Неклассические перемещенные состояния света

Действительно, оператор перемещения (2.2.2) является унитарным и бесконечная матрица , соответствующая этому оператору, может быть получена из формул (2.2.17---2.2.21)

(2.2.23)

Поскольку матрица является унитарной, то всегда существует обратная к ней матрица , где --- эрмитово-сопряженная матрица. Соответственно, обратное преобразование имеет следующий вид:

.

(2.2.24)

Данное матричное преобразование (2.2.24) отражает тот факт, что макроскопическое состояние (состояние с большей энергией) является суперпозиционным состоянием микроскопических состояний (состояний с меньшей энергией). Такая суперпозиция уже соответствует “классическому здравому смыслу”, что любой макроскопический объект состоит из микроскопических. Поэтому можно было сначала найти разложение перемещенных фотонных состояний по фотонным состояниям (2.2.24). После того как такая матрица найдена можно получить обратную ей матрицу (или эрмитово-сопряженную), что уже соответствует разложению микроскопических состояний в ряд по макроскопическим (2.2.23). Таким образом, разложение (2.2.23) согласуется со здравым смыслом с точки зрения квантовой механики. Разложения (2.2.23, 2.224) являются примером разложения перемещенных фотонных состояний.

Рассмотрим более детально матричные элементы (2.2.23), которые даны формулами (2.2.19, 2.2.21). Можно показать, что элементы первой строки бесконечной матрицы (2.2.23) имеют следующий вид

. (2.2.25)

Данное распределение является пуассоновским. Это означает, что вакуумное состояние является суперпозицией перемещенных фотонных состояний, распределенных по закону Пуассона. Матричные элементы следующей (второй) строки матрицы (2.2.23) имеют вид

, (2.2.26)

, , (2.2.27)

Данные коэффициенты определяют разложение единичного фотона по перемещенным фотонным состояниям. Коэффициенты разложения определяются как

, (2.2.28)

, (2.2.29)

, . (2.2.30)

Данные коэффициенты определяют разложение двух-фотонного состояния по перемещенным состояниям. Окончательно, рассмотрим матричные элементы четвертой строки матрицы (2.2.23), которые определяют трех-фотонное состояние

, (2.2.31)

, (2.2.32)

, (2.2.33)

, . (2.2.34)

Стоит отметить, что коэффициенты распределения Пуассона для когерентного состояния (1.4.1) прямо вытекают из приведенных формул (2.2.25, 2.2.26, 2..2.28, 2.2.31). Если мы возьмем комплексно-сопряженные значения данных амплитуд, то получим первые четыре матричных элемента матрицы (2.2.24). Остальные волновые амплитуды когерентного состояния непосредственно следуют из выражения (2.2.19).

Вероятность обнаружить перемещенных фотонов с амплитудой перемещения в фотонном состояния определяется квадратом модуля соответствующего матричного элемента

. (2.2.35)

Можно показать, что сумма всех вероятностей равна .



, (2.2.36)

что соответствует условию нормировки фотонного произвольного состояния . Доказательство данного факта является не тривиальным и сложным с математической точки зрения, поэтому здесь не приводится.

Рассмотрим распределение перемещенных фотонных состояний некоторых фотонных состояний. Так на рисунках 2.1-2.4 показаны зависимости вероятностей обнаружить перемещенные фотонные состояния от его номера в единичном фотоне (Рис. 2.1), двух-фотонном (Рис. 2.2), трех-фотонном состояниях (Рис. 2.3) и в состоянии с шестью фотонами (Рис. 2.4), соответственно. Распределения построены для различных значений амплитуды перемещения . Данные зависимости являются полиномиальными по . Наблюдаются локальных максимумов и локальных минимумов при больших значениях , где --- число исходных фотонов. Эти локальные экстремальные точки становятся не очевидными при малых значениях . Стоит только напомнить, что распределение Пуассона имеет только один максимум.

Так как произвольное состояние (чистое или смешанное) выражается через фотонные состояния, то можно найти также и его представление с помощью матрицы преобразования (2.2.23). Вывод такого представления в общем виде является довольно сложной математической задачей. Поэтому рассмотрим только одно такое состояние в качестве примера, а именно, суперпозицию когерентных состояний (СКС) и его представление. Данное состояние обсуждалось в Главе 1, где оно было определено формулами (1.5.4, 1.5.5). Соответствующий график зависимости функции Вигнера четной СКС представлен на рис. (1.11). В разделе 1.5 было введено понятие когерентного кубита (1.5.2). Очевидно, что СКС --- это частный случай квантового кубита в случае, когда его амплитуды по модулю равны друг другу. В разделе 1.5 также отмечалось СКС --- это оптический аналог Шредингеровского кота. Используем другое обозначение для СКС отличное от того, что использовалось в разделе 1.5, где SCS означает superposition of coherent states. Соответственно, аналитическое выражение для СКС имеет вид

, (2.2.37)

где --- нормировочный множитель. Амплитуда когерентных состояний обозначена буквой . Обозначение для амплитуды СКС выбрано, чтобы отличать ее от других используемых величин. Амплитуда СКС может принимать любые значения в том числе и комплексные. Но как правило предполагается, что , что позволяет упростить математические формулы и вычисления. В последующем тексте будет предполагаться по умолчанию, что рассматривается случай с положительной амплитудой СКС . В противном случае будет отмечаться, что амплитуда принимает другие значения. Стоит отметить, что значение величины качественно не меняет основные результаты и выводы. Допущение означает, что СКС находится «в фазе» с полем локального осциллятора.

Из выражения (2.2.37) видно, что рассматриваются два типа СКС, четная (even) и не четная (odd). Чтобы различать четные и не четные СКС, используются нижние индексы (для четной СКС) и (для не четной СКС) в формуле (2.2.37). Деление на четные и не четные СКС является следствием того, что данные состояния представимы в виде суперпозиции либо четных, либо не четных фотонных состояний, как это следует из формулы (1.5.9, 1.5.10). Данное деление СКС (2.2.37) по фотонным состояниям известно уже давно, тогда как представление этих функций не было известно до сих пор. Такое простое деление на четные и не четные функции уже не будет наблюдаться в случае произвольного значения . Четная и не четная СКС будет уже содержать как четные, так и не четные перемещенные фотонные состояния в своем представлении. Поэтому уже будет не уместно делить СКС состояния на четные и не четные в произвольном представлении. Тем не менее, данное деление на четную и не четную СКС оставляется и в произвольном представлении.

