Неклассические перемещенные состояния света

Рассмотрим только в качестве примера амплитуды начальных базисных состояний и (2.3.11, 2.3.12). На рисунках 2.11 и 2.12 показаны зависимости , и их разности , соответственно, от амплитуды СКС , которые обеспечивают максимально возможные точности для 4PSS на рисунке 2.10. Как видно из рисунка 2.12 4PSS состояния чувствительны к значениям входных амплитуд , . Небольшое изменение амплитуды (Рис. 2.12) ведет к генерации различных типов (четной и не четной) СКС. Подобные зависимости входных значений входных амплитуд , наблюдаются и в случае генерации 2PSS и 3PSS состояний, что является общей чертой присущей данному типу преобразования.

Таким образом, была показана возможность построения аналога преобразования Адамара (2.3.9, 2.3.10) для входных сжатых когерентных состояний (2.3.11, 2.3.12) посредством извлечения из них нескольких фотонов.

График зависимости максимально возможных значений точности (кривая ) и (кривая ) генерируемых состояний, из которых извлекли четыре фотона, от амплитуды суперпозиции когерентных состояний .

Рассмотрим также возможность реализации на входных базисных состояниях преобразования (2.1.3), связанного с вращением вектора на сфере Блоха. Так согласно (2.3.6, 2.3.7, 2.3.36, 2.3.37), имеем следующую цепочку преобразований

, (2.3.51)

где . Как было показано выше, унитарному преобразованию соответствует вращение вектора на угол вокруг оси на сфере Блоха. Данная операция реализуется с помощью оператора перемещения с амплитудой перемещения . Это означает, что одно-кубитовые преобразования с сжатыми когерентными состояниями (2.3.11, 2.3.12) могут быть осуществлены по третьему сценарию, согласно классификации, используемой в разделе 2.1.

Стоит отметить, что развиваемый подход может быть применен просто к генерации четной и не четной СКС большой амплитуды. В данном случае рассматривается случай, когда амплитуды сжатия входных и выходных базисных состояний, а также амплитуды сдвига выходных суперпозиций не равны друг другу , и . Такое отсутствие ограничений на значения параметров входных и выходных состояний расширяет возможности сгенерировать соответствующие СПСКС большой амплитуды с высокой точностью. Так на рисунке 2.13 показана зависимость максимально возможных значений точностей (кривая ) и (кривая ) от [69,70]. Сравнение графиков на рисунках 2.10, 2.13 показывает, что наложение ограничений на значения параметров состояний для реализации преобразования Адамара уменьшает точности выходных состояний. Так численные расчеты показывают, что точность 4PSS, аппроксимирующего четную СПСКС с амплитудой , в то время как точность состояния, которое аппроксимирует не четную СПСКС такой же амплитуды, . Данные значения выходных точностей превышают значения точностей, которые были получены для выходных состояний гейта Адамара (Рис. 2.10). Значения точностей для выходных состояний гейта Адамара . Но тем не менее, такие nPSS, генерируемые в случае отсутствия ограничений на значения параметров, не так просто приспособить к протоколам квантовой информатики. Тем не менее, данные состояния могут представлять интерес с фундаментальной точки зрения, как состояния которые являются оптическим аналогом котов Шредингера [1].

Ранее было известно о возможности генерировать четную и не четную СКС (ССКС) посредством извлечения из Гауссовых начальных состояний света нескольких фотонов [96,97,102,106,107]. Причем считалось, что извлечение четного числа фотонов дает возможность сгенерировать четную СКС (ССКС), в то время как извлечение не четного числа фотонов генерирует не четную СКС (ССКС). В настоящей работе показано, что возможно генерация как четной, так и не четной СКС (ССКС) независимо от числа извлеченных фотонов. Данная возможность стала возможной при включении в рассмотрение сдвига СКС (ССКС) состояний на фазовой плоскости.

Выше была рассмотрен один из возможных способов реализации преобразования Адамара и одно-кубитовых вращений с базисными когерентными состояниями света. Но данный подход имеет ряд недостатков. Требуется извлечение большого числа фотонов из начальных состояний света, чтобы сгенерировать выходные состояния преобразования Адамара с высокой точностью. Но извлечение большого числа фотонов понижает вероятность наблюдать такое событие, так как не значительная часть падающего света отражается в пучковом делителе с большим коэффициентом пропускания. К тому же как было показано на рисунке 2.12 разность амплитуд начальных базисных состояний , что ведет к тому, что данные состояния могут уже не считаться ортогональными согласно формуле (2.3.40). Другой недостаток анализируется в заключении к данной главе. Данные обстоятельства поощряют поиск других возможных путей для реализации одно-кубитовых преобразований.

Другой возможный подход для реализации преобразования Адамара основывается на извлечении перемещенных состояний из начальных пучков света. Более детально такой подход с извлечением перемещенных фотонных состояний рассмотрен в Главе 3. Изначально такая идея была рассмотрена в работе [121]. В настоящем разделе рассмотрим усовершенствованную идею, основанную на ранее использованном математическом методе. Данный подход также может напоминать идею кластерных состояний [27]. Изначально кластерное состояние (запутанное состояние особого вида) подготавливается. После того как такое кластерное состояние подготовлено каждый кубит такого кластерного состояния измеряется в выбранном базисном состоянии, причем выбор измерения определяется результатом предыдущего измерения.

Схематическое изображение оптической схемы, которая может быть использована для генерации одно-модового полуфабрикатного состояния. Данное состояние генерируется посредством извлечения четырех фотонов из сжатого когерентного состояния света. Выходные состояния преобразования Адамара образуются посредством проекционного измерения данного состояния на входные базисные когерентные состояния света.

График зависимости максимально возможных значений точности (кривая ) и (кривая ) детерменистически генерируемых состояний при проецировании вспомогательного состояния на входные базисные когерентные состояния в зависимости от . 4PSS состояние используется в качестве данного вспомогательного состояния.

