Неклассические перемещенные состояния света

Рассмотрим частные случаи. Так в случае имеет место генерация следующих состояний

, (3.3.78)

. (3.3.79)

Можно показать, что данные двух-модовые состояния ортогональны друг другу и являются ортонормированными состояниями

, , . (3.3.80)

Естественно назвать состояния (3.3.78, 3.3.79) гибридными, так как данные состояния формируются кубитами из отличных Гильбертовых пространств. Можно даже сказать даже более. Данные кубиты построены из суперпозиционных состояний разной физической природы. Один кубит, взятый из двухмерного пространства когерентных состояний большой амплитуды, можно признать макроскопическим, а другой кубnт с вакуумом и единичным фотоном в качестве базисных элементов является микроскопическим.

Рассмотрим возможность реализации прямого преобразования матрицы Адамара на примере гибридных состояний (3.3.78, 3.3.79) с помощью оптической схемы на рисунке 3.15. В качестве базисных элементов выходного Гильбертова пространства выбираются гибридные состояния (3.3.78, 3.3.79)

, (3.3.81)

. (3.3.82)

Тогда суперпозиции гибридных состояний имеют следующий вид

, (3.3.83)

.

(3.3.84)

Имеет место следующие преобразования с учетом используемой в (3.3.78, 3.3.79) нумерации мод

. (3.3.85)

Данное преобразование является прямым действием матрицы Адамара из двухмерного Гильбертова пространства когерентных состояний (3.3.48, 3.3.49) в двухмерное пространство с гибридными состояниями (3.3.81, 3.3.82) в качестве базисных элементов. Данная операция реализуется посредством извлечения перемещенного фотонного состояния из вспомогательного состояния сжатого вакуума. Соответственно имеет место набор преобразований

, (3.3.86)

(3.3.87)

в случае , (, ), соответственно. В случае имеет место генерация гибридных состояний (3.3.78, 3.3.79).

Таким образом, было показана возможность реализовать прямое действие матрицы Адамара в различных вариациях, включая микроскопические выходные состояния (3.3.63, 3.3.66-3.3.69, 3.3.70-3.3.74), а также гибридные состояния (3.3.78, 3.3.79). Кроме того была рассмотрена возможность выполнить двух-кубитовый controlled-Z операцию (3.3.77). Во всех рассмотренных случаях точность преобразования равна . Можно предположить, что идеальная точность может быть несколько ниже единичного значения в реальных условиях.

Зависимость распределения вероятностей перемещенных фотонных состояний в двух-модовом сжатом вакууме от для различных значений .

Рассмотрим подробнее действие проекционных операторов в модах и вспомогательного двух-модового сжатого вакуума. APD детектор используется в моде, чтобы зарегистрировать единичный фотон и тем самым сгенерировать желаемый выход в моде . Амплитуда представления состояния (3.3.30) может быть выбрана любой, в частности, малой величиной в случае согласно формуле (3.3..29, 3.3.57). С физической точки зрения очевидно, что состояния и будут преобладающими в суперпозиционном состоянии (3.3.30) в случае . В частности, зависимости распределения вероятностей (3.3.40) показаны на рисунке 3.16 для различных значений . Для построения данных зависимостей менялся параметр сжатия , в то время как параметр , связанный с параметром перемещения, оставался постоянным . Как видно из данного рисунка максимальное значение зависимости смещается в сторону вакуума в случае не больших значений . И наоборот, максимальное значение смещается в сторону больших значений в случае увеличения значения параметра , как это уже наблюдалось на рисунке 3.12.

График зависимости отношений , где изменяется от до , от показан на рисунке 3.17. Из данного графика видно, что уменьшение параметра сжатия вспомогательного состояния (3.3.30) значительно увеличивает вероятность по сравнению с , . Вклад фотонных состояний с становится незначительным в случае , что ведет к незначительному отклонению точности выходного состояния от идеального единичного значения. Таким образом, уменьшение параметра позволяет успешно реализовать проекционный оператор на состояние единичного фотона в моде посредством APD на рисунке 3.15. Когда APD регистрирует клик, то это значит, что с вероятностью приближающейся к единице регистрируется именно единичный фотон в случае . Выбор значения параметра определяет также амплитуды начальных базисных когерентных состояний (3.3.48, 3.3.49), амплитуду перемещения (3.3.57) и параметры пучковых делителей (3.3.61, 3.3.61). Таким образом можно утверждать, что генерация гибридных состояний (3.3.78, 3.3.79), реализация двух-кубитовой операции controlled-Z гейта (3.3.77), а также реализация прямого действия матрицы Адамара с выходными гибридными базисными элементами (3.3.85-3.3.87) происходит с почти идеальной единичной точностью и с большой вероятностью успеха. Причина данного эффекта заключается в том, что суперпозиционные состояния с не большим количеством членов превалируют в двух-модовом сжатом вакууме. Более того реализация данных выходных состояний требует минимальное количество усилий, поскольку требуется только извлечь перемещенный единичный фотон из начального коррелированного состояния. Данные обстоятельства делают перспективным данный подход именно с извлечением одного перемещенного фотона и генерации гибридных состояний.