Используя представление когерентных состояний (2.2.12, 2.2.13) с прямо противоположными по знаку амплитудами, можно получить в общем виде представление СКС

, (2.2.38)

где . Стоит отметить, что данное выражение может быть еще переписано в другом виде

, (2.2.39)

где введен оператор перемещения .

Рассмотрим случай представления СКС с чисто мнимой величиной перемещения , где --- реальная величина. Данный случай соответствует разложению СКС по перемещенным фотонным состояниям, которые сдвинуты вдоль координаты (импульс квантового осциллятора) на фазовой плоскости (Рис. (1.11)). Подставляя в формулу (2.2.38), получим следующее представление для СКС

, (2.2.40)

где --- уже использованные ранее биномиальные коэффициенты. Удобно переписать выражение для четной СКС (2.2.40) в другом виде

, (2.2.41)

где вводятся амплитуды четной СКС

, (2.2.42)

, (2.2.43)

, (2.2.44)

, (2.2.45)

, (2.2.46)

, (2.2.47)

. (2.2.48)

Аналогично перепишем формулу для не четной СКС

, (2.2.49)

где ее волновые функции имеют вид

, (2.2.50)

, (2.2.51)

, (2.2.52)

, (2.2.53)

, (2.2.54)

, (2.2.55)

. (2.2.56)

Рассмотрим возможность замены четной и не четной СКС их усеченными волновыми функциями, которые могут быть построены как

, (2.2.57)

, (2.2.58)

, (2.2.59)

, (2.2.60)

, (2.2.61)

, (2.2.62)

, (2.2.63)

где --- соответствующий нормировочный множитель усеченной волновой функции .

То, насколько хорошо одно волновое состояние аппроксимирует другое состояние, может быть охарактеризовано величиной, называемой точностью (fidelity). В частности, точность между двумя чистыми или между чистым и смешанным состояниями определяется следующим выражением

, (2.2.64)

где и --- матрица плотности первого и второго состояний (верхние индексы и , соответственно). Символ --- это след матрицы или то же самое сумма диагональных коэффициентов матрицы . Значение точности лежит в диапазоне от до . Если точность между двумя состояниями равна , то такие состояния являются идентичными друг другу. И наоборот, если точность между состояниями равна , то такие состояния становятся ортогональными друг другу. Чем больше значение приобретает точность, тем ближе друг к другу становятся два сравниваемых состояния.

Применительно к случаю СКС и их усеченных функций данная величина может быть переписана как

, (2.2.65)

где --- матрица плотности четной и не четной СКС

, (2.2.66)

и --- матрица плотности усеченной СКС

. (2.2.67)

В формулах (2.2.65, 2.2.67) верхний индекс соответствует номеру усеченной функции. Нижние индексы относятся к четной и не четной СКС также как и выражении (2.2.37).

Подставляя выражения для СКС и ее усеченных функций в выражение для точности воспроизведения (2.2.65), получаем

, (2.2.68)

. (2.2.69)

График зависимости точности между не четной СКС и ее усеченной суперпозицией с (а) , (б) , (в) , (г) , (д) , (е) от амплитуды СКС и амплитуды сдвига на фазовой плоскости .

Данные выражения для точностей используются в численных расчетах. Как видно из определения (2.2.68, 2.2.69), данные функции зависят от двух независимых переменных и . Графики зависимостей и от и показаны на Рис. 2.5, 2.6, соответственно, где значение изменяется в диапазоне от до . Наблюдается общее правило. Если значение параметра увеличивается, то увеличивается как значение точности (становится почти равной ), так и диапазон значений и , в котором наблюдаются большие значения точности. Так, усеченная суперпозиция , состоящая из первых восьми перемещенных фотонных состояний (2.2.63), может аппроксимировать как четную (Рис. 2.5(е)), так и не четную СКС (Рис. 2.6(е)) с амплитудой с точностью близкой к единичному значению . Причем высокая точность наблюдается в широком диапазоне амплитуды перемещения от до . Данное обстоятельство особенно заметно при сравнении данных зависимостей с графиками на рисунках 2.5(a) и 2.6(а), где при вычислении точностей были использованы усеченные функции с первыми тремя перемещенными фотонными состояниями (2.2.58). Как видно из данных графиков точности усеченных функций с становятся значительно меньше в случае аппроксимации СКС с . К тому же диапазон значений амплитуды перемещения также заметно сужается в данном случае. Другими словами, возможность аппроксимации СКС их усеченными функциями значительно ограничена при малых значениях . Таким образом, увеличение значения параметра существенно приближает усеченные функции к соответствующим суперпозициям когерентных состояний.

Интересно также проследить являются ли усеченные функции (2.2.57-2.2.63), которые аппроксимируют четную и не четную СКС, ортогональными друг другу. Как уже было отмечено в разделе 1.5 (1.5.7), четные и не четные СКС ортогональны друг другу при любых значениях . Для того чтобы проверить ортогональность усеченных функций, рассчитаем скалярное произведение (scalar product SP) между четными и не четными усеченными функциями (2.2.57-2.2.63)

. (2.2.70)

Соответствующие зависимости скалярных произведений от и показаны на рисунке 2.7.

График зависимости скалярного произведения между усеченными функциями (а) , (б) , (в) , (г) , (д) , (е) четной и не четной СКС от амплитуды СКС и амплитуды сдвига на фазовой плоскости .