График зависимости амплитуд (кривая ) и (кривая ) от амплитуды суперпозиции когерентных состояний . Данные амплитуды используются для вычисления амплитуд входных базисных состояний (2.3.58, 2.3.59). Данные значения амплитуд использованы для расчета точностей на рисунке 2.15.

В изучаемом случае назовем такое специально состояние одно-модовым полуфабрикатным состоянием.

Когерентные состояния используются в качестве входных базисных состояний

, (2.3.52)

, (2.3.53)

как это показано на рисунке 2.14, где , --- реальные величины и в общем случае . Рассмотрим состояния

, (2.3.54)

. (2.3.55)

в качестве выходных базисных. Одно-модовое полуфабрикатное состояние (2.3.17, 3.28) может быть сгенерировано посредством извлечения двух, трех, четырех и более фотонов из сжатого когерентного состояния. Тогда, одно-модовое полуфабрикатное состояние может аппроксимировать или четную с амплитудой или не четную с амплитудой СПСКС (2.3.41). В качестве примера используем 4PSS (2.3.28) как одно-модовое полуфабрикатное состояние по аналогии с анализом, представленном выше. Согласно этому анализу состояния, у которых извлечено большее число фотонов, могут аппроксимировать желаемые состояния с более высокой точностью. Все остальные значения параметров для двух состояний совпадают. Преобразование Адамара (2.3.9, 2.3.10) может быть записано в следующем виде без включения нормировочного множителя для выходных состояний

, (2.3.56)

. (2.3.57)

Окончательно, проецируем данное 4PSS (или одно-модовое полуфабрикатное состояние) на входные базисные состояния (2.3.52, 2.3.53), чтобы реализовать преобразование (2.3.56, 2.3.57). Данное проекционное измерение может быть осуществлено посредством смешения сигнального состояния с вспомогательным когерентным состоянием на пучковом делителе с . Описание такого смещения представлено выше на примере реализации преобразования (2.3.7). Данные рассуждения дают возможность рассчитать амплитуды и как

, (2.3.58)

. (2.3.59)

Значения и , которые обеспечивают максимально возможные значения точностей, находятся посредством численного поиска. Результаты такого расчета точностей представлены на рисунке 2.15, на котором представлены зависимости (кривая ) и (кривая ) от . Стоит отметить, что значения других используемых параметров выбраны таким образом, чтобы обеспечить максимальное значение суммы двух точностей . Другой тип зависимостей наблюдается на рисунке 2.15 в отличии от кривых, представленных на рисунке 2.10. Так рассчитанные кривые имеют максимум около , спадая на крыльях данных зависимостей. Соответствующие зависимости и от , которые обеспечивают значения точностей на рисунке 2.15, показаны на рисунке 2.16. Другие зависимости параметров, которые были использованы при построении и , не показаны. Как видно из Рис. 2.16, разность значений амплитуд , используемых для расчета, также принимает не большие значения как и в случае, представленном на рисунке 2.12. Тем не менее, использование высоко пропускающего пучкового делителя с гарантирует высокую разность амплитуд (2.3.58, 2.3.59) и обеспечивает выполнение условия

. (2.3.60)

Данное условие означает, что входные базисные состояния являются асимптотически ортогональными в отличии от случая на рисунке 2.12.

Такая реализация преобразования Адамара обладает явными преимуществами. Так входные состояния света являются асимптотически ортогональными. Реализация данного протокола квантовой информатики является уже детерменированным при условии, что одно-модовое полуфабрикатное состояние было заранее реализовано. Это означает, что данный протокол реализуется всегда при проецировании вспомогательного состояния на входные базисные состояния. Это является значительным преимуществом по сравнению с вероятностными протоколами, которые реализуются только при регистрации некоторых событий в вспомогательных модах. Тем не менее, не достаточно высокая точность генерируемых состояний может быть препятствием для дальнейшего их использования в последующей квантовой обработки информации. Можно ожидать, что генерация вспомогательного (одно-модового полуфабрикатного состояния) с извлеченными фотонами позволит увеличить точность генерируемых состояний. Но решение данного вопроса требует отдельного изучения.

Таким образом, в настоящем разделе были рассмотрены вопросы реализации одно-кубитовых преобразований с разными базисными состояниями. Извлечение того или иного количества фотонов из начальных состояний является движущей силой, служащей для реализации этих преобразований. Разнообразие подходов и оптических схем не ограничивается рассматриваемыми случаями. Все они могут основываться на теореме о разложении, основы которой изложены в разделе 2.3. Другие аспекты основ данного подхода рассматриваются в Главе 3, где обсуждаются физические аспекты рассматриваемых подходов.

Одно-кубитовые преобразования, основанные на последовательности операторов рождения и перемещения

В предыдущем разделе 2.3 была рассмотрена возможность построения преобразования Адамара для базисных сжатых когерентных состояний света с отличными друг от друга амплитудами перемещения, основанная на извлечении некоторого количества фотонов. Подход с фотон извлеченными состояниями является более практичным, так как требует минимальное количество ресурсов для реализации. Тем не менее, рассмотрим другой возможный способ генерации четной и не четной СКС (2.2.37) и СПСКС (2.3.41), основанный на использовании операторов перемещения (2.2.2) и оператора рождения фотонов .

Данный раздел основывается на материалах, опубликованных в работе [68]. Данный раздел можно рассматривать как частный случай более мощного метода анализа, который может быть использован для построения произвольного состояния света [122]. Также данная оптическая схема может быть приспособлена для построения одностороннего аналога преобразования Адамара, когда входные базисные состояния преобразуются в суперпозиции. Метод анализа также основывается на теореме о разложении, подробно рассмотренной в разделе 2.2. В рассматриваемом методе используется последовательное чередование операторов, когда выходное состояние генерируется только при условии, если успешно друг за другом наблюдаются некоторые события (клики) при измерении света в дополнительных модах установки. Данный метод является вероятностным.

