Неклассические перемещенные состояния света

, (4.2.1)

в котором нижние индексы операторов , и относятся к сигнальной, холостой и моде накачки, --- коэффициент взаимодействия световых волн с квадратичной нелинейностью и -- постоянная Планка. Считаем, что следующее состояние

(4.2.2)

является начальным к Гамильтониану (4.2.1). В работах [188-192] было показано в Шредингеровском представлении, что выходное состояние имеет вид

, (4.2.3)

где волновые функции в накачивающей моде определяются следующими бесконечными суперпозициями фотонных состояний

, (4.2.4)

В выражении для волновых функций (4.2.4) присутствуют величины ( и ), которые удовлетворяют набору из линейных дифференциальных уравнений

, (4.2.5)

где введены следующие обозначения: параметр , --- длина кристалла , () - нормировочное время, --- скорость света в вакууме и значение безразмерного времени соответствует времени выхода света из кристалла. Здесь стоит упомянуть о используемых обозначениях в выражениях (4.2.2-4.2.5). Так верхний индекс в волновых функциях и амплитудах означает, что выходное состояние (4,2.3) было сгенерировано в случае использовании входных вакуумных состояний в сигнальной и холостой модах. Имеет место наложение следующих начальных условий для амплитуд

. (4.2.6)

Помимо начальных условий амплитуды подчиняются условию нормировки

(4.2.7)

Условие нормировки (4.2.7) непосредственно следует из набора дифференциальных уравнений (4.2.5).

Рассмотрим более подробно вид выходного состояния (4.2.3). Выходное состояние является бесконечной суперпозицией тензорных произведений фотонных состояний с некоторым состоянием в накачивающей моде. Данное тензорное произведение входит в состав суперпозиции с волновой амплитудой . Данное состояние напоминает состояние двух-модового сжатого вакуума (3.1.52), которое генерируется посредством действия двух-модового оператора сжатия (2.3.13) на вакуумное состояние. Известное состояние двух-модового сжатого вакуума является также бесконечной суперпозицией тензорного произведения фотонных состояний в коррелированных модах с соответствующими волновыми амплитудами . Как видно из вида данных волновых амплитуд, они не равны друг другу. Тем не менее, в предельном случае данные волновые амплитуды могут быть аппроксимированы как . Принимая , получим из формулы (3.1.52) выражение схожее с (4.2.3), за исключением коррелированного состояния в накачивающей моде. Но в модели с оператором (2.3.13) пренебрегается влиянием истощения волны накачки. Поэтому состояние (3.1.52) --- это коррелированное состояние двух мод. Трех-модовая модель с Гамильтонианом (4.2.1) учитывает истощение волны накачки, что ведет к генерации нового состояния в накачивающей моде.

Вид состояния в накачивающей моде полностью определяется коэффициентами , которые являются решением дифференциальных уравнений (4.2.5). В работах [188-192] было показано, что решение данных уравнений является едва ли возможным. Но есть возможность получить аналитический вид коэффициентов посредством их разложения в асимптотический ряд по параметру . Тогда, можно показать, что имеет место следующее разложение первых двух членов коэффициентов , где меняется от до

, (4.2.8)

, (4.2.9)

. (4.2.10)

Возможно и дальнейшее разложение коэффициентов по параметру , что было продемонстрировано в работах [188-192]. Подстановка коэффициентов (4.2.8-4.2.10) в волновые функции (4.2.4) дает возможность получить выражения для нескольких первых со значением от до

, (4.2.11)

, (4.2.12)

, (4.2.13)

где нормированное состояние определяется как

. (4.2.14)

Из выражений (4.2.8-4.2.13) следует, что вид волновой функции в накачивающей моде сильно зависит от соотношения параметров и . В случае возможно пренебречь вкладом состояния в состояниях (4.2.11-4.2.13). Тогда на выходе из кристалла генерируется состояние

. (4.2.15)

Выражение (4.2.15) является выходным в теории СПР, где вероятность сгенерировать би-фотон определяется квадратом модуля . Можно сказать даже более, что выходное состояние может быть аппроксимировано суперпозицией [164, 168] в приближении

(4.2.16)

Именно предсказание данного состояния [168] и последующее его экспериментальное подтверждение [169] послужило толчком для реализации различных оптических экспериментов, которые положены в основу квантовой информатики [23, 24]. Состояние (4.2.15) является не нормированным в силу используемого приближения в отличии от состояния двух-модового сжатого вакуума (3.1.52).

Данный подход применим к другим входным состояниям. Рассмотрим тот же самый Гамильтониан (4.2.1) с уже другим входным состоянием

. (4.2.17)

Тогда можно показать, что входное состояние (4.2.17) на выходе из кристалла с квадратичной нелинейностью преобразуется в следующее выходное состояние

, (4.2.18)

где частные волновые функции могут быть записаны как

, (4.2.19)

с амплитудами , которые удовлетворяют следующему набору линейных дифференциальных уравнений

. (4.2.20)

Можно показать, что выходное состояние может быть представлено в следующем виде

, (4.2.21)

где волновые функции в накачивающей моде имеют вид

, (4.2.22)

где ( и ) --- выходные амплитуды и верхний индекс в обозначениях означает, что входное состояние (4.2.17) было использовано в качестве начального. Форма волновых функций определяется коэффициентами , которые сложным образом зависят от . В силу симметрии можно записать окончательный вид трех-модового состояния на выходе из кристалла с квадратичной нелинейностью как

(4.2.23)

при наличии начального состояния

, (4.2.24)

где волновые функции удовлетворяют тому же самому набору линейных дифференциальных уравнений (4.2.20).