Скалярное произведение усеченных функций с большим значением почти равно нулю во всем используемом диапазоне значений от до и в диапазоне амплитуды перемещения от до (Рис. 2.7(е)), что означает, что они являются почти ортогональными друг другу в данном диапазоне. Данная зависимость на рисунке 2.7(е) контрастирует с графиком 2.7(а), где представлена зависимость скалярного произведения усеченных функций с . На данном графике наблюдаются области, где скалярное произведение явно не равно нулю . Это означает, что данные усеченные функции не ортогональны друг другу во всем используемом диапазоне значений. Стоит заметить, что графики на рисунке 2.7 согласуются с графиками на рисунках 2.5 и 2.6. Наблюдается явная корреляция между значениями точности и скалярного произведения. Так если точность между четной и не четной СКС и их усеченными функциями приближается к своему максимальному значению, то и скалярное произведение между усеченными состояниями стремится к нулю. И наоборот, если точность между соответствующими функциями меньше единицы, то данные усеченные функции не являются ортогональными друг к другу. Таким образом, чем больше соответствующих членов присутствует в усеченных функциях (увеличение номера ), тем с большей точностью они аппроксимируют четную и не четную СКС, что ведет к тому, что они становятся ортогональными в большем диапазоне значений своих параметров.

Аппарат квантовой механики описывает эволюцию микроскопических состояний [65].. И такое описание физических систем является квантовым. Известно, что такое описание не применимо уже к макроскопическим классическим объектам. Макроскопические объекты уже подчиняются классическим законам физики, например, закону Ньютона. И вопрос полноты квантовой механики является краеугольным современной физики, что еще отмечал в свое время Эйнштейн [2], .который считал, что существует более полная чем квантовая механика теория, которая объединяет классический и квантовый миры. Данная полемика между физиками дала толчок к интенсивному изучению корреляций в физических системах и в последствии привела к введению ЭПР (Эйнштейн-Подольский-Розен) состояний и неравенств Белла [2,3], как уже отмечалось в разделе 1.1. Экспериментально было показано, что запутанные состояния света нарушают неравенства Белла [23,24]. Это подтверждает корректность использования математического аппарата квантовой механики для описания систем на микроскопическом уровне. Стоит отметить, что классические корреляции удовлетворяют неравенствам Белла.

Вопрос, в каких отношениях состоят друг к другу законы микро и макро мира, является фундаментальным вопросом современной физики. Есть ли граница между микроскопическим и макроскопическим мирами, при пересечении которой начинают действовать либо классические либо квантовые законы природы. Почему квантовые явления не проявляются на макроскопическом уровне? Ответы на данные вопросы являются предметом интенсивных исследований современной науки. Поэтому даже реализация на практике СКС большой амплитуды, которые являются оптическим аналогом Шредингеровского состояния котов [73,74], представляет интерес не только с точки зрения построения оптических блоков квантового компьютера, но и с фундаментальной точки зрения как возможность применить законы квантовой механики к макроскопическим объектам.

Квантовые объекты обладают рядом странных свойств, которые противоречат классическим представлениям. Так в квантовой механике невозможно измерить одновременно положение (координату) и скорость (импульс) частицы (принцип неопределенности) [35]. И это не вопрос технического не совершенства измерительных приборов. Одновременное измерение положения и импульса одной частицы противоречит основным правилам квантовой механики. Это может означать, что микроскопическая частица и сама не знает, где она находится и с какой скоростью она движется Другое свойство квантовой частицы заключается в том, что одна частица может одновременно находиться в двух пространственно-разделенных точках (принцип суперпозиция, раздел 1.1), как будто между ними не существует расстояния. Причем не имеет значения то, насколько далеко друг от друга расположены пространственные точки. Одна точка может быть выбрана на Земле, а другая в другой галактике. Стоит отметить, что квантовая частица может одновременно находиться и в трех и в четырех и более пространственных точках. Принцип суперпозиции для одной частицы выглядит не естественным с классической точки зрения.

Другое известное свойство квантовых систем --- это возможность существования запутанных (entangled) состояний (радел 1.6). Рассмотрим запутанные состояния двух частиц, каждая из которых эволюционирует в двух-уровневом базисе, например, спин вверх и спин вниз (Рис 1.4). Если две частицы находятся в чистом запутанном состоянии в пространственно-разделенных друг от друга точках, то измерение одной частицы одновременно влияет на состояние другой частицы. Полученный результат измерения точно определяет то, в каком состоянии будет находиться другая частица, которую не измеряли и которая может находиться на значительном расстоянии от измеряемой частицы. Причем данное воздействие происходит мгновенно [75] (spooky action) и не зависит от расстояния между частицами. При этом каждая отдельная частица в запутанном состоянии будет находиться в смешанном максимально не определенном состоянии. И только локальное измерение другой пространственно-разделенной частицы в запутанном состоянии мгновенно переводит данное максимально не определенное состояние частицы, которую не измеряли, в чистое состояние с заранее известными характеристиками, например, точно определенным значением спина (со спином либо вверх либо вниз). Тогда выходит, что нарушается принцип локального реализма (local realizm), что выражается в нарушении неравенств Белла запутанными состояниями. Сочетание слов локальный реализм включает в себя два понятия: локальное действие и реализм. Когда говорится о нарушении локального реализма, то имеется в виду, что нарушается либо принцип локальности или близкодействия (на объект влияет только его ближайшее окружение, и результат действия в пространственно-отдаленной точке не влияет на объект), либо принцип реализма (физические объекты существуют независимо от измерения этого объекта и, в частности, от человеческого познания и познания). Так Эйнштейн выступал резко против нарушения принципа локального реализма. Широко известны аргументы Эйнштейна относительно Луны. Суть их в том, что не важно посмотрим (проведем измерение глазами) или не посмотрим мы на Луну, Луна все также будет находиться на своем месте в космическом пространстве, что и отражает объективную реальность. Но Луна --- это макроскопический объект, к которому как к целому не применяются законы квантовой механики. В этом смысле интересны результаты работы [76], где было экспериментально показано, что нарушается принцип локальности и стоит тогда говорить о не локальном реализме. Обсуждение результатов работы [76] не входит в материал данной работы, поэтому мы ограничиваемся только упоминанием этого эксперимента.