Помимо уже упомянутых операций с использованием только операции извлечения перемещенного единичного фотона выше была рассмотрена возможность реализации прямого действия матрицы Адамара в микроскопическом двухмерном Гильбертовом пространстве с вакуумом и единичным фотоном в качестве базисных элементов (3.3.63, 3.3.64, 3.3.70-3.3.74). Было показано, что реализация такого действия требует дополнительного измерения в одной из вспомогательных мод (в моде на рисунке 3.15). Отметим, что измерение не четного числа фотонов дает возможность реализовать прямое действие матрицы Адамара в выходном базисе (3.3.51, 3.3.52), а измерение четного числа фотонов позволяет выполнить тоже действие уже в перестановочном базисе выходных состояний. Данная операция могла бы быть реализована с помощью детектора, распознающего число приходящих фотонов. Но как было уже отмечено в Главе 2 современные технологии не позволяют производить такие детекторы числа фотонов [81]. В идеальном случае возможно наблюдение вакуумного состояния, когда применяемый APD не регистрирует наличие фотонов в измеряемой моде. Стоит только отметить, что в моде находятся когерентные состояния

(3.3.88)

большой амплитуды, что может значительно понизить вероятность успеха регистрации вакуумного состояния. Для того чтобы увеличить вероятность успеха зарегистрировать вакуумное состояние вполне возможно пропустить моду через поглощяющую среду. На выходе из среды амплитуда когерентного состояния уменьшится , где --- коэффициент поглощения среды, что позволяет увеличить вероятность успеха обнаружить вакуумного состояние в моде при условии, что поглощение не влияет на корреляционные свойства генерируемого состояния. Регистрация единичного фотона (не четное число) на рисунке 3.15 может быть реализовано с помощью пучкового делителя либо с большим коэффициентом пропускания, либо, наоборот, с большим коэффициентом пропускания (вставка на рисунке 3.15). Техника реализации таких измерений обсуждалась в разделе 2.3. Тогда регистрация следующего состояния в случае или в случае гарантирует реализацию желаемого проекционного оператора. Можно только отметить, что и в этом случае возможно также использование поглощающей среды для значительного уменьшения амплитуды когерентных состояний (3.3.83) как это имеет место во моде, где влияние фотонов с пренебрежимо мало. В общем случае регистрация вакуума или единичного фотона в моде ведет к уменьшению точности генерируемых состояний и вероятности успеха и требует больших усилий.

Рассмотрим возможность реализации обратного преобразования Адамара на примере гибридных состояний (3.3.81, 3.3.82), которые должны быть преобразованы в входные базисные состояния (3.3.48, 3.3.49). Пусть на входе дана суперпозиция гибридных состояний

(3.3.89)

с амплитудами и , которые удовлетворяют условию нормировки . Механизм, который ответственен за реализацию обратного действия матрицы Адамара - это механизм извлечения перемещенного фотона из суперпозиционного состояния вакуума и единичного фотона. Для реализации перемещенного единичного фотона из гибридных состояний стоит воспользоваться представлением (3.3.43, 3.3.44) суперпозиций (3.3.42). Для упрощения расчетов рассмотрим действие данной операции на суперпозициях гибридных состояний (3.3.83, 3.3.84). Имеет место следующая цепочка преобразований с двух-модовоыми раздельными состояниями, составленными из суперпозиций микроскопических состояний и когерентных состояний в соседних модах

, (3.3.90)

, (3.3.91)

где , . В преобразованиях (3.3.90, 3.3.91) когерентное состояние в моде играет роль оператора перемещения на величину при смешивании на пучковом делителе с большим значением коэффициента пропускания (3.3.58). После пучкового делителя проекционный оператор на состояние единичного фотона используется в первой моде. В качестве такого проекционного оператора используется стандартный APD.

Воспользуемся формулами (3.3.90, 3.3.91) для того, чтобы показать, что имеет место следующее преобразование

. (3.3.92)

Стоит отметить, что амплитуды выходных состояний (3.3.90-3.3.92) совпадают с амплитудами входных базисных состояний (3.3.48, 3.3.49) поскольку . Выходное состояние (3.3.92) является выходным состоянием матрицы Адамара в когерентном базисе

. (3.3.93)

Имеют место частные случаи. Так в случае , (, ) имеет место следующее преобразование

, (3.3.94)

. (3.3.95)

В тоже время равновесные суперпозиции гибридных состояний преобразуются как

, (3.3.96)

(3.3.97)

в случае , соответственно, как это следует из выражений (3.3.92, 3.3.93).

Точность генерируемых состояний близкая к единичному значению может обеспечиваться выбором параметра перемещения в представлении состояний (3.3.42-3.3.44). Соответствующие графики зависимостей вероятностей перемешенных фотонных состояний от для данных состояний для различных значений показаны на рисунках 3.13 и 3.14. Так визуальный анализ графиков на данных рисунках позволяет найти возможные значения , которые могут быть использованы. Так график на графике 3.13(б) показывает, что вероятность обнаружить перемещенный единичный фотон в суперпозиции (3.3.42) превалирует над другими вероятностями в случае . Естественно можно допустить, что выбор именно такого значения может гарантировать, что клик APD будет вызван регистрацией единичного фотона. Данное обстоятельство гарантирует почти идеальную единичную точность обратного действия матрицы Адамара, которое преобразует гибридные состояния в двух-мерное пространство когерентных состояний. Стоит только отметить, что данная ситуация напоминает случай рассмотренный выше в случае реализации прямого действия матрицы Адамара с использованием вспомогательного двух-модового сжатого вакуума с малым значением амплитуды сжатия.

Рассмотрим также возможность реализации обратного преобразования Адамара для базисных элементов (3.3.51, 3.3.52). Данное преобразование может быть реализовано с помощью оператора одно-модового сжатия (2.3.13). Из обзора литературы [82-89, 96,97, 102, 106-110] следует, что сжатый вакуум и сжатый единичный фотон аппроксимируют четную и не четную СКС определенной амплитуды как

, (3.3.98)

. (3.3.99)

Известно, что суперпозиции когерентных состояний генерируются с некоторой точностью. И точность генерируемых состояний падает с увеличением амплитуды генерируемых когерентных состояний. Существует способ увеличить амплитуду генерируемых СКС посредством извлечения нескольких фотонов либо из сжатого вакуума (3.3.98) либо из сжатого единичного фотона (3.3.99). В частности, извлечение двух фотонов из состояний (3.3.98, 3.3.99) позволяет сгенерировать четную и не четную сжатую СКС большей амплитуды с точностью . Отчасти данные заключения следуют из результатов работ [96, 97, 102, 106], где уже обсуждались вопросы генерации СКС большой амплитуды посредством извлечения нескольких фотонов из начальных состояний света. Возможная оптическая схема для реализации извлечения двух фотонов из состояний (3.3.69-3.3.72) представлена на рисунке 2.8. Соответствующий математический аппарат использовался в разделе 2.3 в применении к генерации четной и не четной СКС в зависимости от амплитуды входного когерентного состояния. На основе выражений (3.3.98, 3.3.99) можно предположить, что может выполняться следующие преобразования суперпозиций выходных базисных элементов

, (3.3.100)

, (3.3.101)

соответственно. Извлечение определенного числа фотонов из начальных базисных элементов может быть использовано, чтобы увеличить амплитуду генерируемых когерентных состояний. В настоящем разделе данный вопрос не рассматривается. Таким образом, может быть реализовано обратное действие преобразования Адамара с выбранными входными и выходными базисными состояниями.