Использование трех-модовой модели взаимодействия позволяет расширить анализ генерации коррелированного света в квадратичных средах и принять во внимание состояние света в накачивающей моде. Очевидно, что применение модели двух-модового сжатого вакуума имеет ограниченное применение и такая модель может быть использована скорее всего в диапазоне значений от до параметра сжатия . Как уже было отмечено выше, все состояния в накачивающей моде можно аппроксимировать когерентными состояниями не зависимо от значения параметра , пренебрегая вкладом последующих членов в разложении (4.2.11-4.2.13), в случае небольших значений параметра сжатия . В точной модели такая аппроксимация едва ли возможна в случае больших значений параметра сжатия . Можно сказать даже более. В модели с большим значением параметра сжатия состояние в накачивающей моде может играть роль эффекта декогерентности для состояний в сигнальной и холостой модах. Тогда корреляционные свойства сигнальной и холостой волн уменьшаются. В настоящем разделе не приводятся количественные оценки (только качественно объяснение) данного влияния в силу математических сложностей. Окончательный вид волновых функций и общие корреляционные состояния трех-модового запутанного состояния в настоящее время остаются открытой проблемой. Интерес к форме состояний может быть отчасти вызван хотя бы сравнением данного квадратичного процесса с процессом формирования новых состояний в кубичных средах. Как уже отмечалось в разделе 2.3, взаимодействие когерентного состояния с кубичной нелинейностью ведет к генерации СКС в идеальном случае (2.3.4, 2.3.5). Но как известно, абсолютное значение квадратичной нелинейности горазд выше значения кубичной нелинейности [60, 163, 164], что может гарантировать более удобные экспериментальные условия для генерации данных состояний. Как известно большинство оптических экспериментов по квантовой информатике было проведено с состояниями, которые генерируются на выходе из нелинейности. Более того состояние (4.2.3) может быть рассмотрено как в некотором роде гибридное коррелированное состояние. Микроскопические состояния света находятся в сигнальной и холостой модах, а макроскопическое состояние занимает моду накачки. Под степенью макроскопичности возможно принять тот факт, что волна накачки видна не вооруженным глазом.

Несмотря на тот факт, что общая теория трех-модового взаимодействия световых волн в среде с квадратичной нелинейностью является открытой темой, имеет смысл применить частные решения (4.2.11-4.2.13) к протоколам квантовой информатики. Так возможно использовать состояние (4.2.3) для обусловленной генерации макроскопического кубита в накачивающей моде. Действительно, достаточно зарегистрировать совместный клик в сигнальной и холостой модах, чтобы гарантированно сгенерировать состояние (4.2.12) в накачивающей моде в случае . В данном случае влияние коррелированных состояний высшего порядка будет не значительным. Соответственно точность генерируемого кубита будет выше, поскольку для его генерации требуется регистрация двух коррелированных фотонов в отличии от обусловленной генерации единичного фотона [123-125], когда регистрируется только один фотон. Другие применения трех-модовых состояний (4.2.3) обсуждаются ниже.

Обусловленная генерация четырех-модового максимально запутанного состояния с помощью регистрации фотона накачки

Рассмотрим одно из практических применений модели взаимодействия трех-модового света в среде с квадратичной нелинейностью. Обсудим возможность сгенерировать максимально-запутанное состояние между двумя фотонами [193], которые одновременно занимают четыре моды. Соответствующая оптическая схема представлена на рисунке 4.1. Оптическая схема состоит из нелинейного интерферометра Маха-Цендера, в плечах которого установлены два кристалла с квадратичной восприимчивостью. На входе и на выходе интерферометра расположены два равновесных пучковых делителя (2.3.15). Входной пучковый делитель расщепляет входное когерентное состояние с амплитудой на два когерентных состояния с уже отличающимися от начально амплитудами перемещения . Каждое из когерентных состояний взаимодействует с кристаллом с квадратичной нелинейностью в каждом из плеч интерферометра. Гамильтониан взаимодействия двух накачивающих волн накачки с кристаллами имеет следующий вид

, (4.3.1)

где моды с нижними индексами и относятся к модам, которые генерируются накачкой в моде , а в модах с индексами и содержатся сгенерированные фотоны, которые генерируются накачкой в моде . Используется механизм фазового синхронизма II рода (4.1.3) и предполагается, что коэффициенты взаимодействия обоих кристаллов одинаковы. Система связанных параметрических преобразователей исследовалась в [188-192], в которых, в частности, рассматривались вопросы генерации максимально запутанных четырех модовых состояний света.

Схематическое изображение оптической схемы, которая используется для обусловленной генерации четырех-модового максимально запутанного состояния света посредством извлечения одного фотона из волны накачки. Используется нелинейный интерферометр Маха Цендера, в модах которого расположены квадратичные кристаллы. Конструктивная интерференция волн накачки на выходном пусковом делителе ведет к генерации максимально запутанного состояния в модах , , и при условии, что детектор регистрирует единственный клик. Единичная точность выходного состояния обеспечивается широким выбором значений параметров установки.

Базируясь на работах [188-192] можно показать, что выходное состояние системы связанных параметрических преобразователей имеет вид

, (4.3.2)

где состояния даны выражениями (4.2.11-4.2.13). Выходной равновесный пучковый делитель на рисунке 4.1 смешивает между собой волны накачки в модах и , соответственно. Благодаря смешению в сгенерированных модах происходит конструктивная интерференция состояний и

(4.3.3)

при условии, что детектор на рисунке 4.1 регистрирует клик. Стоит отметить, что смешение состояний на равновесном пучковом делителе ведет к генерации вакуумного состояния в моде, в которой находится детектор , что не вызывает никакого отклика данного детектора. Вклад состояний с нижним индексом в выходное состояние регулируется подбором параметров параметрических преобразователей и амплитудой накачки. В работе [193] было показано, что существует широкий диапазон значений данных параметров, которые обеспечивают почти идеальную единичную точность генерируемого состояния (4.3.3). Таким образом показана возможность обусловленной генерации четырх-фотонного запутанного состояния света на выходе из нелинейного интерферометра Маха-Цендера посредством регистрации одного клика в накачивающей моде. Отметим только, что данная оптическая схема работает с стандартными APD в отличии от схемы, предложенной в [194]. Единичная точность обеспечивается выбором значений параметров кристаллов и значением амплитуды накачки.