К этим уже известным свойствам квантовых систем можно добавить и рассмотренную в настоящей главе суперпозицию перемещенного фотонного состояния в терминах перемещенных фотонных состояний с отличной амплитудой перемещения. Как уже было отмечено выше, такое разложение (2.2.23) представляет собой разложение состояния квантового осциллятора с меньшей энергией (микроскопическое состояние) по перемещенным фотонным состояниям (макроскопические состояния) того же квантового осциллятора с большей энергией. Аппарат квантовой механики допускает такое представление. Можно мысленно представить, то как бы выглядело такое разложение в рамках привычных нам классических представлений. Допустим, нами выбрана песчинка песка с энергией покоя , где --- масса песчинки и --- скорость света в вакууме. Выберем также бесконечный набор камней с кратными массами с соответствующими энергиями покоя . Уложим эти камни таким образом, чтобы на выходе получилась данная маленькая песчинка песка. Это кажется не мыслимым с классической точки зрения. Тем не менее, как было доказано в данном разделе (теорема о разложении), данное разложение возможно в рамках квантовой механики. По сути возможно разложить микроскопическое состояние (состояние с маленькой энергией) в ряд по макроскопическим состояниям (состояния с большой энергией) квантового осциллятора.

Более того, данное разложение возможно и для произвольного смешанного состояния. Действительно, любое смешанное состояние может быть представлено как сумма фотонных состояний (диагональных и не диагональных коррелированных). Поскольку каждое фотонное состояние является суперпозицией перемещенных фотонных состояний, то и произвольное смешанное состояние может быть представлено в терминах этих состояний. В целом поиск волновых амплитуд разложения произвольного состояния представляет собой довольно сложную математическую задачу. Поэтому решение данного вопроса заслуживает дальнейшего изучения и развития. В качестве примера было найдены разложения четного и не четного СКС (2.2.40) и приведен анализ возможности аппроксимации СКС их усеченными функциями. Данная теорема будет широко использована в дальнейшем рассмотрении в рамках исследования проблем реализации элементарных квантовых гейтов для различных базисных состояний.

Реализация одно-кубитовых вращений посредством извлечения фотонов из начальных базисных состояний

Цель настоящего раздела --- развить метод, который позволяет реализовать на практике одно-кубитовые логические элементы (Раздел 2.1) для некоторых базисных состояний, в частности, для сжатых когерентных состояний. Рассмотрим возможность реализации одно-кубитовых преобразований для базисных когерентных состояний методами нелинейной оптики [52, 61]. Когерентные состояния

, (2.3.1)

с амплитудами и выбираются в качестве базисных состояний. Свойства когерентных состояний обсуждались в разделе 1.4. Когерентные состояния с отличными друг от друга амплитудами не являются ортогональными друг другу [66], так как их скалярное произведение не равно нулю

, (2.3.2)

где --- начальная разница амплитуд базисных состояний. Тем не менее, когерентные состояния становятся асимптотически ортогональными, когда абсолютная разница амплитуд стремится к бесконечности. Действительно, когда , тогда выражение в правой части (2.3.2) быстро стремится к нулю.

Унитарные операции and могут быть реализованы с помощью нелинейного взаимодействия когерентного света с кристаллом с Керровской нелинейностью [52]. Можно показать, что Гамильтониан взаимодействия Керровской нелинейности и одно-модового излучения света имеет следующий вид

, (2.3.3)

где --- величина, ответственная за силу Керровского взаимодействия среды и оптического излучения. Когда время взаимодействия излучения со средой становится равным , когерентные состояния (2.3.1) трансформируются в выходные суперпозиции [52]

, (2.3.4)

. (2.3.5)

Данное преобразование соответствует унитарной операции (2.1.10) с точностью до общего фазового множителя на . Другое унитарное преобразование (2.1.11) может быть реализовано посредством использования оператора фазового сдвига , который действует как , до или после преобразования. Стоит отметить, что соответствует вращению вокруг оси, т.е. одно-кубитовому NOT гейту.

Унитарное преобразование, связанное с вращением вокруг оси вектора на сфере Блоха, может быть реализовано с помощью оператора перемещения , где --- вещественное число [57,58]. Действительно, два оператора перемещения (2.2.2) и не коммутируют между собой, но произведение этих операторов --- это просто другой оператор перемещения , который умножается на дополнительный фазовый множитель [66]

. (2.3.6)

Этот фазовый множитель отвечает за вращение когерентного кубита вокруг оси на некоторый угол. Рассмотрим оператор перемещения . Действие оператора на когерентный кубит сопоставимо с действием оператора (2.1.3) на тот же самый кубит (1.5.2)

. (2.3.7)

Таким образом, унитарному преобразованию соответствует вращение вектора, описывающего кубит на Блоховской сфере (рис. 1.4), на угол вокруг оси. Оператор перемещения может быть эффективно реализован с помощью пучкового делителя с коэффициентом пропускания близким к единице и высокоинтенсивного когерентного излучения с амплитудой в вспомогательной моде пучкового делителя, где принимает действительные значения. Действие пучкового делителя на входное излучение (сигнал) может быть представимо в виде в предельном случае и [77].

Таким образом, реализуются одно-кубитовые преобразования с когерентными состояниями света при наличии нелинейного взаимодействия. Это соответствует второму способу реализации одно-кубитовых преобразования из тех трех, речь о которых шла в разделе 2.1. Известно, что гигантская Керровская нелинейность требуется, чтобы реализовать унитарную операцию [52,61]. Существует большое число оптических сред с Керровской нелинейностью. Но в разделе 1.6 уже отмечалось, что все эти нелинейности слишком незначительны по величине даже при наличии мощного входного когерентного излучения, чтобы сгенерировать выходные состояния (2.3.4, 2.3.5). Можно увеличить время взаимодействия света со средой с Керровской нелинейностью за счет увеличения длины взаимодействия излучения со средой, например, в оптическом волокне. Оптическое волокно --- это среда с Керровской нелинейностью, длина которого может быть очень большой [60]. Тем не менее, расчеты показывают [61], что на выходе из достаточно длинного оптического волокна образуется статистическая смесь когерентных состояний

, (2.3.8)

вместо чистого состояния (2.3.4). Причина образования статистической смеси когерентных состояний --- это влияние декогерентности на квантовые состояния света при распространении света вдоль среды. Например, как уже отмечалось в разделе 1.6, для образования СКС с амплитудой требуется оптическое одно-модовое волокно длиной примерно . Производство оптического волокна такой длины возможно с технологической точки зрения. Оптическое излучение, которые распространяются внутри оптоволокна, испытывает на себе влияние двух эффектов: Керровского нелинейного взаимодействия и декогерентности. И если Керровское взаимодействие порождает чистое состояние (2.3.4), то декогерентность разрушает зарождающие состояния, превращая их в статистическую смесь (2.3.8). Известно, что квантовые протоколы могут быть реализованы на основе чистых максимально запутанных состояний. Влияние эффекта декогерентности на квантовые состояния обсуждались в разделах 1.2 и 1.6.. Рисунки 1.5 и 1.6 показывают примеры влияния эффекта декогерентности на квантовые состояния.