В настоящем разделе рассмотрены разнообразные возможности реализации как одно-кубитовых, так и двух-кубитовых элементарных квантовых блоков. Данные элементарные квантовые блоки реализуются с помощью оптической схемы на рисунке 3.15. В основе данного подхода лежит идея представления нужного состояния света. В частности, использовались представления двух-модового сжатого вакуума и суперпозиции вакуума и единичного фотона. Другая ключевая идея данного рассмотрения --- это идея извлечения перемещенного фотонного состояния из начального состояния. Волновые амплитуды используемых состояний в представлении являются либо четными либо не четными функциями амплитуды перемещения , что гарантирует равенство их вероятностей не зависимо от знака параметра . Так представление сжатого вспомогательного состояния может быть рассмотрено с положительным значением при взаимодействии с некоторым когерентным состоянием. И в тоже время можно использовать представление сжатого вспомогательного состояния с отрицательным значением для описания взаимодействия этого состояния с когерентным состоянием с отрицательной амплитудой.

Как уже отмечалось в Главе 2 (в частности, в разделе 2.3), идея извлечения (или добавления) фотонного состояния из начального Гауссового состояния является известной (можно даже сказать популярной) и широко используемой в научной литературе. Развиваемая в настоящей диссертации идея извлечения перемещенного фотонного состояния является новой и свежей [148, 153]. Отчасти, данный подход (извлечение когерентного состояния) уже использовался в разделе 2.4 при обсуждении оптической схемы на рисунке 2.14. Преимущества данного подхода очевидны. Данный метод дает расширить возможности по генерации желаемых не Гауссовых состояний, о чем уже отмечалось в конце раздела 2.5. Сильная сторона такого подхода --- это наличие дополнительной степени свободы, амплитуды перемещения. С другой стороны анализ задач подобного рода является сложным и не тривиальным. В частности, проблема нахождения точного представления двух-модового сжатого вакуума отнимает не меньше усилий, чем вопрос реализации элементарных квантовых гейтов на основе извлечения перемещенного фотонного состояния из начального состояния. Вывод точного представления двух-модового сжатого вакуума (3.3.30) является важным с фундаментальной точки зрения. Вполне возможно, что именно сложность используемого математического аппарата ранее не позволяла исследователям приступить к изучению подобного рода проблем. Естественно, что возможности данного метода не ограничиваются решением только данного типа задач, рассмотренных в данном разделе. Возможности данного метода намного шире. Данный подход может быть применим к решению других задач необходимых для реализации тех или иных протоколов квантовой информатики, что уже является предметом настоящий и будущих исследований.

В заключении стоит отметить, что анализ оптической схемы на рисунке 3.53 показывает, что точность выходных состояний приближается к идеальному единичному значению даже в реалистическом сценарии. Экспериментальная реализация данной оптической схемы возможна. Стоит говорить о практической реализации обусловленного преобразования Адамара методами линейной оптики [153]. Нелинейные взаимодействия в данной оптической схеме не используются. Как уже отмечалось в разделе 2.3, реализация СКС состояний посредством нелинейного взаимодействия на Керрвоской нелинейности невозможна в силу малости Керровской константы взаимодействия. Регистрация кликов в дополнительных модах гарантирует генерацию выходных состояний с единичной вероятностью. Если клики не наблюдаются в дополнительных модах, то такой случай автоматически отбрасывается, что ведет к уменьшению вероятности успеха. Еще один важный момент связан с разной физической природой входных и выходных базисных состояний (гибридные состояния). Это может быть как преимуществом, так и возможным недостатком для построения квантового компьютера, что требует дополнительных исследований. Но (2.1.3) преобразование, необходимое для построения одно-кубитовых преобразований (как об этом говорилось в разделе 2.1) на базисных элементах может быть реализовано как на входных базисных когерентных состояниях, так и на выходных состояниях вакуума и единичного фотона, но это может потребовать дополнительного исследования. Окончательно можно отметить, что построение квантовых гейтов на основе взаимодействия света с атомами также может потребовать введение отличных входных и выходных базисных состояний.

Разнообразные квантовые протоколы с модовыми состояниями

В настоящем разделе рассмотрим некоторые протоколы, базирующиеся на других возможных типах неклассических состояний света. Стоит напомнить основные приемы кодировки квантовой информации с неклассическими состояниями света. Известно, что физическая система с двумя базисными состояниями, допускающая их суперпозицию, может быть использована в качестве кубита. Так в разделе 1.5 было введено понятие когерентного кубита (1.5.2). Когерентные состояния с равными по модулю, но противоположными по знаку амплитудами асимптотически ортогональны друг другу. При этом скорость уменьшения скалярного произведения двух когерентных состояний с отличными по знаку, но одинаковыми по модулю, амплитудами стремится к нулю по экспоненциальному закону, что в практических условиях гарантирует корректность выбора когерентных состояний в качестве базисных элементов двухмерного Гильбертова пространства. Соответственно, существует возможность построения запутанных когерентных состояний (1.6.1, 1.6.2) посредством тензорного произведения Гильбертовых пространств когерентных состояний. В частности, в Главе 2 и в разделе 3.2 были рассмотрены несколько методов для реализации элементарных одно-кубитовых преобразований. Стоит только отметить, что в качестве частного случая векторного пространства с когерентными состояния возможно воспользоваться сжатыми когерентными состояниями с отличными амплитудами для построения сжатого когерентного кубита, как это было показано в разделе 2.3.