Обзор работ по генерации макроскопических максимально запутанных состояний

Рассмотрим другие возможные приложения трех-модового запутанного излучения (4.2.3).В работе [195] был предложен метод генерации KLM состояний [26]. Данные фотонные состояния, в которых запутанных фотонов одновременно занимают мод (модовые состояния) были предложены для реализации протоколов квантовой информатики, в частности, протокола квантовой телепортации с целью увеличения вероятности успеха. Несмотря на то, что использование KLM состояний позволяет добиться почти детерменистического выполнения протоколов квантовой информатики, реализация таких протоколов является технологически трудной задачей, поскольку требует использования KLM состояний с большим значением . Тем не менее, генерация KLM состояния с не большим значением могут представлять интерес с целью улучшить характеристики квантовых протоколов. Метод связанных параметрических преобразователей был использован в [195] для генерации KLM состояния с .

Метод генерации макроскопических запутанных состояний с помощью запутанных макроскопических состояний рассмотрен в [196]. Для достижения максимальной запутанности была предложена оптическая схема с многократным прохождением волны накачки через кристалл в работах [197, 198]. Свойства макроскопических запутанных состояний были изучены в [199, 200]. В работе [201] был рассмотрен вопрос реализации квантовой телепортации макроскопического кубита.

1. Представлена теория трех-модового взаимодействия световых волн в кристалле с квадратичной нелинейностью. Анализ модели проведен с учетом истощения волны накачки в процессе распространения вдоль кристалла. Показано, что на выходе из кристалла генерируется бесконечная суперпозиция коррелированных микроскопических (фотонные состояния) и макроскопических состояний. Приведены математические выражения макроскопических состояний в накачивающей моде. Предложен метод получения выражений для макроскопических состояний посредством решения системы линейных дифференциальных уравнений. Предложен метод решения данных уравнений посредством разложения решений в асимптотический ряд по малому параметру. Показано как перейти от точной трех-модовой модели взаимодействия к двух-модовому состоянию сжатого вакуума. Качественно показано, что модель двух-модового сжатого вакуума едва ли становится приемлемой в случае увеличения значения параметра сжатия, так как декогерентное влияние состояний в накачивающей моде становится значительным

2. Предложен новый оптический способ обусловленной генерации максимально запутанного модового состояния двух частиц, которые одновременно находятся в четырех модах. Движущей силой данного механизма является корреляция фотонных состояний с состоянием волны накачки. Показано, что регистрация единичного фотона в накачивающей моде позволяет провести конструктивную интерференцию для генерируемых фотонов в сигнальных и холостых модаах нелинейного интерферометра Маха-Цендера. Показано, что точность запутанного четырех-модового состояния почти равна единице в широком диапазоне экспериментальных параметров.

3. Рассмотрено выполнение некоторых протоколов, которые связаны с корреляционными свойствами трех-модового запутанного излучения, генерируемого на выходе из кристалла с квадратичной нелинейностью. Рассмотрены возможности реализации KLM состояний, генерации запутанных макроскопических состояний. Рассмотрены свойства данных состояний и возможность квантовой телепортации макроскопических состояний света.

Глава 5. Протокол плотного кодирования с перемещенными квантовыми кубитами

Плотное кодирование информации. Обзор литературы

В Главе 1 отмечалось, что использование методов квантовой механики позволяет реализовать или улучшить такие протоколы, которые не могут быть выполнены с помощью классических технологий [65]. В Главе 1 было дано краткое описание наиболее известных квантовых протоколов. Рассмотрим более подробно два известных квантовых протокола близких по своей природе, а именно, протокол квантовой телепортации [8] и протокол плотного кодирования [15]. Не случайно, что оба данных протокола были предложены приблизительно в одно и тоже время. Идея протоколов квантовой телепортации и плотного кодирования тесно связана с именем сотрудника IBM Чарльзом Беннетом (C Bennett). В настоящее время считается, что он является одним из самых известных со-авторов первых работ по квантовой информатике и одним из основателей данного научного направления.

В основе данных квантовых протоколов лежит идея квантовых запутанных состояний из двух частиц, каждая из которых рассматривается в двух-мерном Гильбертовом пространстве. Всего существует 4 таких максимально запутанных не зависимых состояний, известных еще как Бэлловские состояния [65]

, (5.1.1)

, (5.1.2)

, (5.1.3)

. (5.1.4)

Бэлловские состояния упоминались в разделе 1.6 (1.6.5-1.6.5), где кратко говорилось о квантовых протоколах с качественной точки зрения. Соответственно, в настоящем разделе используются немного отличные обозначения. В настоящем разделе речь идет о Бэлловских состояниях в общем виде без привязки к какой-либо физической среде. В протоколах квантовой телепортации и плотного кодирования одно из четырех Бэлловских состояний используется в качестве квантового канала связи. Для данной цели две частицы одного и того же максимально запутанного состояния распределяются между получателем и отправителем. Как правило в качестве отправителя выступает Алиса, а получателем является Боб.

Предположим, что Алиса хочет переправить Бобу информацию о своей частице, которая находится в не известном состоянии

, (5.1.5)

где и --- комплексные амплитуды, удовлетворяющие условию . В общем случае Алиса может напрямую переслать свою частицу Бобу, но допустим, что прямая пересылка не возможна. Согласно рисунку 1.4, чистое состояние кубита (5.1.5) определяется двумя параметрами на сфере Блоха. Алиса ничего не знает про свой кубит поэтому не может переслать Бобу соответствующую информацию. Алиса может выполнить измерение своего кубита в компьютерном базисе. Единственное, что она получит в результате измерения либо состояние с вероятностью , либо состояние с вероятностью . Естественно, что она не может выполнить еще одно измерение на своем кубите, чтобы попытаться получить больше информации о своем кубите, так как это противоречит теореме о невозможности клонирования кубитов (no cloning theorem) [35]. Чтобы выполнить свою задачу, Алиса должна обратиться к протоколу квантовой телепортации.