Именно, отсутствие сред с гигантской Керровской нелинейностью и влияние декогерентности на распространяющиеся состояния света являются теми основными факторами, которые не позволяют реализовать на практике одно-кубитовые преобразования на основе нелинейной оптики (2.3.4, 2.3.5). В частности, именно данное обстоятельство не позволяет реализовать на практике квантовые компьютеры, так как это было предложено в работах [57,58]. Эффектный в теории, данный метод едва ли является реализуемым на практике. Идея построения квантовых компьютеров на основе кластерных состояний [26] выглядит красивой. Но реализация на практике таких кластерных состояний едва ли возможно в настоящее время на современном уровне развития технологий. Так интересное предложение как реализовать кластерные когерентные состояния света [78] является правдоподобным, но только при наличии сред с кросс-фазовой модуляцией. Но если попытаться реализовать кластерные когерентные состояния в волокне, то на распространяющие пучки света в волокне будет действовать как минимум и само-модуляция [60], помимо только кросс-фазовой модуляции. А именно влияние само-модуляции не рассматривалось в работе [78], что ставит под сомнение саму идею сгенерировать на практике кластерные когерентные состояния света.

Стоит отметить основополагающую работу [26], о которой уже говорилось в разделе 1.1. Нелинейное взаимодействие не используется в данном методе. Тем не менее, генерация KLM (Knill, Laflamme, Milburn) состояний с большим количеством одиночных фотонов едва ли возможна в настоящее время. К тому же, успешная реализация квантовых протоколов базируется на детектировании большого числа одиночных фотонов, что сильно понижает эффективность данного метода в силу не совершенства современных фотодетекторов. Эффективность KLM метода также сильно зависит от возможности генерировать одиночные фотоны в чистых, а не в смешанных состояниях. А генерация чистых состояний одиночных фотонов в настоящее время --- это трудная задача. Данные обстоятельства позволяют признать, что KLM подход является теоретически эффектным, но практически не эффективным.

Таким образом, отсутствие эффективного нелинейного взаимодействия ведет к развитию новых методов, которые могут быть использованы для реализации элементарных гейтов для разных базисных состояний и которые базируются на отличных физических принципах. Нелинейный эффект может быть также индуцирован методам измерения квантового состояния [79]. Данный метод основывается на измерительном постулате квантовой механики [65]. Из данного постулата следует, что если часть сложной составной запутанной квантовой системы подвергнуть измерению, то состояние оставшейся не измеряемой части определяется результатом измерения на измеряемой части. Причем измерительный постулат дает возможность генерировать даже такие квантовые состояния, которые невозможно произвести с помощью точного Гамильтониана. Такие методы вошли в научную литературу под названием извлечение (subtraction) и добавление (addition) фотонов к начальному состоянию. Такие методы являются вероятностными (не детерменированными), то есть успешная генерация желаемого состояния происходит только после регистрации (кликов) фотонов во вспомогательных модах сложного составного состояния. Данное событие может происходить с некоторой вероятностью, может быть даже маленькой. Но когда определенное событие регистрируется в вспомогательных модах, то тогда соответствующее состояние определенно рождается в изучаемых модах.

Впервые, такой метод был рассмотрен в работе [80], где была теоретически показана возможность реализовать СКС большой амплитуды посредством извлечения нескольких фотонов из сжатого одно-модового и двух-модового вакуумного состояния света. Аналитический подход в данной работе основывался на использовании детекторов, которые способны разрешать количество фотонов [81]. Производство таких детекторов представляет в настоящее время сложной и пока едва ли выполнимой задачей, что ставит под сомнение реализацию таких фотон извлеченных состояний, так как это было предложено в [80]. Тем не менее, данный подход привлек большое внимание, что вылилось в большом количестве работ по реализации таких состояний. Свойства Гауссового состояния света, из которого извлечен один фотон, рассматривались в [82] на фазовой плоскости. Было показано, что такие состояния являются не Гауссовыми. Такой тип преобразования Гауссового света в не Гауссовый может быть назван процессом де-Гауссификации света. Более подробно данный вопрос рассматривается в Главе 3. Извлечение фотонов из произвольного состояния может быть произведено с помощью пучкового делителя с высоким коэффициентом пропускания, а действие оператора рождения может быть реализовано при помощи спонтанного параметрического взаимодействия. В работе [83] было экспериментально реализовано состояние, полученное извлечением фотона из сжатого вакуума. Соответствующий теоретический анализ данной работы был проведен в [84]. Анализ был сделан в общем виде с учетом реалистической модели детектора в представлении Вигнера. Было показано, что сгенерированное состояние аппроксимирует с высокой точностью состояние сжатого фотона в предельном случае, когда коэффициент пропускания пучкового делителя стремится к единице. Также было показано почему экспериментально сгенерированное состояние света в работе [83] не продемонстрировало свои не классические свойства. Дальнейшее развитие данного подхода было сделано в [85].

Извлечение фотонов из изначально Гауссовых состояний света или добавление фотонов к изначально Гауссовому состоянию света может улучшить запутанные свойства генерированных не Гауссовых состояний. Так в работе [86] была рассмотрена возможность увеличить точность телепортируемого состояния посредством использования не Гауссового запутанного канала, который может быть создан посредством извлечения некоторого количества фотонов из каждой моды двух-модового сжатого вакуума. Вопрос увеличения точности телепортируемого состояния в несколько другом аспекте рассмотрен в работе [87]. Свойства запутанного канала, образованного извлечением фотонов из двух-модового сжатого вакуума, рассмотрены в [88]. В настоящее время сделано достаточно большое количество работ по изучению не локальных свойств запутанных фотон извлеченных состояний [89-95]. Общий подход к изучению таких состояний --- это рассмотреть сам процесс генерации таких фотон извлеченных состояний и использовать их для проверки неравенств Белла в различной экспериментальной конфигурации. Стоит отметить, что рассмотрение не локальных свойств таких состояний было проведено также с учетом их взаимодействия с окружающей средой.