Рассмотрим возможность реализации преобразования Адамара для базисных когерентных состояний с помощью оптической схемы, представленной на Рис. 2.17 (а, б). Когерентные состояния

, (2.4.1)

(2.4.2)

с амплитудами и выбираются в качестве базисных. В общем случае, выполняется условие для когерентных состояний. Стоит отметить, что такие же входные базисные состояния используются при выполнении одно-кубитных преобразований методами нелинейной оптики (2.3.1). Дополнительный нижний индекс используется для когерентных состояний (2.4.1, 2.4.2) как и в случае рассмотрения генерации СКС состояний методами нелинейной оптики (2.3.1). Как уже отмечалось, входные базисные состояния являются асимптотически ортогональными (2.3.2) в случае, когда абсолютная разница амплитуд стремится к бесконечности.

Перемещенные сжатые когерентные состояния (2.3.38, 2.3.39) используются в качестве выходных. Рассматривается реализация одностороннего аналога преобразования Адамара, математический вид которого представлен формулами (2.3.9, 2.3.10). Амплитуда перемещения и параметр сжатия выбираются идентичными для четной и не четной СПСКС, Тем не менее, можно рассмотреть более общий

преобразований

, (2.4.3)

(2.4.4)

с выходными базисными состояниями

, (2.4.5)

, (2.4.6)

где в общем случае .

Рисунок 2.17 (а, б)

Схематическое изображение оптической схемы, которая используется (а) для генерации четной и не четной СПСКС посредством чередования операторов рождений и перемещения. Когерентные состояния с амплитудами используются как входные. Оптическая схема (б) приспособлена для выполнения прямого действия преобразования Адамара. Когерентные состояния и используются в качестве входных. Сначала оператор перемещения применяется. Выходные четная и не четная СКС сдвинутые на некоторое значение относительно друг друга генерируются на выходе.

В общем случае оптическая схема на Рис. 2.17(а) включает в себя одно-фотонных операторов рождения и операторов перемещения (2.2.2). Операторы рождения и перемещения чередуются друг за другом. В работе [122] было доказано, что произвольное суперпозиционное поле с ограниченным количеством членов может быть сгенерировано посредством чередующихся операторов перемещения и рождения. Естественно допустить, что данный метод применим к генерации усеченной четной (2.2.41) и не четной СКС (2.2.49) функции с соответствующими волновыми амплитудами (2.2.42-2.2.48) и (2.2.50-2.2.56).

Следуя работе [68], рассмотрим возможность сгенерировать состояния, которые аппроксимируют четную и не четную СПСКС с высокой точностью. Выше уже отмечалось, что оператор рождения может быть реализован с помощью параметрического конвертора в случае регистрации одного фотона в вспомогательной (не сигнальной) моде.

Рассмотрим действие одного оператора рождения на входные базисные состояния

, (2.4.7)

где

, (2.4.8)

при условии, что

. (2.4.9)

Рассмотрим случай . Два оператора рождения с одним промежуточным оператором перемещения с амплитудой сдвига используются как показано на рисунке 2.17(а)

, (2.4.10)

где нормировочная функция имеет вид

. (2.4.11)

Волновые амплитуды могут быть представлены как

, (2.4.12)

(2.4.13)

и --- некоторая общая фаза.

Таким образом, состояния (2.4.7) и (2.4.10) --- это или перемещенное на величину состояние

(2.4.14)

в случае применения одного оператора рождения или сдвинутое на величину состояние

(2.4.15)

в случае чередования двух операторов рождения и одного оператора перемещения. Данный подход применим к генерации состояний света с большим числом присоединенных фотонов . Для того чтобы рассмотреть такие фотон добавленные состояния, достаточно продолжить цепочку преобразований на рисунке 2.17(а). В частности, прямоугольник с многоточием внутри на Рис. 2.17(а) обозначает такое чередование операторов рождения и перемещения, чтобы сгенерировать состояния с добавленными фотонами.

В работе [122] математически доказывается возможность генерации волновой суперпозиции из Фоковских состояний , , , …., с произвольными коэффициентами. Естественно предположить, что данный метод применим к генерации четной (2.2.41) и не четной (2.2.49) усеченной СКС. Подбирая амплитуды оператора перемещения, можно построить соответствующую усеченную четную и не четную СКС (2.2.57-2.2.63). Последний оператор перемещения устанавливает окончательное значение параметра перемещения , чтобы окончательно получить представление усеченных СКС. Тогда, соответствующие точности между сгенерированными усеченными и реальными СКС могут быть получены из рисунков 2.5 и 2.6. Тем не менее в работе [68] рассматривались СПСКС состояния в качестве конечных, что также возможно. Расчет точностей выполняется на основе теоремы о представление, детали которого в данном разделе опускаются. В качестве примера соответствующие значения используемых параметров и значения точностей сведены в таблицу 1. Данный расчет осуществлен для состояний (2.4.15).

Таблица 1 Значения точностей и значения параметров, которые их обеспечивают. Рассматривается случай двух операторов рождения с одним промежуточным оператором перемещения.

	, a) , , b) , ,	, a) , , b) , ,
	, a) ,, b) ,,	, a) , , b) , ,
	, a) ,, b) ,,	, a) , , b) , ,
	, a),, b) ,,	, a) , , b) , ,
	, a) , , b) , ,	, a) , , b) , ,
	, a) , , b) ,,	, a) , , b) , ,
	, a) , , b) ,,	, a) , , b) , ,
	, a) , , b) , ,	, a) , , ) , ,

Одностороннее преобразование Адамара может быть реализовано в той же манере, как это обсуждалось в разделе 2.3. Но возможен другой подход, как это показано на рисунке 2.17(б). Обсудим такой подход на качественном уровне на основе работы [68]. Как уже отмечалось, оператор перемещения на сигнальной моде может быть реализован с помощью пучкового делителя с коэффициентом пропускания . Произвольное состояние в сигнальной моде смешивается с когерентным состоянием . Сдвиг исходного состояния на фазовой плоскости на величину происходит в результате этого смещения. Два базисных когерентных состояния используются на рисунке 2.17(б). Оператор перемещения применяется к входным базисным состояниям, чтобы сдвинуть их на величину . Система чередующихся операторов рождения и перемещения используется, чтобы сгенерировать состояния, аппроксимирующие четную и не четную СПСКС. В конце оптической схемы используется операторы перемещения и сжатия с соответствующими значениями амплитуды перемещения и сжатия (на рисунке 2.1.7(б) данное действие заменено на пунктирный прямоугольник). Некоторые численно полученные значения точности и значения параметров, которые обеспечивают данные значений точности, представлены в работе [68].