Предположим, что ранее Алиса и Боб смогли установить между собой квантовый канал связи (5.1.2), где частица в моде принадлежит Алисе, в то время как Боб имеет в своем распоряжении частицу в моде . Общее состояние, которое принадлежит одновременно Алису и Бобу, является тензорным произведение двух состояний

. (5.1.6)

Состояние (5.1.6) является разделенным (не запутанным). Можно показать, что состояние (5.1.6) может быть преобразовано в суперпозицию четырех максимально запутанных состояний (5.1.1-5.1.4)

. (5.1.7)

Преобразованное состояние является также разделенным, что уже не является очевидным фактом. Тем не менее преобразованная форма (5.1.7) позволяет понять суть протокола квантовой телепортации. Из выражения (5.1.7) видно, что Алиса имеет дело в своем распоряжении с максимально запутанными состояниям (5.1.1-5.1.4). Если Алиса способна провести полный набор Белловсикх измерений, то тогда Боб получает в свое распоряжение с одинаковой вероятностью одно из четырех состояний

, (5.1.8)

, (5.1.9)

, (5.1.10)

. (5.1.11)

Соотношения (5.1.8-5.1.11) означают, что Боб получает в свое распоряжение не одно из четырех чистых состояний, а ансамбль этих состояний, который описывается матрицей плотности

. (5.1.12)

Раскрывая скобки и приводя подобные члены в (5.1.12), можно показать, что состояние (5.1.12) преобразуется в

, (5.1.13)

где --- единичный оператор. Выражение (5.1.13) означает, что Боб получает в свое распоряжение частицу в состоянии с максимальной неопределенностью, то есть частицу, которая не несет никакую информацию о начальном состоянии (5.1.5).

Для успешной реализации протокола квантовой телепортации Алиса должна снабдить Боба дополнительной информацией, а именно классической информацией в два бита. Рассмотрим как Алиса может получить два бита классической информации при выполнении полного набора Бэлловских измерений. Для реализации Бэлловских измерений Алиса должна иметь в своем распоряжении одно-кубитовое преобразование (преобразование Адамара) и двух-кубитовый controlled-NOT гейт, о котором уже говорилось в разделе 2.1. Два кубита используются в controlled-NOT гейте. Один из кубитов является управляющим или контролирующим (controlled qubit), а другой контролируемым (target gate). Состояние управляющего кубита не меняется. Выходное состояние контролируемого кубита зависит от состояния управляющего кубита. Базисное состояние контролируемого кубита меняется на противоположное при условии, что состояние контролируемого кубита было . Базисное состояние контролируемого кубита не меняется при условии, что состояние контролируемого кубита было .

Последовательное применение controlled-NOT гейта и преобразования Адамара позволяет Алисе получить 4 возможных варианта двух-битовой информации как

, (5.1.14)

, (5.1.15)

, (5.1.16)

, (5.1.17)

где символ используется для обозначения controlled-NOT гейта. После выполнения Белловского измерения на своих двух частицах и получения одного из возможных наборов двух-битовой информации Алиса пересылает свой результат Бобу по разрешенному классическому каналу связи. Боб, получив два бита классической информации, знает какой тип преобразования, он должен применить к своей частицей, чтобы окончательно преобразовать ее в исходное Алисино состояние (5.1.5). В частности, Боб не предпринимает никаких действий в случае получения следующей двух-битовой информации (5.1.14) (общий фазовый сдвиг на не влияет на состояние частицы). Боб должен применить фазовый сдвиг на к своей частице в случае получения двух-битовой информации (5.1.15). Другой случай имеет место в случае, если Алиса отправит Бобу двух-битовую информацию (5.1.16). В данном случае Боб должен воспользоваться унитарным перестановочным преобразованием, которое заменяет исходные базисные состояния на противоположные . И наконец, четвертый возможный случай связан с получением Бобом двух-битовой информации (5.1.17). В данном случае Боб должен применить к своей частице последовательность двух операций: перестановочную и сдвиговую, чтобы восстановить исходное состояние Алисы (5.1.5).

На данном этапе протокол квантовой телепортации успешно завершается. Вероятность успеха телепортировать не известное квантовое состояние (5.1.5) равна . Именно необходимость отправить Бобу два бита классической информации показывает, что скорость передачи состояния по протоколу квантовой телепортации по крайней мере не превышает скорости света. Хотя в протоколе квантовой телепортации имеет место мгновенное изменение состояния, находящегося на значительном расстоянии от измеряемого кубита, в процессе измерения и получения определенного результата измерения (spooky action [2]), сам протокол выполняется с ограниченной скоростью. Отметим только, что параметры кубита и остаются не известными кому-либо как в процессе телепортации, так и после завершения протокола. Алиса не получает никакой информации о телепортируемом кубите в процессе выполнения протокола. В процессе выполнения Белловского измерения Алисина частица (частица в моде ) теряет начальную информацию (5.1.5), так как она находится в состоянии запутанности с частицей в моде (5.1.7), которое измеряется. Поэтому состояние (5.1.5) разрушается в распоряжении Алисы. Взамен некоторое состояние (5.1.8-5.1.11) появляется в руках Боба. Поэтому в процессе выполнения протокола квантовой телепортации не происходит нарушения фундаментальной теоремы квантовой механики о невозможности клонирования кубитов (no cloning theorem) [35].

В основу протокола плотного кодирования также положены идеи Белловских состояний и полного набора Белловских измерений. По данной причине протокол квантовой телепортации и плотного кодирования можно назвать “родственными” друг другу. Но на этом сходство данных протоколов заканчивается. Протокол плотного кодирования работает по другому сценарию. В частности, не известное состояние (5.1.5), которое нужно телепортировать, уже не используется. В протоколе плотного кодирования выбирается одно из Белловских состояний (5.1.1-5.1.4) в качестве квантового канала связи. Допустим, что выбрано состояние (5.1.4). Одна частица данного состояния находится в распоряжении Алисы, а другая в руках Боба. Алиса манипулирует своей частицей, чтобы преобразовать исходный квантовый канал (5.1.4) в три других возможных состояния (5.1.1-5.1.3). Действительно, Алиса способна преобразовать состояние (5.1.4) в три других состояния исключительно локальными унитарными преобразованиями. Как и в случае протокола квантовой телепортации фазовый сдвиг на и перестановочное преобразование используются Алисой. Так Алиса может ничего не делать со своей частицей. И тогда состояние двух частиц (5.1.4), распределенных между Алисой и Бобом, останется неизменным. Алиса может применить оператор фазового сдвига на к состоянию (5.1.4), чтобы преобразовать общий квантовый канал в состояние (5.1.3)