Другая возможность реализовать оптические кубиты в двухмерном Гильбертовом пространстве --- это воспользоваться вакуумом и единичным фотоном в качестве базисных элементов занимающими только одну моду

 (3.4.1)

с некоторыми волновыми амплитудами и , которые удовлетворят нормировочному условию . Помимо данного выбора базисных состояний возможно рассмотрение двух-мерного Гильбертова пространства с перемещенными базисными элементами и , где произвольный кубит определяется как

. (3.4.2)

Переход от одного базисного набора состояний двух-мерного Гильбертова пространства в другой, отличающийся на некоторое значение амплитуды перемещения, невозможен. Переход возможен только в безграничном наборе фотонных состояний как это было описано в разделе 2.2. Допустим, что имеется такой набор волновых амплитуд и , которые обеспечивают выполнение равенства

. (3.4.3)

Но как известно из выражения (2.2.23), вакуумное состояние разлагается в бесконечный ряд по состояниям (2.2.5) с той же самой амплитудой перемещения , что используется в правой части выражения (3.4.3), что и доказывает не корректность данной формулы. Таким образом, использование Гауссового оператора перемещения (2.2.2) ведет к тому, что соответствующие переходы между базисными состояниями возможны только в бесконечном Гильбертовом пространстве.

Отметим также поляризационный выбор базисных состояний для оптических фотонов. Так в качестве базисных состояний можно выбрать состояния единичного фотона с вертикальной и горизонтальной поляризацией и . Тогда произвольная суперпозиция единичного фотона в поляризационном базисе может быть записана как

. (3.4.4)

Соответственно, поляризационно-запутанное состояние двух фотонов имеет вид

, (3.4.5)

где --- дополнительная разность фаз, состояние которое часто использовалось исследователями на начальном этапе развития квантовой информатики. Помимо горизонтального и вертикального базисного набора возможно воспользоваться другим базисным набором состояний

, (3.4.6)

. (3.4.7)

Более того можно воспользоваться унитарной матрицей вращения

(3.4.8)

на произвольный угол для того, чтобы ввести новый набор базисных состояний

, (3.4.9)

. (3.4.10)

И наконец, можно воспользоваться модами единичного фотона для того, чтобы реализовать оптический кубит. Действительно, рассмотрим следующие базисные элементы единичного фотона как тензорные произведения вакуумного состояния и состояния единичного фотона

, (3.4.11)

. (3.4.12)

Базисные элементы являются ортогональными друг другу. Равновесная суперпозиция базисных элементов (3.4.11, 3.4.12) определяется как

, (3.4.13)

. (3.4.14)

Состояния (3.4.12, 3.4.13) --- это суперпозиционные состояния единичного фотона, который одновременно занимает две моды. Отметим, что данные суперпозиционные состояния могут быть легко реализованы на практике при наличии единичного фотона. Действительно, достаточно пропустить единичный фотон через равновесный пучковый делитель, чтобы на практике реализовать состояния (3.4.13, 3.4.14). Поскольку единичный фотон может одновременно находиться в двух модах, логично назвать состояния (3.4.11-3.4.14) модовыми. Возможно расширение состояний (3.4.11-3.4.14) на случай Гильбертова пространства большей размерности, которое достигается посредством тензорного произведения двух-мерных Гильбертовых пространств, соответствующих одному фотону. Тогда модовое состояние, используемое для описания единичных фотонов, которые занимают одновременно мод, имеет вид

, (3.4.15)

где обозначения , означают вакуумных состояний и единичных фотонов в соответствующих модах. Суперпозиционное состояние (3.4.15) может быть интерпретировано как состояние единичных фотонов, которые одновременно занимают мод.

При кодировке модовых кубитов используются две моды, что отличает ее от других кодировок. При кодировке с когерентными состояниями (1.5.2), с вакуумом и единичным фотоном (3.4.1, 3.4.2) и с поляризациями одного фотона (3.4.4) используется всего одна мода. В принципе можно считать поляризационную и модовую кодировки фотона родственными друг другу. Возможно преобразовать поляризационный фотон в модовый фотон посредством поляризационного пучкового делителя. Более того увеличение числа мод может усложнять реализацию оптических схем с модовыми фотонами. Тем не менее, имеет место некоторые интересные приложения модовых состояний на практике.

Рассмотрим протокол квантовой литографии [16], который был предложен для того, чтобы преодолеть минимальный дифракционный предел , где --- длина волны используемой световой волны. В работе [16] было предложено использовать так называемые path состояния

. (3.4.16)

В состоянии (3.4.16) Фоковское фотонное состояние одновременно занимает две моды. Было показано в [16], что поглощениеpath состояния в фотон поглощающей среде дает возможность записать в этой среде интерференционную картину, пространственный период которой уже ограничен пределом . Реализация данной техники на практике могло бы позволить уменьшить размер электронных элементов на подложке. Но современные технологические средства едва ли позволяют сгенерировать состояния (3.4.16) с большим значением числа фотонов. path фотонное состояние может быть сгенерировано на равновесном пучковом делителе при условии, что два единичных фотона заранее подготовлены. Действительно, имеет место соотношение

. (3.4.17)

Но в настоящее время нет ни одного сообщения в научной литературе о генерации хотя бы path фотонного состояния

. (3/4/18)

В этой связи едва ли возможно развивать направление квантовой литографии без понимания как реализовать соответствующие состояния на практике, помимо проблемы подбора соответствующей фотон поглощающей среды. Тем не менее, данное препятствие может быть преодолено как это было предложено в работе [154]. В работе [154] было предложено воспользоваться модовым состоянием (3.4.15) для наблюдения интерференционной картины с минимальным пространственным размером не превышающим . Была предложена схема облучения фотон поглощающей среды модовым состоянием, где все моды сходятся в точку поглощения, образуя конус в точке поглощения фотонов. Было показано, что в данном случае наблюдается такой же результат как и при облучении светом в состоянии (3.4.16). Но модовые состояния могут быть реализованы на практике в отличии от состояний (3.4.16). Например, модоые состояния могут быть обусловленно получены посредством использования протокола обмена частицами (entanglement swapping) [155-157].