В свете недавно полученных результатов, представленных в разделе 2.2, можно было избежать такого громоздкого метода как в [68]. Действительно, в качестве входных базисных состояний можно выбрать тензорные произведения [65] когерентных состояний . Когерентные состояния являются входными, состояния являются дополнительными и используются для выполнения операции перемещения. Выбирается некоторое значение представления одинаковое для четной и не четной СКС. Соответствующая четная и не четная усеченная СКС из первых членов реализуется при наблюдении соответствующего исхода (кликов) в дополнительных модах. Последний оператор перемещения, реализуемый с помощью когерентного состояния , нужен, чтобы скорректировать окончательную амплитуду перемещения, которая становится равной . Величины , ,… используются для построения волновых амплитуд усеченной СКС, состоящей из члена. Последний параметр нужен для корректирования окончательной амплитуды перемещения. Окончательная реализация данного алгоритма заслуживает отдельного исследования. Стоит отметить, что допустима и другая интерпретация данного алгоритма на основе чередующихся операторов уничтожения и перемещения. Так в работе [114] был развит метод подобный тому, который рассматривался в [122] с заменой операторов рождения на операторы уничтожения.

Обсуждение результатов и возможные перспективы дальнейшего развития

В настоящей главе был рассмотрен круг проблем, связанный с построением одностороннего аналога преобразования Адамара. Основой такого построения служит теорема о разложении, представленная в разделе 2.2. Под термином односторонний аналог гейта Адамара понимается прямое преобразование входных базисных элементов в их суперпозиции. Обратное преобразование рассматривается в Главе 3. Но зесть один момент, заслуживающий значительного внимания. Входные и выходные базисные элементы определены в отличных Гильбертовых пространствах. Поэтому важно еще рассмотреть преобразование суперпозиции входных базисных состояний. И данный вопрос преобразования тесно связан с вероятностью успеха сгенерировать суперпозиционные состояния. Вероятность успеха для обоих суперпозиционных состояний одинакова при преобразовании Адамара. Если вероятности в аналоге преобразования Адамара отличаются друг от друга, то это ведет к потере точности выходных состояний. Более подробно данный вопрос изложен в Главе 3, где также рассматривается вопрос обратного преобразования.

Материал данной главы может служить введением в теорию построения обусловленных элементарных одно-кубитовых преобразований на основе теоремы о разложении. Данный тип преобразований является вероятностным, то есть преобразование определенно выполняется при обнаружении некоторого исхода в вспомогательных модах. Если нужный исход измерения не наблюдается, то невозможно ничего сказать про выходные состояния. Стоит только отметить, что как показано в разделе 2.3, возможна реализация и детерменированных преобразований с помощью специального заранее подготовленного состояния. Выходные состояния генерируются всегда при взаимодействии входных базисных состояний с таким специальным состоянием. Естественно, что такой круг проблем не ограничивается приведенными примерами, он значительно шире. Но в основе анализа данных квантовых протоколов лежит теорема о разложении.

Движущей силой для генерации новых неклассических состояний света является техника извлечения или добавления фотонов к исходным состояниям [80-119]. Данная техника позволяет генерировать новые экзотические состояния, а также некоторые комбинации операторов рождения и уничтожения. Состояние единичного фотона было экспериментально показано в работе [123]. Усовершенствованная техника генерации единичного фотона была показана в работе [124]. Фотон извлеченные состояния использованы в разделе 2.3 для реализации одно-кубитовых преобразований. Добавление некоторого числа фотонов рассмотрено в разделе 2.4. Фотонное состояние является частным случаем перемещенного фотонного состояния в случае, когда амплитуда перемещения становится равной нулю. Естественно предположить, что извлечение перемещенного фотонного состояния расширяет возможности генерации новых состояний света. Действительно, все результаты, полученные посредством извлечения фотонного состояния, могут быть получены из общего подхода с извлечением перемещенного фотонного состояния с нулевой амплитудой перемещения. Таким образом, амплитуда перемещения является дополнительной степенью свободы, которая может быть использована для манипуляции выходными состояниями. Переход от фотонного состояния к их перемещенным аналогам (как это описано в разделе 2.2) в вспомогательных модах составного запутанного состояния ведет к наложению дополнительного унитарного преобразования в оставшихся не измеряемых модах в этом состоянии. Проекционное измерение на перемещенное фотонное состояние в измеряемых модах ведет к генерации нового преобразованного состояния, которое определяется уже матрицей преобразования (2.2.23). Один из возможных путей использования техники извлечения перемещенных состояний продемонстрирован на рисунке 2.14. Более подробно техника извлечения перемещенного фотонного состояния излагается в Главе 3. Стоит отметить, что перемещенный единичный фотон был экспериментально продемонстрирован в [125].