, (5.1.18)

где --- оператор фазового сдвига на . Алиса может закодировать свою информацию посредством оператора перестановки, что ведет к следующему преобразованию

, (5.1.19)

где --- оператор перестановки . Общий знак в (5.1.19) не влияет на окончательные выводы. Последний случай имеет место в случае последовательного применения Алисой операторов фазового сдвига на и оператора перестановки к частице, находящейся в ее распоряжении,

. (5.1.20)

Таким образом, Алиса способна преобразовать исходное состояние (5.1.4) в три других состояния (5.1.1-5.1.3) посредством ее локальных унитарных преобразований. После локальных манипуляций со своей частицей Алиса пересылает ее Бобу, который проводит уже полный набор Белловских измерений уже на двух частицах, что отражено формулами (5.1.14-5.1.17). Алиса посылает Бобу всего лишь одну частицу, но Боб уже получает бита информации. В случае отсутствия изначально распределенного квантового канала между Алисой и Бобом одна частица несет с собою только один (не два) бит информации. По этой причине протокол обмена информацией с использованием максимально запутанных состояний и Белловсикх измерений данных состояний назван протоколом плотного кодирования. Одна частица переносит два бита классической информации. Различие между двумя протоколами очевидно. Алиса пересылает Бобу два бита классической информации по классическому (вполне возможно защищенному) каналу связи в протоколе квантовой телепортации. В протоколе плотного кодирования Алиса пересылает Бобу одну частицу, которая может быть испытать не желательное взаимодействие с внешней средой и потерять часть информации. Алиса выполняет полный набор Белловких измерений в протоколе квантовой телепортации. В тоже время в протоколе плотного кодирования Боб (получатель) выполняет Белловское измерение на своей частице и частице, присланной Алисой.

Протоколы квантовой телепортации и плотного кодирования являются фундаментальными и являются неотъемлемой частью квантовой механики. Данные протоколы в принципе не осуществимы на классических объектах, так как в классической физике не существует такого понятия как запутанность (максимально запутанное состояние). Поэтому практическая реализация данных протоколов является важной задачей не только с практической точки зрения, но и с фундаментальной точки зрения для подтверждения корректности использования правил и понятий квантовой механики. К тому же протокол плотного кодирования может представлять интерес для большей передачи данных с наименьшим количеством носителей.

С точки зрения абстрактного рассмотрения кубитов и запутанных состояний без привязки к какой-либо физической системе выполнение протоколов квантовой телепортации и плотного кодирования не вызывает сомнений. Естественно задать вопрос какая физическая система может быть лучше приспособлена для реализации данных протоколов квантовой информации на практике. Отчасти обсуждение данных вопросов представлено в Главе 1. Как уже отмечалось, оптические квантовые протоколы являются перспективными с точки зрения реализации их на практике, так как оптические состояния могут хорошо сопротивляться влиянию декогерентности. Но в работе [202] было показано, что только частичный набор Белловских измерений, которые могли бы различать четыре запутанных фотонных состояния, может быть реализован методами линейной оптики. Авторы работы [202] рассматривали максимально запутанные состояния вида (4.1.4), в которых запутанность происходит между взаимными поляризациями двух фотонов. Было показано, что унитарные операции, связанные с линейными оптическими элементами, могут отличить друг от друга только два состояния. Измерительный результат других двух состояний не отличим друг от друга. Невозможность реализации полного набора Белловских измерений на запутанных фотонных состояниях ведет к уменьшению вероятности успешно осуществить тот или иной квантовый протокол методами линейной оптики.

Так, например, эксперимент показал, что успешная квантовая телепортация не известного поляризационно-фотонного кубита возможна в случаев [9], в то время как в оставшихся случаях (тоже в случаев) начальное состояние просто разрушалось, но квантовая телепортация не известного состояния не происходила в силу невозможности отличить друг от друга результаты измерения. Та же самая причина лежит в основе того, что протокол плотного кодирования позволяет получить бита на один переданный фотон вместо битов на один фотон в теоретическом идеальном случае [203]. Стоит только отметить, что невозможность выполнения полного набора Белловских измерений запутанных фотонных состояний методами линейно оптики является препятствием, которое ведет к уменьшению вероятности успеха различных возможных блоков квантовых компьютеров [204-206]. По данной причине данные квантовые гейты являются вероятностными. Вероятность успеха таких гейтов, как правило, равна . Отметим, что в работе [207] была предложена и экспериментально реализована идея полного Белловского измерения запутанных фотонных состояний с помощью кристаллов с квадратичной нелинейностью . В результате успешной реализации полного набора Белловских измерений удалось телепортировать фотонный кубит с единичной вероятностью успеха. Но в данной работе имеются свои трудности. Другое направление развития протоколов телепортации --- это телепортация когерентного кубита (раздел 1.5) с помощью одного из состояний (1.6.7, 1.6.8), выбранного в качестве квантового канала. В разделе 1.6 сжато говорилось о телепортации квантового кубита [53-55]. Основная трудность в выполнении такого протокола заключается в сложности реализации преобразования Адамара. В идеальном теоретическом рассмотрении кубичная среда может быть использована для осуществления данного элементарного гейта. В настоящее время практическая реализация преобразования Адамара для когерентного кубита в среде с кубичной нелинейностью невозможна из-за влияния эффекта декогерентности на распространяющийся кубит. Главы 2 и 3 были посвящены вопросам реализации преобразования Адамара для изначально Гауссовых состояний света методами линейной оптики без привлечения нелинейного взаимодействия. Квантовая телепортация непрерывных квантовых величин таких как координата и момент частицы сперва была предложена в [208]. Реалистическая модель для выполнения квантовой телепортации квадратурных компонент с помощью двух-модового сжатого вакуума (3.1.52) с ограниченным значением степени сжатия была предложена в [209]. На основе данного теоретического предложения была выполнения телепортация произвольного когерентного состояния с точностью [5.9]. Протокол плотного кодирования позволяет увеличить емкость коммуникационного канала [211]. Протокол плотного кодирования с непрерывными величинами (квадратурными компонентами) была рассмотрена в [212, 213].