Другой тип работ с фотон извлеченными состояниями света связан с возможностью аппроксимировать ими другие состояния, в частности, СКС (2.2.37). Так в работе [96] было показано, что сжатый единичный фотон аппроксимирует не четную сжатую СКС с амплитудой с точностью . Расширенная версия данного подхода рассмотрена в работе [97]. Анализ двух экспериментальных схем, приспособленных для генерации квази-СКС состояний, представлен в [98]. Экспериментальная реализация состояний света, из которых извлечен один фотон, была показана в работах [99-101]. Дальнейшее расширение работ связано с изучением состояний с двумя извлеченными или добавленными фотонами [102-104]. В работе [74] была экспериментально продемонстрирована возможность реализовать сжатое состояние Шредингеровского кота амплитуды посредством гомодинного измерения в вспомогательных модах двух-фотонного состояния света, прошедшего через пучковый делитель. Возможность применения сжатых суперпозиций когерентных состояний к квантовым протоколам рассмотрена в [105].

В последние годы число работ по не Гауссовым фотон извлеченным и добавленным состояниям только увеличилось. Общий обзор работа по данной теме можно найти в [106]. Стоит только упомянуть лишь некоторые из этих работ. Фотон добавленное состояние было экспериментально реализовано в [107]. В работе [108] было предложен метод реализации когерентной суперпозиции операторов рождения и уничтожения для того, чтобы экспериментально проверить коммутационное соотношение оптическими методами [109]. Другая интересная работа связана с генерацией запутанных когерентных состояний [110]. Экспериментально три фотона были извлечены из сжатого вакуума в [111], чтобы аппроксимировать не четную СКС. В работе [112] была предложена оптическая схема, чтобы осуществить произвольную полиномиальную суперпозицию операторов . Реализация когерентной суперпозиции была рассмотрена в [113]. Стоит также упомянуть работу [114], где была предложена оптическая схема для произвольной суперпозиции фотонных состояний. В работе [115] было показано как применить когерентную суперпозицию операторов к произвольному состоянию. Операторы рождения и уничтожения могут быть использованы для построения одно- и двух-кубитных унитарных преобразований для квантовых компьютеров [116]. Основная трудность при рассмотрении такого подхода --- это как построить преобразование Адамара. Достаточно сложная версия реализации преобразования Адамара, в которой используется комбинированное (одного фотона и гомодинное) измерение в вспомогательных модах, было экспериментально продемонстрировано в [117]. Другой тип работ наиболее близкий к материалу диссертации можно найти в работах [118,119]. Так в работе [118] рассматривается возможность реализовать когерентные суперпозиции операторов с помощью применения оператора перемещения в вспомогательных модах составного запутанного состояния. В терминах, используемых в настоящей работе, речь в работе [118] идет об извлечении перемещенных фотонных состояний (Глава 3), чтобы осуществить нелинейное воздействие на начальное состояние света. Но в работе [118] такая идея не используется. То, что идея с извлечением перемещенных фотонных состояний работает на практике, может служить работа [119], где экспериментально была продемонстрирована возможность сгенерировать сжатый кубит, составленный из вакуума и единичного фотона. В настоящей работе представляется теория генерации состояний, из которых извлекается перемещенное фотонное состояние. Для того чтобы показать это, нужно воспользоваться теоремой о разделе, представленной в разделе 2.2.

Рассмотрим возможность реализовать аналог преобразования Адамара (2.1.9) с отличными друг от друга входными и выходными базисными состояниями

, (2.3.9)

, (2.3.10)

где и --- входные базисные состояния в одном двухмерном Гильбертовом пространстве, в то время как and --- выходные базисные состояния в другом Гильбертовом пространстве [69-72]. Преобразование Адамара --- это важная унитарная операция и ее реализация даже в такой интерпретации с отличными друг от друга начальными и конечными базисными состояниями представляет значительный интерес. Стоит отметить, что выше рассматривалась реализация унитарных операций в одном Гильбертовом пространстве методами нелинейной оптики (2.3.4, 2.3.5). Стоит отметить, что речь идет о реализации одностороннего действия преобразования Адамара, когда начальные базисные состояния преобразуются в суперпозиции. Обратное действие гейта Адамара с преобразованием суперпозиционных состояний в начальные базисные состояния на данном этапе не рассматривается. Таким образом, можно только говорить о реализации некоего аналога (аналогичного устройства) преобразования Адамара. По определению данная аналоговая модель гейта Адамара не является унитарным преобразованием. В дальнейшем будут использоваться термины односторонний аналог преобразования Адамара и просто преобразование Адамара, подразумевая под ним именно не унитарную операцию.

Рассмотрим оптические схемы на рисунках 2.8 и 2.9. Сжатые когерентные состояния с отличными друг от друга амплитудами

, (2.3.11)

, (2.3.12)

являются входными базисными состояниями для оптической схемы на Рис. 2.8. Оператор сжатия [66]

, (2.3.13)

с коэффициентом сжатия одной из квадратурных компонент используется в формулах (2.3.11, 2.3.12). Оператор сжатия является Гауссовым оператором.

Свет, находящийся в одном из состояний (2.3.11, 2.3.12), направляется на не равновесный пучковый делитель с коэффициентом пропускания . Используется следующее обозначение для не равновесного пучкового делителя UBS (unbalanced beam splitter). Значительная часть света проходит через такой пучковый делитель, но тем не менее незначительная часть отклоняется в отраженную моду UBS. Отраженная часть падающего пучка направляется на измерительную систему, показанную на рисунке 2.8. Измерительная система состоит из равновесного пучкового делителя, для которого используется обозначение BBS (balanced beam splitter). Выходные моды BBS направляются на лавинные фотодиоды, для обозначения которых используется аббревиатура APD (avalanche photodiodes).