1. Полностью разработан математический аппарат матричного преобразования из одного бесконечного набора базиса перемещенных фотонных состояний в другой с отличной амплитудой перемещения. Каждый из наборов перемещенных фотонных состояний является полным, что позволяет выразить произвольное состояние в терминах базисных состояний. Получены как прямая, так и обратная матрицы преобразования между отличными базисными наборами перемещенных фотонных состояний. Аналитические выражения коэффициентов унитарной матрицы преобразования представлены. Данное матричное преобразование позволяет ввести понятие представления для любого состояния. представление определяется разложением исходного состояния по базисным перемещенным фотонным состояниям с амплитудой перемещения . Построены графики распределения перемещенных фотонных состояний для некоторых состояний. Сделано интересное наблюдение, что состояние с меньшей энергией (микроскопическое) может быть разложено в ряд по состояниям с большей энергией (макроскопическое), что может противоречить общепринятой классической точки зрения. Показано, что никакого противоречия не существует, поскольку оператор перемещения является унитарным, у которого всегда существует обратная матрица. Поэтому имеет также место и обратное преобразование, при котором состояние с большей энергией (макроскопическое) разлагается в ряд по состояниям с меньшей энергией (микроскопические). Данное обстоятельство уже не противоречит общепринятым классическим представлениям об окружающем мире. Данный факт может также служить новой чертой, которая отличает квантовый взгляд на мир от классического. Соответственно перемещенные фотонные состояния с большой амплитудой перемещения могут быть выбраны в качестве макроскопических состояний, на которых можно будет проверить вопрос полноты квантовой механики. Применимы ли правила квантовой механики к макроскопическим состояниям? Данное обстоятельство может стать отправной точкой для будущих исследований. В целом перемещенные фотонные состояния с произвольной амплитудой перемещения могут быть использованы в протоколах квантовой информатики.

2. Получены аналитические выражения представления как четной, так и не четной суперпозиции когерентных состояний, которые могут быть рассмотрены в качестве оптического аналога Шредингеровских состояний котов. Практическая генерация данных суперпозиций большой амплитуды может разрешить Шредингеровский парадокс котов в оптическом диапазоне. Генерация суперпозиций когерентных состояний в средах с Керровской нелинейностью не возможна, благодаря малым значениям данной нелинейности и влиянию эффекта декогерентности на распространяющийся свет. Поэтому возможное решение данной проблемы --- это генерация усеченных состояний, которые аппроксимируют СКС с высокой точностью. Продемонстрированы графики точности между СКС и их усеченными аналогами в зависимости от амплитуды СКС и амплитуды перемещения. Показано, что точность приближается к идеальной единичной в широком диапазоне значений амплитуды СКС и сдвига в случае увеличения числа членов усеченной СКС.

3. представление СКС состояний положено в основу реализации квантовых преобразований. Рассмотрен вопрос реализации матрицы Адамара для неклассических состояний света. В данном случае стоит говорить о реализации аналога прямого действия матрицы Адамара. В качестве входных и выходных базисных состояний выбраны состояния из отличных друг от друга двухмерных Гильбертовых пространств. Рассмотрена реализация прямого действия матрицы Адамара на базисных состояниях одного Гильбертова пространства в суперпозиции базисных элементов другого Гильбертова пространства. В качестве базисных состояний отличных друг от друга Гильбертовых пространств были выбраны сжатые когерентные состояния света. Амплитуды сжатия и перемещения базисных состояний отличаются друг от друга, что позволяет говорить о двух отличных друг от друга Гильбертовых пространствах. Механизм извлечения фотонов из начальных состояний используется, чтобы реализовать прямое действие матрицы Адамара. Соответствующая оптическая схема, составленная из линейных оптических элементов и лавинных фотодиодов, предложена для реализации данного механизма. Показано, что данный метод работает и позволяет сгенерировать состояния, которые с высокой точностью аппроксимируют точные суперпозиции выходного Гильбертова пространства. Обнаружено, что чем больше фотонов извлекается из начальных состояний, тем выше точность генерируемого выходного состояния. Используемый метод также дает возможность реализовать на практике как четную так и не четнуб СКС большой амплитуды. На основе данного подхода была предложена оптическая схема для выполнения детерменированного (не вероятностного) прямого действия преобразования Адамара. В основу данного метода положена генерация некоторого вспомогательного состояния. Данное состояние реализуется посредством извлечения нескольких фотонов из начального сжатого когерентного состояния света. Дальнейшее проекционное измерение на базисные состояния начального Гильбертова пространства позволяет сгенерировать суперпозиции выходного Гильбертова пространства. Соответствующие графики зависимостей точности генерируемых суперпозиций от амплитуды получены, которые подтверждают осуществимость на практике данного подхода.

4. Рассмотрен вопрос реализации прямого действия матрицы Адамара, связывающей между собой два Гильбертовых пространства, посредством последовательности операторов рождения и перемещения. Показана возможность сгенерировать выходные суперпозиции с высокой точностью. Обнаружено, что чем длиннее цепочка из последовательности операторов рождения и перемещения, тем выше точность выходных состояний.

5. Данный подход, развиваемый на основе представления СКС состояний, может быть положен в основу всех методов по генерации СКС состояний и реализации одно-кубитовых преобразований в пространстве когерентных состояний. Данный подход позволяет рассмотреть как прямое действие преобразования Адамара на входных суперпозициях, так и обратное действие. Вполне возможно, что данный подход поможет найти общий алгоритм преобразования Адамара для одного Гильбертова пространства с когерентными состояниями, выбранными в качестве базисных.

Глава 3. Квантовые протоколы с неклассическими состояниями света

Неклассический свет

Во второй главе диссертации были рассмотрены вопросы реализации одно-кубитовых элементарных гейтов с базовыми чистыми сжатыми когерентными состояниями света посредством прибавления и извлечения некоторого числа фотонов из начальных состояний света. Манипуляции со световыми полями на фотонном уровне являются критическими и обеспечивают основу для их исследования, в частности, для усиления их не классических свойств в протоколах квантовой информатики. В реальном эксперименте начальные базовые состояния скорее всего станут смешанными состояниями из-за различных экспериментальных дефектов и технологических трудностей, связанных с приготовлением начальных состояний. В связи с этим стоит рассмотреть более широкий круг проблем, связанный с превращением изначально Гауссовых состояний света в не Гауссовые состояния. Механизм извлечения фотонов из начальных Гауссовых состояний является той движущей силой, которая ответственна за данный тип преобразований. Такая техника позволяет эффективно реализовать нелинейный эффект на начальных состояниях [67-74, 80-119].