В настоящей главе рассматривается протокол плотного кодирования, основанный на использовании перемещенных фотонных состояний. Дополнительная степень свободы, а именно амплитуда перемещенных состояний, позволяет реализовать протокол плотного кодирования в новой интерпретации отличной от первоначального предложения [15]. Стоит отметить, что данная интерпретация протокола плотного кодирования основана именно на физических свойствах оптических состояний. Как и в известном протоколе плотного кодирования используется квантовый канал связи между Алисой и Бобом. Суперпозиция вакуума и единичного фотона в двух модах, каждая из которых сдвинута на отличную друг от друга величину, принимается за квантовый канал, распределенный между Алисой и Бобом. Данный канал представлял бы из себя единичный фотон, который занимает одновременно две моды, в случае нулевых значений амплитуды перемещения. Такой единичный фотон, занимающий одновременно две моды

(5.1.21)

представляет пример запутанности, создаваемой одним фотоном (одно-фотонная запутанность). Если на состояние (5.1.21) дополнительно накладываются отличные амплитуды перемещения, то можно говорить, что запутанность создается именно между базисными элементами (вакуум и единичный фотон) из различных наборов фотонных состояний (2.2.5, 2.2.6) с отличными амплитудами перемещения. Это напоминает состояние (3.4.5), в котором запутанность создается между поляризациями двух фотонов. Алиса модулирует только фазовые соотношения на своем перемещенном кубите. Алиса также пересылает свою частицу Бобу, который декодирует ее с помощью частицы, находящейся в его распоряжении. Но Алисина частица представляет из себя перемещенное состояние, а именно, или когерентное состояние (1.4.1) или перемещенный единичный фотон (2.2.24, 2.2.28, 2.2.29). Боб способен раскодировать все 5 сообщений с использованием только оптических линейных элементов. В рассматриваемом протоколе носитель информации --- это не элементарная частица (фотон), а перемещенная частица, которая включает в себя многофотонные состояния как и в случае передачи информации по классическому каналу связи. В “классическом” протоколе плотного кодирования [15] одна частица (предполагается, что это фотон [203]) переносит два бита информации. В рассматриваемом протоколе носителем информации является “частица”, которая представляет собой суперпозицию фотонных состояний чья энергия (раздел 2.2) больше энергии единичного фотона. Данная глава базируется на двух работах [214, 215]. В работе [214] данный протокол был изначально рассмотрен. Скорость передачи информации в терминах количество битов на один пересылаемый фотон была рассчитана. В работе [215] была предложена усовершенствованная версия протокола плотного кодирования с перемещенными состояниями. Соответствующий анализ приведен в терминах передачи информации на одну перемещенную “частицу”.

Реализация протокола плотного кодирования с перемещенными фотонными состояниями

Рисунок 1 показывает возможную реализацию протокола плотного кодирования с перемещенными фотонными состояниями света и представляет собой усложненную версию интерферометра Мах-Цендера. Данная оптическая схема состоит из входного пучкового делителя с двумя нелинейными кристаллами в каждом плече интерферометра. Свет от классического источника когерентных состояний с равными амплитудами используется в качестве накачки для двух нелинейных кристаллов. Генерация квантового канала, который используется в данном протоколе плотного кодирования, происходит в результате регистрации детектором единичного фотона при условии, что другой детектор ничего не регистрирует (молчит).

Сжато рассмотрим оптическую схему, используемую для генерации квантового канала для протокола квантового кодирования с перемещенными состояниями. Подобная схема рассматривались в Главе 4 с учетом истощения волны накачки. Предполагается, что волна накачки незначительно влияет на выходные состояния сигнальной и холостой мод. Данное обстоятельство существенно упрощает рассмотрение, так как позволяет прямо использовать приближение не истощаемой волны накачки. Два нелинейных кристалла с нелинейностью расположены в двух плечах интерферометра на Рис. 5.1. Вспомогательные когерентные состояния используются для реализации квантового канала в протоколе плотного кодирования с перемещенными состояниями света. Амплитуды когерентных состояний равны друг другу по модулю, но сдвинуты относительно друг от друга на . Динамическое описание системы связанных параметрических преобразователей включает в себя четыре моды с соответствующими операторами , , и . Гамильтониан для такой системы имеет следующий вид

. (5.2.1)

Коэффициент в уравнении (5.2.1) связан с тензором нелинейности второго порядка и включает в себя также амплитуду классической накачки. Предполагается, что связующие константы для обоих параметрических преобразователей (усилителей) равны друг другу .

Схематическое изображение протокола плотного кодирования с использованием перемещенных фотонных состояний. Некто готовит перемещенные состояния с помощью системы связанных параметрических преобразователей и посылает один перемещенный кубит Алисе, а другой Бобу. Алиса кодирует свой кубит и пересылает его Бобу, который декодирует его и получает доступ к битовому значению. Иногда Боб получает безрезультатный результат, который отбрасывается.

Входная волновая функция к Гамильтониану (5.2.1) имеет следующий вид . Рассмотрим случай не большого значения коэффициента параметрического усиления , где и -- время взаимодействия излучения со средой. В данном приближении выходная волновая функция преобразуется как

(5.2.2где ---

перемещенный единичный фотон (2.2.24, 2.2.28, 2.2.29), а --когерентное состояние с добавленным фотоном [107-109], которое подробно рассматривалось в Главе 4. Пучковые делитель на рисунке 5.1 используется, чтобы смешать две моды и . Входные/выходные соотношения в пучковом делителе могут быть описаны с помощью аппарата алгебр Ли [120]. Согласно математическому аппарату алгебр Ли, математически пучковый делитель может быть представлен выражением (2.3.15).