Рисунок 2.8

Оптическая схема, используемая для реализации преобразования Адамара с базисными сжатыми когерентными состояниями. Из начальных базисных состояний извлекается два фотона. Мода --- основная, в то время как моды и --- вспомогательные. Используются следующие обозначения: BBS (balanced beam splitter) --- пучковый делитель, UBS (unbalanced beam splitter) --- не балансный пучковый делитель и APD

(avalanche photodiode) --- лавинный фотодиод с квантовой эффективностью

Рисунок 2.9

Обобщение оптической схемы на рисунке 2.8 на случай генерации сжатого когерентного состояния, из которого извлекается фотонов. В частности, данная схема может быть приспособлена для генерации сжатого когерентного света с извлечением и фотонов.

Выходное состояние света генерируется в пропускающей моде UBS (мода ) после того, как два клика одновременно регистрируются двумя лавинными фотодиодами.

Оптическая схема на рисунке 2.8 может быть обобщена на произвольный случай извлечения фотонов, где --- произвольное целое число, из начальных базисных состояний, как это показано на рисунке 2.9. Отличие оптических схем на рисунках 2.8 и 2.9 --- это использование расширенной измерительной системы на рисунке 2.9, которая состоит уже в общем случае из BBS и APDs. Соответственно, на рисунке 2.9 показано расширение оптической схемы на рис. 2.8 на случаи и (пунктирные линии). Естественно, что можно не ограничиться случаем и расширить аналогичным образом оптическую схему на Рис. 2.9 на случай .

Введем обозначение для генерируемых фотон извлеченных состояний в пропускающей моде UBS как nPSS (n-photon subtracted state), где буква n отвечает за количество извлекаемых фотонов. Так можно говорить о генерации 2PSS (сплошные линии), 3PSS и 4PSS (пунктирные линии) состояний на рисунке 2.9 при регистрации соответственно , и одновременных кликов измерительной системой на рисунке 2.9. Состояния nPSS --- это выходные состояния, которые затем могут быть либо зарегистрированы методом гомодинного детектирования [66], либо использованы в других квантовых протоколах.

В настоящее время APD используется в большинстве оптических экспериментов, так как APD обладает высокой квантовой эффективностью. Но APD не может быть использован как счетчик фотонов, так как данный детектор не способен отличить друг от друга количество падающих на него фотонов. Поэтому в современных оптических экспериментах APD используется как вентиль (включено/выключено), который различает только два события в измерительной моде: фотоны летят в направлении APD, где и регистрируются детектором, фотоны отсутствуют в APD моде, и поэтому детектор молчит. При этом количество фотонов, которые находятся в APD моде, не имеет значения для регистрации их APD. Лавинный фотодиод выдает одинаковый отклик как на одиночный фотон, так, например, и на сто фотонов, находящихся в APD моде. Данное обстоятельство существенно снижает возможность реализовать квантовые протоколы оптическими методами. Данное обстоятельство уже ранее отмечалось в работах [25,26,,56,57], где рассматривались различные методы построения квантовых компьютеров. В частности, рассматривались идеализированные фотодетекторы, которые способны различать количество фотонов в измеряемой моде. Но такое рассмотрение является теоретически идеализированным.

В настоящее время существуют детекторы, которые могут отличать только единичный фотон от состояния двух фотонов [81]. Но данные детекторы, разрешающие количество фотонов, работают при низкой температуре и едва ли могут считаться коммерческими в силу их высокой стоимости. К тому же данные детекторы не отличают друг от другу состояния с большим числом фотоном большим чем два. Модель детектора способного разрешать количество фотонов в моде использовалась в работах автора [69,70], что можно признать идеальным модельным рассмотрением. Но уже в работах [71, 72] оптическая схема на рисунках 2.8 и 2.9 рассмотрена уже в реалистическом сценарии, в котором уже воспользуется модель реальных APD. Стоит отметить, что сложная измерительная система на рисунках 2.8 и 2.9 используется для того, чтобы преобразовать фотонное состояние во вспомогательной моде UBS в единичных фотонов , чтобы зарегистрировать их APD. Тогда, APD детектор выступает в качестве проекционного измерения на состояние в такой интерпретации. Данная измерительная система позволяет при определенных условиях заменить идеализированный детектор, способный различать количество фотонов в измерительной моде.

Общая теория пучковых делителей представлена в [120]. Используем следующий оператор пучкового делителя

, (2.3.14)

где , и ( и ) --- бозонные операторы уничтожения и рождения в некоторых и модах. Параметр пучкового делителя определяет как коэффициент пропускания , так и коэффициент отражения . Значение параметра пучкового делителя соответствует случаю BBS . В случае рассмотрения пучкового делителя , коэффициенты пропускания и отражения не равны друг другу . Используя оператор пучкового делителя (2.3.14), можно показать, что имеет место следующее соотношение между входными и выходными операторами [120]

(2.3.15)

Рассмотрим упрощенную модель оптической схемы на рисунке 2.8. Значение параметра пучкового делителя выбирается в упрощенной модели. Данное значение параметра пучкового делителя означает, что UBS с используется, как это уже отмечалось выше. Малое значение параметра позволяет заменить оператор пучкового делителя на оператор

, (2.3.16)

где . Данная замена следует из разложения (2.3.14) по малым значениям параметра .

Выражение в правой части (2.3.16) --- это прямое произведение двух операторов уничтожения и рождения в модах и , соответственно, возведенное в степень. Действие оператора на вакуумное состояние ведет к рождению фотонного состояния во второй моде. Тогда регистрация этого фотонного состояния во второй отраженной моде ведет к генерации соответствующего nPSS в пропускающей моде UBS. Воспользуемся моделью идеального детектора способного различать количество фотонов в моде в упрощенном рассмотрении. После регистрации фотонного состояния во второй моде, получаем аналитические выражения для nPSS состояний с

, (2.3.17)

с волновыми амплитудами

, (2.3.18)

, (2.3.19)

, (2.3.20)

с нормировочным множителем

, (2.3.21)

с

, (2.3.22)

где волновые амплитуды имеют вид

, (2.3.23)

, (2.3.24)

, (2.3.25)

, (2.3.26)

c нормировочным множителем

, (2.3.27)

с

, (2.3.28)

, (2.3.29)

, (2.3.30)

, (2.3.31)

, (2.3.32)