Другое применение модовых состояний связано с реализацией controlled-Z гейта с модовыми состояниями [158, 159] и телепортации запутанных фотонных состояний [160, 161]. Показана возможность реализовать данные протоколы с модоыми состояниями. Но данные протоколы с модовыми состояниями являются вероятностными, так как успешно выполняются только с некоторой вероятностью. Данное обстоятельство связано с невозможностью реализовать полный набор Бэлловских измерений на модовых состояниях методами линейной оптики. Но тем не менее протоколы с модовыми состояниями света могут стать перспективными в свете новых результатов, полученных в Главе 2 и 3.

1. Представлен математический вывод представления двух-модового сжатого вакуума и суперпозиции вакуума и единичного фотона. Получены точные выражения представления данных состояний без использования каких-либо допущений и упрощений. Показано, что коррелированное состояние двух-модового сжатого вакуума в произвольном представлении имеет схожую форму с формой этого же состояния в представлении. Разница заключается в том, что используется оператор рождения перемещенного фотонного состояния с некоторой амплитудой перемещения в одной из коррелированных мод. Получены соответствующие выражения для волновых амплитуд коррелированных перемещенных фотонных состояний в двух-модовом сжатом вакууме. Показано, что вероятности обнаружить перемещенные фотонные состояния в двух-модовом сжатом вакууме и в суперпозиции вакуума и единичного фотона являются четными функциями амплитуды перемещения. Получены соответствующие графики вероятностей перемещенных фотонных состояний в зависимости от номера перемещенного фотонного состояния и амплитуды перемещения.

2. Предложен новый способ применения представления для реализации элементарных гейтов квантового компьютера. Предложен новый метод генерации выходных состояний посредством извлечения перемещенного единичного фотона как из состояния двух-модового сжатого вакуума, так и из суперпозиции вакуума и единичного фотона. Метод извлечения перемещенного фотонного состояния положен в основу реализации матрицы Адамара и двух-кубитовой операции controlled-Z гейта. Показано, что извлечение единичного фотона из вспомогательного состояния сжатого двух-модвого вакуума позволяет сгенерировать выходное состояние controlled-Z гейта. Входным управляющим кубитом является суперпозиционное состояние, составленное из когерентных состояний большой амплитуды. Выходным управляемым кубитом является микроскопическое состояние, которое формируется из вакуума и единичного фотона. Таким образом, выходное состояние controlled-Z гейта является гибридным, которое составлено из состояний разной физической природы: макроскопических (когерентные состояния большой амплитуды) и микроскопических (суперпозиции вакуума и единичного фотона) состояний. Проанализированы физические основы генерации гибридного состояния на выходе из controlled-Z гейта. Показано, что управляющий когерентный кубит используется в качестве оператора перемещения в одной из коррелированных мод сжатого вакуума, которое содержит управляемый микроскопический кубит. Показано, что реализация выходного гибридного состояния при использовании операторов перемещения с равными по модулю, но противоположными по знаку амплитудами возможна в силу того, что волновые амплитуды сжатого состояния зависят только от модуля амплитуды перемещения.

3. Показана возможность реализации преобразования Адамара на когерентных и гибридных состояниях. Двух-мерное Гильбертово пространство с когерентными состояниями большой амплитуды является входным, а двух-мерное Гильбертово пространство с гибридными состояниями в качестве базисных элементов является выходным. Показано, что извлечение перемещенного единичного фотона из вспомогательного двух-модового сжатого вакуума позволяет реализовать прямое действие матрицы Адамара, а извлечение перемещенного единичного фотона из гибридного состояния дает возможность выполнить обратное действие матрицы Адамара. Показано, что в основу реализации матрицы Адамара с отличными входными и выходными Гильбертовыми пространствами положен те же самые механизмы, которые используются при осуществлении controlled-Z гейта. Рассмотрена возможность реализации матрицы Адамара между двух-мерными Гильбертовыми пространствами когерентных и микроскопических состояний. Показано, что такая реализация требует дополнительного измерения с помощью измерительного оператора, который может различать четность измеряемых фотонов. Показано, что прямое действие матрицы Адамара в такой интерпретации осуществляется посредством измерения перемещенного фотона и дополнительного измерения, определяющего четность измеряемых фотонов, а обратное действие матрицы Адамара может быть реализовано с помощью одно-модового оператора сжатия.

4. Рассмотрена возможность реализации квантовых блоков в реалистическом сценарии. Показано, что генерация гибридных состояний, выходных состояний controlled-Z гейта и прямого действия матрицы Адамара с когерентными и гибридными состояниями осуществляется с единичной точностью и с высокой вероятностью успеха. Причина данного явления связана с распределением коррелированных состояний в двух-модовом сжатом вакууме. представление двух-модового сжатого вакуума позволяет манипулировать характеристиками выходных состояний в широком диапазоне значений параметра перемещения. Выбор соответствующего значения параметра перемещения позволяет провести реализацию рассматриваемых преобразований в условиях, приближающихся к идеальным. Показано, что и обратное действие матрицы Адамара с гибридными состояниями может быть осуществлено в идеальных условиях с минимальным воздействием параметров экспериментальных детекторов на выходные состояния. Данное обстоятельство связано с выбором соответствующего значения амплитуды перемещения в представлении суперпозиции вакуума и единичного фотона, гарантирующего минимальное влияние состояний с большим количеством перемещенных фотонов на процесс преобразования.

