара. Данное математическое заключение не зависит от выбора физической системы, в которой реализуется кубит. Следующий вопрос --- это вопрос выбора одной из трех возможностей реализации унитарных преобразований кубитов. Соответственно, вопрос выбора уже перестает быть чисто математическим, поскольку уже зависит от особенностей и свойств той или иной физической системы, в которой реализуются кубиты. Вопрос выбора одной из трех возможностей в той или иной физической системе уже не является тривиальной задачей. Данная проблема уже определяется взаимодействием объектов между собой и с окружающей средой рассматриваемой физической системы. В последующих разделах главы представлены методы реализации одно-кубитовых преобразований с базисными сжатыми когерентными состояниями, которые являются неклассическими. Более подробно вопросы неклассичности света разбираются в разделе 3. Но прежде чем перейти к обсуждению одно-кубитовых преобразований для данных состояний света, рассмотрим матрицу преобразования для перемещенных фотонных состояний из разных наборов базисных состояний с отличной амплитудой перемещения.

Разложение волновых функций по перемещенным состояниям квантового осциллятора.

Рассмотрим бесконечное Гильбертово пространство перемещенных фотонных (Фоковских) состояний

, (2.2.1)

где --- амплитуда перемещения фотонного состояния (число может принимать только целые положительные значения ) и оператор перемещения имеет вид [66]

, (2.2.2)

где и --- бозонные операторы уничтожения и рождения квантового осциллятора Действие операторов уничтожения и рождения на фотонные состояния определяются формулами [66]

, (2.2.3)

. (2.2.4)

Выберем два набора ортогональных перемещенных фотонных состояний

, (2.2.5)

, (2.2.6)

где в общем случае [67-72]. Стоит отметить несколько моментов по поводу используемых обозначений. Две буквы , разделенные запятой, используются в кет векторе состояния (2.2.1). Первая буква описывает квантовые свойства состояния, тогда как вторая буква ответственна за волновые свойства состояния частицы (оператор перемещения отвечает за волновые свойства). В частности, в рамках используемых обозначений когерентное состояние записывается как . Стандартное обозначение для когерентного состояния (1.4.1), которое уже использовалось в Главе 1. Обозначение (2.2.1) используется, чтобы показать, что для перемещенных фотонных состояний существует разделение физических свойств на волновые и на корпускулярные (частицы). Эти разные физические свойства связаны друг с другом формулой (2.2.1) (корпускулярно-волновой дуализм). В дальнейшем используются как векторы (2.2.1), так и (1.4.1) для обозначения когерентного состояния . Кет-вектор можно даже считать даже более точным обозначением когерентного состояния, как перемещенное на величину вакуумное состояние. Стоит отметить, что обозначение (2.2.1) для других перемещенных фотонных состояний c выглядит уже естественным и отражает их внутреннюю структуру.

Так как каждой набор бесконечных базисных перемещенных фотонных состояний является полным, то любое состояние из одного базисного набора с амплитудой перемещения является суперпозиций перемещенных фотонных состояний с амплитудой перемещения . Обратное утверждения также является корректным, так как оператор перемещения (2.2.2) является унитарным. В общем случае такое разложение является не тривиальным и может быть названо представлением.

Рассмотрим данный тип преобразования на примере когерентного состояния . Цель последующих математических преобразований --- выразить когерентное состояние из базисного набора состояний (2.2.6) через состояния (2.2.5) (суперпозиционное состояние) и найти аналитические выражения волновых амплитуд данного разложения. Воспользуемся следующим разложением произвольного когерентного состояния [69-72]

, (2.2.7)

где и , --- произвольные числа. Рассмотрим действие оператора на когерентное состояние . Имеет место следующая цепочка математических преобразований

, (2.2.8)

где было использовано следующее соотношение [66]

, (2.2.9)

из которого следует выражение и для оператора уничтожения

. (2.2.10)

Формула (2.2.10) непосредственно следует из (2.2.9), если воспользоваться операцией эрмитового сопряжения. Также при выводе формулы (2.2.8) было использовано унитарное свойство оператора перемещения (2.2.2) , где --- единичный оператор.

Воспользуемся формулой (2.2.8) и подставим ее в выражении (2.2.7), чтобы преобразовать бесконечную сумму операторов рождения, действующих на когерентное состояние

. (2.2.11)

Таким образом, бесконечная сумма операторов рождения, действующих на когерентное состояние, преобразуется в бесконечную сумму перемещенных фотонных состояний квантового осциллятора. Подставляя данное выражение в формулу (2.2.7), окончательно получим следующее разложение произвольного когерентного состояния в бесконечный ряд по перемещенным фотонным состояниям [69-72]

. (2.2.12)

Делая замену в разложении (2.2.12), получим разложение когерентного состояния по перемещенным фотонным состояниям с амплитудой перемещения

. (2.2.13)

Произвольное состояние можно также разложить в ряд по перемещенным фотонным состояниям [72]. Чтобы получить аналитические выражения для волновых амплитуд такого разложения, воспользуемся тем же методом, который применялся при выводе формул (2.2.12). Имеет место следующая цепочка математических преобразований с операторами и состояниями

, (2.2.14)

Выражение (2.2.14) состоит из члена. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно состояние , где --- произвольное число, выразить через перемещенные фотонные состояния. Частный пример такого преобразования был уже продемонстрирован при выводе формулы (2.2.11). Реализуя тот же самый алгоритм преобразований, можно показать, что имеет место следующее тождество

. (2.2.15)

Подставляя выражение (2.2.15) в формулу (2.2.14), окончательно получаем формулу для разложения произвольного состояния через состояния

. (2.2.16)

Формула (2.2.16) является сложной для анализа и требует дальнейших преобразований. Чтобы упростить преобразования, рассмотрим более практичный случай . Тогда можно показать, что выражение (2.2.16) может быть переписано в следующем виде:

, (2.2.17)

где волновая функция имеет вид

, (2.2.18)

для следующих значений . Волновые амплитуды суперпозиции (2.2.18) могут быть получены из (2.2.16) как

, (2.2.19)

где . Волновая функция является бесконечной суперпозицией перемещенных фотонных состояний и используется в случае

, (2.2.20)

с волновыми амплитудами

. (2.2.21)

Обсудим более детально суперпозиционное состояние (2.2.17). Энергия перемещенного фотонного состояния (в единицах ) без учета вакуумного шума

(2.2.22)

состоит из двух раздельных частей. Оператор перемещения (2.2.2) дает свой собственный вклад в энергию , определяемый амплитудой перемещения. Вклад оператора в энергию --- это значение целого числа среднего числа фотонов в моде. Поэтому суперпозиционное состояние (2.2.17) может быть рассмотрено как разложение состояний с меньшей энергией в бесконечный ряд состояний с большей энергией . Добавочный член к “квантовой энергии” проистекает из Гауссового оператора перемещения. Причем добавка может быть выбрана произвольной в том числе и очень большой. Если связать состояния с большой энергией с макроскопическими состояниями, а фотонные состояния с микроскопическими, то разложение (2.2.17) может быть также интерпретировано как разложение микроскопического состояния в рад по макроскопическим. Такая интерпретация может показаться не обычной или даже не возможной с классической точки зрения, так как она противоречит здравому смыслу. Тем не менее, можно показать, что с точки зрения квантовой механики нет никаких противоречий.

...