Но прежде чем начать обсуждать данные вопросы, стоит рассмотреть основные понятия и определения, касающиеся неклассичности света. Можно дать такое определение неклассичности света. Свет, свойства которого можно описать в классических терминах, является классическим. Свет, хотя бы одно наблюдаемое свойство которого не может быть описано с помощью наглядных, привычных, классических представлений, является уже неклассическим. В случае неклассического света пучок света не может быть рассмотрен как совокупность волн. Примером такого неклассического свойства могут служить подавление (сжатие) флуктуаций одной из двух квадратурных компонент света. В данном случае говорят о сжатом свете, термин который часто использовался в Главе 2. Отметим только, что первое упоминание о сжатом свете можно найти в работах [126-128].

Другим примером неклассического свойства может служить свет, который обладает статистикой фотонов отличной от пуассоновской. Но здесь стоит напомнить, что свет, который дает дополнительные шумы фототока более сильные, чем пуассоновские уже является классическим. Примером такого света с избыточными шумами фототока (photon bunching) является свет, излучаемый ртутной лампой или звездой. Именно такой классический свет наблюдался в знаменитом эксперименте Брауна-Твисса [129]. Удивительно, что наблюдение именно такого классического света, который может быть полностью описан классической теорией, дало начало рождению квантовой оптики. Если дисперсия статистики фотоотсчетов (или тоже самое фактор Фано) меньше пуассоновской, то говорят о субпуассоновском неклассическом свете. Эквивалентный используемый термин --- эффект антигруппировки (antibunching) фотоотсчетов или фотонов. Впервые такой субпуассоновский свет или свет с антигруппировкой фотонов наблюдался в 1977 году [130]. Общий обзор по неклассическому свету, его свойствам можно найти в [131].

Свет может обладать одним из упомянутых неклассическим свойством, может обладать двумя неклассическими свойствами. В таком случае свет является неклассическим согласно вышеупомянутому определению. Поэтому интуитивно понятна идея как отличать классический и неклассический свет друг от друга. Но такое определение неклассического света от противного является достаточно широким и едва ли позволяет ввести меру неклассичности света. Для этой цели нужно воспользоваться методом квази-функций распределения вероятностей.

В классической оптике [132], состояние электромагнитного осциллятора полностью описывается статистикой классической амплитуды . Данная амплитуда может принимать фиксированное значение, и такое состояние электромагнитного поля является когерентным (1.4.1). Некоторые свойства когерентного состояния рассмотрены в разделе 1.4. Данная классическая амплитуда может флуктуировать, и такое состояние поля уже является либо частично когерентным либо не когерентным. В классической оптике, так же как и классической механике, статистику комплексной амплитуды или, эквивалентно, статистику реальной (координата ) и мнимой (импульс ) компонент данной величины можно охарактеризовать с помощью функции распределения . Распределение является вероятностью нахождения частичных значений координаты и импульса при одновременном их измерении. Реальная и мнимая части и рассматриваются как координата и импульс классического осциллятора. Если распределение вероятностей на фазовой плоскости известно, то можно рассчитать все статистические характеристики данного классического осциллятора. Именно в таком смысле распределение вероятностей описывает состояние в классической физике.

В квантовой физике такое описание с помощью функции распределения вероятностей становится странным и не уместным. Известно, что принцип неопределенности Гейзенберга [65] не позволяет одновременно точно измерить координату и импульс квантового осциллятора. Данное обстоятельство является концептуальной чертой квантовой механики, следующей из ее постулатов. Поэтому можно подумать, что фазовое пространство и распределение вероятностей невозможно использовать в квантовой механике. Однако это не так.

Для описания системы используется понятие квантовых состояний, как если бы они были существующими реальностями. В квантовой механике используется свойство состояний предсказывать статистику наблюдаемых величин, например, координаты и импульса . Действительно, почему бы не воспользоваться распределением в квантовом фазовом пространстве для статистического расчета наблюдаемых величин, так как это делается в классической механике. Очевидно, что такое квантовое распределение должно иметь определенные “странные” черты, вытекающие из правил квантовой механики. Такое квантовое распределение может иметь области, где оно становится отрицательным . Более того квантовое распределение может иметь области сингулярности, типа функции Дирака. Подобное поведение (“вольности”) не мыслимо для классического распределения вероятностей . По данной причине квантовое распределение вероятностей называется квази-распределением вероятностей. Стоит только отметить, что если речь идет о распределении вероятностей в квантовом случае, то используются именно квази-распределение, даже если слово квази не используется.

Стоит отметить тот факт, что расчет статистических предсказаний с помощью квази-распределений на первый взгляд может показаться таким же как в классическом случае. Но только на первый взгляд, но не на второй. Это еще одна причина, по которой функции называются квази-распределениями. Более того существует неограниченное число возможностей рассмотреть квази-распределения просто потому, нет точного метода определить такие функции.

Один из методов введения квази-распределений основывается на постулировании их возможных свойств. Предположим, что такая функция ведет себя так, как и классическое распределение вероятностей, не упоминая о том, что точное одновременное измерение координат и не возможно для квантового осциллятора. Тогда, вероятности координаты и импульса (так называемые маргинальные вероятности) могут быть рассчитаны с помощью как

, (3.1.1)

, (3.1.2)

где --- матрица плотности произвольного состояния. Если произвести вращение на фазовой плоскости на угол , тогда компоненты и повернутся на тот же угол. Классическая функция распределения для координаты и импульса преобразуется соответствующим образом. В случае квантовой механики постулируется следующая идея. Распределение координаты состояния после вращения на произвольный угол определяется формулой

. (3.1.3)

В частности, для получаем

, (3.1.4)

а в случае имеем

, (3.1.5)

где . Интеграл типа (3.1.3) называется преобразование Радона [133]. В частности, обратное преобразование широкое используется в восстановлении исходного состояния (квантовая томография). Оказывается, что одного постулата (3.1.3) достаточно, чтобы вывести все остальные свойства функции квази-распределения . Вывод данных формул является не тривиальным фактом и в настоящей работе не приводится. Представим только основные выводы из данного математического аппарата.