, (2.3.33)

c нормировочным множителем

. (2.3.34)

Общий параметр перемещения nPSS состояний имеет вид

. (2.3.35)

В формулах для волновых амплитуд использовано обозначение для начальной амплитуды сжатых когерентных состояний. При выводе формул (2.3.17-2.3.35) использовались следующие соотношения [66]

(2.3.36)

. (2.3.37)

Состояния (2.3.17, 2.3.22, 2.3.28) --- это 2PSS, 3PSS и 4PSS состояния, которые представляют собой суперпозицию перемещенных фотонных состояний света, включая когерентное состояние. Выберем следующие состояния

, (2.3.38)

(2.3.39)

в качестве выходных базисных состояний (2.3.9, 2.3.10). Выходные базисные элементы ---это перемещенные сжатые когерентные состояния. Здесь стоит отметить, что в общем случае амплитуды перемещения могут быть и не равны друг другу так же как и амплитуды сжатия . Выходные базисные состояния являются асимптотически ортогональными, так как их скалярное произведение

(2.3.40)

быстро стремится к нулю. Соответственно, суперпозиции выходных состояний с равными волновыми амплитудами являются суперпозициями перемещенных сжатых когерентных состояния (СПСКС) и могут быть записаны как

, (2.3.41)

где нижние индексы отвечают за четную и не четную СПСКС по аналогии с СКС (2.2.37), Аббревиатура SDSCS означает superposition of displaced squeezed coherent states. Состояния (2.3.41) включают в себя как четные, так и не четные перемещенные фотонные состояния. Тем не менее, термины четная и не четная СПСКС используются в силу того, что данные состояния происходят от СКС. Состояния (2.3.41) также могут быть рассмотрены как суперпозиции сжатых когерентных состояний (СКСС)

, (.2.3.42)

сдвинутых на некоторое значение в фазовой плоскости. Аббревиатура SSCS означает superposition of squeezed coherent states. Отметим лишь тот факт, что выходные суперпозиции СПСКС, СКСС так же как и СКС ортогональны друг другу

(2.3.43)

при любых значениях . При выводе выражения для скалярного произведения (2.3.43) было использовано унитарное свойство оператора перемещения (2.2.2) и оператора сжатия

, (2.3.44)

где --- оператор эрмитово-сопряженный оператору сжатия (2.3.13) и --- единичный оператор.

Таким образом, преобразование Адамара (2.3.9, 2.3.10) может быть переписано как

, (2.3.45)

. (2.3.46)

Преобразование (2.3.45, 2.3.46) может быть выполнено только с некоторой точностью (2.2.64) при определенных значениях параметров сжатия , и параметров перемещения , . Изменяются только значения начальных амплитуд и базисных nPSS состояний (2.3.11, 2.3.12).



Рисунок 2.10

График зависимости точности от амплитуды СКС состояний для 2PSS (кривая ), 3PSS (кривая ) и 4PSS (кривая ). Значения параметров выбраны таким образом, чтобы обеспечить равенство точностей . Чем больше фотонов извлекается из начального пучка света, тем выше точность, с которой nPSS аппроксимируют выходные состояния гейта Адамара.

Рисунок 2.11

График зависимости амплитуд входных базисных 4PSS состояний (2.3.11, 2.3.12) (кривая ) и (кривая ) от амплитуды суперпозиции когерентных состояний , которые обеспечивают максимально возможную точность (кривая на Рис. 2.10).

График зависимости разности амплитуд входных базисных состояний (2.3.11, 2.3.12) от амплитуды суперпозиции когерентных состояний . Данные значения амплитуд соответствуют кривой на рисунке 2.10.

Точность между nPSS и СПСКС следует из общего определения точности (2.2.64) и может быть переписана как

, (2.3.47)

где --- матрица плотности nPSS состояния

, (2.3.48)

где --- волновая функция (2.3.17, 2.3.22, 2.3.28), амплитуды которой изменяются при изменении начальных амплитуд и базисных состояний и --- матрица плотности SDSCS

. (2.3.49)

Рассмотрим сдвиг ССКС вдоль оси, то есть выберем . Сдвиг СКС состояний с вдоль оси рассматривался в разделе 2.2, где анализировалась возможность аппроксимировать СКС суперпозициями ее первых членов. Была представлена математическая теория, результаты которой представлены на рисунках 2.5-2.7. Следуя результатам данного раздела, выбираем чисто мнимые значения , , где величины , --- это реальные величины, в качестве амплитуд входных базисных состояний (2.3.11, 2.3.12). Расчет точностей (2.3.47) производится с помощью представления СКС (2.2.40, 2.2.41). Приведем пример расчета точностей . Подставляя выражения для СПСКС и 2PSS в формулу для точности (2.3.47) между двумя чистыми состояниями, получим следующую формулу

, (2.3.50)

где и --- это состояние, которое получается в результате действия оператора перемещения с амплитудой на четную и не четную СКС в представлении [69-71]. Выражения для других точностей и (2.3.47) рассчитываются подобным образом и в настоящем разделе не приводятся из-за их сложности.

Значения параметров, которые обеспечивают максимально возможные значения точностей , могут быть найдены численными методами. Соответствующие значения точностей в зависимости от показаны на рисунке 2.10. Значения параметров выбраны таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия . Кривые , и соответствуют значениям , соответственно. Из графика следует, что чем больше фотонов извлекается из начального состояния, тем выше точность генерируемого состояния. Естественно можно предположить, что извлечение большего числа фотонов дает возможность сгенерировать состояния с большей точностью близкой к единице даже для больших значений . Математический подход пригодный для проверки данного факта подобен тому, который использовался для анализа 2PSS, 3PSS и 4PSS состояний. Анализ таких состояний с извлеченными фотонами становится математически сложным. Стоит отметить, что (как будет показано в Главе 3) вероятность наблюдения события с извлеченными фотонами становится незначительной. Численное моделирование показывает, что изменение значения параметра общего сдвига выходных базисных состояний (2.3.38, 2.3.39) ведет к наблюдению других возможных случаев или . Детали такого анализа представлены в работах [69-71]. Значения параметров входных и выходных базисных состояний, которые обеспечивают максимально возможные точности, не показаны в данной главе.

...