5. Представлен полный теоретический анализ трансформации Гауссовых состояний света в не Гауссовые посредством извлечения двух и трех фотонов из начальных состояний света. Показано, что поведение сгенерированного не Гауссового состояния сильно зависит от значений первых моментов начального Гауссового состояния, которые в некоторой мере могут определять степень микроскопичности или макроскопичности этого состояния. Показано, что Гауссовое состояние, из которого извлекли два фотона, асимптотически описывается также Гауссовым состоянием в случае большого значения хотя бы одного среднего момента. Определены условия, при которых возможно аппроксимировать максимально неклассические состояния (суперпозиции когерентных состояний) сгенерированными фотон-извлеченными состояниями с наибольшей точностью. Получены точные аналитические зависимости точностей генерируемых суперпозиций сжатых когерентных состояний от экспериментальных параметров. Найден оптимальный режим для выполнения экспериментальной работы по извлечению фотонных состояний с целью реализации прямого действия матрицы Адамара на когерентных состояниях как базисных элементах. Освещен широкий круг вопросов, относящийся в функциям квази-распределения, функциям Вигнера и их характеристическим функциям, мере неклассичности. Показано как вычислить меру неклассичности для некоторых состояний.

6. Рассмотрены протоколы с модовыми состояниями света. Рассмотрены протоколы квантовой литографии, протокол controlled-Z гейта и протокол телепортации запутанного состояния света с фотон-модовыми состояниями света.

Глава 4. Трех-модовое запутанное неклассическое состояние света

Обзор литературы по спонтанному параметрическому рассеянию

В предыдущих двух главах (Глава 2 и 3) были рассмотрены одно- и двух- кубитовые преобразования с использованием Гауссовых состояний света, которые генерируются в процессе спонтанного параметрического рассеяния света. В частности, в Главах 2 и 3 широко использовались такие состояния света как одно-модовый сжатый вакуум (3.1.50) и двух-модовое сжатое вакуумное состояние (3.1.52). Световая волна взаимодействует с веществом, у которого имеется реакция вектора поляризации на вектор напряженности световой волны. Наведенный вектор поляризации может быть разложен в ряд по степеням интенсивности света, коэффициенты которого определяют нелинейные восприимчивости среды , где ---целое число, которое отвечает за номер нелинейности. Индивидуальные компоненты вектора поляризации внутри среды имеют вид

, (4.1.1)

где --- компоненты электрических полей общего светового поля с или тоже самое проекции вектора на оси , и , соответственно, --- тензорные компоненты соответствующей восприимчивости. Наведенный вектор поляризации (4.1.1) вызывает обратное воздействие на световую волну, что ведет к нелинейному взаимодействию волны с самой собой или с другие волнами. В подавляющем большинстве веществ влияние нелинейностей высшего порядка с наблюдается только в случае больших значений интенсивности света, так как выполняется условие . В частности, компонента --- линейная восприимчивость, которая отвечает за показатель преломления среды. Квадратичная нелинейность (квадратичная восприимчивость) отвечает за наблюдение так называемых квадратичных эффектов, которые будут указаны ниже. Восприимчивость более высокого порядка (кубичная нелинейность) отвечает за эффекты само- и кросс-фазовой модуляции [60]. Например, оптическое волокно является примером среды с кубичной нелинейностью . Квадратичная нелинейность в волокне равна нулю [60]. Среды с кубичной нелинейностью использовались в разделе 2.3 при обсуждении генерации СКР состояний (2.2.37) на основе нелинейного взаимодействия света со средой (2.3.3-2.3.5).

Рассмотрим нелинейно-оптические эффекты, основанные на квадратичной восприимчивости . Второй член в разложении (4.1.1) отвечает за квадратичные эффекты. Теория данных нелинейных явлений подробно изучена и отражена в соответствующих монографиях и учебниках [66, 134, 162-167]. Генерация второй гармоники --- эффект рождения вторичной световой волны удвоенной частоты в результате взаимодействия начальной оптической волны с кристаллом с нелинейностью. Похожий физический эффект --- это сложение частот света, многофотонный процесс взаимодействия, при котором поглощаются два или более квантов лазерного излучения, и излучается один квант с частотой, равной сумме частот поглощенных квантов. Стоит упомянуть также процесс генерации разностной частоты, при котором происходит генерация света с частотой равной разности двух других световых волн. Другой нелинейно-оптический эффект, основанный на квадратичной нелинейности , это эффект параметрического усиления света, в результате которого входной (сигнальный) световой пучок усиливается с одновременным образованием холостой волны в присутствии более высокочастотной волны накачки. Если взглянуть на квадратичные процессы с электродинамической точки зрения, то можно понять, что, помимо стимулированных эффектов, должны существовать и спонтанные процессы как и в случае взаимодействия электромагнитного излучения с атомом. Спонтанное рождение фотонов при нелинейном взаимодействии впервые было теоретически исследовано Клышко [168] и экспериментально подтверждено Бенхемом (Butnham) и Вайнбергом (Weinberg) [169]. Более подробно вопросы спонтанного рождения фотонов обсуждаются в книге Клышко [164]. Специальный случай такого процесса --- это спонтанное параметрическое рассеяние (СПР) --- важный процесс в квантовой оптике известный в американской научной литературе как spontaneous parametric down-conversion (SPDC).