Можно показать, что произвольное одно-модовое квантовое состояние однозначно определяется своей характеристической функцией

, (3.1.6)

где --- это след матрицы по всем состояниям Гильбертового пространства. Характеристическая функция --- это среднее значение оператора перемещения (2.2.2) и квантовое Фурье преобразование состояния . Определение одно-модовой характеристической функции (3.1.6) может быть обобщено на много-модовые (модовые) состояния

, (3.1.7)

где нижний индекс относится к соответствующей оптической моде. Характеристическая функция (3.1.6, 3.1.7) является важной характеристикой произвольного состояния. Используя постулат (3.1.3), можно показать, что функция квази-распределения и характеристическая функция связаны друг с другом Фурье преобразованием. Рассмотрим случай одно-модового состояния. Тогда, имеем прямое преобразование Фурье от характеристической функции к функции квази-распределения вероятностей

, (3.1.8)

где интегрирование осуществляется по всей комплексной плоскости, и используется комплексная величина интегрирования с реальной и мнимой частью , , соответственно. Обратное преобразование Фурье от функции к ее характеристической функции имеет следующий вид

. (3.1.9)

В преобразовании (3.1.8) используется нормировочный множитель , в обратном преобразовании (3.1.9) нормировочный множитель уже не применяется. В научной литературе встречаются другие определения прямого и обратного преобразования Фурье характеристической и квази-распределительной функции немного отличные от (3.1.8, 3.19). Соответственно меняется нормировочный множитель. Можно показать, что данные отличные функции преобразуются друг в друга соответствующим выбором используемых величин. Используя определение характеристической функции (3.1.7) много-модового состояния, можно по аналогии определить функцию квази-распределения .

Постулата (3.1.3) более чем достаточно, чтобы вывести другое известное представление функции квази-распределения вероятности

. (3.1.10)

Данное представление (которое в некоторой степени можно назвать легендарным) было изначально введено Вигнером (Wigner) в работе [51], в честь которого функция квази-распределения вероятности названа функцией Вигнера. Примеры функций Вигнера представлены в Главе 1 на рисунках 1.8-1.11. Функция Вигнера когерентного состояния показана на рисунках 1.8 и 1.9. Функция Вигнера смешанного состояния, составленного из двух когерентных состояний с противоположными по фазе амплитудами, показана на рисунке 2.10. Наконец, функция Вигнера чистого СКС состояния с амплитудой представлена на рисунке 2.11. Естественно, что функции Вигнера оптических состояний не ограничиваются приведенными примерами. Отметим только несколько известных свойств функции Вигнера.

Функция Вигнера реальная функция. Это означает, что для эрмитово сопряженного оператора имеет место

. (3.1.11)

Функция Вигнера напоминает классическую функцию распределения вероятности и классической частицы. Поэтому функция Вигнера должна быть нормированной

. (3.1.12)

Предположим, что имеется произвольный оператор , чью функцию Вигнера обозначим . Тогда имеет место следующая связь между средним значением оператора и его функцией Вигнера

. (3.1.13)

В частности, формула (3.1.12) является частным случаем (3.1.13), поскольку . Другое свойство функции Вигнера связано с ее характеристической функцией (3.1.6). Так как , то имеет место следующее соотношение

. (3.1.14)

Другое замечательное свойство функций Вигнера связано с наложением квантовых операторов друг на друга. Предположим, что две функции Вигнера соответствуют двум произвольным операторам и . Тогда можно показать, что след двух операторов рассчитывается как

. (3.1.15)

Отчасти, если один оператор это матрица плотности состояния, а другой произвольный оператор, то из выражения (3.1.15) следует выражение среднего значения оператора

, (3.1.16)

где --- Вигнер функция состояния . Другое простое следствие формулы (3.1.15) --- это выражение скалярного произведения волновых функций. Допустим, что имеются две произвольные волновые функции и . Тогда скалярное произведение данных волновых функций имеет вид

, (3.1.17)

где и --- Вигнер функции волновых функций и , соответственно. В частности, выражения (3.1.15, 3.1.16) могут быть использованы, чтобы выяснить является ли произвольное состояние чистым или смешанным. Известно, что для любого чистого состояния выполняется условие , в то время как для смешанного состояния имеет место [65]. Представление Вигнера состояния позволяет проверить данное свойство состояния посредством формулы

. (3.1.18)

Стоит отметить, что точность (2.2.64) между двумя произвольными состояниями, которые описываются матрицами плотности и , может быть также рассчитана с помощью их функций Вигнера

, (3.1.19)

где и --- Вигнер функции состояний и , соответственно. Стоит напомнить, что выражение точности (2.2.64) и (3.1.19) применимо в случае сравниваемых чистых или одного чистого и одного смешанных состояний [65]. Характеристическая функция и ее функция Вигнера связаны между собой преобразованием Фурье (3.1.8, 3.1.9). Поэтому можно вывести соответствующие выражения (3.1.12, 3.1.13, 3.1.15-3.1.19) с помощью характеристических функций. Так можно показать, что точность (3.1.19) выражается через характеристические функции как

, (3.1.20)

где величины и введены в качестве аргументов характеристических функций. Окончательно отметим, что функция Вигнера не является сингулярной и ограничена по величине

. (3.1.21)

В качестве примера рассмотрим СПСКС (2.3.41, 2.3.49). Можно показать, что характеристическая функция (3.1.6) становится [72]

, (3.1.22)

где ее члены имеют вид

, (3.1.23)

, (3.1.24)

, (3.1.25)

, (3.1.26)

где и . Если взять Фурье интеграл от характеристической функции (3.1.22-3.1.26), то окончательно получим Вигнер функцию СПСКС состояний

, (3.1.27)

где

, (3.1.28)

, (3.1.29)

. (3.1.30)

Выражения (3.1.22-3.1.26) для характеристической функции и формулы Вигнера (3.1.27-3.1.30) для СПСКС могут быть использованы для того, чтобы получить аналитические выражения для ССКС (2.3.42) и СКС (2.2.37) состояний. Действительно, имеем характеристическую функцию и функцию Вигнера ССКС из (3.1.22-3.1.26) и (3.1.27-3.1.30) в случае, если амплитуда перемещения равна нулю . Характеристическая функция и функция Вигнера получаются из выражений (3.1.22-3.1.26) и (3.1.27-3.1.30) в случае и . График функции Вигнера СКС с амплитудой показан на рисунке 1.11 в первой главе.