После того как моды и смешиваются на пучковом делителе, состояние (5.2.2) может быть переписано как

. (5.2.3)

Таким образом, генерируется следующее состояние

(5.2.4)

в случае, когда единичный фотон регистрируется детектором (мода на Рис. 5.1), благодаря деструктивной интерференции. При этом детектор в моде должен промолчать. Если одиночный фотон регистрируется детектором (мода на Рис. 5.1) при условии, что детектор молчит, то тогда генерируется состояние, которое отбрасывается и в дальнейшем не используется.

Предположим, что кто-то подготовил состояние (5.2.4) и послал один перемещенный кубит Алисе, а другой Бобу. Предположим, что перемещенный кубит в моде направляется Алисе, в то время как перемещенный кубит в моде пересылается Бобу. Цель Алисы --- послать максимальное количество информации Бобу, манипулируя только ее “частицей” (перемещенным кубитом). Боб должен только уметь различать все те состояния, которые посылает ему Алиса. Самая естественная манипуляция, которую может произвести Алиса над своим перемещенным кубитом, это фазовые преобразования, которые позволяют менять фазу амплитуды . В разделе 5.1 уже обсуждался оператор фазового сдвига на (5.1.18). Применение фазового сдвига к ее перемещенному кубиту позволяет Алисе преобразовать запутанное состояние (5.2.4) в другое запутанное состояние

. (5.2.5)

где общий знак не влияет на окончательный результат. Можно показать, что состояния (5.2.4, 5.2.5 ) асимптотически ортогональны друг другу, что означает, что выполняется условие в случае . Применение фазового сдвига дает возможность перейти от одного запутанного состояния (5.2.4), в котором запутанность происходит между базовыми элементами (вакуум и единичный фотон) двух-мерного Гильбертова пространства с амплитудами перемещения и , к другому запутанному состоянию (5.2.5), в котором запутанность имеет место между теми же базовыми элементами, но уже с амплитудами и , соответственно.

Другой тип фазовых преобразований не затрагивает амплитуду Алисиного кубита. Данное преобразование основывается на использовании смешения Алисиного кубита с вспомогательным когерентным состоянием с некоторой амплитудой на пучковом делителе, который в общем виде описывается следующей унитарной матрицей [215]

, (5.2.6)

где и --- амплитуды пропускания и отражения пучкового делителя, удовлетворяющие условию . Перемещенный кубит, который принадлежит Алисе (мода 1), смешивается с когерентным состоянием (мода 1') с амплитудой на пучковом делителе (5.2.6), что дает на выходе следующее состояние

(5.2.7)

при условии, что амплитуда вспомогательного когерентного состояния равна . Тогда состояние, которое находится в совместном пользовании Алисы и Боба, будет описыватьcz уже матрицей плотности, которая имеет следующий вид

, (5.2.8)

где

, (5.2.9)

при условии что . Состояние (5.2.8) получено посредством взятия частичного следа состояния (5.2.7) по состояниям в моде . Из выражения (5.2.9) следует, что условие (данное условие ведет также к увеличению амплитуды вспомогательного состояния) гарантирует реализацию следующего квантового канала между Алисой и Бобом

. (5.2.10)

Можно сказать, что состояние (5.2.8) аппроксимирует идеальное состояние (5.2.10) в случае .

Если к состоянию (5.2.4) последовательно применить две операции: смешение с вспомогательным когерентным состоянием (5.2.7) на пучковом делителе (5.2.6), то данное состояние преобразуется в следующее

, (5.2.11)

где

. (5.2.12)

Очевидно, что состояние (5.2.11) переходит в чистое состояние (общий знак опускается)

. (5.2.13)

при условии, что .

Интересно сравнить протокол плотного кодирования с перемещенными состояниями и “классический” протокол [15]. Как и в протоколе, предложенном в [15], 4 максимально запутанных состояния используются в протоколе плотного кодирования. Так состояния (5.2.4) и (5.2.10) в протоколе плотного кодирования с перемещенными фотонными состояниями соответствуют состояниям (5.1.1) и (5.1.2). Но вместо состояний (5.1.3) и (5.1.4) используется другой набор состояний (5.2.5) и (5.2.13), соответственно. Выбор такого рода максимально запутанных состояний связан с тем, что состояния (5.1.3) и (5.1.4) невозможно отличить друг от друга методами линейной оптики. В частности, ранее был предложен протокол квантовой телепортации суперпозиции вакуума и единичного фотона, в котором единичный фотон, занимающий одновременно две моды (или состояние (5.1.1) или (5.1.2)) был использован в качестве квантового канала связи. Было показано, что вероятность успеха такого протокола не превышает из-за невозможности отличить выходы состояний (5.1.3) и (5.1.4) на пучковом делителе. Отказ от использования состояний (5.1.3) и (5.1.4) в протоколе плотного кодирования с перемещенными состояниями позволяет обойти данное препятствие и является важнейшей чертой данного протокола. Состояния (5.1.1) и (5.1.2) с сдвинутой на амплитудой перемещения используются вместо пары состояний (5.1.3) и (5.1.4). Наличие амплитуды перемещения как дополнительной степени свободы перемещенных состояний позволяет Алисе преобразовывать ее кубит из одного набора базисных состояний в другой

. (5.2.14)

Согласно сказанному выше, Алиса может подготовить 4 максимально запутанных состояния посредством своих собственных локальных преобразований. Предполагается, что Боб будет способен получить нужную информацию из данных 4 максимально запутанных состояний. Тем не менее, анализ показывает, что можно воспользоваться дополнительным состоянием в данном протоколе плотного кодирования с перемещенными состояниями. фазово-сдвигающее преобразование, примененное к состоянию (5.2.4), дает возможность реализовать следующее состояние

, (5.2.15)

где общий множитель опускается. Таким образом, Алиса может приготовить 5 состояний, которые отличаются друг от друга только фазовыми соотношениями, в то время как амплитуда перемещения кубита остается постоянной и послать свою частицу Бобу. Алисина частица находится в состоянии , где может принимать значения , и в зависимости от используемой кодировки. Именно в таком состоянии с Алиса пересылает свою частицу Бобу в “классическом” протоколе плотного кодирования [15]. Но в протоколе [15] Алиса пересылает Бобу одну частицу (один фотон), а в протоколе плотного кодирования с перемещенными состояниями пересылаются импульсы света, состоящие из многофотонных состояний. Энергия каждой Алисиной частицы равна .