СПР --- это нелинейный процесс, в котором только одно из световых полей с частотой изначально возбуждается внутри кристалла. Два новых фотона (би-фотон) с частотами и спонтанно рождаются, благодаря нелинейному взаимодействию мощной волны накачки со средой за счет наведенного вектора поляризации (4.1.1). Во время спонтанного рождения би-фотона полная энергия фотонов сохраняется, что ведет к соотношению

. (4.1.2)

Наибольшая эффективность СКР наблюдается при условии фазового синхронизма волновых векторов световых полей

, (4.1.3)

где , и --- волновые вектора сигнальной , холостой волны и волны накачки . Два условия (4.1.2) и (4.1.3) ведут к большому разнообразию возможных экспериментальных случаев в зависимости от используемого материала и наблюдаемых частот. Скорость превращения фотонов накачки с частотой в фотоны с частотами и определяется модулем соответствующей компоненты и является достаточно малой величиной. Так для примера, если накачивать кристалл, чья длина не превышает нескольких миллиметров, с большим значением световой волной мощностью 100 mW (UV), то на выходе будет наблюдаться рождение примерно би-фотонов в секунду.

Стоит упомянуть, что при изучении СПР (также как и для генерации второй гармоники [167]) имеет место два типа фазового синхронизма (4.1.3). В случае фазового синхронизма I-типа два рожденных фотона с меньшими частотами имеют параллельные поляризации. И наоборот. Поляризации генерируемых фотонов в процессе СПР II-типа взаимно ортогональны друг другу. СПР с фазовым синхронизмом II-типа было использовано в первых работах по экспериментальной квантовой информатике в качестве генератора максимально запутанных состояний [170]. При определенных углах между направлением распространения волны накачки и оптической осью кристалла эмитируемые фотоны, для которых выполняется условие фазового синхронизма II-типа, распространяются вдоль конусов, которые не имеют общей оси. Данные конусы пересекаются вдоль двух направлений. Поскольку рожденные фотоны имеют ортогональные поляризации, то в местах пересечения двух оптических конусов состояние поляризации будет не определено. Невозможно точно сказать принадлежит фотон тому или иному оптическому конусу. Соответственно можно говорить, что в точках пересечения оптических конусов имеет место максимально запутанное состояние (3.4.5). В реальном эксперименте рождение состояния (3.4.5) требует некоторого пояснения [170]. В двулучепреломляющем кристалле распространяются две световые волны: обыкновенная и не обыкновенная. Скорости обыкновенной и не обыкновенной волн внутри кристалла отличаются друг от друга. Поэтому два фотона из разных световых конусов могут быть в принципе различимы друг от друга на временном промежутке (так называемый walkoff эффект). Чтобы стереть любую дополнительную информацию о состоянии поляризации в точках пересечения оптических конусов и тем самым сделать состояние поляризации полностью не определенным, необходимо дополнительно скомпенсировать walkoff эффект соответствующей фазовой задержкой [170]. После введения дополнительной фазовой задержки можно говорить о реализации состояния (3.4.5).

При классическом рассмотрении напряженности вектора рассматриваются как комплексные величины, а не как операторы рождения и уничтожения. Естественно, что такое рассмотрение имеет смысл при больших интенсивностях участвующих световых волн, так как влияние квантовых эффектов будет не значительным в данном случае. Наиболее часто встречаемый метод решения уравнений, которые описывают взаимодействие световых полей внутри кристалла на нелинейности --- это метод не истощаемой волны накачки [167]. Стоит отметить, что данный метод применим к уравнениям как с комплексными классическими амплитудами [162, 163, 166, 167], так и с операторами рождения и уничтожения [164, 165]. В данном приближении считается, что волна накачки внутри кристалла изменяется не значительно так, что данным изменением можно пренебречь и считать амплитуду волны накачки постоянной. Такое приближение имеет смысл, так как изначально используется мощная волна накачки. А интенсивность генерируемых сигнальной и холостой волны значительно ниже по интенсивности. В приближении не истощаемой волны накачки Гамильтониан (как классический, так и квантовый) является квадратичным. А сами уравнения, описывающее данное взаимодействие световых полей внутри кристалла, становятся линейными. В частности, унитарные операторы одно- (2.3.13) и двух-модового сжатия (3.1.52) являются линейными Гауссовыми операторами, поскольку Гамильтониан, ответственный за их эволюцию с течением времени является квадратичным.

Тем не менее, решение нелинейных уравнений, которые описывают эволюцию световых полей, в общем виде без использования приближения не истощаемой волны накачки является актуальным. Если рассмотреть эффект параметрического усиления света с достаточно мощной, сравнимой по интенсивности волной накачки, сигнальной волной, то приближение не истощаемой волны накачки перестает адекватно описывать данный процесс. Ранее в работах автора [171-173] рассматривались вопросы точного решения нелинейных уравнений, описывающих взаимодействие световых полей в средах с нелинейностью. Тогда используемый Гамильтониан с учетом истощаемой волны накачки является кубичным, а соответствующие уравнения становятся уже не линейными. Решение данных уравнений выражается через специальные функции, именно, через эллиптические функции. Эллиптические функции трудно использовать для анализа. Тем не менее, существует графический метод решения нелинейных уравнений такого типа на фазовой плоскости. Фазовые траектории могут быть построены при произвольных значениях фазовой расстройки световых полей в том числе и в случае фазового синхронизма (4.1.3). Стоит отметить, что фазовые траектории могут быть построены для произвольных начальных условиях. Данные обстоятельства делают метод решения нелинейных уравнений на фазовой плоскости универсальным.

В работах [171, 172] было показано, что влияние высших нелинейностей в разложении (4.1.1) ведет к тому, что световые поля в процессе взаимодействия испытывают дополнительный эффект само- и кросс- фазовой модуляции. Учет дополнительной нелинейной фазовой модуляции дает возможность предсказать новый эффект оптического переключения света на квадратичной нелинейности. Эффект оптического переключения света заключается в значительном изменении (перераспределении) общей энергии между взаимодействующими оптическими полями при незначительном изменении начальных условий. Например, сигнальная (холостая) волна может испытать значительное усиление лишь при незначительном усилении начальной интенсивности волны накачки. Возможен и обратный эффект значительного усиления волны накачки при изменении начальных параметров сигнальной (холостой) волны. Незначительное изменение когерентной начальной разности фаз световых полей также может вызвать эффект оптического переключения. Данный эффект объясняется наличием точек бифуркации (раздвоения) на фазовой плоскости, около которых эволюция точек может претерпевать значительные изменения. Стоит отметить, что такой эффект невозможно обнаружить при использовании приближения не истощаемой волны накачки. Эффект оптического переключения может быть использован для создания оптических транзисторов. Но используемые в данном рассмотрении идеи отличаются от идей квантовой информатики. Эффект оптического переключения был также рассмотрен в среде с периодической модуляцией квадратичной восприимчивости [173].