С функцией Вигнера связаны понятия Гауссового и не Гауссового состояний. Рассмотрим произвольное модовое состояние, которое описывается матрицей плотности . Определим операторы координаты и импульса квантового одномерного осциллятора как

, (3.1.31)

, (3.1.32)

где и --- бозонные операторы уничтожения и рождения квантового осциллятора. Стоит только отметить, что в научной литературе применяются различные нормировки для операторов координаты и импульса, в частности , как в разделе 1.4, и просто . Величина используется в определениях (3.1.31, 3.1.32). Естественно, что выбор нормировки не влияет на качественные результаты, но приводит к некоторому количественному отличию окончательных выражений. Тем не менее, всегда можно воспользоваться соответствующей заменой величин, чтобы перейти от одних формул к другим. Также величины и называются квадратурными компонентами и , соответственно, в квантовой оптике [66]. Операторы координаты и импульса удовлетворяют следующему коммутационному соотношению

. (3.1.33)

Определим вектор-столбец операторов квантового осциллятора

, (3.1.34)

где символ означает транспонирование. Имеет место следующее коммутационное соотношение для элементов вектора-столбца (3.1.34)

, (3.1.35)

где --- это элементы симплектической матрицы

, (3.1.36)

(3.1.37)

и символ обозначает тензорное суммирование матриц (3.1.37). По определению модовое состояние является Гауссовым, если ее характеристическая функция имеет вид

, (3.1.38)

где --- некоторый вектор-столбец реальных чисел. Характеристическая функция Гауссового состояния может быть переписана в следующем виде

, (3.1.39)

где вводится модовая ковариантная матрица (КМ)

, (3.1.40)

где --- среднее (ожидаемое) значение оператора . Элементы вектор-столбца относятся к моментам первого порядка. Элементы КМ являются моментами второго порядка распределения, определяемого характеристической функцией (3.1.39). Можно показать, что остальные моменты высшего порядка Гауссового состояния определяются через моменты первого и второго порядков [134]. Это означает, что Гауссово состояние полностью определяется исключительно моментами первого и второго порядков.

Функция Вигнера Гауссового состояния выводится посредством Фурье преобразования характеристической функции (3.1.39)

, (3.1.41)

где --- детерминант КМ, а матрица --- это матрица обратная КМ. Вектор-столбец некоторых реальных чисел

(3.1.42)

введен в (3.1.41). Окончательно, можно дать такое определение Гауссового состояния. Состояние называется Гауссовым, если оно описывается Гауссовой функцией Вигнера на фазовой плоскости. Соответственно, можно дать определение не Гауссового состояния от противного. Любое состояние света, которое не описывается исключительно Гауссовой функцией Вигнера, является не Гауссовым состоянием. Таким образом, можно (достаточно грубо) поделить все состояния на два типа Гауссовые и не Гауссовые. Примерами Гауссовых оптических состояний являются когерентное состояние, одно-модовый сжатый вакуум, двух-модовый сжатый вакуум, сжатое когерентное состояние, используемое в качестве базисных состояний в разделе 2.3 (2.3.11, 2.3.12) и так далее. Примерами не Гауссовых состояний света могут служить СКС, ССКС, СПСКС, чьи функции Вигнера даны формулами (3.1.27-3.1.30).

Естественно, что подкласс не Гауссовых неклассических состояний является более широким чем подкласс Гауссовых состояний. Можно даже сказать, что подкласс не Гауссовых состояний включает в себя все физические состояния, для которых выполняется условие не отрицательности матрицы плотности [65], кроме Гауссовых. В терминах КМ коммутационное соотношение (3.1.35) имеет вид [135,136]

(3.1.43)

и выражает в компактной форме положительность (не отрицательность) матрицы плотности физического состояния. Матричное неравенство (3.1.43) означает, что сумма в левой стороне неравенства имеет только не отрицательные собственные значения.

Тем не менее, математический аппарат подкласса Гауссовых состояний хорошо разработан и изучен. Детали различных аспектов функций Вигнера и их свойств можно найти в обзорных статьях [136-142]. В частности, Гауссовые операции не нарушают структуру Гауссового состояния. Такие операции трансформируют исходное Гауссовое состояние в другое Гауссовое состояние с модифицированной КМ отличной от исходной. Выходная КМ связана с исходной КМ посредством матричного преобразования. К Гауссовым операциям относятся все операции, которые описываются Гамильтонианом взаимодействия с квадратичными по операторам рождения и уничтожения членами. Такой Гамильтониан ведет к линейной зависимости входных и выходных операторов рождения и уничтожения. Примером такой Гауссовой операции с соответствующим квадратичным Гамильтонианом является оператор сжатия (2.3.13). Гауссовые операции также включают в себя гомодинное детектирование и перемещения на фазовой плоскости, описываемые оператором перемещения (2.2.2).

Не Гауссовые операции, применяемые к изначально Гауссовым состояниям, ведут к генерации не Гауссовых состояний. В разделе 2.3 отмечалось, что такой процесс называется де-Гауссификацией [84,85]. Добавление или извлечение фотонов или перемещенных фотонных состояния из начального Гауссового состояния являются примерами не Гауссовых операций. И если Гауссовые состояния достаточно хорошо изучены, то изучение не Гауссовых состояний и методов их генерации только начинается. Не существует общего подхода анализа не Гауссовых состояний света в отличии от математического аппарата разработанного для Гауссовых состояний. Вполне возможно, что должен применяться свой математический аппарат для анализа того или иного типа не Гауссовых состояний. Разработка данных подходов является целью тех усилий, которые затрачиваются исследователями по всему миру. И метод, описанный в Главе 2, является одним из таких подходов, применимый к не Гауссовым состояниям света.

...