Протокол плотного кодирования может быть успешно реализован, если Боб сможет различить друг от друга все 5 посылаемых ему сообщений. Для того чтобы Боб смог извлечь информацию, он смешивает свою частицу (перемещенный кубит) с частицей (тоже перемещенный кубит), присланной ему Алисой, на равновесном пучковом делителе (5.2.6) с и (показатели пропускания и преломления равны друг другу по модулю), как показано на Рис. 5.1. Результат данного смешения имеет следующий вид

, (5.2.16)

, (5.2.17)

, (5.2.18)

, (5.2.19)

. (5.2.20)

Но как было показано выше, состояния (5.2.10) и (5.2.13) являются предельными реальных состояний (5.2.8) и (5.2.11), соответственно, полученных Алисой при преобразованиях с помощью пучкового делителя (5.2.6). Поэтому стоит принять во внимание вклад других членов матриц плотности (5.2.8) и (5.2.11). Так например, преобразование Боба состояния на пучковом делителе дает следующее нормированное состояние

. (5.2.21)

Если коэффициент прозрачности пучкового делителя Алисы , то тогда выходное состояние Боба (5.2.21) приближается к идеальному выходному состоянию (5.2.18), так как вклад члена в (5.2.21) значительно превалирует над вкладом другого члена. Те же самые рассуждения применимы к состоянию (5.2.8) и (5.2.11).

Таким образом, Боб будет иметь на выходе из пучкового делителя 4 раздельных состояний, являющихся тензорным произведением чистых состояний в соседних модах, благодаря действию деструктивной интерференции и одно запутанное состояние (5.2.20). Для того чтобы Боб мог различать 5 состояний с помощью современных лавинных фотодетекторов (APD, раздел 2.3), которые могут только различать между вакуумом и произвольным числом фотонов (), он должен воспользоваться двумя дополнительными пучковыми делителями как это показано на рисунке 5.1. Рассмотрим частный случай такой дискриминации единичного фотона и когерентного состояния, который показан на рисунке. 5.2. Балансный пучковый делитель преобразует когерентное состояние в тензорное произведение двух когерентных состояний , в то время как как тот же пучковый делитель преобразует единичный фотон в суперпозиционное состояние , состояние в котором единичный фотон занимает одновременно две моды. Если два фотодетектора и регистрируют одновременные клики, тогда можно определенно утверждать, что исходное состояние было когерентное состояние . Стоит отметить, что вероятность успеха обнаружить два одновременных клика возрастает в случае больших значений амплитуды когерентного состояния. Рассмотрим случай, когда на вход измерительной системы на рисунке 5.2 (б) поступает одиночный фотон. Единичный фотон, поступающий на вход измерительной системы на рисунке 5.2(б), может вызвать отклик либо детектора либо детектора , но не двух детекторов одновременно. Те же самые рассуждения применимы ко всем выходным состояниям (5.2.16-5.2.16).

Таким образом, можно дать следующие заключения, которые прямо вытекают из формул (5.2.16-5.2.16).



Рисунок 5.2 (а, б)

Схематическое изображение примера как различить два состояния когерентное состояние и единичный фотон друг от друга. Когерентное состояние регистрируется тогда, когда одновременно фиксируются два клика APD, за исключением небольшой вероятности, когда такое состояние может давать один клик или даже ни одного. Чем больше амплитуда когерентного состояния, тем меньше данная вероятность. Единичный фотон вызывает только один клик одним из двух используемых APD. Символ отвечает за обозначение равновесного пучкового делителя.

(1) Если детекторы Боба на рисунке 5.1 регистрируют одновременно три клика, тогда он определенно знает, что Алиса послала ему либо состояние либо состояние , соответственно, в зависимости от комбинации сработавших детекторов . Если Боб регистрирует три одновременных клика детекторами (или ), и , то он точно знает, что Алиса послала ему перемещенный кубит, совместное состояние которого с кубитом Бобом . .Если три детектора Боба (, и или) регистрируют одновременные клики, то это значит, что общее состояние было .

(2) Если Боб регистрирует только два клика, то это означает, что ему было посланы либо состояние либо , соответственно, в зависимости от того какие детекторы зафиксировали приходящие фотоны. Соответствующие комбинации детекторов, ответственные за идентификацию состояний и следуют из формул (5.2.18. 5.2.19).

(3) Если Боб регистрирует четыре одновременных клика, то это означает, что Алиса переслала ему перемещенный кубит, совместное состояние которого с Бобовским перемещенным кубитом, было (5.2.20).

Данное распределение кликов и связанных с ними состояний может иметь место в идеальном случае большого значения амплитуды перемещения квантового канала. Но данный протокол не работает идеально в случае малых значений . Боб иногда может получить не определенный ответ в случае не значительных значений . Например, любое событие, связанное с регистрацией менее двух кликов не позволяет Бобу извлечь полезную информацию. Такой результат измерения можно назвать безрезультатным исходом. Данный безрезультатный исход измерения уменьшает взаимную информацию между Алисой и Бобом. Алиса знает какое преобразование (кодировку) она сделала на своем перемещенном кубите. Но Боб не может извлечь никакую информацию из своего безрезультатного исхода. Рассмотрим другой возможную причину уменьшения взаимной информации, распределенной между Алисой и Бобом. Существует вероятность того, что Боб зарегистрирует меньше четырех кликов, в случае если Алиса посылает Бобу состояние (5.2.20). Даже более того, такой измерительный исход может быть принят за исход либо состояния (5.2.16) либо состояния (5.2.17). Но как было уже отмечено, вероятность таких исходов резко падает с увеличением амплитуды перемещенного квантового канала.

...