Метод фазовых траекторий был использован для анализа интегрируемых нелинейных уравнений, которые описывают взаимодействие световых полей на кубичной восприимчивости различной физической природы [174-183]. Эффект оптического переключения был обнаружен во многих средах. Были найдены оптимальные условия для наилучшей реализации эффекта оптического переключения света в изучаемых средах. Результаты работ [171-183] были положены в основу диссертационной работы автора “Нелинейная динамика одномерных волновых процессов” на соискание степени кандидата физико-математических наук. В диссертации был предложен общий метод решения систем интегрируемых нелинейных уравнений, отвечающих за взаимодействие световых полей посредством наведенного вектора поляризации (1.4.1).

Как уже отмечалось, метод не истощаемой волны накачки может быть использован также при анализе уравнений с квантовыми операторами [66, 164, 165]. Те же самые рассуждения применимы к световым полям, взаимодействующим на нелинейности, с учетом их квантовой природы. Соответствующий анализ линеаризованных квантовых уравнений подробно представлен в монографии [66]. Другой интересный метод анализа нелинейных квантовых уравнений был разработан в работах [184-186]. Используется Гейзенберговское представление [66], при котором операторы поля изменяются с течением времени (по мере распространения в среде), в то время как начальные состояния не меняются со временем. Предполагалось, что оператор уничтожения (или разложения) светового поля может быть представлен в виде

, (4.1.4)

где --- оператор уничтожения светового поля, --- его среднее значение и --- добавочный оператор, описывающий поведение квантовых флуктуаций. Таким образом, линеаризация (4.1.4) позволяет получить два набора систем уравнений из начальной нелинейной системы квантовых дифференциальных уравнений. В нулевом приближении по операторам имеет место нелинейная система уравнений для средних значений . В следующем приближении по операторам получается линейная система уравнений, коэффициенты которой уже зависят от . Интегрируемая система линейных уравнений решается методом фазовых траекторий. Решение системы нелинейных уравнений для средних значений используется для анализа поведения операторов . Предполагается, что изначально входные состояния для операторов находятся в вакуумном состоянии. Таким образом, данный метод позволяет проследить эволюцию небольших квантовых флуктуаций по мере распространения световых полей вдоль оптической среды. В частности, данный подход был использован для анализа эволюции квантовых флуктуаций как средах с нелинейностью [186], так и в средах с нелинейностью [184, 185].

Метод, используемый в [184-186], является дальнейшим развитием анализа нелинейных квантовых уравнений по сравнению с методом не истощаемой волны накачки. В данном подходе учитывается тот факт, что волна накачки обменивается энергией с другими оптическими полями по мере своего распространения внутри среды. Данный подход может применяться на небольших расстояниях до тех пор, пока значения флуктуаций не станут сравнимы с классическими значениями амплитуд . Естественно, что данный метод перестает адекватно описывать динамику нелинейных квантовых уравнений в случае . Тем не менее, данный метод позволяет проследить эволюцию вакуумных флуктуаций вблизи точек бифуркации. Действительно, начальные значения классических амплитуд могут быть выбраны таким образом, чтобы точно “попасть” в бифуркационную точку. Дальнейшая эволюция квантовых флуктуаций становится сложной, но достаточно интересной. Данный подход позволяет проследить развитие квантовых корреляций, рождающихся в соседних модах из начальных вакуумных состояний. Дальнейшее развитие теории нелинейных квантовых уравнений требует развития другого подхода. Последующий раздел представляет такую точную теорию для нелинейных квантовых уравнений, которые описывают эволюцию квантовых операторов в среде с нелинейностью. Учет влияния истощения волны накачки позволяет уточнить границы применимости моделей одно- (3.1.50) и двух-модового (3.1.52) сжатого состояний. Более того, данное рассмотрение позволяет изучить новое трех-модовое запутанное состояние, которое имеет потенциал применения в протоколах квантовой информатики.

Математические основы квантовой теории СПР с учетом истощения волны накачки

В настоящем разделе рассматривается точная теория взаимодействия световых полей с учетом их квантовой природы в кристалле с квадратичной нелинейностью . Используется трех-модовая модель взаимодействия мощной волны накачки с сигнальной (мода ) и холостой волны (мода ), для которых выбирается условие фазового синхронизма (4.1.3). Данное трех-модовое взаимодействие СПР имеет смысл, так как отражает суть данного типа взаимодействия. Одновременно имеет место как преобразование фотона накачки в два фотона с меньшими частотами (что учитывается в приближении не истощаемой волны накачки), так и соединение сигнального и холостого фотонов в один фотон накачки (что уже не учитывается в приближении не истощаемой волны накачки и отбрасывается). Таким образом, точная теория СПР отличается от приближения не истощаемой волны накачки тем, что обратный эффект преобразования сигнального и холостого фотонов в фотон накачки принимается во внимание. Другие пространственные моды не рассматриваются в трех-модовой модели. Временная форма световых импульсов не учитывается, чтобы значительно не усложнять анализ данного взаимодействия. Анализ СПР с учетом других пространственных мод и временной формы волны накачки можно найти в работе [187].

Рассмотрим трех-модовую модель взаимодействия световых волн в кристалле с квадратичной нелинейностью с фазовым синхронизмом I типа. В данной модели используется следующий Гамильтониан для бозонных операторов взаимодействующих мод [188-192]